重庆专升本高等数学模拟试题一(各种题精心整理)22405
重庆市专升本高等数学模拟试卷(一)
?选择题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，每项只有一个正确答案，请把 所选项前的字母填在括号内)
(A) In cosx c (B) In cosx c (C) In sinx c
(D) In sin x c
2 y gtan 2(x 3y)的通解为
k ( k 0 )，则正项级数
U n 的敛散性为
n 1
围成的曲边梯形面积为(
)
b
b
(A)
f (x)dx
a (B)
f (x)dx
a
b
b
(C) a f (x) dx
(D)
a f(x)dx
5.下列级数发散的是( )
3 4n 2
n
1
A ?
( 1)
B ?
( 1)
n 1
(n 1)(n 2)
n 1
n 1
n 1
1 1
C
( 1) 了
D ?
3
n 1
3
n 1 一
(2n 1)2
4?设y f (x)为a,b 上的连续函数，则曲线
?填空题(本大题共
5小题，每小题4分，共20分，请把正确结果填在划线上)
1. lim xsin
x
(A) 0
()
(B)
1
2?设 F (x)是 f (x)在 (C)
(D)
2
上的一个原函数，且
F(x)为奇函数，则
f(x)是
(
)
(A) 奇函数 (B)偶函数
(C)非奇非偶函数
3. tan xdx ( )
(D) 不能确定
y f (x)， x a ， x b 及 x 轴所 3
3
1.方程 x y 3axy
0所确定的隐函数y y(x)的导数为 ____________
3..若 lim
nu n
1
4?积分
dx =
1
2x 1
-----
1 X 2
5.二次积分
dx 4xdy =
0 j ---------------------------
三.计算题(本大题共 10题，1-8题每题8分，9题9分,10题7 分) 1、
1 xarctanxdx
闭合区域.
(2)无解；(3)有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。 9、过点M(3, 0)作曲线y
In(x 3)的切线，该切线与此曲线及 x 轴围成一平面
图形D .试求平面图形 D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 10?设f(x)在a,b 上连续，在 a,b 内二阶可导，且f(a) f (b)
0，且存在点 c a,b 使得f (c) 0 ,试证明至少存在一点
2、 2
已知ln(x y)
2
xy
xsinx ，求巴
dx x 0
3.
4、 求方程y
2y
x 2的通解
5、 求幕级数
(x 2)n 的收敛域.
6、 ?求二重积分
2
X_
.
d
y
，其中D 是由直线x 2 , y x 及直线xy 1所围成的
7、求函数Z
arcta n — y
In x 2 y 2
的全微分.
8、对于非齐次线性方程组
X i
4x 2 X 3 1
X 2 X i
3x 3 3x 2
1)X 3 0
为何值时，(1)有唯一值;
a,b ，使 f ( )
参考答案
?选择题
二.填空题
5. 1 三.计算题
1.解：用洛必塔法则
2
x 3
lim 3x 1=lim
x 1
■. x 1 x
得 2x , y y 2 2xyy sin x x y 当x 0时由原方程式可得 y 于是解得y 0
1
1x 2
1 1 , 1 +1 arcta nx
2 2
2
dx =
1 x 2
8
1. D
2.
3.
4. C
5. A
2
2.解：In (x
y) xy 2 xsin x
两边同对 x 求导 3?解:
1
1 xarcta
nxdx=- 2 1
arcta n
xdx
2 =
1 =2
x 2arcta nx
4.解：对应的齐次方程的特征方程为 2, 2
于是对应的齐次方程的通解为
y C 1e
2x
x
C 2e （其中
C 1 ,C 2是任意常
数）
1. y 型
y ax
2y x 6 n[2(x 3
3y)] c
1
3.发散
4. ln 3
2
XCOSX
所以原级数的收敛半径为
1
当x 3时，原级数为 —_，这是
n 0
J n 1
发散的;
所以，原级数的收敛域为［1, 3）.
6?解： X 2
2 x x
2
2d
= 1dx ! 2
dy
D y
1
■ y
=：x 2 于:dx
x
2
3 .
9
=
x x dx =-
1
4
7、解：由于
z y
x x y
-2
2 ~2
2 ~2
2
x x y x y x y
因为 0不是特征根，所以设特解为 Ax 2 Bx C
代入原方程，得A 0,B 1
,C
2 故原方程的通解为 y y y c 1e 2x x c 2e 4
1 x 2
5.解：因为
lim
n
a n 1 a n
_1_
..,n —2 lim n 1 lim
n
..n 1
（其中 C 「C 2是任意常数）
也就是，当 1 1, 1 x 3 时,
原级数收敛.
是交错
级数且满足
lim n
U
n
0，所以它是收敛的;
1
1的p 级数，所以它是
2
z x y y x
-2 2 ~ 2 ~ 2
y x y x y x y
所以
dz — dx — dy __ dx _ dy ?
x y x y x y
8、解：增广矩阵
1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1
B 0 3
13 r3 r1 0 3
1
3 「3「2 0 1 2
1
1
1 3 1 0 0 1
2 1 0 0 ( 3)( 1) 3
(1 )要使方程组有唯［一解必有R(A) R(B) 3则(3)( 1) 0 即
3且 1
(2)要使方程组无解必有R(A) R(B)则(3)( 1) 0
即 1 3 0
(3)要使方程组有无穷多解必有R(A) R(B) 3 则( 3)( 1) 0
即
3 0
3
此时增广矩阵
1 4 1 1 1 4 1 1
「1 4「2 1 0 5 3
B 0 3 3 0 1 1 1 「2 ( 1) 0 1 1 1
1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
為3 5x3
X1 3 5
同解方程组
1 X3 令X3 k则通解为X
2 1 k 1
X2
0 1
X3
9、解：设切线与曲线相切于点M 0 x0,ln(x0 3)(如第9题图所示)，
因为切线经过点 M (3, 0), 所以将x 3, y O 代入上式得切点坐标为 M o e 3, 1
从而切线方程为
1
y (x 3) e
因此，所求旋转体的体积为
由于
则切线方程为 y'x x o
i X o 3
y In (x o 3)
1 X
o
3(x
X o )
7
C
12
3 e 2
冗 4 In(x 3) dx
2
e e
n x In x 2 In xdx
1 1 e Tie
2 n xln x
1
e
1d x
1
2n 1
10?证明： f(x)在a,b 上连续，在 a,b 内二阶可导，且 f(a)
f(b) O ,
f(c) O
由拉格朗日定理知：
f(c)
f(a)
f ( 1
) 0， a 1 c
c a
f(b) f
(c) f ( 2
) 0， c 2 b
b c
再在
1
, 2上应用拉格朗日定理：则至少存在一点
1 ,
2
使f
(2)
f ( 1)
f ( ) 0，即至少存在一点
a,b ，使 f ( ) 0
2 1