幂函数练习(含答案详解)

3.3 幂函数练习
一、单选题
1、已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫1
2，2，则k ＋α＝( A ) A ．12 B ．1 C ．3
2
D ．2
2、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A ) A ．y ＝x
－2
B ．y ＝x
－1
C ．y ＝x 2
D ．y ＝3
1
x
3、幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( C )
4、幂函数()()22
22m f x m m x -=--在(
)
0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ A ） A ．1-
B ．3
C ．1-或3
D ．3-
5、若f (x )＝12
x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( A )
A ．⎣⎡⎭⎫2，167
B ．(0，2]
C ．⎝⎛⎭⎫－∞，16
7 D ．[2，＋∞) 6、若幂函数f (x )＝(
)
1
2
2
55a a a x
---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( D )
A ．1
B ．6
C ．2
D ．－1
7、幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ D ）
A ．a b c d >>>
B ．d b c a >>>
C ．d c b a >>>
D ．b c d a >>>
8、已知幂函数y ＝p q
x (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( D )
A ．p ，q 均为奇数，且p
q >0
B ．q 为偶数，p 为奇数，且p
q <0
C ．q 为奇数，p 为偶数，且p
q >0
D ．q 为奇数，p 为偶数，且p
q <0
二、多选题
9．下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（ CD ） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数
D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0 10．已知函数()
a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫
⎪⎝⎭
则（ CD ）
A ．()f x 的图象经过点(3,9)
B ．()f x 的图象关于y 轴对称
C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减
D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞
11、已知幂函数f (x )＝()
2
23
1m
m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足
2
121)
()(x x x f x f -->0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( BC )
A ．a ＋b >0且ab <0
B ．a ＋b <0且ab <0
C ．a ＋b <0且ab >0
D ．以上都可能
12．若函数()f x x α
=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（ BD ）
A ．1-
B ．1
C ．2
D ．3
三、填空题
13．若幂函数()21m
y m m x =--为偶函数，则m = ___2_____ .
14、已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫
116，14，则m －2n ＋3k ＝_____0__. 15、若()()
2
12
2
1
112-+>+m m m ，则实数m 的取值范围是______⎣⎢
⎡⎭
⎪
⎫5－12，2__________.
16、给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为__③______． 四、解答题
17．已知幂函数()f x x α
=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求函数的解析式，并作出该函数图象的草
图，判断该函数的奇偶性和单调性．
解：因为幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故可得139α
=，解得2α=-，
故()2
f x x -=，其定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称；
其函数图象如下所示：
数形结合可知，因为()f x 的图象关于y 轴对称，故其为偶函数； 且()f x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增.
18、已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1
(m ∈R)为偶函数．
(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；
(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3. 当m ＝2时，f (x )＝x
－3
是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去；
当m ＝3时，f (x )＝x －
4，满足题意， ∴f (x )＝x －4
，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭
⎫12－4
＝16.
(2)由f (x )＝x
－4
为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |，
即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－1
3
.
19、已知幂函数f (x )＝2
1
()m
m x
-+(m ∈N *)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．
解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，
而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数， 所以函数f (x )＝21
()m m x
-+(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．
(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以
2＝2(m 2＋m )－
1
2()1
2
m m +-，即12
2＝2
()1
2
m
m +-，
所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝1
2
x ， 又因为f (2－a )>f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
2－a ≥0，a －1≥0，
2－a ＞a －1，
解得1≤a ＜3
2
，
故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.
满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，3
2)．
20、19．已知函数()()()21
51Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.
(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式； (2)令()()21g x f x x =++y
g x 在1,12x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
的值域.
解：(1)因为函数()()()21
51Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，
所以2511m m -+=，解得0m =或5m =， 当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，
当5m =时，函数()6
f x x =是偶函数，不符合题意，
综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =. (2)由（1）知，()f x x =，
所以()()2121g x f x x x x =+=++ 令21t x =+21
2
t x -=，
1
1,0123,032
x x t -≤≤∴≤+≤∴≤≤ 所以2211
()222
t t g t t t -=+=+-，3t ⎡∈⎣， 根据二次函数的性质知，()g t 的对称轴为11
1
22
t =-
=-⨯，开口向上，
所以()g t 在3⎡⎣上单调递增；
所以2min
011
()(0)0222
g t g ==+-=-，
(2
max 31
()(3)3312
2
g t g ==
= 所以函数()g x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
的值域为1312⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦.。