2020-2021学年人教A版数学必修2习题：周练卷6

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2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册习题：6.4.3 第4课时余弦定理、正弦定理应用举

第4课时余弦定理、正弦定理应用举例课后篇巩固提升基础达标练1.如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是()A.角A,B和边ACB.角A,B和边BCC.边BC,AC和角CD.边BC,AC和角A,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.2.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为()A.6(3+)mB.6(3-)mC.6(3+2)mD.6(3-2)m⇒AB=AD+BD=CD=12⇒CD=6(3-)m,故选B.3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于()A. B.C. D.△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得,∴AC=,∴AB=AC sin β=.4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距8 n mile, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是()A.8()n mile/hB.8()n mile/hC.16()n mile/hD.16()n mile/h,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得,即,解得AB=8(),故此船的航速为=16()(n mile/h).5.如图,地平面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得点P的仰角∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为()A.20()mB. mC. mD.10()m,得AO=h,BO=h,则在△ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos 60°, 即400=3h2+h2-h2,解得h=(m).6.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40 n mile 的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20 n mile 的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos θ等于()A. B.C. D.△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,所以BC=20.由正弦定理,得sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=.故cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB cos 30°-sin∠ACB sin 30°=.7.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为 n mile,则x的值为.△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即x2+9-2·x·3cos 30°=()2,即x2-3x+6=0,解得x=2或x=.28.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是h.,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B 岛(10-4t)n mile,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cos 120°==-,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 h.9.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3 km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.∵OC=3,由正弦定理,得,则BO=.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得,则AO=.在△ABO中,由余弦定理,得AB=≈1.630(km)=1 630(m).故这两个建筑物间的距离约为1 630 m.能力提升练1.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m 到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cos θ=()A. B.-1C.2-D.△ABC中,由正弦定理,得BC==50()(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=-1.由题图知cos θ=sin∠ADE=sin∠BDC=-1,故选B.2.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为m.A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30 m.在Rt△ABD与Rt△ACD中,tan 45°=,tan 30°=,则DB=30 m,DC=10 m.在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·DC cos 30°,即BC2=302+(10)2-2×30×10,解得BC=10 m.3.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(+1)n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile.由题意,得AB=20(+1)n mile,DC=20 n mile,BC=10+1)n mile.在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理,得cos∠BAC=.∴∠BAC=30°.∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量的方向,即北偏西45°方向.4.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离.方法一)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=.在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,由正弦定理,得AB=.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD===.即点B,D间的距离为 km.(方法二)如图,记AD与BC的交点为M.由外角定理,得∠CDA=∠60°-∠DAC=60°-30°=30°,所以AC=DC.又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC≌△DMC,所以M为AD的中点,所以BA=BD.又AB=,所以BD=.所以点B,D间的距离为 km.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2020-2021学年人教A版数学必修2习题：周练卷5

周练卷(5)一、选择题(每小题5分，共35分)1．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是(A)A．平行B．异面C．相交D．垂直解析：因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.2．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(C)A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直，故选C.3．若两个平面互相垂直，第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么(C)A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．a必定垂直于过b的平面解析：若b为两个平面的交线，则直线a垂直于第二个平面；若b不是两个平面的交线，则直线a不一定垂直于第二个平面．4．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(C) A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.5．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB.若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为( C ) A .63B.22 C .33 D.13解析：取DD 1的中点G ，连接EG 、FG 、EC 1，易知∠FEG 为直线EF 与平面ADD 1A 1所成的角，设AB ＝a ，则AA 1＝AD ＝2a ，在△ED 1C 1中可求出EC 1＝2a ，在△EFC 1中可求出EF ＝3a ，所以在△EFG 中，sin ∠FEG ＝FG EF ＝33，故选C .6．如图所示，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′-BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( B )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′-BCD 的体积为13解析：因为平面A ′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面A ′BD ，所以CD ⊥BA ′.由勾股定理，得A ′D ⊥BA ′.又因为CD ∩A ′D ＝D ，所以BA ′⊥平面A ′CD ，所以∠BA ′C ＝90°.7.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BB 1，A 1B 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP ⊥BN 的点P 所形成图形的周长是( D )A．4 B．2＋ 2C．3＋ 5 D．2＋ 5解析：如图，取CC1的中点G，连接DG，MG，则MG∥BC.设BN交AM于点E.∵BC⊥平面ABB1A1，NB⊂平面ABB1A1，∴NB⊥MG.∵正方体的棱长为1，M，N分别是BB1，A1B1的中点，∴在△BEM中，∠MBE＝30°，∠BME＝60°，∴∠MEB＝90°，即BN⊥AM，又MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM(不包括M点)．∵正方体的棱长为1，∴矩形ADGM 的周长等于2＋ 5.故选D.二、填空题(每小题5分，共20分)8．已知直线l⊥平面α，垂足为A，直线PA⊥l，则AP与平面α的位置关系是AP⊂α.解析：设AP与l确定的平面为β.假设AP⊄α，不妨设α∩β＝AM，AP与AM 不重合，如图所示．因为l⊥α，AM⊂α，所以l⊥AM.又AP⊥l，所以在平面β内，过点A有两条直线垂直于l，这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，所以假设不成立．所以AP⊂α.9.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD 把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B-AD-C′为60°，则折叠后二面角A-BC′-D的正切值为2.解析：易知∠BDC′即二面角B-AD-C′的平面角，有∠BDC′＝60°，所以△BDC′为等边三角形．取BC′的中点M，连接DM，AM，则易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A-BC′-D的平面角即∠AMD.在等边三角形ABC中，易知AD＝23，在等边三角形BDC′中，易知DM＝3，所以tan∠AMD＝ADDM＝2.10．下列四个命题中，真命题的个数为1.①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若点M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．解析：只有③正确．11.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，因为四边形ABCD各边都相等，所以四边形ABCD 为菱形，所以BD⊥AC.又PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面APC，所以BD⊥PC.故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.三、解答题(共45分)12.(本小题15分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a.(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图，取CD的中点E，连接NE，ME.∵E，M，N分别是CD，AB，PC的中点，∴NE∥PD，EM∥DA，∴平面NEM∥平面PDA，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD ⊥PA.∵底面ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PD.∵EN ∥PD ，∴EN ⊥CD ，又∵CD ⊥EM ，EM ∩EN ＝E ，∴CD ⊥平面ENM ，∴MN ⊥CD.∵PM ＝PA 2＋AM 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝BC 2＋MB 2＝MC ，N 是PC 的中点，∴MN ⊥PC.又CD ∩PC ＝C ，∴MN ⊥平面PCD.13．(本小题15分)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到三棱锥A-BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF.证明：(1)在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AE EC ，在折叠后的三棱锥A-BCF 中也成立，∴DE ∥BC.∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，∴AF ⊥BC ，折叠后，AF ⊥CF.∵在△BFC中，BC＝22，BF＝CF＝12，∴BC2＝BF2＋CF2，因此CF⊥BF.又AF，BF相交于点F，∴CF⊥平面ABF.14.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB ＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．解：(1)证明：如图，设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，所以A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin∠A1BF＝78.。

2020-2021学年人教A版(2019)高一数学必修第二册第六章平面向量及其应用综合练习卷含解析

第六章平面向量及其应用考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( ) A ．OA →－OB →＝AB →B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →2．如图，a －b 等于( )A ．2e 1－4e 2B ．－4e 1－2e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 23．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，且λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．1或45．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( )A ．－12 B ．12 C ．－2D ．26．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2C ．2D ． 37．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD的长为( )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)8．如图所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．设向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝0，以a ，b ，a －b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是( )A ．0或1B ．2或3C ．4D ．610．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n11．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为34或32 12．给出下列四个命题，其中正确的选项有( )A ．非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°B ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形C ．若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1D ．若OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m的取值范围是m >－34三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝___.14．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是___.15．(2018·浙江，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__217__，c ＝____.16．(2020·江西弋阳一中高二月考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则△ABC 面积的最大值为____. 四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，cos A ＝34，sin B ＝5716，c >4．(1)求b ；(2)求△ABC 的周长.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值.19．(本小题满分12分)(2020·全国Ⅱ卷理)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C . (1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值.20．(本小题满分12分)△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是边BC 的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC .21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile ，问乙船每小时航行多少n mile?22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2＋sin x,1)，b ＝(2，－2)，c ＝(sin x －3,1)，d ＝(1，k )，(x ∈R ，k ∈R ).(1)若x ∈[－π2，π2]，且a ∥(b ＋c )，求x 的值； (2)若函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最小值；(3)是否存在实数k ，使得(a ＋d )⊥(b ＋c )？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.第六章平面向量及其应用考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( D ) A ．OA →－OB →＝AB →B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0． 2．如图，a －b 等于( C )A ．2e 1－4e 2B ．－4e 1－2e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] a －b ＝e 1－3e 2．3．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，且λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线[解析] OM →＝λOB →＋OA →－λOA →，所以OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，AM →＝λAB →，由λ∈(1,2)可知，A ，B ，M 三点共线，且B 在线段AM 上.4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于( C )A ．1B ．2C ．4D ．1或4[解析] 在△ABC 中，b ＝7，c ＝3，cos B ＝32，由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即7＝a 2＋3－3a ，解得a ＝4或a ＝－1(舍去).故a 的值为4．5．(2019·安徽江淮十校最后一卷)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( C )A ．－12 B ．12 C ．－2D ．2[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋(－2λ，3λ) ＝(1－2λ，2＋3λ)，由(a ＋λb )⊥c ，可得(1－2λ)×4＋(2＋3λ)×5＝0，解得λ＝－2．6．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( D )A ．1B ．2C ．2D ． 3 [解析] 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，得a 2＋b 2－ab ＝c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°. ∴sin C ＝32，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3.7．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD的长为( C )A ．4(3－1)B ．4(3＋1)C ．4(3－3)D ．4(3＋3)[解析] 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得 AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)，因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC .又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1).在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60° ＝4(3－3).故选C ．8．如图所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( D )A ．2B ．0C ．－1D ．－2[解析] 由平行四边形法则得PA →＋PB →＝2PO →，故(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，又|PC →|＝2－|PO →|，且PO →，PC →反向，设|PO →|＝t (0≤t ≤2)，则(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2t (2－t )＝2(t 2－2t )＝2[(t －1)2－1]. ∵0≤t ≤2，∴当t ＝1时，(PA →＋PB →)·PC →取得最小值－2，故选D ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．设向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝0，以a ，b ，a －b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是( ABC )A ．0或1B ．2或3C ．4D ．6[解析] 由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个，1个，2个，3个，4个，故选ABC ．10．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( AB )A ．m (a －b )＝m a －m bB ．(m －n )a ＝m a －n aC ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n[解析] 对于A 和B 属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C ，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；对于D ，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误.故选AB ．11．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ACD ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为34或32[解析] 对于A ，sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形；对于B ，由sin A ＝cos B ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形，B 错误；对于C ，sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2<c 2，∴△ABC 为钝角三角形，C 正确；对于D ，如图所示，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin B b ＝32.而c >b ，∴C ＝60°或C ＝120°，∴A ＝90°或A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34，D 正确.故选ACD ．12．给出下列四个命题，其中正确的选项有( ABC )A ．非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°B ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形C ．若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1D ．若OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m >－34[解析] A 中，令OA →＝a ，OB →＝b .以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故A 正确；B 中，∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，∴|AB →|2＝|AC →|2，故△ABC 为等腰三角形，故B 正确；C 中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1．故C 正确；D 中，∵BA →＝OA →－OB →＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →>0，即3＋3m ＋m >0，∴m >－34.又当BA →与BC →同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m >－34且m ≠12，故D 不正确.故选ABC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国卷Ⅲ)已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝__23__.[解析] 由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·(2a －5b )|a |·|2a －5b | ＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23. 14．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__4__.[解析] 由于a ⊥b ，由此画出以a ，b 为邻边的矩形ABCD ，如图所示，其中，AD →＝a ，AB →＝b ，∵a ＋b ＋c ＝0，∴CA →＝c ，BD →＝a －b .∵(a －b )⊥c ，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD 为正方形. ∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4．15．(2018·浙江，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝__217__，c ＝__3__.[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，∴7sin60°＝2sin B ，得sin B ＝217，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋c 2－74c ＝12，解得c ＝3．16．(2020·江西弋阳一中高二月考)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则△ABC 面积的最大值为[解析] (a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab . 又∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∴2ab cos C ＝ab ，∴cos C ＝12， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴16＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，∴ab ≤16．∴△ABC 面积的最大值 S ＝12ab sin C ≤12×16×sin π3＝4 3.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝4，cos A ＝34，sin B ＝5716，c >4．(1)求b ；(2)求△ABC 的周长.[解析] (1)因为a ＝4，cos A ＝34，sin B ＝5716，所以sin A ＝1－cos 2A ＝74，所以由正弦定理可得： b ＝a sin B sin A ＝4×571674＝5．(2)因为由余弦定理可得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得：16＝25＋c 2－2×5×c ×34，整理可得：2c 2－15c ＋18＝0，解得：c ＝6或32(由c >4，舍去)，所以△ABC 的周长＝a ＋b ＋c ＝4＋5＋6＝15．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值. [解析] (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小.由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210，由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5， ∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115. 19．(本小题满分12分)(2020·全国Ⅱ卷理)△ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C . (1)求A ；(2)若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值.[解析] (1)由正弦定理和已知条件得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，① 由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，② 由①，②得cos A ＝－12.因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理及(1)得AC sin B ＝AB sin C ＝BCsin A ＝23，从而AC ＝23sin B ，AB ＝23sin(π－A －B )＝3cos B －3sin B .故BC ＋AC ＋AB ＝3＋3sin B ＋3cos B ＝3＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3.又0<B <π3，所以当B ＝π6时，△ABC 周长取得最大值3＋2 3.20．(本小题满分12分)△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是边BC 的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC .[解析] 如图，B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC →＝(2，－2).设AF →＝λAC →，则BF →＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ).又DA →＝(－1,2)，BF →⊥DA →，∴BF →·DA →＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝23. ∴BF →＝(43，23)，DF →＝BF →－BD →＝(13，23).又DC →＝(1,0)，∴cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →|·|DB →|＝55， cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →|·|DC →|＝55，又∠ADB ，∠FDC ∈(0，π)，∴∠ADB ＝∠FDC .21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile ，问乙船每小时航行多少n mile?[解析] 解法一：如图，连接A 1B 2，由题意知A 2B 2＝10 2 n mile ，A 1A 2＝302×2060＝10 2 n mile.所以A 1A 2＝A 2B 2．又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，所以△A 1A 2B 2是等边三角形.所以A 1B 2＝A 1A 2＝10 2 n mile.由题意知，A 1B 1＝20 n mile ，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200．所以B 1B 2＝10 2 n mile. 因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h).答：乙船每小时航行30 2 n mile.解法二：如下图所示，连接A 2B 1，由题意知A 1B 1＝20 n mile ，A 1A 2＝302×2060＝10 2 n mile ，∠B 1A 1A 2＝105°，又cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝2(1－3)4， sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝2(1＋3)4，在△A 2A 1B 1中，由余弦定理，得A 2B 21＝A 1B 21＋A 1A 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos105°＝202＋(102)2－2×20×102×2(1－3)4＝100(4＋23)，所以A 2B 1＝10(1＋3)n mile由正弦定理，得sin ∠A 1A 2B 1＝A 1B 1A 2B 1·sin ∠B 1A 1A 2＝2010(1＋3)×2(1＋3)4＝22，所以∠A 1A 2B 1＝45°，即∠B 1A 2B 2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝2(1＋3)4. 在△B 1A 2B 2中，由题知A 2B 2＝10 2 n mile ，由余弦定理，得B 1B 22＝A 2B 21＋A 2B 22－2A 2B 1·A 2B 2·cos15°＝102(1＋3)2＋(102)2－2×10(1＋3)×102×2(1＋3)4＝200，所以B 1B 2＝10 2 n mile ，故乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h).答：乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2＋sin x,1)，b ＝(2，－2)，c ＝(sin x －3,1)，d ＝(1，k )，(x ∈R ，k ∈R ).(1)若x ∈[－π2，π2]，且a ∥(b ＋c )，求x 的值；(2)若函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最小值；(3)是否存在实数k ，使得(a ＋d )⊥(b ＋c )？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.[解析] (1)∵b ＋c ＝(sin x －1，－1)，又a ∥(b ＋c )，∴－(2＋sin x )＝sin x －1，即sin x ＝－12.又x ∈[－π2，π2]，∴x ＝－π6.(2)∵a ＝(2＋sin x,1)，b ＝(2，－2)，∴f (x )＝a ·b ＝2(2＋sin x )－2＝2sin x ＋2．又x ∈R ，∴当sin x ＝－1时，f (x )有最小值，且最小值为0．(3)∵a ＋d ＝(3＋sin x,1＋k )，b ＋c ＝(sin x －1，－1)，若(a ＋d )⊥(b ＋c )，则(a ＋d )·(b ＋c )＝0，即(3＋sin x )(sin x －1)－(1＋k )＝0，∴k ＝sin 2x ＋2sin x －4＝(sin x ＋1)2－5．由sin x ∈[－1,1]，∴－5≤(sin x ＋1)2－5≤－1，得k ∈[－5，－1].∴存在k ∈[－5，－1]，使得(a ＋d )⊥(b ＋c ).。

【新教材】2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册全册综合检测试题 Word版含解析

全册综合检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1．下列命题为假命题的是( D ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析：A 中，任何复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，所以A 正确；B 中，由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，且z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|；反之，由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1>z 2，则a 1>a 2，b 1＝b 2＝0，此时|z 1|>|z 2|；若|z 1|>|z 2|，z 1与z 2不肯定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个同学在学校的午餐费，结果如表：餐费/元 6 7 8 人数102020这50个同学的午餐费的平均值和方差分别是( A )A ．7.2,0.56B ．7.2，0.56C ．7,0.6D ．7，0.6解析：依据题意，计算这50个同学午餐费的平均值是x ＝150×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，方差是s 2＝150[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝150(14.4＋0.8＋12.8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A ．α内有很多条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：当α内有很多条直线与β平行，也可能两平面相交，故A 错．同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C ，D错．由面面平行的判定定理可得B 正确．4．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC 1与平面AB 1C 1所成的角为( A )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：如图，取B 1C 1中点为D ，连接AD ，A 1D ，由于侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，所以CC 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是CC 1与平面AB 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1D ，所以平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD ，由于AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，所以CC 1与平面AB 1C 1所成角为π6.5．正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( D )A ．3B ．5 C.32D.52解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立坐标系，如图所示，由于E 为BC 边的中点，所以E (2,1)，由于F 为CD 边上一点，所以可设F (t,2)(0≤t ≤2)，所以AF →＝(t,2)，AE →＝(2,1)，由AF →·AE →＝|AE →|2可得：2t ＋2＝22＋1＝5，所以t ＝32，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，所以|AF →|＝(32)2＋22＝52.6．已知点O 是△ABC 内部一点，并且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，△BOC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1S 2＝( A )A.16B.13C.23D.34 解析：由于OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，如图，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则 OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →，所以OD →＝－2OE →，即O ，D ，E 三点共线且|OD →|＝2|OE →|，则S △OBC ＝13S △DBC ，由于D 为AC 中点，所以S △DBC ＝12S △ABC ，所以S △OBC ＝16S △ABC ，即S 1S 2＝16.7．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为大事A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，大事A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝6P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.8．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值范围是( A )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos 〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，所以当cos 〈CD →，CP →〉＝1时，AB →·BP →取得最小值为1；当cos 〈CD →，CP →〉＝－1时，AP →·BP →取得最大值为13，因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]．二、多项选择题(每小题5分，共20分)9．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的状况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与选购联合会和中储进展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2021年1月至2022年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．依据该折线图，下列结论错误的是( ABC ) A ．2021年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2022年1月至7月的仓储指数的中位数约为55 C ．2022年1月与4月的仓储指数的平均数约为52D ．2021年1月至4月的仓储指数相对于2022年1月至4月，波动性更大解析：2021年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2022年1月至7月的仓储指数的中位数约为52，所以B 错误；2022年1月与4月的仓储指数的平均数约为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2021年1月至4月的仓储指数比2022年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．10．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个一般职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，假如再加上世界首富的年收入x n ＋1，对于这(n ＋1)个数据，下列说法错误的是( ACD )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数肯定变大，方差可能不变解析：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个一般职工的年收入，而x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，∴对于这(n ＋1)个数据，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能略微变大，但由于数据的集中程度受到x n ＋1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故A 、C 、D 说法错误，符合题意．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥eB ．a·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0，即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，A 1∉平面ABCD ，M 为A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( ABC )A ．恒有BM ∥平面A 1DEB ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥A 1-DEM 的体积的最大值为212 D ．存在某个位置，使得平面A 1DE ⊥平面A 1CD解析：如图，取A 1D 的中点N ，连接MN ，EN ，可得四边形BMNE 是平行四边形，所以BM ∥EN ，所以BM ∥平面A 1DE ，故A 正确；(也可以延长DE ，CB 交于H ，可证明MB ∥A 1H ，从而证 BM ∥平面A 1DE ) 由于DN ＝12，DE ＝2，∠A 1DE ＝∠ADE ＝45°，依据余弦定理得EN 2＝14＋2－2×2×12×22，得EN ＝52，由于EN ＝BM ，故BM ＝52，故B 正确；由于M 为A 1C 的中点，所以三棱锥C -A 1DE 的体积是三棱锥M -A 1DE 的体积的两倍，故三棱锥C -A 1DE 的体积V C -A 1DE ＝V A 1-DEC ＝13S △CDE ·h ，其中h 表示A 1到底面ABCD 的距离，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，h 达到最大值，此时V A 1-DEC 取到最大值26，所以三棱锥M -A 1DE 体积的最大值为212，即三棱锥A 1-DEM 体积的最大值为212，故C 正确；考察D 选项，假设平面A 1DE ⊥平面A 1C D ，由于平面A 1DE ∩平面A 1CD ＝A 1D ，A 1E ⊥A 1D ，故A 1E ⊥平面A 1CD ，所以A 1E ⊥A 1C ，则在△A 1CE 中，∠EA 1C ＝90°， A 1E ＝1，EC ＝2，所以A 1C ＝1，又由于A 1D ＝1，CD ＝2，所以A 1D ＋A 1C ＝CD ，故A 1，C ，D 三点共线．所以A 1∈CD ，得A 1∈平面ABCD ，与题干条件A 1∉平面ABCD 冲突，故D 不正确．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题(每小题5分，共20分)13．随着社会的进展，食品平安问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高同学的食品平安意识，某学校组织全校同学参与食品平安学问竞赛，成果的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的同学总人数为3 000，则成果不超过60分的同学人数大约为900.解析：由题图知，成果不超过60分的同学的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成果不超过60分的同学人数大约为0.3×3 000＝900.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710.解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参与志愿者服务，共有10种状况．若选出的2名同学恰有1名女生，有6种状况，若选出的2名同学都是女生，有1种状况，所以所求的概率为6＋110＝710.15．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝－3，b ＝－10. 解析：由于OC →＝2OA →＋OB →，所以1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎨⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，所以⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－10.16．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，除平面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，则四棱锥M -EFGH 的体积为23.解析：由于底面EFGH 的对角线EG 与FH 相互垂直，所以S EFGH ＝12×EG ×FH ＝12×2×2＝2，又M 到底面EFGH 的距离等于棱长的一半，即h ＝12×2＝1，所以四棱锥M -EFGH 的体积： V M -EFGH ＝13×S EFGH×h ＝13×2×1＝23.四、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(10分)某市举方法律学问问答活动，随机从该市18～68岁的人群中抽取了一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]，并绘制如图所示的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组．该部门对回答问题的状况进行统计后，绘制了下表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5 第2组 [28,38) 18 a 第3组[38,48) 27 0.9 第4组 [48,58) x 0.36 第5组[58,68]30.2(1)分别求出a ，x 的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人？(3)在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解：(1)第1组的人数为5÷0.5＝10，第1组的频率为0.010×10＝0.1，所以n ＝10÷0.1＝100.第2组的频率为0.020×10＝0.2，人数为100×0.2＝20，所以a ＝18÷20＝0.9.第4组的频率为0.025×10＝0.25，人数为100×0.25＝25，所以x ＝25×0.36＝9.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279＝231，所以第2,3,4组每组各应抽取2人、3人、1人．(3)记“第2组至少有1人获得幸运奖”为大事A ，设抽取的6人中，第2组的2人为a 1，a 2，第3组的3人为b 1，b 2，b 3，第4组的1人为c ，则从6人中任意抽取2人全部可能的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c )，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c )，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c )，(b 2，b 3)，(b 2，c )，(b 3，c )，共15种．其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c )，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，c )，共9种．故P (A )＝915＝35.所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35.18．(12分)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成果进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成果的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？ (2)在(1)中所述的优秀同学中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)由于样本量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.设抽取的5人分别为A ，B, C, D ，E ，其中A ，B 为男生，C, D ，E 为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ) }，共10个样本点．大事“至少有一名男生”包含的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.19．(12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B .(1)求角C 大小；(2)若c ＝2，求3a ＋b 的取值范围．解：(1)由于sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B ，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32，由于C ∈(0，π)，所以C ＝5π6. (2)由正弦定理得2R ＝csin C ＝4，所以3a ＋b ＝2R (3sin A ＋sin B ) ＝4[3sin A ＋sin(π6－A )] ＝4(3sin A ＋12cos A －32sin A ) ＝4sin(A ＋π6)，由于A ∈(0，π6)，所以A ＋π6∈(π6，π3)，所以sin(A ＋π6)∈(12，32)，所以3a ＋b 的取值范围是(2,23)．20．(12分)如图，A ，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛动身，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解：(1)在△ABC 中，由已知，AB ＝10×5＝50，BC ＝10×3＝30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°.依据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4 900，所以AC ＝70. 故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里．(2)在△ABC 中，据正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314，故∠BAC 的正弦值是3314.21．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面P AC ⊥平面PCD ，P A ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面P AD ； (2)求证：P A ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值．解：(1)证明：连接BD ，如图，易知AC ∩BD ＝H ，BH ＝DH ，又BG ＝PG ，故GH ∥PD ，又由于GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD .(2)证明：取棱PC 的中点N ，连接DN ，如图，依题意，得DN ⊥PC ，又由于平面P AC ⊥平面PCD ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ，所以DN ⊥平面P AC ，又P A ⊂平面P AC ，故DN ⊥P A ，又由于P A ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ，所以P A ⊥平面PCD .(3)连接AN ，如图，由(2)中DN ⊥平面P AC ，可知∠DAN 为直线AD 与平面P AC 所成的角．由于△PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点，所以DN ＝3，又DN ⊥AN ，在Rt △AND 中，sin ∠DAN ＝DN AD ＝33，所以直线AD 与平面P AC 所成角的正弦值为33.22．(12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，△P AD 为正三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ＝2AD ＝4.(1)求证：平面PCD ⊥平面P AD ； (2)求三棱锥P -ABC 的体积；(3)在棱PC 上是否存在点E ，使得BE ∥平面P AD ？若存在，请确定点E 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由于AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以CD ⊥AD .由于平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面P AD . 由于CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面P AD .(2)取AD 的中点O ，连接PO ，如图．由于△P AD 为正三角形，所以PO ⊥AD .由于平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO 为三棱锥P -ABC 的高．由于△P AD 为正三角形，CD ＝2AB ＝2AD ＝4，所以PO ＝3，所以V 三棱锥P -ABC ＝S △ABC ·PO ＝13×12×2×2×3＝233.(3)在棱PC 上存在点E ，当E 为PC 的中点时， BE ∥平面P AD .证明：如图，分别取CP ，CD 的中点E ，F ，连接BE ，BF ，EF ，所以EF ∥PD . 由于AB ∥CD ，CD ＝2AB ，所以AB ∥FD ，AB ＝FD ，所以四边形ABFD 为平行四边形，所以BF ∥AD . 由于BF ∩EF ＝F ，AD ∩PD ＝D ，所以平面BEF ∥平面P AD .由于BE ⊂平面BEF ，所以BE ∥平面P AD .。

2020_2021学年新教材高中数学本册综合检测含解析新人教A版必修第二册

综合测试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数5－3－i 的实部与虚部分别为a ，b ，则点A (b ，a )必在下列哪个函数的图象上( D )A ．y ＝2xB ．y ＝x ＋12xC ．y ＝|x |D ．y ＝－2x 2－1解析：因为5－3－i ＝5－3＋i －3－i －3＋i ＝－32＋12i ，所以a ＝－32，b ＝12，所以A (12，－32)，把点A 的坐标分别代入选项，只有D 选项满足，故选D. 2．将直径为2的半圆面绕直径所在的直线旋转半周而形成的几何体的表面积为 ( B ) A ．2π B ．3π C ．4πD ．6π解析：由题意，知该几何体为半球，表面积为半径为1的圆的面积加上半径为1的球的表面积的一半，所以S 表面积＝π×12＋12×4 ×π×12＝3π，故选B.3．以集合A ＝{2,4,6,7}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这个分数是可约分数的概率是( A )A.12B.14C.18D.110解析：以A 中任意两个元素分别为分子与分母，所有的样本点为：(2,4)，(2,6)，(2,7)，(4,2)，(4,6)，(4,7)，(6,2)，(6,4)，(6,7)，(7,2)，(7,4)，(7,6)，共12个，可约分数包括的样本点为：(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，共6个，则所求概率为12.故选A.4．在△ABC 中，若B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2的值( C ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0D ．不确定解析：根据余弦定理得cos120°＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12，即a 2＋c 2－b 2＝－ac .故a 2＋ac ＋c2－b 2＝0.5．若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( A )A.π4B.π2C.3π4D ．π解析：由条件，得(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－2b 2－a·b ＝0，即a·b ＝3a 2－2b 2.又|a |＝223|b |，所以a·b ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫223|b |2－2b 2＝23b 2，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝23b 2223b 2＝22，所以〈a ，b 〉＝π4，故选A.6．有一个样本量为100的数据分组，各组的频数如下：分组 [17,19) [19,21) [21,23) [23,25) [25,27) [27,29) [29,31) [31,33] 频数113318 162830 A ．42% B ．58% C ．40% D ．16%解析：样本中小于29的数据频数为1＋1＋3＋3＋18＋16＝42，所以小于29的数据大约占总体的42%.7．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为( A )A.52 B ．5 C.54D ．2解析：分析易知△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，且AC ＝3，BC ＝2×2＝4，所以AB＝5，故AB 边上的中线为52.8．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且tan B ＝2－3a 2＋c 2－b 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( D )A.32B.3－1 C ．2D ．2－ 3解析：由余弦定理得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，再由BC →·BA →＝12，得ac cos B ＝12，所以a 2＋c2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2＋c 2－b 2＝2－32×12＝2－ 3.故选D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．给出下列说法不正确的有( ABD )A ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方根B ．频数分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数C ．频率分布直方图中所有小长方形的面积之和等于1D ．频率分布直方图中的纵轴为频率解析：一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根，A 错；频数分布直方图中各小长方形的高度等于相应各组的频数，B 错；C 正确，D 错，纵轴为频率组距.10．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如右侧的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ABC )A ．2017年各月的仓储指数最大值是在3月份B ．2018年1月至7月的仓储指数的中位数为55C ．2018年1月与4月的仓储指数的平均数为52D ．2017年1月至4月的仓储指数相对于2018年1月至4月，波动性更大解析：2017年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为53，所以B 错误；2018年1月与4月的仓储指数的平均数为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥e ＝0B ．a ·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a·e －1＝0，即a·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12.如图所示，三棱锥A BCD 的底面是等腰直角三角形，AB ⊥平面BCD ，AB ＝BC ＝BD ＝2，E 是棱CD 上的任意一点，F ，G 分别是AC ，BC 的中点，则在下面命题中是真命题的是( ACD )A ．平面ABE ⊥平面BCDB ．平面EFG ∥平面ABDC ．四面体EFCG 体积的最大值是13D ．平面EFG ⊥平面BCD解析：A 正确，因为AB ⊥平面BCD ，且AB ⊂平面ABE ，由面面垂直的判定定理可知平面ABE ⊥平面BCD ；B 错，若两平面平行，则必有AD ∥EF ，而点E 是棱CD 上任意一点，故该命题为假命题；C 正确，由已知易得GF ⊥平面GCE ，且GF ＝12AB ＝1，而S △GCE ＝12GC ·CE ·sin45°＝24CE ≤1，故V F GCE ＝13S △GCE ·FG ≤13；D 正确，由GF ⊥平面GCE ，可得平面EFG ⊥平面BCD .故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知在△ABC 中，7sin A ＝8sin B ＝13sin C，则C 的度数为__120°__.解析：由a sin A ＝b sin B ＝c sin C 及7sin A ＝8sin B ＝13sin C，得a ∶b ∶c ＝7∶8∶13.设a ＝7k ，b ＝8k ，c ＝13k (k >0)，则有cos C ＝7k2＋8k 2－13k 22×7k ×8k＝－12.又∵0°<C <180°，∴C ＝120°.14．已知点P ，Q 是△ABC 所在平面上的两个定点，且满足PA →＋PC →＝0,2QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|PQ →|＝λ|BC →|，则实数λ＝ 12.解析：由条件PA →＋PC →＝0，知PA →＝－PC →＝CP →，所以点P 是边AC 的中点．又2QA →＋QB →＋QC →＝BC →，所以2QA →＝BC →－QB →－QC →＝BC →＋CQ →＋BQ →＝2BQ →，从而有QA →＝BQ →，故点Q 是边AB 的中点，所以PQ 是△ABC 的中位线，所以|PQ →|＝12|BC →|，故λ＝12.15．《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为258. 解析：圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π(L 2π)2h ＝L 2h12π，则275L 2h ≈L 2h 12π，∴π≈258. 16．某医院急诊中心关于病人等待急诊的时间记录如下：等待时间/min[0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25] 频数48521用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值x ＝__9.5__，病人等待时间标准差的估计算s ≈__5.34__(保留两位小数)．解析：x ＝120×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5，s 2＝120×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2]＝28.5，∴s ≈5.34.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题10分)如图，已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3cos x,3sin x )，OB →＝(3cos x ，sin x )，OC →＝(3，0)，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求证：(OA →－OB →)⊥OC →；(2)若△ABC 是等腰三角形，求x 的值．解：(1)证明：∵OA →－OB →＝(0,2sin x )， ∴(OA →－OB →)·OC →＝0×3＋2sin x ×0＝0， ∴(OA →－OB →)⊥OC →.(2)若△ABC 是等腰三角形，则AB ＝BC ， ∴(2sin x )2＝(3cos x －3)2＋sin 2x ，即2cos 2x －3cos x ＝0. 解得cos x ＝0或cos x ＝32， ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＝32，∴x ＝π6.18．(本小题12分)如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，且满足AB ∥CD ，AD ＝DC ＝12AB ，PA ⊥平面ABCD .(1)求证：平面PBD ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝AB ，求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值．解：(1)证明：取AB 的中点E ，连接CE ，则由题意知，△BCE 为正三角形，所以∠ABC ＝60°.由四边形ABCD 为等腰梯形知∠BCD ＝120°，设AD ＝DC ＝BC ＝2，则AB ＝4，BD ＝23，故AD 2＋BD 2＝AB 2，即得∠ADB ＝90°，所以AD ⊥BD .又PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 又AD ∩PA ＝A ，所以BD ⊥平面PAD . 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面PAD .(2)在平面ABCD 中，过点C 作CH ∥BD 交AD 的延长线于点H ，由(1)知BD ⊥平面PAD ，所以CH ⊥平面PAD ，连接PH ，则∠CPH 即为所求的角．根据(1)中所设，在Rt △CHD 中，CD ＝2，∠CDH ＝60°，所以CH ＝3，连接AC ，在Rt △PAC 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝42＋232＝27.所以在Rt △PHC 中，sin ∠CPH ＝CH PC ＝327＝2114，即PC 与平面PAD 所成角的正弦值为2114. 19．(本小题12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝185sin B sin C ，b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A＝0的两根(b >c )．(1)求cos A 的值； (2)判断△ABC 的形状．解：(1)由正弦定理得(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，即b 2＋c 2－a 2＝85bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45.(2)由(1)知cos A ＝45，则方程x 2－9x ＋25cos A ＝0可化为x 2－9x ＋20＝0，解得x ＝5或x＝4.∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9，∴a ＝3.∵b 2＝a 2＋c 2，∴△ABC 为直角三角形．20．(本小题12分)如图，在三棱锥V ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ABC 的体积．解：(1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，所以OC ⊥平面VAB .又OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V ABC 的体积与三棱锥C VAB 的体积相等，所以三棱锥V ABC 的体积为33. 21．(本小题12分)如图所示，已知半圆的直径AB ＝2，点C 在AB 的延长线上，BC ＝1，点P 为半圆上的一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值．解：设∠POB ＝θ(0<θ<π)，四边形OPDC 的面积为y ，则在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ，∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin(θ－π3)＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.即四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.22．(本小题12分)如图所示，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1＝AB ＝a .题图(1)求证：AD ⊥B 1D ； (2)求证：A 1C ∥平面AB 1D ； (3)求三棱锥C AB 1D 的体积．解：(1)证明：∵三棱柱ABC A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC . 又∵AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥BB 1.又∵△ABC 是正三角形，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC . 又∵BC ∩BB 1＝B ， ∴AD ⊥平面B 1BCC 1，又∵B 1D ⊂平面B 1BCC 1，∴AD ⊥B 1D .(2)证明：如图所示，连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE .答图∵AA 1＝AB ，∴四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点．又∵D 是BC 的中点， ∴DE ∥A 1C .∵DE ⊂平面AB 1D ，A 1C ⊄平面AB 1D ， ∴A 1C ∥平面AB 1D .(3)VC AB 1D ＝VB 1ADC ＝13S △ADC ·BB 1＝324a 3.。

2021-2022学年新教材人教A版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用课时练习题含答案解析

第六章平面向量及其应用练习题1、平面向量的概念 (1)2、向量的加法运算 (7)3、向量的减法运算 (13)4、向量的数乘运算 (20)5、向量的数量积 (26)6、平面向量基本定理 (32)7、平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示 (39)8、平面向量数乘运算的坐标表示 (45)9、平面向量数量积的坐标表示 (51)10、平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例 (58)11、余弦定理 (67)12、余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题 (74)13、余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题 (83)1、平面向量的概念【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列说法不正确的是( )A．向量的模是一个非负实数B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同【解析】选D.根据向量的有关概念易判断，D项错误．2．(2021·淄博高一检测)在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中，相等向量有( )A．一组 B．二组 C．三组 D．四组【解析】选A.△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，在如图所示的向量中，相等向量是CE → 和EA →，有一组． 3．下面几个命题： ①若a ＝b ，则|a |＝|b |； ②若|a |＝0，则a ＝0； ③若|a |＝|b |，则a ＝b ；④若向量a ，b 满足⎩⎨⎧|a |＝|b |，a ∥b ，则a ＝b.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】选C.①正确．②正确．③错误.a 与b 的方向不一定相同．④错误．a 与b 的方向有可能相反．4．如图，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中一定不成立的是( )A.|AB→ |＝|EF → |B ．AB → 与FH → 共线C ．BD → 与FH → 共线 D ．CD → ＝FG →【解析】选C.对于A ，因为四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，因此|AB → |＝|EF → |一定成立，故A 不符合题意；对于B ，根据菱形的性质，AB → 与FH → 共线一定成立，故B 不符合题意；对于D ，根据菱形的性质，CD → 与FG → 方向相同且模相等，因此CD → ＝FG → 一定成立，故D 不符合题意．二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，AO → 是某人行走的路线，那么AO → 的几何意义是某人从A 点沿西偏南________方向行走了________km.【解析】由已知图形可知，AO → 的几何意义是从A 点沿西偏南60°方向，行走了2 km.答案：60° 26．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K ，L ，M ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量KL → 相等的向量是________．【解析】如图，因为K ，L 分别是AB ，BC 的中点，连接AC ，所以KL∥AC，KL ＝12AC ，同理MN∥AC，MN ＝12 AC ，所以KL∥MN，KL ＝MN ，所以KL → ＝NM → .答案：NM → 三、解答题7．(10分)如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B.点C 为小正方形的顶点，且|AC→ |＝ 5 .(1)画出所有的向量AC → ； (2)求||BC → 的最大值与最小值．【解析】(1)画出所有的向量AC →如图所示；(2)由(1)所画的图知，①当点C 在点C 1或C 2时，||BC → 取得最小值 12＋22 ＝ 5 ；②当点C 在点C 5或C 6时，||BC → 取得最大值 42＋52 ＝41 .所以||BC → 的最大值为41 ，最小值为 5 . 【加固训练】在如图的方格纸上，每个小正方形的边长都是1，已知向量a .(1)试以点B 为终点画一个向量b ，使b ＝a .(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝ 5 ，并画出向量c 的终点组成的图形．【解析】(1)如图所示，向量OB → 即为所求向量b .(2)向量AC → 即为一个所求向量c ，向量c 的终点组成的图形是一个以点A 为圆心，以 5 为半径的圆，如图所示．【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．若|AB → |＝|AD → |且BA → ＝CD → ，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形【解析】选C.由BA → ＝CD → ，知AB ＝CD 且AB∥CD，即四边形ABCD 为平行四边形．又因为|AB→ |＝|AD → |，所以平行四边形ABCD 为菱形． 2．(多选题)在下列结论中，正确的结论为( ) A ．a ∥b 且|a |＝|b |是a ＝b 的必要不充分条件 B ．a ∥b 且|a |＝|b |是a ＝b 的既不充分也不必要条件 C ．a 与b 方向相同且|a |＝|b |是a ＝b 的充要条件 D ．a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b 的充分不必要条件【解析】选ACD.若a ＝b ，则a 与b 方向相同，模相等，所以A 对B 错；a 与b 方向相同且|a|＝|b|⇔a ＝b ，所以C 对；对于D ，a 与b 方向相反⇒a≠b ，|a|≠|b|⇒a ≠b ，所以充分性成立；但a≠bD ⇒/a 与b 方向相反，a ≠bD ⇒/|a|≠|b|，所以不必要，D 对．二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB → 是平行向量，与BC → 是共线向量，则m ＝________．【解析】因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB → 与BC → 不共线，又因为m ∥AB → 且m ∥BC → ，所以m ＝0. 答案：04．如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形．(1)所标向量中，与向量ED → 相等的向量有________； (2)若|AB→ |＝3，则|EC → |＝________．【解析】(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形，可知与向量ED → 相等的向量有AB → ，DC → .(2)因为|AB → |＝3，|EC → |＝2|AB → |，所以|EC →|＝6.答案：(1)AB → ，DC → (2)6 【加固训练】如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：(1)有两个向量的模相等，这两个向量是__________，它们的模都等于________． (2)存在着共线向量，这些共线的向量是__________，它们的模的和等于________．【解析】(1)模相等的两个向量是CH → ，AE → ， |CH→ |＝|AE → |＝12＋32 ＝10 .(2)共线的向量是DG → ，HF →，且|DG→ |＋|HF → |＝2 2 ＋3 2 ＝5 2 . 答案：(1)CH → ，AE →10 (2)DG → ，HF →5 22、向量的加法运算【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．对于任意一个四边形ABCD ，下列式子不能化简为BC → 的是( ) A ．BA → ＋AD → ＋DC → B ．BD → ＋DA → ＋AC → C ．AB → ＋BD → ＋DC → D ．DC → ＋BA → ＋AD →【解析】选C.在A 中，BA → ＋AD → ＋DC → ＝BD → ＋DC → ＝BC → ；在B 中，BD → ＋DA → ＋AC → ＝BA → ＋AC → ＝BC → ；在C 中，AB → ＋BD → ＋DC → ＝AD → ＋DC → ＝AC → ；在D 中，DC → ＋BA → ＋AD → ＝DC → ＋BD → ＝BD → ＋DC → ＝BC → . 2．下列等式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ； ②AB → ＋BA → ＝0； ③AC → ＝DC → ＋AB → ＋BD → .A ．②③ B．② C．① D．③【解析】选B.②错误，AB → ＋BA → ＝0，①③正确．3．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB → ＋FE →＋CD → |等于( )A.1 B ． 2 C ． 3 D ．2【解析】选D.正六边形ABCDEF 中，AB → ＝ED → ，CD → ＝AF → ，所以AB → ＋FE → ＋CD → ＝ED →＋FE → ＋AF →＝AF → ＋FE → ＋ED → ＝AD → ，因为|AB→ |＝1，所以|AD → |＝2. 4．在平行四边形ABCD 中，若|BC → ＋BA → |＝|BC → ＋AB →|，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．不确定【解析】选B.依题意，平行四边形ABCD 中，|BC → ＋BA → |＝|BC → ＋AB → |，则平行四边形ABCD 的两条对角线相等．故四边形ABCD 为矩形．二、填空题(每小题5分，共10分)5．化简：(AB → ＋MB → )＋(BO → ＋BC → )＋OM → ＝________．【解析】(AB → ＋MB → )＋(BO → ＋BC → )＋OM → ＝(AB → ＋BC → )＋(BO → ＋OM → ＋MB → )＝AC → ＋0＝AC → . 答案：AC →6．如图所示，O(0，0)，A(－2，－1)，B(0，1)，则|OA → ＋OB → |＝________．【解析】如图所示，由平行四边形法则知，OA →＋OB → ＝OC → ，点C 的坐标为(－2，0)，所以|OA → ＋OB → |＝2. 答案：2 三、解答题7．(10分)如图，四边形ABDC 为等腰梯形，AB∥CD，AC ＝BD ，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点．试求：(1)AB → ＋AE → ；(2)AB → ＋AC → ＋EC → ；(3)CD → ＋AC → ＋DB → ＋EC → . 【解析】由已知得四边形ACEB ，四边形ABDE 均为平行四边形． (1)AB → ＋AE → ＝AD → ；(2)AB → ＋AC → ＋EC → ＝AE → ＋EC → ＝AC → ；(3)CD → ＋AC → ＋DB → ＋EC → ＝CE → ＋ED → ＋AC → ＋DB → ＋EC → ＝(CE → ＋EC → )＋(ED → ＋DB → )＋AC →＝EB → ＋AC → ＝CA → ＋AC → ＝0. 【加固训练】如图，已知三个向量a ，b ，c ，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a ＋b ＋c .【解析】利用三角形法则作a ＋b ＋c ，如图①所示，作OA → ＝a ，以A 为起点，作AB → ＝b ，再以B 为起点，作BC → ＝c ，则OC → ＝OB → ＋BC → ＝OA → ＋AB → ＋BC →＝a ＋b ＋c .利用平行四边形法则作a ＋b ＋c ，如图②所示，作OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，以OA →，OB → 为邻边作▱OADB ，则OD → ＝a ＋b ，再以OD → ，OC → 为邻边作▱ODEC ，则OE → ＝OD →＋OC → ＝a ＋b ＋c .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．(多选题)已知平行四边形ABCD ，设AB → ＋CD → ＋BC → ＋DA → ＝a ，且b 是一非零向量，则下列结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |<|a |＋|b |【解析】选AC.因为在▱ABCD 中，AB → ＋CD → ＝0，BC → ＋DA → ＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，A ，C 正确，B 错误；|a ＋b |＝|0＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，D 错误．2．若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB → ＋AC → |＝ 2 ，则△ABC 的形状是( ) A ．正三角形 B ．锐角三角形 C ．斜三角形 D ．等腰直角三角形【解析】选D.设线段BC 的中点为O ，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知|AB → ＋AC → |＝2|AO → |，又|AB → ＋AC → |＝ 2 ，故|AO→ |＝22 ，又BO ＝CO ＝22 ，所以△ABO 和△ACO 都是等腰直角三角形，所以△ABC 是等腰直角三角形．二、填空题(每小题5分，共10分)3．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：(1)DE → ＋EA →＝________； (2)BE → ＋AB → ＋EA → ＝________； (3)DE → ＋CB → ＋EC → ＝________； (4)BA → ＋DB → ＋EC → ＋AE → ＝________．答案：(1)DA→ (2)0 (3)DB → (4)DC → 4．如图，一架飞机从A 地按北偏西30°方向飞行300 km 后到达B 地，然后向C 地飞行，已知C 地在A 地北偏东60°方向处，且|BC→ |＝300 2 km ，则飞机从B 地向C 地飞行的方向是南偏东____________，|AB → ＋BC →|＝________ km.【解析】由题意和图形可知∠BAC＝90°，因为|AB → |＝300 km ，|BC →|＝300 2 km ，所以|AC→ |＝300 km ，因为∠ABC＝45°，A 地在B 地南偏东30°的方向处，所以C 地在B 地南偏东75°的方向处．故飞机从B 地向C 地飞行的方向为南偏东75°. 答案：75° 300 【加固训练】如图，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ．绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ，则F 1与F 2的合力大小为______，方向为________________．【解析】以OA → ，OB → 为邻边作平行四边形BOAC ，则F 1＋F 2＝F ，即OA → ＋OB → ＝OC → ，则∠OAC＝60°，|OA → |＝24，|AC → |＝|OB → |＝12，所以∠ACO＝90°，所以|OC→ |＝12 3 . 所以F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为竖直向上．答案：12 3 N 竖直向上三、解答题5．(10分)已知在任意四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF →＋EF → ＝AB → ＋DC → .【证明】如图，在平面内取点O ，连接AO ，EO ，DO ，CO ，FO ，BO.EF →＝EO → ＋OF → ＝EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ， AB →＝AO → ＋OB → ，DC →＝DO → ＋OC → ＝DE → ＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ＋FC → . 因为E ，F 分别是AD ，BC 的中点，所以DE → ＝EA → ，BF → ＝FC → .所以EF → ＋EF → ＝EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ＝DE → ＋AO → ＋OB → ＋FC →＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF →＝(AO → ＋OB → )＋(DE → ＋FC → ＋EA → ＋AO → ＋OB → ＋BF → ) ＝AB → ＋DC → .3、向量的减法运算【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，BC → ＝a ，CA → ＝b ，则AB → 等于( ) A ．a ＋b B ．－a ＋(－b ) C ．a －b D ．b －a【解析】选B.AB → ＝CB → －CA → ＝－a －b ＝－a ＋(－b ). 【加固训练】AC → 可以写成：①AO → ＋OC → ；②AO → －OC → ；③OA → －OC → ；④OC → －OA → ，其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】选D.由向量的加法及减法定义可知①④符合．2．如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OA → ＝a ，OB → ＝b ，OC → ＝c ，则EF → 等于( )A ．a ＋bB ．b －aC ．c －bD ．b －c【解析】选D.EF → ＝OA → ＝CB → ＝OB → －OC → ＝b －c .3．如图所示，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则AF → －DB → 等于( )A.FD → B ．FC → C ．FE → D ．DF →【解析】选 D.由题图易知AF → ＝DE → ，所以AF → －DB → ＝DE → －DB → ＝BE → ，又BE → ＝DF →，所以AF → －DB → ＝DF → .4．在四边形ABCD 中，AB → ＝DC → ，若|AD → －AB → |＝|BC → －BA → |，则四边形ABCD 是( ) A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定【解析】选B.因为AB → ＝DC → ，所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为|AD → －AB → |＝|BC → －BA → |，所以|BD → |＝|AC → |. 所以四边形ABCD 为矩形．二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知OA → ＝a ，OB → ＝b ，若|OA → |＝12，|OB → |＝5，且∠AOB＝90°，则|a －b |的值为____________．【解析】a ，b ，a －b 构成了一个直角三角形，则 |a －b |＝|a |2＋|b |2 ＝122＋52 ＝13. 答案：13 【加固训练】在△ABC 中，|AB → |＝|BC → |＝|CA → |＝1，则|AB → －BC → |＝________. 【解析】延长CB 到D ，使CB ＝BD ，连接AD ，如图．在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD＝120°， AB →－BC → ＝AB → ＋CB → ＝AB → ＋BD → ＝AD → . 易求得AD ＝ 3 ，即|AD → |＝ 3 . 所以|AB → －BC → |＝ 3 . 答案： 36．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB → ＝c ，AC → ＝b ，BD → ＝a ；AD → ＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．【解析】根据题意画出图形，如图所示，d －a ＝AD → －BD → ＝AD → ＋DB → ＝AB → ＝c .d ＋a ＝AD → ＋BD → ＝AD → ＋DC → ＝AC → ＝b . 答案：c b三、解答题7．(10分)如图，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB → ＝a ，BC → ＝b ，AC → ＝c ，试作向量：(1)a －b ；(2)a －b ＋c .【解析】(1)在正方形ABCD 中，a －b ＝AB → －BC → ＝AB → －AD → ＝DB → .连接BD ，箭头指向B ，即可作出a －b .(2)过B 作BF∥AC，交DC 的延长线于F ，连接AF ，则四边形ABFC 为平行四边形，所以a ＋c ＝AB → ＋AC → ＝AF → .在△ADF 中，DF → ＝AF → －AD → ＝a ＋c －b ＝a －b ＋c ，所以DF → 即为所求．【加固训练】如图，在正五边形ABCDE 中，若AB → ＝a ，BC → ＝b ，CD → ＝c ，DE → ＝d ，EA → ＝e ，求作向量a －c ＋b －d －e .【解析】a －c ＋b －d －e ＝(a ＋b )－(c ＋d ＋e )＝(AB → ＋BC → )－(CD → ＋DE → ＋EA → )＝AC → －CA → ＝AC → ＋AC → .如图，连接AC ，并延长至点F ，使CF ＝AC ，则CF → ＝AC → ，所以AF → ＝AC → ＋AC → ，即为所求作的向量a －c ＋b －d －e .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分) 1．有下列不等式或等式： ①|a |－|b |＜|a ＋b |＜|a |＋|b |； ②|a |－|b |＝|a ＋b |＝|a |＋|b |； ③|a |－|b |＝|a ＋b |<|a |＋|b |； ④|a |－|b |<|a ＋b |＝|a |＋|b |. 其中，一定不成立的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【解析】选A.①当a 与b 不共线时成立；②当a ＝b ＝0，或b ＝0，a ≠0时成立；③当a 与b 方向相反，且|a |≥|b |时成立；④当a 与b 方向相同时成立． 2．(多选题)(2021·泰安高一检测)下列各式中结果为零向量的是( ) A ．AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → B ．AB → ＋BC → ＋CA → C ．OA → ＋OC → ＋BO → ＋CO → D ．AB → －AC → ＋BD → －CD →【解析】选BD.由向量加法的法则得A ：AB → ＋MB → ＋BO → ＋OM → ＝AB → ＋MB → ＋BM → ＝AB → ，故结果不为零向量；B ：AB → ＋BC → ＋CA → ＝AC → ＋CA →＝0，结果为零向量；C ：OA → ＋OC → ＋BO → ＋CO → ＝BO → ＋OA → ＝BA → ，结果不为零向量；D ：AB → －AC → ＋BD → －CD → ＝AB → ＋BD → －(AC → ＋CD → )＝AD → －AD → ＝0，结果为零向量．【加固训练】(多选题)下列说法正确的是( ) A ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则OM → －OE → ＝OD → B ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则OM → ＋DO → ＝OE → C ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则OD → －EO → ＝OM → D ．若OD → ＋OE → ＝OM → ，则DO → ＋EO → ＝OM →【解析】选ABC.由向量的减法就是向量加法的逆运算可知，A ，B ，C 都正确．由相反向量定义知，若OD → ＋OE → ＝OM → ，则DO → ＋EO → ＝－OD → －OE → ＝－(OD → ＋OE → )＝－OM → ，故D 错误．二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图，设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB → ＝a ，AD → ＝b ，OD → ＝c ，则OB → ＝__________．【解析】由于OB → ＝DB → －DO → ，而DB → ＝AB → －AD → ＝a －b ，DO → ＝－OD → ＝－c ，所以OB → ＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c4．已知菱形ABCD 的边长为2，则向量AB → －CB → ＋CD → 的模为________，|AC → |的范围是____________．【解析】因为AB → －CB → ＋CD →＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝AD → ，又因为|AD→ |＝2，所以|AB → －CB → ＋CD → |＝|AD →|＝2.又因为AC → ＝AB → ＋AD → ，且在菱形ABCD 中，|AB → |＝2，所以||AB → |－|AD → ||<|AC →|＝|AB → ＋AD → |<|AB → |＋|AD → | 即0<|AC→ |<4. 答案：2 (0，4) 三、解答题5．(10分)已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求|a ＋b ||a －b | .【解析】设OA → ＝a ，OB → ＝b ，则BA → ＝OA → －OB → ＝a －b . 因为|a |＝|b |＝|a －b |，所以BA ＝OA ＝OB.所以△OAB 为正三角形．设其边长为1，则|a －b |＝|BA→ |＝1，|a ＋b |＝2×32 ＝ 3 . 所以|a ＋b ||a －b | ＝31 ＝ 3 .【加固训练】已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM → ＝a ，CA → ＝b .求证：(1)|a －b |＝|a |；(2)|a ＋(a －b )|＝|b |.【证明】因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，所以CA ＝CB. 又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM. (1)因为CM → －CA → ＝AM → ，又|AM→ |＝|CM → |，所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点，所以AM → ＝MB → ，所以a ＋(a －b )＝CM → ＋(CM → －CA → )＝CM → ＋AM → ＝CM → ＋MB → ＝CB → ，因为|CA → |＝|CB→ |，所以|a ＋(a －b )|＝|b |.4、向量的数乘运算【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．如图，在矩形ABCD 中，点E 为CD 的中点，那么向量12AB →＋AD → 等于( )A.AE → B ．AC → C ．DC → D ．BC → 【解析】选A.因为E 为CD 的中点，所以，则12AB → ＋AD → ＝DE → ＋AD → ＝AE → . 2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ＝( )A.－2 B ．－1 C ．1 D ．2 【解析】选D.根据图形可看出2a ＋b ＝c ；满足2a ＋b 与c 共线，所以λ＝2.3．在四边形ABCD 中，若AB → ＝3e ，CD → ＝－5e ，且|AD → |＝|BC → |，则四边形ABCD是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰的梯形【解析】选C.因为AB → ＝－35 CD → ，所以AB∥CD，且|AB → |≠|CD → |.而|AD→ |＝|BC → |，所以四边形ABCD 为等腰梯形．4．(2021·新乡高一检测)已知MN → ＝a ＋5b ，NP → ＝－2(a －4b )，PQ → ＝3(a －b )，则( )A ．M ，N ，P 三点共线B ．M ，N ，Q 三点共线C ．M ，P ，Q 三点共线D ．N ，P ，Q 三点共线【解析】选B.NQ → ＝NP → ＋PQ → ＝a ＋5b ＝MN → ，所以M ，N ，Q 三点共线．【加固训练】已知向量a ，b ，且AB → ＝a ＋2b ，BC → ＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D【解析】选A.AB → ＋BC → ＋CD → ＝a ＋2b ＋(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝AD → ＝3AB→ ，所以A ，B ，D 三点共线．二、填空题(每小题5分，共10分)5．若|a |＝m ，b 与a 方向相反，|b |＝2，则a ＝______b . 【解析】因为2|a |＝m|b |，a 与b 方向相反，所以a ＝－m2 b .答案：－m2【加固训练】已知2a －b ＝m ，a ＋3b ＝n ，那么a ，b 用m ，n 可以表示为a ＝________，b ＝________．【解析】由2a －b ＝m ，可得2a －m ＝b ，代入a ＋3b ＝n 可得a ＋3(2a －m )＝n ，解得a ＝37 m ＋17 n ，代入2a －m ＝b 可得b ＝－17 m ＋27 n .答案：37 m ＋17 n －17 m ＋27n6．已知向量a ，b 不共线，若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ等于________．【解析】因为向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，所以(a ＋λb )∥(b ＋λa )，即存在一个负实数m ，使得a ＋λb ＝m(b ＋λa )，即(1－mλ)a ＝(m －λ)b . 因为a 与b 不共线，所以1－mλ＝m －λ＝0，可得m ＝λ＜0，所以1－λ2＝0，所以λ＝－1. 答案：－1 三、解答题7．(10分)如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 的中点，M ，N 分别是DE ，BC 的中点，已知BC → ＝a ，BD → ＝b ，试用a ，b 分别表示DE → ，CE → ，MN → .【解析】由三角形中位线定理，知DE 綊12 BC ，故DE → ＝12 BC → ，即DE →＝12 a .CE → ＝CB → ＋BD → ＋DE →＝－a ＋b ＋12 a ＝－12 a ＋b .MN → ＝MD → ＋DB → ＋BN → ＝12 ED → ＋DB →＋12 BC →＝－14 a －b ＋12 a ＝14a －b .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．如图，已知OA → ＝a ，OB → ＝b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则MN → ＝( )A.a ＋b B ．2a －3b C ．3a ＝2b D ．2b －2a【解析】选D.因为OA → ＝a ，OB → ＝b ，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，所以AB 是△MSN 的中位线，所以MN → ＝2AB → ＝2(OB → －OA → )＝2b －2a . 【加固训练】(2021·焦作高一检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，P 为线段AB 的中点，且OA → －BO → ＋3OC → ＝0，那么( ) A ．CO → ＝23 OP → B ．CO → ＝13 OP →C ．CO → ＝32 OP →D ．CO → ＝12OP →【解析】选A.O 是△ABC 所在平面内一点，因为P 是AB 边中点．则OA → ＋OB → －3CO → ＝0⇒OA → ＋OB → ＝3CO → ，⇒2OP → ＝3CO → ⇒CO → ＝23OP → .2．(多选题)(2021·德州高一检测)已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) A ．2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2eB ．存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0C ．当x ＋y ＝0时，x a ＋y b ＝0D ．已知梯形ABCD ，其中AB → ＝a ，CD →＝b【解析】选AB.A.联立2a －3b ＝4e 和a ＋2b ＝－2e 消去向量e 可得出4a ＋b ＝0，所以b ＝－4a ，且a ≠0，所以a ，b 共线；B ．因为a ，b 都是非零向量，且λ≠μ，λa －μb ＝0，所以λ，μ都不为0，所以a ＝μλb ，所以a ，b 共线；C ．当x ＝y ＝0时，满足x ＋y ＝0，此时对任意的向量a ，b 都有x a ＋y b ＝0，所以得不出a ，b 共线；D ．因为AB 与CD 不一定平行，所以得不出a ，b 共线．二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2021·淄博高一检测)C 在线段AB 上，且AC CB ＝32 ，则AC → ＝____AB → ，BC →＝____AB→ .【解析】因为AC CB ＝32 ，所以AC → ＝35 AB → ，BC → ＝－25 AB →.答案：35 －254．如图，四边形ABCD 是一个梯形，AB → ∥CD → 且|AB → |＝2|CD → |，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．(1)AC→ ＝____________； (2)MN→ ＝____________．【解析】(1)因为AB → ∥CD → ，|AB → |＝2|CD → |，所以AB → ＝2DC → ，DC →＝12 AB → .AC → ＝AD → ＋DC →＝e 2＋12e 1.(2)MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN →＝－12 DC → －AD → ＋12 AB → ＝－14 e 1－e 2＋12 e 1＝14e 1－e 2. 答案：(1)e 2＋12 e 1 (2)14 e 1－e 2【一题多变】在本例中，若条件改为BC → ＝e 1，AD → ＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN → .【解析】因为MN → ＝MD → ＋DA → ＋AN → ，MN → ＝MC → ＋CB → ＋BN → ，所以2MN → ＝(MD → ＋MC →)＋DA → ＋CB → ＋(AN → ＋BN → ).又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD → ＋MC → ＝0，AN → ＋BN → ＝0. 所以2MN → ＝DA → ＋CB → ，所以MN → ＝12 (－AD → －BC → )＝－12 e 2－12 e 1.三、解答题5．(10分)(2021·忻州高一检测)已知△OAB 中，点C 是点B 关于点A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的三等分点，设AB → ＝a ，AO → ＝b . (1)用向量a 与b 表示向量OC → ，CD → ； (2)若OE → ＝45OA →，求证：C ，D ，E 三点共线．【解析】(1)因为AB → ＝a ，AO → ＝b ，所以OC → ＝OA → ＋AC → ＝－a －b ，CD → ＝CB → ＋BD → ＝CB → ＋13 BO → ＝CB → ＋13(BA → ＋AO → )＝2a ＋13 (－a ＋b )＝53 a ＋13 b .(2)因为CE → ＝OE → －OC → ＝45 (－b )＋a ＋b＝a ＋15 b ＝35CD → ，所以CE → 与CD → 共线，又因为CE → 与CD → 有公共点C ，所以C ，D ，E 三点共线．5、向量的数量积【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2021·广州高一检测)已知向量a ，b 满足|a |＝ 3 ，|b |＝2 3 ，a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角是( )A ．150° B．120° C．60° D．30° 【解析】选B.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b | ＝－33×23＝－12 ，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.2．(2021·台州高一检测)已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3 ，那么|a －4b |等于( )A ．2B ．2 3C ．6D ．12 【解析】选B.因为(a －4b )2＝a 2－8a·b ＋16b 2 ＝|a |2－8|a |·|b |cos π3＋16|b |2＝4－8＋16＝12，所以|a －4b |＝2 3 .3．在△ABC 中，若AB → ·BC → ＋AB → 2＝0，则BC → 在BA → 上的投影向量为( )A ．BA →B ．12 AB →C ．AC →D ．12CA →【解析】选A.因为0＝AB → ·BC → ＋AB → 2＝AB → ·(BC → ＋AB → )＝AB → ·AC → ，所以AB → ⊥AC → ，又BC → 与BA → 的夹角为锐角，所以BC → 在BA → 上的投影向量为BA → . 4．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( )A ．a ＋2bB ．2a ＋bC ．a －2bD ．2a －b 【解析】选D.由已知可得：a·b ＝||a ·||b ·cos 60°＝1×1×12 ＝12 .A ：因为(a ＋2b )·b ＝a·b ＋2b 2＝12 ＋2×1＝52 ≠0，所以本选项不符合题意；B ：因为(2a ＋b )·b ＝2a·b ＋b 2＝2×12 ＋1＝2≠0，所以本选项不符合题意；C ：因为(a －2b )·b ＝a·b －2b 2＝12 －2×1＝－32≠0，所以本选项不符合题意；D ：因为(2a －b )·b ＝2a·b －b 2＝2×12 －1＝0，所以本选项符合题意．二、填空题(每小题5分，共10分)5．在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，|AB → |＝ 3 ，|CB → |＝1，则AC →与CB → 的夹角θ＝________．【解析】在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB ＝ 3 ，CB ＝1，所以tan ∠ACB＝AB CB＝ 3 ，所以∠ACB＝60°，即CB → 与CA → 的夹角为60°，所以AC → 与CB → 的夹角为120°.答案：120°6．如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB → ·BC → 等于________．【解析】因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝ 3 ，所以AB → ·BC → ＝1× 3 ×cos 150°＝－32 .答案：－32三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在▱ABCD 中，|AB→ |＝4，|AD → |＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD → ·BC → ； (2)AB → ·DA → .【解析】(1)因为AD → ∥BC → ，且方向相同，所以AD → 与BC → 的夹角是0°，所以AD → ·BC → ＝|AD → ||BC → |·cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为AB → 与AD → 的夹角为60°，所以AB → 与DA → 的夹角为120°，所以AB → ·DA → ＝|AB → ||DA →|·cos 120°＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－6.8．已知非零向量a ，b 满足a ＋3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求a 与b 的夹角．【解析】设a 与b 的夹角为θ，由已知条件得⎩⎨⎧（a ＋3b ）·（7a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2b ）＝0，即⎩⎨⎧7a 2＋16a ·b －15b 2＝0， ①7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0， ② ②－①得23b 2－46a ·b ＝0，所以2a ·b ＝b 2，代入①得a 2＝b 2，所以|a |＝|b |，所以cos θ＝a ·b |a ||b | ＝12b 2|b |2 ＝12 .因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·b ＝1，则向量a 与a －b 的夹角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．5π6 D ．2π3【解析】选A.|a －b |＝（a －b ）2 ＝a 2＋b 2－2a ·b ＝ 3 ，设向量a 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a －b ）|a ||a －b | ＝22－12×3 ＝32 ，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6. 2．(多选题)已知正方形ABCD 的边长为2，向量a ，b 满足AB → ＝2a ，AD → ＝2a ＋b ，则( )A ．|b |＝2 2B ．a⊥bC ．a·b ＝2D ．(4a ＋b )⊥b【解析】选AD.由条件可得：b ＝AD → －AB → ＝BD → ，所以|b |＝|BD→ |＝2 2 ，A 正确； a ＝12 AB → ，与BD → 不垂直，B 错误； a·b ＝12AB →·BD → ＝－2，C 错误；4a ＋b ＝AB → ＋AD → ＝AC →，根据正方形的性质有AC⊥BD，所以(4a ＋b )⊥b ，D 项正确．二、填空题(每小题5分，共10分)3．如图所示，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA → ＝4，BF → ·CF → ＝－1，则BE → ·CE → 的值是________．【解析】设BD → ＝a ，DF → ＝b ，则BA → ·CA → ＝(a ＋3b )·(－a ＋3b )＝9|b |2－|a |2＝4，BF → ·CF → ＝(a ＋b )·(－a ＋b )＝|b|2－|a |2＝－1，解得|a |2＝138 ，|b |2＝58，则BE → ·CE → ＝(a ＋2b )·(－a ＋2b )＝4|b |2－|a |2＝78 .答案：784．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________；b 在a 上的投影向量的模等于________．【解析】a ·b ＝|a ||b |co s 45°＝4|b |cos 45°＝2 2 |b |，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝|a |2＋12 a ·b －3|b |2＝16＋ 2 |b |－3|b |2＝12，解得|b |＝ 2 或|b |＝－223 (舍去).b 在a 上的投影向量的模为||b |cos 45°| ＝ 2 cos 45°＝1. 答案： 2 1三、解答题(每小题10分，共20分)5．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设P ，Q 满足AP → ＝λAB → ，AQ →＝(1－λ)AC →(λ∈R )，若BQ → ·CP →＝－32 ，求实数λ的值．【解析】因为BQ → ＝BA → ＋AQ → ，CP → ＝CA → ＋AP → ，所以BQ → ·CP → ＝(BA → ＋AQ → )·(CA → ＋AP → ) ＝AB → ·AC → －AB → ·AP → －AC → ·AQ → ＋AQ → ·AP →＝AB → ·AC → －λAB → 2－(1－λ)AC → 2＋λ(1－λ)AB → ·AC →＝2－4λ－4(1－λ)＋2λ(1－λ)＝－2λ2＋2λ－2＝－32 ，所以λ＝12 .6．(2021·黄冈高一检测)已知向量n 与向量m 的夹角为π3，且|n |＝1，|m |＝3，n ·(n －λm )＝0. (1)求λ的值；(2)记向量n 与向量3n －m 的夹角为θ，求cos 2θ. 【解析】(1)由n ·(n －λm )＝n 2－λm ·n ＝1－λ×3×1×cos π3＝0，所以λ＝23. (2)因为n ·(3n －m )＝3n 2－m ·n ＝3－3×1×12 ＝32|3n －m |＝（3n －m ）2 ＝9n 2－6m ·n ＋m 2 ＝9－6×32＋9 ＝3，所以cos θ＝n ·()3n －m ||n ·||3n －m ＝321×3 ＝12，所以cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2－1＝－12 .6、平面向量基本定理【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．设{e 1，e 2}是平面内一个基底，则下面四组向量中，能作为基底的是( ) A ．e 1－e 2与e 2－e 1 B ．2e 1＋3e 2与－4e 1－6e 2 C ．e 1＋2e 2与2e 1－e 2 D ．－12 e 1＋18 e 2与e 1－14e 2【解析】选C.因为只有不共线的两个向量才能作为基底，选项A 、B 、D 中的两个向量都是共线的，不可以作为基底．选项C 中的两个向量不共线，可作为基底． 2．(2021·成都高一检测)如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若a ＝λe 1＋μe 2，则λ＋μ＝( )A ．－1B ．3C ．1D ．－3【解析】选A.根据图象可知a ＝－3e 1＋(e 2＋e 1)＝－2e 1＋e 2，所以λ＝－2，μ＝1，λ＋μ＝－2＋1＝－1.3.在△ABC 中，AE → ＝15 AB → ，EF∥BC，EF 交AC 于F ，设AB → ＝a ，AC → ＝b ，则BF →等于( )A ．－a ＋15 bB ．a －15 bC ．23 a －13 bD ．13 a ＋23b【解析】选A.因为AE →＝15 AB → ，所以BE → ＝－45AB →.又因为EF∥BC，所以EF → ＝15 BC → ＝15(AC →－AB → )，所以BF → ＝BE → ＋EF → ＝－45 AB → ＋15 (AC → －AB → )＝15 AC → －AB → ＝－a ＋15 b .【加固训练】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF →＝( )A ．34 AB → ＋14 AD → B ．14 AB → ＋34 AD →C ．12 AB → ＋AD → D ．34 AB → ＋12AD → 【解析】选D.根据题意得：AF →＝12 (AC → ＋AE → )，又AC → ＝AB → ＋AD → ，AE →＝12 AB → ，所以AF →＝12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋12AB →＝34 AB → ＋12AD →. 4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD → ＝4DB → ＝rAB → ＋sAC → ，则3r ＋s 的值为( )A ．165B ．125C ．85D ．45【解析】选C.因为CD → ＝4DB → ＝rAB → ＋sAC → ，所以CD → ＝45 CB → ＝45(AB → －AC → )＝rAB→ ＋sAC → ，所以r ＝45 ，s ＝－45 .所以3r ＋s ＝125 －45 ＝85. 二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图，在正方形ABCD 中，设AB → ＝a ，AD → ＝b ，BD → ＝c ，则在以{a ，b }为基底时，AC → 可表示为________，在以{a ，c }为基底时，AC → 可表示为________．【解析】以{a ，b }为基底时，由平行四边形法则得AC → ＝a ＋b .以{a ，c }为基底时，将BD → 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则得AC → ＝2a ＋c . 答案：a ＋b 2a ＋c6．已知e 1，e 2不共线，且a ＝k e 1－e 2，b ＝e 2－e 1，若a ，b 不能作为基底，则实数k 等于________．【解析】因为a ，b 不能作为基底，所以a ，b 共线，可设a ＝λb ，λ∈R ，则k e 1－e 2＝λ()e 2－e 1 ，即k e 1－e 2＝λe 2－λe 1，因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎨⎧k ＝－λ，－1＝λ，所以k ＝1. 答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)7．(2021·大连高一检测)如图，已知M ，N ，P 是△ABC 三边BC ，CA ，AB 上的点，且BM → ＝14 BC → ，CN → ＝14 CA → ，AP → ＝14 AB →，若AB → ＝a ，AC → ＝b ，试用基底{a ，b }表示向量NP → ，AM → .【解答】因为CN →＝14 CA → ，所以AN → ＝34AC →，所以NP → ＝AP → －AN → ＝14 AB → －34 AC → ＝14 a －34 b ，AM →＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋14 BC → ＝AB →＋14 (AC → －AB → )＝34 AB → ＋14 AC → ＝34 a ＋14b .8．如图，已知在梯形ABCD 中，AD∥BC，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA → ＝a ，BC → ＝b .试以{a ，b }为基底表示EF → ，DF → .【解析】连接FA ，DF. 因为AD∥BC，且AD ＝13BC ，所以AD → ＝13 BC → ＝13 b ，所以AE → ＝12 AD → ＝16 b .因为BF → ＝12 BC → ，所以BF → ＝12 b ，所以FA → ＝BA → －BF → ＝a －12 b .所以EF → ＝EA → ＋AF → ＝－AE → －FA → ＝－16 b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b ＝13 b －a ，DF → ＝DA → ＋AF → ＝－(AD → ＋FA →) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤13b ＋⎝⎛⎭⎪⎫a －12b ＝16 b －a .【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知非零向量OA → ，OB → 不共线，且2OP → ＝xOA → ＋yOB → ，若PA → ＝λAB → (λ∈R )，则x ，y 满足的关系式是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．2x ＋y －2＝0 【解析】选A.由PA → ＝λAB → ，得OA → －OP → ＝λ(OB → －OA → )，即OP → ＝(1＋λ)OA → －λOB → . 又2OP→ ＝xOA → ＋yOB → ，所以⎩⎨⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2.2．(多选题)(2021·岳阳高一检测)如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB∥CD，AB ＝2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．AC → ＝AD → ＋12 AB → B ．MC → ＝12 AC → ＋12 BC →C ．MN → ＝AD → ＋14 AB → D ．BC → ＝AD → －12AB →【解析】选ABD.AC → ＝AD → ＋DC → ＝AD → ＋12 AB → ，A 正确；MC →＝MA → ＋AC → ＝12 BA → ＋AC → ＝12 ()BC →－AC → ＋AC → ＝12 AC → ＋12 BC → ，B 正确；MN → ＝MA → ＋AD → ＋DN → ＝－12AB → ＋AD → ＋14 AB → ＝AD → －14 AB → ，C 错误；BC → ＝BA → ＋AD → ＋DC → ＝－AB → ＋AD → ＋12AB →＝AD → －12 AB → ，D 正确．二、填空题(每小题5分，共10分)3．方格纸中向量a ，b ，c 如图所示，若c ＝λa ＋μb ，则λ＋μ＝________．【解析】设水平向右，竖直向上的单位向量分别为e 1，e 2，则a ＝e 1＋3e 2，b ＝3e 1－e 2，c ＝5e 1＋5e 2，又c ＝λa ＋μb ，所以⎩⎨⎧λ＋3μ＝5，3λ－μ＝5，所以⎩⎨⎧λ＝2，μ＝1，即λ＋μ＝3.答案：34．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，线段OD 上有点M 满足DO → ＝3DM → ，线段CO 上有点N 满足OC → ＝λON → (λ＞0)，设AB → ＝a ，AD → ＝b ，已知MN → ＝μa －16b ，则λ＝________，μ＝________．【解析】依题意得BD → ＝b －a ，AC →＝a ＋b ，且DM → ＝16 DB → ＝16 (a －b )＝16 a －16 b ，AN →＝AO → ＋ON → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ AC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ (a ＋b )，所以AM → ＝AD → ＋DM → ＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －16b ＝16 a ＋56 b ，AN → ＝AM → ＋MN → ＝16 a ＋56 b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫μa －16b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋μ a ＋23 b ，即AN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12λ (a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋μ a ＋23 b ，由平面向量基本定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧12＋12λ＝23，12＋12λ＝16＋μ，解得⎩⎨⎧λ＝3，μ＝12．答案：312三、解答题(每小题10分，共20分)5．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE → ＝23 AD → ，AB →＝a ，AC → ＝b .(1)用a ，b 表示AD → ，AE → ，AF → ，BE → ，BF → ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【解析】(1)延长AD 到点G ，使AG → ＝2AD →，连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，则AG → ＝a ＋b ，AD → ＝12 AG → ＝12 (a ＋b )，AE → ＝23 AD → ＝13 (a ＋b )，AF →＝12 AC → ＝12b ，BE → ＝AE → －AB → ＝13 (a ＋b )－a ＝13 (b －2a )，BF → ＝AF → －AB → ＝12 b －a ＝12 (b－2a ).(2)由(1)知，BE →＝23 BF → ，所以BE → ，BF → 共线．又BE → ，BF → 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．6．(2021·六盘山高一检测)如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．(1)若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF → ＝λAB → ＋μAD →，求λ＋μ的值． (2)若AB ＝2，当AE → ·BF → ＝1时，求DF 的长．【解析】(1)因为点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，所以CF → ＝－13 DC → ＝－13 AB → ，EC → ＝12 BC → ＝12 AD → ，所以EF → ＝EC → ＋CF → ＝－13 AB → ＋12 AD →，所以λ＝－13 ，μ＝12 ，故λ＋μ＝－13 ＋12 ＝16.(2)设CF → ＝λCD → ，则BF → ＝BC → ＋CF → ＝AD → －λAB → ，又AE → ＝AB → ＋BE → ＝AB → ＋12AD →，AB → ·AD → ＝0，所以AE → ·BF → ＝(AB → ＋12 AD → )·(AD → －λAB → )＝－λAB → 2＋12 AD → 2＝－4λ＋2＝1，故λ＝14 ，所以DF ＝(1－λ)×2＝32.7、平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示【基础全面练】一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量a ＝(1，2)，a ＋b ＝(3，2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1，2) C ．(5，6) D ．(2，0) 【解析】选D.b ＝(3，2)－a ＝(3，2)－(1，2)＝(2，0).2．已知AB → ＝(－2，4)，则下面说法正确的是( ) A ．A 点的坐标是(－2，4) B ．B 点的坐标是(－2，4)C ．当B 是原点时，A 点的坐标是(－2，4)D ．当A 是原点时，B 点的坐标是(－2，4)【解析】选D.由任一向量的坐标的定义可知．当A 点是原点时，B 点的坐标是(－2，4).故D 项说法正确．3．(2021·淮安高一检测)已知点A(1，0)，B(3，2)，向量AC → ＝(2，1)，则向量BC → ＝( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(1，0)D ．(－1，0)【解析】选A.AB → ＝(2，2)，AC → ＝(2，1)；所以BC → ＝AC → －AB → ＝(0，－1). 【加固训练】在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB → ＝(2，4)，AC → ＝(1，3)，则DA → ＝( )A ．(2，4)B ．(3，5)C ．(1，1)D ．(－1，－1) 【解析】选C.DA → ＝－AD → ＝－BC → ＝－(AC → －AB → )＝(1，1).4．(2021·开封高一检测)已知M(3，－2)，N(5，－1)，若NP → ＝MN →，则P 点的坐标为( )A ．(3，2)B ．(3，－1)C ．(7，0)D ．(1，0)【解析】选C.设点P 的坐标为(x ，y)，则NP → ＝(x －5，y ＋1)，MN → ＝(5－3，－1＋2)＝(2，1)，由NP → ＝MN → ，所以(x －5，y ＋1)＝(2，1)，解得x ＝7，y ＝0；所以点P(7，0).二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2021·长沙高一检测)如图所示，在平面直角坐标系中，CD → ＝(2，－3)，则点D 的坐标为________．【解析】设点D 的坐标为(x ，y)，则CD → ＝OD → －OC →＝(x －2，y －4)＝(2，－3)，即⎩⎨⎧x －2＝2y －4＝－3，解得x ＝4，y ＝1；所以点D 的坐标为(4，1). 答案：(4，1)6．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB → 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x ＝________．【解析】易得AB → ＝(2，0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得⎩⎨⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB → ，AC → ，BC → ，BD → 的坐标．【解析】正三角形ABC 的边长为2，则顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，所以C(1， 3 )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 ，所以AB → ＝(2，0)，AC →＝(1， 3 )， BC →＝(1－2， 3 －0)＝(－1， 3 )， BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2，32－0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32 .8．已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R )，C(4，5).若AP → ＝AB → ＋AC → ，试求λ为何值时：(1)点P 在一、三象限角平分线上； (2)点P 在第一象限内．【解析】设点P 的坐标为(x ，y)，则AP → ＝(x ，y)－(λ，3)＝(x －λ，y －3)，又因为AB → ＝(5，2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)，AC → ＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，所以AP → ＝AB → ＋AC → ＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2λ－1)，所以⎩⎨⎧x －λ＝9－2λ，y －3＝2λ－1. 则⎩⎨⎧x ＝9－λ，y ＝2λ＋2. (1)若P 在一、三象限角平分线上，则9－λ＝2λ＋2，所以λ＝73 .(2)若P 在第一象限内，则⎩⎨⎧9－λ>0，2λ＋2>0.所以－1<λ<9.所以λ＝73 时，点P 在一、三象限角平分线上；－1<λ<9时，点P 在第一象限内．【综合突破练】一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知i ，j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA → ＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x∈R )，则点A 位于( ) A ．第一、二象限 B ．第二、三象限。

2020-2021学年度高中数学周练卷(二)新人教A版必修1

周练卷(二)(时间:90分钟满分:120分)知识点、方法题号函数的概念及映射1,2函数概念的应用3,4,7,10,12,17函数的表示方法5,9,11,13,16,20分段函数6,8,14,15,18,19一、选择题(每小题5分,共60分)1.设集合A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},则f:A→B是映射的是( B )(A)f:x→y=3x (B)f:x→y=x(C)f:x→y=x (D)f:x→y=x解析:根据映射定义A中的元素都有唯一的元素与之对应,可得B满足,故选B.2.设x取实数,则f(x)与g(x)表示同一个函数的是( B )(A)f(x)=x,g(x)=(B)f(x)=,g(x)=(C)f(x)=1,g(x)=(x-1)0(D)f(x)=,g(x)=x-3解析:A组中两函数的定义域相同,对应关系不同,g(x)=|x|≠x,故A中的两函数不为同一个函数;B组中两函数的定义域均为所有正数构成的集合,对应关系化简为f(x)=g(x)=1,故B中的两函数是同一个函数;C组中两函数的定义域不同,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠1},故C中的两函数不为同一个函数;D组中两函数的定义域不同,g(x)的定义域为R,f(x)的定义域由不等于-3的实数构成,故D中的两函数不为同一个函数.故选B.3.函数f(x)=+的定义域为( C )(A)(-3,0] (B)(-3,1](C)[-1,3)∪(3,+∞) (D)[-1,3)解析:要使函数f(x)=+有意义,须解得x≥-1,且x≠3,所以f(x)的定义域为[-1,3)∪(3,+∞).故选C.4.设f(x)=(x≠0),则f()等于( A )(A)f(x) (B)(C)f(-x) (D)解析:f()====f(x).故选A.5.已知对于任意两个实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立.若f(-3)=2,则f(2)等于( D )(A)-(B) (C) (D)-解析:令x=y=0,则f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0;令x=3,y=-3,则f(0)=f(3)+f(-3),且f(-3)=2⇒f(3)=-2;f(3)=f(1)+f(2),f(2)=f(1)+f(1)⇒f(2)=f(3)=-.故选D.6. 已知f(x)=则f(f(5))等于( C )(A)-3 (B)1(C)-1 (D)4解析:因为f(5)=f(5-3)=f(2)=f(2-3)=f(-1)=-2-(-1)3=-2+1=-1.所以f(f(5))=f(-1)=-1.选C.7.函数f(x)=的值域是( D )(A)(-∞,2] (B)(0,+∞)(C)[2,+∞) (D)[0,2]解析:因为函数f(x)=≥0,而且-x2-2x+3=-(x2+2x-3)=-(x+1)2+4≤4,所以≤2,所以0≤f(x)≤2.故选D.8.设集合P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤y≤2},则图中能表示P到Q的映射的是( C )(A)(1)(2)(3)(4) (B)(1)(3)(4)(C)(1)(4) (D)(3)解析:(2)不是映射,排除选项A,(3)中当x∈(1,2]时在Q中无元素与之对应,即不表示P到Q的映射,(1)(4)表示由P到Q的映射,故选C.9.函数y=+1的图象是下列图象中的( A )解析:当x=0时,y=+1=2.故排除B,D;当x=2时,y=+1=-1+1=0.故排除C.选A.10.函数f(x)=的值域是( D )(A)R (B)[0,+∞)(C)[0,3] (D)[0,2]∪{3}解析:作出y=f(x)的图象,如图所示.由图象知,f(x)的值域是[0,2]∪{3}.故选D.11.已知f(3x+2)=9x2+3x-1,则f(x)等于( C )(A)3x2-x-1 (B)81x2+127x+53(C)x2-3x+1 (D)6x2+2x+1解析:设t=3x+2,则x=,代入解析式得,所以f(t)=9()2+3·-1=t2-3t+1,所以f(x)=x2-3x+1,故选C.12.设函数f(x)满足对任意的m,n(m,n为正整数)都有f(m+n)=f(m)·f(n)且f(1)=2,则++…+等于( C )(A)2 011 (B)2 010 (C)4 020 (D)4 022解析:因为函数f(x)满足对任意的m,n(m,n为正整数)都有f(m+n)=f(m)·f(n)且f(1)=2,所以f(m+1)=f(m)·f(1),变形可得=f(1)=2,所以++…+=2 010f(1)=4 020.故选C.二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知f(+1)=x+2,则f(x)= .解析:因为f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1,则f(x)=x2-1(x≥1).答案:x2-1(x≥1)14.(2018·江苏省通东中学高三第一阶段月考)a,b为实数,集合M={,1},N={a,0},f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b= .解析:因为f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,所以或所以或而a=1,b=1时,M中有两个相同元素,故a=1,b=1不合题意.所以a+b=1.答案:115.某客运公司确定车票价格的方法是:如果行程不超过100千米,票价是每千米0.5元;如果超过100千米,超过部分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与行程数x(千米)之间的函数关系式是 .解析:根据行程是否大于100千米来求出解析式,由题意,当0≤x≤100时,y=0.5x;当x>100时,y=100×0.5+(x-100)×0.4=10+0.4x.答案:y=16.已知函数y=f(x)是一次函数,且[f(x)]2-3f(x)=4x2-10x+4,则f(x)= .解析:因为函数y=f(x)是一次函数,所以设f(x)=ax+b(a≠0),因为[f(x)]2-3f(x)=4x2-10x+4,所以(ax+b)2-3(ax+b)=4x2-10x+4,所以a2x2+(2ab-3a)x+b2-3b=4x2-10x+4,所以所以a=-2,b=4或a=2,b=-1,所以f(x)=-2x+4或f(x)=2x-1.答案:-2x+4或2x-1三、解答题(共40分)17.(本小题满分8分)求函数的定义域:(1)f(x)=+;(2)f(x)=+x0.解:(1)要使函数有意义,只需即解得-1≤x<.所以函数的定义域为[-1,).(2)要使函数有意义,只需即所以函数的定义域为[-,0)∪(0,+∞).18.(本小题满分10分)已知f(x)=(1)作出f(x)的图象;(2)求f(x)的定义域和值域.解:(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.由图象知,当-1≤x≤1时,f(x)=x2的值域为[0,1];当x>1或x<-1时,f(x)=1.所以f(x)的值域为[0,1].19.(本小题满分10分)某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下所表示的关系.x …30 40 45 50 …y …60 30 15 0 …(1)在所给的坐标系中,如图,根据表格提供的数据描出实数对(x,y)的对应点,并确定y与x的一个函数关系式y=f(x);(2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系,写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少时,才能获得最大日销售利润?解:(1)由表作出点(30,60),(40,30),(45,15),(50,0).如图,它们近似地在一条直线上,设它们共线于直线y=kx+b,所以解得所以y=-3x+150,(x∈N).经检验(30,60),(40,30)也在此直线上.所以所求函数解析式为y=-3x+150,(x∈N).(2)依题意P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300,当x=40时,P有最大值300,故销售单价为40元/件时,才能获得日最大利润.20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a,b为常数且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,求函数f(x)的解析式,并求f(f(-3))的值.解:根据题意f(2)=1得=1即2a+b=2. ①又=x有唯一解,即ax2+(b-1)x=0有唯一解.所以Δ=(b-1)2-4a×0=0.所以b=1,代入式①解得a=,所以f(x)=.于是f(-3)===6, 所以f(f(-3))=f(6)==.。

2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册第六章平面向量及其应用单元测试卷

所以；
所以；
(2)因为 ,
所以 .
18．（Ⅰ）；（Ⅱ） .
（Ⅰ），，，
，
，，解得；
（Ⅱ），
，，解得 .
19．（1）；；（2）
（1）由题意，；
.
（2）由题意得， .
20．（1）；（2） .
（1）因为，由正弦定理得；
所以
得
因
故
（2）
得
所以
21．条件选择见解析；（1）；（2） .
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）
参考答案
1．D
解：对于A，向量与向量是相反向量，所以A错误；
对于B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以B错误；
对于C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以C错误；
2．已知是的边上的中线，若，则等于（）
A． B． C． D．
3．已知向量，，且与共线，则为（）
A． B． C． D．
4．已知向量，，满足，，且，则（）
A． B．0C．1D．2
5．向量，若，则的值是( )
A．4B．-4C．2D．-2
6．已知向量，，则与的夹角为（）
对于D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，也可以重合，所以D正确，
故选：D
2．B
因为是的边上的中线，所以为的中点，
所以
.
故选：B
3．B
解法一：∵ ，，与共线，
∴ ，解得．
解法二：∵ ，，与共ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，

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周练卷(6)
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．过A (1,1)，B (0，－1)两点的直线方程是( A )
A.y ＋11＋1＝x
B.y －1－1＝x －1－1
C.y －10－1＝x －1－1－1 D ．y ＝x
解析：过A (1,1)，B (0，－1)两点的直线方程可写成y －(－1)1－(－1)＝x －01－0
，整理得y ＋11＋1
＝x ，故选A. 2．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是( B )
A ．3x －y －8＝0
B ．3x ＋y ＋4＝0
C ．3x －y ＋6＝0
D ．3x ＋y ＋2＝0
解析：∵点A (1,3)，B (－5,1)所在直线的斜率为1－3－5－1＝13
，且线段AB 的中点为P (－2,2)，∴线段AB 的垂直平分线的斜率为－3，其点斜式方程为y －2＝－3(x ＋2)，整理得3x ＋y ＋4＝0，故选B.
3．过点P (1，－2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( B )
A ．4条
B ．3条
C ．2条
D ．1条
解析：显然过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设斜率为k ，且k ≠0，∴直线的方程为y ＋2＝k (x －1)，即kx －y －k －2＝0，其在x 轴上的截距为
k ＋2k ，在y 轴上的截距为－k －2，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ＋2k ＝|－k －2|⇒|k ＋2|(|k |－1)＝0，
解得k ＝－2或k ＝±1，∴符合条件的直线有3条，故选B.
4．两直线l 1：mx －y ＋n ＝0和l 2：nx －y ＋m ＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( B )
解析：化一般式为斜截式，得l 1：y ＝mx ＋n ，l 2：y ＝nx ＋m ，可见两条直线的斜率、截距恰好互换，所以选B.
5．过点P (1,2)引直线，使A (2,3)，B (4，－5)到它的距离相等，则这条直线的方程是( D )
A ．4x ＋y －6＝0
B ．x ＋4y －6＝0
C ．2x ＋3y －7＝0或x ＋4y －6＝0
D ．3x ＋2y －7＝0或4x ＋y －6＝0
解析：由题意得k AB ＝－5－34－2
＝－4，线段AB 的中点为C (3，－1)．分两种情况讨论：①过P (1,2)且与直线AB 平行的直线满足题意，其方程为y －2＝－4(x －1)，整理得4x ＋y －6＝0；②过点P (1,2)与线段AB 的中点C (3，
－1)的直线满足题意，其方程为y －(－1)2－(－1)＝x －31－3
，整理得3x ＋2y －7＝0.故满足条件的直线方程是4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0，故选D.
6．两直线3x ＋2y ＋m ＝0和(m 2＋1)x －3y －3m ＝0的位置关系是( B )
A ．平行
B ．相交
C ．重合
D ．视m 而定
解析：直线3x ＋2y ＋m ＝0的斜率等于－32，直线(m 2＋1)x －3y －3m ＝0
的斜率等于m 2＋13，这两直线的斜率一定不相等，故两直线相交，故选B.
7．已知三条直线l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y ＋1＝0不能围成三角形，则实数m 的取值集合为( C )
A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23
B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫43，－23
C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－43，－23，23 解析：∵三条直线不能围成三角形，
∴(1)若l 1∥l 3，则m ＝23；若l 2∥l 3，则m ＝－43；
(2)三线共点时也不能围成三角形，
直线2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，－13，代入mx －y ＋1＝0，得m ＝43.故选C.
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．过点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为－32.
解析：∵过点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y －91－9＝x －3－1－3
，整理得2x －y ＋3＝0，令y ＝0，得x ＝－32，∴直线在x 轴上的截距为－32.
9．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线方程为x ＋2y －8＝0.
解析：因为所求直线与直线y ＝2x ＋1垂直，所以其斜率k ＝－12，又
所求直线在y 轴上的截距为4，故所求直线方程为y ＝－12x ＋4，即x ＋2y
－8＝0.
10．若直线x ＋2y －3＝0，kx ＋y －1＝0，x 轴的正半轴和y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，且k <0，则实数k 的值为－2.
解析：根据所围成的四边形有外接圆，且k <0，可知直线x ＋2y －3＝0
和kx ＋y －1＝0互相垂直，因此－12·(－k )＝－1，即k ＝－2.
11．方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)中：
当A ＝0，C ≠0时，方程表示的直线平行于x 轴；
当A ＝0，C ＝0时，方程表示的直线与x 轴重合；
当B ＝0，C ≠0时，方程表示的直线平行于y 轴；
当B ＝0，C ＝0时，方程表示的直线与y 轴重合；
当C ＝0时，方程表示的直线过原点；
当AB <0且BC >0时，方程表示的直线过第一、三、四象限．
解析：当A ＝0，C ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成y ＝0，与x 轴重
合；当B ＝0，C ≠0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋C ＝0，即x ＝－C A ，
它表示一条平行于y 轴的直线；当B ＝0，C ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＝0，即x ＝0，与y 轴重合；当C ＝0时，方程Ax ＋By ＋C ＝0变成Ax ＋By ＝0，是一条通过原点的直线；当A ≠0，B ≠0，C ≠0时，方程Ax
＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，要使它过第一、三、四象限，则
⎩⎪⎨⎪⎧ －A B >0，
－C B <0，即AB <0且BC >0.
三、解答题(共45分)
12．(本小题15分)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，求直线l 的点斜式方程．
解：直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，∴倾斜角为45°.
由题意知，直线l 的倾斜角为135°，
∴直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1.
又点P (3,4)在直线l 上，由直线的点斜式方程知，直线l 的点斜式方程为y －4＝－(x －3)．
13．(本小题15分)设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值．
(1)直线l 在x 轴上的截距为－3；
(2)直线l 的斜率为1.
解：(1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3
(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3
＝－3，解得m ＝3(舍去)或m ＝－53. (2)∵直线l 的斜率为－m 2－2m －32m 2＋m －1
(2m 2＋m －1≠0)，
∴－m 2－2m －32m 2＋m －1
＝1，解得m ＝43或m ＝－1(舍去)．经验证m ＝43符合题意，故m ＝43.
14．(本小题15分)点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1
的取值范围．解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)
的几何意义是过M (x ，y )、N (－1，－1)两点的直线斜率，
设点M 在2≤x ≤5上的直线y ＝－2x ＋8的线段AB 上运动，其中A (2,4)，B (5，－2)，
由于k NA ＝53，k NB ＝－16，
∴－16≤y ＋1x ＋1≤53
， ∴y ＋1x ＋1
的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.。