数学33《空间直线的方向向量和平面的法向量》教案
3.3空间直线的方向向量和平面的法向量
一、教学内容分析
这一节课重点介绍了空间直线的方向向量的概念和求法.例1是长方体在已经建立了空间直角坐标系得基础上求相关直线的方向向量，例2要求读者根据自己的理解，建立坐标系后求三棱锥中相关直线的方向向量；这两个例题都是简单几何体中空间直线的方向向量的基本运算，必须掌握好空间直线的方向向量求法，为后面用空间直线的方向向量求解有关度量问题打下好的基础.
二、教学目标设计
1、理解空间直线的方向向量概念；
2、掌握空间直线的方向向量的求法.
三、教学重点及难点
1、理解空间直线的方向向量概念;
2、掌握空间直线的方向向量的求法.
四、教学用具准备
运用多媒体展示相关例题及图形
五、教学流程设计
六、教学过程设计
（一）问题引入
1、
复习：平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 2、 思考：如何表示空间直线的方向？
（二）学习新课
1、空间直线的方向向量的概念
（1）怎么确定空间直线的方向向量？
对于空间任意一条直线l ,我们把与直线l 平行的非零向量d 叫做直线l 的一个方向向量.
（2）空间直线的方向向量是唯一的吗？
（3）一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
2、尝试解决
例1 如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，F 为棱BC 上的中点，
（1）向量BC OC AA ,,'可以分别表示哪条空间直线的方向向量？
（2）写出空间直线F A '的一个方向向量，并说明这个方向向量是否可以表示正方体的某条棱所在直线的方向.
解：（略）
（三）巩固新知
例2（教材P48 例题1）已知长方体''''D C B A ABCD -的棱长3',4,2===AA AD AB ，以长方体的顶点'D 为坐标原点，过'D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：')4(;')3(;')2(;')1(DB C A C B AA .
解：（略）
[说明]对于学生求出的同一直线的不同方向向量进行点评.
.
例3（教材P49 例题2）已知所有棱长为a 的正三棱锥BCD A -，试建立空间直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量.
解：（略）
[说明]对于学生建立的不同坐标系进行点评与方案选优.
（四）课堂练习
1、已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求线段AB 所在直线的一个方向向量；
2、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，
,E F 分别是1,DD DB 中点，G 在棱CD 上，14CG CD =，H 是1C G 的中点，求线段
FH G C EF C B ,,,11所在直线的一个方向向量.
3、教材P49 1
4、教材P49 2
（五）课堂小结
（六）布置作业：见练习册
七、教学设计说明
1、 通过以平面直线的方向向量表示直线方向类比引入空间直线的方向向量，激发学生自主探索的兴趣和信心；
2、 以直线方向向量的不唯一和一个向量可以表示无数条直线的方向来说明和理解的空间直线的方向向量的概念本质；
3、 课堂按“定性研究直线的方向向量→在现有坐标系中确定直线
的方向向量坐标→通过方案选择建立空间直角坐标系后再确定直线的方向向量坐标”展开研究，层层深入，重在掌握空间直线的方向向量概念和运算；
4、对学生练习中的相同坐标系或者不同坐标系中写出的不同方向向量
加以说明.旨在让学生今后能灵活地建立坐标系和选择坐标，从而用方向向量对直线进行研究和运算，非常重要，必须引起重视.。
高中数学人教A版选修1-1第3章3-2立体几何中的向量方法教案
即 a2 = 3x2 + 2(3x2 cos )
x=
1a
3 + 6 cos
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求
两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离 点面距离 向量的模 回归图形
解： 过 A1点作 A1H ⊥ 平面 AC 于点 H.
解：
设平面 AEF 的法向量为
则有
6，如图所示建立坐标系，有
为平面 AEF 的单位法向量。
分别求平面 SAB 与平面 SDC 的法向量，并求出它们夹角的余弦。 解：因为 y 轴 平面 SAB，所以平面 SAB 的法向量为 设平面 SDC 的法向量为， 由
§3.2.2 空间角与距离的计算举例
【学情分析】：
空间中的几何元素
如图，在空间中，我们取一点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 点、直线、平面的
的位置就可以用向量 OP 来表示．称向量 OP 为点的位置向量。
位置的向量表示方 法。
●P
基点 O●
2. 思考：在空间中给定一个定点 A 和一个定方向（向量），能确定一条直
线在空间的位置吗？ l
a
P
A
AP = a( R)
∴ sin BAD = 1− 9 = 32 ， 105 35
五、小结 六、作业
∴ S ABCD =| AB | | AD | sin BAD = 8 6 ．
1． 点、直线、平面的位置的向量表示。 2． 线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。 A，预习课本 105～110 的例题。 B，书面作业:
（1）求证： AP 是平面 ABCD 的法向量； （2）求平行四边形 ABCD 的面积．
北师大高中数学选择性必修第一册3.4.1直线的方向向量与平面的法向量【课件】
[解]
过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO⊥平面ABC，以O为坐
标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴建
立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝1，
则E － ，， ，P ，，
B
－ ， ，
，C
，
－ ，－ ，
2. 平面法向量的性质
(1)平面 α 的法向量与 α 内任一向量垂直.
(2)平面的法向量有无穷多个，它们相互平行.
1. 如何确定直线的方向向量?
提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，
都是直线的方向向量. 一般所求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给
坐标赋特殊值.
2. 零向量可以是直线的方向向量或平面的法向量吗?
对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t，使得＝ta. 这个式子称为直
线 l 的向量表示.
1. l 的方向向量 a，我们称向量 a 为平面 α
的法向量. 给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A，且以向量 a 为法向量的平
面是完全确定的.
第三章
4
空间向量与立体几何
向量在立体几何中的应用
4. 1
直线的方向向量与平面的法向量
自
主
预
习
互
动
学
习
达
标
小
练
[课标解读]1. 会求直线的方向向量. 2. 会求平面的法向量.
[素养目标] 水平一：求直线的方向向量(逻辑推理).
水平二：会求平面的法向量(数学运算).
3.2.1直线的方向向量与平面法向量
线线垂直
l ⊥ m ⇔ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 ；
l ⊥α ⇔ a ∥ u ⇔ a = ku ；
线面垂直
面面垂直
α ⊥ β ⇔ u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rr 的方向向量,根据下列 例1 (1)设a ‚ 分别是直线 l 1 ‚l 2 的方向向量 根据下列 设 b
的位置关系: 条件判断 l1 与 l2 的位置关系 r r r r ① a = (2,3, −1), b = (−6, −9,3) ② a = (5,0,2), b = (0,4,0)
r 1.若直线 u 若直线l的方向向量为 1.若直线 的方向向量为a = (1, 0, 2) ,平面 α 平面 r 的法向量为µ = (−2, 0, −4) ,则l与 α 的位置 则与
3.若平面 3.若平面 α、 β 的法向量分别 u r r β 为 µ = (1, 2, −2) ， = (−3, −6, 6) ，则α 、 v 的位置关系是
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直, 例3 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直. 则该直线与此平面垂直 已知:直线 已知 直线m,n是平面 α 内的任意两条相交直线 直线 是平面 内的任意两条相交直线, 求证:l 且l⊥m,l ⊥n.求证 ⊥α ⊥ 求证
rr rr a rr rr rr rr rr rr ⊥ ⊥ ⋅⋅ = = ⊥ b , a ⋅⋅b = 0 ⊥ =
1、点的位置向量 、
在 空 间 中 ， 我 们 取 一 定 点 O作 为 基 点 ， 那 么 空 间 中 任 意 一 点 P的 位 置 就 可 以 用 uuu r uuu r 向 量 OP来 表 示 。 我 们 把 向 量 OP称 为 点 P的 位 置 向 量 。
2022-2023学年高一数学：空间中点、直线和平面的向量表示课件
2OB.设点
Q 的坐标为(x′，y′，z′)，则上
式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，
D1
C1
A1
B1
D
A
x
y
C
M
B
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
(2)因为AB=4, BC=3, CC1 =2,M是AB的中点，所以M,C,A的坐标分别为
(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此
=(-3,2,0), 1=(0,-2,2),
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
n2⊥ ，n2⊥ 1，
所以
2 ⋅ = −3 + 2 = 0
2
= 3
解得
=
2 ⋅ 1 = −2 + 2 = 0
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
总结
求平面法向量的步骤
4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、
面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
知识回顾
推广
平面向量
建系
空间向量
代数运算
空间向量解决了哪些几何问题？
平行、垂直问题
距离问题
夹角问题
我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有
关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对
1 3
C. 1, 2 , 2
2 1
D. - 3 , 3 ,1
2 1
解析: =(2,-1,-3)=-3 - 3 , 3 ,1 ,故选 D.
《3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量》教案
《3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量》教案 教学目标1.理解直线的方向向量和平面的法向量;2.会用待定系数法求平面的法向量.教学重难点1.直线的方向向量和平面的法向量.2.求平面的法向量.教学方法建议新授课､启发式一一引导发现､合作探究.教学过程(A)类问题(自学通过)1.直线的方向向量.我们把直线l 上的向量e (0e ≠ ) 以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的 . 2.平面的法线.与平面 的直线叫做平面的法线.3．平面的法向量.如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α.此时,我们把向量n叫做平面α的法向量.一个平面的法向量有 个,过一个定点作平面的法向量有 个.(B)类问题(讨论探究) 4.在正方体1111ABCD A B C D -中,求证:1DB 是平面1ACD 的法向量.(C)类问题(教师点拨)5.在空间直角坐标系内,设平面α经过点000()P x y z ，，,平面α的法向量为()e a b c ＝，，,()M x y z ，，为平面α内任意一点,求x y z ，，满足的关系式. 五､问题解决情况检测(A)类问题(自学通过)1.若直线l 垂直于平面α,且l 的方向向量为()4,2,t ,α的法向量为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,1,21,则实数t 的值为 .(B)类问题检测2.在正方体1111ABCD A B C D -中,求平面1ACD 的一个法向量.(C)类问题检测3.已知点P 是平行四边形A B C D 所在平面外一点,如果(214AB ＝，－， ,(420)AD ＝，， ,(121)AP ＝－，，－ .(1)求证:AP 是平面ABCD 的法向量;(2)求平行四边形ABCD 的面积.教学反思。
高中数学(人教A)选修2-1课件：3.2.1直线的方向向量和平面的法向量
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 空间向量与立体几何
第三章 3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 直线的方向向量和平面的法向量
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
• 1．理解直线的方向向量，平面的法向量．
• 2．能够利用直线的方向向量和平面的法向量 处理线面的位置关系．
量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量 中我们能否用直线的方向向量与平面的法向 量来讨论空间线面的位置关系呢？
• 新知导学
• 4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的 方向向量与平面的法向量的位置关系来研究 ．
Байду номын сангаас
• 设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α
、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α
• 重点：平面的法向量． • 难点：利用向量知识处理立体几何问题．
直线的方向向量与平面的法向量
• 温故知新 • 1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方
向向量．
• 思维导航 • 1．怎样确定空间一条直线的方向向量？ • 2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？
类似的，一点A和一个方向能确定一个平面 吗？这个方向对平面有何特殊意义？
• (4)l⊥α⇔_a∥_u______存⇔在k_∈_R，_使_a_＝_ku____________
_．
u∥v
存在k∈R，使u＝kv
• (5)α∥β⇔__u_⊥_v____⇔u·_v＝_0________________ ___；
• (6)α⊥β⇔________⇔__________． • 注：①由前提知la⊄α，b，u，v都是非零向量．
直线的方向向量和平面的法向量
为n=(x，y，z ) 则 由n ⋅ DA = 0 ，n ⋅ DE = 0得
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F = (0, , −1) 2 所以 D1 F ⊥ 平 面ADE
x + 0+ 0 = 0 =0， 则x =0，不妨取y = 1，得z = −2 1 1， x + y + 2 z = 0 所以n=( 0， - 2)
或AP = ta
用向量来表示点、直线、 一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置
⑶平面 空间中平面 α 的位置可以由 α 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定. 条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 对于平面 α 上的任 存在有序 有序实数 一点 P ,存在有序实数 对 ( x , y ) ,使得
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 注意：这里的线线平行包括线线重合， 面平行包括线在面内，面面平行包 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合. 括面面重合.
三、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 α, β 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m ⇔ a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ；
课时小结
一、平行关系： 平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ， 平面
α1 , α 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线平行 l1 // l 2 ⇔ e1 // e 2 ⇔ e 1 = λ e 2 ；
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
空间直线的方向向量和平面的法向量 教学设计高二下学期数学湘教版(2019)选择性必修第二册
第二章 空间向量与立体几何2．4 空间向量在立体几何中的应用 2．4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 新课程标准解读核心素养 1.能用向量语言表述直线和平面 数学抽象 2.理解直线的方向向量与平面的法向量 数学抽象 3.会求直线的方向向量与平面的法向量数学运算、直观想象教学设计一、目标展示 二、情境导入如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.问题 (1)怎样借助空间向量来表示空间点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1? (2)设AB ―→＝v ，如果只借助v ，能不能确定直线AB 在空间中的位置？(3)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点和直线的位置？ 三、合作探究知识点一 位置向量在空间中，取一定点O 作为原点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP ―→来表示，OP ―→_称为点P 的位置向量．知识点二 直线的方向向量1．一般地，如果非零向量v 与直线l 平行，就称v 为l 的方向向量．2．已知空间直线l 上一个定点A 以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置．3．一条直线有无穷多个方向向量，这些方向向量是相互平行的；直线l 的方向向量v 也是所有与l 平行的直线的方向向量．知识点三 平面的法向量1．如果非零向量n 所在直线与平面α垂直，则称n 为平面α的法向量．2．给定一点A 和一个向量n ，那么，过点A ，且以向量n 为法向量的平面是完全确定的． 3．一个平面的法向量有无穷多个．由于垂直于同一平面的直线是平行的，因而一个平面的所有法向量互相平行．四、精讲点拨【例1】 已知点A (2，4，0)，B (1，3，3)，如图，以AB ―→的方向为正向，在直线AB 上建立一条数轴，P ，Q 为轴上的两点，且分别满足条件：①AP ∶PB ＝1∶2； ②AQ ∶QB ＝2∶1. 求点P 和点Q 的坐标．【例2】 (1)已知直线l 的一个方向向量m ＝(2，－1，3)，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z ＝( )A ．0B ．1 C.32D ．3(2)在如图所示的坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，棱长为1，则直线DD 1的一个方向向量为________，直线BC 1的一个方向向量为________．【例3】 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，G ，E ，F 分别为AA 1，AB ，BC 的中点，求平面GEF 的一个法向量．五、达标检测1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)2．若n ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1)六、课堂小结1.确定空间中点的位置；2.直线的方向向量；3.求平面的法向量.。
2022年精品 《直线的方向向量与平面的法向量》教学优秀教案
直线的方向向量与平面的法向量
学习目标：
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；
2．会用待定系数法求平面的法向量。
学习重点：直线的方向向量和平面的法向量
学习难点：求平面的法向量
学习过程
一、创设情景
1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；
2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？
二、建构数学
1、直线的方向向量
我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量。
2、平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称这个向量垂直于平面α，记作，如果，那么向量叫做平面α的法向量。
三、数学运用
1、在正方体中，求证：是平面的法向量。
证：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如下图空间坐标系。
，，，
，所以。
同理。
所以平面。
从而是平面的法向量。
2 解：由题意可得，
，即，
化简得。
3、课堂练习
点是平行四边形所在平面外一点，如果，，。
〔1〕求证：是平面的法向量；
〔2〕求平行四边形的面积。
〔1〕证明：∵，
，
∴，，又，平面，
∴是平面的法向量；
〔2〕，，
∴，
∴，
∴，
∴。
四、回忆总结
1、直线的方向向量与平面法向量的概念；
2、求平面法向量的方法。
五、布置作业。