第二章1工程流体力学[1]
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工程流体力学 第二章
( x , y , z , t ) t
只反映 在空间点（x,y,z) 处的时间变化特性 （即不同时刻经过该空间点的流体质点具有不 同的 ），不代表同一质点物理量的变化，所 以不是质点导数。
30
2.2.4 质点导数
( x , y , z , t ) t
反映了物理量在空间点（x,y,z)处的时间变化 特性，故可用来判定流场是否是稳态流场， 若是稳态的，则
或以速度分量表示为： dx vx v x ( a, b, c, t ) dt dy vy v y ( a, b, c, t ) dt dz vz v z ( a, b, c, t ) dt
16
2.2.1 拉格朗日法
一般地，流体任意运动参数或物理量（无 论矢量或标量）都同样可表示成拉格朗日 变量函数：
(a, b, c, t )
( x, y , z , t )
23
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日
已知欧拉法描述的速度场：u=x,v=-y和 初始条件： x=a,y=b. 求速度和加速度的拉格朗日描述。
24
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日表达式
已知流场速度和压力分布为：
xy v vxi v y j vz k i yj ztk t 1 e At 2 p 2 x y2 z2
的有限空间或微元空间作为研究对象，通过
研究该空间的流体运动及其受力，建立相应动
力学关系。
3
2-1 流场及流动分类
流场的概念 流场所占据的空间。为描述流体在流场内各 点的运动状态，将流体的运动参数表示为流 场空间坐标（x,y,z)和时间t的函数。
v v( x, y, z, t ) vx i v y j vz k
只反映 在空间点（x,y,z) 处的时间变化特性 （即不同时刻经过该空间点的流体质点具有不 同的 ），不代表同一质点物理量的变化，所 以不是质点导数。
30
2.2.4 质点导数
( x , y , z , t ) t
反映了物理量在空间点（x,y,z)处的时间变化 特性，故可用来判定流场是否是稳态流场， 若是稳态的，则
或以速度分量表示为： dx vx v x ( a, b, c, t ) dt dy vy v y ( a, b, c, t ) dt dz vz v z ( a, b, c, t ) dt
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2.2.1 拉格朗日法
一般地，流体任意运动参数或物理量（无 论矢量或标量）都同样可表示成拉格朗日 变量函数：
(a, b, c, t )
( x, y , z , t )
23
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日
已知欧拉法描述的速度场：u=x,v=-y和 初始条件： x=a,y=b. 求速度和加速度的拉格朗日描述。
24
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日表达式
已知流场速度和压力分布为：
xy v vxi v y j vz k i yj ztk t 1 e At 2 p 2 x y2 z2
的有限空间或微元空间作为研究对象，通过
研究该空间的流体运动及其受力，建立相应动
力学关系。
3
2-1 流场及流动分类
流场的概念 流场所占据的空间。为描述流体在流场内各 点的运动状态，将流体的运动参数表示为流 场空间坐标（x,y,z)和时间t的函数。
v v( x, y, z, t ) vx i v y j vz k
工程流体力学第二章 流体及其物理性质
第五节 流体的粘性
牛顿内摩擦定律：
牛顿在《自然哲学的数学原理》中假设：“流体两部分由于缺乏润滑而引起 的阻力与速度梯度成正比”。
F ' A
U H
dv x dy
xt / y d x d lim lim t t 0 0 dt t t dy
固体：既能承受压力，也能承受拉力与抵抗拉伸变形。 流体：只能承受压力，一般不能承受拉力与抵抗拉伸变形。
第一节
液体和气体的区别：
流体的定义和特征
气体易于压缩；而液体难于压缩； 液体有一定的体积，存在一个自由液面；气体能充满任意形 状的容器，无一定的体积，不存在自由液面。
液体和气体的共同点：
两者均具有易流动性，即在任何微小切应力作用下都会发生 变形或流动，故二者统称为流体。
第二节 流体的连续介质模型
连续介质（continuous medium） 质点连续地充满所占空间的流体或固体。 连续介质模型（continuous medium model） 把流体视为由流体质点没有间隙地充满它所占据的整 个空间的一种连续介质，表征流体状态的宏观物理量（速 度、温度、压强、密度等）都是空间坐标和时间的连续函 数的一种假设模型：
第三节 流体的密度 相对密度 比容
密度：单位体积内流体所具有的质量。
密度表征流体在空间的密集程度。
密度：
m lim V 0 V
kg m 3
对于均质流体：
m ＝ V
1
比体积（比容）：密度的倒数。 v 相对密度：
d＝ f w
式中， f －流体的密度（kg/m3）
第四节 流体的压缩性和膨胀性
流体的膨胀性 当压强一定时，流体温度变化体积改变的性质称为流 体的膨胀性，膨胀性的大小用温度体胀系数来表示。 体胀系数：
工程流体力学-第二章 流体运动基本方程和基本规律
t
•
Vv
0
t
Vi
xi
0（2-11）
➢ 这就是连续方程的微分形式。 ➢ 该方程建立了流场中某点的流动变量之间的
关系。
26 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式 ➢ 而积分形式的连续方程反应的是流场中一个有
限空间的流动变量之间的关系。
➢ 值得注意的是：连续方程的微分形式与积分形 式都是质量守恒定律的等效的表示。它们只是 数学表述方式不同而已，反映的的实质都是 “物质即不能创造也不能消灭”。
•
（2-14）
31 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.4 连续方程的物质导数形式
➢ 考虑微分形式给出的连续方程，
t
•
Vv
0
➢ 应用上述的矢量记号，上式变为，
t
v V•
v •V
0
➢ 此方程中前两项的和就是密度的物质导数。
因此有，
D
Dt
v •V
✓从积分形式的连续方程可以推导出微分形式的
连续方程。
24 9 作业8
作业7
作业6
作业5
§ 2.1.3 连续方程的微分形式
➢ 由于推导时所用的控制体的空间位置固定，所
以积分的极限形式也是固定的。于是对时间求
偏导数可以放到体积分符号里面，
vv
V • dS
t
d
工程流体力学 第1,2章
• 系统研究 古希腊哲学家阿基米德《论浮体》（公元前250年）奠定了 流体静力学的基础
2020年1月10日
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1.535104 (N )
克服摩擦所消耗的功率为：
N T 1.535104 3.77 5.79104(Nm / s) 57.9(kW )
2020年1月10日
■流体FE的S压TO缩气性动中心
在一定的温度下，单位压强增量引起的体积变化率定 义为流体的压缩性系数，其值越大，流体越容易压缩， 反之，不容易压缩。
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第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体 力学成为一门独立学科的基础阶段
• 1586年 斯蒂芬——水静力学原理 • 1612年 伽利略——物体沉浮的基本原理 • 1650年 帕斯卡——“帕斯卡原理” • 1686年 牛顿——牛顿内摩擦定律 • 1738年 伯努利——理想流体的运动方程即伯努利方程 • 1775年 欧拉——理想流体的运动方程即欧拉运动微分方
2020年1月10日
1.1.2 FE流ST体O气连动中续心介质模型
• 连续介质模型 将流体作为由无穷多稠密、没有间隙的流体质点构成的连 续介质，这就是1755年欧拉提出的“连续介质模型”。
• 在连续性假设之下，表征流体状态的宏观物理量如速度、 压强、密度、温度等在空间和时间上都是连续分布的，都 可以作为空间和时间的连续函数。
• 理论 1823年纳维，1845年斯托克斯分别提出粘性流体运动
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克服摩擦所消耗的功率为：
N T 1.535104 3.77 5.79104(Nm / s) 57.9(kW )
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■流体FE的S压TO缩气性动中心
在一定的温度下，单位压强增量引起的体积变化率定 义为流体的压缩性系数，其值越大，流体越容易压缩， 反之，不容易压缩。
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第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体 力学成为一门独立学科的基础阶段
• 1586年 斯蒂芬——水静力学原理 • 1612年 伽利略——物体沉浮的基本原理 • 1650年 帕斯卡——“帕斯卡原理” • 1686年 牛顿——牛顿内摩擦定律 • 1738年 伯努利——理想流体的运动方程即伯努利方程 • 1775年 欧拉——理想流体的运动方程即欧拉运动微分方
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1.1.2 FE流ST体O气连动中续心介质模型
• 连续介质模型 将流体作为由无穷多稠密、没有间隙的流体质点构成的连 续介质，这就是1755年欧拉提出的“连续介质模型”。
• 在连续性假设之下，表征流体状态的宏观物理量如速度、 压强、密度、温度等在空间和时间上都是连续分布的，都 可以作为空间和时间的连续函数。
• 理论 1823年纳维，1845年斯托克斯分别提出粘性流体运动
《工程流体力学》PPT课件
第二章 流体静力学
本章学习要求:
流体静力学主要研究流体平衡时，其内部的压强分布规律 及流体与其他物体间的相互作用力。它以压强为中心，主要 阐述流体静压强的特性、静压强的分布规律、欧拉平衡微分 方程，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，潜体 与浮体的稳定性，并在此基础上解决一些工程实际问题。
无论是静止的流体还是相对静止的流体，流体之间没有相 对运动，因而粘性作用表现不出来，故切应力为零。
• 2.3.3 静止液体中的等压面 • 由于等压面与质量力正交，在静止液体中只有重
力存在，因此，在静止液体中等压面必为水平面。
• 对于不连续的液体或者一个水平面穿过了两种不 同介质连续液体，则位于同一水平面上各点压强 并不一定相同，即水平面不一定是等压面。
2.3 流体静力学的基本方程
2.3.4 绝对压强、相对压强、真空度
(z A (g p A )W ) (z B (g p B )W ) (( (g g ) ) H W g2 1 ) h 1 2 .6 h
2.4 压强单位和测压仪器
2、U形水银测压计
p1=p+ρ1gh1 p2=pa+ρ2gh2 所以 ： p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2
M点的绝对压强为： p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1
具有的压强势能，简称压能（压强水头）。
测压管水头（ z+p/g）：单位重量流体的总势能。
物理意义： 1. 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面 的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压 头减小。
2. 在均质（g=常数）、连通的液体中，水平面（z1 = z2=常数）
必然是等压面（p1 = p2 =常数）。
本章学习要求:
流体静力学主要研究流体平衡时，其内部的压强分布规律 及流体与其他物体间的相互作用力。它以压强为中心，主要 阐述流体静压强的特性、静压强的分布规律、欧拉平衡微分 方程，作用在平面上或曲面上静水总压力的计算方法，潜体 与浮体的稳定性，并在此基础上解决一些工程实际问题。
无论是静止的流体还是相对静止的流体，流体之间没有相 对运动，因而粘性作用表现不出来，故切应力为零。
• 2.3.3 静止液体中的等压面 • 由于等压面与质量力正交，在静止液体中只有重
力存在，因此，在静止液体中等压面必为水平面。
• 对于不连续的液体或者一个水平面穿过了两种不 同介质连续液体，则位于同一水平面上各点压强 并不一定相同，即水平面不一定是等压面。
2.3 流体静力学的基本方程
2.3.4 绝对压强、相对压强、真空度
(z A (g p A )W ) (z B (g p B )W ) (( (g g ) ) H W g2 1 ) h 1 2 .6 h
2.4 压强单位和测压仪器
2、U形水银测压计
p1=p+ρ1gh1 p2=pa+ρ2gh2 所以 ： p+ρ1gh1=pa+ρ2gh2
M点的绝对压强为： p=pa+ρ2gh2-ρ1gh1
具有的压强势能，简称压能（压强水头）。
测压管水头（ z+p/g）：单位重量流体的总势能。
物理意义： 1. 仅受重力作用处于静止状态的流体中，任意点对同一基准面 的单位势能为一常数，即各点测压管水头相等，位头增高，压 头减小。
2. 在均质（g=常数）、连通的液体中，水平面（z1 = z2=常数）
必然是等压面（p1 = p2 =常数）。
《工程流体力学》习题参考答案
闻建龙主编的《工程流体力学》习题参考答案第一章 绪论1-1 物质是按什么原则分为固体和液体两大类的？解：从物质受力和运动的特性将物质分成两大类：不能抵抗切向力，在切向力作用下可以无限的变形（流动），这类物质称为流体。
如空气、水等。
而在同等条件下，固体则产生有限的变形。
因此，可以说：流体不管是液体还是气体，在无论多么小的剪应力（切向）作用下都能发生连续不断的变形。
与此相反，固体的变形与作用的应力成比例，经一段时间变形后将达到平衡，而不会无限增加。
1-2 何谓连续介质假设？引入连续介质模型的目的是什么？在解决流动问题时，应用连续介质模型的条件是什么？解：1753年，欧拉首次采用连续介质作为流体宏观流动模型，即不考虑流体分子的存在，把真实的流体看成是由无限多流体质点组成的稠密而无间隙的连续介质，甚至在流体与固体边壁距离接近零的极限情况也认为如此，这个假设叫流体连续介质假设或稠密性假设。
流体连续性假设是流体力学中第一个根本性假设，将真实流体看成为连续介质，意味着流体的一切宏观物理量，如密度、压力、速度等，都可看成时间和空间位置的连续函数，使我们有可能用数学分析来讨论和解决流体力学问题。
在一些特定情况下，连续介质假设是不成立的，例如：航天器在高空稀薄气体中飞行，超声速气流中激波前后，血液在微血管（1μm ）内的流动。
1-3 底面积为25.1m 的薄板在液面上水平移动（图1-3），其移动速度为s m 16，液层厚度为mm 4，当液体分别为C 020的水和C 020时密度为3856m kg 的原油时，移动平板所需的力各为多大？题1-3图解：20℃ 水：s Pa ⋅⨯=-3101μ20℃，3/856m kg =ρ， 原油：s Pa ⋅⨯='-3102.7μ水： 233/410416101m N u=⨯⨯=⋅=--δμτN A F 65.14=⨯=⋅=τ油： 233/8.2810416102.7m N u=⨯⨯=⋅'=--δμτ N A F 2.435.18.28=⨯=⋅=τ1-4 在相距mm 40=δ的两平行平板间充满动力粘度s Pa ⋅=7.0μ液体（图1-4），液体中有一边长为mm a 60=的正方形薄板以s m u 15=的速度水平移动，由于粘性带动液体运动，假设沿垂直方向速度大小的分布规律是直线。
工程流体力学知识点
（3）边界上可有力的作用和能量的交换，但不能有质量的交换。
4
《工程流体力学》------精品学习资料
f = 1 p ρ
该方程的物理意义：当流体处于平衡状态时，作用在单位质量流体上的质量
力与压力的合力相平衡。 其中： 称为哈密顿算子， i j k ，它本身为一个矢量，同时对
x y z
其右边的量具有求导的作用。
4．静力学基本方程式的适用条件及其意义。
牛顿内摩擦定律中的比例系数 μ 称为流体的动力粘度或粘度，它的大小可以
反映流体粘性的大小，其数值等于单位速度梯度引起的粘性切应力的大小。单位
1
《工程流体力学》------精品学习资料
为 Pa·s，常用单位 mPa·s、泊（P）、厘泊（cP），其换算关系： 1 厘泊(1cP)=1 毫帕斯卡·秒(1mPa.s) 100 厘泊(100cP)=1 泊(1P) 1000 毫帕斯卡·秒(1mPa·s)=1 帕斯卡.秒(1Pa·s)
5．膨胀性
指在压力不变的条件下，流体的体积会随着温度的变化而变化的性质。其大
小用体积膨胀系数 βt 表示，即
βt
=
1 V
dV dt
6．粘性
流体所具有的阻碍流体流动，即阻碍流体质点间相对运动的性质称为粘滞性，
简称粘性。
7．牛顿流体和非牛顿流体
符合牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，否则称为非牛顿流体。
8．动力粘度
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《工程流体力学》知识点
第一章 流体的物理性质
一、学习引导
1．连续介质假设
流体力学的任务是研究流体的宏观运动规律。在流体力学领域里，一般不考
虑流体的微观结构，而是采用一种简化的模型来代替流体的真实微观结构。按照
工程流体力学第二章
pxdydz pnds • sin dz 0
p y dxdz
pnds
•
cos
dz
1 2
dxdydz
g
0
所以：
px pn 0
故
py
pn
1 2
dyg
0
y b
pxdy
o
px pn py pn
pnds
G x a
p y dx
得证
微元体分析法的步骤： 1 取合适的微元体 2 受力分析 3 建立方程
F pcg A ghc A
y D
y C
J cx yA
c
常见几何形状的惯性矩（表2－2）
矩形 圆型
c
l
J cx
1 12
bl 3
b
cR
J cx
1 R4
4
¼圆
xc c yc
xc
yc
4R
3
J cx
(1 4
16
9 2
R4
) 4
例2-5 设矩形闸门的宽为6米，长10米，铰链到低水面的 距离为4米。按图示方式打开该闸门，求所需要的力 R。
z
p0
o
B
z
p0
o
B
R
(a)
pg
2
2r2
R
(b)
pg
2
2(r2
R2)
例2-4 设内装水银的U型管绕过D点的铅垂线等角速度旋 转，求旋转角速度和D点的压强。设水银密度为
13600kg/m3 且不计液面变化带来的影响。
ω
关键：
10cm 5cm
1 写出所有的体积力
20c m
z
12cm 2 根据压力差公式写出压强
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或：
1. 具有多个出入口的控制体
( m iV i) o ut( m iV i) in F
注意:
(1) 控制体的选取
(2) V或2 V代ou表t 流出平均速度矢量 V 或1 V代in 表流入平均速度矢量
(3) 动量方程中的负号是方程本身具有的,
V ou和t V在in 坐标轴上投影式的正负与坐 标系选择有关
(4) 包F 含所有外力(大气压强见例B4.4.1).
适用范围： （1）理想流体、实际流体的不可压缩恒 定流。 （2）选择的两个过水断面应是渐变流过 水断面，而过程可以不是渐变 流。 （3）质量力只有重力 （4）沿程流量不发生变化；
动量矩积分方程
根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩 H 对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力 F
定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿流 线AO段列伯努利方程
v22gA zpv202gz0p0
端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得
p0
p
1 2
pv2
毕托测速管
1 2
v称2 为动压强,p0称为总压强
1 2
v2
p0
p
AB的位置差可忽略 1v2 p vB2 pB
Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5
沿总流的伯努利方程 沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变流截面上按质量流量积分，
V 2
2
gz
p
常数
(沿流束)
上式中V为总流截面上的平均速度，为动能修正因子（通常取 ）1
限制条件：(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流 体(3) 定常流(4) 截面上为缓变流。
对同一点的力矩，即 dd H t d d tVrvdV rF d d tV r v d V V r fd V Sr p n d S
根据雷诺输运方程式（2.3.5）可得控制体的动量矩积分方程
V r tv d V S r v v n d S V r f d V S r p n d S
m 2m 1m
可得一维定常流动动量方程
m (V 2V 1) F
不可压缩流体恒定总流动量方程 或
计算时β可取为1.0。
式中：
——作用于控制体内流体的所有外力矢 量和。该外力包括： （1）作用在该控制体内所有流体质点 的质量力； （2）作用在该控制体面上的所有表面 力（动水压力、切力）； （3）四周边界对水流的总作用力。
(2)基准面选取任意,统一
(3)压强项可取绝对,相对,统 一
(4)计算断面测压管水头时, 可选断面任一点
(5)动能修正系数,一般可取 为1
毕托测速管 已知: 设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U 形管中 液 体密度ρm . 求： 用液位差Δh表示流速v 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体
动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、V 2， 流体密度为ρ.设 由一维平均流动伯努利方程
V 2 12 g1zp 1 V 222 g2zp 2
移项可得
V22 2V 12(g1zp 1)(g2zp 2)
A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
g z1
p1
gz3
2 2
因vB=v,由上式 pB = p.在U形管内列静力学关系式
(m)ghk1 2v2
由(c) , (d)式可得 p0p(ρmρ)gΔh
k 称为毕托管系数。由(e)式可得
v k(m 1) 2gh
文丘利流量计：一维平均流动伯努利方程 已知:文丘利管如图所示 求： 管内流量Q 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体定常流
伯努利方程的水力学意义 1. 沿流线的水头形式
v2 z p H 常数 (沿流线)
2g ρg
v2
速度水头
2g
z
位置水头
p
压强水头 测压管水头Fra bibliotekH总水头
应用条件:
注意点:
(1)恒定(定常) (2)不可压流体 (3)重力场 (4)无其它能量的输入 或输出
(5)总流量沿程不变
(1)所选过流断面为均匀流或 渐变流
2.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用
1. 水流对弯管的作用力
(a)
(b)
(c)
动量方程为
F ( p 1 p a ) n 1 A 1 ( p 2 p a ) n 2 A 2 Q ( v 2 v 1 )
上式中
((A1m//A2g)2)
12 1
μ称为流速系数，流量公式为
QA1 2gh
QV2A2d 42 2
(' 1)2gh
1(d2/d1)4
讨论：当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系仅取决于文丘利管的面积比A1/A2，
且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不影 响应用伯努利方程。
例 一潜艇在海中以16km/H的速度航行,
ddK t ddtVvdVF
由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为
d d tVvdVVfdVSpndS
根据式（2.3.7）可得控制体的动量积分方程
V tvd V Sv v n d SVfd V Sp n d S
对固定控制体的流体动量方程为
CV vdCSv(vn)dA
潜艇的对称轴于海平面平行, 并位于水下 18m处, 海水的密度为1030kg/m3, 潜艇的宽 度为7米, 试求S点处的压力, 若B点的压力
为103.29KN/m2, 求B点处流体的速度
动量方程和动量矩方程及其应用
• 动量定理 • 动量矩定理 • 求解步骤 • 应用举例
动量积分方程
根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外 界作用在该系统上的合力，即
F
v为绝对速度。定常流动时
CSv(vn)dA F
上式表明:作用在固定控制体上的合外力＝ 从控制面上净流出的动量流量
沿流管的定常流动
CS = 流管侧面 + A1 + A2
v(vn)dA
CS
( )v(vn)dA
A2
A1
( )vdm
A2
A1
2 V 2 m 21 V 1 m 1
通常取β1=β2=1 。由一维定常流动连续性方程
p3
g
z2
p2
g
z4
p4
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
p 4 p 5m g h p 3m g h
z4z5 hz3 h
将上两式代入可得
g2z p 2g (z3 h )p 3m g h
整理后可得 由连续性方程
V22 V12 2
(m
1)gh
V2
A1 A2
V1
整理后可得大管的平均速度为 V1 2gh
1. 具有多个出入口的控制体
( m iV i) o ut( m iV i) in F
注意:
(1) 控制体的选取
(2) V或2 V代ou表t 流出平均速度矢量 V 或1 V代in 表流入平均速度矢量
(3) 动量方程中的负号是方程本身具有的,
V ou和t V在in 坐标轴上投影式的正负与坐 标系选择有关
(4) 包F 含所有外力(大气压强见例B4.4.1).
适用范围： （1）理想流体、实际流体的不可压缩恒 定流。 （2）选择的两个过水断面应是渐变流过 水断面，而过程可以不是渐变 流。 （3）质量力只有重力 （4）沿程流量不发生变化；
动量矩积分方程
根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩 H 对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力 F
定常流动条件。 AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿流 线AO段列伯努利方程
v22gA zpv202gz0p0
端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得
p0
p
1 2
pv2
毕托测速管
1 2
v称2 为动压强,p0称为总压强
1 2
v2
p0
p
AB的位置差可忽略 1v2 p vB2 pB
Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5
沿总流的伯努利方程 沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变流截面上按质量流量积分，
V 2
2
gz
p
常数
(沿流束)
上式中V为总流截面上的平均速度，为动能修正因子（通常取 ）1
限制条件：(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流 体(3) 定常流(4) 截面上为缓变流。
对同一点的力矩，即 dd H t d d tVrvdV rF d d tV r v d V V r fd V Sr p n d S
根据雷诺输运方程式（2.3.5）可得控制体的动量矩积分方程
V r tv d V S r v v n d S V r f d V S r p n d S
m 2m 1m
可得一维定常流动动量方程
m (V 2V 1) F
不可压缩流体恒定总流动量方程 或
计算时β可取为1.0。
式中：
——作用于控制体内流体的所有外力矢 量和。该外力包括： （1）作用在该控制体内所有流体质点 的质量力； （2）作用在该控制体面上的所有表面 力（动水压力、切力）； （3）四周边界对水流的总作用力。
(2)基准面选取任意,统一
(3)压强项可取绝对,相对,统 一
(4)计算断面测压管水头时, 可选断面任一点
(5)动能修正系数,一般可取 为1
毕托测速管 已知: 设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U 形管中 液 体密度ρm . 求： 用液位差Δh表示流速v 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体
动条件，截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、V 2， 流体密度为ρ.设 由一维平均流动伯努利方程
V 2 12 g1zp 1 V 222 g2zp 2
移项可得
V22 2V 12(g1zp 1)(g2zp 2)
A1、A2截面上为缓变流，压强分布规律与U 形管内静止流体一样，可得
g z1
p1
gz3
2 2
因vB=v,由上式 pB = p.在U形管内列静力学关系式
(m)ghk1 2v2
由(c) , (d)式可得 p0p(ρmρ)gΔh
k 称为毕托管系数。由(e)式可得
v k(m 1) 2gh
文丘利流量计：一维平均流动伯努利方程 已知:文丘利管如图所示 求： 管内流量Q 解： 设流动符合不可压缩无粘性流体定常流
伯努利方程的水力学意义 1. 沿流线的水头形式
v2 z p H 常数 (沿流线)
2g ρg
v2
速度水头
2g
z
位置水头
p
压强水头 测压管水头Fra bibliotekH总水头
应用条件:
注意点:
(1)恒定(定常) (2)不可压流体 (3)重力场 (4)无其它能量的输入 或输出
(5)总流量沿程不变
(1)所选过流断面为均匀流或 渐变流
2.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用
1. 水流对弯管的作用力
(a)
(b)
(c)
动量方程为
F ( p 1 p a ) n 1 A 1 ( p 2 p a ) n 2 A 2 Q ( v 2 v 1 )
上式中
((A1m//A2g)2)
12 1
μ称为流速系数，流量公式为
QA1 2gh
QV2A2d 42 2
(' 1)2gh
1(d2/d1)4
讨论：当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系仅取决于文丘利管的面积比A1/A2，
且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不影 响应用伯努利方程。
例 一潜艇在海中以16km/H的速度航行,
ddK t ddtVvdVF
由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为
d d tVvdVVfdVSpndS
根据式（2.3.7）可得控制体的动量积分方程
V tvd V Sv v n d SVfd V Sp n d S
对固定控制体的流体动量方程为
CV vdCSv(vn)dA
潜艇的对称轴于海平面平行, 并位于水下 18m处, 海水的密度为1030kg/m3, 潜艇的宽 度为7米, 试求S点处的压力, 若B点的压力
为103.29KN/m2, 求B点处流体的速度
动量方程和动量矩方程及其应用
• 动量定理 • 动量矩定理 • 求解步骤 • 应用举例
动量积分方程
根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外 界作用在该系统上的合力，即
F
v为绝对速度。定常流动时
CSv(vn)dA F
上式表明:作用在固定控制体上的合外力＝ 从控制面上净流出的动量流量
沿流管的定常流动
CS = 流管侧面 + A1 + A2
v(vn)dA
CS
( )v(vn)dA
A2
A1
( )vdm
A2
A1
2 V 2 m 21 V 1 m 1
通常取β1=β2=1 。由一维定常流动连续性方程
p3
g
z2
p2
g
z4
p4
(3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式
p 4 p 5m g h p 3m g h
z4z5 hz3 h
将上两式代入可得
g2z p 2g (z3 h )p 3m g h
整理后可得 由连续性方程
V22 V12 2
(m
1)gh
V2
A1 A2
V1
整理后可得大管的平均速度为 V1 2gh