概率论与数理统计习题7参考答案

X X X 4
3
9
1
2
39
3
故有 Var(ˆ4) Var(ˆ2) Var(ˆ3) Var(ˆ1)
7.7 证明（1）因为 X 服从[
]上的均匀分布，故
E(X ) 1 1
2
2
E(X ) E( X ) 1 故样本均值不是 的无偏估计 2
（2）由（1）可知 的矩估计为 ˆ X 1 2
习题 7 参考答案
7.1 解：因为:
是抽自二项分布 B（m，p）的样本，所以总体的期望为
E(X ) mp ，用样本均值
X
代替总体均值 E( X ) ，得
p
的矩估计为
pˆ
X m
。
似然函数为 L( p) Cmp px1 (1 p)mx1
m
m
Cmp pxm (1
p) m xm
xi (Cmp )m p i1 (1
2
2
c 因为对Var(ˆ) 关于 c 求二阶导可得
2Var(ˆ)
2
2
2 2 1 2 2 0
2
故当 c
2
2
2 时Var(ˆ) 达到最小。
1 2
7.9 解(1)根据题意和所给的数据可得
Z Z 0.01 0.05, n 16 ,
1.96,
0.025
2
2 , X 2.125
2
Z n2
n
2)
i1
1 2
(Xi 2 2
)2
2
n 2
1
2
2
n
i1
(Xi
)2
(X ) 取对数得: ln L(
2) n ln(2 ) n ln(
2
2
2) 1 2
n
2 i1
i
2
(X ) 对
2 求偏导并令它等于零有
ln L( 2
2)
n
2
2 21
n
4 i 1
i
2
0
解得 2 的似然估计值为
ˆ
2
1 n
(X n
i 1
i
)2
7.6 解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知
e E(x)
xf (x)dx
x 1
x
dx
-
0
Var(X ) 2
ˆ X (1) E( ) E( )
1
1
E (
ˆ) 2
E(X1 X2)
2
1 2
(E( X1)
E( X2))
1 2
• 2
E (
X 的密度函数为 p(x) 1 故它的似然函数为
I I L( )
1
n
n
i1
1
{0 }
n
Xi
要使 L( ) 达到最大，首先一点是示性函数的取值 X{ }
(n)
应该为 1，其次是1 n 尽可能大。由于1 n 是 的单调减函数，所以 的取值应该尽
可能小，但示性函数为 1 决定了 不能小于 ,因此给出 的最大似然估计ˆ
0.012 1.96 0.0049 16
所以 的置信区间为
Z Z [X , X ] [2.125 0.0049 ,2.125 0.0049 ] [2.1201,2.1299 ]
n2
n2
t (2) 0.05 n 16 X 2.125 (0.025) 2.1315 15
S X X 2 1 15 15 i1
又 E(ˆ) E(X 1) 1 1 故它是
2
22
无偏估计.
7.8
解;因为
Var
(ˆ)
Var
(cˆ1
(1
c)ˆ
)
2Leabharlann c221
(1 c)
2
2
2
要使Var(ˆ) 最小则对Var(ˆ) 关于 c 求一阶导并令其等于零可得
Var(ˆ) 2c c
2
1 2(1 c)
2
2 0
2
解得
c
2 2
1
ˆ) 3
E ( X1
2X2)
3
1 3
(E(
X1)
2E(
X2))
1 3
• 3
E (
ˆ) 4
E(
X)
E(X1
X2
3
X3 )
1 3
(E( X1)
E( X2)
E( X3))
1 3
• 3
故这四个估计都是 的无偏估计..
ˆ X （2） Var( ) Var( ) 2
1
1
ˆ X X Var( ) Var( 1
(mxi ) p) i1
，
m
m
对它们两边求对数可得 ln(L( p)) m ln(Cmp ) xi ln p (m xi ) ln(1 p), 对 p 求导
i 1
i 1
并令其为
0
得 ln(L( p)) p
m i 1
xi
/
p
m i 1
(m xi ) /(1
p)
0 ，得
p
的极大似然估计为
n
i1
xi)
n
ln
n
i 1
i
对 求导并令其为 0 得
x ln(L()) n n
i1
0
i
即可得 的似然估计值为 ˆ 1 1
x 1 n
n i1
i
x
7.3 解:记随机变量 x 服从总体为[0, ]上的均匀分布，则
E(X ) 0 22
， 令 X E( X ) ，故
的矩估计为ˆ 2X 。
n
xi
i 1
pˆ m X mm
e 7.2 解： E(X )
x • xdx 1
0
，令 X E( X ) ，则 的矩估计为
ˆ 1 1 E(x) X
由概率密度函数可知似然函数为：
n
e e e e L()
x1 •
x2 • • •
x n
n xi i1
对它们两边求对数可得
n
e x ln(L()) ln(
1
n
1 { 2}
n
x x (1) (n)
x{ (n) }
x 2
(1)
要使 L( ) 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为 1，其次是1 n 尽可能大。由 于1 n 是 的单调减函数，所以 的取值应该尽可能小，但示性函数为 1 决定了 不
能小于 ,因此给出 的最大似然估计ˆ .
e (2 ) e 7.5 解:似然函数为: L(
2 ) 1 (Var(
) Var(
)) 1 2 2 2
X X 2
2
4
1
24
2
Var(
ˆ) 3
Var(X1 2X2)
3
1 9
(Var(X1)
4Var(X2))
1 9
5
52
2 9
ˆ X X X Var( ) Var( 1
2
3) 1 (Var(
) Var(
) Var(
)) 1 3 2 2
i
2 0.00029 3 即 S 0.0171
所以 的置信区间为
t t [X S ( ), X S ( )] [2.125 0.0171 2.1315 ,2.125 0.0171 2.1315 ] [2.116,2.1406 ]
n 15 2
n 15 2
16
16
（示性函数 I=
， =min{
},
=max{
}）
7.4 解:记随机变量 x 服从总体为[ , ]上的均匀分布，则
E(X ) 2 3 22
, 令 X E( X ) ,所以
的矩估计为ˆ 2 X 3
X 的密度函数为 p(x) 1 故它的是似然函数为
I I I L()
1
n
n
i1
{ 2 } Xi