幂函数经典例题(答案)
幂函数经典例题（答案）
幕函数的概念
例1、下列结论中，正确的是()
A ?幕函数的图象都通过点(0,0), (1,1) B.幕函数的图象可以出现在第四象限
C ?当幕指数么取1,3,；时，幕函数y=*是增函数
D.当幕指数么=一1时，幕函数)，=亡在定义域上是减函数
解析 当無指数α=-l 时，幕函数y=χ~l 的图象不通过原点，故选项A 不 正确；因为所有的農函数在区间(0, +8)上都有定义，且y=χa (α∈R), j>0, 所以專函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α=-l 时，y =Ll 在区间(一8, 0)和(0, +8)上是减函数，但它在定义域上不是减函数.
答案C 例2、已知幕函数金)=(Z+i χτ[(7+3L2r 2
)(f ∈Z)是偶函数且在(0, +8)上 为增函数，求实数/的值?
'
分析 关于舉函数y=x a
( 当彳为偶数时，"必为奇数，y=x"是非奇非偶函数；当$是奇数时，P=X?的 q q 奇偶性与P 的值相对应. 解 Ty(X)是幕函数，.?./3 -r+l = 1, Λr=-l,l 或 0. 7 当f=0时，M=X 1 是奇函数； 当Z=-I 时，/(x)=x ?偶函数； 当f=l 时.是偶函数,且2和;都大于0. ￠(0, +8)上为增函数. 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条 件∕∈Z 给予足够的重视? 例J 如图是幕函数尸=0与在第一象限内的图象，贝∣J() 故 t=? F=-1 且/(x)=A ∣? A ．-1 m>1 解析在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0 答案B 点评在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞ )上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴． 1 例4、已知x12>x3，求x 的取值范围． 1 作出函数y=x2和y= x3的图象（如右图所示），易得x<0或x>1. 例5、函 11 错解由于x2≥0，x3∈R，则由x2>x3，可得x∈R. 错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1 和0<α<1 两种情况下图象的分布． 正解 数f（x）＝（m2－m－1）xm2＋m－3 是幂函数，且当x∈（0，＋∞ ）时，f （x）是增函数，求f（x）的解析式． 分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m. 解根据幂函数定义得 m2－m－1＝1，解得m＝2 或m＝－1， 当m＝2 时，f（x）＝x3在（0，＋∞）上是增函数； 当m＝－1 时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，不符合要求．故f （x）＝x3. 点评幂函数y＝xα（α∈R），其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数（也可以为0）．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根． 1 变式已知y＝（m2＋2m－2）x m2－1＋2n－3 是幂函数，求m，n 的值． m2＋2m－2＝1 解由题意得m2－1≠ 0 ， 2n－3＝0 m＝－3 解得 3 ， n＝ 2 3 所以m＝－3，n＝2. 例6、比较下列各组中两个数的大小： 3 3 －2 － 2 1.5 1.5 －－ （1）1.55，1.75；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2）3，（－1.25）3． 解析：（1）考查幂函数 y ＝ x 5 的单调性，在第一象限内函数单调递增， 33 3 （2）考查幂函数 y ＝x 3 的单调性，同理 0.71.5>0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， － 2 －2 －2 － 2 －2 － 2 ∵（－1.2） 4＝1.2 3 ，（－1.25） 3＝1.25 3，又1.2 3 >1.25 3 － 2 >1.25 3 ． 点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： （1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； （3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作 为桥梁来比较大小． 例 7、比较下列各组数的大小 5 5 7 1 7 （1） 3－52与 3.1－25； （2）－8－87与－ 9 78. 分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可 用 0 与 1 去比较，这种方法叫 “搭桥 ”法． 5 解 （1）函数 y ＝x －2在（0，＋ ∞）上为减函数， 55 又 3<3.1，所以 3－ 2>3.1－ 2. 7 1 7 7 1 1 1 7 1 （2）－ 8－87＝－ 8 78，函数 y ＝x 78在（0，＋∞）上为增函数，又 18>91 ，则 8 7 8> 9 7 8， 7 1 7 从而－ 8－87<－ 9 78. 点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更 善于运用 “搭桥”法进行分组，常数 0和 1是常用的参数． 变式 比较下列各组数的大小： 2 2 π 2 （1） － 3 － 3与 － 6 － 3 ； ∵函数 y ＝x －23在（0，＋ ∞）上为减函数，又 ∵2 3>6π， 3 3 2 （2）4.15，（－ 1.9）5与 3.8－3. ∴ (－1.2) 3 222 解 (1) － 32 － 23＝ 23 2 ， 3， π 2 π 2 6 － 3＝ 6 － 3， ∴ －2 －2＝ 2 － 2< π－2＝ － π－2 . ∴ － 3 －3 ＝ 3 － 3< 6 －3 ＝ － 6 －3 . （2）（4.1）25>125＝1,0<3.8－23<1－32＝1，（－ 1.9）53 <0， 所以（－1.9）53 <3.8－ 2 3<（4.1）52 . 例 8、 已知幂函数 y ＝x 3m － 9 （m ∈N *）的图象关于 y 轴对称，且在 （0，＋ ∞ ） 上函数值随 x 的增大而减小，求满足 （a ＋1）－m 3<（3－2a ）－m 3的 a 的范围． 解 ∵函数在 （0，＋ ∞）上递减， ∴3m －9<0，解得 m<3， 又 m ∈N * ，∴m ＝1,2. 又函数图象关于 y 轴对称， ∴3m －9 为偶数，故 m ＝ 1， 11 ∴有 （a ＋1）－ 3 <（3－2a ）－3. 1 又∵y ＝x －3在（－∞，0），（0，＋ ∞）上均递减， ∴a ＋ 1>3－ 2a>0 或 0>a ＋ 1>3－ 2a 或 a ＋ 1<0<3－ 2a ， 23 解得 3 点评 （1）解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义． （2） 幂 函数 y ＝x α，由于 α的值不同，单调性和奇偶性也就不同． 变式 已知幂函数 y ＝xm 2－2m －3 （m ∈Z ）的图象与 x 轴、y 轴都无公共点， 且关于 y 轴对称，求 m 的值，且画出它的图象． 解 由已知，得 m 2－2m －3≤0，∴－ 1≤ m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－ 1,0,1,2,3， 当 m ＝0 或 m ＝2 时， y ＝x － 3 为奇函数，其图象不关于 y 轴对称，不符合题 意． 当 m ＝－ 1 或 m ＝3 时，有 y ＝x 0 ，其图象如图 ① 所示． 当 m ＝1 时， y ＝x 4 ，其图象如图 ②所示．