甘肃省兰州市2013年中考数学真题试题(扫描版,无答案)
2023年甘肃兰州中考数学试题及答案
2023年甘肃兰州中考数学试题及答案注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.－5的相反数是()A.15-B.15C.5D.-52.如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD ∠=（）A.40︒B.50︒C.55︒D.60︒3.计算：255a aa -=-（）A.5a - B.5a + C.5 D.a4.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1∠=（）A.45︒B.60︒C.110︒D.135︒5.方程213x =+的解是（）A.1x =B.=1x - C.5x = D.5x =-6.如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，则»=AB （）A.20cm πB.10cmπ C.5cmπ D.2cmπ7.已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（）A.对称轴为2x =-B.顶点坐标为()2,3 C.函数的最大值是－3 D.函数的最小值是－38.关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（）A .－2B.2C.－4D.49.2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=⨯年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（）A.2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B.2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C.相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D.相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低10.我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（）A.35︒B.30︒C.25︒D.20︒11.一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（）A.2B.1C.－1D.－212.如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（）A.2B.2.5C.3D. 3.5二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.因式分解：2225x y -=______．14.如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．15.如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．16.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300面朝上频率下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．18.计算：()()()2234x y x y y y +---．19.解不等式组：312(1)223x x x x ->+⎧⎪+⎨>-⎪⎩．20.如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．21.综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）22.如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos 530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）23.一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．24.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．25.某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ．10x <；B ．1015x ≤<；C ．1520x ≤<；D ．2025x ≤<；E ．2530x ≤<；F ．30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ．2025x ≤<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤<7.68.4y ≤<8.49.2y ≤<9.2y≤人数2m 10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．26.如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）判断DGB 的形状，并说明理由；（3）当2BD =时，求FG 的长．27.在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B ，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G -，30,3T ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ⊥轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，5=OC P 是ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．28.综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，GD DF ⊥，AG DG ⊥，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ⊥交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．2023年兰州市初中学业水平考试数学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】A【11题答案】【答案】D【12题答案】【答案】C二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）【13题答案】【答案】()()55x y x y +-【14题答案】【答案】50【15题答案】【答案】3【16题答案】【答案】①③三、解答题（本大题共12小题，共72分）【17题答案】【答案】【18题答案】【答案】23x y-【19题答案】【答案】34x <<【20题答案】【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=-；一次函数的表达式为22y x =-+；（2）142BC =．【21题答案】【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【22题答案】【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【23题答案】【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++；（2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长为(1m +．【24题答案】【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析（2）433EG =．【25题答案】【答案】（1）11（2）②③（3）75人【26题答案】【答案】（1）见解析（2）DGB 是等腰三角形，理由见解析（3）4FG =【27题答案】【答案】（1）()3,0P（2）2（3）11b -≤≤【28题答案】【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF =+；（3）MC =，证明见解析；。
(精品中考卷)甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)
2022年甘肃省兰州市中考数学真题一、选择题1. 的结果是（ ）A. ±2B. 2C.D.【答案】B 【解析】表示4的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．【详解】4的算术平方根是2=2， 故选B ．【点睛】本题考查算术平方根的定义，比较基础，正确把握算术平方根的定义是解题的关键．2. 如图，直线a b ∥，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A ，B ，AC b ⊥，垂足为C ．若152∠=︒，则2∠=（ ）A. 52°B. 45°C. 38°D. 26°【答案】C 【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠ABC =52°，根据垂直定义可得∠ACB =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答． 【详解】解：∵a ∥b ， ∴∠1=∠ABC =52°， ∵AC ⊥b ， ∴∠ACB =90°， ∴∠2=90°-∠ABC =38°， 故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 3. 下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥运会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形．详解】解：A ．不能沿一条直线折叠完全重合； B ．不能沿一条直线折叠完全重合； C ．不能沿一条直线折叠完全重合； D ．能够沿一条直线折叠完全重合； 故选：D ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，关键在于熟练掌握轴对称图形的概念，并对选项作出正确判断．4. 计算：()22x y +=（ ） A. 2244x xy y ++B. 2224x xy y ++C. 2242x xy y ++D.224x x +【答案】A 【解析】【分析】根据完全平方公式展开即可． 【详解】解：原式=2244x xy y ++ 故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．5. 如图，ABC 内接于O ，CD 是O 的直径，40ACD ∠=︒，则B ∠=（ ）【A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°【答案】C 【解析】【分析】由CD 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD ＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD 与∠D 互余，即可求得∠D 的度数，继而求得∠B 的度数．【详解】解：∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠CAD ＝90°， ∴∠ACD +∠D ＝90°， ∵∠ACD ＝40°， ∴∠ADC ＝∠B ＝50°． 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，注意掌握数形结合思想是解题的关键．6. 若一次函数21y x =+的图象经过点()13,y -，()24,y ，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A. 12y y <B. 12y y >C. 12y y ≤D.12y y ≥【答案】A 【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3＜4即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数y =2x +1中，k =2＞0， ∴y 随着x 的增大而增大．∵点（-3，y 1）和（4，y 2）是一次函数y =2x +1图象上的两个点，-3＜4， ∴y 1＜y 2． 故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象的增减性是解答此题的关键．7. 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个相等的实数根，则k =（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】B 【解析】【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b 2−4ac ＝0，据此可列出关于k 的等量关系式，即可求得k 的值． 【详解】∵原方程有两个相等的实数根， ∴△＝b 2−4ac ＝4−4×（−k ）＝0，且k ≠0； 解得1k =-． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 8. 已知ABC DEF ∽△△，12AB DE =，若2BC =，则EF =（ ） A. 4 B. 6C. 8D. 16【答案】A 【解析】【分析】根据相似三角形的性质得到AB BCDE EF=，代入求解即可． 【详解】解：∵ABC DEF ∽△△， ∴12AB BC DE EF ==，即212EF =， 解得4EF =． 故选：A ．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．9. 无色酚酞溶液是一中常见常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式求解即可．【详解】解：∵酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色， ∵总共有5种溶液，其中碱性溶液有2种，∴将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色概率是：25． 故选：B ．【点睛】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法． 10. 如图，菱形ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接OE ，60ABC ∠=︒，BD =，则OE =（ ）A. 4B.C. 2【答案】C 【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB AD DC BC ===，AC BD ⊥，再由AOD △直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出12OE AD =．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出4=AD ，进而求出2OE =．【详解】ABCD 是菱形，E 为AD 的中点，AB AD DC BC ∴===，AC BD ⊥．∴AOD △是直角三角形，12OE AD =． 60ABC ∠=︒，BD =，113022ADO ADC ABC ∴∠=∠=∠=︒，1122OD BD ==⨯=22214AD AD OD -= ，即23124AD =， 4AD ∴=，114222OE AD ==⨯=．故选：C ．【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出的的12OE AD =并求得4=AD ．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质．11. 已知二次函数2245y x x =-+，当函数值y 随x 值的增大而增大时，x 的取值范围是（ ） A. 1x < B. 1x > C. 2x < D. 2x >【答案】B 【解析】【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断． 【详解】解：∵()22245213y x x x =-+=-+ ∵开口向上，对称轴为x =1，∴x ＞1时，函数值y 随x 的增大而增大． 故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．12. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O 为圆心，OA ，OB 长分别为半径，圆心角120O ∠=︒形成的扇面，若3m OA =， 1.5m OB =，则阴影部分的面积为（ ）A. 24.25m πB. 23.25m πC. 23m πD.22.25m π【答案】D 【解析】【分析】根据S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC 求解即可． 【详解】解：S 阴影=S 扇形AOD -S 扇形BOC=22120120360360OA OB ππ⋅⋅-=()22120360OA OB π-=()223 1.53π-=2.25π（m 2） 故选：D ．【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．二、填空题13. 因式分解：216a -=___________． 【答案】(4)(4)a a +- 【解析】【分析】利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式224a =-，(4)(4)a a =+-，故答案为：(4)(4)a a +-．【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 14. 如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是______．【答案】()4,1- 【解析】【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标； 【详解】解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系， ∴黄河母亲像的坐标是 ()4,1-． 故答案为：()4,1-．【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征是解题的关键．15. 如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在BC 边上，将CDE △沿DE 翻折得到FDE V ，点F 落在AE 上．若3cm CE =，2AF EF =，则AB =______cm ．【答案】 【解析】【分析】由将△CDE 沿DE 翻折得到△FDE ，点F 落在AE 上，可得EF =CE =3cm ，CD =DF ，∠DEC =∠DEF ，由矩形的性质得∠DFE =∠C =90°=∠DFA ，从而得AF =6cm ，AD =AE =9cm ，进而由勾股定理既可以求解。
2023年甘肃省兰州市中考数学真题(含解析)
2023年甘肃省兰州市中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．40︒B ．50︒3．计算：255a aa -=-（ ）A ．5a -B ．5a +A ．45︒B ．60︒C ．1105．方程213x =+的解是（ ）A ．1x =B ．=1x -C ．x 6．如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图220cm OA =，圆心角90AOB ∠=︒，则»=AB （ ）A ．20cm πB ．10cmπ7．已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为是－38．关于x 的一元二次方程2x bx c ++=A ．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B ．2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C ．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了D ．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低10．我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（ ）A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒11．一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ）A ．2B ．1C ．－1D ．－212．如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5二、填空题13．因式分解：2225x y -=______．14．如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．15．如图，将面积为7的正方形针旋转，使OA，OD落在数轴上，______．16．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛(1)求反比例函数kyx=与一次函数(2)当1OD=时，求线段BC的长．21．综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）22．如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）23．一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．24．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．(1)判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；(2)当4CD =时，求EG 的长．25．某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x ≤<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤<人数2m 10(1)求证：BF 是O 的切线；(2)判断DGB 的形状，并说明理由；(3)当2BD =时，求FG 的长．27．在平面直角坐标系中，给出如下定义的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点例如：如图1，已知点()1,2A ，(3,2B 轴的“伴随点”．P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．28．综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，GD DF ⊥，AG DG ⊥，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ⊥交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．参考答案：9．D【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，正确，本选项不符合题意；B 、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，正确，本选项不符合题意；C 、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，正确，本选项不符合题意；D 、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法错误，本选项不符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10．A【分析】证明35NMO MNO ∠=∠=︒，可得23570AOB ∠=⨯︒=︒，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC ∠=∠=︒．【详解】解：∵35MNO ∠=︒，MO NO =，∴35NMO MNO ∠=∠=︒，∴23570AOB ∠=⨯︒=︒，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC ∠=∠=︒，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11．D【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小∴0k <∴当2x =时，211y k =-<-【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22．“龙”字雕塑CD的高度为△和【分析】在Rt ABC△【详解】解：在Rt ABC∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，∴DB DF =，∴224FG DG DB ===．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27．(1)()3,0P (2)2(3)11b -≤≤【分析】（1）过点P 作PQ EF ⊥于点Q ，根据新定义得出2PQ =，根据已知得出30TGO ∠=︒，则24GP PQ ==，即可求解；（2）当P 到x 轴的距离最小时，点P 在线段BC 上，设ABC 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随∵()1,0A ，()3,0B ，则2AB =，点P ∴2PQ =，∵()1,0G -，30,3T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴313OG TO ==，，则C 的纵坐标为a ，即CH =∵ABC 是等边三角形，且BC ∴BD DC =12a =，∴1,2C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵5=OC ，∵()1,0A ，()2,0B ，()2,1C ∴1AB =，22AC AB ==，∵()1,0A ，()2,1C 设直线AC 的解析式为y mx =∠=∠，∵BEH AEC。
2023年甘肃省兰州市中考数学真题
A ．40︒B ．50︒3．计算：255a aa -=-（）A ．5a -B ．5a +A ．45︒B ．60︒C ．1105．方程213x =+的解是（）A ．1x =B ．=1x -C ．x 6．如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2A ．20cm πB ．10cmπ7．已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为是－38．关于x 的一元二次方程2x bx c ++=A ．－2B ．29．2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度202220212021-=⨯年当月销量年当月销量年当月销量的是（）A ．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B ．2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C ．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了D ．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低10．我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M ，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=︒，则AOC ∠=（）A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒11．一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（）A ．2B ．1C ．－1D ．－212．如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．因式分解：2225x y -=______．14．如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=︒，则BAE ∠=______︒．16．某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛50100掷次数盖面朝2854上次数盖面0.56000.5400朝上频率下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是③随着实验次数的增大，其中正确的是______．（填序号）(1)求反比例函数kyx=与一次函数(2)当1OD=时，求线段BC21．综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图请写出OE平分AOB∠的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE不一定必须是等边三角形，只需可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图OA，OB上分别取OM ON=，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）22．如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）23．一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．24．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．(1)判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；(2)当4CD =时，求EG 的长．25．某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ．10x <；B ．1015x ≤<；C ．1520x ≤<；D ．2025x ≤<；E ．2530x ≤<；F ．30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ．2025x ≤<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：的切线；(1)求证：BF是O的形状，并说明理由；(2)判断DGB(3)当2BD=时，求FG的长．27．在平面直角坐标系中，给出如下定义：的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点【详解】解：A 、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，正确，本选项不符合题意；B 、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，正确，本选项不符合题意；C 、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，正确，本选项不符合题意；D 、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法错误，本选项不符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10．A【分析】证明35NMO MNO ∠=∠=︒，可得23570AOB ∠=⨯︒=︒，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC ∠=∠=︒．【详解】解：∵35MNO ∠=︒，MO NO =，∴35NMO MNO ∠=∠=︒，∴23570AOB ∠=⨯︒=︒，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC ∠=∠=︒，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11．D【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小∴0k <∴当2x =时，211y k =-<-故选：D【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．12．C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22．“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【分析】在Rt ABC △和Rt △ABD 中，分别求得BC 【详解】解：在Rt ABC △中，18m AB =，BAC ∠∴()tan 380.781814.04m BC AB =︒≈⨯=，在Rt △ABD 中，18m AB =，53BAD ∠=︒，∴()tan 53 1.331823.94m BD AB =︒≈⨯=，∴()23.9414.049.9m CD BD BC =-=-=,答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，∵2BOD F ∠=∠，∴F BAC ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90AEG ∠=︒，∵AGE FGB∠=∠∴90FBG AEG ∠=∠=︒，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径，∴BF 是O 的切线；（2）∵ BCBD =，AB 是O 的直径，∴ AD AC =，BC AC ⊥，∴ABD ABC ∠=∠，∵DE AC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥，∴AGE ABC ∠=∠，又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，（3）∵FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=︒-，∴DB DF =，∴224FG DG DB ===．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27．(1)()3,0P (2)2(3)11b -≤≤【分析】（1）过点P 作PQ EF ⊥于点Q ，根据新定义得出2PQ =，根据已知得出30TGO ∠=︒，则24GP PQ ==，即可求解；∵()1,0A ，()3,0B ，则2AB =，点∴2PQ =，∵()1,0G -，30,3T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴313OG TO ==，，∵333tan 13TGO ∠==，∴30TGO ∠=︒，∴24GP PQ ==，∴()3,0P ；（2）解：当P 到x 轴的距离最小时，∴点P 在线段BC 上，设ABC 的边长为a ，以C 为圆心a 此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点则C 的纵坐标为a ，即CH =∵ABC 是等边三角形，且∴BD DC =12a =，∴1,2C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵5=OC ，∴22152a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：2a =或2-（舍去）∴等边三角形ABC 的边长为（3）解：如图所示，当四边形∵()1,0A ，()2,0B ，()2,1C ∴1AB =，22AC AB ==，∵()1,0A ，()2,1C。
2023年甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)
2023年兰州市初中学业水平考试数 学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. －5的相反数是( )A. 15- B. 15 C. 5 D. -5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可．【详解】-5的相反数是5．故选C ．【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键．2. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD Ð=（ ）A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°【答案】B【解析】【分析】利用对顶角相等得到BOD AOC Ð=Ð，即可求解．【详解】解：读取量角器可知：50AOC Ð=°，∴50BOD AOC Ð=Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．3. 计算：255a a a -=-（ ）A. 5a - B. 5a + C. 5 D. a【答案】D【解析】【分析】分子分解因式，再约分得到结果．【详解】解：255a a a --()55a a a -=-a =，故选：D ．【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1Ð=（ ）A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°【答案】A【解析】【分析】由正八边形的外角和为360°，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为360°，∴3601=458°Ð=°，故选A【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360°是解本题的关键．5. 方程213x =+的解是（ ）A. 1x = B. =1x - C. 5x = D. 5x =-【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x -，经检验=1x -是分式方程的解．故选：B ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB Ð=°，则»=AB （ ）A. 20cmp B. 10cm p C. 5cm p D. 2cmp 【答案】B【解析】【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB Ð=°，∴»902010180AB p p ´==，故选：B ．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．7. 已知二次函数()2323y x =---，下列说法正确的是（ ）A. 对称轴为2x =- B. 顶点坐标为()2,3 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3-∵30-<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y -∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．8. 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c -+=（ ）A. －2B. 2C. －4D. 4【答案】A【解析】【分析】由一元二次方程根的情况可得240b c -=，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根∴240b c D =-=∴()2221242022b c b c -+=--=-=-，故选：A .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021-=´年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题意；B 、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；C 、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，推断合理，本选项不符合题意；D 、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a 和直线外一定点O ，过点O 作直线与a 平行．（1）以O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于点M，的N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO Ð=°，则AOC Ð=（ ）A. 35°B. 30°C. 25°D. 20°【答案】A【解析】【分析】证明35NMO MNO Ð=Ð=°，可得23570AOB Ð=´°=°，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC Ð=Ð=°．【详解】解：∵35MNO Ð=°，MO NO =，∴35NMO MNO Ð=Ð=°，∴23570AOB Ð=´°=°，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC Ð=Ð=°，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11. 一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ）A. 2B. 1C. －1D. －2【答案】D【解析】【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =-，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =-的函数值y 随x 的增大而减小∴0k <∴当2x =时，211y k =-<-故选：D【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF ==，在Rt ABG △中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD 中，∴90ABC BAC Ð=Ð=°，∵F 为CE 的中点，10CE =，∴152BG BF CE ===，在Rt ABG △中，3AG ===，故选：C.【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：2225x y -=______．【答案】()()55x y x y +-【解析】【分析】直接利用平方差分解即可．【详解】解：()()222555x y x y x y -=+-．故答案为：()()55x y x y +-．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．14. 如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ^于点E ，若70C Ð=°，则BAE Ð=______°．【答案】50【解析】【分析】证明70DBC C Ð=Ð=°，18027040BDC Ð=°-´°=°，由AB CD ∥，可得40ABE BDC Ð=Ð=°，结合AE BD ^，可得904050BAE Ð=°-°=°．【详解】解：∵BD CD =，70C Ð=°，∴70DBC C Ð=Ð=°，18027040BDC Ð=°-´°=°，∵ABCD Y ，∴AB CD ∥，∴40ABE BDC Ð=Ð=°，∵AE BD ^，∴904050BAE Ð=°-°=°；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．15. 如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a -=______．【答案】3【解析】【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a ，b 的值，代入计算即可．【详解】∵正方形OABC 的面积为7，正方形ODEF 的面积为9∴OA =3OD ==即a =，3b =∴3b a -=故答案为：3【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872850盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）【答案】①③【解析】【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故正确．故答案为：①③．【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.．【解析】【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝-．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．18. 计算：()()()2234x y x y y y +---．【答案】23x y-【解析】【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．【详解】解：()()()2234x y x y y y +---222=434x y y y --+23x y =-．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19. 解不等式组：312(1)223x x x x ->+ìï+í>-ïî．【答案】34x <<【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可．【详解】解：312(1)223x x x x ->+ìïí+>-ïî①②，由①得：32>21x x -+，解得：>3x ，由②得：2>36x x +-，解得：4x <，∴不等式组的解集为：34x <<．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．20. 如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =-+的图象交于点()1,4A -，BC y ^轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =-+的表达式；（2）当1OD =时，求线段BC 的长．【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=-；一次函数的表达式为22y x =-+； （2）142BC =．【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【小问1详解】解：∵反比例函数()0ky x x=<的图象经过点()1,4A -，∴144k =-´=-，∴反比例函数的表达式为4y x=-；∵一次函数2y x m =-+的图象经过点()1,4A -，∴()421m =-´-+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =-+；小问2详解】解：∵1OD =，【∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =，∵1y =时，14x=-，解得4x =-，则()41B -，，∵1y =时，122x =-+，解得12x =，则112C æöç÷èø，，∴()114422BC =--=．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．21. 综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB Ð的平分线．请写出OE 平分AOB Ð的依据：____________；类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE V 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB Ð的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB Ð的平分线，请说明此做法的理由；拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析；【解析】【分析】（1）先证明()SSS OCE ODE V V ≌，可得AOE BOE Ð=Ð，从而可得答案；（2）先证明()SSS OCM OCN V V ≌，可得AOC BOC Ð=Ð，可得OC 是AOB Ð的角平分线；（3）先作BAC Ð的角平分线，再在角平分线上截取AE AD =即可．【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =，∴()SSS OCE ODE V V ≌，∴AOE BOE Ð=Ð，∴OE 是AOB Ð的角平分线；故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =，∴()SSS OCM OCN V V ≌，∴AOC BOC Ð=Ð，∴OC 是AOB Ð的角平分线；（3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC Ð=°、53BAD Ð=°，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ^．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62°»，cos380.79°»，tan 380.78°»，sin 530.80°»，cos530.60°»，tan 53 1.33°»）【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【解析】【分析】在Rt ABC △和Rt △ABD 中，分别求得BC 和BD 的长，据此求解即可.【详解】解：在Rt ABC △中，18m AB =，38BAC Ð=°，∴()tan 380.781814.04m BC AB =°»´=，在Rt △ABD 中，18m AB =，53BAD Ð=°，∴()tan 53 1.331823.94m BD AB =°»´=，∴()23.9414.049.9m CD BD BC =-=-=,答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23. 一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长．【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m ．【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，利用待定系数法即可求解；（2）令0y =，解方程即可求解．【小问1详解】解：由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，设抛物线的表达式为2y ax bx c =++，∴1210937b a c a b c ì-=ïï=íï++=ïî，解得1210a b c =-ìï=íï=î，∴y 关于x 的函数表达式为2210y x x =-++；【小问2详解】解：令0y =，则22100x x -++=，解得1x =±，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m +．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．24. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由；（2）当4CD =时，求EG 的长．【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析 （2）EG =【解析】【分析】（1）证明COD △和EOD △是等边三角形，即可推出四边形OCDE 是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF 和CF的长，利用菱形的性质得到EF CF ==，在Rt CGF △中，解直角三角形求得GF 的长，据此求解即可．小问1详解】证明：四边形OCDE 是菱形，理由如下，∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴1122OC OD AC BD ===，∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，∴CO CD =，EO ED =，∴CO CD OD ==，即COD △是等边三角形，∴60OCD DCO DOC Ð=Ð=Ð=°，1302OCF DCF OCD Ð=Ð=Ð=°，∵CD OE ∥，∴60EOD EDO CDO Ð=Ð=Ð=°，∴EOD △是等边三角形，∴CO CD EO ED ===，∴四边形OCDE 是菱形；【小问2详解】【解：∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，且30DCF Ð=°，∴122DF CD ==，CF ==，由（1）得四边形OCDE 是菱形，∴EF CF ==，在Rt DGF V 中，9030GDF ODC Ð=°-Ð=°，∴tan 302GF DF =°==，∴EG EF GF =-=．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ． 10x <；B ． 1015x £<；C ． 1520x £<；D ． 2025x £<；E ． 2530x £<；F ． 30x £）．信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x £<这一组的是：20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：分组 6.0y < 6.0 6.8y £< 6.87.6y £<7.68.4y £<8.49.2y £<9.2y£人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1学生2学生3学生4学生5学生6排球垫球262523222215掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n £<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11 （2）②③ （3）75人【解析】【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；（2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；（3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：4021096211m =-----=；【小问2详解】①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为3690%40=，故①不符合题意；②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在6.87.6y £<这一组，∴掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n £<；故②符合题意；③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀，∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀；若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀；的学生1，学生4不可能同时为优秀，∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意；故答案为：②③【小问3详解】排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为103007540´=（人）．【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键．26. 如图，ABC V 内接于O e ，AB 是O e 的直径， BCBD =，DE AC ^于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F Ð=Ð，连接BD ．（1）求证：BF 是O e 的切线；（2）判断DGB V 的形状，并说明理由；（3）当2BD =时，求FG 的长．【答案】（1）见解析 （2）DGB V 是等腰三角形，理由见解析（3）4FG =【解析】【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC Ð=Ð=Ð，根据已知得出F BAC Ð=Ð，根据DEAC ^得出90AEG Ð=°，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG Ð=Ð=°，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC =，则ABD ABC Ð=Ð，证明EF BC ∥，得出AGE ABC Ð=Ð，等量代换得出FGB ABD Ð=Ð，即可得出结论；（3）根据FGB ABD Ð=Ð，AB BF ^，设FGB ABD a Ð=Ð=，则90DBF F a Ð=Ð=°-，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===．【小问1详解】证明：如图所示，连接CO ，∵ BCBD =，∴2BOD BOC BAC Ð=Ð=Ð，∵2BOD F Ð=Ð，∴F BAC Ð=Ð，∵DEAC ^，∴90AEG Ð=°，∵AGE FGB Ð=Ð∴90FBG AEG Ð=Ð=°，即AB BF ^，又AB 是O e 的直径，∴BF 是O e 的切线；【小问2详解】∵ BCBD =，AB 是O e 的直径，∴ AD AC =，BC AC ^，∴ABD ABC Ð=Ð，∵DEAC ^，BC AC ^，∵EF BC ∥，∴AGE ABC Ð=Ð，又AGE FGB Ð=Ð，∴FGB ABD Ð=Ð，∴DGB V 是等腰三角形，【小问3详解】∵FGB ABD Ð=Ð，AB BF ^，设FGB ABD a Ð=Ð=，则90DBF F a Ð=Ð=°-，∴DB DF =，∴224FG DG DB ===．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G -，T æççè两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ^轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，=OC 点P 是ABC V 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．【答案】（1）()3,0P（2）2（3）11b -££或35b ££【解析】【分析】（1）过点P 作PQ EF ^于点Q ，根据新定义得出2PQ =，根据已知得出30TGO Ð=°，则24GP PQ ==，即可求解；（2）当P 到x 轴的距离最小时，点P 在线段BC 上，设ABC V 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C e 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，ABC V 是等边三角形，且BC y ^轴，设BC 交于点D ，则AD BC ^，得出1,2C a a æöç÷èø，根据=OC（3）由正方形的边长为1，即可求出P 到EF ，从而可得P 既在正方形的边上，也在到EF的直线上，当1b £时，EF 向上平移2个单位长度得1l ，分别求出1l 过A 、C 时b 的值；当1b >时，EF 向下平移2个单位长度得1l ，分别求出1l 过A 、C 时b 的值，即可求出b 的取值范围．【小问1详解】解：如图所示，过点P 作PQ EF ^于点Q ，∵()1,0A ，()3,0B ，则2AB =，点P 是直线EF 的“伴随点”时，∴2PQ =，∵()1,0G -，T æççè，∴1OG TO ==，，∵tan TGO Ð==，∴30TGO Ð=°，∴24GP PQ ==，∴()3,0P ；【小问2详解】解：当P 到x 轴距离最小时，∴点P 在线段BC 上，设ABC V 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C e 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，∵ABC V 是等边三角形，且BC y ^轴，设BC 交于点D ，则AD BC ^，∴BD DC =12a =，∴1,2C a a æöç÷èø，∵=OC ∴22152a a æö+=ç÷èø，解得：2a =或2-（舍去），∴等边三角形ABC 的边长为2；【小问3详解】解：由题意知，正方形ABCD 的边长为1，所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为=即正方形ABCD 上始终存在点P ，P 到EF.则EF 向上或者向下平移2个单位长度得到直线1l ∵1l 与EF，的∴P 既在1l 上，又在正方形ABCD 的边上，∴1l 与正方形ABCD 有交点.当1b £时，1l 为2y x b =-++，当1l 过A 时，012b =-++，即1b =-,当1l 过C 时，122b =-++，即1b =;∴11b -££；当1b >时，1l 为2y x b =-+-，当1l 过A 时，012b =-+-，即3b =,当1l 过C 时，122b =-+-，即5b =;∴35b ££；综上，当11b -££或35b ££时，正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =-+的“伴随点”．【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键．28.综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ^于点F ，GD DF ^，AG DG ^，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ^于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ^交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF =+；（3）MC =，证明见解析；【解析】【分析】（1）证明ADG CDF V V ≌，可得AD CD =，从而可得结论；（2）证明四边形DGHF 是矩形，可得90G DFC Ð=°=Ð，同理可得：ADG CDF Ð=Ð，证明ADG CDF V V ≌，DG DF =，AG CF =，证明四边形DGHF 是正方形，可得HG HF =，从而可得结论；（3）如图，连接AC ，证明90AHE ABC Ð=Ð=°，AC AB=，45BAC Ð=°，AHE CBE V V ∽，可得AE HE CE BE=，再证明HEB AEC V V ∽，可得HBE MCA Ð=Ð，证明AHB AMC V V ∽，可得HB AB MC AC ==【详解】解：（1）∵GD DF ^，DF CE ^，AG DG ^，∴90G DFC Ð=Ð=°，90ADG ADF Ð+Ð=°，∵矩形ABCD ，∴90ADC ADF CDF Ð=°=Ð+Ð，∴ADG CDF Ð=Ð，∵AG CF =，∴ADG CDF V V ≌，∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形．（2）∵DF CE ^，AH CE ⊥，GD DF ^，∴90DFH H GDF Ð=Ð=Ð=°，∴四边形DGHF 是矩形，∴90G DFC Ð=°=Ð，同理可得：ADG CDF Ð=Ð，∵正方形ABCD ，∴AD CD =，∴ADG CDF V V ≌，∴DG DF =，AG CF =，∴四边形DGHF 是正方形，∴HG HF =，∴FH HG AH AG AH CF ==+=+．（3）如图，连接AC ，∵AH CE ⊥，正方形ABCD ，∴90AHE ABC Ð=Ð=°，ACAB =，45BAC Ð=°，∵AEH CEB Ð=Ð，∴AHE CBE V V ∽，∴AE HECE BE =，∵BEH AEC Ð=Ð，∴HEB AEC V V ∽，∴HBE MCA Ð=Ð，∵,AH CE AH HM ^=，∴45HAM BAC Ð=°=Ð，∴HAE MAC Ð=Ð，∴AHB AMC V V ∽，∴HB AB MC AC ==。
精品解析：2024年甘肃省兰州市中考一模数学模拟试题(原卷版)
2024年兰州市九年级诊断考试数学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 以下是2023年中国国际汉字文化创意设计大赛中，以“甘肃”“广东”为主题创作的作品，其中轴对称图形是（ ）A. B. C. D.2. 2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F 遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心发射成功．火箭起飞质量约497000千克．数据497000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 3. 如图，已知，，则（ ）A. B. C. D. 4. 因式分解：（ ）A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况为（ ）A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 不能判定6. 实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，下列结论正确的是（ ）A. B.C. D. 60.49710⨯54.9710⨯44.9710⨯449.710⨯12∠=∠3118∠=︒4∠=48︒62︒68︒72︒24a -=()()44a a +-()()42a a +-()()24a a +-()()22a a +-2550x x -+=2a >-0a b +>a b <0b a ->7. 如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张纸（矩形）上剪出一个面积为的等边三角形．某小组分析后，先作了，再算出了的长，然后分别在，上截取了，则的长为（ ）A. B. C. D. 8. 在一定温度范围内，声音在空气中的传播速度v （m/s ）可看作是温度t （℃）的一次函数，根据下表数据，则v 与t 的函数表达式为（ ）温度…0102030…传播速度…324330336342348…A. B. C. D. 9. 兰州市现行城镇居民用水量划分为三级，水价分级递增．第一级为每户每年不超过144m 的用水量，执行现行居民用水价格；第二级为超出144m 但不超过180m 的用水量，执行现行居民用水价格的1.5倍；第三级为超出180m 的用水量，执行现行居民用水价格的3倍．某小区志愿队为了解该小区居民的用水情况，随机抽样调查了50户家庭的年用水量，并整理绘制了频数直方图（如图），若该小区共有1000户居民，请根据相关信息估计该小区年用水量达到第三级标准的户数（ ）A. 30B. 45C. 60D. 9010. 《九章算术》中记载了这样一个问题：今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？大意是：3束上等禾的产量再加6斗，相当于10束下等禾的产量；5束下等禾的产量再加1斗，相当于2束上等禾的产量．问上等禾、下等禾每束的产量各为几斗？设上等禾每束产量x 斗，下等禾每束产量y斗，根据题意可列方程组为（ ）4AABCD 3AEF 60MAB ∠=︒AF AM AB AE AF =AF 10cm 20cm()t ℃10-()m/s v 6330v t =+6330v t =-+0.6330v t =+0.6330v t =-+3333A. B. C. D. 11. 把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B ，C ．若，则（ ）A. B. C. D. 12. 如图，在钝角中（为钝角），，，，在其内部作一个矩形，使矩形的一边在边上，顶点M ，P 分别在边，上．设矩形的一边，矩形的面积为y ，则y 与x 的函数关系式可用函数图象表示为（ ）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13. 若x有意义，则______（写出1个即可）．14. 自然界绝大多数的彩色光都可以利用红、绿、蓝三种色光按不同比例混合而成，这叫做三原色原理，如：红光与绿光重叠现黄色．如图所示，小明制作了两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形，同时转动两个转盘，根据三原色原理配得黄色的概率为______．15. 如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O 为位似中心的位似图形，，已3610512x y y x +=⎧⎨+=⎩3610512x y x y +=⎧⎨+=⎩3610512x y y x -=⎧⎨-=⎩1036251x y y x =+⎧⎨=+⎩3AB = BC=π 1.5πABC BAC ∠45B ∠=︒AB =10AC =MNQP NQ BC AB AC MN x =x =ABC A B C ''' 12AB A B ''=知，则顶点的坐标为______．16. 如图，在矩形中，，，点E 为的中点，与相交于点P ，则线段______．三、解答题：本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 解不等式组：．18.解方程：．19. 先化简，再求值：，其中，．20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x 轴交于点B ．（1）求反比例函数与一次函数的表达式：（2）过点A 作轴于点C ，求的面积．21. 甘肃省公用品牌“甘味”中的区域品牌“兰州百合”荣登农业产业品牌百强榜．甘肃某地区为深入推进乡村振兴产业发展，采购了A ，B 两种型号包装机同时包装百合，某质检部门从已包装好的产品中随机()1,2A A 'ABCD 4AB =6BC =BC AE BD AP =()71131211x x x x ⎧+>+⎨-<+⎩()31131x x x =-++()()2422312x x y x x +-++15x =5y =-y x b =+()0k y x x=>()1,3A k y x=y x b =+AC x ⊥ABC各抽取10袋测得实际质量（单位：），规定质量在为合格产品．将所得数据进行收集整理，部分信息如下：信息一：A ，B 型号包装机包装的每袋百合质量的折线统计图信息二：A ，B 型号包装机包装的每袋百合质量的统计量型号统计量平均数中位数众数极差合格率A 型m 50811B 型5055058请根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中______；（2）根据统计图来看，______型号包装机包装的百合的质量比较稳定：（填“A ”或“B”）（3）综合以上信息，你认为该地区应选择哪种型号包装机包装百合较为合适？并说明理由．22. 如图，在中，，与相切于点A ，与相交于点C ，延长交于点D ，连接．（1）求的大小；（2）当时，求的长．23. 数学家为解决“化圆为方”问题，将其转化为特殊的“化矩形为方”问题．化矩形为方指的是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．g ()5005g ±504.830%504.860%m =AOB 30B ∠=︒O AB OB AO O CD D ∠2BC =CD如图，已知矩形．尺规作图完成“化矩形为正方形”问题．以下为作图过程：①以点B 为圆心，长为半径画弧，交延长线于点E ；②分别以点A ，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M ，N 两点，连接交于点F ，则点F 为的中点；③以点F 为圆心，长为半径画弧，交延长线于点P ；④以为边，在边右侧作正方形，即“化矩形为正方形”．（1）请按照作图过程中④的要求，用无刻度直尺和圆规将所给图形补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）根据已补充完整的图形解决问题：在矩形中，已知，，则______，______，进而求得正方形的边______．由此可得，即达到“化矩形为方”的目的．24. 小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：问题鹅卵石的像到水面的距离工具纸、笔、计算器、测角仪等ABCD ABCD BPQR BC AB 12AE MN AE AE AF CB BP BP BPQR ABCD BPQR ABCD 5AB =1AD =BF =PF =BPQR BP =BPQR ABCD S S =正方形矩形图形说明根据实际问题画出示意图（如上图），鹅卵石在C 处，其像在G 处，泳池深，且，于点N ，于点B ，于点H ，点G 在上，A ，B ，G 三点共线，通过查阅资料获得．数据，．请你根据上述信息解决以下问题：（1）求的大小；（2）求鹅卵石的像G 到水面的距离．（结果精确到）（参考数据：，，）25. 如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计．深安黄河大桥主拱形呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连．如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆到原点O 的水平距离，吊杆到原点O 的水平距离，且，主拱形离桥面的距离与水平距离近似满足二次函数关系，其对称轴为直线．（1）求的长度：（2）求主拱形到桥面的最大高度的长．26. 如图，在矩形中，点，分别在，上．将矩形分别沿，翻折后点，均落在点处，此时，，三点共线，若．BN BN CH =MN NC ⊥MN BH ⊥CH BH ⊥CH sin 1.33sin ABM CBN ∠=∠3m BN =41.7ABM ∠=︒CBN ∠GH 0.1m sin 41.70.665︒≈cos 41.70.747︒≈tan 41.70.891︒≈ 1.73≈OAB CD 26m OC =EF 134m OE =CD EF =()m y ()m x ()20.006y x h k =--+x h =OH AH ABCD E F AD CD ABCD BE EF A D G B G F 2BG EG =（1）求证：矩形为正方形；（2）若，求的长．27. 综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中几何问题．如图，在中，，，点D 为平面内一点（点A ，B ，D 三点不共线），为的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M ，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①；②；【类比探究】（2）如图2，将绕点A 顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明：【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G ，连接，在点D 的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值．28. 在平面直角坐标系xOy 中，给出如下定义：对于图形W 和图形W 外一点P ，若在图形W 上存在点M ，N ，使，则称点P 是图形W 的一个“2倍关联点”．例如：如图1，已知图形W ：，，，；点到上的点的最小距离为，到上的点的最大距离为，则．因此在上存在点M ，N ，使得，则点P 是的一个“2倍关联点”．ABCD 2DF =BC ABC AB AC =90BAC ∠=︒AE ABD △AE ME AE =DM DM AC =180MDA DAB ∠+∠=︒AD 90︒AF CF 12AE CF =AD AD AB >AE CF BG BG 4AB =BG 2PM PN =ABC ()0,2A ()1,0B -()1,0C ()0,1P -ABC 1PO =ABC 3PA =2PA PO >ABC 2PM PN =ABC（1）如图2，已知，．①判断点______线段AB 的一个“2倍关联点”；（填“是”或“不是”）②若点是线段AB 的“2倍关联点”，求m 的最小值；（2）如图3，圆心为原点，半径为1，若在直线l ：上存在点Q 是的．“2倍关联点”，求b的取值范围．()0,1A ()2,1B ()12,1P -()21,P m O y x b =+O。
2023年甘肃省兰州市中考数学真题(解析版)
2023年兰州市初中学业水平考试数 学注意事项：1．全卷共120分，考试时间120分钟．2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1. －5的相反数是( ) A. 15− B. 15 C. 5 D. -5【答案】C【解析】【分析】根据相反数的定义解答即可�【详解】-5的相反数是5�故选C �【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键�2. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，则BOD ∠=（ ）A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°【答案】B【解析】【分析】利用对顶角相等得到BOD AOC ∠=∠，即可求解．【详解】解：读取量角器可知：50AOC ∠=°，∴50BOD AOC ∠=∠=°，故选：B ．【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．3. 计算：255a a a −=−（ ） A. 5a −B. 5a +C. 5D. a【答案】D【解析】【分析】分子分解因式，再约分得到结果． 【详解】解：255a a a −− ()55a a a −=−a =，故选：D ．【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键．4. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角1∠=（ ）A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°【答案】A【解析】 【分析】由正八边形的外角和为360°，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．【详解】解：∵正八边形的外角和为360°，∴3601=458°∠=°， 故选A 【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360°是解本题的关键． 5. 方程213x =+的解是（ ）A. 1x =B. =1x −C. 5x =D. 5x =−【答案】A【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程解得到x 的值，经检验即可得解．【详解】解：去分母得：23x =+，解得=1x −，经检验=1x −是分式方程的解．故选：A ．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．6. 如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧 AB ，圆弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=°，则»=AB （ ）A. 20cm πB. 10cm πC. 5cm πD. 2cm π【答案】B【解析】 【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径20cm OA =，圆心角90AOB ∠=°，∴»902010180AB ππ×==， 故选：B ．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．7. 已知二次函数()2323y x =−−−，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为2x =−B. 顶点坐标为()2,3C. 函数的最大值是－3D. 函数的最小值是－3【答案】C【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．的【详解】二次函数()2323y x =−−−的对称轴为2x =，顶点坐标为()2,3− ∵30−<∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为=3y − ∴A 、B 、D 选项错误，C 选项正确故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．8. 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根，则()2212b c −+=（ ） A. －2B. 2C. －4D. 4【答案】A【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况可得240b c −=，再代入式子即可求解．【详解】∵关于x 的一元二次方程20x bx c ++=有两个相等的实数根∴240b c ∆=−=∴()2221242022b c b c −+=−−=−=−， 故选：A .【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．9. 2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度20222021100%2021−×年当月销量年当月销量年当月销量）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）A. 2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆B. 2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个C. 相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%D. 相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低【答案】D【解析】【分析】根据折线图逐项分析即可得出答案．【详解】解：A、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，推断合理，本选项不符合题意；B、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，推断合理，本选项不符合题意；C、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，推断合理，本选项不符合题意；D、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法推断不合理，本选项符合题意；故选：D．【点睛】此题考查了折线统计图，从折线统计图中获取数据做出分析，正确识别图中的数据是解题的关键．10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N ；（2）分别在MO 的延长线及ON 上取点A ，B ，使OA OB =；（3）连接AB ，取其中点C ，过O ，C 两点确定直线b ，则直线a b ∥．按以上作图顺序，若35MNO ∠=°，则AOC ∠=（ ）A 35°B. 30°C. 25°D. 20°【答案】A【解析】 【分析】证明35NMO MNO ∠=∠=°，可得23570AOB ∠=×°=°，结合OA OB =，C 为AB 的中点，可得35AOC BOC ∠=∠=°．【详解】解：∵35MNO ∠=°，MO NO =，∴35NMO MNO ∠=∠=°，∴23570AOB ∠=×°=°，∵OA OB =，C 为AB 的中点，∴35AOC BOC ∠=∠=°，故选A ．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．11. 一次函数1y kx =−的函数值y 随x 的增大而减小，当2x =时，y 的值可以是（ ） A. 2B. 1C. －1D. －2【答案】D【解析】 【分析】根据一次函数的增减性可得k 的取值范围，再把2x =代入函数1y kx =−，从而判断函数值y 的取值．【详解】∵一次函数1y kx =−函数值y 随x 的增大而减小 ∴0k <∴当2x =时，211yk =−<−.的故选：D【点睛】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．12. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =（ ）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5【答案】C【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得5BG BF ==，在Rt ABG △中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：∵矩形ABCD 中，∴90ABC BAC ∠=∠=°，∵F 为CE 的中点，10CE =， ∴152BG BF CE ===，在Rt ABG △中，3AG，故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：2225x y −=______． 【答案】()()55x y x y +−【解析】【分析】直接利用平方差分解即可．【详解】解：()()222555x y x y x y −=+−． 故答案为：()()55x y x y +−．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．14. 如图，在ABCD Y 中，BD CD =，AE BD ⊥于点E ，若70C ∠=°，则BAE ∠=______°．【答案】50【解析】【分析】证明70DBC C ∠=∠=°，18027040BDC∠=°−×°=°，由AB CD ∥，可得40ABE BDC ∠=∠=°，结合AE BD ⊥，可得904050BAE ∠=°−°=°．【详解】解：∵BD CD =，70C ∠=°，∴70DBC C ∠=∠=°，18027040BDC∠=°−×°=°， ∵ABCD Y ，∴AB CD ∥，∴40ABE BDC ∠=∠=°，∵AE BD ⊥，∴904050BAE ∠=°−°=°；故答案为：50【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键．15. 如图，将面积为7的正方形OABC 和面积为9的正方形ODEF 分别绕原点O 顺时针旋转，使OA ，OD 落在数轴上，点A ，D 在数轴上对应的数字分别为a ，b ，则b a −=______．【答案】3−【解析】【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a ，b 的值，代入计算即可．【详解】∵正方形OABC 的面积为7，正方形ODEF 的面积为9OD=∴OA=，3b=即a=3b a−=∴3故答案为：3【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键．16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：累计抛50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 掷次数盖面朝28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850 上次数盖面朝0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.5300上频率下面有三个推断：①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．其中正确的是______．（填序号）【答案】①③【解析】【分析】根据表中数据及频率估计概率依次判断即可．【详解】解：①通过上述实验的结果，发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，故正确；②实验是随机的，第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，故错误；③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53����．故答案为：①③．【点睛】题目主要考查频率估计概率，结合表中数据求解是解题关键．三、解答题（本大题共12小题，共72分）17.【解析】【分析】根据二次根式乘法，加减法运算法则计算即可．【详解】解：原式＝−【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键．18. 计算：()()()2234x y x y y y +−−−．【答案】23x y −【解析】【分析】先计算平方差公式及单项式乘以多项式，然后计算加减法即可．【详解】解：()()()2234x y x y y y +−−−222=434x y y y −−+23x y =−．【点睛】题目主要考查整式的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19. 解不等式组：312(1)223x x x x −>+ + >− ． 【答案】34x <<【解析】【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取两个不等式的解集的公共部分即可． 【详解】解：312(1)223x x x x −>+ +>−①②， 由①得：32>21x x −+，解得：>3x ，由②得：2>36x x +−，解得：4x <，∴不等式组的解集为：34x <<．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组是解法，掌握解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键．20. 如图，反比例函数()0ky x x=<与一次函数2y x m =−+的图象交于点()1,4A −，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B ，C ．（1）求反比例函数ky x=与一次函数2y x m =−+的表达式； （2）当1OD =时，求线段BC 的长． 【答案】（1）反比例函数的表达式为4y x=−；一次函数的表达式为22y x =−+； （2）142BC =． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解． 【小问1详解】解：∵反比例函数()0ky x x=<的图象经过点()1,4A −， ∴144k =−×=−，∴反比例函数的表达式为4y x=−； ∵一次函数2y x m =−+的图象经过点()1,4A −， ∴()421m =−×−+， ∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =−+； 【小问2详解】 解：∵1OD =，∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =， ∵1y =时，14x=−， 解得4x =−，则()41B −，， ∵1y =时，122x =−+， 解得12x =，则112C，， ∴()114422BC =−−=． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法． 21. 综合与实践问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA 和OB 上分别取点C 和D ，使得OC OD =，连接CD ，以CD 为边作等边三角形CDE ，则OE 就是AOB ∠的平分线．请写出OE 平分AOB ∠的依据：____________； 类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：CDE 不一定必须是等边三角形，只需CE DE =即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在AOB ∠的边OA ，OB 上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M ，N 重合，则过角尺顶点C 的射线OC 是AOB ∠的平分线，请说明此做法的理由； 拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB 和AC ，汇聚形成了一个岔路口A ，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E ，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E 到岔路口A 的距离和休息椅D 到岔路口A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规．．．．．．．．．．在对应的示意图5中作出路灯E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）SSS ；（2）证明见解析；（3）作图见解析； 【解析】【分析】（1）先证明()SSS OCE ODE ≌，可得AOE BOE ∠=∠，从而可得答案；（2）先证明()SSS OCM OCN ≌，可得AOC BOC ∠=∠，可得OC 是AOB ∠的角平分线； （3）先作BAC ∠的角平分线，再在角平分线上截取AE AD =即可． 【详解】解：（1）∵OC OD =，CE DE =，DE DE =， ∴()SSS OCE ODE ≌， ∴AOE BOE ∠=∠， ∴OE 是AOB ∠的角平分线； 故答案为：SSS（2）∵OM ON =，CM CN =，OC OC =， ∴()SSS OCM OCN ≌， ∴AOC BOC ∠=∠， ∴OC 是AOB ∠的角平分线； （3）如图，点E 即为所求作的点；．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键．22. 如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=°、53BAD ∠=°，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62°≈，cos380.79°≈，tan 380.78°≈，sin 530.80°≈，cos530.60°≈，tan 53 1.33°≈）【答案】“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ． 【解析】【分析】在Rt ABC △和Rt △ABD 中，分别求得BC 和BD 的长，据此求解即可. 【详解】解：在Rt ABC △中，18m AB =，38BAC ∠=°，∴()tan 380.781814.04m BC AB =°≈×=， 在Rt △ABD 中，18m AB =，53BAD ∠=°，∴()tan 53 1.331823.94m BD AB =°≈×=， ∴()23.9414.049.9m CD BD BC =−=−=, 答：“龙”字雕塑CD 的高度为9.9m ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23. 一名运动员在10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB 的高度()m y 与离起跳点A 的水平距离()m x 之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A 的水平距离为1m 时达到最高点，当运动员离起跳点A 的水平距离为3m 时离水面的距离为7m ．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB 的长． 【答案】（1）y 关于x 的函数表达式为2210y x x =−++； （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m +． 【解析】【分析】（1）由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，，利用待定系数法即可求解； （2）令0y =，解方程即可求解． 【小问1详解】解：由题意得抛物线的对称轴为1x =，经过点()010，，()37，， 设抛物线的表达式为2y ax bx c ++，∴1210937ba c abc −= = ++=，解得1210a b c =− = = ， ∴y 关于x 的函数表达式为2210y x x =−++； 【小问2详解】解：令0y =，则22100x x −++=，解得1x =±， ∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为(1m ．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．24. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CD OE ∥，直线CE 是线段OD 的垂直平分线，CE 分别交OD AD ，于点F ，G ，连接DE ．（1）判断四边形OCDE 的形状，并说明理由； （2）当4CD =时，求EG 的长．【答案】（1）四边形OCDE 是菱形，理由见解析 （2）EG =． 【解析】【分析】（1）证明COD △和EOD △是等边三角形，即可推出四边形OCDE 是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得DF 和CF的长，利用菱形的性质得到EF CF ==，在Rt CGF △中，解直角三角形求得GF 的长，据此求解即可．【小问1详解】证明：四边形OCDE 是菱形，理由如下， ∵矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴1122OCOD AC BD ===， ∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线， ∴CO CD =，EO ED =，∴CO CD OD ==，即COD △是等边三角形，∴60OCD DCO DOC ∠=∠=∠=°，1302OCF DCF OCD ∠=∠=∠=°， ∵CD OE ∥，∴60EOD EDO CDO ∠=∠=∠=°， ∴EOD △等边三角形， ∴CO CD EO ED ===， ∴四边形OCDE 是菱形；是【小问2详解】解：∵直线CE 是线段OD 的垂直平分线，且30DCF ∠=°， ∴122DF CD ==，CF =，由（1）得四边形OCDE 是菱形，∴EF CF ==，在Rt DGF 中，9030GDF ODC ∠=°−∠=°，∴tan 302GF DF =°=，∴EG EF GF =−． 【点睛】本题考查了菱形判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25. 某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x 表示，分成六组：A ． 10x <；B ． 1015x ≤<；C ． 1520x ≤<；D ． 2025x ≤<；E ． 2530x ≤<；F ． 30x ≤）．信息二：排球垫球成绩在D ． 2025x ≤<这一组的是： 20，20，21，21，21，22，22，23，24，24信息三：掷实心球成绩（成绩用y 表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下： 分组 6.0y < 6.0 6.8y ≤< 6.87.6y ≤< 7.68.4y ≤< 8.49.2y ≤< 9.2y ≤人数2m10962信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：学生学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6的排球垫球 26 25 23 22 22 15 掷实心球▲7．87．8▲8．89．2根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m =______；（2）下列结论正确的是_____；（填序号）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%； ②掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．【答案】（1）11 （2）②③ （3）75人 【解析】【分析】（1）由总人数减去各小组已知人数即可得到答案；（2）由排球垫球成绩超过10个的人数除以总人数可判断①，由中位数的含义可判断②，分三种情况进行分析讨论可判断③，从而可得到答案；（3）由样本的百分率乘以总人数即可得到答案． 【小问1详解】解：由题意可得：4021096211m −−−−−； 【小问2详解】①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为3690%40=，故①不符合题意； ②∵掷实心球成绩排在第20个，第21个数据落在6.87.6y ≤<这一组， ∴掷实心球成绩的中位数记为n ，则6.87.6n ≤<；故②符合题意； ③由排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．∴从这点出发可得：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5为优秀， ∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名， ∴若学生1为优秀，则学生4不为优秀，可得学生3优秀； 若学生4为优秀，学生1不为优秀，可得学生3优秀；学生1，学生4不可能同时为优秀，∴学生3掷实心球的成绩必为优秀，故③符合题意； 故答案为：②③ 【小问3详解】排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为103007540×=（人）． 【点睛】本题考查的是从频数分布表，统计表中获取信息，利用样本估计总体，熟练的从频数分布表与统计表中获取互相关联的信息是解本题的关键．26. 如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径， BCBD =，DE AC ⊥于点E ，DE 交BF 于点F ，交AB 于点G ，2BOD F ∠=∠，连接BD ．（1）求证：BF 是O 的切线； （2）判断DGB 的形状，并说明理由； （3）当2BD =时，求FG 的长．【答案】（1）见解析 （2）DGB 是等腰三角形，理由见解析 （3）4FG = 【解析】【分析】（1）连接CO ，根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠，根据已知得出F BAC ∠=∠，根据DEAC ⊥得出90AEG ∠=°，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=°，即可得证；（2）根据题意得出 AD AC =，则ABD ABC ∠=∠，证明EF BC ∥，得出AGE ABC ∠=∠，等量代换得出FGB ABD ∠=∠，即可得出结论；（3）根据FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=°−，等边对等角得出DB DF =，则224FG DG DB ===． 【小问1详解】证明：如图所示，连接CO ，� BCBD =， ∴2BOD BOC BAC ∠=∠=∠， ∵2BOD F ∠=∠， ∴F BAC ∠=∠， ∵DEAC ⊥，∴90AEG ∠=°， ∵AGE FGB ∠=∠ ∴90FBG AEG ∠=∠=°，即AB BF ⊥，又AB 是O 的直径， ∴BF 是O 的切线； 【小问2详解】� BCBD =，AB 是O 的直径， ∴ AD AC =，BC AC ⊥， ∴ABD ABC ∠=∠， ∵DEAC ⊥，BC AC ⊥，∵EF BC ∥， ∴AGE ABC ∠=∠， 又AGE FGB ∠=∠，∴FGB ABD ∠=∠，∴DGB 是等腰三角形，【小问3详解】�FGB ABD ∠=∠，AB BF ⊥，设FGB ABD α∠=∠=，则90DBF F α∠=∠=°−，∴DB DF =，∴224FG DG DB ===．【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．27. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点()1,2A ，()3,2B，()2,2P 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．（1）如图2，已知点()1,0A ，()3,0B ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过()1,0G −，T两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；（2）如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC y ⊥轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，=OC ，点P 是ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；（3）如图4，以()1,0A ，()2,0B ，()2,1C 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y x b =−+的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围． 【答案】（1）()3,0P（2）2（3）11b −≤≤【解析】【分析】（1）过点P 作PQ EF ⊥于点Q ，根据新定义得出2PQ =，根据已知得出30TGO ∠=°，则24GP PQ ==，即可求解；（2）当P 到x 轴的距离最小时，点P 在线段BC 上，设ABC 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，ABC 是等边三角形，且BC y ⊥轴，设BC 交于点D ，则AD BC ⊥，得出1,2C a a ，根据=OC （3）当四边形ABCD 是正方形时，()1,1D ，连接CA 并延长交y 轴于点M ，直线AC 的解析式为1y x =−，得出()0,1M −，可得P ，则当点P 与点A 重合时，当点P 与C 点重合时，求得两个临界点时的b 的值，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，过点P 作PQ EF ⊥于点Q ，�()1,0A ，()3,0B ，则2AB =，点P 是直线EF 的“伴随点”时，�2PQ =，∵()1,0G −，T，∴1OG TO ==，，�tan TGO ∠∴30TGO ∠=°，∴24GP PQ ==， ∴()3,0P ；【小问2详解】解：当P 到x 轴的距离最小时，∴点P 在线段BC 上，设ABC 的边长为a ，以C 为圆心a 为半径作圆，当C 与x 轴相切时，如图所示，切点为H ，此时点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．且点P 到x 轴的距离最小，则C 的纵坐标为a ，即CH a =，�ABC 是等边三角形，且BC y ⊥轴，设BC 交于点D ，则AD BC ⊥，�BD DC =12a =， �1,2C a a，∵=OC ∴22152a a +=，解得：2a =或2−（舍去）∴等边三角形ABC 的边长为2【小问3详解】解：如图所示，当四边形ABCD 是正方形时，()1,1D ，连接CA 并延长交y 轴于点M ，∵()1,0A ，()2,0B ，()2,1C∴1AB =，AC =�()1,0A ，()2,1C设直线AC 的解析式为y mx n =+，则 021m n m n += +=解得11m n = =−∴直线AC 的解析式为1y x =−，∴直线,AC EF 垂直，当0x =时，1y =−∴()0,1M −，�AM AC =，即得P 到直线EF ，则当点P 与点A 重合时，P 是直线EF ：y x b =−+的“伴随点”． 此时()0,1M −在y x b =−+上，则01b +=−，解得：1b =-，当点P 与C 点重合时，则EF 过点A ，此时01b =−+，解得：1b =，∴11b −≤≤．【点睛】本题考查了几何新定义，解直角三角形，切线的性质，直线与坐标轴交点问题，正方形的性质，理解新定义是解题的关键．28.综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，GD DF ⊥，AG DG ⊥，AG CF =．试猜想四边形ABCD 的形状，并说明理由；【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE ⊥于点F ，AH CE ⊥于点H ，GD DF ⊥交AH 于点G ，可以用等式表示线段FH ，AH ，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上一点，AH CE ⊥于点H ，点M 在CH 上，且AH HM =，连接AM ，BH ，可以用等式表示线段CM ，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF =+；（3）MC =，证明见解析；【解析】【分析】（1）证明ADG CDF ≌，可得AD CD =，从而可得结论； （2）证明四边形DGHF 是矩形，可得90G DFC ∠=°=∠，同理可得：ADG CDF ∠=∠，证明ADG CDF ≌，DG DF =，AG CF =，证明四边形DGHF 是正方形，可得HG HF =，从而可得结论；（3）如图，连接AC ，证明90AHE ABC ∠=∠=°，AC AB=，45BAC ∠=°，AHE CBE ∽，可得AE HE CE BE=，再证明HEB AEC ∽，可得HBE MCA ∠=∠，证明AHB AMC ∽，可得HB AB MC AC == 【详解】解：（1）∵GD DF ⊥，DF CE ⊥，AG DG ⊥，∴90G DFC ∠=∠=°，90ADG ADF ∠+∠=°，∵矩形ABCD ，∴90ADC ADF CDF ∠=°=∠+∠，∴ADG CDF ∠=∠，∵AG CF =，∴ADG CDF ≌，∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形．（2）∵DF CE ⊥，AH CE ⊥，GD DF ⊥，∴90DFH H GDF ∠=∠=∠=°，∴四边形DGHF 是矩形，∴90G DFC ∠=°=∠，同理可得：ADG CDF ∠=∠，∵正方形ABCD ，∴AD CD =，∴ADG CDF ≌，∴DG DF =，AG CF =，∴四边形DGHF 是正方形，∴HG HF =，∴FH HG AH AG AH CF ==+=+．（3）如图，连接AC ，∵AH CE ⊥，正方形ABCD ，∴90AHE ABC ∠=∠=°，AC AB =，45BAC ∠=°，∵AEH CEB ∠=∠，∴AHE CBE ∽， ∴AE HECE BE =，∵BEH AEC ∠=∠，∴HEB AEC ∽，∴HBE MCA ∠=∠，∵,AH CE AH HM ⊥=， ∴45HAM BAC ∠=°=∠，∴HAE MAC ∠=∠，∴AHB AMC ∽，∴HBAB MC AC ==∴MC =．【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键．。
2013年甘肃省兰州市中考数学试题(word版_含答案)
2013年兰州市初中毕业生学业考试数 学（A ）注意事项：1.全卷共150分，考试时间120分钟．2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填写在答题卡上．3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知一个正棱柱的俯视图和左视图如图，则其主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．2．“会宁县今年12月份降雪概率是20%”，对此消息下列说法中正确的是（ ） A ．会宁县年今年12月份降雪的地区是20% B ．会宁县今年12月份将有20%的时间降雪 C ．会宁今年12月份降雪的地区是概率相对较小 D ．会宁县12月份前几天肯定不降雪 3．如果关于x 的一元二次方程22110kx k x -++=x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．12k <B ．1k <且0k ≠C ．1122k -≤<D ．1122k -≤<且0k ≠4．如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C ，分别以A 、C 为圆心，BC 、AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，分别连结AB 、AD 、CD ，则四边形ABCD 一定是（ ） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．梯形 5．当0<x 时，函数xy 1-=的图象在（ ） A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限6．下列说法不正确的的是A ．在同一个三角形中，等边对等角B ．菱形的四条边相等C ．角平分线上的点到角的两边距离相等D ．等腰梯形的对边相等7．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，各班级参加该活动的人数统计结果如下表，班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 人数526062545862A ．平均数是58B ．中位数是58C ．极差是40D ．众数是60 8．用配方法解方程0122=--x x 时，配方后所得的方程为A ．012=+）（xB ．012=-）（xC ．212=+）（x D ．212=-）（x 9．△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果222c b a =+，那么下列结论正确的是 A ．c sin A =aB ．b cos B =cC ．a tan A =bD ．c tan B =b10．据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m 2，2013年同期将达到8200元/m 2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x ，根据题意，所列方程为 A ．8200%)1(76002=+xB ．8200%)1(76002=-xC ．8200)1(76002=+xD ．8200)1(76002=-x 11．已知A （1-，1y ），B （2，2y ）两点在双曲线xmy 23+=上，且21y y >，则m 的取值范围是 A ．0>mB ．0<mC ．23->m D ．23-<m12．如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水的最大深度为2cm ，则该输水管的半径为 A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm13．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示．下列说法中不正确的是 A ．042>-ac b B ．0>aC ．0>cD ．02<-ab14．圆锥底面圆的半径为3cm ，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm15．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为D第15题图二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．16．某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者，则选出一男一女的概率是 .17．若041=-+-a b ，且一元二次方程02=++b ax kx 有实数根，则k 的取值范围是 .18．如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N 与点A 重合，射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点E ，第24秒时，点E 在量角器上对应的读数是 度．19．如图，在直角坐标系中，已知点A （3-，0）、B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013 的直角顶点的坐标为 .20．如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线k x y +=221与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共8小题，共70分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 21．（本小题满分10分） （1）计算：1201330sin 21）（++---（2）解方程：0132=--x x 22．（本小题满分5分）第20题图第18题图CB如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.）23．（本小题满分6分）在兰州市开展的“体育、艺术2+1”活动中，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．请你结合图中信息解答下列问题：（1）样本中喜欢B项目的人数百分比是，其所在扇形统计图中的圆心角的度数是；（2）把条形统计图补充完整；（3）已知该校有1000人，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少？24．（本小题满分8分）如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB ）是1.7m ，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M 在同一条直线上，测得旗杆顶端M 仰角为45°；小红的眼睛与地面的距离（CD ）是1.5m ，用同样的方法测得旗杆顶端M 的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B 、N 、D 在同一条直线上）．求出旗杆MN 的高度．（参考数据：4.12≈，7.13≈，结果保留整数．）DBN第24题图项目A 44%D C B 28%8%第23题图第26题图 图1 A O B C DE 图2B 25．（本小题满分9分）已知反比例函数xky =1的图象与一次函数b ax y +=2的图象交于点A （1，4）和点B （m ，2-）． （1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，当x >0时，直接写出1y >2y 时自变量x 的取值范围； （3）如果点C 与点A 关于x 轴对称，求△ABC 的面积．26．（本小题满分10分）如图1，在△OAB 中，∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB =8．以OB为边，在△OAB 外作等边△OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ． （1）求证：四边形ABCE 是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG的长．第25题图26.（1）证明：在R t △OAB 中， D 为OB 的中点 ∴DO=DA ∴∠DAO=∠DOA =30°, ∠EOA=90° ∴∠AEO =60°又∵△OBC 为等边三角形∴∠BCO=∠AEO =60° ∴BC ∥AE ∵∠BAO=∠COA =90° ∴OC ∥AB∴四边形ABCE 是平行四边形．（2）解：设OG=x ，由折叠可知：AG=GC=8－x 在Rt △ABO 中∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB=8 ∴OA=OB ·cos30°=8×23=34 在Rt △OAG 中，OG 2+OA 2=AG 22228)34(）（x x -=+解得，1x = ∴OG=127．（本小题满分10分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x ，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y ．（1）计算由x 、y 确定的点（x ，y ）在函数y =x -+5的图象上的概率．（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x 、y 满足6>xy ，则小明胜，若x 、y 满足6<xy 则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则． 解：（1）画树状图得：图1 A OB CD E 图2 B∵共有12种等可能的结果，在函数y=-x+5的图象上的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），∴点（x ，y ）在函数y=-x+5的图象上的概率为：41123=；（2）∵x 、y 满足xy ＞6有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3）共4种情况，x 、y 满足xy ＜6有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1）共6种情况， ∴P （小明胜）=41123=，P （小红胜）=612=12， ∴P （小明胜）≠P （小红胜），∴不公平；公平的游戏规则为：若x 、y 满足xy≥6则小明胜，若x 、y 满足xy ＜6则小红胜．点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．28．（本小题满分12分）如下图，在平面直角坐标系xoy 中，梯形AOBC 的边OB 在x 轴的正半轴上，AC ∥OB ，OB BC ⊥，过点A 的双曲线xky =的一支在第一象限交梯形对角线OC 于点D ，交边BC 于点E ． （1）若点C 的左标为（2，2），当点E 在什么位置时，阴影部分的面积S 最小？ （2）若21=OC OD ，S △OAC =2，求双曲线的解析式．第28题图解：（1）∵梯形AOBC 的边OB 在x 轴的正半轴上，AC ∥OB ，BC ⊥OB ， 而点C 的坐标标为（2，2），∴A 点的纵坐标为2，E 点的横坐标为2，B 点坐标为（2，0）， 把y=2代入y=得x=；把x=2代入y=得y=，∴A 点的坐标为（，2），E 点的坐标为（2，），∴S 阴影部分=S △ACE +S △OBE =×（2﹣）×（2﹣）+×2×=k 2﹣k+2=（k ﹣2）2+， 当k ﹣2=0，即k=2时，S 阴影部分最小，最小值为； ∴E 点的坐标为（2，1），即E 点为BC 的中点， ∴当点E 在BC 的中点时，阴影部分的面积S 最小； （2）设D 点坐标为（a ，）， ∵=，∴OD=DC ，即D 点为OC 的中点，∴C 点坐标为（2a ，），∴A 点的纵坐标为，把y=代入y=得x=，∴A 点坐标为（，），∵S △OAC =2，∴×（2a ﹣）×=1，∴k=．2013年兰州市初中毕业生学业考试数学（A ）参考答案及评分参考本答案仅供参考，阅卷时会制定具体的评分细则和评分标准。
2013年甘肃兰州卷初中毕业生学业考试数学试题+答案
2013年兰州市初中毕业生学业考试数学试题（含答案全解全析）(满分120分时间120分钟)参考公式:二次函数顶点坐标公式:--第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共15小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下图是由八个相同的小正方体组合而成的几何体,其左视图是()2.“兰州市明天降水的概率是30%”,对此消息下列说法中正确的是()A.兰州市明天将有30%的地区降水B.兰州市明天将有30%的时间降水C.兰州市明天降水的可能性较小D.兰州市明天肯定不降水3.二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(-1,-3)4.☉O1的半径为1cm,☉O2的半径为4cm,圆心距O1O2=3cm,这两圆的位置关系是()A.相交B.内切C.外切D.内含5.当x>0时,函数y=-的图象在()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限6.下列命题中是假命题的是()A.平行四边形的对边相等B.菱形的四条边相等C.矩形的对边平行且相等D.等腰梯形的对边相等7.某校九年级开展“光盘行动”宣传活动,各班级参加该活动的人数统计结果如下表,对于这组统计数据,下列说法中正确的是()班级1班2班3班4班5班6班人数52606254 58 62A.平均数是58B.中位数是58C.极差是40D.众数是608.用配方法解方程x2-2x-1=0时,配方后所得的方程为()A.(x+1)2=0B.(x-1)2=0C.(x+1)2=2D.(x-1)2=29.△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是()A.csin A=aB.bcos B=cC.atan A=bD.ctan B=b10.据调查,2011年5月兰州市的房价均价为7600元/m2,2013年同期将达到8200元/m2,假设这两年兰州市房价的平均增长率为x,根据题意,所列方程为()A.7600(1+x%)2=8200B.7600(1-x%)2=8200C.7600(1+x)2=8200D.7600(1-x)2=820011.已知A(-1,y1),B(2,y2)两点在双曲线y=上,且y1>y2,则m的取值范围是()A.m>0B.m<0C.m>-D.m<-12.如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水的最大深度为2cm,则该输水管的半径为()A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm13.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.下列说法中不正确的是()A.b2-4ac>0B.a>0C.c>0D.-<014.圆锥底面圆的半径为3cm,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为()A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm15.如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心,线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为()第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.16.某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为兰州国际马拉松赛的志愿者,则选出一男一女的概率是.17.若|b-1|+-=0,且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根,则k的取值范围是.18.如图,量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器0刻度线的端点N与点A重合,射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转,CP与量角器的半圆弧交于点E,第24秒时,点E在量角器上对应的读数是度.19.如图,在直角坐标系中,已知点A(-3,0)、B(0,4),对△OAB连续作旋转变换,依次得到△1、△2、△3、△4、…,则△2013的直角顶点的坐标为.20.如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围是.三、解答题:本大题共8小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21.(本小题满分10分)(1)计算:(-1)2013-2-1+sin30°+(π-3.14)0;(2)解方程:x2-3x-1=0.22.(本小题满分5分)如图,两条公路OA和OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.(要求:不写作法,保留作图痕迹,写出结论)23.(本小题满分6分)在兰州市开展的“体育、艺术2+1”活动中,某校根据实际情况,决定主要开设A:乒乓球,B:篮球,C:跑步,D:跳绳这四种运动项目.为了解学生喜欢哪一种项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如下的条形统计图和扇形统计图.请你结合图中信息解答下列问题:(1)样本中喜欢B项目的人数百分比是,其所在扇形统计图中的圆心角的度数是;(2)把条形统计图补充完整;(3)已知该校有1000人,根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少?24.(本小题满分8分)如图,在活动课上,小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆的高度.已知小明的眼睛与地面的距离(AB)是1.7m,他调整自己的位置,设法使得三角板的一条直角边保持水平,且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上,测得旗杆顶端M的仰角为45°;小红的眼睛与地面的距离(CD)是1.5m,用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上).求出旗杆MN的高度.(参考数据:≈1.4,≈1.7,结果保留整数)25.(本小题满分9分)已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1,4)和点B(m,-2).(1)求这两个函数的表达式;(2)观察图象,当x>0时,直接写出y1>y2时自变量x的取值范围;(3)如果点C与点A关于x轴对称,求△ABC的面积.26.(本小题满分10分)如图1,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以OB为边,在△OAB外作等边△OBC,D是OB的中点,连结AD并延长交OC于E.(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;(2)如图2,将图1中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.27.(本小题满分10分)如图,直线MN交☉O于A、B两点,AC是直径,AD平分∠CAM交☉O 于D,过D作DE⊥MN于E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若DE=6cm,AE=3cm,求☉O的半径.28.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上的两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为-,点M是抛物线C2:y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点.(1)求A、B两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)当△BDM为直角三角形时,求m的值.答案全解全析：1.B 由几何体知,左视图中第一列有两个正方形,中间一列有三个正方形,故排除A、C、D,故选B.2.C 降水的概率是30%解释为降水的可能性是30%,即降水的可能性较小,故选C.3.A 二次函数y=a(x-h)2+k的图象的顶点是(h,k),故二次函数y=-2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是(1,3),故选A.4.B 因为圆心距O1O2=3 cm,两圆半径之差为4-1=3 cm,故两圆内切,故选B.评析本题主要考查两圆之间的位置关系.两圆外离,d>R+r;外切,d=R+r;相交,R-r<d<R+r;内切,d=R-r;内含,0≤d<R-r(d表示圆心距,R,r分别表示两圆的半径).5.A 反比例函数y=-的图象分布在第二、四象限,当x>0时,图象在第四象限.故选A.6.D 等腰梯形的上底与下底一定不相等,故D选项是假命题,故选D.7.A 将数据从小到大排列:52,54,58,60,62,62.中位数为59;极差为10;众数是62.故B、C、D均错误,选A.8.D x2-2x-1=0移项得:x2-2x=1,配方得:(x-1)2=2. 故选D.9.A ∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.∴sin A=,故A成立,选A.10.C 因为增长率为x,不是x%,故A、B排除;又房价增长到8 200元/m2 ,故排除D.故选C.11.D ∵双曲线的两个分支在第一、三象限或第二、四象限,又∵-1<2且y1>y2,∴双曲线分布在第二、四象限,故3+2m<0,∴m<-. 故选D.评析首先确定反比例函数图象所在的象限,注意反比例函数图象在每个象限的变化规律.当比较两函数值的大小时,一定要分为在两个象限内或在同一个象限内两种情况.12.C 如图,圆O中,弦AB=8 cm,半径OD⊥AB于点C,CD=2 cm.设半径OA的长度为x cm,则在直角△OAC中,AC=4 cm,OC=(x-2)cm,故x2=42+(x-2)2,解得x=5.故选C.评析垂径定理与勾股定理结合,只要知道弦、半径、弦心距中的任何两个就能求出第三个.13.D ∵对称轴x=-在y轴的右侧,故->0,D选项不正确.故选D.14.B 设圆锥底面圆半径为r,母线长为l.∵其侧面展开图为半圆,∴πl=2πr,∴l=2r=6 cm.故选B.15.B 设AB的长度是a,P点运动的速度是v,则S=π·PB2=π·(a-vt)2=π(vt-a)2,∴S是关于t的二次函数.故选B.16.答案解析选出一男一女的概率为×+×=.17.答案k≤4且k≠0解析∵|b-1|+-=0,∴a=4,b=1,∴方程为kx2+4x+1=0,∵二次方程有实数根,∴b2-4ac=42-4k≥0,且k≠0,∴k≤4且k≠0.18.答案144解析如图,当第24秒时,∠ECA=72°,连结OE,所以量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合,其中量角器0刻度线的端点N与点A重合,所以点C在以AB为直径的圆上.所以∠AOE=2∠ECA=144°.19.答案(8 052,0)解析由题意可知,三次旋转作为一个周期循环出现,Rt△OAB的三边长分别为3,4,5,所以第三次旋转得到的△3的直角顶点的坐标为(12,0),第六次旋转得到的△6的直角顶点的坐标为(24,0) ,…,∵2 013÷3=671,671×12=8 052,∴△2 013的直角顶点的坐标为(8 052,0).评析本题是规律探究性问题,解题时先从较简单的特例入手,从中探究出规律,再用得到的规律解答问题即可.20.答案-2<k<解析∵扇形的圆心角是45°,∴直线OA的解析式为y=x.当抛物线与直线y=x有且只有一个公共点(相切)时,可得x2+k=x,由Δ=0可得k=;当抛物线经过点B时,可得×22+k=0,∴k=-2,∴当抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点时,实数k的取值范围是-2<k<.评析本题考查抛物线平移中变量的变化区间,将抛物线与直线有且只有一个公共点转化为根的判别式为零是解题的关键.通过题目中的信息求出直线OA的解析式是解题的突破口.本题的综合性强,计算较复杂,考查了化归的思想方法,是一道难题.21.解析(1)原式=-1-++1(4分)=0.(5分)(2)∵a=1,b=-3,c=-1,∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=13,(3分)∴x1=,x2=-.(5分)22.解析作出∠AOB的平分线、线段CD的垂直平分线(各2分).(4分)结论.(5分)23.解析(1)20%;72°.(2分)(2)如图.(4分)(3)1 000×44%=440(人).(6分 )24.解析如图,过点A作AE⊥MN于E,过点C作CF⊥MN于F,(1分)则EF=AB-CD=1.7-1.5=0.2,(2分)在Rt△AEM中,∵∠MAE=45°,∴AE=ME.(3分)设AE=ME=x(不设参数也可),∴MF=x+0.2,CF=28-x.(4分)在Rt△MFC中,∠MFC=90°,∠MCF=30°,∴MF=CF·tan∠MCF.(5分)∴x+0.2=×(28-x),(6分)∴x≈10.0.(7分)∴MN≈12米.答:旗杆高约为12米.(8分)25.解析(1)∵点A(1,4)在y1=的图象上, ∴k=1×4=4.∴y1=.(1分)∵点B(m,-2)在y1=的图象上,∴m=-2.∴点B(-2,-2).(2分)又∵点A、B在一次函数y2=ax+b的图象上,∴,--,解得,,∴y2=2x+2.(3分)∴这两个函数的表达式分别为y1=,y2=2x+2.(4分)(2)由题中图象可知,当 0<x<1时,y1>y2成立.(5分)(3)∵点C与点A关于x轴对称,∴C(1,-4),(6分)过点B作BD⊥AC,垂足为D,则D(1,-2),于是△ABC的高BD=1-(-2)=3.(7分)底边AC=4-(-4)=8.(8分)∴S△ABC=AC·BD=×8×3=12.(9分)26.解析(1)证明:在Rt△OAB中,∵D为OB的中点, ∴DO=DA.(1分)∴∠DAO=∠DOA=30°,∠EOA=90°,∴∠AEO=60°.(2分)又∵△OBC为等边三角形,∴∠BCO=∠AEO=60°.(3分)∴BC∥AE.(4分)∵∠BAO=∠COA=90°,∴OC∥AB.(5分)∴四边形ABCE是平行四边形.(6分)(2)设OG=x,由折叠可知:AG=GC=8-x.(7分)在Rt△ABO中,∵∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,∴OA=OB·cos 30°=8×=4.(8分)在Rt△OAG中,OG2+OA2=AG2,即x2+(4)2=(8-x)2.(9分)解得x=1,即OG=1.(10分)27.解析(1)证明:连结OD.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.(1分)∵∠OAD=∠DAE,∴∠ODA=∠DAE.(2分)∴DO∥MN.(3分)∵DE⊥MN,∴∠ODE=∠DEM=90°,即OD⊥DE,(4分)∴DE是☉O的切线.(5分)(2)连结CD.∵∠AED=90°,DE=6 cm,AE=3 cm,∴AD=3 cm.(6分)∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=∠AED=90°.(7分)∵∠CAD=∠DAE,∴△ACD∽△ADE.(8分)∴=,即=.则AC=15 cm.(9分)∴☉O的半径是7.5 cm.(10分)评析本题主要考查了切线的判定、等边对等角、三角形相似的判定及其性质的运用以及勾股定理的应用等知识;考查了学生综合运用知识以及运用转化思想来解决问题的能力. 28.解析(1) 令y=0,则mx2-2mx-3m=0,∵m<0,∴x2-2x-3=0.解得:x1=-1,x2=3.∴A(-1,0),B(3,0).(2分)(2)存在.设抛物线C1的表达式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0),把C,-代入可得a=,∴C1:y=x2-x-.(4分)设P,--,∴S△PBC=S△POC+S△BOP-S△BOC=--+.(6分)∵a=-<0,∴当n=时, S△PBC有最大值,且最大值为.(7分)(3)由C2可知: B(3,0),D(0,-3m),M(1,-4m),BD2=9m2+9, BM2=16m2+4,DM2=m2+1,∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况.当∠BMD=90°时,BM2+ DM2=BD2 ,16m2+4+m2+1=9m2+9,解得:m1=-,m2=(舍去). (9分)当∠BDM=90°时,BD2+DM2=BM2 ,9m2+9+m2+1=16m2+4,解得:m1=-1,m2=1 (舍去).(11分)综上,当m=-1,m=-时,△BDM为直角三角形.(12分)评析本题是以抛物线为背景的综合题,其中涉及的知识点主要有待定系数法、一元二次方程的解法、抛物线的最值等.在求有关存在不存在问题时,要注意先假设存在,再讨论结果,注意分类讨论思想方法的应用.本题难度适中,计算量稍大.。
2013年兰州市中考数学试卷答案word
2013年兰州市初中毕业生学业考试 数学（A ）参考答案及评分参考本答案仅供参考，阅卷时会制定具体的评分细则和评分标准。
一、 选择题:本大题共15小题，每小题4分，共60分. 二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分.16．5317．04≠≤k k 且 18．14419．（8052，0） 20． 212<<-k 三、解答题:本大题共8小题，共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.21.（本小题满分10分） 解：（1）原式=121211++-- ……………………………………………………………4分 =0 …………………………………………………………………………5分（2）131a b c ==-=- ，，， 224(3)41(1)13b ac ∴-=--⨯⨯-= ………………………………………………3分12x x ∴==． ……………………………………………………5分22.（本小题满分5分）解：作出∠AOB 的平分线、线段CD 的垂直平分线（各2分）…………………………4分结论……………………………………………………………………………………………5分23.（本小题满分6分）解：（1）20%，72° …………………………2分 （2）如图 ……………………………4分 （3）440人 …………………………6分24.（本小题满分8分）解： 过点A 作AE ⊥MN 于E ，过点C 作CF ⊥MN 于F ……………………1分 则EF=5.17.1CD AB -=-=0.2 ……………2分在R t △AEM 中，∵∠MAE=45°，∴AE=ME …………………………………3分 设AE=ME=x（不∴MF=x ＋0.2，CF=28x - …………………………………………………………………4分 在R t △MFC 中，∠MFC=90°，∠MCF=30° ∴MF=CF ·tan ∠MCF ……………………………………………………………………5分 ∴)28(332.0x x -=+ …………………………………………………………………… 6分 ∴≈x 10.0 …………………………………………………………………………………7分∴MN ≈12 ……………………………………………………………………………………8分 答：旗杆高约为12米．25.（本小题满分9分）解：（1）∵点A （1，4）在xky =1的图象上， ∴k ＝1×4＝4∴xy 41=……………..……………1分 ∵点B 在xy 41=的图象上，∴2-=m∴点B （－2，－2） ………………….…2分 又∵点A 、B 在一次函数b ax y +=2的图象上， ∴ ⎩⎨⎧-=+-=+224b a b a解得⎩⎨⎧==22b a ……………………………………..………………………………….…3分∴222+=x y ………………………………………...………………………………4分DB N∴这两个函数的表达式分别为：xy 41=，222+=x y （2）由图象可知，当 0＜x ＜1时，1y ＞2y 成立 ……………………………………5分 （3）∵点C 与点A 关于x 轴对称，∴C （1，4-） ……………………………………6分 过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则D （1，2-）于是△ABC 的高BD ＝1）（2--＝3 ………………………………………….……..7分底为AC ＝4）（4--＝8 …………………………………………………………………….. 8分∴S △ABC =21AC ·BD=21×8×3=12 ……….………….…………….……………………..9分26.（本小题满分10分）（1）证明：在R t △OAB 中， D 为OB 的中点 ∴DO=DA ………………………..1分 ∴∠DAO=∠DOA =30°, ∠EOA=90° ∴∠AEO =60° ………………….2分又∵△OBC 为等边三角形∴∠BCO=∠AEO =60° …………………………………………………………….3分 ∴BC ∥AE ……………….……………………………………………………….4分 ∵∠BAO=∠COA =90°∴OC ∥AB ………………………………………………………………………….5分 ∴四边形ABCE 是平行四边形． …………………………………………………6分 （2）解：设OG=x ，由折叠可知：AG=GC=8－x …….…………………………7分 在Rt △ABO 中∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB=8∴OA=OB ·cos30°=8×23=34 .……………………………………………………..8分 在Rt △OAG 中，OG 2+OA 2=AG 22228)34(）（x x -=+ ………………………,……………………………………….…..9分 解得，1x =∴OG=1 …………………,……………………………………………….………………..10分27.（本小题满分10分） （1）证明：连接OD ． ∵OA=OD图1 A OB CD E 图2B∴∠OAD=∠ODA …………………….1分 ∵∠OAD=∠DAE∴∠ODA=∠DAE ……………………..2分 ∴DO ∥MN ……………………………3分 ∵DE ⊥MN∴∠ODE=∠DEM =90°即OD ⊥DE ……………………………4分 ∴DE 是⊙O 的切线 ………………… 5分 （2）解：连接CD ．∵∠AED=90°，DE=6，AE=3∴AD=53 ……………………………………………………………………………...6分 ∵AC 是⊙O 的直径∴∠ADC=∠AED =90° …………………………………………………………………..7分 ∵∠CAD=∠DAE∴△ACD ∽△ADE ………………………………………………………………………..8分 ∴AD ACAE AD =即53AC 353= 则AC=15 …………………………………………………………………………...9分∴⊙O 的半径是7.5cm ． …………………………………………………………………10分28.（本小题满分12分） (1)解：y =0，则 0322=--m mx mx∵m ＜0，∴0322=--x x 解得：11-=x ， 32=x∴A （1-，0）、B （3，0） ……………………………2分（2）存在． ∵设抛物线C 1的表达式为)3(1-+=x x a y ）（（0≠a ），把C （0，23－）代入可得21=a ∴Ｃ1：23212--=x x y …………………………………………………………4分 设P （n ，23212--n n ）∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =162723432+--）（n …………………………………6分 ∵43-=a <0, ∴当23=n 时,S △PBC 最大值为1627． ……………………………………7分（3）由C 2可知： B （3，0），D （0，m 3-），M （1，m 4-） BD 2=992+m ， BM 2=4162+m ，DM 2=12+m ， ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况． 当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2 ，4162+m ＋12+m =992+m解得：221-=m , 222=m (舍去) ………………………………………………………9分 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2 ，992+m ＋12+m =4162+m解得：11-=m ，12=m (舍去) ……………………………………………………11分 综上 1-=m ，22-=m 时，△BDM 为直角三角形． …………………………………12分。