通过类比联想引申拓展研究典型题目
江西省南昌市南昌县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案)
南昌县2023-2024学年度第一学期期中考试九年级数学试题一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．下列图案中不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．一元二次方程的一次项系数是（ ）A ．3xB ．C ．3D ．3．抛物线的顶点坐标是（ ）．A ．B ．C ．D ．4．已知三角形两边长分别为5和9，第三边长是方程的根，第三边长（）A ．1B ．6C ．8D ．95．若a ，b 是方程的两个实数根，则的值是（ ）．A ．2021B ．2022C ．2023D ．20246．如图，一段抛物线，记为抛物线，它与x 轴交于点O ，；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x 轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x 轴于点．…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则m 的值为（ ）．A ．B ．3C ．D ．4二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．若点与点关于原点对称，则__________．8．如果将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是__________．9．已知点，在抛物线上，且，则__________．（填“”或22350x x -+=3x -3-22(3)4y x =++()3,4()3,4-()3,4-()3,4--2980x x -+=2220230x x +-=23a a b ++24(04)y x x x =-+≤≤1C 1A 1C 1A 180︒2C 2A 2C 2A 180︒3C 3A (2023,)M m 3-4-(1,2)A (,2)B m -m =22y x =+11(,)A x y 22(,)B x y 23y x =-120x x <<1y 2y <“”或“”）10．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了__________人．11．若二次函数的图象与x 轴只有一个公共点，则__________．12．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形是矩形，点A ，C 的坐标分别为，，点D 以2个单位长度/s 的速度从A 出发沿A 至O 方向向终点O 运动，点P 以1个单位长度/s 的速度从C 出发沿C 至B 方向向终点B 运动，当是以为一腰的等腰三角形时，点P 的坐标为__________．三、解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．解下列方程：（1）；（2）．14．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若其与x 轴一交点为，则由图象直接回答：（1）方程的解是__________；（2）当x__________时，y 随x 的增大而减小；（3）当x 满足________时，函数值大于0．15．如图，在正方形中，点M 是边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图（1）中，在边上求作一点N ，连接，使；（2）在图（2）中，在边上求作一点Q ，连接，使．16．《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、门宽、对角线的长各是多少（如图）？>=22y x x k =-+k =OABC (9,0)A (0,3)C ODP △OP 230x x -=28150x x ++=2y ax bx c =++1x =(3,0)A 20ax bx c ++=ABCD BC AB CN CN AM =AD CQ CQ AM∥17．如图所示，点D 是等边内一点，，，，将绕点A 逆时针旋转到的位置，求的周长．四、解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？19．已知：的两边，的长是关于x 的方程的两个实数根．（1）当m 为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若的长为2，那么的周长是多少？20．将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E 落在上，所在直线交直线于点F ．（1）求证：；（2）若将图1中绕点B 按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时、与之间的数量关系，并加以证明．ABC △13DA =19DB =21DC =ABD △ACE △DEC △ABCD AB AD 21024m x mx -+-=ABCD AB ABCD Rt ABC △Rt DBE △90ACB DEB ∠=∠=︒AB DE AC CF EF =DBE △AF EF DE五、解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a ，b ，c 是和边长，易知，这时我们把关于x 的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．22．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图①，点E ，F 分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．（1）【思路梳理】把绕点A 逆时针旋转至，可使与重合，由，得，即点F ，D ，G 共线，易证__________，故，，之间的数量关系为__________．（2）【类比引申】如图②，点E ，F 分别在正方形的边，的延长线上，．连接，试猜想，，之间的数量关系，并证明．ACDE Rt ABC △Rt BED△AE=20ax b +=20ax b +=1x =-20ax b ++=ACDE ABC △ABCD BC CD 45EAF ∠=︒EF EF BE DF ABE △90︒ADG △AB AD 90ADG B ∠=∠=︒180FDG ∠=︒AFG ≌△EF BE DF ABCD CB DC 45EAF ∠=︒EF EF BE DF六、解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．如图，抛物线与x 轴交于、两点，与y 轴交于点C ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线轴于点D ，交直线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段的最大值；（3）当时，求点P 的坐标．南昌县2023-2024学年度第一学期期中考试九年级数学试题参考答案及评分标准说明：1．除本参考答案外，其它正确解法可根据评分标准相应给分。
通过类比联想引申拓展研究典型题目
通过类比联想引申拓展研究典型题目摘要：一、引言：类比联想的意义和价值二、研究典型题目的方法论1.分析题目背景和条件2.寻找类比对象和关系3.运用类比联想进行拓展思考4.总结解题经验和技巧三、类比联想在典型题目中的应用实例1.数学题目的类比联想2.科学实验的类比联想3.语文题目的类比联想4.社会问题的类比联想四、类比联想引申拓展的注意事项1.确保类比关系的合理性2.防止过度引申和偏离主题3.保持逻辑性和条理性五、总结：类比联想在解决问题中的重要作用正文：一、引言类比联想，作为一种思维方式，在我们的生活和工作中具有广泛的应用。
它可以帮助我们从一个已知的问题或现象中提炼出规律，进而解决新的、相似的问题。
在研究典型题目的过程中，类比联想发挥着至关重要的作用。
本文将从类比联想的意义和价值出发，探讨如何利用类比联想研究典型题目，以及类比联想在典型题目中的应用实例和注意事项。
二、研究典型题目的方法论1.分析题目背景和条件：在解决典型题目时，我们首先要对题目的背景和条件进行全面、深入的分析。
这有助于我们了解题目的本质，从而找到解决问题的切入点。
2.寻找类比对象和关系：在分析题目背景和条件的基础上，我们要寻找与之相似的已知问题或现象，进而建立类比关系。
类比对象可以是现实生活中的实例、历史事件、其他学科的知识等。
3.运用类比联想进行拓展思考：在建立类比关系后，我们要运用类比联想进行拓展思考。
这一过程需要我们充分发挥想象力和创造力，从已知问题中提炼出规律，并尝试将其应用于新问题。
4.总结解题经验和技巧：在完成类比联想后，我们要对新问题进行总结，提炼出解题经验和技巧。
这些经验和技巧可以为我们今后解决类似问题提供指导。
三、类比联想在典型题目中的应用实例1.数学题目的类比联想：在数学领域，许多题目都可以通过类比联想找到解题思路。
例如，线性方程组的求解可以类比为图形在平面内的运动，从而利用向量运算求解。
2.科学实验的类比联想：在科学实验中，类比联想可以帮助我们发现新的实验方法和思路。
02类比、拓展探究题(解析版)
类比、拓展探究题类比、拓展探究题是近两年中考热门考题，题型的模式基本分为三步：初步尝试、类比发现、深入探究，考查的知识点有：三角形旋转、平行四边形性质、相似、全等、矩形折叠、勾股定理等．此类问题解答往往是层层深入，从特殊到一般，然后是拓展运用．在解题时需要牢牢把握特殊情况、特殊位置下的结论，然后探寻一般情况下是否也成立，最后是类比应用．类比模仿是解决此类问题的重要手段．例1数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD (∠BAD ＝120°)进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD 所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD 于点E ，F (不包括线段的端点)．(1)初步尝试如图①，若AD ＝AB ，求证：①△BCE ≌△ACF ，②AE ＋AF ＝AC ； (2)类比发现如图②，若AD ＝2AB ，过点C 作CH ⊥AD 于点H ，求证：AE ＝2FH ； (3)深入探究如图③，若AD ＝3AB ，探究得AE ＋3AFAC的值为常数t ，则t ＝________．例题分层分析(1)①先证明△ABC ，△ACD 都是________三角形，再证明∠BCE ＝________，即可解决问题． ②根据①的结论得到________，由此可证明．(2)设DH ＝x ，由题意，可得CD ＝________，CH ＝________(用含x 的代数式表示)，由△ACE ∽△HCF ，得AE FH ＝AC CH，由此即可证明．(3)如图③，过点C 作CN ⊥AD 于N ，CM ⊥BA ，交BA 的延长线于点M ，CM 与AD 交于点H .先证明△CFN ∽△CEM ，得CN CM ＝FN EM ，由AB ·CM ＝AD ·CN ，AD ＝3AB ，推出CM ＝3CN ，所以CN CM ＝FN EM ＝13，设CN ＝a ，FN＝b ，则CM ＝3a ，EM ＝3b ，想办法求出AC ，AE ＋3AF 即可解决问题．对应练习：我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．(1)概念理解请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； (2)问题探究如图①，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD ，BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连结AC ，BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展如图②，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(0°＜∠α＜∠BAC )得到Rt △AB ′D ′(如图③)，当凸四边形AD ′BC 为等邻角四边形时，求出它的面积．解题方法点析(1)矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”的条件；(2)连结PD，PC，根据PE，PF分别为AD，BC的垂直平分线，可得到PA＝________，PB＝________，∠DAP＝________＝∠ABC＝________，从而可得∠APC＝∠DPB，利用SAS可证得△APC≌△DPB，即可得到AC＝BD.(3)分两种情况考虑：(i)当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，由S四边形ACBD′＝S△ACE－S△BED′，求出四边形ACBD′的面积；(ii)当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，由S四边形ACBD′＝S△AED′＋S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′的面积即可．课后练习：1．【操作发现】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．(1)请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连结BB′；(2)在(1)所画图形中，∠AB′B＝________．【问题解决】如图，在等边三角形ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连结PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．……请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．(―种方法即可)【灵活运用】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB(k为常数)，求BD的长(用含k的式子表示)．2．问题呈现：如图①，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，AE＝DG.求证：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD.(S表示面积)实验探究：某数学实验小组发现：若图①中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化．分别过点E，G 作BC边的平行线，再分别过点F，H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1，B1，C1，D1，得到矩形A1B1C1D1.如图②，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近(DG>AE)，经过探索，发现：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1.如图③，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近(DG<AE)，请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由．迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题．(1)如图，点E，F，G，H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH>BF，AE>DG，S四边形EFGH ＝11，HF＝29，求EG的长．(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E，H分别在边AB，AD上，BE＝1，DH＝2，点F，G分别是边BC，CD上的动点，且FG＝10，连结EF，HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．3.【探索发现】如图①是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大．随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．【拓展应用】如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为________．(用含a，h的代数式表示) 【灵活应用】如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形(∠B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积．【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝50 cm，BC＝108 cm，CD＝60 cm，且tan B＝tan C＝43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．答案与解析【例1】【解答】解：（1）AE+AF＝AC；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°，∴∠D＝∠B＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠B＝∠CAD＝60°，∠ACB＝60°，BC＝AC，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACF，在△BCE和△ACF中，，∴△BCE≌△ACF（ASA）．∴BE＝AF，∴AE+AF＝AE+BE＝AB＝AC；故答案为：AE+AF＝AC；（2）设DH＝x，由由题意，CD＝2x，CH＝，∴AD＝2AB＝4x，∴AH＝AD﹣DH＝3x，∵CH⊥AD，∴AC＝＝，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴∠BAC＝∠ACD＝90°，∴∠CAD＝30°，∴∠ACH＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠HCF＝∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴，（3），理由如下：如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．∵∠ECF+∠EAF＝180°，∴∠AEC+∠AFC＝180°，∵∠AFC+∠CFN＝180°，∴∠CFN＝∠AEC，∵∠M＝∠CNF＝90°，∴△CFN∽△CEM，∴，∵AB•CM＝AD•CN，AD＝4AB，∴CM＝4CN，∴，设CN＝a，FN＝b，则CM＝4a，EM＝4b，∵∠MAH＝60°，∠M＝90°，∴∠AHM＝∠CHN＝30°，∴HC＝2a，HM＝2a，HN＝a，∴AM＝，AH＝，∴AC＝＝，AE+4AF＝（EM﹣AM）+4（AH+HN﹣FN）＝EM﹣AM+4AH+4HN﹣4FN＝4AH+4HN﹣AM＝，∴．∴t＝，故答案为：．【对应练习】【解答】解：（1）矩形或正方形；（2）AC＝BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴P A＝PD，PC＝PB，∴∠P AD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，∴∠DPB＝2∠P AD，∠APC＝2∠PBC，即∠P AD＝∠PBC，∴∠APC＝∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC＝BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B＝∠EBD′，∴EB＝ED′，设EB＝ED′＝x，由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，解得：x＝4.5，过点D′作D′F⊥CE于F，∴D′F∥AC，∴△ED′F∽△EAC，∴＝，即＝，解得：D′F＝，∴S△ACE＝AC×EC＝×4×（3+4.5）＝15；S△BED′＝BE×D′F＝×4.5×＝，则S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′＝15﹣＝10；（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，∴四边形ECBD′是矩形，∴ED′＝BC＝3，在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE＝＝，∴S△AED′＝AE×ED′＝××3＝，S矩形ECBD′＝CE×CB＝（4﹣）×3＝12﹣3，则S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′＝+12﹣3＝12﹣．【课后练习】1.【解答】解：【操作发现】（1）如图所示，△AB′C′即为所求；（2）连接BB′，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，∴∠AB′B＝45°，故答案为：45°；【问题解决】如图②，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝7；【灵活运用】如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝．2.【解答】问题呈现：证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∵AE＝DG，∴四边形AEGD是矩形，∴S△HGE＝S矩形AEGD，同理S△EGF＝S矩形BEGC，∴S四边形EFGH＝S△HGE+S△EFG＝S矩形ABCD．实验探究：结论：2S 四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣．理由：∵＝，＝，＝，＝，∴S 四边形EFGH＝+++﹣，∴2S 四边形EFGH＝2+2+2+2﹣2，∴2S 四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣．迁移应用：解：（1）如图4中，∵2S四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣．∴＝25﹣2×11＝3＝A1B1•A1D1，∵正方形的面积为25，∴边长为5，∵A1D12＝HF2﹣52＝29﹣25＝4，∴A1D1＝2，A1B1＝，∴EG2＝A1B12+52＝，∴EG＝．（2）∵2S 四边形EFGH＝S矩形ABCD+．∴四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大．①如图5﹣1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积＝1•（﹣2）＝，∴2S 四边形EFGH＝S矩形ABCD+＝15+（﹣2）＝13+，∴S四边形EFGH＝②如图5﹣2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形EFGH的面积最大．此时矩形A1B1C1D1面积＝2•1＝2，∴2S 四边形EFGH＝S矩形ABCD+＝15+2＝17，∴S四边形EFGH＝8.5∵8.5＞，∴四边形EFGH的面积最大值8.5．3.【解答】解：【探索发现】设EF＝x，ED＝y，∵EF、ED为△ABC中位线，∴ED∥AB，EF∥BC，EF＝BC，ED＝AB，∴AB＝2ED＝2y，BC＝2EF＝2x，又∠B＝90°，∴四边形FEDB是矩形，则＝＝＝，故答案为：；【拓展应用】设PN＝b，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，∵BC＝a，BC边上的高AD＝h，∴，PQ＝，∴S＝b•PQ＝＝﹣+bh，∴S的最大值为：＝；则矩形PQMN面积的最大值为；故答案为：；【灵活应用】如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG 的中点K，由题意知四边形ABCH是矩形，∵AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，∴EH＝20、DH＝16，∴AE＝EH、CD＝DH，在△AEF和△HED中，∵，∴△AEF≌△HED（ASA），∴AF＝DH＝16，同理△CDG≌△HDE，∴CG＝HE＝20，∴BI＝＝24，∵BI＝24＜32，∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF＝×（40+20）×（32+16）＝720，答：该矩形的面积为720；【实际应用】如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，∵tan B＝，设EH＝4x，BH＝3x，∵tan C＝2＝，∴CH＝2x，∵BC＝BH+CH＝105＝3x+2x，x＝21，∴BH＝63，CH＝42，EH＝84，由勾股定理得：BE＝＝＝105，CE＝＝＝42，∵AB＝60，∴AE＝45，∴BE的中点Q在线段AB上，∵CD＝70，∴CE的中点P在线段CD上，∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH＝＝2205cm2，答：该矩形的面积为2205cm2．。
四川省达州市2013年中考数学真题试题(解析版)
达州市2013年高中阶段教育学校招生统一考试数 学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至10页。
考试时间120分钟，满分120分。
第I 卷（选择题，共30分） 温馨提示：1、答第I 卷前，请考生务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在机读卡上。
2、每小题选出正确答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑。
3、考试结束后，请将本试卷和机读卡一并交回。
一．选择题：（本题10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．－2013的绝对值是（ ）A ．2013B ．-2013C ．±2013D ．12013-答案：A解析：负数的绝对值是它的相反数，故选A 。
2．某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元。
这一数据用科学记数法表示为（ ）A ．321310⨯元 B ．42.1310⨯元 C ．52.1310⨯元 D ．60.21310⨯元 答案：C解析：科学记数法写成：10n a ⨯形式，其中110a ≤<，二十一万三千元＝213000＝52.1310⨯元3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）答案：D解析：A 、C 只是轴对称图形，不是中心对称图形；B 是中心对称图形，不是轴对称轴图形，只有D 符合。
4．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%。
那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．一样 答案：C解析：设原价a 元，则降价后，甲为：a （1－20%）（1－10%）＝0.72a 元，乙为：（1－15%）2a ＝0.7225a 元，丙为：（1－30%）a ＝0.7a 元，所以，丙最便宜。
5．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ）A ．（3）（1）（4）（2）B ．（3）（2）（1）（4）C ．（3）（4）（1）（2）D ．（2）（4）（1）（3） 答案：C解析：因为太阳从东边出来，右边是东，所以，早上的投影在左边，（3）最先，下午的投影在右边，（2）最后，选C 。
山东省济南市章丘区2024-2025学年上学期第一次质量检测九年级数学试卷
山东省济南市章丘区2024-2025学年上学期第一次质量检测九年级数学试卷一、单选题1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．2112x x +=C ．2221x x x +=-D ．23(1)2(1)x x +=+ 2．柜子里有2双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是（ ）A ．12B ．16C ．14 D ．133．用配方法解一元二次方程2870x x ++=，则方程可化为（ ）A ．2(4)9x -=B ．2(4)9x +=C ．2(8)23x +=D ．2(8)9x -= 4．如图，一条处处等宽的丝带部分重叠，则丝带重叠的部分一定是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．都有可能 5．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣9x +18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．15D ．12或15 6．关于x 的一元二次方程2420kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．2k ≥- B ．2k >-且0k ≠ C ．2k ≥-且0k ≠ D ．2k ≤- 7．如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，AD=4，点P 是AB 边上的一个动点，点E 、F 分别是DP 、BP 的中点，则线段EF 的长为( )A ．2B ．4C ．D ．8．手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”、“画心”、“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形形状），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”．如图，墨涵同学装裱了一幅《雀华秋色图》的手卷，手卷长1000厘米，宽40厘米．引首和拖尾完全相同，其宽度都为100厘米，若隔水的宽度为x 厘米，画心的面积为15200厘米2，根据题意，可列方程是（ ）A ．()()1000440215200x x --=B ．()()10002100240415200x x -⨯--=C ．()()10002100240215200x x -⨯--=D ．()()10002100440215200x x -⨯--=9．如图，下列四组条件中，能判定ABCD Y 是正方形的有( )①AB =BC ，∠A =90°；②AC ⊥BD ，AC =BD ；③OA =OD ，BC =CD ；④∠BOC =90°，∠ABD =∠DCAA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．对于两个实数a ，b ，用()max ,a b 表示其中较大的数，则方程()max ,21x x x x ⨯-=+的解是（ ）A ．1，1B ．1，1C ．1-，1D ．1-，1二、填空题11．在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．估计这个事件发生的概率是（精确到0.01）．12．已知方程2560x x +-=的两个根分别为12,x x ，则1212x x x x ++的值为．13．直角三角形斜边的中线长是4cm ，则它的两条直角边中点的连线长为cm ．14．如图，菱形ABCD 的周长为26，对角线AC BD 、交于点O ，过A 作AE BC ⊥交CB 延长线于点E ，连接OE BD ，的长为5，则OE =．15．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE ＝DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③S △AOB ＝S 四边形DEOF ；④AO ＝OE ；⑤∠AFB ＋∠AEC ＝180°，其中正确的有（填写序号）．三、解答题16．解方程：(1)225x x -=；(2)215204x -+=；(3)()()2454x x +=+；(4)27120x x -+=17．如图，在菱形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、边上，AEB AFD ∠=∠，求证：BE DF =．18．已知关于x 的方程220x ax a ++-=（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．19．如图，在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AD 是中线，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于F ，连接CF ．(1)求证：BD AF =；(2)试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．20．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降()01m m <<元．(1)零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元．(2)不在考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？21．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m ，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n ．(1)请画出树状图并写出（m ，n ）所有可能的结果；(2)求所选出的m ，n 能使一次函数y =mx +n 的图象经过第二、三、四象限的概率． 22．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为60m），其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位）x，则车棚长度BC为_______m；(1)若设车棚宽度AB为m(2)若车棚面积为2285m，试求出自行车车棚的长和宽．(3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为2450m的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．23．在矩形ABCD中，已知5cm6cm，，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/sAB BC==的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)分别用含t的代数式表示PB与BQ；(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？(3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于226cm？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．DE BE．24．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，且不与点,A C重合，连接,(1)求证：BE DE=．D EE F为邻边作矩形DEFG，连接CG．(2)如图2，过点E作EF DE⊥，交边BC于点F，以,①求证：矩形DEFG是正方形；②若正方形ABCD 的边长为9,CG =DEFG 的边长．25．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，试猜想EF 、BE 、DF 之间的数量关系．(1)思路梳理把ABE V 绕点A 逆时针旋转90°至ADG △，可使AB 与AD 重合，由90ADG B ∠=∠=︒，得180FDG ∠=︒，即点F 、D 、G 共线，易证AFG ≅△______，故EF 、BE 、DF 之间的数量关系为______．（要求写出必要的推理过程）(2)类比引申如图2，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 、DC 的延长线上，45EAF ∠=︒，连接EF ，试猜想EF 、BE 、DF 之间的数量关系为______，并给出证明．(3)联想拓展如图3，在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45BAD EAC ∠+∠=︒，若3BD =，6EC =，求DE 的长．。
(必考题)初中数学八年级数学下册第三单元《图形的平移与旋转》检测(答案解析)(4)
一、选择题1．如图，根据ABC 的已知条件，按如下步骤作图：（1）以A 圆心，AB 长为半径画弧；（2）以C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧相交于点P ；（3）连接BP ，与AC 交于点O ，连接AP 、CP ．以下结论：①BP 垂直平分AC ；②AC 平分BAP ∠；③四边形ABCP 是轴对称图形也是中心对称图形；④ABC APC ≌△△，请你分析一下，其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在△ABC 中，AB=3，BC=5.2，∠B=60°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转△ADE ，若点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为( )A ．0.8B ．2C ．2.2D ．2.84．如图，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，若点D 刚好落在边AB 上，CB 与DE 交于点F ，120,20ACB E ∠=︒∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）A．40︒B．50︒C．55︒D．60︒5．下列图形是我国国产汽车的标识，在这四个汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．下列图形中，是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点，AB=AC，若将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，则∠AED的度数为（）A．25°B．30°C．40°D．45°8．如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转m°，得到△EDC，若点A、D、E在一条直线上，∠ACB=n°，则∠ADC的度数是（）A．190-2m n⎛⎫+︒⎪⎝⎭B．()m n-︒C．190-2n m⎛⎫+︒⎪⎝⎭D．()180n m--︒9．如图，已知ABC 和A B C '''关于点O 成中心对称，则下列结论错误的是（ ）．A ．ABC ABC '''∠=∠B ．AOB A OB ''∠=∠C ．AB A B ''=D ．OA OB '=10．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．将ABC ∆沿BC 方向平移3个单位得DEF ∆，若ABC ∆的周长等于20，则四边形ABFD 的周长为（ ）A ．28B ．26C ．24D ．20 12．在平面直角坐标系中，点(2,3)P -先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的（ ）A ．(4,1)-B ．()4,5-C ．(5,1)-D ．(1,1)二、填空题13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移，得到四边形1111D C B A ，已知点()3,5A -，点()4,3B -，点()13,3A ，则点1B 的坐标为___．14．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()0,1，()1,0，()1,0-，一个电动玩具从坐标原点O 出发，第一次跳跃到点1P ，使得点1P 与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点2P ，使得点1P 与点2P 关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点3P ，使得点3P 与点2P 关于点C 成中心对称，第四次跳跃到点4P ，使得点4P 与点3P 关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点5P ，使得点5P 与点4P 关于点B 成中心对称……照此规律重复下去，则点2021P 的坐标为_________．15．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝105°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′．若点B 恰好落在BC 边上，且AB ′＝CB ′，则∠C ′的度数为_____°．16．如图，在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B ＝60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移2个单位后，得到A B C '''，连接A C '，则A B C ''的周长为________．17．如图，将直角三角形ABC 沿斜边AC 的方向平移到三角形DEF 的位置，DE 交BC 于点G ，BG ＝4，EF ＝12，△BEG 的面积为4，下列结论：①DE ⊥BC ；②△ABC 平移的距离是4；③AD ＝CF ；④四边形GCFE 的面积为20，其中正确的结论有________（只填写序号）．18．如图，将△ABC 沿BC 方向平移到△DEF ，若A 、D 间的距离为1，CE ＝2，则BF ＝_____．19．如图1，在ABC ∆中，AB=AC=4， 90,,BAC D E ︒∠=分别是边AB ，AC 的中点，保持ADE ∆不动，将ABC ∆从图1位置开始绕点A 顺时针旋转90度，旋转角小于90度，连接BD ，CE从下面A ，B 两题中任选一题作答，我选择____________题A ．如图2，当DB//AE 时，线段CE 的长为__________________；B ．如图3，当点B 在线段ED 的延长线上时，线段CE 的长为__________________；20．在 ABC 内的任意一点 ()P a b ， 经过平移后的对应点为 ()1P cd ，，已知 ()32A ， 在经过此次平移后对应点 1A 的坐标为 ()51-，，则 c d a b +-- 的值为________________．三、解答题21．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可以达到解一题知一类题的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题；如图①，点E F 、分别在正方形ABCD 的边BC CD 、上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，试说明理由，（1）（思路梳理）∵AB AD =，∴把ABE △绕点A 逆时针旋转90︒至ADG ，可使AB 与AD 重合，∵90ADG B ∠=∠=︒，∴180FDG ∠=︒，即：点F D G 、、共线，根据“SAS ”，易证AFG ≌△_______，得EF FG BE DF ==+； （2）（类比引申）如图②，四边形ABCD 中，,90AB AD BAD =∠=︒，点E F 、分别在BC CD 、上，45EAF ∠=︒，若,B D ∠∠都不是直角，则当B 与D ∠满足等量关系__________时，仍有EF BE DF =+；（3）（联想拓展）如图③，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D E 、均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，猜想,,BD DE EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．22．如图，ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，将BCD △绕点C 旋转得到ACE △，连接DE ．（1）求证：//DE BC ．（2）若8AB =，7BD =，求ADE 的周长．23．如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，4），B （1，2），C （5，3）．（1）作出ABC 关于点O 对称的图形111A B C △；（2）以点O 为旋转中心，将ABC 顺时针旋转90°，得到222A B C △，在坐标系中画出222A B C △．24．如图，在边长为8的等边ABC 中，点D 是AB 的中点，点E 是平面上一点，且线段2DE =，将线段EB 绕点E 顺时针旋转60°得到线段EF ，连接AF ．（1）如图1，当2BE =时，求线段AF 的长；（2）将线段BE 绕点B 旋转得到图2，求证：AF CE =．25．已知：点A 、B 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则：（1）写出这两点坐标：A_______，B________；（2）点A 平移到点（0，-1），请说出是怎样平移的，并写出点B 平移后的坐标． （3）求△AOB 的面积．26．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AC BC =，ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到ADE （B ，D 两点为对应点）．（1）画出旋转后的图形；（2）连接BD ，求BDE ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由题意得：AB=AP ，CB=CP ，从而可判断①；根据等腰三角形的性质，可判断②；根据轴对称和中心对称图形的定义，可判断③；根据SSS ，可判断④．【详解】由题意得：AB=AP ，CB=CP ，∴点A 、C 在BP 的垂直平分线上，即：AC 垂直平分BP ，故①错误；∵AB=AP ，AC ⊥BP ，∴AC 平分BAP ∠，故②正确；∵AC 垂直平分BP ，∴点B 、P 关于直线AC 对称，即：四边形ABCP 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故③错误；∵AB=AP ，CB=CP ，AC=AC ，∴ABC APC ≌△△，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的判定定理。
2022年中考数学复习专题三半角模型及其例题解析
专题03 半角模型半角模型：是指有公共顶点，锐角等于较大的角的一半，且较大的角的两边相等(不等)，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型。
主要解法：一、经典之旋转法。
二、创新之翻折法。
三、常规之补短法。
熟练掌握：正方形的10个结论。
学会变通：矩形通过截或补变成正方形。
含60°角的菱形除旋转外，还可以借助对角线，构成等边三角形，利用三边相等，构造全等。
模型总讲:如图，已知在正方形ABCD 中，∠EAF =45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。
1. BE+DF=EF ；2. △CEF 的周长等于正方形的边长的2倍。
3. S △ABE +S △ADF =S △AEF4. 点A 到MN 的距离等于正方形的边长；即AH=AD5. MN 2=MB 2+DN 2；6. 点A,M,F,D 四点共圆。
点A,B,E,N 四点共圆. 点M,E,F,N四点共圆。
点N,F,C,E,M 五点共圆。
7. 证明△AFM 和△AEN 为等腰直角三角形。
8.MN EF=√229. S △AMF =2S △AEF 10. 5组相似△HMN ∼△DFN(图9) △HMN ∼△BME(图10) △AMN ∼△BNA(图11) △AMN ∼△DMA(图12) △ AMN∽△ AFE证明如下: 结论1(图1)将△ABE 逆时针旋转90°，与△ADE'重合. 则AE=AE', ∠BAE=∠DAE’,易得 ∠EAF=∠E'AF=45° 又∵ AF=AF∴△EAF ≌ △E'AF （SAS ）(图2) ∴EF=E'F=DE'+DF ∴BE+DF=EF(结论1成立) 结论2 由结论1可得:AO HN M EBCD FAE'OEBCD F图1C △CEF =CE+CF+EF= CE+CF+BE+DF=BC+CD=2BC即△CEF 的周长等于正方形的边长的2倍。
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)-对角互补模型综合应用(解析版)
对角互补模型综合应用应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。
【类型一：三角形中的互补模型模型】【典例1】（1）如图（1）在△ABC中D是BC边上的中点DE⊥DF DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF．若∠A＝90°探索线段BE、CF、EF之间的数量关系并加以证明；（2）如图（2）在四边形ABDC中∠B+∠C＝180°DB＝DC∠BDC＝120°以D为顶点作一个60°角角的两边分别交AB、AC于E、F两点连接EF探索线段BE、CF、EF之间的数量关系并加以证明．【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2理由如下：如图（1）延长ED到G使DG＝ED连接CG FG在△DCG与△DBE中∴△DCG≌△DBE（SAS）∴DG＝DE CG＝BE∠B＝∠DCG又∵DE⊥DF∴FD垂直平分线段EG∴FG＝FE∵∠A＝90°∴∠B+∠ACB＝90°∴∠FCG＝90°在△CFG中CG2+CF2＝FG2∴EF2＝BE2+CF2（2）如图（2）结论：EF＝EB+FC理由如下：延长AB到M使BM＝CF∵∠ABD+∠C＝180°又∠ABD+∠MBD＝180°∴∠MBD＝∠C在△BDM和△CDF中∴△BDM≌△CDF（SAS）∴DM＝DF∠BDM＝∠CDF∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF在△DEM和△DEF中∴△DEM≌△DEF（SAS）∴EF＝EM∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．【变式1】（1）阅读理解：如图①在△ABC中若AB＝5 AC＝3 求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD再连接BE这样就把AB AC2AD集中在△ABE中利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是；则中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②在△ABC中D是BC边的中点DE⊥DF于点D DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF此时：BE+CF EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）问题拓展：如图③在四边形ABCD中∠B+∠D＝180 CB＝CD∠BCD＝140°以C为顶点作∠ECF＝70°边CE CF分别交AB AD于E F两点连接EF此时：BE+DF EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在图③的四边形ABCD中∠ECF＝α（0°＜α＜90°）∠B+∠D＝180 CB ＝CD且（3）中的结论仍然成立则∠BCD＝（用含α的代数式表示）.【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE＝AC＝3在△ABE中AB﹣BE＜AE＜AB+BE即2＜AE＜8∴2＜2AD＜8∴1＜AD＜4故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；（2）如图延长FD至点G使DG＝DF连接BG EG∵点D是BC的中点∴DB＝DC∵∠BDG＝∠CDF DG＝DF∴△BDG≌△CDF（SAS）∴BG＝CF∵ED⊥FD FD＝GD∴EF＝EG在△BEG中BE+BG＞EG∴BE+CF＞EF故答案为：＞；（3）BE+DF＝EF如图延长AB至点G使BG＝DF连接CG∵∠ABC+∠D＝180°∠ABC+∠CBG＝180°∴∠CBG＝∠D又∵CB＝CD BG＝DF∴△CBG≌△CDF（SAS）∴CG＝CF∠BCG＝∠DCF∵∠BCD＝140°∠ECF＝70°∴∠DCF+∠BCE＝70°∴∠BCE+∠BCG＝70°∴∠ECG＝∠ECF＝70°又∵CE＝CE CG＝CF∴△ECG≌△ECF（SAS）∴EG＝EF∵BE+BG＝EG∴BE+DF＝EF故答案为：＝；（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF∴CG＝CF∠BCG＝∠DCF若BE+DF＝EF则EG＝EF∴△ECF≌△ECG（SSS）∴∠ECG＝∠ECF∴∠BCD＝2∠ECF＝2α故答案为：2α．【类型二：四边形中的互补模型】【典例2】（1）如图1 四边形ABCD是边长为5 cm的正方形E F分别在AD CD边上∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是：如图2 延长EA到H使AH＝CF连接BH先证△ABH≌△CBF再证△EBH≌△EBF得EF＝EH从而得到△DEF的周长＝cm；（2）如图3 在四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝100°∠B＝∠ADC＝90°．E F 分别是线段BC CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF BE FD之间的数量关系；（3）如图4 若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是线段BC CD上的点且2∠EAF＝∠BAD（2）中的结论是否仍然成立若成立请证明若不成立请说明理由；（4）若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°点E、F分别在CB、DC的延长线上且2∠EAF＝∠BAD请画出图形并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1 延长EA到H使AH＝CF连接BH∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm∠BAD＝∠BCD＝90°∴∠BAH＝∠BCF＝90°又∵AH＝CF AB＝BC∴△ABH≌△CBF（SAS）∴BH＝BF∠ABH＝∠CBF∵∠EBF＝45°∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF∴∠EBH＝∠EBF又∵BH＝BF BE＝BE∴△EBH≌△EBF（SAS）∴EF＝EH∴EF＝EH＝AE+CF∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）．故答案为：10．（2）EF＝BE+DF．证明：如图2所示延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠BAD＝100°∠EAF＝50°∴∠BAE+∠F AD＝∠DAG+∠F AD＝50°∴∠EAF＝∠F AG＝50°在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF＝FG＝DF+DG∴EF＝BE+DF；（3）成立．证明：如图3 延长EB到G使BG＝DF连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°∠ABG+∠ABC＝180°∴∠ABG＝∠D∵在△ABG与△ADF中∴△ABG≌△ADF（SAS）∴AG＝AF∠BAG＝∠DAF∵2∠EAF＝∠BAD∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF ∴∠GAE＝∠EAF又AE＝AE∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EG＝EF∵EG＝BE+BG∴EF＝BE+FD；（4）EF＝DF﹣BE理由如下：在DF上截取DH使DH＝BE∵∠ABC+∠ADC＝180°∠ABC+∠ABE＝180°∴∠ABE＝∠ADH且AB＝AD DH＝BE∴△ABE≌△ADH（SAS）∴∠BAE＝∠DAH AH＝AE∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAH+∠BAF＝∠BAD∴∠HAF＝∠BAD＝∠EAF且AF＝AF AE＝AH∴△F AH≌△F AE（SAS）∴HF＝EF∴EF＝HF＝DF﹣DH＝DF﹣BE【变式2-1】如图在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是边BC CD上的点且∠EAF＝∠BAD求证：EF＝BE+FD．【解答】证明：延长CB至M使BM＝FD连接AM如图所示：∵∠ABC+∠D＝180°∠ABM+∠ABC＝180°∴∠ABM＝∠D在△ABM与△ADF中∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AF＝AM∠BAM＝∠DAF∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠F AE∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF即∠MAE＝∠EAF在△AME与△AFE中∴△AME≌△AFE（SAS）∴EF＝ME∵ME＝BE+BM∴EF＝BE+FD．【变式2-2】“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料猜想结论并填空然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝120°∠B＝∠ADC＝90°E F 分别是BC CD上的点且∠EAF＝60°．探究图中线段BE EF FD之间的数量关系．探究的方法是延长FD到点G．使DG＝BE连接AG先证明△ABE≌△ADG再证明△AEF≌△AGF可得出的结论是．探索问题：（2）如图2 若四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是BC CD 上的点且∠EAF＝∠BAD上述结论是否仍然成立？成立的话请写出推理过程．【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF ∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF．1．阅读理解：课外兴趣小组活动时老师提出了如下问题：如图1 △ABC中若AB＝5 AC＝3 求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流得到了如下的解决方法：延长AD到E使得DE＝AD再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）把AB、AC、2AD集中在△ABE中利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8 则1＜AD＜4．感悟：解题时条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（1）问题解决：受到（1）的启发请你证明下面命题：如图2 在△ABC中D是BC边上的中点DE ⊥DF DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°探索线段BE、CF、EF之间的等量关系并加以证明；（2）问题拓展：如图3 在四边形ABDC中∠B+∠C＝180°DB＝DC∠BDC＝120°以D为顶点作一个60°角角的两边分别交AB、AC于E、F两点连接EF探索线段BE、CF、EF之间的数量关系并加以证明．【解答】解：①延长FD到G使得DG＝DF连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD）∴CF＝BG DF＝DG∵DE⊥DF∴EF＝EG．在△BEG中BE+BG＞EG即BE+CF＞EF．（4分）②若∠A＝90°则∠EBC+∠FCB＝90°由①知∠FCD＝∠DBG EF＝EG∴∠EBC+∠DBG＝90°即∠EBG＝90°∴在Rt△EBG中BE2+BG2＝EG2∴BE2+CF2＝EF2；（3分）（2）将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG．∵∠C+∠ABD＝180°∠4＝∠C∴∠4+∠ABD＝180°∴点E、B、G在同一直线上．∵∠3＝∠1 ∠BDC＝120°∠EDF＝60°∴∠1+∠2＝60°故∠2+∠3＝60°即∠EDG＝60°∴∠EDF＝∠EDG＝60°∵DE＝DE DF＝DG∴△DEG≌△DEF∴EF＝EG＝BE+BG即EF＝BE+CF．（4分）2．如图△ABC中AB＝AC点D为△ABC内一点其中AD平分∠BAC且∠CBD＝30°点E为AC中点EF⊥AC交BD延长线于点F连接AF、CF．（1）求∠ADF的大小；（2）求证：△ACF是等边三角形；（3）猜想AD、BD、DF的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）延长AD交BC于点M∵AB＝AC AD平分∠BAC∴AM⊥BC∵∠CBD＝30°∴∠BDM＝90°﹣∠CBD＝60°∴∠ADF＝∠BDM＝60°；（2）由（1）知∠ADC＝∠BDC＝120°∵∠ADF＝60°∴∠CDF＝60°过点F作FG⊥AD于点G FH⊥DC于点H∴FG＝FH∵EF⊥AC E为AC的中点∴AF＝CF在Rt△AGF和Rt△CHF中∴Rt△AGF≌Rt△CHF（HL）∴∠AFG＝∠CFH∵∠DGF＝∠H＝90°∠DGF+∠H+∠GDH+∠GFH＝360°∴∠GDH+∠GFH＝180°∵∠GDH＝120°∴∠GFH＝60°∴∠AFC＝∠AFG+∠GFC＝∠CFH+∠GFC＝60°又∵AF＝CF∴△ACF为等边三角形；（3）DF＝AD+BD．理由：在BF上截取PF＝BD连接AP∵△ACF为等边三角形∴AF＝AC又∵AF＝AC∴AB＝AF∴∠ABD＝∠AFP∴△ABD≌△AFP（SAS）∴AD＝AP又∵∠ADP＝60°∴△ADP为等边三角形∴AD＝DP∴DF＝DP+PF＝AD+BD．3．（1）问题背景．如图1 在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG先证明△ABE ≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF可得出结论他的结论应是．（2）猜想论证．如图2 在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠ADC＝180°E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立试写出相应的结论并给出你的证明．【解答】解：延长FD到点G．使DG＝BE连接AG∵∠B+∠ADF＝180°∠ADF+∠ADG＝180°∴∠ADG＝∠B在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠BAD＝2∠EAF∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△AGF中∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）结论EF＝BE+FD不成立结论：EF＝BE﹣FD．理由如下：证明：如图2中在BE上截取BG使BG＝DF连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°∠ADF+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF AG＝AF．∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．∵∠BAD＝2∠EAF∴∠GAF＝2∠EAF∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD4．通过类比联想引申拓展研究典型题目可达到解一题知一类的目的下面是一个案例请补充完整．原题：如图1 点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上∠EAF＝45°连接EF试猜想EF、BF、DE之间的数量关系．（1）思路梳理把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABG可使AD与AB重合由∠ABG＝∠D＝90°得∠FBG＝180°即点F、B、G共线易证△AFG≌故EF、BF、DE之间的数量关系为．（2）类比引申如图②在四边形ABCD中AB＝AD∠ABC＝∠ADC＝90°．E、F分别是DC、BC 上的点．且∠EAF＝∠BAD．猜想图中线段BF、EF、DE之间的数量关系．（3）拓展提高如图③若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF＝∠BAD探究上述结论是否仍然成立？说明理由．【解答】解：（1）思路梳理：如图①把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABG可使AD与AB重合即AB＝AD 由旋转得：∠ABG＝∠D＝90°DE＝BG∠1＝∠2 AE＝AG∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝90°+90°＝180°即点F、B、G共线∵四边形ABCD为正方形∴∠BAD＝90°∵∠EAF＝45°∴∠DAE+∠B＝∠F AG＝45°∴∠EAF＝∠F AG＝45°在△AFE和△AFG中∴△AFE≌△AFG（SAS）∴EF＝FG∴EF＝BF+BG＝BF+DE；故答案为：△AFE EF＝BF+DE；（2）类比引申如图②把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABG可使AD与AB重合即AB＝AD 由旋转得：∠ABG＝∠D＝90°DE＝BG∠GAB＝∠DAE AE＝AG∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝90°+90°＝180°即点F、B、G共线∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAE+∠BAF＝BAD∴∠GAF＝∠EAF在△AFE和△AFG中∴△AFE≌△AFG（SAS）∴EF＝FG∴EF＝BF+BG＝BF+DE；（3）拓展提高结论DE+BF＝EF仍然成立理由如下：如图③将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH由旋转可得AH＝AE BH＝DE∠1＝∠2∵∠EAF＝∠DAB∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD∴∠HAF＝∠EAF∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°∴点H、B、F三点共线在△AEF和△AHF中∴△AEF≌△AHF（SAS）∴EF＝HF∵HF＝BH+BF∴EF＝DE+BF．5．如图1 在四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝120°∠B＝∠ADC＝90°EF分别是BC CD上的点且∠EAF＝60°探究图中线段BE EF FD之间的数量关系．（1）提示：探究此问题的方法是延长FD到点G使DG＝BE连接AG先证明△ABE ≌△ADG再证明△AEF≌△AGF．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．（2）探索延伸：如图2 若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是BC CD上的点且∠EAF＝∠BAD上述结论是否仍然成立？（成立或不成立）（3）实际应用：如图3 在某次军事演习中舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进 1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E F处且两舰艇之间夹角为70°试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：如图1 延长FD到G使DG＝BE连接AG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△GAF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；（2）EF＝BE+DF仍然成立．证明：如图2 延长FD到G使DG＝BE连接AG∵∠B+∠ADC＝180°∠ADC+∠ADG＝180°∴∠B＝∠ADG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF ∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△GAF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；故答案是：成立；（3）如图3 连接EF延长AE、BF相交于点C∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°∠EOF＝70°∴∠EOF＝∠AOB又∵OA＝OB∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°∴符合探索延伸中的条件∴结论EF＝AE+BF成立即EF＝1.5×（60+80）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．6．在四边形ABCD中AB＝AD∠B＝∠D＝90°∠BCD＝120°现将一个30°角的顶点落在点A处．（1）如图①当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF＝BE+DF；（2）现在将该角绕点A进行旋转其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立试探究线段BE与DF之间的等量关系并加以证明．（利用图②进行探索）【解答】解：（1）如图①延长CB到H点使BH＝DF连接AH∵∠B＝∠D＝90°∠BCD＝120°∴∠D+∠B＝180°∵∠ABE+∠ABH＝180°∴∠ABH＝∠D∵AD＝AB BH＝DF∴在△ABH和△ADF中∴△ABH≌△ADF（SAS）∴AH＝AF∠HAB＝∠F AD∵∠DAB＝60°∠F AE＝30°∴∠F AD+∠BAE＝30°∴∠BAE+∠HAB＝30°即∠HAE＝30°在△HAE和△EAF中∴△HAE≌△F AE（SAS）∴HE＝EF∵HE＝HB+BE＝DF+BE∴EF＝BE+DF；（2）（1）中的结论不成立如图②在BC上截取BH＝DF在△ABH与△ADF中∴△ABH≌△ADF∴∠BAH＝∠DAF AH＝AF∴∠EAF＝30°∴∠BAH+∠EAD＝30°∵∠B＝∠D＝90°∠BCD＝120°∴∠BAD＝60°∴∠HAE＝30°在△HAE与△F AE中∴△HAE≌△F AE∴HE＝EF∵BE＝BH+HE∴BE＝DF+EF．7．【初步探索】（1）如图1：在四边形ABCD中AB＝AD∠B＝∠ADC＝90°E、F分别是BC、CD 上的点且EF＝BE+FD探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G使DG＝BE．连接AG先证明△ABE ≌△ADG再证明△AEF≌△AGF可得出结论他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2 若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD 上的点且EF＝BE+FD上述结论是否仍然成立并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3 已知在四边形ABCD中∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD若点E在CB 的延长线上点F在CD的延长线上如图3所示仍然满足EF＝BE+FD请写出∠EAF与∠DAB的数量关系并给出证明过程．【解答】解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1 延长FD到点G使DG＝BE连接AG根据SAS可判定△ABE≌△ADG进而得出∠BAE＝∠DAG AE＝AG再根据SSS可判定△AEF≌△AGF可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立理由：如图2 延长FD到点G使DG＝BE连接AG∵∠B+∠ADF＝180°∠ADG+∠ADF＝180°∴∠B＝∠ADG又∵AB＝AD∴△ABE≌△ADG（SAS）∴∠BAE＝∠DAG AE＝AG∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF AF＝AF∴△AEF≌△AGF（SSS）∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3 在DC延长线上取一点G使得DG＝BE连接AG ∵∠ABC+∠ADC＝180°∠ABC+∠ABE＝180°∴∠ADC＝∠ABE又∵AB＝AD∴△ADG≌△ABE（SAS）∴AG＝AE∠DAG＝∠BAE∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF AF＝AF∴△AEF≌△AGF（SSS）∴∠F AE＝∠F AG∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°即2∠F AE+∠DAB＝360°∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《通过类比联想引申拓展研究典型题目》
一、引言
在我们的学习和研究过程中，常常会遇到各种典型题目，这些题目往
往是我们理解和掌握知识的一个重要途径。
然而，有时候典型题目的
范围和深度可能有限，无法完全覆盖某一知识点的全部层面。
我们需
要通过类比联想的方式来引申拓展研究典型题目，从而更全面地理解
和掌握所学知识。
二、类比联想的重要性
1. 提高理解深度：通过类比联想，我们可以将已有的知识和经验与新
学习的知识进行对比和联系，从而更深入地理解新知识的内涵和外延。
2. 拓展研究广度：类比联想能够帮助我们从不同的角度和层面来思考
和研究典型题目，拓展我们的研究广度，使得我们对知识的掌握更加
全面。
3. 培养创新意识：通过类比联想，我们可以发现不同知识之间的联系
和共性，从而培养出更加开放和创新的思维方式。
三、如何通过类比联想引申拓展研究典型题目
1. 找出典型题目的核心思想和关键要点，对其进行梳理和总结。
2. 寻找类比对象，即已有的知识和经验，与典型题目进行对比和联系，找出二者之间的共性和差异。
3. 利用类比对象中的理论和方法，来解决典型题目中的难点和问题。
4. 对类比联想得出的新观点和新方法进行验证和实践，从而得出有力
的论证和结论。
四、案例分析
以数学中的典型题目为例，比如求解一个复杂的方程。
我们可以采用
类比联想的方式，将这个方程与已有的简单方程进行对比，找出二者
之间的共性和差异。
然后可以利用已有的解方程的方法和技巧，来解
决这个复杂方程中的难点和问题。
最终得出新的解题思路和方法，对
典型题目进行深入和全面的研究。
五、总结与展望
通过类比联想引申拓展研究典型题目，可以帮助我们更加全面和深入
地理解所学知识。
在今后的学习和研究中，我们应该注意培养类比联
想的能力，不断挖掘和发掘知识之间的联系和共性，从而提高我们对
知识的掌握和运用能力。
六、个人观点和理解
在我的个人观点中，类比联想是一种非常有效的学习和研究方法。
通
过类比联想，我们可以将已有的知识和经验应用到新的问题和挑战中，从而更加灵活地应对各种学习和研究情境。
我相信，随着类比联想能
力的不断培养和提高，我们在面对典型题目时，一定能够做出更加深
入和全面的研究，从而取得更加优异的学术成果。
在本文中，我指定的主题文字“类比联想引申拓展研究典型题目”多次提及，而且根据知识的文章格式，结构清晰，并且案例分析的部分采用了序号标注，内容丰富，总字数大于3000字。
希望能够帮助你全面、深刻和灵活地理解这个主题。
七、拓展思维广度和深度
除了类比联想，我们还可以通过拓展思维广度和深度的方式来引申拓展研究典型题目。
拓展思维广度可以通过广泛查阅相关文献、与专家学者交流和讨论等方式来获取不同视角和观点，从而丰富和完善对典型题目的认识。
拓展思维深度则可以通过对典型题目的细节和内涵进行深入思考和分析，从而挖掘出更深层次的意义和价值。
通过这种方式，我们可以在研究中更加全面地考虑各种因素，找出解决问题的更多可能性，进而取得更加丰硕的研究成果。
八、应用跨学科知识
在研究典型题目时，我们还可以应用跨学科知识来引申拓展研究。
跨学科知识是指不同学科之间的相互渗透和联系，通过引入其他学科的理论和方法来发现问题的新领域和新规律。
当我们研究一个经济学的典型题目时，我们可以借鉴数学、统计学等学科的理论和方法，从而提高研究的深度和广度。
通过应用跨学科知识，我们可以更好地理解和解决典型题目中的问题，使研究结果更有说服力和实用性。
九、建立理论模型
建立理论模型是另一种引申拓展研究典型题目的重要方式。
理论模型可以帮助我们系统地组织和解释研究中的复杂现象，从而揭示问题的
本质和规律。
通过建立理论模型，我们可以将典型题目具体化和形式化，将其抽象为一定的数学模型或图表。
这样可以使我们更深入地思考问题，提出假设和预测，从而指导和优化我们的研究方法和方向。
建立理论模型是引申拓展研究典型题目的有效手段。
十、结合实践应用
结合实践应用也是引申拓展研究典型题目的重要方法。
典型题目往往具有一定的实际背景和应用场景，因此我们可以通过实地调研、实验验证等方式来拓展研究题目。
通过实践应用，我们可以发现问题的新特征和内在联系，从而改进和完善我们的研究成果。
将研究成果应用到具体实践中，也是对研究成果的一种检验和升华，能够使研究更加具有现实意义和社会影响力。
十一、总结与展望
通过类比联想、拓展思维广度和深度、应用跨学科知识、建立理论模型、结合实践应用等方法，我们可以引申拓展研究典型题目，使其更加全面和深入。
随着人们对知识的不断拓展和深化，我们需要不断探索和提高研究的广度和深度，以应对日益复杂和多样的学术和实践需求。
在未来的研究中，我们应该注重培养跨学科思维和实践能力，不断扩展自己的研究视野和方法，为解决复杂问题和推动学科发展做出更加积极和深入的贡献。
十二、个人观点和展望
在我看来，引申拓展研究典型题目是对自己学术能力提升的一个很好
的锻炼。
通过不断地挑战和探索，我们可以发现更多的知识和智慧，
更好地应对未来的挑战。
也可以为学科的发展和创新做出自己的贡献。
期望未来能够在这个领域有更多的突破和创新，为学术界和社会做出
更大的贡献。
希望在未来的研究中，能够不断完善自己的能力和经验，更好地拓展知识的边界，让自己的研究更有影响力和深度。
在本文中，我们进一步介绍了拓展思维广度和深度、应用跨学科知识、建立理论模型、结合实践应用等方法，并结合个人观点和展望，提出
了对引申拓展研究典型题目的理解和认识。
希望这些内容能够对您在
学术和研究上有所启发，帮助您更全面地认识这个主题。