新人教版七年级数学上册：解一元一次方程(讲义及答案)
新人教版七年级数学上册：解一元一次方程(讲义及答案)
解一元一次方程（讲义）课前预习1.含有_______的_______叫做方程．2.等式的基本性质性质1：等式两边同时加上（或减去）_________，所得结果仍是等式．性质2：等式两边同时乘___________（或_____________________），所得结果仍是等式．3.。
4.已知a，b，x，y都是未知数，给出下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是方程的有_________________．（填序号）5.解下列方程：（1）；（2）．：知识点睛1.一元一次方程的定义：只含有___________，_______________的_______方程叫做一元一次方程．2.使方程左右两边的值________的___________叫做方程的解．3.|4.等式的基本性质：①等式两边同时加上（或减去）同一个__________所得结果仍是___________；②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个_________的数）所得结果仍是___________．5.解方程的五个步骤：①______________；②______________；③_____________；④______________；⑤_______________．精讲精练1.下列各式中，是一元一次方程的为_________（填序号）．①；②3x5y=1；③；④3+7=10．2.若是关于x的一元一次方程，则a=______．3.如果x=2是方程的解，那么a=__________．4.。
5.解下列方程：（1）；解：移项，得合并同类项，得系数化为1，得（2）；;（3）；移项，得合并同类项，得|系数化为1，得（4）；;（5）；解：去分母，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得<（6）；|（7）；去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得、（8）；￥（9）；'（10）；%（11）；解：原方程可化为去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得…系数化为1，得（12）．%6.m为何值时，代数式的值与代数式的值的和等于5~【参考答案】课前预习1.未知数等式2.同一个数同一个数除以同一个不为0的数3.④⑤⑥⑦4.（1）（2）\知识点睛1.一个未知数并且未知数的指数都是1 整式2.相等未知数的值3.代数式，等式不为0，等式4.去分母去括号移项合并同类项系数化为1精讲精练1.①2.-13.4.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）．5.。
人教版七年级上册数学 一元一次方程(基础篇)(Word版 含解析)
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）1．如图，数轴上 A、B 两点所对应的数分别是 a 和 b，且（a+5）2+|b﹣7|=0．（1）求 a，b；A、B 两点之间的距离．（2）有一动点 P 从点 A 出发第一次向左运动 1 个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，当运动到 2019次时，求点P所对应的数．（3）在（2）的条件下，点P在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P到点B的距离是点 P 到点 A 的距离的3倍？请直接写出此时点 P所对应的数，并分别写出是第几次运动．【答案】（1）解：∵（a+5）2+|b﹣7|=0，∴a+5=0，b﹣7=0，∴a=﹣5，b=7；∴A、B两点之间的距离=|﹣5|+7=12；（2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数，依题意得：﹣5﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+2018﹣2019=﹣5+1009﹣2019=﹣1015．答：点P所对应的数为﹣1015（3）解：设点P对应的有理数的值为x，①当点P在点A的左侧时：PA=﹣5﹣x，PB=7﹣x，依题意得：7﹣x=3（﹣5﹣x），解得：x=﹣11；②当点P在点A和点B之间时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=7﹣x，依题意得：7﹣x=3（x+5），解得：x=﹣2；③当点P在点B的右侧时：PA=x﹣（﹣5）=x+5，PB=x﹣7，依题意得：x﹣7=3（x+5），解得：x=﹣11，这与点P在点B的右侧（即 x＞7）矛盾，故舍去．综上所述，点P所对应的有理数分别是﹣11和﹣2．所以﹣11和﹣2分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置．【解析】【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得a与b的值，相减得两点间的距离。
（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，并在-5的基础上把得到的数据相加即可。
（3）设点P对应的有理数的值为x，分别表示PA和PB的长，列方程求解即可。
七年级上册一元一次方程优质讲义(含答案解析)第二部分
1x3x基础训练内容提要考法.利用特殊解求字母的值2. 解下列方程：（1）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝9（1﹣x）； （2）2．3.解下列方程：（1）1 （2）31.[单选题] 解方程3时，去分母正确的是（ ）A．2（2x﹣1）﹣10x﹣1＝3 B．2（2x﹣1）﹣10x+1＝3 C．2（2x﹣1）﹣10x﹣1＝12 D．2（2x﹣1）﹣10x+1＝122.[单选题]把方程0.5的分母化为整数，正确的是（ ）A ． 0.5 B ． 0.5 C ． 0.5 D ．0.53.解方程：（1）7x+2（3x﹣3）＝29 （2）（3）例题基础训练1.若方程3（x+1）＝2+x的解与关于x的方程2（x+3）的解互为倒数，求k的值．2.小明在解方程1，方程两边都乘以各分母的最小公倍数去分母时，漏乘了不含分母的项﹣1，得到方程的解是x＝3，请你帮助小明求出m的值和原方程正确的解．3. 已知：方程（m+2）x﹣m＝0①是关于x的一元一次方程．（1）求m的值；（2）若上述方程①的解与关于x的方程x3x②的解互为相反数，求a的值．|m|﹣11.（2020·越秀区）已知关于x的方程2（x﹣1）﹣6＝0与的解互为相反数，则a＝．2.小明解方程1时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1，试求a的值，并正确地求出原方程的解．内容提要考法.方程的解的讨论例题3.小明的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨汁污染了，成为1，他翻看了书后的答案，知道了这个方程的解是4，于是他把被污染了的数字求出来了，请你把小明的计算过程写出来．1.[单选题]有下列结论：①若a+b+c ＝0，则abc≠0；②若a （x ﹣1）＝b （x ﹣1）有唯一的解，则a≠b ；③若b ＝2a ，则关于x 的方程ax+b ＝0（a≠0）的解为x；④若a+b+c ＝1，且a≠0，则x ＝1一定是方程ax+b+c ＝1的解；其中结论正确的个数有（ ）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2.[单选题]若关于x 的方程有无数解，则3m+n 的值为（ ）A ．﹣1 B ．1 C ．2 D ．以上答案都不对3. 解关于x 的方程：a （x ﹣1）＝2（x+2）基础训练内容提要考法.新定义运算例题基础训练1.[单选题]如果关于x 的方程（a﹣3）x＝2019有解那么实数a的取值范围是（）A．a＜3B．a＝3C．a＞3D．a≠32.[单选题] 已知关于x的方程•a（x﹣6）无解，则a的值是（ ）A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠13.[单选题]已知方程2x+k＝6的解为正整数，则k所能取的正整数值为（ ）A．1 B．2 或 3 C．3 D．2 或 41.[单选题]对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知18，则x＝（ ）A．﹣1 B．2 C．3 D．42. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab﹣2ab+b．如：2☆（﹣3）＝2×（﹣3）﹣2×2×（﹣3）+（﹣3）＝27（1）求（﹣4）☆7的值；（2）若（1﹣3x）☆（﹣4）＝32，求x的值．221. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab﹣2ab+a．如：1☆3＝1×3﹣2×1×3+1＝4．（1）求（﹣2）☆5的值；22模块二含绝对值的一元一次方程内容提要最简绝对值方程（2）若☆3＝8，求a 的值；（3）若m ＝4☆x ，n ＝（1﹣2x ）☆3（其中x 为有理数），试比较大小m n （用不等号填空）．2. 设x 、y 是任意两个有理数，规定x 与y 之间的一种运算“⊕”为：若对任意有理数x 、y ，运算“⊕”满足x ⊕y ＝y ⊕x ，则称此运算具有交换律．x ⊕y （1）试求1⊕（﹣1）的值；（2）试判断该运算“⊕”是否具有交换律，说明你的理由；（3）若2⊕x ＝0，求x 的值．3. 我们规定，若关于x 的一元一次方程ax ＝b 的解为x ＝b ﹣a ，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x ＝4的解为x ＝2＝4﹣2，则该方程2x ＝4是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：（Ⅰ）判断方程5x ＝﹣8 （回答“是”或“不是”）“奇异方程”；（Ⅱ）若a ＝3，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b 的值；若没有，请说明理由．（Ⅲ）若关于x 的一元一次方程2x ＝mn+m 和﹣2x ＝mn+n 都是“奇异方程”，求代数式﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m ）﹣m] 的值．2例题基础训练1.（1）解方程：|3x+1|﹣5＝0．（2）若方程|x﹣1|＝m﹣1有解，则m应满足的条件是 ．2.解方程： |x﹣2|＝|﹣3|．3.解方程：|3x﹣2|＝x 4.解方程：3+|2x﹣1|＝x1.[单选题] 方程|2x+1|＝5的解是（ ）A．2 B．﹣3 C．±2 D．2或﹣3 内容提要考法.含多个绝对值的方程例题2.[单选题]若关于x的方程a﹣|x|＝0有两个解，b﹣|x|＝0只有一个解，c﹣|x|＝0无解，则a、b、c的关系是（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 3.方程|5x+6|＝6x﹣5的解是 ． 4.解方程：（1）|3x﹣2|﹣4＝0．（2）当b为何值时，关于x的方程|x﹣2|＝b+1，（1）无解；（2）只有一个解；（3）有两个解． 1.解方程：|x﹣2|+|x﹣1|＝5．2.解方程|x﹣4|+|x+3|＝7．基础训练3.解方程：|2x+1|＝|x ﹣3| 4.解绝对值方程：|x ﹣1|﹣|x ﹣2|＝x ﹣3． 1.（1）解方程：|2x+3|＝8．（2）解方程：|2x+3|﹣|x ﹣1|＝1．2.解方程：|x ﹣2|+|x+3|＝6 3.解方程：|x ﹣3|﹣3|x+2|＝x ﹣9．内容提要考法.含多重绝对值的方程例题4.解方程：|2x ﹣3|＝|1﹣3x| 5.解方程：3|x ﹣1|﹣|x+1|＝2|x ﹣2|.1. 解方程：||x|﹣4|＝52.求方程|x ﹣|2x+1||＝3的不同的解的个数．3.设a ，b 为有理数，且|a|＞0，方程||x ﹣a|﹣b|＝5，恰好有两个不相等的根，求b 的取值范围．基础训练模块三含参数的一元一次方程内容提要考法1.解含字母系数的方程例题1. 解方程：|x ﹣|3x+1||＝4． 2.求关于x 的方程||x ﹣2|﹣1|﹣a ＝0（0＜a ＜1）的所有解的和． 3.设a 、b 为实数，且a≠0，方程||x+a|+2b|＝4，恰有三个不相等的解，求b 的值．4.已知关于x 的方程||x ﹣200|﹣250|＝a 有三个解，求a 的值．1.解关于x 的方程：2（x ﹣1）＝3m ﹣1. 2.已知关于x 的方程5m+3x ＝1+x 的解比关于x 的方程2x+m ＝3m 的解大2，求7m ﹣1的值．2基础训练内容提要考法2.方程的整数解3.已知关于x的方程m4的解是关于x 的方程的解的2倍，求m的值．1.解关于x的方程：5m+12x2.[单选题] 若关于x的方程2x+a＝3与x+2a＝7的解相同，则a的值为（ ）A ． B ． C ． D．3.若关于x的方程x+m﹣3＝0和2m＝2x﹣1的解的和为4，求m的值． 4.当k为何值时，关于x的方程3（2x﹣1）＝k+2x的解与关于x的方程8﹣k＝2（x+1）的解互为相反数．例题基础训练1.[单选题] 已知关于x 的方程x﹣a＝3x﹣14，若a为正整数时，方程的解也为正整数，则a的最大值是（ ）A．12 B．13 C．14 D．152.[单选题]已知关于x方程x1的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．33.[单选题]若关于x的方程（k﹣2020）x﹣2019＝7﹣2020（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（ ）A．6 B．8 C．9 D．101. 已知关于x的方程kx＝9﹣x的解为自然数，求整数k的值．2.已知k位非负整数，且关于x的方程3（x﹣3）＝kx的解为正整数，求k的所有可能取值.3.若关于x的方程mx＝2﹣x的解为整数，且m为负整数，求代数式5m﹣[m﹣（6m﹣5m）﹣2（m﹣3m）]的值． 2222内容提要考法3.含参数的一元一次方程的讨论例题基础训练4.已知a 为整数，关于x 的一元一次方程的解也为整数，求所有满足条件的数a 的和.1. 已知kx ﹣m ＝（2k ﹣1）x+4是关于x 的一元一次方程，当k ，m 为何值时：（1）方程只有一个解；（2）方程无解；（3）方程有无数个解．2.已知关于x 的方程m （x ﹣1）＝5x ﹣2有唯一解，求m 的值． 1.已知关于x 的方程2kx+m ＝x+4．当k 、m 为何值时：（1）方程有唯一解；模块四自定义新一元一次方程内容提要自定义新一元一次方程例题（2）方程有无数个解；（3）方程无解．2. 当a取何值时，关于x的方程6（ax﹣2）﹣（x+1）＝4（x）（1）有唯一解；（2）没有解． 3.已知方程（x+1）+1ax有无数个解，求a、b的值． 4.已知关于x的方程a（3x﹣2）+b（2x﹣3）＝8x﹣7．（1）若b＝1，a≠2时，求方程的解；（2）当a，b满足什么条件时，方程有无数个解？5.若关于x的一元一次方程（5a+3b）x+ax+b＝0有唯一解，则x＝ ．21. 定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的对称数．若x≥0，则[x]＝x﹣2；若x＜0，则[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0．（1）求[]，[﹣1]的值；（2）已知有理数a＞0，b＜0，且满足[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）﹣2a+2b的值；（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．32.我们称使方程成立的一对数x ，y 为“相伴数对”，记为（x ．y ）．（1）若（4，y ）是“相伴数对”，求y 的值；（2）若（a ，b ）是“相伴数对”，请用含b 的代数式表示a ；（3）若（m ，n ）是“相伴数对”，求代数式m n ﹣[4m ﹣2（3n ﹣1）]的值．3.已知f （x ）是关于字母x 的多项式f （x ）＝a x +a x +……+a x +a x+c （其中a ，a ，…，a 是各项的系数，c 是常数项）；我们规定f （x ）的伴随多项式是g （x ），且g （x ）＝na x +（n ﹣1）a x +……+2a x+a ．如f （x ）＝4x ﹣3x +5x ﹣8，则它的伴随多项式g （x ）＝3×4x ﹣2×3x+1×5＝12x ﹣6x+5请根据上面的材料，完成下列问题：（1）已知f （x ）＝x ，则它的伴随多项式g （x ）＝ ；（2）已知f （x ）＝3x ﹣2（7x ﹣1），则它的伴随多项式g （x ）＝ ；若g （x ）＝10，求x 的值．（3）已知二次多项式f （x ）＝（a ﹣3）x ﹣8x+7，并且它的伴随多项式是g （x ），若关于x 的方程g （x ）＝﹣2x 有正整数解，求a 的整数值．1n 2n ﹣1n ﹣12n 12n 1n ﹣12n ﹣2n ﹣1n 32222224.若x 是关于x 的方程ax+b ＝0（a≠0）的解，y 是关于y 的方程cy+d ＝0（c≠0）的解，且x ，y 是满足|x ﹣y |≤1，则称方程ax+b ＝0（a≠0）与方程cy+d ＝0（c≠0）的解接近．例如：方程4x+2x ﹣6＝0的解是x ＝1，方程3y ﹣y ＝3的解是y ＝1.5，因为x ﹣y ＝0.5＜1，方程4x+2x ﹣6＝0与方程3y ﹣y ＝3的解接近．（1）请直接判断方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与方程﹣2y ﹣y ＝3的解是否接近；（2）若关于x 的方程3x ﹣3+4（x ﹣1）＝0与关于y 的方程y ＝2k+1的解接近，请你求出k 的最大值和0000000000自主评价自主探究自主探究题目最小值；（3）请判断关于x的方程x﹣m＝2x﹣5与关于y的方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m的解是否接近，并说明理由． 1.[单选题]若方程2x+1＝﹣2与关于x的方程1﹣2（x﹣a）＝2的解相同，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣2D．2.[单选题]关于x的方程﹣4+ax＝3x+b有无数个解，则a、b的值分别是（ ）A．﹣3；4 B．0；0 C．3；﹣4 D．3；43.[单选题]当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a总有解（ ）A．a≥4.5 B．a≥5 C．a≥5.5 D ．a≥64.解方程：（1）4x﹣3＝12﹣x；（2）+1＝．5.已知方程5x﹣3＝2x与方程4x＝6的解互为相反数，求（1k）的值．56.已知关于x的方程ax+6＝5x﹣b有无数个解，试求a+b的值．27.（2019·花都区）已知两个方程3x+2＝﹣4与3y﹣3＝2m﹣1的解x、y互为相反数，求m的值．8. 解关于x的方程：a（x﹣5）＝x+19. 一般的，数a的绝对值|a|表示数a对应的点与原点的距离．同理，绝对值|a﹣b|表示数轴上数a对应的点与数b对应的点的距离．例如：|3﹣0|指在数轴上表示数3的点与原点的距离，所以3的绝对值是3，即|3﹣0|＝|3|＝3．|6﹣2|指数轴上表示6的点和表示2的点的距离，所以数轴上表示6的点和表示2的点的距离是4，即|6﹣2|＝4．结合数轴与绝对值的知识，求含绝对值的方程的整数解.10.已知关于x的方程的解是正整数，求正整数a的值．参考答案模块一解一元一次方程例题1.解：（1）移项得：x﹣4x＝27+9，合并同类项得：﹣3x＝36，系数化为1得：x＝﹣12，（2）方程两边同时乘以2得：2﹣3x＝6x+5，移项得：﹣3x﹣6x＝5﹣2，合并同类项得：﹣9x＝3，系数化为1得：x，解析:2.解：（1）去括号得：2x﹣4﹣12x+3＝9﹣9x，移项得：2x﹣12x+9x＝9+4﹣3，合并同类项得：﹣x＝10，系数化为1得：x＝﹣10，（2）去分母得：2（2x﹣1）﹣（5x+2）＝3（1﹣2x）﹣12，去括号得：4x﹣2﹣5x﹣2＝3﹣6x﹣12，移项得：4x﹣5x+6x＝3﹣12+2+2，合并同类项得：5x＝﹣5，系数化为1得：x＝﹣1．解析:3.解：（1）方程整理得： 1，去分母得：50x﹣10﹣37x﹣100＝20，移项合并得：13x＝130，解得：x＝10．（2）方程整理得： 3，即5y﹣10﹣2y﹣2＝3，移项合并得：3y＝15，解得：y＝5．解析:基础训练基础训练题目1.C解析:2.C解析:3.解：（1）去括号得：7x+6x﹣6＝29，移项合并得：13x＝35，解得：x ；（2）去分母得：3（x ﹣2）﹣2（2x ﹣1）＝12，去括号得：3x ﹣6﹣4x+2＝12，解得：x ＝﹣16；（3）方程整理得： 1，去分母得：30x ﹣7（17﹣20x ）＝21，去括号得：30x ﹣119+140x ＝21，移项合并得：170x ＝140，解得：x．解析:例题1.解：解3（x+1）＝2+x ，得x，∵两方程的解互为倒数，∴将x ＝﹣2代入2（x+3）得2，解得k ＝0．解析:2.解：根据题意，x ＝3是方程4（2x ﹣1）＝3（x+m ）﹣1的解，将x ＝3代入得4×（2×3﹣1）＝3（3+m ）﹣1，解得m ＝4，所以原方程为1，解方程得x．解析:3.解：（1）∵方程（m+2）x ﹣m ＝0①是关于x 的一元一次方程，∴|m|﹣1＝1，且m+2≠0，解得m ＝2．（2）当m ＝2时，原方程变形为4x ﹣2＝0，解得x，∵方程①的解与关于x 的方程x3x ②的解互为相反数，∴方程②的解为x．方程x 3x 去分母得：6x+2（6x ﹣a ）＝a ﹣18x 去括号得：6x+12x ﹣2a ＝a ﹣18x ，移项、合并同类项得：3a ＝36x ，∴a ＝12x ＝12×（）＝﹣6．解析:基础训练基础训练题目|m|﹣11.﹣．解析:解：解方程2（x﹣1）﹣6＝0得：x＝4，解方程得：x＝3a﹣3，∵两个方程的解互为相反数，∴4+（3a﹣3）＝0，解得：a＝﹣，故答案为：﹣．2.解：按方程左边的1没有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a），把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a，解得：a＝﹣2，把a＝﹣2代入原方程，得1，去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2），去括号得：4x﹣12+10＝5x﹣10，移项合并得：﹣x＝﹣8，解得：x＝8，答：a的值是﹣2，原方程的解为x＝8．解析:3.解：设被墨汁污染的数字为y，原方程可整理得：1，把x＝4代入得：1，解得：y＝﹣12，即被污染了的数字为﹣12．解析:例题1.C解析:解：①错误，当a＝0，b＝1，c＝﹣1时，a+b+c＝0+1﹣1＝0，但是abc＝0；②正确，方程整理得：（a﹣b）x＝a﹣b，由方程有唯一解，得到a﹣b≠0，即a≠b，此时解为x＝1；③错误，由a≠0，b＝2a，方程解得：x2；④正确，把x＝1，a+b+c＝1代入方程左边得：a+b+c＝1，右边＝1，故若a+b+c＝1，且a≠0，则x＝1一定是方程ax+b+c＝1的解，故选：C．2.A解析:解：mx x，移项得：mx+x，合并同类项得：（m+1）x，∵该方程有无数解，∴，解得：，把m＝﹣1，n＝2代入3m+n得：原式＝﹣3+2＝﹣1，故选：A．3.解：a（x﹣1）＝2（x+2），ax﹣a＝2x+4，ax﹣2x＝4+a，（a﹣2）x＝4+a，当a﹣2≠0时，x，当a﹣2＝0时，方程无解．解析:基础训练基础训练题目1.D解析:解：∵关于x的方程（a﹣3）x＝2019有解，∴a﹣3≠0，即a≠3，故选：D．2.A解析:解：去分母得：2ax＝3x﹣（x﹣6），去括号得：2ax＝2x+6移项，合并得，x，因为无解；所以a﹣1＝0，即a＝1．故选：A．3.D解析:解：2x+k＝6，移项得：2x＝6﹣k，系数化为1得：x，∵方程2x+k＝6的解为正整数，∴6﹣k为2的正整数倍，6﹣k＝2，6﹣k＝4，6﹣k＝6，6﹣k＝8…，解得：k＝4，k＝2，k＝0，k＝﹣2…，故选：D．例题1.C解析:解：∵，∴2x+4x＝18，即：x＝3，故选：C．2.解：（1）根据题意得：（﹣4）☆7＝（﹣4）×7﹣2×（﹣4）×7+7＝﹣133，（2）根据题意得：（1﹣3x）☆（﹣4）＝（1﹣3x）×（﹣4）﹣2×（1﹣3x）×（﹣4）+（﹣4）＝32，整理得：16（1﹣3x）+8（1﹣3x）﹣4＝32，解得：x．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）（﹣2）☆5＝（﹣2）×5﹣2×（﹣2）×5+（﹣2）＝﹣50+20﹣2＝﹣32；（2）☆3＝8，3﹣238，9（a+1）﹣6（a+1）+a+1＝16，9a+9﹣6a﹣6+a+1＝16，4a＝12，a＝3；（3）∵m＝4☆x＝4•x﹣2×4x+4＝4x﹣8x+4，n＝（1﹣2x）☆3＝（1﹣2x）•3﹣2（1﹣2x）•3+1﹣2x＝﹣8x+4，2222222m ﹣n ＝4x ≥0，∴m≥n ，故答案为：≥．解析:2.解：（1）1⊕（﹣1）＝2×1+3×（﹣1）﹣7＝2﹣3﹣7＝﹣8答：1⊕（﹣1）的值为﹣8．（2）该运算具有交换律理由：分三种情况当x ＞y 时，x ⊕y ＝2x+3y ﹣7，y ⊕x ＝3y+2x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x当x ＝y 时，x ⊕y ＝2x+3y ﹣7，y ⊕x ＝2y+3x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x当x ＜y 时，x ⊕y ＝3x+2y ﹣7，y ⊕x ＝2y+3x ﹣7，此时x ⊕y ＝y ⊕x所以该运算“⊕”具有交换律（3）当x≤2时，2⊕x ＝0，2×2+3x ﹣7＝0解得x ＝1当x ＞2时，2⊕x ＝03×2+2x ﹣7＝0解得x （舍去）答：x 的值为1．解析:3.解：（Ⅰ）：∵5x ＝﹣8，∴x ，∵﹣8﹣5＝﹣13，，∴5x ＝﹣8不是奇异方程；故答案为：不是；（Ⅱ）∵a ＝3，∴x ＝b ﹣3，∴，∴，即b 时有符合要求的“奇异方程”；（Ⅲ）且由题可知：mn+m ＝4，mn+n，两式相减得，m ﹣n ，∴﹣2（m+11）+4n+3[（mn+m ）﹣m] 22＝﹣5（m ﹣n ）﹣22+3（mn+m）（mn+n ），，．解析:模块二含绝对值的一元一次方程例题1.解：（1）原方程化为|3x+1|＝5，当3x+1≥0时，方程可化为3x+1＝5，解得：x ，当3x+1≤0时，方程可化为3x+1＝﹣5，解得：x ＝﹣2，所以原方程的解是x 或x ＝﹣2，（2）∵方程|x ﹣1|＝m ﹣1有解，∴m ﹣1≥0，解得：m≥1，解析:2.解：∵|x ﹣2|＝3，∴x ﹣2＝3或x ﹣2＝﹣3，∴x ＝10或x ＝﹣2．解析:3.解：（1）|3x ﹣2|＝x ，∴3x ﹣2＝x 或3x ﹣2＝﹣x ，∴x ＝1或x；解析:4.解：当x时，原方程等价于3+1﹣2x ＝x ，解得x （不符合题意要舍去），当x 时，原方程等价于3+2x ﹣1＝x ，解得x ＝﹣2（不符合题意要舍去）综上所述，原方程无解．解析:基础训练基础训练题目1.D解析:解：根据题意，原方程可化为：2x+1＝5或2x+1＝﹣5，解得x ＝2或x ＝﹣3，故选：D ．2.D22解析:解：∵关于x的方程a﹣|x|＝0有两个解，∴a＞0，∵b﹣|x|＝0只有一个解，∴b＝0，∵c﹣|x|＝0无解，∴c＜0，则a、b、c的关系是c＜b＜a．故选：D．3.x＝11解析:解：∵|5x+6|＝6x﹣5，∴5x+6＝±（6x﹣5），解得，x＝11或（舍去）．故答案为：x＝11．4.解：①当3x﹣2≥0时，原方程可化为：3x﹣2＝4，解得x＝2；当3x﹣2＜0时，原方程可化为：3x﹣2＝﹣4，解得x．所以原方程的解是x＝2或x；②∵|x﹣2|≥0，∴当b+1＜0，即b＜﹣1时，方程无解；当b+1＝0，即b＝﹣1时，方程只有一个解；当b+1＞0，即b＞﹣1时，方程有两个解解析:例题1.|x﹣2|+|x﹣1|＝5，①当x﹣2≥0，即x≥2时，原方程可化为x﹣2+x﹣1＝5，它的解是x＝4；②当x﹣1≤0，即x≤1时，原方程可化为2﹣x+1﹣x＝5，它的解是x＝﹣1；③当1＜x＜2时，原方程可化为2﹣x+x﹣1＝5，此时方程无解；∴原方程的解为x＝4和﹣1．解析:2.解：（1）当x＜﹣3时，原方程可化为：﹣（x﹣4）﹣（x+3）＝7解得：x＝﹣3，与题意不符，故舍去．（2）当﹣3≤x≤4时，原方程可化为：﹣（x﹣4）+x+3＝7即7＝7所以﹣3≤x≤4（3）当x＞4时，原方程可化为x﹣4+x+3＝7，x＝4与题意不符，故舍去．故原方程的解是﹣3≤x≤4．解析:3.解：当x时，原方程等价于﹣1﹣2x＝3﹣x，解得x＝﹣4；当x＜3时，原方程等价于1+2x＝3﹣x，解得x；当x≥3时，原方程等价于1+2x＝x﹣3，解得x＝﹣4（不符合题意要舍去），综上所述：x＝﹣4或x；解析:4.解：当x＜1时，原方程等价于1﹣x﹣（2﹣x）＝x﹣3．解得x＝2（不符合范围，舍）；当1≤x＜2时，原方程等价于x﹣1﹣（2﹣x）＝x﹣3．解得x＝0（不符合范围，舍）；当x≥2时，原方程等价于x﹣1﹣（x﹣2）＝x﹣3．解得x＝4，综上所述：x＝4．解析:基础训练基础训练题目1.解：（1）当x时，原方程等价于2x+3＝﹣8，解得x；当x时，原方程等价于2x+3＝8，解得x；综上所述，方程|2x+3|＝8的解为x或x．（2）当x时，原方程等价于﹣x﹣4＝1，解得x＝﹣5；当x＜1时，原方程等价于3x+2＝1，解得x；当x≥1时，原方程等价于x+4＝1，解得x＝﹣3，（不符合题意，舍）；综上所述，方程：|2x+3|﹣|x﹣1|＝1的解为x＝﹣5或x．解析:2.当x≥2时，|x﹣2|+|x+3|＝2x+1＝6，∴x＝2.5；当﹣3＜x＜2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5，不成立；当x≤﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝﹣2x﹣1＝6，∴x＝﹣3.5；综上所述，|x﹣2|+|x+3|＝6的解有两个：x＝2.5或-3.5解析:3.解：①当x＜﹣2时，原方程等价于3﹣x+3（x+2）＝x﹣9，解得x＝﹣18，符合x＜﹣2，②当﹣2≤x＜3，时，原方程等价于价于3﹣x﹣3（x+2）＝x﹣9，解得x，符合﹣2≤x＜3，③当x≥3时，原方程等价于x﹣3﹣3（x+2）＝x﹣9，解得x＝0，不符合x≥3，∴原方程的解为：x＝﹣18，x．解析:4.解：根据题意得：2x﹣3＝1﹣3x或2x﹣3＝3x﹣1，解得：x或x＝﹣2，即原方程的解为：x，x＝﹣2，解析:5.解：当x＜﹣1时，得：﹣3（x﹣1）+（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得：恒成立，∴x＜﹣1当﹣1≤x≤1时得：﹣3（x﹣1）﹣（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得x＝﹣1当1＜x≤2时得：3（x﹣1）﹣（x+1）＝﹣2（x﹣2）解得x＝2当x＞2时得：3（x﹣1）﹣（x+1）＝2（x﹣2）解得：恒成立，则x＞2．综上所述：x≤﹣1或x≥2．解析:例题1.解：||x|﹣4|＝5，∴|x|﹣4＝5或|x|﹣4＝﹣5，∴|x|＝9或|x|＝﹣1（舍去），∴x＝9或x＝﹣9；解析:2.解：|x﹣|2x+1||＝3，当x时，原方程化为|x|＝3，无解；当x时，原方程化为：|1+x|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4（舍去）．当x时，原方程可化为：|x+（2x+1）|＝3，12即|3x+1|＝3，∴3x+1＝±3，解得：x（舍去）或x．综上可得方程的解只有x＝2或x两个解．解析:3.解：∵方程||x﹣a|﹣b|＝5有两个不相等的解，∴方程|x﹣a|﹣b＝±5，即|x﹣a|＝b±5，（1）当b＝﹣5时，即|x﹣a|＝0或|x﹣a|＝﹣10①|x﹣a|＝0时，方程有一个解；②|x﹣a|＝﹣10，此时方程无解．所以当b＝﹣5时，方程只有一个解；（2）当﹣5＜b＜5时，即b+5＞0，b﹣5＜0①b+5＞0时，方程有两个不相等解，②b﹣5＜0时，方程无解．所以当﹣5＜b＜5时，方程有两个不相等解；（3）当b＝5时，即|x﹣a|＝0或|x﹣a|＝10①|x﹣a|＝0时，方程有一个解；②|x﹣a|＝10，此时方程有两个不相等解．所以当b＝5时，方程有三个解；（4）当b＞5时，即b±5＞0①b+5＞0时，方程有两个不相等解，②b﹣5＞0时，方程有两个不相等解．所以当b＞5时，方程有四个不相等解．故答案为：﹣5＜b＜5．解析:基础训练基础训练题目1.解：原方程式化为x﹣|3x+1|＝4或x﹣|3x+1|＝﹣4（1）当3x+1＞0时，即x，由x﹣|3x+1|＝4得x﹣3x﹣1＝4∴x与x不相符，故舍去由x﹣|3x+1|＝﹣4得x﹣3x﹣1＝﹣4∴x（2）当3x+1＜0时，即x，由x ﹣|3x+1|＝4得x+3x+1＝4∴x 与x 不相符，故舍去由x ﹣|3x+1|＝﹣4得x+3x+1＝﹣4∴x 故原方程的解是x 或x 解析:2.解：由原方程得||x ﹣2|﹣1|＝a ，∴|x ﹣2|﹣1＝±a ，∵0＜a ＜1，∴|x ﹣2|＝1±a ，即x ﹣2＝±（1±a ），∴x ＝2±（1±a ），从而x ＝3+a ，x ＝3﹣a ，x ＝1+a ，x ＝1﹣a ，∴x +x +x +x ＝8，即原方程所有解的和为8．解析:3.解：∵方程||x+a|+2b|＝4，∴|x+a|＝4﹣2b 或﹣4﹣2b ，∵有三个不相等的解，∴4﹣2b 与﹣4﹣2b ，其中一个为0，则得3个解，如果都不是零，则得4个解，故b ＝2或﹣2．经检验，b ＝2不合题意舍弃，∴b ＝﹣2故答案为﹣2．解析:4.解：根据题意得：a≥0，|x ﹣200|﹣250＝±a ，|x ﹣200|＝250±a ，x ﹣200＝±（250±a ），x ＝200±（250±a ），所以x ＝450+a ，x ＝﹣50﹣a ，x ＝450﹣a ，x ＝﹣50+a ，则有两个相等，12341234显然450+a＝﹣50+a，﹣50﹣a＝450﹣a不成立，若450+a＝﹣50﹣a，解得：a＝﹣250，（舍去），若450+a＝450﹣a，解得：a＝0，x＝450，x＝﹣50，（舍去），若﹣50+a＝﹣50﹣a，解得：a＝0，x＝450，x＝﹣50，（舍去），若450﹣a＝﹣50+a，解得：a＝250，x＝700，x＝﹣300，x＝200，（符合题意），故答案为：a=250．解析:模块三含参数的一元一次方程例题1.解：2x﹣2＝3m﹣1 2x＝3m+1解析:2.解：解方程5m+3x＝1+x得x，解方程2x+m＝3m得x＝m，由题意知m＝2，解得：m，则7m﹣1＝7×（）﹣1＝711．解析:3.解：解方程m4得：x＝12﹣3m ，解方程1得：x＝6﹣m，根据题意得：222（6﹣m）＝12﹣3m，解得：m＝0．解析:基础训练基础训练题目1.解：去分母：10m+24x=2x+1 22x=1-10m解析:2.B解析:3.解：方程x+m﹣3＝0的解为x＝3﹣m，方程2m＝2x﹣1解为：x（2m+1），根据题意得：3﹣m（2m+1）＝4，去分母得：9﹣3m+4m+2＝12，移项合并得：m＝1解析:4.解：方程3（2x﹣1）＝k+2x，解得：x，方程8﹣k＝2（x+1），解得：x，根据题意得： 0，解得：k＝15．解析:例题1.B解析:解：方程移项合并得： x＝a﹣14，去分母得：﹣x＝2a﹣28，解得：x＝28﹣2a，∵方程的解x是正整数，∴28﹣2a＞0，∴a＜14则a的最大值为13，故选：B．2.A解析:解：x1，6x﹣（4﹣ax）＝2（x+a）﹣66x﹣4+ax＝2x+2a﹣66x+ax﹣2x＝2a﹣6+4（a+4）x＝2a﹣2x，∵方程的解是非正整数，∴0，解得：﹣4＜a≤1，当a＝﹣3时，x＝﹣8；当a＝﹣2时，x＝﹣3；当a＝﹣1时，x（舍去）；当a＝0时，x（舍去）；当a＝1时，x＝0；则符合条件的所有整数a的和是﹣3﹣2+1＝﹣4．故选：A．3.B解析:解：方程整理得：kx﹣2020x﹣2019＝7﹣2020x﹣2020，移项合并得：kx＝6，解得：x，由x为整数，得到k＝±1，±2，±3，±6，共8个，故选：B．基础训练基础训练题目1.解：移项，得kx+x＝9，合并，得（k+1）x＝9，当k+1≠0时，x∵关于x的方程的解为自然数，∴9能被k+1整除．∴k+1＝1、3、9，即k＝0、2、8时，关于x的方程的解为自然数．解析:2.解：方程去括号得：3x﹣9＝kx，移项合并得：（3﹣k）x＝9，解得：x ，由x 为正整数，得到k ＝2，0解析:3.解：解方程mx ＝2﹣x 得：x ，∵关于x 的方程mx ＝2﹣x 的解为整数，且m 为负整数，∴1+m ＝±2或±1，解得：m ＝1或﹣3或0或﹣2，其中m ＝1和m ＝0舍去（不是负整数），即m ＝﹣3或﹣2；5m ﹣[m ﹣（6m ﹣5m ）﹣2（m ﹣3m ）]＝5m ﹣[m ﹣6m+5m ﹣2m +6m]＝5m ﹣m +6m ﹣5m +2m ﹣6m＝m ，当m ＝﹣2时，原式＝（﹣2）＝4；当m ＝﹣3时，原式＝（﹣3）＝9，所以代数式5m ﹣[m ﹣（6m ﹣5m ）﹣2（m ﹣3m ）]的值是4或9．解析:4.解：∵，∴（6﹣a ）x ＝6，∵关于x的一元一次方程的解为整数，∴x 为整数，∴6﹣a ＝±1或±2或±3或±6，又∵a 为整数，∴a ＝5或7或4或8或3或9或0或12，∴所有满足条件的数a 的和为：5+7+4+8+3+9+0+12＝48.解析:例题1.解：化简kx ﹣m ＝（2k ﹣1）x+4得（k ﹣1）x ＝﹣m ﹣4，（1）当k≠1时方程只有一个解，即x．（2）当k ＝1，m≠﹣4时方程无解．（3）当k ＝1，m ＝﹣4时方程有无数个解．解析:2.解：方程去括号得：mx ﹣m ＝5x ﹣2，移项合并得：（m ﹣5）x ＝m ﹣2，由方程有唯一解，得到m ﹣5≠0，解得：m≠5．2222222222222222222解析:基础训练基础训练题目1.解：方程移项合并得：（2k﹣1）x＝4﹣m，（1）由方程有唯一解，得到2k﹣1≠0，即k；（2）由方程有无数个解，得到2k﹣1＝0，4﹣m＝0，解得：k，m＝4；（3）由方程无解，得到2k﹣1＝0，4﹣m≠0，解得：k，m≠4．解析:2.解：6（ax﹣2）﹣（x+1）＝4（x），去括号得6ax﹣12﹣x﹣1＝2+4x，移项、合并同类项得（6a﹣5）x＝15．（1）当6a﹣5≠0，即a时，方程有唯一解．（2）当6a﹣5＝0，即a时，方程没有解．解析:3.解：原方程即x1ax，移项，得： x ax1，合并同类项，得：（）x，当0，且0时，方程有无数个解．则b＝﹣2，a．解析:4.解：（1）b＝1，代入原式得：a（3x﹣2）+2x﹣3＝8x﹣7，去括号得：3ax﹣2a+2x﹣3＝8x﹣7，移项合并同类项得：（3a﹣6）x＝2a﹣4，（a≠2）化系数为1得：x．（2）a（3x﹣2）+b（2x﹣3）＝8x﹣7，去括号得：3ax﹣2a+2bx﹣3b＝8x﹣7，移项合并同类项得：（3a+2b﹣8）x＝2a+3b﹣7，∴当3a+2b﹣8＝0，2a+3b﹣7＝0时，x有无数个解，解得：b＝1，a＝2．故a＝2，b＝1时，方程有无数个解．解析:5.解析:解：∵（5a+3b ）x +ax+b ＝0是一元一次方程，∴5a+3b ＝0，∵方程（5a+3b ）x +ax+b ＝0有唯一解，∴a≠0，x，∴ba ，∴x ．故答案是：．模块四自定义新一元一次方程例题1.解：（1）[] 2，[﹣1]＝﹣1+2＝1；（2）a ＞0，b ＜0，[a]＝[b]，即a ﹣2＝b+2，解得：a ﹣b ＝4，故（b ﹣a ）﹣2a+2b ＝（b ﹣a ）﹣2（a ﹣b ）＝（﹣4）﹣8＝﹣72；（3）当x≥0时，方程为：2x ﹣2+x+1﹣2＝1，解得：x ；当﹣1＜x＜0时，方程为：2x+2+x+1﹣2＝1，解得：x ＝0（舍弃）；当x≤﹣1时，方程为：2x+2+x+1+2＝1，解得：x；故方程的解为：x．解析:2.解：（1）∵（4，y ）是“相伴数对”，∴解得y ＝﹣9；（2）∵（a ，b ）是“相伴数对”，∴解得a b ；（3）∵（m ，n ）是“相伴数对”，∴由（2）得，mn ，∴原式＝﹣3mn ﹣2＝﹣3×（n ）n ﹣2＝﹣2．解析:3.解：（1）由题意得：g （x ）＝2x ；故答案为：2x ；（2）由题意得：g （x ）＝6x ﹣14，22333由g（x）＝10，得6x﹣14＝10，解得：x＝4；故答案为：6x﹣14；（3）由题意得：g（x）＝2（a﹣3）x﹣8＝（2a﹣6）x﹣8，由g（x）＝﹣2x，得（2a﹣6）x﹣8＝﹣2x，化简整理得：（a﹣2）x＝4，∵方程有正整数解，∴a﹣2≠0，可得x，∵a为整数，∴a﹣2＝1或2或4，∴a＝3或4或6，又∵f（x）是二次多项式，∴a﹣3≠0，可得a≠3，综上可知，a＝4或6．解析:4.解：（1）解方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0得，x＝1，解方程﹣2y﹣y＝3得，y＝﹣1，∵1﹣（﹣1）＝2＞1，∴方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与方程﹣2y﹣y＝3的解不接近；（2）关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0的解为x＝1，关于y的方程y＝2k+1的解为y＝3k+2，∵关于x的方程3x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程y＝2k+1的解接近，∴|1﹣（3k+2）|≤1，解得k≤0或k，即k≤0，∴k的最大值是0，最小值；（3）解方程x﹣m＝2x﹣5得，x解方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m得，y∵1∴方程x﹣m＝2x﹣5与方程y+7×2018﹣1＝4036y+2018m的解接近．解析:自主探究自主探究题目1.B解析:解：解2x+1＝﹣2，得x．把x代入1﹣2（x﹣a）＝2，得1﹣2（a）＝2．解得a＝﹣1，故选：B．2.C解析:解：方程移项合并得：（a﹣3）x＝b+4，由方程有无数个解，得到a﹣3＝0，b+4＝0，解得：a＝3，b＝﹣4，故选：C．3.B解析:解：令y＝|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|，当x≥4时，y＝5x﹣9≥11，当2＜x＜4时，y＝3x﹣1，∴5＜y＜11；当1≤x≤2时，y＝﹣x+7，∴5≤y≤6；当0＜x＜1时，y＝﹣3x+9，∴6＜y＜9；当x≤0时，y＝﹣5x+9，∴y≥9；综上所述，y≥5，∴a≥5时等式恒有解．故选：B．4.(1) x＝3；(2) x＝1．解析:解：（1）移项得：4x+x＝12+3，合并得：5x＝15，解得：x＝3；（2）去分母得：3（1﹣x）+12＝4（2x+1），去括号得：3﹣3x+12＝8x+4，移项得：﹣3x﹣8x＝4﹣3﹣12，合并得：﹣11x＝﹣11，解得：x＝1．5.解：解方程5x﹣3＝2x，可得：x＝1，∵5x﹣3＝2x与方程4x＝6的解互为相反数，∴方程4x＝6的解是x＝﹣1，∴，解得k，∴（1k）＝（1）＝﹣1．解析:556.解：由方程ax+6＝5x﹣b有无数个解，得到a＝5，b＝﹣6，则原式＝25﹣6＝19．解析:7.解：方程3x+2＝﹣4，解得：x＝﹣2，因为x、y互为相反数，所以y＝2，把y＝2代入第二个方程得：6﹣3＝2m﹣1，解得：m＝2．解析:8.解：去括号得：ax﹣5a＝x+1，移项得：ax﹣x＝1+5a，合并得：（a﹣1）x＝1+5a，当a﹣1≠0时，x，当a﹣1＝0时，方程无实数解，∴当a≠1时，方程的根是x；当a＝1时，方程没有实数根．解析:9.解：方程的解是数轴上到与到的所有点的集合，∴x，则该方程的整数解为x＝﹣1或x＝0；解析:10.解：去分母，得：ax+10＝7x﹣3，移项、合并同类项，得：（a﹣7）x＝﹣13，系数化成1得：x，∵x是正整数，∴a﹣7＝﹣1或﹣13，∴a＝6或﹣6．又∵a是正整数．∴a＝6．解析:。
2024新人编版七年级数学上册《第五章5.2.3利用移项和合并同类项解一元一次方程的应用》教学课件
第5章 一元一次方程 课件
第五章 一元一次方程
5.2 解一元一次方程
第3课时 利用合并同类项和移项 解一元一次方程的实际问题
学习目标
1.能够根据实际问题列出一元一次方程，进一步体会方程模型的作用及应用 价值，培养学生的模型意识. 2.通过使学生经历观察、分析、探究、发现实际问题中相等关系的过程，感 受方程思想的现实体现，培养学生的建模意识。 3.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高学 生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识.
学习目标
学习重点：建立一元一次方程解决实际问题. 学习难点：会将实际问题转化为数学问题，通过列 方程解决实际问题.
导入新课
从前有一只狡猾的狐狸，它平时总喜欢捉弄小动物.有 一天它遇见了老虎，狐狸说：“我发现2和5是可以一样 大的，我这里有一个方程5x-2=2x-2，等号两边同时加上2， 得5x-2+2=2x-2+2，即5x=2x.等式两边同时除以x，得5=2.” 老虎瞪大了眼睛，听傻了.请你们想一想，狐狸说得对吗？ 为什么？
解得x=10000， 所以大瓶销售了2×10000=20000瓶， 故答案是:20000.
巩固练习
4．江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000千克的某种 山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理．已知精 加工的该种山货质量比粗加工的质量3倍还多2000千克，求粗 加工的该种山货质量． 解：设粗加工x千克，则3x＋2000＝10000－x， 解得x＝2000. 答：粗加工的这种山货质量为2000 千克.
导入新课
对于方程5x-2=2x-2，根据等式的性质1，等号两边同时加 上2，得5x-2+2=2x-2+2，即5x=2x.这一步是对的.
七年级数学上册人教版一元一次方程的概念和解法复习(解析版)
一元一次方程的概念和解法复习（解析版）第一部分典例剖析+变式训练知识点1:一元一次方程的概念(只含有一个未知数,并且所含未知数的项的最高次数是一次的整式方程.)1．（2022春•淅川县期中）下列方程中：①x﹣2=2x；②x＝6；③2−y4=y−15；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x+2y＝0，其中一元一次方程的个数是（）A．3B．4C．5D．6思路点拨：根据一元一次方程的定义判断即可．解：①x﹣2=2x，分母中含有未知数，不是一元一次方程；②x＝6，是一元一次方程；③2−y4=y−15，是一元一次方程；④x2﹣4x＝3，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；⑤0.3x＝1，是一元一次方程；⑥x+2y＝0，方程中有2个未知数，不是一元一次方程．所以其中一元一次方程的个数是3．故选：A．总结升华：此题主要考查了一元一次方程的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．变式训练1．（2022春•安溪县期中）若x m+1+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为．思路点拨：根据一元一次方程的定义即可得出答案．解：∵x m+1+1＝0是关于x的一元一次方程，∴m+1＝1，∴m＝0．故答案为：0．总结升华：此题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．2．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（）A．0B．7C．8D．10思路点拨：根据一元一次方程的定义得出7﹣a ＝0且a ≠0，再求出a 即可． 解：∵方程（7﹣a ）x 2+ax ﹣8＝0是关于x 的一元一次方程， ∴7﹣a ＝0且a ≠0， 解得：a ＝7， 故选：B ．总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．3．（2022春•仁寿县期中）已知（m ﹣2）x |m |﹣1＝5是关于x 的一元一次方程，则m 的值为（ ） A ．﹣2B ．±2C ．2D ．0思路点拨：根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 解：∵（m ﹣2）x |m |﹣1＝5是关于x 的一元一次方程，∴{m −2≠0|m|−1=1， 解得m ＝﹣2． 故选：A ．总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确运用一元一次方程的定义． 知识点2: 方程的解(能够使方程左右两边相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解， 也叫方程的根)典例2 检验下列各数是不是方程4x ﹣3＝2x +3的解： （1）x ＝3； （2）x ＝﹣3．思路点拨：（1）将x ＝3直接代入方程的左右边进而判断即可； （2）将x ＝﹣3直接代入方程的左右边进而判断即可． 解：（1）当x ＝3时，左边＝12﹣3＝9，右边＝6+3＝9， ∵左边＝右边， ∴x ＝3是方程的解；（2）当x ＝﹣3时，左边＝﹣12﹣3＝﹣15，右边＝﹣6+3＝﹣3， ∵左边≠右边，∴x ＝﹣3不是方程的解．总结升华：此题主要考查了方程的解，正确计算得出方程左右边的值是解题关键． 变式训练1．（2021秋•兴庆区校级期末）如果关于x的方程a﹣x=x2+3a的解是x＝4，则a的值为（）A．﹣3B．3C．﹣5D．5思路点拨：把x＝4代入方程a﹣x=x2+3a得出a﹣4=42+3a，再求出方程的解即可．解：把x＝4代入方程a﹣x=x2+3a得：a﹣4=42+3a，解得：a＝﹣3，故选：A．总结升华：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．2．（2022春•奉贤区校级期末）如果关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，那么a的取值范围是（）A．a＝−1B．a＞−1C．a≠−1D．任意实数思路点拨：根据方程无解，确定出a的范围即可．解：∵关于x的方程（a+1）x＝a2+1无解，∴a+1＝0，解得：a＝﹣1．故选：A．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3．（2022春•丰泽区期末）若x＝3是关于x的方程ax﹣b＝5的解，则6a﹣2b﹣2的值为（）A．2B．8C．﹣3D．﹣8思路点拨：将x＝3代入ax﹣b＝5中得3a﹣b＝5，将该整体代入6a﹣2b﹣2中即可得出答案．解：将x＝3代入ax﹣b＝5中得：3a﹣b＝5，所以6a﹣2b﹣2＝2（3a﹣b）﹣2＝2×5﹣2＝8．故选：B．总结升华：本题考查了运用整体法求解一元一次方程的问题，熟练掌握整体法是解题的关键．4．（2021秋•肥西县月考）已知x＝3是关于x的方程2x﹣a＝4的解，则a的值是（）A．﹣2B．0C．2D．3思路点拨：直接利用方程的解的定义代入求解即可．解：∵x＝3是关于x的方程2x﹣a＝4的解，∴6﹣a＝4，解得a ＝2， 故选：C ．总结升华：本题考查了方程的解的定义，能使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，理解方程解的定义是关键． 5．（2021秋•市南区期末）方程2x ﹣1＝3与方程1−3a−x3=0的解相同，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．53思路点拨：先解方程2x ﹣1＝3，求得x 的值，因为这个解也是方程1−3a−x3=0的解，根据方程的解的定义，把x 代入求出a 的值． 解：解方程2x ﹣1＝3，得x ＝2， 把x ＝2代入方程1−3a−x3=0，得 1−3a−23=0， 解得，a =53． 故选：D ．总结升华：此题考查同解方程，本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．6．（2021春•杨浦区校级期末）关于x 的一元一次方程ax ＝3，下列对于该方程的解的说法中，正确的是（ ） A ．该方程一定有实数解 B ．该方程一定没有实数解C ．该方程不一定有实数解D ．上述说法都不对思路点拨：根据一元一次方程的解法即可求出答案． 解：由题意可知a ≠0， 此时方程的解为x =1a ， 故选：A ．总结升华：本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解法步骤，本题属于基础题型．知识点3:等式的性质：1.等式的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；2.等式两边都乘（或除以）同一个数（除数不为零），所得的结果仍是等式．） 典例3用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并说明根据等式的哪一条性质以及怎样变形的：（1）若5x ＝4x +7，则5x ﹣ ＝7； （2）若2a ＝1.5，则6a ＝ ； （3）若﹣3y ＝18，则y ＝ ；（4）若a +8＝b +8，则a ＝ ； （5）若﹣5x ＝5y ，则x ＝ ．思路点拨：（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案；（2）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；（3）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案；（4）等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立，可得答案； （5）等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案．解：（1）若5x ＝4x +7，则5x ﹣4x ＝7，依据是等是性质1，两边都减4x ； （2）若2a ＝1.5，则6a ＝4.5，依据是等是性质2，两边都乘以3； （3）若﹣3y ＝18，则y ＝﹣6依据是等是性质2，两边都除以﹣3； （4）若a +8＝b +8，则a ＝b 依据是等是性质1，两边都减8； （5）若﹣5x ＝5y ，则x ＝﹣y 依据是等是性质2，两边都除以﹣5； 故答案为：4x ；4.5；﹣6；b ；﹣y ．总结升华：本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 变式训练1．（2021秋•玄武区期末）下列等式的变形中，错误的是（ ） A ．如果a ＝2，那么a +2＝4 B ．如果a ＝﹣3，那么﹣2a ＝6C ．如果3a ＝5，那么a =35D ．如果a ＝﹣2，那么a 2＝4思路点拨：根据等式的性质解决此题．解：A ．根据等式的性质，如果a ＝2，那么a +2＝4，那么A 正确，故A 不符合题意． B ．根据等式的性质，如果a ＝﹣3，那么﹣2a ＝6，那么B 正确，故B 不符合题意． C ．根据等式的性质，如果3a ＝5，那么a =53，那么C 错误，故C 符合题意． D ．根据等式的性质，如果a ＝﹣2，那么a 2＝4，那么D 正确，故D 不符合题意． 故选：C ．总结升华：本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键． 2．（2021秋•罗源县期末）下列根据等式的性质正确变形的是（ ） A ．由x2=2，得x ＝1B ．由3（x ﹣2）＝6，得x ﹣2＝2C ．由x ﹣2＝6，得x ﹣2+2＝6D ．由2x +3＝x ﹣1，得2x +x ＝﹣1﹣3思路点拨：利用等式的性质2可对A 、B 选项进行判断；利用等式的性质1可对C 、D 选项进行判断．解：A ．由x2=2，得x ＝4，所以A 选项不符合题意；B ．由3（x ﹣2）＝6，得x ﹣2＝2，所以B 选项符合题意；C ．由x ﹣2＝6，得x ﹣2+2＝6+2，所以C 选项不符合题意；D ．由2x +3＝x ﹣1，得2x ﹣x ＝﹣1﹣3，所以D 选项不符合题意； 故选：B ．总结升华：本题考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．知识点4: 解一元一次方程的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1） 典例4（2022春•郸城县校级月考）解下列方程： （1）4x ﹣3（20﹣x ）＝3； （2）12(x −1)=2−15(x +2)；（3）x+24−2x−36=1；（4）0.3x−0.50.2−0.12−0.05x0.03=x ．思路点拨：根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可．解：（1）去括号得：4x ﹣60+3x ＝3， 移项得：4x +3x ＝3+60， 合并同类项得：7x ＝63， 系数化为1得：x ＝9；（2）去分母得：5（x ﹣1）＝20﹣2（x +2）， 去括号得：5x ﹣5＝20﹣2x ﹣4， 移项得：5x +2x ＝20﹣4+5， 合并同类项得：7x ＝21， 系数化为1得：x ＝3；（3）去分母得：3（x +2）﹣2（2x ﹣3）＝12， 去括号得：3x +6﹣4x +6＝12， 移项得：3x ﹣4x ＝12﹣6﹣6，合并同类项得：﹣x ＝0， 系数化为1得：x ＝0； （4）原方程可化为3x−52−12−5x 3=x ，去分母得：3（3x ﹣5）﹣2（12﹣5x ）＝6x ， 去括号得：9x ﹣15﹣24+10x ＝6x ， 移项得：9x +10x ﹣6x ＝15+24， 合并同类项得：13x ＝39， 系数化为1得：x ＝3．总结升华：此题主要考查了解一元一次方程的方法，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键． 变式训练1．（2021秋•南关区校级期末）解下列方程： （1）10x +9＝12x ﹣1； （2）12x ﹣3（x ﹣2）＝4；（3）5（x ﹣1）＝8x ﹣2（x +1）； （4）2x+13−5x−16=1．思路点拨：（1）方程移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）方程去去分母、括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （3）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （4）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 解：（1）10x +9＝12x ﹣1， 移项，得10x ﹣12x ＝﹣1﹣9， 合并同类项，得﹣2x ＝﹣10， 系数化为1，得x ＝5； （2）12x ﹣3（x ﹣2）＝4，去分母，得x ﹣6（x ﹣2）＝8， 去括号，得x ﹣6x +12＝8， 移项，得x ﹣6x ＝8﹣12， 合并同类项，得﹣5x ＝4， 系数化为1，得x =−45； （3）5（x ﹣1）＝8x ﹣2（x +1），去括号，得5x ﹣5＝8x ﹣2x ﹣2， 移项，得5x ﹣8x +2x ＝5﹣2， 合并同类项，得﹣x ＝3， 系数化为1，得x ＝﹣3； （4）2x+13−5x−16=1，去分母，得2（2x +1）﹣（5x ﹣1）＝6， 去括号，得4x +2﹣5x +1＝6， 移项，得4x ﹣5x ＝6﹣1﹣2， 合并同类项，得﹣x ＝3， 系数化为1，得x ＝﹣3．总结升华：本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．2．（2021秋•新民市期末）当x 取什么值时，代数式2x+32的值与1−x−13的值相等？ 思路点拨：根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x 的值． 解：根据题意得：2x+32=1−x−13，去分母得：6x +9＝6﹣2x +2， 移项合并得：8x ＝﹣1， 解得：x =−18．总结升华：此题考查了解二元一次方程，列出正确的方程是解本题的关键．知识点5: 一元一次方程解的情况讨论（对于方程b ax =，⑴若0≠a ，则方程只有惟一解abx =；⑴若0,0≠=b a ，则原方程无解；⑴若0,0==b a ，则原方程有无数个解．） 典例5 已知关于x 的方程x−23−mx 2+3=113． （1）当m 取何值时，方程有解？ （2）当m 取何整数时，方程的解是整数？（3）在（2）的条件下，a ，b 在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等，求（a +b +m ）2013．思路点拨：（1）方程去分母整理后，根据方程有解确定出m 的值即可； （2）将m 看作已知数表示出x ，根据x 为整数确定出整数m 即可；（3）根据题意得到a 与b 互为相反数，得到a +b ＝0，代入原式计算即可得到结果． 解：方程去分母得：2x ﹣4﹣3mx +18＝22， 整理得：（2﹣3m ）x ＝8，（1）当2﹣3m≠0，即m≠23时，方程解为x=82−3m；（2）由x=82−3m为整数，得到2﹣3m＝﹣1，﹣2，﹣4，1，2，4，﹣8，8，解得：m＝1，2，0，﹣2；（3）由题意得：a+b＝0，当m＝1时，原式＝1；当m＝2时，原式＝22013；当m＝0时，原式＝0；当m＝﹣2时，原式＝﹣22013．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．变式训练1．（2021秋•石景山区期末）设m为整数，且关于x的一元一次方程（m﹣5）x+m﹣3＝0．（1）当m＝2时，求方程的解；（2）若该方程有整数解，求m的值．思路点拨：（1）把m＝2代入原方程，得到关于x得一元一次方程，解之即可，（2）根据“m≠5，该方程有整数解，且m是整数”，结合一元一次方程的解题步骤，得到关于m的几个一元一次方程，解之即可．解：（1）当m＝2时，原方程为﹣3x﹣1＝0，解得，x=−1 3，（2）当m≠5时，方程有解，x=3−mm−5=−1−2m−5，∵方程有整数解，且m是整数，∴m﹣5＝±1，m﹣5＝±2，解得，m＝6或m＝4或m＝7或m＝3．总结升华：本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键：（1）正确掌握一元一次方程的解题步骤，（2）正确掌握一元一次方程的定义和一元一次方程的解题步骤．第二部分一元一次方程的概念和解法复习配套作业1．（2022•美兰区校级二模）代数式﹣2a+1与a﹣2的值相等，则a等于（）A．0B．1C．2D．3思路点拨：根据题意列等式方程，解一元一次方程即可．解：﹣2a+1＝a﹣2，3＝3a，a＝1，故选：B ．总结升华：本题考查了一元一次方程，做题关键是掌握解一元一次方程．2．（2021秋•滕州市校级期末）如果关于x 的方程6n +4x ＝7x ﹣3m 的解是x ＝1，则m 和n 满足的关系式是（ ） A ．m +2n ＝﹣1B ．m +2n ＝1C ．m ﹣2n ＝1D ．3m +6n ＝11思路点拨：虽然是关于x 的方程，但是含有三个未知数，主要把x 的值代进去，化出m ，n 的关系即可．解：把x ＝1代入方程6n +4x ＝7x ﹣3m 中 移项、合并同类项得：m +2n ＝1． 故选：B ．总结升华：本题考查式子的变形，知道一个未知数的值，然后代入化出另外两数的关系． 3．（2021秋•开县期末）关于x 的方程2x +m ＝1的解是方程3x ﹣2＝2x ﹣1的解的3倍，则m 的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣17C ．1D ．3思路点拨：求出第二个方程的解得到第一个方程的解，即可确定出m 的值． 解：3x ﹣2＝2x ﹣1， 解得：x ＝1，得到2x +m ＝1的解为x ＝3， 把x ＝3代入方程得：6+m ＝1， 解得：m ＝﹣5， 故选：A ．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（2022春•唐河县月考）若﹣5x 2y m﹣3与x n ﹣1y 是同类项，则方程nx ﹣m ＝5的解是（ ）A ．x ＝4B ．x ＝3C ．x ＝2D ．x ＝1思路点拨：首先根据﹣5x 2y m﹣3与x n ﹣1y 是同类项，可得：{m −3=1n −1=2，据此求出m 、n的值；然后根据解一元一次方程的方法，求出方程nx ﹣m ＝5的解即可． 解：∵5x 2y m﹣3与x n ﹣1y 是同类项，∴{m −3=1n −1=2， 解得：{m =4n =3，∴3x ﹣4＝5，移项，可得：3x ＝5+4， 合并同类项，可得：3x ＝9， 系数化为1，可得：x ＝3．故选：B ．总结升华：此题主要考查了同类项的含义和应用，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 5．（2021秋•朝阳区校级期中）写出一个满足“未知数的系数是﹣2，方程的解为3”的一元一次方程： ．思路点拨：由一元一次方程ax +b ＝0（a ≠0），结合题意写出一个满足条件一元一次方程即可．解：∵未知数的系数是﹣2，方程的解为3， ∴方程﹣2x +6＝0满足条件， 故答案为﹣2x +6＝0（答案不唯一）．总结升华：本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的一般形式及定义是解题的关键．6．（2021秋•阜新县校级期末）当x ＝ 时，单项式5a 2x +1b 2与8a x +3b 2是同类项． 思路点拨：本题考查同类项的定义（所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项）可得方程2x +1＝x +3，解方程即可求得x 的值． 解：由同类项的定义可知，2x +1＝x +3，解得x ＝2． 总结升华：同类项定义中的两个“相同”： （1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 7．（2021秋•银川校级期末）已知：x ＝4是关于x 的一元一次方程3a ﹣x =x2+3的解，则a ＝ ．思路点拨：把x ＝4代入方程3a ﹣x =x2+3得出3a ﹣4=42+3，再求出方程的解即可． 解：把x ＝4代入方程3a ﹣x =x 2+3得：3a ﹣4=42+3， 解得：a ＝3， 故答案为：3．总结升华：本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a 的一元一次方程是解此题的关键．8．（2021秋•兴庆区校级期末）若12a +1与2a−73互为相反数，则a 的值为 ．思路点拨：根据互为相反数的两个数的和为0得出方程，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 解：根据题意得：12a +1+2a−73=0， 3a +6+2（2a ﹣7）＝0，3a +6+4a ﹣14＝0， 3a +4a ＝14﹣6， 7a ＝8， a =87，所以当a =87时，12a +1与2a−73互为相反数，故答案为：87．总结升华：本题考查了解一元一次方程和相反数，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．8．（2021秋•罗源县期末）已知2x m ﹣2+3＝0是关于x 的一元一次方程，则m ＝ ．思路点拨：利用一次一次方程的定义，可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．解：∵2x m ﹣2+3＝0是关于x 的一元一次方程，∴m ﹣2＝1， 解得：m ＝3． 故答案为：3．总结升华：本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．9．（2021秋•巩义市期末）关于x 的一元一次方程2x +m ＝6，其中m 是正整数．若方程有正整数解，则m 的值为 ． 思路点拨：解关于x 的方程得到：x =6−m2，然后根据x 是正整数来求m 的值． 解：2x +m ＝6， 移项，得2x ＝6﹣m ， 系数化为1，得x =6−m2， ∵m 是正整数，方程有正整数解， ∴m ＝2或4． 故答案为：2或4．总结升华：本题考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．10．（2021秋•西宁期末）已知x ＝1是关于x 的方程ax +3x ＝2的解，则a ＝ ． 思路点拨：把x ＝1代入方程计算即可求出a 的值． 解：把x ＝1代入得：a +3＝2， 解得：a ＝﹣1．故答案为：﹣1．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．11．（2022春•朝阳区期中）若x ＝4是关于x 的方程2x ﹣3a ＝2的解，则a ＝ ． 思路点拨：把x ＝4代入方程计算即可求出a 的值． 解：把x ＝4代入方程得：8﹣3a ＝2， 解得a ＝2， 故答案为：2．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．12．（2022秋•宣州区校级月考）关于x 的方程x−43=−1的解是x ＝ ．思路点拨：通过去分母，移项、合并同类项解方程即可． 解：x−43=−1，去分母，得x ﹣4＝﹣3， 移项、合并同类项，得x ＝1． 故答案是：1．总结升华：本题考查了解一元一次方程．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化．13．（2022•南京模拟）若关于x ax +2x ＝1的解为1，则a ＝ ． 思路点拨：把x ＝1代入原方程，再解关于a 的方程即可． 解：∵关于x 的方程ax +2x ＝1的解为1， ∴a +2＝1， 解得：a ＝﹣1， 故答案为：﹣1．总结升华：本题考查的是一元一次方程的解的含义，掌握“方程的解使方程的左右两边相等”是解本题的关键．14．（2022•南京模拟）已知关于x 的一元一次方程12020x +3＝2x +b 的解为x ＝19，那么关于y 的一元一次方程12020（2y +1）+3＝2（2y +1）+b 的解y ＝ ．思路点拨：根据已知条件得出方程2y +1＝19，求出方程的解即可． 解：∵关于x 的一元一次方程12020x +3＝2x +b 的解为x ＝19，∴关于y的一元一次方程12020（y+1）+3＝2（y+1）+b中2y+1＝19，解得：y＝9，故答案为：9．总结升华：本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解两个方程之间的关系是关键．15．（2022春•沙坪坝区期末）若2x n﹣1＝3是关于x的一元一次方程，则n＝．思路点拨：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此解答即可．解：因为2x n﹣1＝3是关于x的一元一次方程，所以n﹣1＝1，解得n＝2．故答案为：2．总结升华：本题主要考查了一元一次方程的定义．解题的关键是明确一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0．16．（2021秋•河西区期末）已知关于x的方程a（a﹣2）x﹣4（a﹣2）＝0．当此方程有唯一的解时，a的取值范围是．当此方程无解时，a的取值范围是．当次方程有无数多解时，a的取值范围是．思路点拨：根据一元一次方程的定义和一元一次方程的解的定义进行解答．解：①当此方程有唯一的解时，该方程属于一元一次方程，则由原方程，得a（a﹣2）x＝4（a﹣2），解得，x=4(a−2) a(a−2)．a（a﹣2）≠0，解得，a≠0且a≠2．故答案是：a≠0且a≠2；②当此方程无解时，分母a（a﹣2）＝0，且a﹣2≠0，解得，a＝0．故答案是：a＝0；③当次方程有无数多解时，a﹣2＝0，解得，a＝2．故答案是：a＝2．总结升华：本题考查了一元一次方程的解的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 17．（2021秋•溧阳市期末）解下列方程： （1）2x ﹣5＝x +4； （2）32x =7+13x ；（3）5（2x ﹣1）＝2（1+2x ）+x ﹣2； （4）x −x+26=x2−1．思路点拨：（1）方程移项、合并同类项即可； （2）方程移项、合并同类项、系数化为1即可； （3）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （4）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 解：（1）2x ﹣5＝x +4， 移项，得2x ﹣x ＝5+4， 合并同类项，得x ＝9； （2）32x =7+13x ，移项，得32x −13x =7，合并同类项，得76x =7，系数化为1，得x ＝6；（3）5（2x ﹣1）＝2（1+2x ）+x ﹣2， 去括号，得10x ﹣5＝2+4x +x ﹣2， 移项，得10x ﹣4x ﹣x ＝2﹣2+5， 合并同类项，得5x ＝5， 系数化为1，得x ＝1； （4）x −x+26=x2−1，去分母，得6x ﹣（x +2）＝3x ﹣6， 去括号，得6x ﹣x ﹣2＝3x ﹣6， 移项，得6x ﹣x ﹣3x ＝2﹣6， 合并同类项，得2x ＝﹣4 系数化为1，得x ＝﹣2．总结升华：本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．18．（2021春•奉贤区期中）解关于x 的方程：ax ﹣x ＝﹣2（x +2）．思路点拨：去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 解：ax ﹣x ＝﹣2（x +2）， ax ﹣x ＝﹣2x ﹣4， ax ﹣x +2x ＝﹣4， （a +1）x ＝﹣4，当a +1≠0时，x =−4a+1， 当a +1＝0时，方程无解．总结升华：本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．19．（2021秋•海城区校级月考）已知y ＝1是方程2−13（m ﹣y ）＝2y 的解，求关于x 的方程m （x ﹣3）﹣2＝m （2x +5）的解．思路点拨：把y ＝1代入方程计算求出m 的值，代入所求方程计算即可求出解． 解：把y ＝1代入方程得：2−13（m ﹣1）＝2， 去分母得：6﹣m +1＝6， 解得：m ＝1，把m ＝1代入得：x ﹣3﹣2＝2x +5， 解得：x ＝﹣10．总结升华：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．20．（2022春•封丘县月考）已知代数式x4与代数式2−x 3．（1）当x 为何值时，这两个代数式的值相等？ （2）当x 为何值时，代数式x4的值比代数式2−x 3的值大2？（3）是否存在x ，使得这两个代数式的值互为相反数？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由，思路点拨：（1）根据题意列方程求解即可． （2）根据题意列方程求解即可． （3）根据题意列方程求解即可． 解：（1）x4=2−x 3，去分母得：3x ＝4（2﹣x ）， 去括号得：3x ＝8﹣4x ， 移项得：3x +4x ＝8，系数化为1得：x =87． （2）x4−2−x 3=2，去分母得：3x ﹣4（2﹣x ）＝24， 去括号得：3x ﹣8+4x ＝24， 移项得：3x +4x ＝24+8， 合并同类项得：7x ＝32， 系数化为1得：x =327． （3）x4+2−x 3=0，去分母得：3x +4（2﹣x ）＝0， 去括号得：3x +8﹣4x ＝0， 移项得：3x ﹣4x ＝﹣8， 合并同类项得：﹣x ＝﹣8， 系数化为1得：x ＝8．故存在x 使这两个代数式的值互为相反数，此时x ＝8．总结升华：本题考查解一元一次方程，解题关键是根据题意列方程并熟知解一元一次方程的基本步骤．21．（2020秋•白云区月考）当m 取什么整数时，关于x 的方程12mx −53=12（x −43）的解是整数？思路点拨：先求出方程的解，根据已知方程的解是正整数得出3m ﹣1＝1或2或3或6，求出符合的整数m 即可． 解：12mx −53=12（x −43），（12m −12）x =53−23， （m ﹣1）x ＝2， 则x =2m−1， ∵x 、m 都是整数，∴m ＝0或m ＝2或m ＝3或m ＝﹣1．总结升华：本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程的应用，能求出关于m 的方程是解此题的关键．22．（2021秋•鹿邑县期末）在有理数范围内定义运算“※”，其规则为a ※b =a−b2． （1）求2021※2022的值；（2）求方程x ※3＝2的解．思路点拨：（1）原式利用题中的规则把2021※2022转化为2021−20222，再进行计算即可得出答案；（2）原式利用题中的规则把x ※3＝2转化为一般的方程，再根据一元一次方程的解法求解．解：（1）原式=2021−20222=−12； （2）由题意可得：x−32=2，解得：x ＝7．总结升华：本题考查了解一元一次方程，根据规则转化出关于x 的一元一次方程是解题的关键．。
3.3解一元一次方程(二)去括号与去分母(第1课时)(课件)七年级数学上册(人教版)
则下半年每月平均用电为(x－2000) kW·h．
上半年共用电为：6x kW·h；
上半年共用电为：6(x－2000) kW·h．
根据题意列出方程6x＋6(x －2000)＝150000
怎样解这个方
程呢？
探究新知
6x + 6 ( x-2000 ) = 150000系数化为1，得来自−6 = 84
=−
3
4
x＝- .
3
例题讲解
(2)3 − 7( − 1) = 3 − 2( + 3)
解：去括号，得
− + = − −
移项，得
− + = − −
合并同类项，得
− = −
系数化为1，得
=
归纳总结
共得利息 0.36万元（不计利息税），求甲、乙两种存款各多少
万元？
解：解：设甲种存款 万元，乙种存款 万元.
根据题意，得1.5%x+2%(20-x)=0.36.
解得，x=8，所以20-8=12.
答：甲种存款8万元，乙种存款12万元.
中考链接
1．（2023·甘肃天水一模）解方程−2 2 + 1 = ， ，以下去括号正
D． 2 6 3x 2
3．若 x 3 是一元一次方程2( + ) = 5（k 为实数）的解，则 k 的值是（
A．
1
2
1
B． 2
C．
11
2
D．
11
2
D）
分层作业
【基础达标作业】
4．去掉方程3( − 1) − 2( + 5) = 6中的括号，结果正确的是( B )
完整版)人教版七年级上数学一元一次方程经典题型讲解及答案
完整版)人教版七年级上数学一元一次方程经典题型讲解及答案1.为了吸引顾客，某商店开张时所有商品都按八折优惠出售。
已知一种皮鞋的进价为60元一双，商家按八折出售后获得40%的利润率。
问这种皮鞋的标价和优惠价各是多少元？2.一家商店将某种服装的进价提高40%后标价，再按八折优惠卖出，每件仍获得15元的利润。
问这种服装的进价是多少元？3.一家商店将一种自行车的进价提高45%后标价，再按八折优惠卖出，每辆仍获得50元的利润。
问这种自行车的进价是多少元？4.某商品的进价为800元，出售时标价为1200元。
由于积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%。
问最多可以打几折？5.一家商店将某种型号的彩电的原售价提高40%，然后打广告写上“大酬宾，八折优惠”。
经过顾客投诉，被罚款2700元，罚款是非法收入的10倍。
问每台彩电的原售价是多少元？6.甲独自完成一项工作需要10天，乙独自完成需要8天，两人合作几天可以完成？7.甲独自完成一项工程需要15天，乙独自完成需要12天。
现在甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下的工程由乙单独完成。
问乙还需要几天才能完成全部工程？8.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管。
单独开甲管6小时可注满水池，单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空。
现在先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管。
问打开丙管后几小时可以注满水池？9.输入一批工业最新动态信息到管理储存网络中，甲独自完成需要6小时，乙独自完成需要4小时。
甲先做了30分钟，然后甲、乙一起完成。
问甲、乙一起完成还需要多少小时？10.某车间有16名工人，每人每天可以加工甲种零件5个或乙种零件4个。
已知每加工一个甲种零件可以获得16元的利润。
现在一部分工人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。
请问加工甲种零件的工人有多少人？1.这个车间一天可以获利60个乙种零件，因为每个乙种零件可以获利24元，而总获利是1440元。
新人教版七年级数学上册一元一次方程整章教案和习题
3．1．1一元一次方程[教学目标]理解一元一次方程的概念，会识别一元一次方程；了解方程的解，会验证方程的解；知道怎样列方程解决实际问题，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
[重点难点]一元一次方程和方程的解的概念是重点；怎样列方程解决实际问题是难点。
[教学过程]一、问题导入含有未知数的等式叫做方程。
方程把问题中的未知数与已知数的联系用等式的形式表示出来。
研究问题时，要分析数量关系，用字母表示未知数，列出方程，然后求出未知数。
怎样根据问题中的数量关系列出方程？怎样解方程？二、怎样列方程问题 汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。
王家庄到翠湖的路程有多远？ 地 名时 间 王家庄10：00 青 山13：00 秀 水 15：001、汽车从王家庄行驶到青山用了多少时间？从青山到秀水用了多少时间？2、请你用算术方法解决这个问题。
3、如果设王家庄到翠湖的路程为x 千米，那么王家庄距青山多少千米？王家庄距秀水多少千米？4、由于汽车是匀速行驶，可知各段路程的车速相等。
你能据此列出方程吗？列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含未知数的等式——方程。
列方程的过程可以表示如下：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
三、一元一次方程的概念例1 根据下列问题，设未知数并列出方程：（1）用一根长24㎝的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？ 50千米 70千米 王家庄青山 翠湖 秀水 x 千米 实际问题一元一次方程 设未知数，列方程（3）某校女生占全体学生数的52％，比男生多80人，这个学校有多少学生？解：（1）设正方形的边长为x厘米，可列方程4x=24 ①（2）设x月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间。
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解一元一次方程（讲义）
➢课前预习
1.含有_______的_______叫做方程．
2.等式的基本性质
性质1：
等式两边同时加上（或减去）_________，所得结果仍是等式．
性质2：
等式两边同时乘___________（或_____________________），所得结果仍是等式．
3.已知a，b，x，y都是未知数，给出下列式子：
①；②；③；④；
⑤；⑥；⑦．
其中是方程的有_________________．（填序号）
4.解下列方程：
（1）；（2）．
➢知识点睛
1.一元一次方程的定义：只含有___________，_______________的_______方程叫做一
元一次方程．
2.使方程左右两边的值________的___________叫做方程的解．
3.等式的基本性质：①等式两边同时加上（或减去）同一个__________所得结果仍是
___________；
②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个_________的数）所得结果仍是
___________．
4.解方程的五个步骤：①______________；②______________；③_____________；④
______________；⑤_______________．
➢精讲精练
1.下列各式中，是一元一次方程的为_________（填序号）．
①；②3x 5y=1；③；④3+7=10．
2.若是关于x的一元一次方程，则a=______．
3.如果x=2是方程的解，那么a=__________．
4.解下列方程：
（1）；
解：移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（2）；
（3）；
解：去括号，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（4）；
（5）；
解：去分母，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（6）；
（7）；解：去分母，得
去括号，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
解：原方程可化为
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
（12）．
5.m为何值时，代数式的值与代数式的值的和等于5？
【参考答案】
➢课前预习
1.未知数等式
2.同一个数同一个数除以同一个不为0的数
3.④⑤⑥⑦
4.（1）（2）
➢知识点睛
1.一个未知数并且未知数的指数都是1 整式
2.相等未知数的值
3.代数式，等式不为0，等式
4.去分母去括号移项合并同类项
系数化为1
➢精讲精练
1.①
2.-1
3. 2.5
4.（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）；（9）；
（10）；（11）；（12）．5.。