第5届日本算术奥林匹克竞赛预赛试题与解答
《小学数学报》第05届数学竞赛初赛试题及答案
第五届数学竞赛初赛试题及答案（满分100分）一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（12分）2.1991×199219921992-1992+199119911991二、填空题（48分）1.有A、B两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有25个数。
A组数中前几个是这样排列的1，6，11，16，21……；B组数中最后几个是这样排列的……，105，110，115，120，125。
那么，A、B这两组数中所有数的和是__（3分）2.某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图1。
现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给图1染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色。
共有__种不同的染色方法。
（5分）3.如图2的数阵是由77个偶数排成的，其中20、22、24、36、38、40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180。
把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660，那么，它们当中位于平行四边形左上角的那个数是__。
（4分）4.在左边的乘法算式中，我、学、数、乐各代表四个不相同的数字。
如果“乐”代表“9”，那么，“我”代表__，“数”代表__，“学”代表__。
（4分）5.1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期__。
6.一个小数去掉小数部分后得到一个整数，这个整数加上原来的小数与4的乘积，得27.6。
原来这个小数是__。
（5分）7.李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中有一个当了记者。
一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者。
”张斌说：“我不是记者。
”王大为说：“李志明说了假话。
”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么__是记者。
（3分）9.在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整数，这个七位数最小是__。
（5分）的个位数字1992个“8”是__，十位数字是__，百位数字是__。
解析005年小学数学奥林匹克预赛试卷
2005年小学数学奥林匹克预赛试卷(A)2005年3月20日上午8：30—9：301．计算：8-1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）＝______。
2．计算：=______。
3．已知，那么x=______。
4．设表示，计算：______。
5．图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为______。
6．按英国人的记法，2005年1月8日记作1-8-2005；按美国人的记法，2005年1月8日记作8-1-2005。
那么，2005年全年中共有______天会让英、美两国人在记法上产生误会。
7．某班在一次数学测验中，平均成绩是78分，男、女各自平均成绩是75.5与81分。
这个班男女生人数之比是______。
8．将+、－、×、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是______。
，，，9．有四个正方体，棱长分别是1，1，2，3。
把它们的表面粘在一起，所得的立体图形的表面积可能取得的最小值是______。
10．已知两个不同的单位分数的和是，且这两个单位分数的分母都是四位数，那么这两个单位分数的分母的差最小值是______。
11．用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色（如图所示），其他地方铺成白色的瓷砖。
如果铺满这个地面共用了97块黑色的瓷砖，那么白色的瓷砖用了______块。
12．A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离的5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在______时______分出发的。
1、706.22、50.53、4、25、56、1327、6∶58、59、72 10、1169 11、2304 12、9点20分1. 【解】原式＝8－1.8＋742÷1.06＝6.2＋700＝706.22. 【解】分母＝10＝100分子＝（2－1）＋（4－3）＋…＋（100－99）＝1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝5050原式＝5050÷100＝50.53．【解】1＋＝，＝－1＝。
全等三角形的提高拓展训练全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB AD【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．NC D EB M A F E DCB A O ED CA【例5】 (北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°， 求证：AD 平分∠CDE板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.D CB ANM D CB AC EDBA【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【例10】 在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【例11】 (日本算术奥林匹克试题) 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.CDBADCBAANMCBA【例12】 (河南省数学竞赛试题) 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【例13】 (北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.M CA B全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整数,则AD=52.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD ABADB C3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。
2005奥林匹克试题答案
2005奥林匹克试题答案2005年奥林匹克数学竞赛试题解答问题一：题目描述：给定一个正整数n，将其各位数字重新排列可以得到一个新的数。
证明：对于任意的n，都存在一种排列方式，使得排列后的数是n的倍数。
解答：首先，我们设n的各位数字为a1, a2, ..., ak，且a1 * a2 * ... * ak = n。
我们需要证明存在一种排列方式，使得排列后的数是n的倍数。
考虑n的倍数的性质，一个数是n的倍数当且仅当它与n的任意一个非零因子（除了1和本身）的余数都为0。
因此，我们需要证明存在一种排列方式，使得排列后的数与n的每个非零因子的余数都为0。
我们可以通过构造法来证明这一点。
首先，我们将n的每个因子（除了1和n本身）对应的数字串起来，得到一个新的数字序列。
然后，我们将这个新序列与n的原始数字序列进行比较，如果新序列的每一位都小于或等于原始序列的对应位，那么我们就可以通过将新序列的数字按照原始序列的顺序排列，得到一个新的数，这个新的数就是n的倍数。
如果不存在这样的排列方式，那么至少存在一个因子，其对应的数字序列在某些位上大于原始序列的对应位。
这时，我们可以将这个因子对应的数字序列中大于原始序列对应位的数字与原始序列中的数字交换，然后再次进行比较。
通过有限次的交换，我们总能找到一种排列方式，使得新序列的每一位都不大于原始序列的对应位，从而证明了存在一种排列方式，使得排列后的数是n的倍数。
问题二：题目描述：给定一个正整数序列a1, a2, ..., an，其中每个数都是1或-1。
证明：序列中1的个数减去-1的个数是偶数。
解答：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。
首先，当序列中只有一个数时，显然1的个数减去-1的个数是0，是一个偶数。
假设当序列中有k个数时，结论成立，即1的个数减去-1的个数是偶数。
现在考虑序列中有k+1个数的情况。
我们可以从序列中去掉一个数，根据归纳假设，剩下的k个数中1的个数减去-1的个数是偶数。
中国数学奥林匹克(CMO)历届试题及解答(1986-2005)
∈ Z.
1 3 2n+1 (2n + 1)ϕ = (2l + 3 = 2t + 3 2 )π (l ∈ Z). ∴ (2n + 1)(2k + 6 ) = 2l + 2 , 6 2 , n = 6t + 4(t ∈ Z). 5(2n+1) 5 ) = 2l + 3 = 2t + 3 或(2n + 1)(2k + 6 2, 6 2 , 5|4t + 3, t ≡ 3 (mod 5)(t ∈ Z).
+1 ∴ cos(n + 1)θ − cos nθ − 1 = −(2 sin 2n2 θ sin θ 2 + 1) = 0. +1 sin(n + 1)θ − sin nθ = 2 cos 2n2 θ sin θ 2 = 0. +1 +1 1 θ ∴ cos 2n2 θ = 0, sin 2n2 θ = ±1, sin θ 2 = ± 2 , 设 2 = ϕ. π (1)sin ϕ = 1 2 ,sin(2n + 1)ϕ = −1. ϕ = 2kπ + 6 或2kπ + 5π 6 ,k
设t = 5s + 3,则n = 6s + 4,总有6|n + 2. (2)sin ϕ = − 1 2 ,sin(2n + 1)ϕ = 1.显然以−ϕ代ϕ即有(1).所以6|n + 2.证毕. 2.把边长为1的正三角形ABC 的各边都n等分,过各分点平行于其它两边的直线, 将这三角形分成若干个 小三角形,这些小三角形的顶点都称为结点, 并且在每一结点上放置了一个实数.已知: (1)A, B, C 三点上放置的数分别为a, b, c. (2)在每个由有公共边的两个最小三角形组成的菱形之中, 两组相对顶点上放置的数之和相等. 试求:(1)放置最大数的点和放置最小数的点之间的最短距离. (2)所有结点上数的总和S . 解:(1)不难证明同一直线上相邻三个结点上放置的数中间一个为两边的等差中项,所以同一直线上的数 按顺序成等差数列. 若两端的数相等,则所有的数都相等.否则两端的数为最大的和最小的. 若a, b, c相等,显然所有数都相等,最短距离显然为0. 若a, b, c两两不等,最大的数与最小的数必出现在A, B, C 上,最短距离为1. 若a, b, c有两个相等但不与第三个相等,不妨设a = b > c,最小的数为c,最大的数出现在线段AB 的任意 结点上. 当n为偶数时,与C 最近的为AB 中点,最短距离为
世界少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛地方海选赛五年级试题附答案 (2)
小学数学人教新版六年级下册实用资料绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛五年级试题附答案（2016年10月）选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
五年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。
（每题5分，共计50分）1、一瓶喝去一半水的矿泉水连瓶子重310克，已知瓶子10克，则一瓶矿泉水连瓶子重 克。
2、一条绳子对折3次后，从中间剪开，这条绳子被分成 段。
3、韩梅梅家的电话号码共7位，前三位数字相同，后四位数字也相同，把这些数字加起来，所得的和正好等于左起第三、四位组成的两位数，这个电话号码是 。
4、一列数，第一个数是3，第二个数是4，从第三个数开始，每个数是前两个数之和，问这列数的第2016个数除以3余 。
5、学校钟楼的大钟3点钟敲3下，用了6秒，9点时敲9下用了 秒。
6、如图有一长方形草坪，长30米，宽25米，草坪中间留了宽1米的路，路把草坪分成4块，则草坪的实有面积是 平方米.7、苹果比桃子多20个，如果每天吃2个苹果、1个桃子，桃子吃完后，苹果还剩5个。
原来有苹果 个。
8、韩梅梅从家里去书店，每分钟走525米，预计40分钟到达，但走到一半路程时，遇到了熟人，聊天用了5分钟，如果仍要按预计的时间到达，每分钟应比原来快 米。
9、32016表示2016个3连乘，它的结果个位上的数是 。
10、有数列如下1，1，2，3，5，8，……问第20个数是 。
二、计算题。
（每题6分，共计12分）11、 587+589+584+585+588+586+583+590+581+58212、 1998×1997-1997×1996-1996×1995+1995×1994省 市 学校 姓名 赛场 参赛证号∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密 封 线 内 不 要 答 题三、解答题。
第20届日本算术奥林匹克竞赛试题
第20届日本算术奥林匹克预赛试题（考试时间：2011年5月22日13:00—14:30）报名单位姓名所在小学【问题1】今天是2011年5月22日，是第20届日本算术奥林匹克的预赛日。
请在每个□中各填入一个数字，使算式成立。
（请将答案写在答题卡上）【问题2】有1g，2g，3g，4g，5g的砝码各1个，给它们各自贴上ア、イ、ウ、エ、オ的标签。
还有不知道重量的物品，用△表示。
下图是天平的三种称重方法，请求出砝码ア、イ、ウ、エ、オ和物品△的重量各是多少g？（请将答案写在答题卡上）4个小朋友围着方桌玩奥尔高游戏牌。
右图表示游戏在进行中。
请求出牌ア和牌イ表示的数是几?游戏规则说明如下：①图中排列着分别写有数0～11的白卡片12张，黑卡片12张。
②将24张卡片充分打乱顺序后分发给4人，每人6张。
③游戏开始前4人将分到的卡片按以下规则数朝下（牌扣着）排列：将黑白卡片从左到右、从小到大排列在自己面前。
当数字相同时，黑卡片排在左，白卡片排在右。
例：当白卡片是0、2、6；黑卡片是2、7、9时，如下排列：④游戏开始后，顺序猜其他人牌的数，猜对数的牌要翻过来，使数的面朝上。
（请将答案写在答题卡上）【问题4】将日期作为数考虑。
比如，1月1日是101，10月12日是1012 。
如果□月△日的○日后的数，正好是□月△日的数的2倍。
请问：满足条件的数○有几种可能？注意：2月份定为28天来考虑，○是不超过365的整数。
（请将答案写在答题卡上）【问题5】如图1所示，有3张画有9 个方格的卡片。
首先在第一张与第二张卡片的相同位置上分别填入1 ~ 9的数字。
其次：让第一张不动，将第二张顺时针转动90度，与第一张重叠，并将此时重叠的数字之和写在第三张卡片相同位置上。
平太按上述要求做了，计算后第三张如图2所示。
请把1 ~ 9分别填入第一张卡片的方格中。
第一张第二张第三张《图1》第一张第二张第三张《图2》（请将答案写在答题卡上）请在□中各填入一次1 ~ 9，使全部等式成立。
2005年小学数学奥林匹克预赛题解析
解一题一方一法一一∞２００５年一鼍学数学奥耥匹竟预赛题解新２００５年小学数学奥林匹克预赛试题，突出体现了基础性、发展性和挑战性，难易适中，有利于调动参与者的积极性。
本文就其中的几道题解析如下，与同行共商。
题目１图中大长方形分别由面积为１２平方厘米、２４平方厘米、３６平方厘米、４８平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为。
１２二／／ｒ‘４８１４分析此题旨在从多方面对学生进行综合性考查：①对“积的变化规律”等知识点理解的深度；②图形变换能力；⑧假设思想方法掌握情况。
解把上面的两个小长方形和下面的两个小长方形分别看作较大的长方形，由“积的变化规律”知，在长相等（不变）的情况下，下面长方形的宽是上面长方形宽的（２４＋４８）÷（１２＋３６）＝１．５倍。
由此知，（如下图）Ｄ的面积是２４＋１．５＝１６（平方厘米）。
把Ｄ分成左、右两个小长方形，则右边的小长方形的面积是１６—１２＝４（平方厘米１。
根据上、下两个较大长方形宽的倍数关系，假设上面较大长方形的宽是２厘米，则下面较大长方形的宽是２ｘ１．５＝３（厘米）。
由此知，阴影三角形的底（公用）是４÷２＝２（厘米）。
陕西宝鸡市教师进修学校宫正升ＤＢＣＡ故知，图中的阴影面积为２ｘ２＋２＋２ｘ３÷２＝５（平方厘米）题目２某班在一次数学测验中，平均成绩是７８分，男、女各自平均成绩是７５．５与８１分。
这个班男女生人数之比是分析此题旨在考查学生对求平均数基本思路的掌握情况。
解求平均数的基本思路是移多补少。
由题意知，男生的平均成绩比男女生平均成绩少７８—７５．５＝２．５（分），而女生的平均成绩比男女生平均成绩多８１—７８＝３（分）。
将女生５人多出的分数补给男生６人，可使这６名男生的成绩达到男女生的平均成绩。
故知，这个班男女生人数之比是６：５。
题目３将＋、一、Ｘ、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是。
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第五届日本算术奥林匹克竞赛预赛试题一、雨哗哗地不停地下着。
如在雨地里放一个如图1那样的长方体的容器，雨水将它注满要用1小时。
有下列A—E不同的容器（图2），雨水注满这些容器各需多长时间？二、将一正方形的纸对折2次后，还是正方形（见图1）。
用同样的方法，可把某形状的纸对折3次后，成为图2那样的三角形。
已知可把4种形状的纸对折3次后，折成那样的三角形，请画出这4种形状。
三、有6个1克重的球，1个2克重的球，1个3克重的球，共有8个球。
把这8个球从①到⑧编上号，放到天平上称，就成为图中所示状态。
问：（1）2克重的球是几号球？（2）3克重的球是几号球？四、有193个人坐成一横排。
首先，正中间的一个人站起来，然后，按下述方法大家都或坐或站。
①邻座的人站起来，1秒钟后，自己也站起来。
②站起1秒钟后坐下。
③如果左右邻座的人同时是站着的话，即使过了1秒钟，自己仍然坐着。
问：（1）最初的那个人站起8秒钟后，有几个人站着？（2）96秒钟后，有几个人站着？五、有一个如图那样的方块网格，每1个小方块里有1个人，在这些人中间，有人戴着帽子，有人没戴。
每一个人都只能看见自己前方，后方和斜方的人的头，如图1所示，A方块里的人能看见8个人的头，B方块里的人能看见5个人的头，C方块里的人能看见3个人的头，自己看不见自己的头。
在图2的方格中，写着不同方块里的人能看见的帽子的数量，那么，请在图2中找出有戴帽子的人的方块，并把它涂成黑色。
六、某俱乐部有11个成员，他们的名字分别是A～K。
这些人分为两派，一派人总说实话，另一派人总说谎话。
某日，老师问：“11个人里面，总说谎话的有几个人？”那天，J和K休息，余下的9个人这样回答：A说：“有10个人。
”B说：“有7个人。
”C说：“有11个人。
”D说：“有3个人。
”E说：“有6个人。
”F说：“有10个人。
”G说：“有5个人。
”H说：“有6个人。
”I说：“有4个人。
”那么，这个俱乐部的11个成员中，总说谎话的有几个人？七、有50张卡片，每一张都分别写着从1到50的数字（见图）。
卡片的两面一面是红色，一面是蓝色，两面都写着相同的数字。
有一个班正好有50名学生，老师把这50张卡片都将蓝色朝上地摆在桌上，对同学们说：“请你们按学号的顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是你自己学号的倍数，你就把它们都翻过来，蓝的就翻成红的，红的就翻成蓝的。
”那么，到最后，学号是50的学生按老师的要求翻完以后，红色朝上的卡片有多少张？八、如图所示，把边长为6cm的等边三角形剪成4部分，从三角形顶点往下1cm 处，呈30°角下剪刀，使中间部分形成一个小的等边三角形。
问：所有斜线部分的面积是中间小等边三角形的面积的几倍？九、有同样大小的立方体27个，把它们竖3个，横3个，高3个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（见九题图）。
如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体，最多可以穿透几个小立方体？附：第五届日本算术奥林匹克竞赛预赛试题解析一、解题中“雨哗哗地不停地下着”这一条件，也可以理解为雨均匀地下。
（这与日常生活中的降雨略有不同，生活中降雨可能会时大时小，并不均匀。
）雨水从敞口部分垂直落入到容器内，我们就可以把“敞开面”（即图中所示的阴影面）叫做“接雨面”。
图中所示的长方体容器，“接雨面”与底面大小相同，雨水将它下满需要1小时，也就是说1小时后该容器内雨水的深度是10cm。
如果容器的高度不止10cm，而是无限的，那么2小时后容器内雨水的深度将会是2cm，以后每过1小时雨水的深度就会增加10cm；如果在长方体容器中垂直放入一个很薄的挡板（其厚度忽略不计），将大容器分成两个小容器（如图所示）。
小容器的“接雨面”变小了，但每个小容器的“接雨面”与底面大小仍然相同。
那么1小时后，每个小容器内雨水的深度还是10cm。
（因为忽略了挡板的厚度，它不占原来长方体容器的容积。
）通过上述分析与假设，我们可得出如下结论：只要容器的“接雨面”与底面大小相同，1小时后容器内雨水的深度就是10cm。
根据结论，观察图2所示的五种容器。
其中A、B、E三种容器的“接雨面”与底面大小相同。
A容器高10cm，雨水下满该容器需要1小时；B容器高30cm，雨水下满该容器需要3小时；E容器高20cm，雨水下满该容器需要2小时。
剩下C、D两种容器，它们的“接雨面”与底面大小不同，可先将其转化为“接雨面”与底面大小相同的容器（如图所示）。
此时，C容器的高变为30cm，雨水下满需3小时；D容器的高变为15cm，雨水下满需1.5小时。
二、解（见下图）三、解由图1可知：①＋②＋③＜④＋⑤＋⑥＋⑦（一式）由图2可知：②＋⑥＋⑧＞①＋③＋④＋⑤（二式）由图3可知：①＋③＋⑧＜②＋④＋⑤（三式）观察三式可得出如下结论：①、③、⑧中不可能有克重的球，②、④、⑤中必有重量超过1克的球。
观察二式可得结论：④、⑤两球重量均为1克，（因为如果其中有重2克的，则②、⑥、⑧重量之和最多与①、③、④、⑤重量之和相等，图2将不成立，与已知矛盾。
）观察一式可得结论：①、②、③中没有重3克的球。
（否则图1所示状态将不成立）综合上述3条结论可知：②号球重2克，①、③、⑧、④、⑤的重量均为1克。
再次观察二式可知：⑥号球重3克。
四、解（找规律）（用△表示站，○表示坐）上表第1个方框内的2表示第1秒后有2人站着；第2个方框内有两个数，上面2表示第2秒后有2人站着，下面的4表示第3秒后有4人站着。
三角内的两个数为所求，即：第8秒后有2人站着，第96秒后有4人站着。
五、解答案如下图所示。
分析①站在第一行第五列的人能看见1顶帽子，说明他周围的3人有2人没戴帽子。
②站在第二行第四列的人能看见7顶帽子，说明他周围的8人中只有1人没戴帽子，综合结论①可知他本人没有戴帽子。
③站在第二行第五列的人能看到4顶帽子，且他周围的5人中已有1人没戴帽子，说明其余4人均戴帽子，根据结论①可知他本人没戴帽子。
④利用上下对称原理可以分析出：站在第四行、第五行后三列的6个人中，只有第四行第四列、第五列两人没戴帽子，其他人均戴帽子。
⑤站在第四行第二列的人能看到7顶帽子，说明他周围的8人中只有1人没戴帽子。
⑥站在第三行第1列的人能看见1顶帽子，说明他周围的5人中只有1人戴帽子。
综合结论⑤可知：这1人不可能是第二行第一二列的人，也不可能是第四行第二列的人。
所以只能是站在第三行第二列的人或第四行第一列的人。
⑦站在第五行第一列的人能看到2顶帽子，说明结论⑥所说戴帽子的人站在第四行第一列。
⑧站在第二行第二列的人能看到6顶帽子，说明站在第一行第一、二列的2人都戴帽子。
综合上述分析，可以看到“思考的顺序”是解答本题的关键。
六、解因为9个人回答出了7种不同的人数，而且回答相同的最多是两个人。
所以说谎话的不少于7人。
若说谎话的有7人，则除B外，其它回答问题的8人均说了谎话，与假设出现矛盾；若说谎话的有8人，则回答问题的9人均说了谎话，出现矛盾；若说谎话的有10人，则只能1人说实话，而A和F都说了实话，出现了矛盾；若说谎话的有11人，则没有说实话的，而C说了实话，出现矛盾；显然说谎话的有9人，回答问题的9人均说谎话，休息的两人说实话。
七、解每张卡片，所写数字有几个约数就被翻过几次。
被翻了奇数次的卡片红色面朝上，而只有完全平方数才能有奇数个约数，所以本题也就是求写有完全平方数的卡片有几张，所以红色朝上的卡片共有7张。
八、解将大三角形分成边长1cm的小等边三角形即可求解。
大三角形中包含36个小等边三角形，空白三角形包含3个小等边三角形。
所以九、解首先从简单的想起，研究铁丝穿透1个小立方体时，应从哪面穿入，哪面穿出。
然后考虑铁丝扎进8个小立方体搭成的较大立方体，最多可以穿透几个小立方体。
最后再考虑扎进27个小立方体搭成的大立方体时，最多可以穿透几个小立方体。
（1）铁丝穿透1个小立方体可有三种不同情况。
（如图1所示）其中A、B两种是穿过相对两面，A种平行于棱的方向穿过，B种斜着穿过；C种则是穿过相邻两面。
再进一步分析，若增加7个小立方体，搭成较大立方体时，这个小立方体相对两面中只能有一个面与其它小立方体相邻，也就是说只能考虑铁丝在一个方向上继续穿透其它小立方体。
而这个小立方体相邻的两面可以分别与其它小立方体相邻，铁丝可以沿两个方向继续穿透其它小立方体。
因此，C种情况是我们解答本题需要深入考虑的。
（为了便于分析，将这个小立方体编为①号。
）（2）考虑铁丝扎进较大立方体时最多可以穿透几个小立方体。
如图2所示，铁丝沿斜上方向可继续穿透②号小立方体，沿斜下方向可继续穿透③号、④号小立方体。
因此，共可穿透4个小立方体。
（3）考虑铁丝扎进27个小立方体搭成的大立方体时，最多可以穿透几个小立方体。
如图3所示，铁丝沿斜上方向可继续穿透⑤号立方体，沿斜下方向可以继续穿透⑥号、⑦号小立方体。
因此，最多可以穿透7个小立方体。
[说明与探讨]本题意在考察空间观念和画图能力。
若直接考虑，难度比较大。
所以应采取从简单处人手，逐步深入分析的方法来解答。
通过上述分析，不难发现这样一条规律（如下表所示）：以前，我们研究过与此题分析方法基本相同的平面图形问题。
如：大正方形是由25个同样大小的小正方形拼接而成的。
在大正方形上画一条直线，这条直线最多可以穿过几个小正方形？。