幂函数中档题(含答案)

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高一数学函数试题答案及解析

高一数学函数试题答案及解析1.若自然数使得作竖式加法时均不产生进位现象，便称为“好数”．如因为12+13+14不产生进位现象，所以12是“好数”；但13+14+15产生进位现象，所以13不是“好数”，则不超过100的“好数”共有（）A．9个B．11个C．12个D．15个【答案】C.【解析】根据题意分别求出个位数和十位数需要满足的条件，即个位数需要满足要求：，所以，所以个位数可取0,1,2三个数；又因为十位数需要满足：，所以，所以十位可以取0,1,2,3四个数，故四个数的“好数”共有个，故应选C.【考点】数的十进制；新定义.2.设,的整数部分用表示，则的值是 .【答案】1546【解析】，，，，所以.【考点】信息给予题，要善于捕捉信息，灵活运用3.关于函数，有以下命题：①函数的图像关于轴对称；②当时是增函数，当时，是减函数；③函数的最小值为；④当或时，是增函数；⑤无最大值，也无最小值。

其中正确的命题是：__________.【答案】①③④【解析】函数的定义域为，且，∴该函数为偶函数，故①正确；当时，，在上单调递减，在单调递增，故函数在单调递减，在单调递增，故②错误；因为在单调递减，在单调递增，∴在时，函数取最小值，故③正确；∵在单调递减，故在内单调递增，故④正确；有最小值，故⑤错误．【考点】1.命题的真假判断；2.函数的性质．4.已知函数，满足．(1)求常数c的值；(2)解关于的不等式．【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)代入解析式，列出关于c的方程，解出c,注意范围;(2)根据分段函数通过分类讨论列出不等式，解出的范围，解不等式时不要忘记分类条件.试题解析：(1)∵，即，解得． 5分(2)由(1)得，由，得当时，，解得； 9分当时，，解得． 12分∴不等式的解集为． 13分【考点】1.函数求值；2.利用指数函数性质解简单指数不等式；3.分类整合思想.5.若函数对于上的任意都有，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由函数对于上的任意都有，可知在上单调递增，因此有，解得.【考点】函数的单调性.6.函数.满足,则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，函数.满足,所以，解得，，故选B。

2022-2023学年辽宁省农村重点高中协作体高一(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2022-2023学年辽宁省农村重点高中协作体高一（上）期末数学试卷1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 如图，在等腰梯形ABCD中，，，，E为AD的中点.则下列式子不正确的是( )A.B.C.D.3. “”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 下列函数是增函数且在上有零点的是( )A. B. C. D.5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为( )A. B. C. D.6. 如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为( )A. B. C. D.7. 如图是国家统计局发布的我国最近10年的人口出生率单位：‰，根据如图，则( )A. 这10年的人口出生率逐年下降B. 这10年的人口出生率超过‰的年数所占比例等于C. 这10年的人口出生率的分位数为‰D. 这10年的人口出生率的平均数小于‰8. “碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值亿吨后开始下降，其二氧化碳的排放量亿吨与时间年满足函数关系式：，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为亿吨已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为亿吨，则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过参考数据：，( )A. 13年B. 14年C. 15年D. 16年9. 已知是直线l上的一个单位向量，与都是直线l上的向量，且，，则( )A. 的坐标为B.C. 的坐标为5D.10. 为了解某班学生每周课外活动的时间，甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为若将甲、乙两名同学调查的学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的( )A. 平均数为B. 平均数为8C. 方差为D. 方差为1011. 设函数，则下列说法正确的是( )A. 是偶函数B. 当时，的单调递减区间为C. 若的定义域为R，则a的取值范围为D. 若的值域为R，则a的取值范围为12. 已知函数，的定义域均为R，为偶函数，且，，则( )A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称C. D.13. 已知，，若，则______ .14. 某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为n的样本，将数据按分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则______ .要从日支出在的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在中被抽取的人数为______ .15.设a，，若，则的最大值为______ .16.已知内一点P满足，若的面积与的面积之比为1：3，则的值为______ .17. 已知命题p：，，集合A是命题p为假命题时实数m的取值集合，函数的定义域为集合求集合A；已知，若““是““的充分不必要条件，求a的取值范围.18. 已知幂函数在上单调递减.求的解析式；若，，求a的取值范围.19. 已知为R上的奇函数，当时，求m的值并求出在上的解析式；若，求a的取值范围.20. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为，第二关、第三关的通过率均为，第四关的通过率为，四关全部通过可以获得一等奖奖金为500元，通过前三关就可以获得二等奖奖金为200元，如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动.求甲未获得奖金的概率；求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率.21. 已知，，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线.若点O满足，证明：求的最小值.22. 已知函数证明：当，在上单调递增；若恰有3个零点，求m的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为，，所以故选：根据集合的并集运算即可得出答案．本题主要考查并集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，，，，四边形ABCE和四边形BCDE都是平行四边形，，，故A正确；，故B正确；，故C错误；，，故D正确．故选：先分析清楚图像内部的几何关系，再根据向量加法规则逐项分析．本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由，可得，由，可得，，“”是“”的必要不充分条件．故选：先求出两个不等式的解集，再结合解集之间的包含关系判断即可．本题主要考查了绝对值不等式和分式不等式的解法，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：的唯一零点，不符合题意；在R上不单调，不符合题意；在上单调递增，函数的唯一零点不在区间上，不符合题意；在R上单调递增，函数唯一的零点在区间上，符合题意．故选：结合基本初等函数的单调性检验各选项，求出相应函数的零点判断是否满足题意．本题主要考查了基本初等函数的单调性及零点的判断，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：，，，故选：根据对数运算与对数函数的单调性，借助中间值比较大小．本题考查三个数的大小的判断，考查对数运算与对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次得分，则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，故所求的概率为故选：根据古典概型的概率公式即可求解．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：对于选项A：这10年的人口出生率有升有降，故选项A错误；对于选项B：这10年的人口出生率超过‰的年数所占比例等于，故选项B错误；对于选项C：由于，则这10年的人口出生率的分位数为从小到大第8个和第9个数的平均数，故选项C错误；对于选项D：这10年的人口出生率的平均数为小于‰，故选项D正确；故选：由走势图对选项一一验证即可．本题主要考查了统计图的应用，考查了百分位数和平均数的计算，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：二氧化碳的排放量亿吨与时间年满足函数关系式，经过5年，二氧化碳的排放量为亿吨，，即，，当时，即，，对，两边同取以10为底的对数，得，即，，故选：根据题意，，即，，当时，即，，两边同取以10为底的对数，即可求解．本题考查了对数函数的实际应用，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：由题意得的坐标为，，AB正确；的坐标为，，C错误，D正确．故选：由已知结合向量的基本概念分别检验各选项即可判断．本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：甲同学调查了10名男生，其平均数为9，方差为11；乙同学调查了10名女生，其平均数为7，方差为甲、乙两名同学调查的学生合在一起样本数据的平均数为，甲、乙两名同学调查的学生合在一起样本数据的方差为，故选：直接根据分层抽样的平均值和方差公式求解即可．本题考查了分层抽样的平均值和方差的求解，是基础题．11.【答案】AD【解析】解；对于A选项，因为当时，函数定义域为，当时，函数定义域为；当时，函数的定义域为R，函数定义域关于原点对称，且，所以是偶函数，故A正确；对于B选项，当时，令，解得或，由复合函数的单调性可知的单调递减区间为，故B错误；对于C选项，若的定义域为R，则恒成立，故，则a的取值范围为，故C错误；对于D选项，若的值域为R，则，故，则a的取值范围为故D正确．故选：根据函数的奇偶性，单调性，值域和定义域进行逐项的判断即可求解．本题主要考查了函数奇偶性，单调性的判断及应用，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：，①，②又，③②-③得：；④又为偶函数，，即，⑤由④⑤得，的图象关于直线对称，故A正确；又，故D正确；由①得，⑥与③联立，得，的图象关于点对称，故B正确；由①得，⑦又，，，故C错误；故选：利用为偶函数，且，，对四个选项逐一分析可得答案．本题考查抽象函数及其应用，考查函数的奇偶性与周期性、对称性的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由，，且，得，即，故答案为：利用向量共线的坐标运算列式求得m值，再由向量的模求解．本题考查向量共线的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．14.【答案】【解析】解：，解得，因为内和内的样本个数比例为：：1，根据分层抽样可知，日支出在中被抽取的人数为故答案为：，2；根据频率之和为1列出方程，求出，得到内和内的样本比例，从而得到在中被抽取的人数．本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：，即，因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以，即的最大值为故答案为：由已知可得，再利用基本不等式求出ab的范围即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图，过点P作，，则，又，由平面向量基本定理可得，作于点G，于点又因为∽，所以，因为，同理因为的面积与的面积之比为1：3，所以，解得故答案为：过点P作，，根据向量运算和平面向量基本定理可得，作于点G，于点根据三角形面积公式结合三角形相似判断可得，，列方程求的值．本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．17.【答案】解：命题p的否定为，，命题p的否定为真命题等价于，解得，所以解：，要使有意义，则，解得，则，因为是的充分不必要条件，则，所以，解得，当时，，符合题意，因此，实数a的取值范围是【解析】分析可知，命题p的否定为真命题，由可求得集合A；求出集合B，分析可知，可得出关于实数a的不等式组，即可解得实数a的取值范围．本题主要考查了含有量词的命题的否定，还考查了充分必要性与集合包含关系的转化，属于中档题．18.【答案】解：因为幂函数在上单调递减，所以，解得，所以的解析式为；由，可得，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值1，所以a的取值范围为【解析】根据幂函数的定义和单调性列式求解即可；根据题意分离变量得到在恒成立，利用函数的单调性即可求解．本题主要考查了幂函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：由题可知，即令，则，，又为奇函数，所以，所以，故，故在上的解析式为由函数性质可知在上单调递减，则在R上单调递减．又因为，所以，即，所以当时，，即a的取值范围为【解析】根据函数为R上的奇函数得到，求出m的值，并利用函数的奇偶性求出解析式；得到函数的单调性及，从而解不等式，求出答案．本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，故甲未获得奖金的概率为；由可知，获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，故甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率为【解析】根据已知条件，结合对立事件的概率和公式，即可求解；根据已知条件，推得甲和乙中一人获得一等奖，一人获得二等奖，再结合获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，即可求解．本题主要考查概率的求解，考查转化能力，属于基础题．21.【答案】证明：，，，，即，，解：由可知，，，N，E三点共线，，，当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为【解析】根据已知条件，结合向量的线性运算，以及向量共线的性质，即可求解；根据已知条件，结合三点共线的性质，以及基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题．22.【答案】解：证明：当时，设任意，，且，，因为，所以，即，所以，所以在上单调递增．因为，所以是偶函数，则的图象关于y轴对称．因为恰有3个零点，所以，即此时，所以在上恰有一个零点．由同理可知在上单调递增．令，则在内恰有一个解，即，则，所以m的取值范围为【解析】当时，，根据单调性定义证明设任意，，且，化简计算即可得到，即可证明；计算可得，即是偶函数，图象关于y轴对称，则当恰有3个零点时，，即可得到m与n的关系，即可代入函数解析式消去n，得到在上恰有一个零点，根据单调性定义证明在上单调递增，则令，得到在内恰有一个解，即可解出答案．本题考查函数的单调性与函数的零点，考查运算求解能力，属于中档题．。

高三数学幂函数试题答案及解析

高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．【答案】（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【解析】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，∴函数f(x)的不动点为－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，∴a的取值范围为(0,1)．(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，且A，B在直线y＝x上，∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．∴－＝＋⇒b＝－＝－，利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.3.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝4.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为() A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】当α=-1时函数定义域为{x|x≠0}.当α=时,定义域是[0,+∞),都不符合条件.当α=1,3时,幂函数定义域为R且为奇函数.故选A.5.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数6.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.7.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.8.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（）A．B．C．D．或【答案】【解析】是幂函数或 . 又上是增函数,所以.【考点】幂函数的概念及性质.9.函数由确定，则方程的实数解有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程的根.【考点】幂的运算，分式方程的求解.10.下列对函数的性质描述正确的是（）A．偶函数，先减后增B．偶函数，先增后减C．奇函数，减函数D．偶函数，减函数【答案】B【解析】是偶函数，图象关于y轴对称，而在（0，+∞）是减函数，所以，在（-∞.0）是增函数，故选B。

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数(附答案解析)

2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数一．选择题（共7小题）1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A ．[0，3]B ．(0，3]C ．[0，)+∞D ．(-∞，3]2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，8]B ．21(,)4-∞C ．(,8)-∞D ．21(,]4-∞5．已知3log 2a =，0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( )A ．a c b <>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>7．若1a >，则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．二．多选题（共3小题） 8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．1y x x =-D ．22x x y -=+9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( )A ．12x y -=B ．21y x =C ．(1)y ln x =+D ．||y x =10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A ．()f x x =B ．()||f x x x =C ．()22x x f x -=-D ．2()f x x =三．填空题（共5小题）11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= ．12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点．13．已知212x =，21log 3y =，则x y +的值为． 14．已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log f （3）= ．15．若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4，则(2)f -= ．四．解答题（共7小题）16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+．（1）当0x 时，求函数()f x 的解析式；（2）解关于m 的不等式：(2)(2)23f m f m m +--．17．设函数4()221xx f x =--，0x >．（1）求函数()f x 的值域；（2）设函数2()1g x x ax =-+，若对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，求正实数a 的取值范围．18．设函数21y mx mx =--．（1）若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；（2）若命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，求m 的取值范围；（3）若对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，求m 的取值范围．19．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（3）若(1)1f -<，求a 的取值范围．20．已知函数1()21x f x a =-+为奇函数．（1）求a 的值，并判断函数()f x 的单调性；（2）若x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，求实数k 的取值范围．21．计算下列各式．（1）1206310.064()(2021)3π--+-+；（2）2731329log 5log 42log 5log -++． 22．计算：（100.539()()54--++ （2）22log 62222523lg lg -+--2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A ．[0，3]B ．(0，3]C ．[0，)+∞D ．(-∞，3]【考点】函数的定义域及其求法【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：要使原函数有意义，则030x x >⎧⎨-⎩，解得03x <． ∴函数()3f x lgx x =+-的定义域为(0，3]．故选：B ．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象与图象的变换【分析】根据题意分析可得()f x 为偶函数，通过0x =函数的值，排除函数的图象即可．【解答】解：根据题意有||2||2()2()2()x x f x x x f x --=--=-=，所以函数是偶函数，又函数||22x y x =-，当0x =时，1y =，排除C ，故选：A ．【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【考点】函数单调性的性质与判断【分析】首先求出函数()f x 的单调性，再判断0.2log 3，30.2，0.23的大小关系，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：因为函数()3f x x x =-所以30x -，可得3x ，即()f x 的定义域为(-∞，3]，所以()3f x x x =-(-∞，3]单调递增，因为0.20331>=，3000.20.21<<=，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，所以30.20.2(log 3)(0.2)(3)f f f <<，所以c b a <<．故选：A ．【点评】本题主要考查函数单调性的性质与判断，考查函数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，8]B ．21(,)4-∞C ．(,8)-∞D ．21(,]4-∞ 【考点】复合函数的单调性【分析】令25t x ax =-+，12log y t =，分析内层函数与外层函数的单调性以及对数真数在所给区间恒为正数，可得出关于a 的不等式组，进而求得实数a 的取值范围．【解答】解：令25t x ax =-+，易知12log y t =在其定义域上单调递减，要使()f x 在(4,)+∞上单调递减，则25t x ax =-+在(4,)+∞单调递增，且250t x ax =-+>，即2424450a a ⎧⎪⎨⎪-+⎩，所以8214a a ⎧⎪⎨⎪⎩，即214a 因此实数a 的取值范围是(-∞，21]4．故选：D．【点评】本题考查复合函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．5．已知3log a =0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( )A ．a c b <=，0.50.5ln c e ==，a cb ∴<<．故选：A ．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．6．已知12a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正确的是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的单调性得到a b >，a c >，再利用对数的运算法则，换底公式，基本不等式得到b c >，求解即可．【解答】解：1232a e =>，33log 5log 3b =<332=， 6443log 8log 81log 22c =<=+=， a b ∴>，a c >，25858583363535lg lg lg lg lg lg lg b c lg lg lg lg lg lg -⋅∴-=->-=⋅ 222222(83)2425555444353535lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg +--->=>⋅⋅⋅ 2255035lg lg lg lg -==⋅， b c ∴>，a b c ∴>>，故选：A ．【点评】本题考查了对数的运算法则，换底公式，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题．7．若1a >，则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质【分析】由指数函数与对数函数的性质依次判断即可．【解答】解：1()x y a=与log a y x =分别过(0,1)，(1,0)点，又1a >， ∴1()x y a=与log a y x =分别为定义域内的减函数，增函数，故选：D ．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的性质应用，属于基础题．二．多选题（共3小题）8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．1y x x =-D ．22x x y -=+【考点】函数的值域；函数奇偶性的性质与判断【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3()f x x =是奇函数，且值域为R ，符合题意；对于B ，1()f x x x =+，当0x >时，1()2f x x x=+，当0x <时，()2f x -，即()f x 的值域为(-∞，2][2-，)+∞，不符合题意；对于C ，1()f x x x=-，是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，当0x +→时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，其值域为R ，符合题意；对于D ，()22x x f x -=+，是奇函数，且()2f x （当且仅当0x =时取“= “)，其值域不为R ，不符合题意；故选：AC ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及值域的计算，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( )A ．12x y -=B ．21y x =C ．(1)y ln x =+D ．||y x =【考点】函数的值域【分析】利用函数的性质求出值域即可判断．【解答】解：对于:1A x R -∈，120x y -∴=>，故A 正确，对于:0B x ≠，20x ∴>，210y x ∴=>，故B 正确，对于:10C x +>，(1)(y ln x ∴=+∈-∞，)+∞，故C 错误，对于:D x R ∈，||[0y x ∴=∈，)+∞，故D 错误．故选：AB ．【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A ．()f x x =B ．()||f x x x =C ．()22x x f x -=-D ．2()f x x =【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．【解答】解：()f x x =为奇函数，且在(,)-∞+∞上是单调递增，故A 符合题意；()||f x x x =满足()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，且在[0，)+∞递增，在(-∞，0]也递增，则()f x 在(,)-∞+∞上是单调递增，故B 符合题意；()22x x f x -=-的定义域为R ，满足()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，且2x y =和2x y -=-在R 上递增，则()f x 在R 上递增，故C 符合题意；2()f x x =为偶函数，故D 不符题意．故选：ABC ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．三．填空题（共5小题）11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= 5 ．【考点】函数的值【分析】令213x -=得2x =，再代入即可．【解答】解：令213x -=得，2x =或2x =-（舍去），故f （3）2(21)f =-22235=-+=，故答案为：5．【点评】本题考查了复合函数函数值的求法，属于基础题．12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 (1,2)-- ．【考点】对数函数的图象与性质【分析】令21x +=，解得1x =-，当1x =-时，022y =-=-，即可求解．【解答】解：令21x +=，解得1x =-，当1x =-时，022y =-=-，故函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点(1,2)--．故答案为：(1,2)--．【点评】本题主要考查对数函数的性质，考查定点问题，属于基础题．13．已知212x =，21log 3y =，则x y +的值为 2 ．【考点】对数的运算性质【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．【解答】解：212x =，2log 12x ∴=，222112log 423x y log log ∴+=+==，故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．14．已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log f （3）= 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的单调性与特殊点【分析】求出(2,4)P ，由幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ，求出a ，得到()f x 的解析式，再计算3log f （3）即可．【解答】解：函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，则(2,4)P ，∴幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ，24a ∴=，解得2a =，2()f x x ∴=，3log f ∴（3）3log 92==．故答案为：2．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4，则(2)f -= 12- ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式，求出(2)f -的值即可．【解答】解：设幂函数的解析式为()f x x α=，则1()44α=，解得：1α=-，故1()f x x =，故1(2)2f -=-，故答案为：12-．【点评】本题考查了求幂函数的定义，考查函数求值问题，是基础题．四．解答题（共7小题）16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+．（1）当0x 时，求函数()f x 的解析式；（2）解关于m 的不等式：(2)(2)23f m f m m +--．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）根据奇函数的性质进行转化求解即可．（2）将不等式进行转化，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．【解答】解：（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+． (0)0f ∴=，当0x >，则0x -<，则2()2()f x x x f x -=--=-，即2()2(0)f x x x x =+<，综上2()2(0)f x x x x =+．（2）由(2)(2)23f m f m m +--．得(2)2(2)2(2)2f m m f m m f m m +--+-=-+-．设()()g x f x x =+，则不等式等价为(2)(2)g m g m -，作出函数()f x 的图象如图：则()f x 在R 上是增函数，则()()g x f x x =+也是增函数，则由(2)(2)g m g m -，得22m m -，得23m，即实数m 的取值范围是(-∞，2]3．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．17．设函数4()221xx f x =--，0x >．（1）求函数()f x 的值域；（2）设函数2()1g x x ax =-+，若对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，求正实数a 的取值范围．【考点】函数的值域【分析】（1）由已知41()2212121x x x x f x =-=-+--，，利用基本不等式可求函数()f x 的值域；（2）由对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，可得函数函数()f x 在[1，2]上的值域包含于函数()g x 在[1，2]上的值域，由此可求正实数a 的取值范围．【解答】解：（1）24(2)111()2221212121x x x x x x f x -+=-=-=-+---，0x >，210x ->，则11()212(21)22121x x x x f x =-+-⋅=--，，当且仅当1x =时取“=”，所以()[2f x ∈，)+∞，即函数()f x 的值域为[2，)+∞；（2）设21x t =-，[1x ∈，2]，[1t ∴∈，3]，函数1y t t=+在[1，3]上单调递增，则函数()f x 在[1，2]上单调递增，()[2f x ∴∈，10]3，设[1x ∈，2]时，函数()g x 的值域为A ，由题意知[2，10]3A ⊆，又因为函数()g x 图象的对称轴为02a x =>，当12a ，即02a <时，函数()g x 在[1，2]上递增，则(1)210(2)3g g ⎧⎪⎨⎪⎩，解得506a <，当122a <<时，即24a <<时，函数()g x 在[1，2]上的最大值为g （1），g （2）中的较大者，而g （1）20a =-<且g （2）521a =-<，不合题意，当22a >，即4>时，函数()g x 在[1，2]上递减，则10(1)3(2)2g g ⎧⎪⎨⎪⎩，满足条件的a 不存在．综上，5(0,]6a ∈．【点评】本题考查了求函数的值域及分类讨论思想，采用了换元法求值域，换元后对参数t 的范围要进行确认，这是易错点，属于中档题．18．设函数21y mx mx =--．（1）若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；（2）若命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，求m 的取值范围；（3）若对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，求m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质与图象【分析】（1）利用零点的定义，结合二次方程根的个数问题，求解即可；（2）将问题转化为210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立，分0m =和0m ≠两种情况，结合二次函数的图象与性质，列式求解即可；（3）将问题转化为4()m x x-+在[1x ∈，3]恒成立，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）因为函数21y mx mx =--有两个零点，所以方程210mx mx --=有两个不同的实数根，则2040m m m ≠⎧⎨=+>⎩，解得4m <-或0m >，故实数m 的取值范围为(-∞，4)(0-⋃，)+∞；（2）命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，则命题：x R ∀∈，0y <，是真命题，则210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立，当0m =时，不等式为10-<恒成立，符合题意；当0m ≠时，则2040m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<．综上所述，实数m 的取值范围为(4-，0]；（3）因为对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，即240x mx ++对于[1x ∈，3]恒成立，即4()m x x-+在[1x ∈，3]恒成立，则4[()]max m x x-+，因为4424x x x x+⋅=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号，所以4[()]4max x x -+=-，则4m -，所以实数m 的取值范围为[4-，)+∞．【点评】本题考查了函数零点的理解与应用，函数与方程的应用，函数与不等式的综合应用，命题真假的应用以及不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．19．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（3）若(1)1f -<，求a 的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）依题意，得2020x x +>⎧⎨->⎩，解之可得函数()f x 的定义域；（2）()f x 为奇函数；利用奇函数的定义证明即可；（3）1(1)13aa f log log a -<⇔<，通过对a 的范围的分类讨论，可求得答案．【解答】解：（1）()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠，∴202202x x x x +>>-⎧⎧⇒⎨⎨-><⎩⎩， ∴函数()f x 的定义域为(2,2)-；（2）()f x 为奇函数．证明：22()()022a a x x f x f x log log x x-+-+=+=+-， ()()f x f x ∴-=-，(2,2)x ∈-，()f x ∴为奇函数；（3）(1)1f -<，∴1(1)3a a f log log a -=<， ①01a <<，()f x 单调递减，∴103a <<； ②1a >，()f x 单调递增，∴13a >，1a ∴>；综上：103a <<或1a >，即(0a ∈，1)(13⋃，)+∞．【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查分析推理能力与运算求解能力，属于中档题．20．已知函数1()21x f x a =-+为奇函数．（1）求a 的值，并判断函数()f x 的单调性；（2）若x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，求实数k 的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】（1）由奇函数在R 上有定义，可得(0)0f =，求得a 的值，再由指数函数的单调性可得()f x 的单调性；（2）由奇函数()f x 的单调性可将不等式的两边的“f ”去掉，结合二次不等式恒成立，运用判别式法，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）函数1()21x f x a =-+为奇函数，定义域为R ，可得(0)0f =，即102a -=，解得12a =，则1112()12212xx xf x -=-=++，满足()()0f x f x -+=，所以12a =成立；由2x y =在R 上递增，可得112xy =+在R 上递减，所以()f x 在R 上为递减函数；（2）x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，即为2(1)()()f x f kx f kx +<-=-，因为()f x 在R 上为递减函数，所以21x kx +>-，即210x kx ++>恒成立，则△0<，即240k -<，解得22k -<<，则k 的取值范围是(2,2)-．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．21．计算下列各式．（1）1206310.064()(2021)3π--+-+；（2）2731329log 5log 42log 5log -++．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．（2）利用对数的运算性质求解．【解答】解：（1）原式1113662332043132⨯⨯⨯=⋅-++⨯ 23220.49198917255=-++⨯=-++=．（2）原式333log 527log 9log 527211=+++-=++=．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．22．计算：（100.539()()54--++（2）22log 62222523lg lg -+-- 【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质【分析】利用有理指数幂及对数的运算性质依次化简即可．【解答】解：（100.539()()54--++221133e e =-+++；（2）22log 62222523lg lg -+--421100632lg =--⨯ 211=-=．【点评】本题考查了有理指数幂及对数的运算，属于基础题．。

高中数学必修一同步练习题库：幂函数(简答题：一般)

幂函数（简答题：一般）1、已知幂函数的图象经过点．（1）求函数的解析式，并画出图象；（2）证明：函数在上是减函数．2、已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间（2，3）上为单调函数，求实数的取值范围．3、比较大小：1.20.5，1.20.6，0.51.2，0.61.2.4、若，求a的取值范围.5、已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．6、点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)<g(x)?7、计算下列各式：（1）（2）8、已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．9、已知，且。

求满足的实数的取值范围。

10、已知函数的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求p的值，并画出图象。

11、已知函数为幂函数，且为奇函数.（1）求的值；（2）求函数在的值域.12、已知幂函数在上是增函数，又（），（1）求函数的解析式；（2）当时，的值域为，试求与的值．13、已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调递增函数。

（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，若能取遍内的所有实数，求实数的取值范围．14、已知幂函数f(x)＝，其中−2<m<2，m∈Z，满足：(1)f(x)是区间(0，+∞)上的增函数；(2)对任意的x∈R，都有f(−x) +f(x)＝0.求同时满足条件(1)、(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时，f(x)的值域．15、已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．16、已知函数f(x)＝−且f(4)＝.(1)求的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明．17、已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．18、如图，幂函数的图象关于轴对称，且与轴，轴均无交点，求此函数的解析式及不等式的解集．19、已知函数（）是偶函数，且（1）求的解析式；（2）若（，）在区间上为增函数，求实数的取值范围20、已知（是常数）为幂函数,且在第一象限单调递增．（1）求的表达式；（2）讨论函数在上的单调性,并证之．21、已知函数y＝ (n∈Z)的图像与两坐标轴都无公共点，且其图像关于y轴对称，求n的值，并画出函数图像.22、（本题满分12分）已知幂函数在上单调递增，函数．（1）求的值；（2）当时，记、的值域分别为集合、，若，求实数的取值范围．23、（本小题满分10分）已知幂函数在上单调递增，函数（1）求的值；（2）当时，记的值域分别为，若，求实数的取值范围．24、已知命题P：若幂函数过点，实数满足。

2023年一轮复习《指数函数》提升训练(含解析)

2023年一轮复习《指数函数》提升训练一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）函数f(x)=ln(x−1x)的图象是()A. B.C. D.2.（5分）已知函数f(x)=a x+b(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[−1,0]，则a+ b=( )A. −12B. −32C. −52D. −12或−523.（5分）已知A={ x|−2<x<1}，B={ x|2x>1}，则A∩(∁R B)为()A. (−2,1)B. (−∞,1)C. (0,1)D. (−2,0]4.（5分）已知全集U=R，集合A={x||x|⩽1,x∈R}，集合B={x|2x⩾1,x∈R}，则集合A∪B=()A. (−∞,1]B. [0,1]C. [−1,0]D. [−1,+∞)5.（5分）函数y=ln(5−x)+√2x−8的定义域是()A. [2,3)B. [3,5)C. (−∞,3)D. (2,3)6.（5分）设集合A={ x|e x>1}，B={ x||x|>2}，则A∩B=()A. (−2,0)B. (1,2)C. (2,+∞)D. (1,+∞)7.（5分）已知实数a，b，c满足不等式0<a<b<c<1，且M=2a，N=5−b，P=(17)c，则M、N、P的大小关系为()A. M>N>PB. P<M<NC. N>P>MD. P>N>M8.（5分）若2x+5y⩽2−y+5−x，则有()A. x+y⩾0B. x+y⩽0C. x−y⩽0D. x−y⩾09.（5分）设集合A ={ x |2x ⩾4)，集合B ={ x |−1⩽x ⩽5)，则A ∩B =( )A. { x |−1⩽x ⩽2}B. { x |2⩽x ⩽5}C. { x |x ⩾−1}D. { x |x ⩾2}10.（5分）函数y =3|log 3x|的图象是( )A. B. C. D.11.（5分）定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)=f(−x)，当x ∈(0,12]时，f(x)=log 12(1−x)，则f(x)在区间(1,32)内是( )A. 减函数且f(x)>0B. 减函数且f(x)<0C. 增函数且f(x)>0D. 增函数且f(x)<012.（5分）已知a =log 23+log 2√3，b =log 29−log 2√3，c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a =b <cB. a =b >cC. a b >c二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.（5分）已知实数x ，y 均大于零，且x +2y =4，则log 2x +log 2y 的最大值为______． 14.（5分）已知函数f(x)=ln (√1+x 2−x)+2，则f(≶3)+f(≶13)= ______ ．15.（5分）已知存在实数x ，y ∈(0,1)，使得不等式1x +11−x <2y 2−y+t 成立，则实数t的取值范围为__________.16.（5分）设f(x)是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上递减，若f(12)=0，若f(log 14x)>0，那么x 的取值范围是 ______ .三、解答题（本大题共6小题，共72分）17.（12分）已知函数f(x)=3x ，且f(a +2)=18，g(x)=3ax −4x 的定义域为[－1，1].（1）求3a 的值及函数g(x)的解析式；（2）试判断函数g(x)的单调性；（3）若方程g(x)＝m 有解，求实数m 的取值范围. 18.（12分）设a ∈R ，函数f(x)=2x −a 2x +a.(1)若a >0，判断并证明函数f(x)的单调性；(2)若a ≠0，函数f(x)在区间[m,n ](m <n)上的取值范围是[k2m ,k2n ](k ∈R)，求ka 的范围．19.（12分）已知函数f(x)=√−x 2+5x −6的定义域为A ，集合B={x |2⩽2x ⩽16}，非空集合C={x |m +1⩽x ⩽2m −1}，全集为实数集R. (1)求集合A ∩B 和∁R B;(2)若A ∪C =A ，求实数m 取值的集合．20.（12分）f(x)=a⋅4x−a⋅2x+1+1−b，a>0在区间[−1,2]上最大值9，最小值0．(1)求a，b的值(2)求不等式f(x)⩾1的解集．21.（12分）已知奇函数f(x)=12x−1+a．(1)求f(x)的定义域；(2)求a的值；(3)证明x>0时，f(x)>0．22.（12分）已知函数f(x)=2xa +a2x−1(a>0)是R上的偶函数．(1)求a的值；(2)解方程f(x)=134.答案和解析1.【答案】B;【解析】这道题主要考查了对数函数的定义域和复合函数的单调性，属于基础题．首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f(x)的单调性，问题得以解决．解：因为x−1x 1x>0，解得x>1或−1<x<0，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)的定义域为：(−1,0)∪(1,+∞)．所以选项A、D不正确．当x∈(−1,0)时，g(x)=x−1x 1x是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f(x)=ln(x−1x 1x)是增函数．故选B．2.【答案】B;【解析】当a>1时，f(x)单调递增，有f(−1)=1a+b=−1，f(0)=1+b=0，无解；当0<a<1时，f(x)单调递减，有f(−1)=1a+b=0，f(0)=1+b=−1，解得a=12，b=−2，所以a+b=−32．故选B．3.【答案】D;【解析】该题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．解不等式得集合B，根据交集与补集的定义写出A∩(∁R B)即可．解：A={ x|−2<x<1}，B={ x|2x>1}={ x|x>0}，∴∁R B={ x|x⩽0}，∴A∩(∁R B)=(−2,0]．故选：D ．4.【答案】D;【解析】【试题解析】此题主要考查集合的并集及其运算，考查指数不等式的求解，属于基础题. 先分别求出集合A 、B ，再根据集合的并集定义求解即可.解：集合A =\left{ x ||x|⩽1,x ∈R }=\left{ x |−1⩽x ⩽1,x ∈R }，集合B =\left{ x |2x ⩾1,x ∈R }=\left{ x |x ⩾0,x ∈R }，所以A ∪B =[−1,+∞). 故选D.5.【答案】B; 【解析】此题主要考查了函数的定义域及其求法，属基础题．根据对数的真数大于0，和偶次根式被开方非负列式解得．解：由{5−x >02x −8⩾0，解得：3⩽x <5，故选B.6.【答案】C; 【解析】此题主要考查交集的运算，属于基础题．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：A ={ x |x >0}，B ={ x |x <−2或x >2}； ∴A ∩B =(2,+∞). 故选C.7.【答案】A;【解析】解：∵0<a (15)c >(17)c ，即M >N >P ，故选：A根据幂函数指数函数的性质进行比较即可．这道题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键8.【答案】B;【解析】此题主要考查指数幂的运算性质，函数的单调性，是中档题．由已知构造函数f(x)=2x−5−x，易知f(x)=2x−5−x在R上为增函数，利用单调性即可得解.解：由已知可得2x−5−x⩽2−y−5y，令f(x)=2x−5−x，易知f(x)=2x−5−x在R上为增函数，因为2x−5−x⩽2−y−5y，即2x−5−x⩽−(5y−2−y)，所以f(x)⩽f(−y)所以x⩽−y，即x+y⩽0.故选B.9.【答案】B;【解析】此题主要考查集合的交集运算，属于基础题.化简A，由交集运算即可求解.解：由A={ x|2x⩾4}={ x|x⩾2}，集合B={ x|−1⩽x⩽5}，则A∩B={ x|2⩽x⩽5}.故选：B.10.【答案】B;x|>0，则y>1，【解析】解：当0<x<1，|log3x|⩾0，则y⩾1，当x⩾1时，|log3故选：B根据对数函数和指数函数的图象的性质即可判断．该题考查了函数图象的识别和对数函数和指数函数的性质，属于基础题．11.【答案】B;【解析】解；因为定义在R上的奇函数满足f(x+1)=f(−x)，所以f(x+1)=−f(x)，即f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，所以函数的周期是2，则f(x)在(1,32)上图象和在(−1,−12)上的图象相同，设x ∈(−1,−12)，则x +1∈(0,12)，又当x ∈(0,12]时，f(x)=log 12(1−x)，所以f(x +1)=log 12(−x)，由f(x +1)=f(−x)得，f(−x)=log 12(−x)，所以f(x)=−f(−x)=−log 12(−x)，由x ∈(−1,−12)得，f(x)=−log 12(−x)在(−1,−12)上是减函数，且f(x)<f(−1)=0，所以则f(x)在区间(1,32)内是减函数且f(x)<0，故选：B ．根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f(x)在(1,32)上图象和在(−1,−12)上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论．此题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．12.【答案】B;【解析】解：∵a =log 23+log 2√3=log 23√3，b =lo g 29−lo g 2√3=lo g √3=lo g 23√3>1，∴a =b >1，又0<c =log 32<1， ∴a =b >c ．故选：B ．利用对数的运算性质可求得a =log 23√3，b =log 23√3>1，而0<c =log 32<1，从而可得答案．该题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．13.【答案】1; 【解析】该题考查了基本不等式、对数的运算法则和单调性，属于基础题．利用基本不等式、对数的运算法则和单调性即可得出．解：∵实数x ，y >0，且x +2y =4，∴4⩾2√2xy ，化为xy ⩽2，当且仅当x =2y =2时取等号．则log 2x +log 2y =log 2(xy )⩽log 22=1．因此log 2x +log 2y 的最大值是1．故答案为：1．14.【答案】4;【解析】解：∵f(−x)+f(x)=ln[√1+x2+x][√1+x2−x]+4=ln1+4=4，∴f(≶3)+f(≶13)=f(≶3)+f(−≶3)=4．故答案为：4．利用f(−x)+f(x)=ln[√1+x2+x][√1+x2−x]+4=4，即可得出．该题考查了函数的奇偶性、对数的运算性质，属于基础题．15.【答案】(3,+∞);【解析】此题主要考查基本不等式的运用，不等式恒成立问题，属于中档题.求出1x +11−x的最小值为4，得到t>4−2y2−y，由0<y<1得到4−2y2−y>3，即可得到答案.解：∵1x +11−x=(x+1−x)(1x+11−x)=2+1−xx+x1−x⩾2+2√1−=4，当x=0.5时，显然等号成立，∴1x +11−x的最小值为4，∴只需存在实数y∈(0,1)，使得2y2−y+t>4成立即可，即t>4−2y2−y，易知当0<y<1时，y²−y<0，∴4−2y2−y>3，∴t>3，∴实数t的取值范围为(3,+∞).故答案为：(3,+∞).16.【答案】（12，2）;【解析】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(|x|)=f(x)，∴f(log14x)=f(|log14x|)，又∵f(x)在[0,+∞)上递减，且f(12)=0，∴f(|log14x|)>0=f(12)，∴|log14x|<12，∴−12<12log2x<12，∴−1<log2x<1，∴12<x<2，故答案为：(12,2).首先，根据偶函数的性质，得到f(log 14x)=f(|log 14x|)，然后，根据函数的单调性得到∴−12<12log 2x <12，从而得到相应的范围．此题主要考查了函数的单调性和奇偶性、函数的单调性的应用，对数的运算等知识，属于中档题，本题解题关键是准确把握偶函数的性质．17.【答案】解：（1）f (a +2)=3a+2=32⋅3a =18，所以3a =2，所以g (x )=(3a )x −4x =2x −4x . （2）g (x )=2x −4x =−(2x )2+2x ，令2x =t ∈[12,2]，所以g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14在t ∈[12,2]上单调递减，又t =2x 为单调递增函数，所以g (x )在x ∈[−1,1]上单调递减.（3）由（2）知g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14在t ∈[12,2]上单调递减，所以g (x )∈[−2,14]，即m ∈[−2,14].;【解析】（1）将a +2代入函数的解析式，根据指数的运算性质可得3a =2，再代入即可得g (x )的解析式；（2）令2x =t ∈[12,2]，所以g (x )=μ(t )=−t 2+t =−(t −12)2+14，根据二次函数的性质可得μ(t )单调递减，t =2x 为单调递增函数，根据复合函数的单调性可得结果；（3）利用二次函数的性质求出g (x )的范围即可.18.【答案】解：(1)当a >0时，因为2x >0，所以2x +a >0 所以函数f(x)=2x −a 2x +a 的定义域为R ，结论：函数f(x)=2x −a 2x +a (a >0)是增函数.证明：设对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则：f(x 1)−f(x 2)=2x 1−a2x 1+a −2x 2−a2x 2+a ， =(2x 1−a)(2x 2+a)−(2x 2−a)(2x 1+a)(2x 1+a)(2x 2+a)，=2a (2x 1−2x 2)(2x 1+a)(2x 2+a)，因为x 1<x 2，所以2x 2>2x 1，即2x 1−2x 2<0，又因为2x 1+a >0，2x 2+a >0，a >0，所以2a (2x 1−2x 2)(2x 1+a)(2x 2+a)<0，所以f(x 1)<f(x 2)，即证.(2)因为m <n ，所以2m <2n ，从而12m >12n . 又由[k 2m,k 2n]知，k2m<k 2n，所以k <0，因为a ≠0，所以a <0或a >0. ①当a >0时，由(1)知，函数f(x)=2x −a 2x +a是增函数.因为函数f(x)在区间[m,n] (m <n)上的取值范围是 [k 2m,k 2n](k ∈R)，所以{f(m)=k2m ,f(n)=k 2n ，即： {2m −a2m +a =k2m2n −a 2n+a=k2n，从而关于x 的方程2x −a 2x +a=k 2x有两个互异实根.令t =2x ，则t >0，所以方程t 2−(a +k)t −ak =0(k <0)有两个互异正根，所以 \matrixLatexcasesFa+k2>0,a+k)^{2}+4ak>0,\\-ak>0\end{cases}从而：-3+2\sqrt{2}< \frac{k}{a}< 0. ②$当a <0时，函数$f(x)=1-\frac{2a}{2^{x}+a}在区间(-\infty,\log_{2}(-a))，(\log_{2}(-a),+\infty)上均单调递减， 若[m,n]⊆(\log_{2}(-a),+\infty)，则f(x)>1，于是\frac{k}{2^{m}}>0$，这与k <0矛盾，故舍去$; 若[m,n]\subseteq(-\infty,\log_{2}(-a))，则f(x)< 1， 于是\left{ \begin{array}{l}f(m)=\frac{k}{{2}^{n}}\\ f(n)=\frac{k}{{2}^{m}}\end{array}\right.,\;\;\;\;\;即：\;\left{ \begin{array}{l}\frac{{2}^{m}-a}{{2}^{m}+a}=\frac{k}{{2}^{n}}\;\;\;\;➀\\ \frac{{2}^{n}-a}{{2}^{n}+a}=\frac{k}{{2}^{m}}\;\;\;\;\;②\end{array}\right.,. 所以\left{ \begin{array}{ll}{2}^{n}({2}^{m}-a)=k({2}^{m}+a)\\ {2}^{m}({2}^{n}-a)=k({2}^{n}+a)\end{array}\right.，两式相减并整理得，(k-a)(2^{n}-2^{m})=0， 又2^{m}< 2^{n}，故2^{n}-2^{m}>0，从而k-a=0.$因为a <0，所以$\frac{k}{a}=1. 综上，\frac{k}{a}的范围是(-3+2\sqrt{2},0)∪{ 1}.$;【解析】此题主要考查函数的单调性，函数定义域与值域以及指数函数的性质，属于难题.(1)利用函数单调性的定义求证即可；(2)依题意，函数f(x)在区间[m,n] (m <n)上的取值范围是[k 2m ,k 2n](k ∈R)，分别讨论a的范围即可求解.19.【答案】解：(1)∵函数f(x)=√−x 2+5x −6的定义域为A ， ∴\mathopA={x |−x 2+5x −6⩾又由2⩽2x ⩽16得B=[1,4].∴ A ∩B =[2,3]，∁R B =(−∞,1)∪(4,+∞). (2)∵A ∪C =A. ∴C ⊆A则{&m +1⩾2 2m −1⩽3 ，即1⩽m ⩽2.又要使集合C={ x|m+1⩽x⩽2m−1}为非空集合，则必须m+1⩽2m−1即m⩾2，综上可得m=2，所以实数m的取值集合为{2}.;【解析】此题主要考查集合的运算以及集合中参数的取值范围问题．属于基础题.(1)首先求出集合A与集合B，再求交集、补集；(2)由题意可知C⊆A，因此可建立不等式组，即可解出实数m的取值集合．20.【答案】解：（1）f（x）=a•4x-a•2x+1+1-b，a＞0，设t=2x（12≤t≤4），则g（t）=a t2-2at+1-b=a（t-1）2-a-b+1，当t=1时，取得最小值1-a-b，即有1-a-b=0，①又t=4时，取得最大值8a-b+1=9，②由①②解得a=1，b=0；（2）f（x）≥1，即为4x-2x+1+1≥1，即有2x（2x-2）≥0，由于2x＞0，则2x≥2，解得x≥1，则解集为{x|x≥1}．;【解析】(1)可令t=2x(12⩽t⩽4)，则g(t)=at2−2at+1−b=a(t−1)2−a−b+1，考虑对称轴和区间关系，可得t=1取得最小值，t=4取得最大值，解a，b的方程组，即可得到所求值；(2)由指数不等式的解法，结合指数函数的单调性，即可得到所求范围．该题考查指数函数的性质和运用，考查可化为二次函数的最值的求法，考查换元法的运用，以及不等式的解法，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵2x-1≠0，即2x≠1，∴x≠0故f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）（2）解：∵f（x）是奇函数又∵f(−x)=12−x−1+a=2x1−2x+a∴f(x)+f(−x)=12x−1+a+2x1−2x+a=0∴a=12（3）证明：当x＞0时，2x＞1，∴2x-1＞0∴12x−1+12＞0，即x＞0时，f（x）＞0;【解析】(1)根据2x−1≠0，即2x≠1，求解．(2)根据奇函数的概念，f(x)+f(−x)=12x−1+a+2x1−2x+a=0，求解．(3)根据不等式的性质证明，结合指数函数的单调性．该题考查了函数的概念，性质，属于容易题．22.【答案】解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(−x)=f(x)恒成立，∴2xa +a2x=2−xa+a2−x恒成立，即(1a−a)(2x−2−x)=0恒成立，∴1a−a=0，解得a=±1，∵a>0，∴a=1.(2)由(1)知f(x)=2x+2−x−1=134，∴4⋅(2x)2−17⋅2x+4=0，解得2x=4或14，∴x=±2，所以原方程的解为x=±2.;【解析】【试题解析】此题主要考查了偶函数的定义，一元二次方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．(1)根据f(x)为偶函数可得出f(−x)=f(x)恒成立，从而可得出(1a−a)(2x−2−x)=0恒成立，从而可求出a=1；(2)根据(1)即可得出4⋅(2x)2−17⋅2x+4=0，然后解出x的值即可．。

突破15 幂函数(重难点突破)(解析版)

突破15 幂函数重难突破一、基础知识【知识点一、幂函数】 1．幂函数的概念一般地，函数(y x αα=是常数）叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2．幂函数的结构特征幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．3．幂函数与指数函数的区别与联系函数解析式相同点不同点指数函数 (0,1)x y a a a =>≠且右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数()y x αα=∈R底数是_______，指数是_______【知识点二、幂函数的图象与性质】 1．几个常见幂函数的图象与性质函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x=图象定义域 R R R [0,)+∞ {|0}x x ≠ 值域 R[0,)+∞R[0,)+∞{|0}y y ≠奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(,0)-∞上单调递减；在[0,)+∞上单调递增在R 上单调递增在[0,)+∞上单调递增在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减过定点过定点(0,0),(1,1)过定点(1,1)【注】幂函数(y x αα=是常数）中，α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意α是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同．2．幂函数(y x αα=是常数）的指数对图象的影响（1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1y x -=的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；（2）当_______时，函数图象向x 轴弯曲，类似于y x =的图象；（3）当_______时，函数图象向y 轴弯曲，类似于2y x =的图象，而且逆时针方向指数在增大．具体如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过（0，0），（1，1）过（0，0），（1，1）过（1，1）凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x -=3．常用结论（1）幂函数在_______ 上都有定义．（2）幂函数的图象均过定点_______．（3）当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______．（4）当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______．（5）幂函数在第四象限无图象．知识参考答案：一、3．自变量常数二、2．（1）0α< （2）01α<< （3）1α> 3．（1） (0,)+∞（2） (1,1)（3）递增（4）递减二、题型分析1．K 重点——幂函数的定义判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y x α=（α是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．【例1】已知幂函数()f x 的图象过点（2， 41），试求该函数的解析式．【答案】2y x -=．【名师点睛】虽然幂函数y x α=（α是常数）和指数函数(0,1)xy a a a =>≠都具有幂的形式，但幂函数以幂的底数x 为自变量，指数α为常数；指数函数以幂的底数a 为常数，指数x 为自变量．当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数的知识解决，还是用指数函数的知识解决．【变式训练1】（2019春•闵行区校级月考）已知函数()f x 是幂函数，且2f （4）(16)f =，则()f x 的解析式是．【分析】设f （x ）＝x α，根据条件建立方程求出α的值即可．【答案】解：设f （x ）＝x α， ∵2f （4）＝f （16）， ∴2×4α＝16α，即＝2，则4α＝2，α＝，即f （x ）＝x ，故答案为：f （x ）＝x【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．【变式训练2】（2018秋•道里区校级月考）已知幂函数2242()(1)m m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减，则函数()f x 的解析式为．【分析】利用幂函数的性质直接求解．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m +1）2在（0，+∞）上单调递减，∴，解得m ＝0，∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣2．故答案为：f （x ）＝x ﹣2．【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式训练3】已知幂函数22(29)()(919)()m m f x m m x m Z --=-+∈的图象不过原点，则()f x 的解析式为．【分析】由幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，列举方程组，求出m ，由此能求出f （x ）的解析式．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，∴，解得m ＝3，∴f （x ）＝x ﹣6．故答案为：f （x ）＝x ﹣6．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．幂函数的图象要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：（1）当α的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x 轴（简记为“指大图低”）；当α的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限．【例2】已知函数ay x =，by x =，cy x =的图象如图所示，则实数,,a b c 的大小关系为A ．c b a <>，又函数2xy =是增函数，于是a b c >>．【变式训练1】（2019秋•涪城区校级月考）幂函数a y x =，b y x =，c y x =的图象如图所示，则实数a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【分析】利用幂函数图象和单调性即可得出．【答案】解：由幂函数图象和单调性可知：a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0． ∴a ＞b ＞c ．故选：A ．【点睛】本题考查了幂函数图象和单调性，属于基础题．【变式训练2】已知幂函数n y x =，m y x =，p y x =的图象如图，则( )A ．m n p >>B ．m p n >>C ．n p m >>D ．p n m >>【分析】根据幂函数的图象特征：在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴，结合图象即可得到答案．【答案】解：因为在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴，所以由图象可得：n ＞p ＞m ，故选：C ．【点睛】本题考查幂函数图象的特征，以及数形结合思想，属于基础题．【变式训练3】（2019•开福区校级模拟）如图，函数1y x=、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．则函数1y x=的图象经过的部分是( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑦D ．③⑧【分析】根据幂函数的图象和性质即可得到结论．【答案】解：∵y ＝＝，幂指数，∴函数在第一象限内单调递减，当x ＞1时，函数y ＝x a 为增函数，则此时＞x ﹣1，即函数y ＝的图象经过的部分是④⑧，故选：B ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，根据幂函数的性质和指数函数的性质是解决本题的关键． 3．幂函数性质的应用（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等．【例3】如图，幂函数()37m y xm -=∈N 的图象关于y 轴对称，且与x 轴，y 轴均无交点，求此函数的解析式及不等式(2)16f x +<的解集．【答案】函数的解析式是4y x -=，不等式的解集为53(,)(,)22-∞--+∞．【名师点睛】解决与幂函数有关的综合性问题时，一定要考虑幂函数的概念．对于幂函数y x α=（α是常数），由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．4．幂函数单调性的应用（1）注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．第一步，根据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1的情况，a >1，α>0时，a α>1；0<a <1，α>0时，0<a α<1；a >1，α<0时，0<a α<1；0<a <1，α<0时，a α>1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．（2）给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1．第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．【例4】设525352)52(,)52(,)53(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a【答案】A【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量．【变式训练1】（2019秋•武邑县校级期中）若120.5a =，130.5b =，140.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>【分析】利用指数函数的单调性进行判断．【答案】解：构造函数f （x ）＝0.5x ，因为函数f （x ）＝0.5x ，为单调递减函数．且，所以，即，所以a ＜b ＜c ．故选：B ．【点睛】本题主要考查指数幂的大小比较，构造指数函数利用指数函数的单调性是解决本题的关键．【变式训练2】（2019秋•开封校级期中）下列大小关系，正确的是( ) A ． 3.3 4.50.990.99< B ．23log 0.8log π< C ． 5.2 5.20.530.35<D ．0.3 3.11.70.9<【分析】结合函数y ＝0.99x ，y ＝x 5.2，等指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断各函数值的大小或与0和1的大小，从而比较大小．【答案】解：对于A ：考察指数函数y ＝0.99x ，由于0.99＜1，故它在R 上是减函数， ∵3.3＜4.5，∴0.993.3＞0.994.5 故A 错；对于B ：考察对数函数log 2x ，由于2＞1，故它在（0，+∞）上是增函数， ∴log 20.8＜log 21＝0，而log 3π＞log 31＝0，∴log 20.8＜log 3π 故B 正确；对于C ：考察幂函数y ＝x 5.2，由于5.2＞0，故它在（0，+∞）上是增函数， ∵0.53＞0.35，∴0.535.2＞0.355.2故C 错；对于D ：考考察指数函数y ＝1.7x ，由于1.7＞1，故它在R 上是增函数， ∴1.70.3＞1.70＝1，考考察指数函数y ＝0.9x ，由于0.9＜1，故它在R 上是减函数， 0.93.1＜0.90＝1，故1.70.3＞0.93.1故D 错；故选：B ．【点睛】本题是幂函数、指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．【变式训练3已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<【分析】a ＝＝，b ＝，c ＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a ，b ，c ，进而得到答案．【答案】解：∵a ＝＝， b ＝＝（22）＝＜＜a ， c ＝＝＞＝＝a ，综上可得：b ＜a ＜c ，故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．【变式训练4】（2019秋•青阳县校级期中）若221333111(),(),()252a b c ===，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【分析】由在第一象限内是增函数，知．由是减函数，知．由此可知a 、b 、c 的大小关系．【答案】解：∵在第一象限内是增函数，∴，∵是减函数，∴，所以b ＜a ＜c ．故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性． 5．求出参数后，忽略检验致错【例5】已知幂函数13()n y x n *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，则n =_______．【错解】因为幂函数13()n y xn *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，所以103n <-，解得3n <．又因为n *∈N ，所以1n =或2．【错因分析】错解中对求出的n 的值没有代回题目中进行检验，造成多解．【正解】因为幂函数13()n y x n *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，所以103n <-，解得3n <．又因为n *∈N ，所以1n =或2．当1n =时，12y x -=，其定义域为(0,)+∞，且函数单调递减，符合题意；当2n =时，1y x -=，其定义域是{|0}x x ≠，不符合题意，舍去．综上，得1n =．【名师点睛】根据题目条件及幂函数的定义求出参数的值后，一定要把参数的值代回题目中进行检验，看是否满足题意，否则容易造成多解或错解．【变式训练1】（2019秋•葫芦岛期末）幂函数2()(1)m g x m m x =--的图象关于y 轴对称．（1）求()g x 的解析式；（2）若函数()()21f x g x ax =-+在[1x ∈-，2]上单调递增，求a 的取值范围．【分析】（1）由幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称，列出方程组，能求出m ．（2）由函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1，其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增，能求出a 的取值范围．【答案】解：（1）幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称， ∴，解得m ＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1，其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增， ∴a ≤﹣1，故a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式训练1】（2019秋•连江县校级期中）已知幂函数93*()()m f x x m N -=∈的图象关于原点对称，且在R 上单调递增．（1）求()f x 表达式；（2）求满足(1)(34)0f a f a ++-<的a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得9﹣3m ＞0，解不等式可得m 的整数解，结合题意可得m ，即有函数的解析式；（2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，原不等式可化为a +1＜4﹣3a ，解不等式即可得到所求范围．【答案】解：（1）幂函数f （x ）＝x 9﹣3m （m ∈N *）的图象关于原点对称，且在R 上单调递增，可得9﹣3m ＞0，解得m ＜3，m ∈N *，可得m ＝1，2，若m ＝1，则f （x ）＝x 6的图象不关于原点对称，舍去；若m ＝2，则f （x ）＝x 3的图象关于原点对称，且在R 上单调递增，成立．则f （x ）＝x 3；（2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增， f （a +1）+f （3a ﹣4）＜0，可得f （a +1）＜﹣f （3a ﹣4）＝f （4﹣3a ），即为a +1＜4﹣3a ，解得a ＜．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．【变式训练2】（2019秋•静宁县校级期中）已知函数()f x 是幂函数，()f x 在(,0)-∞上是减函数，且3((2))8f f =（1）求函数()f x 的解析式（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由（3）若函数23()[()]()g x f x ax a R -=-∈在[1，2]上的最小值为14-，求实数a 的值．【分析】（1）用待定系数法求得幂函数f （x ）的解析式；（2）根据奇偶性的定义判断函数f （x ）是定义域上的奇函数；（3）求出函数g （x ）的解析式，讨论a 的取值范围，利用g （x ）在区间[1，2]上的最小值求出a 的值．【答案】解：（1）设幂函数f （x ）＝x α，α为常数；∴f（）＝＝，∴f（f（））＝＝8，∴＝3，解得α＝±3；又f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴α＝﹣3，∴f（x）＝x﹣3；（2）函数f（x）＝x﹣3，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；任取x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）＝（﹣x）﹣3＝﹣x﹣3＝﹣f（x），∴函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数；（3）函数g（x）＝[f（x）]﹣ax＝x2﹣ax（a∈R）；则函数g（x）＝x2﹣ax的对称轴为x＝，当＜1，即a＜2时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，g（x）的最小值为g（1）＝1﹣a＝﹣，解得a＝，满足题意；当1≤≤2，即2≤a≤4时，函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为g（）＝﹣＝﹣a2＝﹣，解得a＝±1（不合题意，舍去）；当＞2，即a＞4时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递减，g（x）的最小值为g（2）＝4﹣2a＝﹣，解得a＝（不合题意，舍去）；综上，a＝．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了函数的奇偶性和单调性、最值的应用问题，是中档题．三、课后作业1．如果幂函数f（x）=xα的图象经过点139⎛⎫⎪⎝⎭，，则α=A ．–2B ．2C ．12-D ．12【答案】A2．若幂函数f （x ）的图象经过点（4，12），则f （14）的值是 A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】设幂函数f （x ）=x α，其图象过点（4，12），∴4α=12，解得α=–12，∴f （x ）=12x -，∴f （14）=1214-⎛⎫⎪⎝⎭=2．故选C ．3．幂函数的图象经过点333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则f （2）的值等于A ．4B ．14C ．2D ．22【答案】D【解析】幂函数f （x ）=x n的图象经过点333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，可得3n =33，解得n =–12，则f （2）=21222-=，故选D ． 4．函数()21f x x=的单调递增区间为 A ．（–∞，0] B ．[0，+∞）C ．（0，+∞）D ．（–∞，0）【答案】D5．若幂函数y =f （x ）经过点333⎛ ⎝⎭，，则此函数在定义域上是A ．增函数B ．减函数C ．偶函数D ．奇函数【答案】B【解析】幂函数y =f （x ）是经过点3⎛ ⎝⎭，设幂函数为y =x α，将点代入可得3α，得到12α=-，此时函数12y x -=是（0，+∞）的减函数．故选B ．6．若函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f （x ） A ．是偶函数B ．是奇函数C ．是单调递减函数D ．在定义域内有最小值【答案】B【解析】幂函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 的图象与坐标轴无交点，可得m 2–m –1=1，且m ≤0，解得m =–1，则函数f （x ）=x –1．是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B ．7．幂函数f （x ）=x α的图象经过点(3，则实数α=___________．【答案】12【解析】∵幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（3），∴（3）a a =12，故答案为：12． 8．幂函数y =f （x ）的图象经过点144⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为___________．【答案】4【解析】根据题意，设幂函数f （x ）=x a ，幂函数y =f （x ）的图象经过点144⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则有14=4a，则a =–1，则f （x ）=x –1，14f ⎛⎫⎪⎝⎭=（14）–1=4；故答案为：4． 9．已知幂函数f （x ）经过点（2，8），则f （3）=___________．【答案】27【解析】设f （x ）=x n ，由题意可得2n =8，解得n =3，则f （x ）=x 3，f （3）=33=27，故答案为：27． 10．函数()322(6)f x x x =--的单调递减区间为A ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【答案】A【解析】由题意，得26012x xx⎧--≥⎪⎨-≥-⎪-⎩，解得–12≤x≤2，故选A．11．已知点18a⎛⎫⎪⎝⎭，在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，则函数f（x）是A．定义域内的减函数B．奇函数C．偶函数D．定义域内的增函数【答案】B【解析】点（a，18）在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，∴a–1=1，解得a=2，故2b=18，解得b=–3，∴f（x）=x–3，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选B．12．已知点（a，12）在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，则函数f（x）是A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【答案】A【解析】点12a⎛⎫⎪⎝⎭，在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，∴a–1=1，解得a=2，又2b=12，解得b=–1，∴f（x）=x–1，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A．学科&网13．已知幂函数f（x）=x a的图象经过函数g（x）=a x–2–12（a>0且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）不具有的特性是A．在定义域内有单调递减区间B．图象过定点（1，1）C．是奇函数D．其定义域是R【答案】D14．若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为A ．（–2，+∞）B ．（1，+∞）C ．（–1，+∞）D ．（2，+∞）【答案】B【解析】由题意得：m +2=1，解得：m =–1，故f （x ）=x a ，将（2，4）代入函数的解析式得：2a =4，解得：a =2，故g （x ）=log a （x +m ）=log 2（x –1），令x –1>0，解得：x >1，故g （x ）在（1，+∞）递增，故选B ． 15．已知函数()12f x x=，则A ．存在x 0∈R ，使得f （x ）<0B ．对于任意x ∈[0，+∞），f （x ）≥0C ．存在x 1，x 2∈[0，+∞），使得()()12120f x f x x x -<-D ．对于任意x 1∈[0，+∞），∃x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）>f （x 2）【答案】B【解析】由函数()12f x x=，知，在A 中，f （x ）≥0恒成立，故A 错误；在B 中，∀x [（0，+∞），f （x ）≥0，故B 正确；在C 中，∃x 1，x 2∈[0，+∞），使得()()1212f x f x x x -->0，故C 错误；在D 中，当x 1=0时，不存在x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）>f （x 2），故D 不成立．故选B ． 16．已知幂函数()22422m my m m x +=--的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，则整数m 的值为___________．【答案】–1【解析】()22422m my m m x+=--为幂函数，∴m 2–2m –2=1，解得m =–1或m =3；当m =–1时，函数y =x –3的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，当m =3时，函数y =x 21的图象关于原点对称，与x 轴、y 轴有交点，综上整数m 的值为–1．故答案为：–1．17．幂函数f （x ）=（t 3–t +1）x 3t +1是奇函数，则f （2）=___________．【答案】2【解析】函数f （x ）=（t 3–t +1）x 3t +1是幂函数，∴t 3–t +1=1，解得t =0或t =±1；当t =0时，f （x ）=x 是奇函数，满足题意；当t =1时，f （x ）=x 4是偶函数，不满足题意；当t =–1时，f （x ）=x –2是偶函数，不满足题意．综上，f （x ）=x ；∴f （2）=2．故答案为：2．18．已知33255()(3)m m m +≤-，求实数m 的取值范围．【答案】m ∈[–3，1]19．已知幂函数f （x ）=x 21()mm -+（m ∈N *）的图象经过点(22，．（1）试求m 的值，并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f （1+a ）>f （3a a 的取值范围．【答案】（1）m =1，f （x ）x x ∈[0，+∞）；（2）（1，9]．【解析】（1）∵幂函数f （x ）的图象经过点(22，， 21()22mm -+=，即m 2+m =2，解得m =1或m =–2， ∵m ∈N *，故m =1，故f （x ）x ，x ∈[0，+∞）；（2）∵f （x ）在[0，+∞）递增，由f （1+a ）>f （3a得103013a a a a+≥⎧⎪≥⎨⎪+>⎩，解得1<a ≤9，故a 的范围是（1，9]．20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x ()21182m m --的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．【答案】（1）f（x）=x–4；（2）{x|x<12，x≠0}．【解析】（1）因为f（x）是幂函数，所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}，又f（x）的图象与x轴和y轴都无交点，经检验只有当m=1时符合题意，此时f（x）=x–4；（2）f（x）=x–4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，学科&网只需|x+1|<|x–2|，解得x<12，又f（x）的定义域为{x|x≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x≠0}．21．已知f（x）=（m2–m–1）x–5m–1是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（1）求m的值；（2）解不等式f（x–2）>16．【答案】（1）m=–1；（2）x>4或x<0．22．已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且1222f⎛⎫=⎪⎝⎭．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【答案】（1）()f x x =；（2）证明详见解析．【解析】（1）由12()22α=，得12α=，所以()f x x =；（2）函数f （x ）的定义域是[0，+∞），设任意的x 2>x 1≥0，则()()21212121x x f x f x x x x x --=-=+，∵212100x x x x -+＞，＞， ∴f （x 2）>f （x 1），函数f （x ）在定义域上是增函数．23．（2018•上海）已知α∈{–2，–1，–1122，，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=__________．【答案】–1。

高中数学-幂函数专题强化训练(解析版)

高中数学-幂函数专题强化训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)22．下列函数中值域为R +的是（）A ．12y x =B ．()221y x -=+C ．113x y +=D ．12x y +=3．若幂函数()f x 的图象过点(4,2)，则(2)f 的值为（）A ．12B ．22C D ．24．已知函数()f x 是奇函数，且(2)()f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上是增函数，313(1),(),()23f f f 的大小关系是（）A ．313(1)()()23f f f <<B ．313()(1)()23f f f <<C ．133()(1)()32f f f <<D ．133(()(1)32f f f <<5．已知幂函数f(x)满足f 13⎛⎫⎪⎝⎭=9,则f(x)的图象所分布的象限是()A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第一象限6．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点，则f (2)＝()A ．B ．4C ．D ．7．下列函数中，既是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增的是（）A ．21y x =-B ．1y x =-C ．2y x -=D ． 22x xy -=-8．若幂函数()222333mm y m m x+-=++的图象不过原点且关于原点对称，则（）A ．2m =-B ．1m =-C ．2m =-或1m =-D ．31m -≤≤-9．若幂函数()()255af x a a x =--在()0,∞+上单调递增，则=a （）A ．3B ．6C ．2D ．1-10．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (8)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2二、多选题11．下列函数中，在区间()0,2上是增函数的是（）A ．3y x =-B ．21y x =+C ．1y x=-D ．3y x =12．下列命题中是真命题的有A ．幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)B ．幂函数的图象不可能过第四象限C ．当0n >时，幂函数n y x =是增函数D ．当0n <时，幂函数n y x =在第一象限内函数值随x 值的增大而减小13．已知幂函数()()2mf x m x =-，则（）A ．3m =B ．定义域为[)0,∞+C ．(1.5)(1.4)m m -<-D 2=三、填空题14．函数()12f x x -=的定义域为_______．15．若一个函数为幂函数，又是二次函数，则该函数的表达式为______．16．已知()f x 为幂函数，若1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x =________．17．幂函数()f x x α=的图像经过点，则1()4f 的值为____．18．已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()25f =___________.19．已知函数21()(3)m f x m x -=-是幂函数，则实数m =___________.20．已知幂函数2232(5)m m y m m x --=--在区间()0,∞+是减函数，则实数m 的值是_______.21．已知幂函数()()22nf x n n x =-在()0,∞+上单调递减，则实数n 的值为___________.22．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，()11x f x x e e=- ，则曲线()y f x =在点()12，处的切线方程是______．23．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()()+xf xg x e e =是自然对数的底，则()()()()()21212222n n ng g g g f -⋅=_____________.四、解答题24．已知函数2()lg[(1)]f x x a x a =+--．（1）求函数()f x 的定义域．（2）若()f x 为偶函数，求实数a 的值．25．已知幂函数()f x 的图象过点()2,4.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()48h x f x x =--在[],2k k +上是单调函数，求实数k 的取值范围.26．已知函数()()3log 0,16axf x a a x-=>≠-．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的单调区间．27．已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式．（2）定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h >，求实数t 的取值范围．28．已知幂函数()232mm f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增.(1)求m 的值；(2)设函数()()g x f x x =+，求关于a 的不等式()()21g a g a +>-的解集.参考答案：1．B 【解析】【详解】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．2．D 【解析】【分析】利用指数函数或幂函数的性质，分别求出函数的值域即可．【详解】解：对A.120y x =≥，不符合；对B.22,(11)y t t x -==+≥，此时01y <≤，不符合；对C.13,(0)1ty t x ==≠+，此时0y <且1y ≠，不符合；对D.2,(1)t y t x R ==+∈，此时0y >，符合．故选D ．【点睛】本题考查复合函数的值域的求法，将内层函数的值域求出并作为外层函数的定义域，难度不大．3．C 【解析】【分析】设()f x x α=，利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可；【详解】解：设()f x x α=，因为幂函数()f x 的图象过点(4,2)，所以42α=，解得12α=，所以12()f x x =，所以()1222f ==故选：C4．D【解析】【分析】由f（x+2）=﹣f（x），得f（x+4）=f（x），利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小．【详解】∵f（x+2）=﹣f（x），函数f（x）是奇函数，∴f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函数f（x）关于x=1对称，且f（x+4）=f（x），∴函数是周期为4的周期数列．∵f（x）在[﹣1，0]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（x）在[1，2]上是减函数，f（133）=f（4+13）=f（13）=f（53），∵f（x）在[1，2]上是减函数，且1＜32＜53，∴f（1）＞f（32）＞f（53），即f（133）＜f（32）＜f（1），故选D．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，利用函数的奇偶性，对称性和单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质，考查学生的转化意识，属于中档题．5．A【解析】【详解】设幂函数()af x x=∵1()9 3f∴1()93a=，即2a =-∴2()f x x -=∴()f x 的图象分布在第一、二象限故选A 6．C 【解析】【分析】设幂函数解析式，将点（4，12）代入，解得参数，从而得解析式，再代入2求函数值.【详解】设f (x )＝xα，因为图像过点（4，12），代入解析式得α＝－12，∴f (2)＝122-=，故选C.【点睛】本题考查了待定系数法求幂函数解析式和求函数值等基础知识.7．B 【解析】A.利用二次函数的性质判；B.利用函数1y x =-的图象判断；C.利用幂函数的性质判断；D.利用函数奇偶性判断.【详解】A.由二次函数的单调性得21 y x =-在()0+∞，上递减，故错误；B.函数1y x =-的图象如图所示：所以函数是偶函数又在区间()0+∞，上单调递增，故正确；C.由幂函数的单调性得2y x -=在()0+∞，上递减，故错误；D.因为()()()2222x x x xf x f x ---=-=--=-，所以函数是奇函数，故错误；故选：B 8．A 【解析】根据幂函数的概念，可得2331m m ++=，进而可求出1m =-或2m =-，然后分两种情况，分别讨论函数的奇偶性，即可选出答案.【详解】根据幂函数的概念，得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，①若1m =-，则4y x -=，令()4f x x -=，其定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()()44f x x x f x ---=-=≠-，显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去；②若2m =-，则3y x -=，令()3f x x -=，其定义域为R ，且()()()33f x x x f x ---=-=-=-，即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意.所以2m =-.故选：A.【点睛】关键点睛：利用幂函数的概念，先求出m ，再根据幂函数的性质，进分类讨论，属于基础题9．B 【解析】【分析】根据幂函数的概念可得2551a a --=，然后结合单调性可得0a >，进而可以求出结果.【详解】因为()()255af x a a x =--为幂函数，则2551a a --=，解得6a =或1a =-，又因为在()0,∞+上单调递增，则0a >，因此6a =，故选：B.10．A 【解析】【详解】∵f （x+1）为偶函数，f （x ）是奇函数，∴设g （x ）=f （x+1），则g （-x ）=g （x ），即f （-x+1）=f （x+1），∵f （x ）是奇函数，∴f （-x+1）=f （x+1）=-f （x-1），即f （x+2）=-f （x ），f （x+4）=f （x+2+2）=-f （x+2）=f （x ），f (8)=()00f =，f (5)=()12f =，所以f (8)＋f (5)=2故选A点睛：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的周期是解决本题的关键．11．BCD 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性可得出合适的选项.【详解】函数3y x =-在区间()0,2上是减函数，函数21y x =+、1y x=-、3y x =在区间()0,2上均为增函数.故选：BCD.12．BD 【解析】【分析】根据幂函数的图象与性质，以及合理利用举反例的方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，例如幂函数()1f x x -=的图象不经过点(0,0)，所以不正确；对于B 中，根据函数的概念，可得幂函数的图象不可能过第四象限是正确的；对于C 中，例如幂函数()23f x x =在其定义域上不是单调函数，所以不正确；对于D 中，根据幂函数的图象与性质，可得当0n <时，幂函数n y x =在第一象限内是减函数，所以是正确的.故选BD.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的判定及应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，以及合理利用举反例进行逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13．AC 【解析】【分析】根据()f x 为幂函数得m 可判断A ；根据幂函数的解析式可判断B ；利用单调性可判断C ；D.【详解】()f x 为幂函数，21m ∴-=，得()33,=∴=m f x x ，A 对；函数()f x 的定义域为R ，B 错误；由于()f x 在R 上为增函数，331.5 1.4,(1.5)(1.4)-<-∴-<-，C 对；()3228f ==，=，D 错误，故选：AC.14．()0,∞+【解析】将函数解析式变形为()f x=.【详解】()12f x x-= 0x >.因此，函数()12f x x -=的定义域为()0,∞+.故答案为：()0,∞+.15．2y x =【解析】【分析】设幂函数为,y x R =Îa a ，根据该函数为二次函数，即可求出α的值，进而求出结果.【详解】设幂函数为,y x R =Îa a ，又y x α=是二次函数，所以2α=，所以2y x =.故答案为：2y x =.16．12x 【解析】设函数()a f x x =，代入1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求解.【详解】因为()f x 为幂函数，设()af x x =，因为1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1142⎛⎫= ⎪⎝⎭a，12a =.故答案为：12x .17．2【解析】【详解】因为幂函数11422y x ααα=∴=∴=-，因此可知f(14)=218．5【解析】【分析】设()y f x x α==，根据函数过点(，即可求出α的值，即可取出函数解析式，再代入计算可得；【详解】解：设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =的图象过点(，所以()22f α==12α=，所以()12f x x =，所以()1225255f ==故答案为：519．2±【解析】根据幂函数的定义求解即可.【详解】因为21()(3)m f x m x -=-是幂函数，所以231m -=，解得2m =±，故答案为：2±20．3【解析】【分析】由幂函数的定义可构造方程求得m ，代入解析式验证，满足在()0,∞+上为减函数的即为结果.【详解】()22325m m y m m x --=-- 为幂函数251m m ∴--=，解得：2m =-或3当2m =-时，函数为8y x =，在区间()0,∞+上是增函数，不合题意当3m =时，函数为2y x -=，在区间()0,∞+上是减函数，符合题意综上所述：3m =故答案为：3【点睛】本题考查根据幂函数的定义与性质求解参数值的问题，关键是熟练掌握幂函数的定义，并能根据解析式特征确定函数的单调性.21．12-##0.5-【解析】【详解】由题意，幂函数()()22n f x n n x =-，可得221n n -=，解得1n =或12n =-，当12n =-时，函数12y x -=在区间()0,∞+上单调递减，符合题意；当1n =时，函数y x =在区间()0,∞+上单调递增，不符合题意，所以实数n 的值为12-.故答案为：12-.22．2y x=【解析】【详解】已知()f x 为偶函数，且当0x ≤时，()1x f x ex --=-，当0x >，则0x -<，()()1x f x f x e x -∴=-=+，∴()1'1x f x e -=+，∴()0'112f e =+=．∴曲线()y f x =在点()12，处的切线方程是()221y x -=-，即2y x =．答案：2y x =．23．221ee -【解析】【详解】∵()()+x f x g x e =,()f x 和()g x 分别为R 上的奇函数和偶函数,∴()()()()++x f x g x f x g x e ---=-=，∴()()22x x x xe e e ef xg x ---+==，∴(2)2()()f x f x g x =⋅，∴()()()()()()()()()()()()()2121212222112221=1212n n n n n n g g g g f g g g g f f f f --⋅⋅= 221e e =-.24．（1）{|1x x <-或}x a >；（2）1a =.【解析】【详解】试题分析：（1）由()210x a x a +-->即()()10x x a +->，讨论a 和-1的大小求解即可；（2）若()f x 是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，1a =，再检验即可.试题解析：（1）因为()210x a x a +-->即()()10x x a +->，当1a <-时，不等式的解为x a <或1x >-，所以函数()f x 的定义域为{|x x a <或1}x >-．当1a =-时，不等式的解为1x ≠-，所以函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠-．当1a >-时，不等式的解为1x <-或x a >，所以函数()f x 的定义域为{|1x x <-或}x a >．（2）如果()f x 是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（1）知，1a =，检验：当1a =时，定义域为{|1x x <-或1}x >关于原点对称，()()2lg 1f x x =-，()()()()22lg 11f x x lg x f x ⎡⎤-=--=-=⎣⎦，因此当1a =时，()f x 是偶函数．25．(1)2()f x x =(2)(,0][2,)-∞+∞ 【解析】【分析】（1）根据幂函数的图象过点（2，4），列方程求出α的值，写出f （x ）的解析式；（2）写出函数h （x ）的解析式，根据二次函数的对称轴与单调性求出k 的取值范围．【详解】解：（1）设()()f x x R αα=∈，因为()f x 的图象过点()2,4，∴(2)24f α==，∴2α=，∴2()f x x =；（2）函数22()()4848(2)12h x f x x x x x =--=--=--，对称轴为2x =；当()h x 在[],2k k +上为增函数时，2k ≥当()h x 在[],2k k +上为减函数时，22k +≤，解得0k ≤所以k 的取值范围是(,0][2,)-∞+∞ 【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．26．（1）见解析；（2）()3,3-【解析】【分析】（1）换元，令x ﹣3=t ，可求t 的范围：﹣3＜t ＜3，这样便得到f （t ）=33at log t +-，从而得出f （x ），并求f （﹣x ），这样即可判断f （x ）的奇偶性；（2）函数f （x ）=33a x log x +-是由函数u=33x x+-和y=log a u 复合而成，根据a 的范围可判断y=log a u 为减函数，从而判断33x u x +=-在（﹣3，3）上单调性，并求其单调区间便可得出函数f （x ）的单调区间．【详解】（1）令x ﹣3=t ，﹣3＜t ＜3，则x=t+3；f （t ）=33a t log t+-；∴()3333a x f x log x x+=--，＜＜；∴()()3333aa x x f x log log f x x x -+-==-=-+-；∴f （x ）为奇函数；（2）令u=33x x +-=()363x x--+-=613x -+-，该函数在（﹣3，3）上为增函数；又0＜a ＜1；∴函数log a u 为减函数；∴复合函数f （x ）单调减区间为（﹣3，3）．【点睛】考查换元法求函数解析式，奇函数的定义，以及根据奇偶函数的定义判断函数奇偶性的方法，复合函数的定义，对数函数的单调性，复合函数单调性的判断方法．27．(1)()2,04 442,4m m g m m m ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩(2)()()4,00,4- 【解析】【分析】（1）函数的对称轴2m x =，讨论对称轴所在的区间即可求解．（2）根据已知定义在()(),00,-∞⋃+∞的函数()h x 为偶函数，再对其单调性进行研究可知()()4h t h >，即04t <<，实数t 的取值范围即可求解．【详解】（1）因为()()222024m m f x x mx x m ⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭，所以当04m <≤时，022m <≤，此时()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．当4m >时，函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-．综上可知()2,04442,4m m g m m m ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩．（2）因为当0x >时，()()h x g x =，所以当0x >时，()2,04442,4x x h x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩．易知函数()h x 在()0,+∞上单调递减，因为定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h >，所以04t <<，解得40t -<<或04t <<．综上所述，实数t 的取值范围为()()4,00,4-⋃．【点睛】本题主要考查函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论是哪种类型，解决的关键是明确对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．28．(1)12(2)1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义得到2312m m +=，解得12m =或2m =-，再由函数()232m m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,+∞上单调递增，做出取舍；（2）根据题意得到()g x 在[)0,+∞上单调递增，列出不等式组，求得结果.(1)因为()232m m f x m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为幂函数，所以2312m m +=，解得12m =或2m =-.当2m =-时，()2f x x -=在()0,+∞上单调递减，不符合题意；当12m =时，()f x =()0,+∞上单调递增，符合题意.综上，m 的值为12.(2)()f x 的定义域为[)0,+∞，且()f x 在[)0,+∞上单调递增.又因为函数y x =在[)0,+∞上单调递增，所以()g x 的定义域为[)0,+∞，且()g x 在[)0,+∞上单调递增.由()()21g a g a +>-，得20,10,21,a a a a +⎧⎪-⎨⎪+>-⎩解得112a -< 故所求不等式的解集为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

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3.3 幂函数中档题一．选择题（共4小题）1．若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（）A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞）2．已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g （x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．3．函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断4．已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共1小题）5．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f（x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是．三．解答题（共13小题）6．已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，数k的取值围．7．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值围．8．已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值围．9．．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），数a的取值围．11．函数f（x）=是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．12．如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论13．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值围．14．已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．15．已知幂函数f（x）=x a和对数函数g（x）=log a x，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值围．16．已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，数c的取值围．3.3 幂函数中档题参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2015•一模）若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则函数g（x）=+f（x）在[，3]上的值域为（）A．[2，]B．[2，]C．（0，]D．[0，+∞）【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x∈[，3]上的最值即可．【解答】解：设f（x）=xα，∵f（x）的图象过点（3，），∴3α=，解得α=﹣，∴f（x）=；∴函数g（x）=+f（x）=+=+，当x∈[，3]时，在x=1时，g（x）取得最小值g（1）=2，在x=3时，g（x）取得最大值g（3）=+=，∴函数g（x）在x∈[，3]上的值域是[2，]．故选：A．【点评】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目．2．（2015秋•庄河市期末）已知指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，若定点P在幂函数g（x）的图象上，则幂函数g（x）的图象是（）A．B．C．D．【分析】求出定点P，然后求解幂函数的解析式，即可得出结论．【解答】解：指数函数f（x）=a x﹣16+7（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，令x﹣16=0，解得x=16，且f（16）=1+7=8，所以f（x）的图象恒过定点P（16，8）；设幂函数g（x）=x a，P在幂函数g（x）的图象上，可得：16a=8，解得a=；所以g（x）=，幂函数g（x）的图象是A．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与幂函数的性质与应用问题，也考查了计算能力的问题，是基础题．3．（2015秋•校级期中）函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【分析】根据题意，求出幂函数f（x）的解析式，利用函数f（x）的奇偶性与单调性，求出f（a）+f（b）＞0．【解答】解：根据题意，得f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，∴m2﹣m﹣1=1，解得m=2或m=﹣1；又f（x）在第一象限是增函数，且当m=2时，指数4×29﹣25﹣1=2015＞0，满足题意；当m=﹣1时，指数4×（﹣1）9﹣（﹣1）5﹣1=﹣4＜0，不满足题意；∴幂函数f（x）=x2015是定义域R上的奇函数，且是增函数；又∵a，b∈R，且a+b＞0，∴a＞﹣b，又ab＜0，不妨设b＜0，即a＞﹣b＞0，∴f（a）＞f（﹣b）＞0，f（﹣b）=﹣f（b），∴f（a）＞﹣f（b），∴f（a）+f（b）＞0．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．4．（2014•西湖区校级学业考试）已知，若0＜a＜b＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】函数的单调性，对a、b、、，区分大小，即可找出选项．【解答】解：因为函数在（0，+∞）上是增函数，又，故选C．【点评】本题考查幂函数的性质，数值大小比较，是基础题．二．填空题（共1小题）5．（2016春•校级期末）已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f（x1）＞x2f（x2）；②x1f （x1）＜x2f（x2）；③＞；④＜．其中正确结论的序号是②③．【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式；幂函数的指数大于0得到幂函数在（0，+∝）上的单调性；图象呈上升趋势，判断出②③正确．【解答】解：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=（），所以α=，于是f（x）=x．由于函数f（x）=x在定义域[0，+∞）单调递增，所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正确．答案②③【点评】本题考查利用待定系数法求幂函数的解析式、考查幂函数的性质由幂函数的指数的取值决定．三．解答题（共13小题）6．（2016春•校级期末）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，数k的取值围．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，（Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到关于k的不等式组，解的即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，解得m=0或m=2当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去∴m=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增，∴A=[1，4]，B=[2﹣k，4﹣k]，∵A∪B⊆A，∴解得，0≤k≤1故实数K的取值围为[0，1]【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题．7．（2016春•江阴市校级期中）已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求a++的取值围．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义，求出a的值，即得f（x）的解析式与单调递减区间；（Ⅱ）把方程化为g（x﹣1）=1﹣a，利用函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）的图象上有二交点，得出a的取值围以及x1，x2的关系，从而求出a++的取值围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2’∴f（x）=x2的单调递减区间为（﹣∞，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4’（Ⅱ）方程g（x﹣1）+f（1）=0化为g（x﹣1）=1﹣a，由题意函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5’y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7’在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，又y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9’所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11’由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14’所以a++的取值围为（2﹣lg2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16’【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题以及分类讨论与转化思想，是就综合性题目．8．（2015秋•资阳期末）已知函数f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），g（x）=|lgx|．（Ⅰ）若f（x）是幂函数，求a的值；（Ⅱ）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间（1，3）上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值围．【分析】（Ⅰ）利用幂函数的定义能求出a．（Ⅱ）函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点，y=g（x﹣1）=，推导出1﹣lg2＜a＜1，x1∈（1，2），x2∈（2，3），由此能求出的取值围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）x a（a∈R），f（x）是幂函数，∴由题有a﹣1=1，得a=2．（2分）（Ⅱ）方程化为g（x﹣1）=1﹣a，由题有函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x∈（1，3）上有两不同交点．（3分）y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|=在x∈（1，2]时，y=g（x﹣1）单调递减，y=g（x﹣1）∈[0，+∞），在x∈[2，3）时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1）∈[0，lg2），5分所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1，（7分）由x1＜x2，可知x1∈（1，2），x2∈（2，3），且即相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，展开并整理得x1x2=x1+x2，即．（11分）所以的取值围为（2﹣lg2，2）．（12分）【点评】本题考查实数值的求法，考查代数式的值的取值围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．9．（2015秋•校级期中）．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若a＞k，比较（lna）0.7与（lna）0.6的大小．【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过k∈N*，求出k的值，写出函数的解析式．（2）利用指数函数y=（lna）x的性质，把不等式大小比较问题转化为同底的幂比较大小，即可得出答案．【解答】解：（1）幂函数的图象关于y轴对称，所以，k2﹣2k﹣3＜0，解得﹣1＜k＜3，因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数在区间（0，+∞）为减函数，∴k=1，函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）由（1）知，a＞1．①当1＜a＜e时，0＜lna＜1，（lna）0.7＜（lna）0.6；②当a=e时，lna=1，（lna）0.7=（lna）0.6；③当a＞e时，lna＞1，（lna）0.7＞（lna）0.6．【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的大小比较，注意转化思想的应用．10．（2014秋•旌阳区校级月考）已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f（x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），数a的取值围．【分析】（1）根据题意，求出m的值，得出g（x）的解析式，再求出f（x）的解析式；（2）根据题意，利用f（x）的单调性，列出不等式组，求出实数a的取值围．【解答】解：（1）∵幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）上为减函数，∴，解得m=﹣，∴g（x）=；又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=，∴设f（x）=log a x（a＞0且a≠1），∴log a（﹣m+1）+log a（﹣m﹣1）=，即log a（m2﹣1）=log a2=，解得a=4，∴f（x）=log4x；（2）∵实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），且f（x）=log4x在（0，+∞）上单调递增，∴，解得；即＜a＜2，∴实数a的取值围是（，2）．【点评】本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．11．（2013秋•大县校级期末）函数f（x）=是偶函数．（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；（2）证明函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是减函数；（3）当x∈[﹣2，0]时，求函数f（x）=的值域．【分析】（1）根据f（x）是偶函数，f（﹣x）=f（x），求出a=0；（2）用定义证明f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；（3）由（2）得，根据f（x）在[﹣2，0]的单调性，求出f（x）在[﹣2，0]上的值域．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即=，∴x2+ax﹣3=x2﹣ax﹣3；∴a=0，∴f（x）=；（2）证明：任取x1、x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2；∴==；∵x1＜x2＜0，∴x1+x2＜0，x1﹣x2＜0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）＞0，∴＞1，即f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；（3）由（2）知，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴当x∈[﹣2，0]时，f（﹣2）==2，f（0）=；∴函数f（x）在[﹣2，0]上的值域是[，2]．【点评】本题考查了函数的奇偶性的应用，单调性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的问题，是综合题．12．（2011•模拟）如图，点A、B、C都在幂函数的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′，记△AB′C的面积为f（a），△A′BC′的面积为g（a）（1）求函数f（a）和g（a）的表达式；（2）比较f（a）与g（a）的大小，并证明你的结论【分析】（1）间接法求f（a），利用f（a）=S△AB'C =S梯形AA'C'C ﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'求出f （a）的值，直接法求g（a）=AC•BB′．（2）比较f（a）与g（a）的大小，用作差法，化简f（a）﹣g（a）到因式乘积的形式，判断符号，从而比较大小．【解答】解：（1）连接AA′、BB′、CC′，则f（a）=S△AB'C =S梯形AA'C'C ﹣S△AA'B'﹣S△CC'B'===（），g（a）=S△A′BC′=AC•BB′=BB′=，==，∴f（a）＜g（a），【点评】本题考查幂函数的应用，不等式比较大小的方法，体现转化的数学思想．13．（2011秋•高安市校级期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．（1）求m的值；（2）求满足的a的取值围．【分析】（1）幂函数y=xα的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数．则必须满足α为偶数且α＜0，则易得m的值．（2）再根据幂函数y=xα的单调性，求满足的a的取值围．【解答】解：（1）∵函数在（0，+∞）上递减，∴m2﹣2m﹣3＜0即﹣1＜m＜3，又m∈N*∴m=1或2，又函数图象关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3为偶数，故m=1为所求．（2）函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数∴等价于a+1＞3﹣2a＞0或0＞a+1＞3﹣2a或a+1＜0＜3﹣2a，解得故a的取值围为【点评】幂函数y=xα，α＜0时则为减函数；α＞0时，幂函数为增函数．要注意α的不同，其定义域是不同的．解不等式时要注意．14．（2010秋•如东县期末）已知幂函数y=f（x）经过点，（1）试求函数解析式；（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．【分析】（1）设y=x a，代入可得a值，从而得到幂函数的解析式．（2）根据函数解析式求出定义域，在考查f（﹣x）与f（x）的关系，依据函数奇偶性的定义作出判断．（3）将不等式化为f（3x+2）＞f（4﹣2x），分3x+2与2x﹣4都是正数、都是负数、异号三种情况，依据函数的单调性及函数值围列出不等式组，最后把各个不等式组的解集取并集．【解答】解：（1）设y=x a，代入，得a=﹣1，∴．（2）定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞），又，∴f（x）为奇函数．单调区间（﹣∞，0），（0，+∞）（3）由f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0得f（3x+2）＞﹣f（2x﹣4），即f（3x+2）＞f（4﹣2x），①当3x+2＞0，4﹣2x＞0时，∴，②当3x+2＜0，4﹣2x＜0时，，x无解，③当3x+2与4﹣2x异号时，，x＞2，综上所述，或x＞2．【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性，求函数单调区间、定义域，以及利用单调性、奇偶性解不等式．15．（2010秋•校级期末）已知幂函数f（x）=x a和对数函数g（x）=log a x，其中a为不等于1的正数（1）若幂函数的图象过点（27，3），求常数a的值，并说明幂函数f（x）的单调性；（2）若0＜a＜1，且函数y=g（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上总有|y|≤2，求a的取值围．【分析】（1）将点的坐标代入幂函数解析式求出α，据α＞0，幂函数单调递增．（2）求出函数的解析式，根据0＜a＜1时，对数函数单调递减，求出函数的最值，列出不等式求出a的围．【解答】解：（1）∵幂函数的图象过点（27，3），∴3=27α∴，∴故函数在（﹣∞，+∞）上是单调增函数（2）y=g（x+3）=log a（x+3）∵0＜a＜1，∴y=log a（x+3）在区间[﹣2，﹣1]上单调递减所以当x=﹣2时y取得最大值0，当x=﹣1时y取得最小值log a2∵|y|≤2∴﹣log a2≤2【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、幂函数的性质、对数函数的单调性及解对数不等式．16．（2007秋•虹口区校级期末）已知幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数（1）求m的值和函数f（x）的解析式（2）解关于x的不等式f（x+2）＜f（1﹣2x）．【分析】（1）利用幂函数的性质，结合函数的奇偶性通过m∈Z，求出m的值，写出函数的解析式．（2）利用函数的性质，函数的定义域，把不等式转化为同解不等式，即可求出不等式的解集．【解答】解：（1）幂函数（m∈Z）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）为减函数，所以，m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，因为m∈Z，所以m=2；函数的解析式为：f（x）=x﹣4．（2）不等式f（x+2）＜f（1﹣2x），函数是偶函数，在区间（0，+∞）为减函数，所以|1﹣2x|＜|x+2|，解得，又因为1﹣2x≠0，x+2≠0所以，【点评】本题是中档题，考查幂函数的基本性质，考查不等式的解法，注意转化思想的应用．17．已知函数f（x）=（m﹣1）为幂函数，g（x）=x+f（x）．（1）求证：函数g（x）是奇函数；（2）根据函数单调性定义证明：函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．【分析】（1）因为只有y=xα型的函数才是幂函数，所以只有，m﹣1=1，函数f（x）=（m ﹣1）才是幂函数，据此得出m．然后再证明其是奇函数；（2）根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）有f（x）为幂函数，得m﹣1=1，∴M=2，∴f（x）=，（x≠0），∴g（x）=，由g（﹣x）=（﹣x）+=﹣（），∴函数g（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数；（2）设任意的x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，∴g（x1）﹣g（x2）=（=，由x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，得：x1﹣x2＞4，∴g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），函数g（x）在[2，+∞）上是增函数．【点评】本题主要考查幂函数的定义，函数的单调性，属于基础题．18．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，数c的取值围．【分析】（1）由幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．可得﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，解出即可得出．（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，依题意，c＞[﹣（x+1）2+3]max．【解答】解：（1）∵幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．∴﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，解得m=1，∴f（x）=x4．（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3≤3．∵g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，∴c＞[﹣（x+1）2+3]max=3，当且仅当x=﹣1时取等号．∴实数c的取值围是c＞3．【点评】本题考查了幂函数的性质、恒成立问题的等价转化方法、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。