平面体系自由度和约束
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结构力学第二章-平面体系的几何组成分析
14
2.4 实铰和虚铰
Ⅰ1
Ⅰ A
Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
Ⅰ Ⅰ1
虚铰O O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
15
Ⅰ
A Ⅱ
(a) 两刚片用铰结在一起的 两链杆相连
Ⅰ
A Ⅱ
(b) 两刚片用铰直接相连
图2.9实铰的常见情形
16
才从微小运动看，两根链杆所起的作 用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，此铰可称虚铰。
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
形状可任意替换
7
2. 2 自由度
体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为 该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称 作有2个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。
平面内一刚片
平面内一点 n=2 n=3
x
y
8
2.3 约束
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
2.4 实铰和虚铰
Ⅰ1
Ⅰ A
Ⅱ(参照刚片) (a) 实铰的相对位置固定
Ⅰ Ⅰ1
虚铰O O1
Ⅱ(参照刚片) (b) 虚铰的相对位置变化
图2.8 实铰和虚铰示例
15
Ⅰ
A Ⅱ
(a) 两刚片用铰结在一起的 两链杆相连
Ⅰ
A Ⅱ
(b) 两刚片用铰直接相连
图2.9实铰的常见情形
16
才从微小运动看，两根链杆所起的作 用相当于在链杆交点处的一个铰所起 的约束作用，此铰可称虚铰。
是一个刚片。一根梁、一根链杆或者支承体系的基础也 可看作是一个刚片。
形状可任意替换
7
2. 2 自由度
体系运动时可以独立改变的几何坐标的数目，称为 该体系的自由度。平面上的一个点的自由度为2（或称 作有2个自由度），平面上一个刚片的自由度为3。
平面内一刚片
平面内一点 n=2 n=3
x
y
8
2.3 约束
3
c.几何瞬变体系:不考虑材料的变形，在任何荷载作用下， 几何形状和位置可能产生微小的改变，随之即变成几何不 变体系的体系。
FP
FP
组成几何不变体系的条件：
• 具有必要的约束数； • 约束布置方式合理
4
d.几何常变体系:体系缺少约束或约束布置不恰当，没有确定的几 何形状与空间位置的体系（可发生持续大量的刚体位移）。
第2章 平面体系的几何组成分析
1
本章导读
学习内容： 1.掌握几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系的概念， 2.掌握刚片、自由度、约束、实铰与虚铰的概念； 3.了解平面体系的计算自由度及其计算方法； 4.掌握平面几何不变体系的基本组成规则及其运用； 5.了解体系的几何组成与静力特性之间的关系。
几何组成分析—刚片、自由度、约束的概念(建筑力学)
m2
(2)g
m5
m3 (3)r
(1)h (1)g m6
(2)g (1)h m8
m7
(3)r
m=9，g=6，r=9
(1)h
m9 (3)r
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8
式中： m为刚片数，g为结点数； h为体系内部链杆数； r为支承链杆数 。
图3.8 链杆的约束简图 （a）梁AB有一个约束；（b）梁AB有两个约束； （c）梁AB有三个约束
I B
1根链杆（支杆）相当于1个约束
A II
铰的约束作用
(1) 单铰（连接两个刚片的铰）
1个单铰相当于2个约束，减少2个自由度。
(2) 复铰（连接两个刚片以上的铰）
连接n个刚片的复铰可折算成（n-1）个 单束的概念
刚片、自由度、约束的概念 一、刚片
体系的几何组成分析不考虑材料的应变，任一杆件（或体系中一 几何不变部分）均可看为一个刚体，一个平面刚体称为一个刚片。
注意：链杆和几何不变体系都可看成钢片。
刚片、自由度、约束的概念
二. 自由度：
体系的自由度是指体系运动时， 可以独立改变的几何参数的数目； 即确定体系位置所需要的独立坐标 的数目。
r 为与地基之间加入的支杆数。
刚片、自由度、约束的概念
三、约束
减少自由度的装置称为约束（或联系）。可以减少1个自由度的装 置是1个约束。
杆件与地基之间常用的约束是支杆、固定铰支座和固定支座，称 为外部约束；
杆件之间常用的约束是链杆、铰结和刚结，称为内部约束。
刚片、自由度、约束的概念
链杆（支杆）的约束作用
刚结的约束作用
第二章第二节平面体系的自由度和约束
§2—2 平面体系的自由度和约束
一、刚片：本身几何不变的构件。 二、自由度： 确定一物体或体系的位置所需的独立几何参数的数目， 称为这一物体或体系的运动自由度，简称自由度。
平面内一点自由度为2 (有2个自由度)
y x A x y O x O A y
一个刚片在平面内有3个自由度
y B A'
q
q'
B' x
= 3×11 —3×7 —2×5 —5 =—3
体系具有3个“多余约束”
能否把支杆也看成刚片？
√
例：试计算体系的内部可变度
各杆都 看成1个刚片 M =9 R =2 H =9
V =3M —3R —2H —3
= 3×9 —3×2 —2×9 —3 =0
体系内部可变度=0
把AC、CB分别 看成1个刚片
M =7
链杆数： B=23 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —23 —3 = —2
看成6根杆件 M =6 R =6
H =0
V =3M —3R —2H —3 = 3×6 —3×6 —2×0 —3 = —3 体系具有3个“多余约束”
√
整体看成1个刚片 M =1 R =0 H =0 V =3M —3R —2H —3 = 3×1 —3×0 —2×0 —3 =0 体系没有“多余约束”
×
体系内部 3个“多余约束”没有反映出来
例：试计算图示体系的自由度
结点数： 链杆数：
J=14 B=25
支杆总数： S=3 自由度数： W=2J —B —S = 2×14 —25 —3 =0
例：试计算图示体系的内部可变度
结点数：
J=12
结点数：
J=12
链杆数： B=21 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —21 —3 =0
一、刚片：本身几何不变的构件。 二、自由度： 确定一物体或体系的位置所需的独立几何参数的数目， 称为这一物体或体系的运动自由度，简称自由度。
平面内一点自由度为2 (有2个自由度)
y x A x y O x O A y
一个刚片在平面内有3个自由度
y B A'
q
q'
B' x
= 3×11 —3×7 —2×5 —5 =—3
体系具有3个“多余约束”
能否把支杆也看成刚片？
√
例：试计算体系的内部可变度
各杆都 看成1个刚片 M =9 R =2 H =9
V =3M —3R —2H —3
= 3×9 —3×2 —2×9 —3 =0
体系内部可变度=0
把AC、CB分别 看成1个刚片
M =7
链杆数： B=23 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —23 —3 = —2
看成6根杆件 M =6 R =6
H =0
V =3M —3R —2H —3 = 3×6 —3×6 —2×0 —3 = —3 体系具有3个“多余约束”
√
整体看成1个刚片 M =1 R =0 H =0 V =3M —3R —2H —3 = 3×1 —3×0 —2×0 —3 =0 体系没有“多余约束”
×
体系内部 3个“多余约束”没有反映出来
例：试计算图示体系的自由度
结点数： 链杆数：
J=14 B=25
支杆总数： S=3 自由度数： W=2J —B —S = 2×14 —25 —3 =0
例：试计算图示体系的内部可变度
结点数：
J=12
结点数：
J=12
链杆数： B=21 体系的内部可变度： V= 2J —B —3 = 2×12 —21 —3 =0
2.3 平面体系的计算自由度
图a是内部没有多余约束的 是内部没有多余约束的 刚片，而图b、 、 则是内 刚片，而图 、c、d则是内 部分别有1、 、 个多余约 部分别有 、2、3个多余约 a) 束的刚片， 束的刚片，它们可以看作 在图a的刚片内部分别附加 在图 的刚片内部分别附加 了一根链杆或一个铰结或 c) 一个刚结。 一个刚结。
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b)
d)
在应用公式时，应注意以下几点： 在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（ 刚片与刚片之间的刚结或铰结数目 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和 。 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入 和h。
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入 和h， 刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和 ， 刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入 。
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【例2-1】试求图示体系的计算自由度 。 】试求图示体系的计算自由度W。
2.3 平面体系的计算自由度
与计算自由度W的定义 一、体系的实际自由度S与计算自由度 的定义 体系的实际自由度 与计算自由度 1、体系的实际自由度S 、体系的实际自由度 令体系的实际自由度为S，各对象的自由度总和为 ， 令体系的实际自由度为 ，各对象的自由度总和为a， 必要约束数为c， 必要约束数为c，则
所示体系的计算自由度。 【例2-2】试求图 】试求图2-11所示体系的计算自由度。 所示体系的计算自由度
m1 (1)g (1)h m2 (2)g m3 (3)r m5 m7 (3)r m4 (1)h (1)g m6 (2)g (1)h m8 m9 (3)r (1)h
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b)
d)
在应用公式时，应注意以下几点： 在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（ 刚片与刚片之间的刚结或铰结数目 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和 。 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入 和h。
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入 和h， 刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和 ， 刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入 。
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【例2-1】试求图示体系的计算自由度 。 】试求图示体系的计算自由度W。
2.3 平面体系的计算自由度
与计算自由度W的定义 一、体系的实际自由度S与计算自由度 的定义 体系的实际自由度 与计算自由度 1、体系的实际自由度S 、体系的实际自由度 令体系的实际自由度为S，各对象的自由度总和为 ， 令体系的实际自由度为 ，各对象的自由度总和为a， 必要约束数为c， 必要约束数为c，则
所示体系的计算自由度。 【例2-2】试求图 】试求图2-11所示体系的计算自由度。 所示体系的计算自由度
m1 (1)g (1)h m2 (2)g m3 (3)r m5 m7 (3)r m4 (1)h (1)g m6 (2)g (1)h m8 m9 (3)r (1)h
2-2平面体系的计算自由度
§2 体系计算自由度
一、体系计算自由度公式
根据自由度和约束的概念，一个体系的计 算自由度在数值上等于组成体系的刚片或点具 有的总自由度与体系总约束的差。
计算自由度=组成体系的刚片或点具有的 总自由度-体系总约束数
yluo@
§2 体系计算自由度
一、体系计算自由度公式
1.一般体系的计算自由度公式
⑴ W>0,表明体系缺少足够的约束， 因此是几何可变的。
W=1
yluo@
W=1
§2 体系计算自由度
三、计算自由度与体系可变性
计算自由度W可用于判断体系所具有 的约束在数量上是否足够维持体系为几何 不变。
⑵ W=0,表明体系具有成为几何不变 所必需的最少约束数目。
几何 不变
yluo@
§2 体系计算自由度
例题2.7 试求图示体系的计算自由度。
体系为一般体系 刚片＋约束
刚片数 m=7 单铰数 h=9 支座约束数 r=3 yluo@
W 3m (2h r )
3 7 (2 9 3) 0
§2 体系计算自由度
例题2.8 试求图示体系的计算自由度。 比较
例题2.5 试求图示体系的计算自由度。
把体系视为一般体系 刚片＋约束
刚片数 m=17 单铰数 h=24 支座约束数 r=3 yluo@W 3m Fra bibliotek(2h r )
3 17 (2 24 3) 0
§2 体系计算自由度
例题2.5 试求图示体系的计算自由度。
按铰接链杆体系计算 点＋约束
若不考虑体系与地基之间的支承关系， 而只研究体系自身的几何不变性时：
•W>3,表明体系缺少足够的约束，因此 是几何可变的。 •W=3,表明体系具有成为几何不变所必 需的最少约束数目。 •W<3,表明体系具有成为几何不变所必 需的约束外，尚有多余联系。
建筑工程技术 教材 平面体系的自由度和约束
由此可见，两根链杆的约束作用相当于一个单 铰，不过，这个铰的位置是在链杆轴线的延长线 上，且其位置随链杆的转动而变化，该铰与一般 的铰不同，称为虚铰。
第三页，共六页。
平面体系的几何组成分析
三、虚铰
当连接两个刚片的两根链杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链 杆方向的无穷远处。
连接两个刚片的两根链杆相交，那么是虚铰的另一种形式 。
第四页，共六页。
平面体系的几何组成分析
四、多余约束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而 减少，那么此约束称为多余约束。
分清必要约束和非必要约束。
第五页，共六页。
内容总结
但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说它相当于一个约束。单 铰是连接两个刚片的铰。平面体系的几何组成分析。复铰是连接三个或三个以上刚片的铰。两刚片用 两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚 片Ⅰ的运动情况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。当连接两个刚片的两根链 杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链杆方向的无穷远处
连接n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，也就相当于2n-1个约束。
４刚性连接 一个刚性连接相当于三个约束。
第二页，共六页。
平面体系的几何组成分析
三、虚铰 两刚片用两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么 刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚片Ⅰ的运动情 况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。
第六页，共六页。
平面体系的几何组成分析
二、约束 但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说 它相当于一个约束。
１链杆
链杆是两端以铰与别的物体相连的刚性杆。 一根链杆相当于一个约束。
第三页，共六页。
平面体系的几何组成分析
三、虚铰
当连接两个刚片的两根链杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链 杆方向的无穷远处。
连接两个刚片的两根链杆相交，那么是虚铰的另一种形式 。
第四页，共六页。
平面体系的几何组成分析
四、多余约束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而 减少，那么此约束称为多余约束。
分清必要约束和非必要约束。
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内容总结
但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说它相当于一个约束。单 铰是连接两个刚片的铰。平面体系的几何组成分析。复铰是连接三个或三个以上刚片的铰。两刚片用 两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚 片Ⅰ的运动情况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。当连接两个刚片的两根链 杆平行时，那么认为虚铰位置在沿链杆方向的无穷远处
连接n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，也就相当于2n-1个约束。
４刚性连接 一个刚性连接相当于三个约束。
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平面体系的几何组成分析
三、虚铰 两刚片用两根不共线的链杆连接，假设刚片Ⅱ固定不动，那么 刚片Ⅰ会绕两根链杆轴线的交点Ｏ转动，这时刚片Ⅰ的运动情 况与刚片Ⅰ在Ｏ点用铰与刚片Ⅱ相连时的运动情况完全相同。
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平面体系的几何组成分析
二、约束 但凡能够减少体系自由度的装置都可称为约束。能减少一个自由度，就说 它相当于一个约束。
１链杆
链杆是两端以铰与别的物体相连的刚性杆。 一根链杆相当于一个约束。
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 平面体系的机动分析【圣才出品】
相当于三刚片规则。同理，两刚片规则中链杆仍然可以看作一个刚片。因此三个基本组成
规则实质上只是同一个规则。
5．何谓瞬变体系？为什么土木工程中要避免采用瞬变和接近瞬变的体系？ 答：（1）瞬变体系的定义 瞬变体系是指经微小位移后由几何可变转化为几何不变的体系，瞬变体系是一种几何 可变体系。 （2）在土木工程的实际中，由于材料变形，瞬变体系一经受力即偏离原有位置，而 内力通常也很大，甚至可能导致体系的破坏。同时，瞬变体系的位移只是理论上为无穷小， 实际上在很小的荷载作用下也会产生很大的位移。因此，土木工程中要பைடு நூலகம்免采用瞬变和接
二、平面体系的计算自由度 ★★★★★ 1．自由度和约束（见表 2-1-2）
表 2-1-2 自由度和约束
2．平面体系的计算自由度（见表 2-1-3） 表 2-1-3 平面体系的计算自由度
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三、几何不变体系的基本组成规则（见表 2-1-4） ★★★★★ 表 2-1-4 几何不变体系的基本组成规则
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近瞬变的体系，以保证结构的安全和正常使用。
6．试小结机动分析的一般步骤和技巧。 答：（1）机动分析的一般步骤 ①一般先考察体系的计算自由度。如果 W＞0，已表明体系是几何可变的；如果 W≤0，进一步做组成分析。 ②运用几何组成的基本规则做几何组成分析。 （2）机动分析的一般技巧 ①对于较复杂的体系，宜先把能直接观察出的几何不变部分当作刚片。 ②以地基或刚片为基础按二元体或两刚片规则逐步扩大刚片范围。 ③拆除二元体使体系的组成简化，以便进一步用基本的组成规则去分析它们。
肖梅玲-工程力学-工程力学第10章
大限度简化后，再应用三角形规则分析。
超静定结构可通过合理地减少多余约束使其
变成静定结构。
正确区分静定、超静定，正确判定超静定结
构的多余约束数十分重要。
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。
3 结论与讨论
其它分析方法： 1. 速度图法：参见《结构力学》，河海大 学结构力学教研室编，水利 水电出版社出版，1983年 2. 计算机分析：参见《程序结构力学》， 袁驷编著，高等教育出版社出版 3. 零载法：
另一种解法
6个铰结点
按铰结计算
12根单链杆
有几个单铰？
W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
讨论
W=3 ×9-(2×12+3)=0
体系W 等于多少？ 可变吗？
3
2
2
1
1
3
除去约束后，体系的自由度将增 加，这类约束称为必要约束。
因为除去图中任意一根杆，体系都将有一个自由度，所以图中所有的杆都是必要的约束。
静定结构
F
FB
FAy
FAx
无多余 联系几何 不变。
如何求支 座反力?
F
FB
FAy
FAx
FC
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
能否求全 部反力?
体系
几何不变体系
几何可变体系
有多余联系
无多余联系
常变
瞬变
可作为结构
静定结构
超静定结构
不可作结构
小结
分析示例
C
B
A
找虚铰 无多几何不变
无多几何不变
D
E
一根链杆 为 一个联系
联系（约束）--减少自由度的装置。
平面刚体——刚片
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平面体系自由度和约束
自由度：所谓体系的自由度，是指该体系运动时，用来确定其位置所需的独立坐标（或参变量）的个数。
如果一个体系的自由度大于零，则该体系就是几何可变体系。
（1）点的自由度：平面内一动点A，其位置需用两个坐标x和y来确定，所以一个点在平面内有两个自由度。
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（2）刚片的自由度：一个刚片在平面内运动时，其位置将由其上任一点A的坐标x、y 和过点A的任一直线AB的倾角φ来确定，因此，一个刚片在平面内有三个自由度。
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约束：约束是指能够减少自由度的装置（又称联系）。
减少一个自由度的装置，就称为一个约束（或联系）。
约束有两大类：支座约束和刚片间的约束。
1. 支座约束
（1）滚轴支座：能限制刚片A点在垂直方向移动，但不能限制其水平方向移动和绕A 点的转动，减少了一个自由度，相当于一个约束。
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（2）铰支座：能限制刚片A点在水平方向和竖直方向移动，但不能限制其绕A点的转动，减少了两个自由度，相当于两个约束。
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（3）固定支座：能限制刚片在水平、竖直方向的移动和转动，使刚片的自由度减少为零，相当于三个约束。
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2. 刚片间的联结约束
（1）单铰约束：联结两个刚片的铰称为单铰。
两刚片在平面内独立的自由度个数为六个，用一个铰将刚片Ⅰ、Ⅱ联结起来，对刚片Ⅰ而言，其位置可由A点的坐标x、y和AB 线的倾角φ1来确定，因此其有三个自由度，刚片Ⅱ相对刚片Ⅰ只能绕A点转动，即两刚片间只保留了相对转角φ2，则由刚片Ⅰ、Ⅱ所组成的体系在平面内有四个自由度，则一个单铰约束减少了二个自由度。
一个单铰相当于两个约束。
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（2）复铰约束：用一个铰同时联结三个或三个以上的刚片，则这种铰称为复铰。
设其中一刚片可沿x、y向移动和绕某点转动，则其余两刚片都只能绕其转动，因此各减少两个自由度。
象这种联结三刚片的复铰相当于两个单铰的作用，由此可见，联结n个刚片的复铰，相当于（n－1）个单铰的作用。
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