自回归移动平均模型
【生产管理】计量学1-自回归移动平均模型分析
23
当系数序列绝对可加时，MA(∞)过程的均值、 方差和协方差，都可以从MA(∞)的相应结果简 单推广得到：
E(Yt )
lim
j
E(
t
1 t 1
2 t 2
j t j )
0
Var(Yt )
lim
j
E(t
1 t 1
2 t 2
jt j )2
lim
j
2
(1
12
2 j
)
k Cov(Yt ,Ytk ) (k k 1 1 k22
32
性质
1 1 2
k 1 k 1 2 k 2
0
11
2 2
2
(1
2
)
2
(1 2 )[(12 )2
12
]
(1
2
)
2
(1 2 )[(11 2 )(1 1 2 )]
33
3、AR(p)模型
AR(p)模型为：
p
Yt 1Yt 1 pYt p t iYt i t
这些模型分别记为MA(2)、MA(q)和MA(∞)。
9
引进滞后算子L（ Lt t1, L2t t2 , ），移动
平均模型可分别表示为：
Yt
Yt t t1 (1 L)t (L)t
Yt t 1t1 2t2 (11L 2L2 )t 2 (L)t
q
Yt j t j (11L 2L2 q Lq )t q (L)t j0
12
（三）自回归滑动平均模型
既包含一系列白噪声扰动的加权平均，也包含 时间序列本身滞后项加权平均的混合时间序列 过程。这样的过程称为“自回归移动平均过 程”，记为ARMA。
最简单的自回归移动平均过程包括一阶自回归 项和一阶移动平均项，即
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析
自回归AR模型、移动平均MA模型与自回归移动平均ARMA模型的比较分析系统中某一因素变量的时间序列数据没有确定的变化形式，也不能用时间的确定函数描述，但可以用概率统计方法寻求比较合适的随机模型近似反映其变化规律。
(自变量不直接含有时间变量,但隐含时间因素)1．自回归AR(p)模型（R：模型的名称 P：模型的参数）（自己影响自己，但可能存在误差，误差即没有考虑到的因素）(1)模型形式（εt越小越好，但不能为0：ε为0表示只受以前Y的历史的影响不受其他因素影响）yt=φ1yt-1+φ2yt-2+……+φpyt-p+εt式中假设：yt的变化主要与时间序列的历史数据有关，与其它因素无关；εt不同时刻互不相关，εt与yt历史序列不相关。
式中符号：p模型的阶次，滞后的时间周期，通过实验和参数确定；yt当前预测值，与自身过去观测值yt-1、…、yt-p是同一序列不同时刻的随机变量，相互间有线性关系，也反映时间滞后关系；yt-1、yt-2、……、yt-p同一平稳序列过去p个时期的观测值；φ1、φ2、……、φp自回归系数，通过计算得出的权数，表达yt 依赖于过去的程度，且这种依赖关系恒定不变；εt随机干扰误差项，是0均值、常方差σ2、独立的白噪声序列，通过估计指定的模型获得。
(2)识别条件当k>p时，有φk=0或φk服从渐近正态分布N(0,1/n)且(|φk|>2/n1/2)的个数≤4.5%，即平稳时间序列的偏相关系数φk为p步截尾，自相关系数rk逐步衰减而不截尾，则序列是AR(p)模型。
实际中，一般AR过程的ACF函数呈单边递减或阻尼振荡，所以用PACF函数判别(从p阶开始的所有偏自相关系数均为0)。
(3)平稳条件一阶：|φ1|<1。
二阶：φ1+φ2<1、φ1-φ2<1、|φ2|<1。
φ越大，自回归过程的波动影响越持久。
(4)模型意义仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测目标的影响和作用，不受模型变量相互独立的假设条件约束，所构成的模型可以消除普通回归预测方法中由于自变量选择、多重共线性等造成的困难。
SAS学习系列39时间序列分析Ⅲ—ARIMA模型
SAS学习系列39时间序列分析Ⅲ—ARIMA模型ARIMA模型（自回归移动平均模型）是一种广泛应用于时间序列分析中的统计模型。
在时间序列数据中，存在着一定的趋势和季节性变动，ARIMA模型可以帮助我们揭示和预测这些变动。
ARIMA模型由三个部分组成：自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）。
下面我们具体来介绍一下这三个部分的含义和作用。
首先是自回归（AR）部分。
自回归是指当前时刻的数值与前几个时刻的数值之间存在相关性，即当前时刻的数值与之前一段时间的数值有关。
AR模型通过计算时间序列与其前几个时刻的线性组合来预测未来的值。
AR模型的阶数p表示使用多少个历史时刻的数值来进行预测。
其次是差分（I）部分。
差分是指对时间序列进行差分处理，即对相邻两个时刻的数值进行相减，目的是去除时间序列中的趋势性。
差分阶数d表示对时间序列进行差分的次数，通常根据时间序列的趋势性确定。
最后是移动平均（MA）部分。
移动平均是指当前时刻的数值与前几个时刻的误差的加权和有关，即通过计算与历史误差的加权平均来预测未来的值。
MA模型的阶数q表示使用多少个历史误差来进行预测。
通过将这三个部分合并在一起，就可以构建ARIMA模型。
ARIMA模型可以表示为ARIMA(p,d,q)，其中p是自回归模型的阶数，d是差分阶数，q是移动平均模型的阶数。
在SAS中，可以使用PROCARIMA来建立ARIMA模型。
首先需要通过分析时间序列的自相关图、偏自相关图和ACF/PACF图来确定ARIMA模型的阶数。
然后使用PROCARIMA来估计模型参数，并进行模型拟合和预测。
ARIMA模型在时间序列分析中应用广泛，可以用于预测股票价格、商品销量、气温等数据的变动趋势。
此外，ARIMA模型还可以用于检测时间序列数据的稳定性和平稳性，以及识别时间序列中的异常值和异常模式。
总之，ARIMA模型是一种常用的时间序列分析工具，能够帮助我们揭示和预测时间序列数据中的趋势和季节性变动。
自回归移动平均模型
线性时间序列
z 如果要生成一个不独立的序列，我们可以利用白
噪声的线性组合，
∞
∑ xt = at +ψ 1at−1 +ψ 2at−2 + ... = ψ j at− j
j=0
z 其中，ψ0=1，{at}为白噪声序列。
z 平实均际而上生，成上观式测将序白列噪x声t。{a依t}这的种现方行式值生和成过的去过值程的 称为线性过程，实际上是移动平均过程。
矩都不随时间的变化而变化。
{ } { } z 强平稳表明了 xt1 和 xt1+k的概率分布相同，
z
xt1 , xt2 的联合分布和 xt1+k , xt2 +的k 联合分布相同，…，
{ } { } z xt1 , xt2 ," xtn 同。
的联合分布和
xt1 , xt2 ," xtn
的联合分布相
7
z 2研与,…究其}时过间间去的序值动{列态xt{-相1x,t}x关的t-2性,目…。的}存如，在果就着用是线线分性性析关模xt系与型。其分过析去，值意{x味t-1着, x3xt-t
滞后算子
z 滞后算子“L”是这样定义的 Lxt = xt−1
z Lxt就是时间序列{xt}在第t-1时刻的值xt-1
z 自相关函数(ACF)定义为， ρk = γ k γ 0
z 间对系“，于相它每似可个”的以k，度作ρ量为k是。xt过的程一在次相实隔现时与间时为移kk的后一的对同值一的次相实关现关之 z 注=要ρ。意-k。，自ρk相只关是函k的数函在数建，立与自观回测归值移的动时平期均t无模关型，时而非且常，重ρk
z 因此，当k=0时，则 γ 0 − φγ −1 = σ 2 = γ 0 − φγ 1
时序预测中的自回归集成移动平均模型介绍(六)
时序预测中的自回归集成移动平均模型介绍时序预测是一种对时间序列数据进行预测的技术，它在许多领域都有广泛的应用，比如股票市场预测、天气预测、交通流量预测等。
其中，自回归集成移动平均（ARIMA）模型是一种常用的时序预测模型，它结合了自回归（AR）模型和移动平均（MA）模型的特点，能够对非平稳时间序列数据进行建模和预测。
自回归模型是基于时间序列数据自身的历史值进行预测的模型，它假设当前观测值与过去的观测值之间存在一定的相关性。
而移动平均模型则是基于时间序列数据的随机误差项进行预测的模型，它假设当前观测值与过去的随机误差项之间存在一定的相关性。
ARIMA模型则将这两种模型结合起来，可以同时考虑时间序列数据的自相关性和随机性，从而更好地进行预测。
ARIMA模型的参数分为三部分：自回归阶数（p）、差分阶数（d）和移动平均阶数（q）。
其中，自回归阶数（p）表示当前观测值与过去p个观测值之间的相关性；差分阶数（d）表示为使时间序列数据变得平稳而进行的差分操作的次数；移动平均阶数（q）表示当前观测值与过去q个随机误差项之间的相关性。
通过对这三个参数的调整，可以构建不同阶数的ARIMA模型，从而适应不同的时间序列数据。
除了单独使用ARIMA模型外，还可以将多个ARIMA模型进行集成，得到集成ARIMA模型。
集成ARIMA模型可以通过对不同的ARIMA模型进行加权平均或者组合，从而得到更准确的预测结果。
集成ARIMA模型的好处在于能够充分利用不同ARIMA模型的优势，从而提高预测的准确性和鲁棒性。
在实际应用中，我们可以通过以下步骤来构建ARIMA模型和集成ARIMA模型。
首先，我们需要对时间序列数据进行可视化和平稳性检验，以确定合适的差分阶数（d）。
然后，我们可以通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）来确定合适的自回归阶数（p）和移动平均阶数（q）。
接下来，我们可以使用最大似然估计等方法来估计ARIMA模型的参数，并进行模型诊断和残差分析。
季节求和自回归移动平均模型python
季节求和自回归移动平均模型（Seasonal Autoregressive Integrated Moving Average, SARIMA）是一种用于时间序列分析和预测的统计模型。
它是ARIMA模型的一种扩展，能够有效地捕捉时间序列数据中的季节性变化和趋势。
在Python中，可以使用statsmodels库来实现SARIMA模型的建模和预测。
本文将介绍如何使用Python实现SARIMA模型，包括数据准备、模型训练和预测等步骤。
1. 数据准备在构建SARIMA模型之前，首先需要准备时间序列数据。
通常，时间序列数据可以是一组按时间顺序排列的观测值，比如股票价格、销售数据等。
在Python中，可以使用pandas库来读取和处理时间序列数据。
2. 可视化分析在准备好时间序列数据之后，可以对数据进行可视化分析，以了解数据的趋势和季节性变化。
可以使用matplotlib库来绘制时间序列数据的折线图、自相关图和偏自相关图等，来分析数据的特性。
3. 模型选择在数据准备和可视化分析之后，需要选择适合时间序列数据的SARIMA模型。
选择合适的模型需要考虑到数据的季节性、趋势和周期性等特征。
可以使用自相关图和偏自相关图来辅助选择合适的模型参数。
4. 模型训练选择好模型参数之后，可以使用statsmodels库中的SARIMAX类来训练SARIMA模型。
在训练模型时，需要将时间序列数据进行差分处理，以使数据平稳化，然后使用最大似然估计方法来估计模型的参数。
5. 模型诊断训练好模型之后，需要对模型进行诊断，以确保模型的拟合效果和预测效果。
可以使用残差的自相关图和偏自相关图来检验模型的合适性，如果残差序列存在自相关性，则需要调整模型参数或者进行进一步的差分处理。
6. 模型预测经过模型训练和诊断之后，可以使用训练好的SARIMA模型来进行未来时间点的预测。
可以使用模型的predict方法来进行预测，同时也可以通过置信区间来评估预测结果的可靠性。
自回归移动平均模型课件
1）均值E(Xt )= 是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt )=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt , Xt +k)=k 是只与时期间隔k 有关，
第一节 随机时间序列的特征
第二节 随机时间序列分析模型
第三节 协整分析与误差修正模型
第四节 向量自回归模型
自回归移动平均模型
1
§4.1 随机时间序列的特征
一、随机时间序列模型简介 二、趋势平稳与差分平稳 三、时间序列平稳性的检验
自回归移动平均模型
2
一、随机时间序列模型简介
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为时间序 列(time series)。
(**)
检验（*）式是否存在单位根=1，也可通 过（**）式判断是否有 =0。
自回归移动平均模型
20
一般地:
检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验带 有截距项的一阶自回归模型
Yt = +Yt-1+ t 中的参数是否小于1。
（*）
或者：检验其等价变形式
Yt = +Yt-1+ t 中的参数是否小于0 。
中减去 a + t，结果是一个平稳过程。
自回归移动平均模型
13
一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的 确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：
Y t a 1 t2 t2 n tn u t (**)
t = 1, 2, , T
同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预 测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能 准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果 Yt 能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平 稳序列，称为退势平稳过程。
arima模型
arima模型ARIMA模型（英语：AutoregressiveIntegratedMovingAverage model），差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型（移动也可称作滑动），是时间序列预测分析方法之一。
ARIMA(p，d，q)中，AR是“自回归”，p为自回归项数；MA为“滑动平均”，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）。
“差分”一词虽未出现在ARIMA的英文名称中，却是关键步骤。
定义非平稳时间序列，在消去其局部水平或者趋势之后，其显示出一定的同质性，也就是说，此时序列的某些部分与其它部分很相似。
这种非平稳时间序列经过差分处理后可以转换为平稳时间序列，那称这样的时间序列为齐次非平稳时间序列，其中差分的次数就是齐次的阶。
将记为差分算子，那么有对于延迟算子，有因此可以得出设有d阶其次非平稳时间序列，那么有是平稳时间序列，则可以设其为ARMA(p,q)模型，即其中，分别为自回归系数多项式和滑动平均系数多项式。
为零均值白噪声序列。
可以称所设模型为自回归求和滑动平均模型，记为ARIMA(p,d,q)。
当差分阶数d为0时，ARIMA模型就等同于ARMA模型，即这两种模型的差别就是差分阶数d是否等于零，也就是序列是否平稳，ARIMA模型对应着非平稳时间序列，ARMA模型对应着平稳时间序列。
建立ARIMA模型的方法步骤时间序列的获取时间序列的获取可以通过实验分析获得，亦或是相关部门的统计数据。
对于得到的数据，首先应该检查是否有突兀点的存在，分析这些点的存在是因为人为的疏忽错误还有有其它原因。
保证所获得数据的准确性是建立合适模型，是进行正确分析的第一步保障。
时间序列的预处理时间序列的预处理包括两个方面的检验，平稳性检验和白噪声检验。
能够适用ARMA模型进行分析预测的时间序列必须满足的条件是平稳非白噪声序列。
对数据的平稳性进行检验是时间序列分析的重要步骤，一般通过时序图和相关图来检验时间序列的平稳性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 • Q 统计量近似地服从自由度为k 的 分布。如
果计算出Q 值大于显著性水平 α下的临界值，就 有1-α的把握拒绝所有k (k > 0)同时为0的原假设。
二、趋势平稳与差分平稳随机过程
1. 确定性时间趋势
描述非平稳经济时间序列一般有两种方法，一 种方法是包含一个确定性时间趋势： (*) Y a t u
• 多次差分无法变为平稳的时间序列称为非单 整的(non-integrated)。
6. 自相关函数、Q统计量
随机时间序列 Yt 的自相关函数 (autocorrelation function, ACF)： k=k / 0 自相关函数是关于滞后期k的递减函数。 对一个随机过程只有一个实现(样本), 因此， 只能计算样本自相关函数(Sample autocorrelation function)：
2. 平稳性与经典回归
经典计量模型的数学基础是极限法则，以独立随机 抽样为样本，如果模型设定正确，模型随机误差项 满足极限法则和由极限法则导出的基本假设，继而 进行的参数估计和统计推断是可靠的。 以时间序列数据为样本，破坏了随机抽样的假定， 则经典计量模型的数学基础能否被满足成为一个重 要问题。 对照极限法则和时间序列的平稳性条件研究发现， 如果模型设定正确，并且所有时间序列是平稳的， 时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定，模型随 机误差项仍然满足极限法则。
3. 白噪声和随机游走
一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同 方差的独立同分布序列： Xt = t ， t ~ N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。
由定义知：白噪声序列是平稳的。
另一个简单的随机时间列序被称为随机游走 (random walk)，该序列由如下随机过程生成： Xt = Xt-1 + t 这里，t 是一个白噪声, t ~ N(0,2)。 该序列 同均值，但方差不同：
T k t 1
ˆk
(Y
t T
Y )(Yt k Y )
2 ( Y Y ) t t 1
k k
• 为了检验自相关函数的某个数值 ρk 是否为0， 可以用Bartlett的研究结果：如果时间序列由白 噪声生成，则对所有k > 0， k ~ N(0, 1/T ) • 为了检验所有k > 0的自相关函数 ρk 都为0的联 合假设，可以采用Box-Pierce的Q 统计量：
对随机游走序列Xt取一阶差分(first difference)：
X t X t X t 1 t
由于 t 是一个白噪声，则序列{ΔXt }是平稳的。 这提示我们如果一个时间序列是非平稳的，常 常可以通过取差分的方法形成平稳序列。
如果一个时间序列是非平稳的，经过一次或多 次差分后成为平稳序列，产生这样的非平稳序列 的随机过程称为齐次随机过程。原序列转化为平 稳序列所需的差分次数称为齐次的阶数。
t t
其中 ut 是平稳序列；a + t 是线性趋势函数。
这种过程也称为趋势平稳的，因为如果从式 (*)
中减去 a + t，结果是一个平稳过程。
一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的
确定性时间趋势，例如可能存在多项式趋势：
Yt a 1 t 2 t 2 来自t = 1, 2, , T
• E(Xt ) = E(Xt -1) X1 = X0 + 1 X2 = X1 + 2 = X0 + 1 + 2 …… Xt = X0 + 1 + 2 +… + t
• var(Xt ) = t2， Xt的方差与时间 t 有关，而非常 数，因此随机游走是非平稳序列。
4. 齐次非平稳过程
如果Yt 是一阶齐次非平稳过程，则序列：
Wt =Yt −Yt-1= Yt
就是平稳的。
如果Yt 是二阶齐次非平稳过程，则序列：
Wt = Yt − Yt-1= 2Yt
就是平稳的。
5. 单整与非单整
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序 列，也称原序列是1阶单整(integrated of 1)序列, 记为I(1)过程。如果经过d 次差分后变成平稳序 列, 则称原序列是d 阶单整(integrated of d), 记为 I(d)。 • I(0)代表平稳时间序列。
第四章 时间序列计量经济学模型的 理论与方法
第一节 随机时间序列的特征
第二节 随机时间序列分析模型
第三节 协整分析与误差修正模型
第四节 向量自回归模型
§4.1 随机时间序列的特征
一、随机时间序列模型简介 二、趋势平稳与差分平稳 三、时间序列平稳性的检验
一、随机时间序列模型简介
一个标有时间脚标的随机变量序列被称为时间序 列(time series)。 前提假设：时间序列是由某个随机过程 (Stochastic process) 生成的。即，假定序列 X1,X2,…,XT 的每一个数值都是从一个概率分布中 随机得到。当收集到一个时间序列数据集时，就 得到该随机过程的一个可能结果或实现 (realization)。
n t n ut
(**)
同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预
测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，
能准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。 如果 Yt 能够通过去势方法排除确定性趋势，转 化为平稳序列，称为退势平稳过程。
2. 差分平稳过程
1. 时间序列的平稳性
假定某个时间序列是由某一随机过程生成，即 假定时间序列Xt的每一个数值都是从一个概率分 布中随机得到，如果时间序列Xt 满足： 1）均值E(Xt )= 是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt )=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt , Xt +k)=k 是只与时期间隔k 有关，与时间t 无关的常数； 则称该随机时间序列是平稳的（stationary)， 而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。