【真卷】2017年全国100所名校高考数学冲刺卷(理科)

2017年全国100所名校高考数学冲刺卷（理科）（3）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|（x﹣6）（3x+8）＜0}，B={x|y=}，则A∩B等于（）A．[﹣1，6）B．（﹣1，6）C．（﹣，﹣1] D．（﹣，﹣1）2．（5分）已知实数a，b满足（a+2i）•bi=3i+6（i为虚数单位）则在复平面内，复数z=a+bi所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）=2cos（ωx+π）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数f（x）图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=πD．x=π4．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4）是抛物线C：y2=8x上的点，F是抛物线C上的焦点，若|PF1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=20，则x1+x2+x3+x4等于（）A．8 B．10 C．12 D．165．（5分）已知各项均不相等的等比数列{a n}中，a2=1，且a1，a3，a5成等差数列，则a4等于（）A．B．49 C．D．76．（5分）如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（）A． B．C．D．7．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）8．（5分）名著《算学启蒙》中有如下题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”．这段话的意思是：“松有五尺长，竹有两尺长，松每天增长前一天长度的一半，竹每天增长前一天长度的两倍．”．为了研究这个问题，以a代表松长，以b代表竹长，设计了如图所示的程序框图，输入的a，b的值分别为5，2，则输出的n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）（x2﹣+y）5的展开式中，含x3y2的项的系数为（）A．60 B．﹣60 C．80 D．﹣8010．（5分）一个放置在水平桌面上的正四棱柱的俯视图如图所示，其中α为锐角，则该几何体的正视图的面积的最大值为（）A．2或3 B．2或3 C．1或3 D．2或211．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，第二象限的点P（x0，y0）满足bx0+ay0=0，若线段PF2的垂直平分线恰为双曲线C的过一、三象限的渐近线，则双曲线C的离心率为（）A．B．4 C．D．212．（5分）如果x0是函数f（x）的一个零点，且在这个零点两侧函数值异号，则称x0是函数f（x）的一个变号零点，已知函数f（x）=ax2+1+lnx在（，e）上有且仅有一个变号零点，则实数a的取值范围为（）A．[﹣，0）B．[﹣，0）∪{e}C．[﹣，0）D．[﹣，0]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）面积为4的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则•=．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=，则S3n=．16．（5分）三棱锥D﹣ABC中，AB=CD=，其余四条棱均为2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题（共5小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知在△ABC中，角A．B，C所对边分别为a，b，c，C=2A．（1）若c=a，求A的大小；（2）若a，b，c依次为三个连续自然数，求△ABC的面积．18．（12分）已知在一次全国数学竞赛中，某市3000名参赛学生的初赛成绩统计如图所示．（1）求a的值，并估计该市学生在本次数学竞赛中，成绩在的[80，90）上的学生人数；（2）若在本次考试中选取1500人入围决赛，则进入复赛学生的分数应当如何制定（结果用分数表示）；（3 ）若以该市考生的成绩情况估计全省考生的成绩情况，从全省考生中随机抽取4名考生，记成绩在80分以上（含80分）的考生人数为X，求X的分布列和期望．19．（12分）如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，∠GDC=90°，点E是线段GC的中点．（1）若点P为线段GD的中点，证明：平面APE⊥平面GCD；（2）求平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆：（a＞b＞0）的离心率为，圆x2+y2﹣2y=0的圆心与椭圆C的上顶点重合，点P的纵坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为2的直线l与椭圆C交于A，B两点，探究：在椭圆C上是否存在一点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax．（1）若a=，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥ax+b≥lnx﹣ax在（0，+∞）上恒成立，求实数a，b的值．选考部分（请在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的坐标方程是ρsin2θ﹣6cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x﹣2|+3|x+3|．（1）解不等式：f（x）＞15；（2）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足4a+25b=m，证明：+≥．2017年全国100所名校高考数学冲刺卷（理科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|（x﹣6）（3x+8）＜0}，B={x|y=}，则A∩B等于（）A．[﹣1，6）B．（﹣1，6）C．（﹣，﹣1] D．（﹣，﹣1）【解答】解：由A中不等式解得：﹣＜x＜6，即A=（﹣，6）；B={x|y=}=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，6），故选：A．2．（5分）已知实数a，b满足（a+2i）•bi=3i+6（i为虚数单位）则在复平面内，复数z=a+bi所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵（a+2i）•bi=3i+6，∴abi﹣2b=3i+6，∴，解得a=﹣1，b=﹣3；∴复平面内，复数z=a+bi=﹣1﹣3i；∴z所对应的点（﹣1，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）=2cos（ωx+π）（ω＞0）的最小正周期为2π，则函数f（x）图象的一条对称轴方程为（）A．x=B．x=C．x=πD．x=π【解答】解：函数f（x）=2cos（ωx+π）（ω＞0）的最小正周期为2π，所以ω=1，函数f（x）=2cos（x+π）=2sinx，它的对称轴为：x=kπ+，k∈Z，当k=0时，可得，x=，显然B正确．故选：B．4．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3），P4（x4，y4）是抛物线C：y2=8x上的点，F是抛物线C上的焦点，若|PF1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=20，则x1+x2+x3+x4等于（）A．8 B．10 C．12 D．16【解答】解：由抛物线C：y2=8x焦点在F（2，0），由抛物线的性质可知：|PF1|=x1+，|PF2|=x2+，|PF3|=x3+，|PF4|=x4+，|PF1|+|PF2|+|PF3|+|PF4|=x1+x2+x3+x4+2p=x1+x2+x3+x4+8=20，则x1+x2+x3+x4=12，故选：C．5．（5分）已知各项均不相等的等比数列{a n}中，a2=1，且a1，a3，a5成等差数列，则a4等于（）A．B．49 C．D．7【解答】解：设各项均不相等的等比数列{a n}的公比为q（q≠±1），a2=1，可得a1q=1，①a1，a3，a5成等差数列，可得2a3=a1+a5，即为2a1q2=a1+a1q4，②由①②解得q2=（1舍去），则a4=a2q2=．故选：C．6．（5分）如图所示，已知菱形ABCD是由等边△ABD与等边△BCD拼接而成，两个小圆与△ABD以及△BCD分别相切，则往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（）A． B．C．D．【解答】解：设等边三角形的边长为a，则内切圆的半径为a，∴往菱形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为=，故选：D．7．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）【解答】解：由题意，f（0）=1+b=0，∴b=﹣1，∴f（x）=1og2（x+2）+x﹣1，∴f（2）=3，函数在R上单调递增，∵|f（x）|＞3，∴|f（x）|＞f（2），∴f（x）＞2或f（x）＜﹣2，∴x＞2或x＜﹣2，故选：A．8．（5分）名著《算学启蒙》中有如下题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”．这段话的意思是：“松有五尺长，竹有两尺长，松每天增长前一天长度的一半，竹每天增长前一天长度的两倍．”．为了研究这个问题，以a代表松长，以b代表竹长，设计了如图所示的程序框图，输入的a，b的值分别为5，2，则输出的n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟程序的运行，可得a=5，b=2，n=1a=，b=4不满足条件a≤b，n=2，a=，b=8不满足条件a≤b，n=3，a=，b=16不满足条件a≤b，n=4，a=，b=32满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．故选：B．9．（5分）（x2﹣+y）5的展开式中，含x3y2的项的系数为（）A．60 B．﹣60 C．80 D．﹣80【解答】解：由于（x2﹣+y）5的表示5个因式（x2﹣+y）的乘积，故其中有2个因式取y，2个因式取x2，一个因式取﹣，可得含x3y2的项，故含x3y2的项的系数为•••（﹣2）=﹣60，故选：B．10．（5分）一个放置在水平桌面上的正四棱柱的俯视图如图所示，其中α为锐角，则该几何体的正视图的面积的最大值为（）A．2或3 B．2或3 C．1或3 D．2或2【解答】解：由俯视图可知正四棱柱的底面边长为1，高为或底面边长为，高为1，由俯视图可知主视图矩形的一边长为cosα+sinα=2sin（α+），（1）若正四棱柱的底面边长为1，高为，则正视图的面积S=1•2sin（α+）=2sin（α+），∴当α=时，正视图的面积最大，最大面积为2．（2）若正四棱柱的底面边长为，高为1，则正视图的面积S=•2sin（α+）=2sin（α+），∴当α=时，正视图的面积最大，最大面积为2．故选：D．11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，第二象限的点P（x0，y0）满足bx0+ay0=0，若线段PF2的垂直平分线恰为双曲线C的过一、三象限的渐近线，则双曲线C的离心率为（）A．B．4 C．D．2【解答】解：由题意，=，=﹣，=﹣，∴x0=﹣，y0=，∴=﹣，∴=，∴e==2，故选：D．12．（5分）如果x0是函数f（x）的一个零点，且在这个零点两侧函数值异号，则称x0是函数f（x）的一个变号零点，已知函数f（x）=ax2+1+lnx在（，e）上有且仅有一个变号零点，则实数a的取值范围为（）A．[﹣，0）B．[﹣，0）∪{e}C．[﹣，0）D．[﹣，0]【解答】解：令f（x）=0得﹣a=，令g（x）=，则g′（x）==，令g′（x）=0得x=e，∴当x∈（，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e，e）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（，e）上单调递增，在（e，e）上单调递减，且g（）=0，g（e）=，g（e）=．作出g（x）的大致函数图象如图所示：∵f（x）在（，e）上有且仅有一个变号零点，∴﹣a=g（x）在（，e）上只有1解，∴0＜﹣a≤，解得﹣≤a＜0．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）面积为4的等边三角形ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点，则•=．【解答】解：如图所示，=a2sin=4，等边三角形ABC的面积为S△∴边长为a=4；又D是AB边上靠近B的三等分点，∴=，∴=﹣=﹣；∴•=（﹣）•=﹣•=×42﹣4×4×cos=．故答案为：．14．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为2．【解答】解：由z=x﹣3y得y=x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，由，得，即C（﹣1，﹣1）．代入目标函数z=x﹣3y，得z=﹣1﹣3×（﹣1）=2，故答案为：2．15．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=，则S3n=9n2+3n．=a3n﹣2+3，a3n=a3n﹣1+3，可得a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=3a3n 【解答】解：由题意可得：a3n﹣1+9．﹣2a3n+1=a3n=a3n﹣1+3=a3n﹣2+6，又a1=1，=1+6（n﹣1）=6n﹣5．∴a3n﹣2∴S3n=（a1+a2+a3）+…+（a3n﹣2+a3n﹣1+a3n）=3（a1+a4+…+a3n﹣2）+9n=3×+9n=9n2+3n．故答案为：9n2+3n．16．（5分）三棱锥D﹣ABC中，AB=CD=，其余四条棱均为2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为7π．【解答】解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=，BC=AC=AD=BD=2，可知△ABC与△ADB，都是等腰三角形，AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD）DE==，DF=，EF==1，∴GF=，球半径DG==，∴外接球的表面积为4π×DG2=7π．故答案为：7π．三、解答题（共5小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知在△ABC中，角A．B，C所对边分别为a，b，c，C=2A．（1）若c=a，求A的大小；（2）若a，b，c依次为三个连续自然数，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵C=2A，c=a，∴由正弦定理，可得：，∵A∈（0，π），sinA≠0，∴cosA=，∴A=．（2）∵C=2A，由正弦定理可得：，∴由sinA≠0，可得c=2acosA，①∵a，b，c依次为三个连续自然数，可设a=b﹣1，c=b+1，∴cosA==，∴由①可得：b+1=2（b﹣1）•，整理解得：b=5，可得：a=4，c=6，∴cosA==，可得：sinA==，∴S=bcsinA==．△ABC18．（12分）已知在一次全国数学竞赛中，某市3000名参赛学生的初赛成绩统计如图所示．（1）求a的值，并估计该市学生在本次数学竞赛中，成绩在的[80，90）上的学生人数；（2）若在本次考试中选取1500人入围决赛，则进入复赛学生的分数应当如何制定（结果用分数表示）；（3 ）若以该市考生的成绩情况估计全省考生的成绩情况，从全省考生中随机抽取4名考生，记成绩在80分以上（含80分）的考生人数为X，求X的分布列和期望．【解答】解：（1）由题意可得：（2a+2a+3a+6a+7a）×10=1，解得a=0.005．∴成绩在的[80，90）上的学生人数=6×0.005×10×3000=900．（2）70+=．初试成绩大于或等于的进入决赛．（3）该市成绩在80分以上（含80分）的概率P==，∴X～B．∴P（X=k）=，可得P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=．∴X的分布列为：∴EX==1.6．19．（12分）如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，∠GDC=90°，点E是线段GC的中点．（1）若点P为线段GD的中点，证明：平面APE⊥平面GCD；（2）求平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD为正方形，∠GDC=90°，∴，且AD∩DG=D，∴CD⊥面ADG．∵点E是线段GC的中点．点P为线段GD的中点，∴PE∥CD，∴PE⊥面ADG，又因为PE⊂面GCD，平面APE⊥平面GCD．（2）如图以AD的中点O为原点，DA为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系．设AD=2，则B（1，2，0），D（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），G（0，0，），E（﹣，1，）设面BDE的法向量为，，由可取由（1）得CD⊥AP，∵，△GAD为等边三角形，∴AP⊥GD，即可得AP⊥面GCD，∴可取为面GCD的法向量，∵P（﹣，0，），A（1，0，0）∴=（﹣，0，），cos＜＞=，∴平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆：（a＞b＞0）的离心率为，圆x2+y2﹣2y=0的圆心与椭圆C的上顶点重合，点P的纵坐标为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为2的直线l与椭圆C交于A，B两点，探究：在椭圆C上是否存在一点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=c，b2=a2﹣c2=c2，由x2+y2﹣2y=0的标准方程x2+（y﹣1）2=1，则b=1，c=1，a=，∴椭圆的标准方程：；（2）假设存在Q，使得满足，设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线l：y=2x+m，则Q（x0，y0），P（p，），则=（x1﹣p，y1﹣），=（x0﹣x2，y0﹣y2），由，则，，则，整理得：9x2+8mx+2m2﹣2=0，则△=（8m）2﹣4×9×（2m2﹣2）=8（9﹣m2）＞0，解得：﹣3＜m＜3，①则x1+x2=﹣m，y1+y2=2（x1+x2）+2m=m，则x0=﹣m﹣p，y0=m﹣，由Q（x0，y0）在椭圆上，则x02+2y02=2，∴（﹣m﹣p）2+2（m﹣）2=2，整理得：9p2+16mp+8m2﹣m+32=0有解，则△2=（16m）2﹣4×9（8m2﹣m+32），=648﹣32（m﹣）2≥0，解得：3≤m≤12，②①②无交集，因此不存在Q，使得．21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax．（1）若a=，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）≥ax+b≥lnx﹣ax在（0，+∞）上恒成立，求实数a，b的值．【解答】解：（1）a=时，f（x）=﹣x，导数为f′（x）=﹣，可得曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线斜率为k=f′（e）=1﹣=，切点为（e，0），则曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y﹣0=（x﹣e），即有x﹣2y﹣e=0；（2）ax+b≥lnx﹣ax在（0，+∞）上恒成立，即为b≥lnx﹣2ax，设g（x）=lnx﹣2ax，g′（x）=﹣2a，若a≤0，g′（x）＞0恒成立，g（x）在（0，+∞）递增，无最值；故a＞0，则当x＞，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜，g′（x）＞0，g （x）递增．可得g（x）在x=处取得极大值，且为最大值﹣ln（2a）﹣1；则b≥﹣ln（2a）﹣1①由f（x）≥ax+b，即为b≤﹣2ax的最小值，由﹣2ax=（x﹣2ea）2﹣2ea2，当x=2ea时，取得最小值﹣2ea2，则b≤﹣2ea2，②由于关于x的不等式f（x）≥ax+b≥lnx﹣ax在（0，+∞）上恒成立，由①②可得﹣ln（2a）﹣1=﹣2ea2，即为ln（2a）+1﹣2ea2=0，可令h（a）=ln（2a）+1﹣2ea2，h′（a）=﹣4ea，可得h（a）在（，+∞）递减，在（0，）递增，即有h（a）在a=处取得极大值，也为最大值0．可得方程ln（2a）+1﹣2ea2=0的解为a=，则b=﹣2e•=﹣．选考部分（请在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的坐标方程是ρsin2θ﹣6cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的极坐标方程；（2）求直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的坐标方程是ρsin2θ﹣6cosθ=0，∴ρ2sin2θ﹣6ρcosθ=0，∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=6x．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的直角坐标方程为=0，∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴直线l的极坐标方程为2cosθ﹣2ρsinθ﹣3=0．（2）联立，得=0，=48＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=2，y1y2=﹣9，∴|MN|=•=•=8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=2|x﹣2|+3|x+3|．（1）解不等式：f（x）＞15；（2）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足4a+25b=m，证明：+≥．【解答】解：（1）x≥2时，2x﹣4+3x+9＞15，解得：x＞4，﹣3＜x＜2时，4﹣2x+3x+9＞15，无解；x≤﹣3时，4﹣2x﹣3x﹣9＞15，解得：x＜﹣，综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣3]∪（4，+∞）；（2）f（x）=，故f（x）的最小值是10，即4a+25b=10，即a+b=1（a＞0，b＞0），∴+=（+）（a+b）=++≥+2=．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。