熵 信息论
信息论基础——熵
信息论基础——熵
熵、联合熵与条件熵
所以
H(XY) p (x iy j)I(x iy j) p (x iy j)lo p (x ig y j)
i,j
i,j
p(xiyj)lop(g yj)p(xi/yj)
i,j
p (x iy j)lo p (y g j) p (x iy j)lo p (x g i/y j)
说明：
从数学角度： H(P)= pi ·log pi 中的和式满足交换率；
从随机变量的角度：熵只与随机变量的总体统计特性有关。
信息论基础——熵
信息熵的基本性质
一个例子：
P ( x x ) 1 a / 1 3 1 a / 2 6 1 a / 3 2 , P ( y y ) 1 a / 1 6 1 a / 2 2 1 a / 3 3 , P ( z z ) 1 a / 1 3 1 a / 2 2 1 a / 3 6 H(X)H(1,1,1)1.45(B9/iSt ym ) bol 362 H(Y)H(1,1,1)1.45(B9/iSt ym ) lob H (X )H (Y)H (Z) 623 H(Z)H(1,1,1)1.45 (B9/iSt ym ) bol 326
由熵联合熵与条件熵ijijixypxpyxp?jijyxpyp??ijjiyxpiixp???j?jyphxyhyhxy所以?xyh?iyjy?ixix??jjijijjijiyxpyxpyxiyxplogloglogxxppyyppyypp?i????熵联合熵与条件熵ijjjlogjjjypyp?h??logjijijiyxpyxp??yxhy??loglogjijijijijjiyxpyxpypyxp????例例某一二维离散信源某一二维离散信源其发出的符号只与前一个符号有关其发出的符号只与前一个符号有关即可用联合概率xxjj给出它们的关联程度给出它们的关联程度如下表所示如下表所示即可用联合概率pxpxii14194361121031??????????????????iipxpxpxpxiixxjjjjxi??求信源的熵求信源的熵hxhx条件熵条件熵hxhx22xx11和联合熵和联合熵hxhx11xx22
信息论基本：信息熵
连续随机变量
微分熵
连续随机变量的 互信息
熵、互信息、鉴别 信息之间的关系
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3
1.1 信息熵（Entropy）
1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 随机事件的自信息 信息熵 信息熵的唯一性定理 联合熵与条件熵 信息熵的性质
10
例1.2 洗牌的信息 一副52张的扑克牌，现将其充分洗牌，试问：
（1）任意特定排列所给出的平均信息量是多少？ （2）若任意从这副牌中抽出13张，所示的点数都不同，应获得多少信 息量？ 解： （1）获得某一个特定的排列的概率是多少？
I ( X ) = log 1 1 ＝log = log 52! = 225.58bit 1 P{任意特定排列} 52!
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20
例1.6
袋子里装3个黑球，2个白球。进行两个随机试验 X 和 Y。 情况一：X — 从中随机取出一个球，看颜色，放回； Y — 再从中随机取出一球，看颜色。 情况二：X—从中随机取出一个球，看颜色，不放回； Y—再从中随机取出一球，看颜色。 研究联合试验（XY）的不确定性。
7
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自信息
1 I (ai ) = log P(ai )
对数底与信息的单位 以2为底： bit 以e为底： nat 以10为底：Hart (binary unit) (nature unit) (Hartley)
换算关系： 1 nat=1.44 bit 1 Hart=3.32 bit 一般不加说明时，取以2为底。
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信息熵原理
信息熵原理
信息熵原理是信息论中的一个重要概念，它描述了信息的不确定性和量化。
在信息论中，信息熵是一个用来衡量信息量的指标，它可以帮助我们理解信息的本质和信息传输的效率。
信息熵的概念最初由克劳德·香农提出，他是信息论的创始人之一。
他认为，信息熵是一个用来衡量信息不确定性的指标。
如果一个事件的发生是确定的，那么它的信息熵就是0；如果一个事件的发生是不确定的，那么它的信息熵就是一个正数。
信息熵的计算公式为：
H(X) = -Σp(x)log2p(x)
其中，H(X)表示随机变量X的信息熵，p(x)表示随机变量X取值为x的概率，log2表示以2为底的对数。
这个公式的意义是，对于一个随机变量X，它的信息熵等于所有可能取值的概率乘以对数的和的相反数。
这个公式的含义是，信息熵越大，表示随机变量的不确定性越高，需要更多的信息来描述它；信息熵越小，表示随机变量的不确定性越低，需要更少的信息来描述它。
信息熵的应用非常广泛，它可以用来衡量信息的压缩率、信道容量、密码学安全等。
在通信领域中，信息熵可以帮助我们设计更高效的
编码方案，从而提高信息传输的效率。
在密码学中，信息熵可以帮助我们评估密码的强度，从而保护信息的安全性。
信息熵原理是信息论中的一个重要概念，它描述了信息的不确定性和量化。
通过信息熵的计算，我们可以更好地理解信息的本质和信息传输的效率，从而为信息技术的发展提供更好的理论基础。
信息熵 sigma代数
信息熵sigma代数
信息熵（Entropy）和σ-代数（Sigma Algebra）是信息论和测度论领域的两个不同的概念。
一、信息熵（Entropy）：
信息熵是信息论中的一个概念，用于度量一个随机变量中包含的不确定性。
在信息论中，熵越高，表示不确定性越大。
对于一个概率分布来说，其信息熵定义如下：
H(X)=−∑
n
i=1P(x i)log P(x i)
其中，H(X)是随机变量X的信息熵，P(x i)是X取值为x i的概率。
二、σ-代数（Sigma Algebra）：
σ-代数是测度论中的一个概念，用于描述可测集合的性质。
一个σ-代数是一个集合的代数，并且包含全集，并对取补集、可数并和可数交封闭。
具体而言，对于一个集合空间Ω，一个σ-代数F满足以下性质：
1.Ω∈F（包含全集）。
2.如果A∈F，则A c∈F（对取补集封闭）。
3.如果A1∈F，则⋃
∞
i=1A i∈F和⋂
∞
i=1A i∈F（对可数并和可数交封闭）
σ-代数在测度论中是一种基本的结构，用于定义测度空间。
信息熵 标准
信息熵是衡量信息不确定性的一个重要指标，由克劳德·香农在1948年提出，是信息论的基础之一。
信息熵不仅在通信理论中有广泛应用，也对统计学、物理学、计算机科学等多个领域产生了深远影响。
一、信息熵的定义信息熵（Entropy），记作H(X)，是描述信息量的大小的一个度量。
它是随机变量不确定性的量化表示，其值越大，变量的不确定性就越高；反之，其值越小，变量的不确定性就越低。
对于一个离散随机变量X，其概率分布为P(X)，信息熵的数学表达式定义为：\[ H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \log_b p(x_i) \]其中，\(p(x_i)\)代表事件\(x_i\)发生的概率，\(n\)是随机变量可能取值的数量，\(\log_b\)是以b为底的对数函数，常见的底数有2（此时单位是比特或bits）、e（纳特或nats）和10。
二、信息熵的直观理解信息熵可以被理解为信息的“不确定性”或“混乱程度”。
当一个系统完全有序时，我们可以准确预测它的状态，此时信息熵最低；反之，如果系统完全无序，我们无法预测其任何状态，此时信息熵最高。
例如，在一个完全公平的硬币投掷实验中，正面和反面出现的概率都是0.5，这时信息熵达到最大值，因为每次投掷的结果最不确定。
三、信息熵的性质1. 非负性：信息熵的值总是非负的，即\(H(X) \geq 0\)。
这是因为概率值在0和1之间，而对数函数在(0,1)区间内是负的，所以信息熵的定义中包含了一个负号。
2. 确定性事件的信息熵为0：如果某个事件发生的概率为1，那么这个事件的信息熵为0，因为这种情况下不存在不确定性。
3. 极值性：对于给定数量的n个可能的事件，当所有事件发生的概率相等时，信息熵达到最大值。
这表示在所有可能性均等时，系统的不确定性最大。
4. 可加性：如果两个随机事件X和Y相互独立，则它们的联合熵等于各自熵的和，即\(H(X,Y) = H(X) + H(Y)\)。
信息论与编码基本概念
信息论与编码基本概念信息论是一门研究信息传输和处理的学科，而编码则是信息论的重要组成部分。
信息论的基本概念包括信息熵、条件熵、联合熵以及信道容量等。
本文将介绍这些基本概念，并探讨它们在信息处理中的应用。
1. 信息熵信息熵是信息论中的一个重要概念，用来度量信息的不确定性或者信息的平均信息量。
对于一个离散随机变量X，其熵定义为：H(X) = -Σp(x)log2(p(x))其中, p(x) 是随机变量X取值为x的概率。
信息熵越大，代表信息的不确定性越高。
2. 条件熵条件熵是在给定了某些条件的情况下，随机变量的熵。
对于两个随机变量X和Y，条件熵H(X|Y)表示在已知Y的情况下，随机变量X的不确定性。
条件熵可以计算为：H(X|Y) = -ΣΣp(x,y)log2(p(x|y))其中，p(x,y) 是随机变量X和Y的联合分布。
3. 联合熵联合熵是指两个随机变量的联合分布的熵。
对于X和Y两个随机变量，其联合熵可以计算为：H(X,Y)= -ΣΣp(x,y)log2(p(x,y))4. 信道容量信道容量是指在信道传输过程中，能够传输的最大信息量。
信道容量由香农定理给出，其计算公式为：C = B*log2(1+S/N)其中，B是信道的带宽，S是信号的平均功率，N是噪声的功率。
信道容量取决于信号与噪声之比，当信号强于噪声时，信道容量较大。
信息论的基本概念与编码密切相关。
编码是指将输入的信息转换为一系列编码符号，以便在信道中传输或储存。
编码可以通过增加编码的冗余性来提高信息的可靠性，并且可以通过编码方式的设计来减少传输的误码率。
常见的编码方式包括香农-离散傅里叶变换编码、霍夫曼编码、矩阵幂搅拌编码等。
这些编码方式根据不同的需求和约束条件，来实现信息的高效传输与存储。
总结：信息论与编码是信息科学中重要的领域，它研究信息的度量、传输与处理。
信息熵、条件熵、联合熵和信道容量是信息理论的基本概念，用于度量信息的不确定性、传输的可靠性等。
信息熵的计算方法
信息熵的计算方法信息熵是信息论中的一个重要概念，用来衡量一个随机变量的不确定性。
在实际应用中，我们经常需要计算信息熵来评估信息的复杂度和不确定性，从而为数据分析和决策提供依据。
本文将介绍信息熵的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
信息熵的定义。
在介绍信息熵的计算方法之前，我们先来回顾一下信息熵的定义。
对于一个离散型随机变量X，其概率分布为P(X=x_i)，其中i=1,2,...,n。
那么X的信息熵H(X)定义为：H(X) = -Σ P(X=x_i) log2 P(X=x_i)。
其中log2表示以2为底的对数。
信息熵H(X)衡量了随机变量X的不确定性，当X的概率分布更加均匀时，其信息熵会更大，反之则会更小。
计算方法。
下面我们将介绍信息熵的具体计算方法。
假设我们有一个离散型随机变量X，其取值范围为{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}。
那么，我们可以按照以下步骤来计算X的信息熵：1. 计算每个取值对应的信息量。
首先，我们需要计算每个取值对应的信息量，即-log2P(X=x_i)。
这一步可以通过遍历所有取值，计算其信息量并存储起来。
2. 计算加权平均值。
接下来，我们需要将每个取值的信息量进行加权平均，即Σ P(X=x_i) (-log2 P(X=x_i))。
这一步可以通过遍历所有取值，根据其概率分布进行加权求和。
3. 计算信息熵。
最后，我们将加权平均值取负号，即-H(X) = Σ P(X=x_i) log2 P(X=x_i)。
这一步即可得到随机变量X的信息熵。
举例说明。
为了更好地理解信息熵的计算方法，我们举一个简单的例子。
假设我们有一个随机变量X，其取值范围为{0, 1}，对应的概率分布为{0.3, 0.7}。
那么，我们可以按照以下步骤来计算X的信息熵： 1. 计算每个取值对应的信息量。
当X=0时，-log2 P(X=0) = -log2 0.3 ≈ 1.737。
信息论第3章信源及信息熵
举例
数学描述
离散信源 （数字信源）
连续信号
文字、数据、 离散化图象
离散随机变量 序列
跳远比赛的结果、语音 连续随机变量
信号抽样以后
序列
波形信源 （模拟信源）
语音、音乐、热噪声、 图形、图象
不常见
随机过程
表3.1 信源的分类
3.1 信源的分类及其数学模型
我们还可以根据各维随机变量的概率分布是否随时间的推移 而变化将信源分为平稳信源和非平稳信源，根据随机变量间 是否统计独立将信源分为有记忆信源和无记忆信源。
定义3.2 随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求平
均：
HN
(X)
1 N
H ( X1X 2
XN)
称为平均符号熵。如果当N
时上式极限存在，则
lim
N
H
N
(X)
称为熵率，或称为极限熵，记为
def
H
lim
N
H
N
(
X
)
3.3.1 离散平稳无记忆信源
离散平稳无记忆信源输出的符号序列是平稳随机序列，并且
H(X ) H(X1X2 XN ) H ( X1) H ( X2 | X1) H ( X3 | X1X 2 ) H ( X N | X1X 2 X N1)
定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论：
（1）条件熵 H (X N | X1X 2 X N1) 随N的增加是递减的；
（2）N给定时平均符号熵大于等于条件熵，即
s1
si p(s j
| si )
s q
m
状态空间由所有状态及状态间的状态转移概率组成。通过引
入状态转移概率，可以将对马尔可夫信源的研究转化为对马 尔可夫链的研究。
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熵信息论
熵是信息论中的一个重要概念，指的是一种度量信息随机性的指标。
在本文中，我们将详细介绍熵的相关概念和应用。
一、基本概念
1. 信息量
信息量是指某个事件发生所提供的信息量大小。
例如，已知某个
箱子中有一个红球和一个蓝球，如果我们从中抽出一个球并告诉你这
个球的颜色是红色，那么提供的信息量就是一个比特（bit）或一单位（unit）的信息。
2. 熵
熵是信息的度量单位，通常用“比特”或“香农”表示，它衡量
的是一个信息源的不确定性。
如果某个事件的可能性非常大，那么提
供的信息较少，熵值也相对较小；相反，如果某个事件的可能性比较小，那么提供的信息比较多，熵值也相对较大。
例如，抛硬币的结果
只有两种可能，那么它的熵值为1比特；而抛色子的结果有六种可能，那么它的熵值为2.6比特。
3. 信息熵
信息熵是指信息源中所有可能性的熵的加权平均值。
它描述的是
一个信息源的平均不确定性，即越难以预测结果，信息熵就越大。
例如，一组由红球和蓝球组成的箱子，如果球的数量相等，那么它的信
息熵为1比特。
（注：由于我们均不知道虚拟用户的背景，以状态单
一的物理定义更加通俗易懂，如有背景条件的加入，将更普遍的适用
于熵值的计算与应用）
二、应用
1. 信息压缩
信息熵在信息压缩中被广泛应用。
通常情况下，我们通过对一段
信息进行压缩，从而降低信息传输的成本。
例如，将重复出现的信息
编码成一个符号，并在接收端进行解码还原，从而实现信息的压缩。
此时，信息熵可以作为衡量压缩效果的指标。
如果压缩后达到了熵值，那么压缩效果就可以认为是比较好的。
2. 加密技术
信息熵在加密技术中也有应用。
加密技术可以将原始信息转化为
一种加密形式，在传递过程中使得信息不容易被攻击者窃取或窃取后
无法破解。
在加密过程中，信息熵可以作为统计攻击的依据。
通过熵
值的计算，可以对信息的随机性进行评估，判断信息传输或存储的安
全性。
三、总结
熵是信息论中的一个重要概念，用于度量信息的不确定性和随机性。
它不仅在信息压缩和加密技术中有应用，而且在其他领域中的应
用也十分广泛。
无论是在通讯领域还是在科学研究中，熵都扮演着不
可或缺的角色，它帮助我们更好地分析和理解数据背后的信息。