2018-2019学年陕西省西安交大附中分校九年级(上)期中数学试卷
陕西省西安市雁塔区2019届最新九年级上期中数学试卷及答案解析
2018-2019学年陕西省西安市雁塔区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1．下列计算正确的是（）
A．a2•a3=a6 B．（﹣2ab）2=4a2b2
C．（a2）3=a5D．3a3b2÷a2b2=3ab
2．不等式组的解集是（）
A．﹣2≤x≤1 B．﹣2＜x＜1 C．x≤﹣1 D．x≥2
3．下列立体图形中，俯视图是正方形的是（）
A．B．C．D．
4．已知关于x方程x2﹣4x+m=0，如果从1、2、3、4、5、6中任选一个数作为方程常数项m，那么所得方程有实数根的概率是（）
A．B．C．D．
5．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知OB=3OB'，则△A'B'C'与△ABC 的面积的比为（）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
6．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
7．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（）
A． +=B．﹣=C． +10=D．﹣10=
8．已知菱形ABCD的边长是9，点E在直线AD上，DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，
则的值是（）。
陕西省西安交大附中2018-2019学年九年级(上)第一次月考数学试卷 含解析
西安交大附中2018-2019学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（题共10小题，每小题3分，共30分）1．方程x2＝4的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2 2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，若∠A＝48°，∠1＝54°，则下列正确的是（）A．∠2＝48°B．∠2＝54°C．D．3．在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（）A．众数是90分B．中位数是95分C．平均数是95分D．方差是154．已知正比例函数y＝（m﹣3）x的图象过第二、四象限，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m＞3 C．m≤3 D．m＜35．如图，△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，过D作DE∥BC交AC于点E．若AD＝7，DE＝12.5，则CD的长等于（）A．25 B．24 C．22.5 D．146．一个跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h＝﹣5（t﹣2）（t+1），则运动员起跳到入水所用的时间是（）A．﹣5s B．2s C．﹣1s D．1s7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD ＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°8．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，连接AF交CG 于M点，则FM＝（）A．B．C．D．9．如图，在一次函数y＝﹣x+5的图象上取点P，作PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，且长方形OAPB的面积为6，则这样的点P个数共有（）A．4 B．3 C．2 D．110．已知非负实数x、y满足，记W＝3x+2y，下列判断正确的是（）A．W的最小值是B．W的最小值是C．W的最大值是D．W的最大值是二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）11．比较大小：+1 3（填“＞”、“＜”或“＝”）．12．关于x的方程kx2﹣4x﹣4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为．13．计算：•（1﹣）＝．14．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为枚．15．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°AC＝2，点M、N分别在线段AC、AB 上，将△AMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，则AN的长为．16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP，则BP的最大值是．三、解答题（共72分）17．计算：18．解方程：﹣1＝19．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△PAC∽△ABC（不写画法，保留作图痕迹）20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．21．某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少？22．西安是举世著名的四大文明古都之一，到古都西安旅游是个不错的选择，西安的小吃也是很有名的，西安十大美食有肉夹馍、凉皮、羊肉泡馍、黄桂柿子饼、岐山臊子面、贾三灌汤包、泡泡油糕、biangbiang面、荞面饸饹、甑糕．李华和王涛同时去品尝美食，准备在贾三灌汤包、泡泡油糕、biangbiang面、荞面饸饹、甑糕”这五种美食中选择一种．（肉夹馍、凉皮、羊肉泡馍、黄桂柿子饼、岐山臊子面分别记为A，B，C，D，E，贾三灌汤包、泡泡油糕、biangbiang面、荞面饸饹、甑糕分别记为F，G，H，K，L）（1）用树状图或列表格的方法表示李华和王涛同学选择美食的所有可能结果；（2）求李华和王涛同时选择美食都是甜食类（黄桂柿子饼D，泡泡油糕G，甑糕L）的概率．23．问题探究（1）请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使PA+PC最小；（2）如图②，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点，AB＝2，BC＝2，点E为BC边的中点，请作一点P，使PE+PC最小，并求这个最小值；问题解决（3）如图③，李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD，AC＝1200米，BD为小路，BC的中点E为一水池，李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P，为了节省土地，使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．24．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．方程x2＝4的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝2，x2＝﹣2 【分析】直接开平方法求解可得．【解答】解：∵x2＝4，∴x1＝2，x2＝﹣2，故选：D．2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，若∠A＝48°，∠1＝54°，则下列正确的是（）A．∠2＝48°B．∠2＝54°C．D．【分析】先根据三角形的外角性质求出∠DEC的度数，再根据平行线的性质得出结论即可．【解答】解：∵∠DEC是△ADE的外角，∠A＝48°，∠1＝54°，∴∠DEC＝∠A+∠1＝48°+54°＝102°，∵DE∥BC，∴∠2＝∠DEC＝102°，故A、B选项错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故C正确；只有当D、E分别是AB、AC的中点时，＝＝，故D错误，故选：C．3．在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（）A．众数是90分B．中位数是95分C．平均数是95分D．方差是15【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．【解答】解：A、众数是90分，人数最多，正确；B、中位数是90分，错误；C、平均数是分，错误；D、方差是＝19，错误；故选：A．4．已知正比例函数y＝（m﹣3）x的图象过第二、四象限，则m的取值范围是（）A．m≥3 B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3【分析】直接利用正比例函数的定义得出m的取值范围即可．【解答】解：∵正比例函数y＝（m﹣3）x的图象过第二、四象限，∴m﹣3＜0，解得：m＜3．故选：D．5．如图，△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为D，过D作DE∥BC交AC于点E．若AD＝7，DE＝12.5，则CD的长等于（）A．25 B．24 C．22.5 D．14【分析】根据等腰三角形的性质和三角形中位线得出BC的长，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，∴AD＝DB，∠BDC＝90°，∵DE∥BC，AD＝7，DE＝12.5，∴BC＝2DE＝25，在Rt△DBC中，CD＝，故选：B．6．一个跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h＝﹣5（t﹣2）（t+1），则运动员起跳到入水所用的时间是（）A．﹣5s B．2s C．﹣1s D．1s【分析】根据每一时刻所在高度（单位：m）与所用时间（单位：s）的关系是：h＝﹣5（t﹣2）（t+1），把h＝0代入列出一元二次方程，求出方程的解即可．【解答】解：设运动员起跳到入水所用的时间是xs，根据题意可知：﹣5（x﹣2）（x+1）＝0，解得：x1＝﹣1（不合题意舍去），x2＝2，那么运动员起跳到入水所用的时间是2s．故选：B．7．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD ＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故选：A．8．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，连接AF交CG 于M点，则FM＝（）A．B．C．D．【分析】由正方形的性质知DG＝CG﹣CD＝2、AD∥GF，据此证△ADM∽△FGM得＝，求出GM的长，再利用勾股定理求解可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD＝CD＝BC＝1、CE＝CG＝GF＝3，∠ADM＝∠G＝90°，∴DG＝CG﹣CD＝2，AD∥GF，则△ADM∽△FGM，∴＝，即＝，解得：GM＝，∴FM＝＝＝，故选：C．9．如图，在一次函数y＝﹣x+5的图象上取点P，作PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B，且长方形OAPB的面积为6，则这样的点P个数共有（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】设点P的坐标为（x，y），由图象得|x||y|＝6，再将y＝﹣x+5代入，即可得出关于x的一元二次方程，根据一元二次方程的判别式，判断点P的个数即可．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），由图象得|x||y|＝6，再将y＝﹣x+5代入，得x （﹣x+5）＝±6，则x2﹣5x+6＝0或x2﹣5x﹣6＝0，∴方程有两个不相等的实数根，∴这样的点P个数共有4个．故选：A．10．已知非负实数x、y满足，记W＝3x+2y，下列判断正确的是（）A．W的最小值是B．W的最小值是C．W的最大值是D．W的最大值是【分析】首先设＝＝k，求得x＝﹣3k+2，y＝4k+3，又由x，y均为非负实数，即可求得k的取值范围，则可求得W的取值范围．【解答】解：设＝＝k，则x＝﹣3k+2，y＝4k+3，∵x，y均为非负实数，∴，解得﹣≤k≤，于是W＝3x+2y＝3（﹣3k+2）+2（4k+3）＝﹣k+12，∴﹣+12≤﹣k+12≤+12，即≤W≤．∴W的最小值是，最大值是．正确的是：W的最小值是．故选：B．二．填空题（共6小题）11．比较大小：+1 ＞3（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】先估算出的范围，再求出3＜+1＜4，即可得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，即+1＞3，故答案为：＞．12．关于x的方程kx2﹣4x﹣4＝0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为 1 ．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且b2﹣4ac＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣4x﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且b2﹣4ac＞0，即，解得k＞﹣1且k≠0，∴k的最小整数值为：1．故答案为：1．13．计算：•（1﹣）＝a+2 ．【分析】将分子因式分解、计算括号内分式的减法，再约分即可得．【解答】解：原式＝•（﹣）＝•＝a+2，故答案为：a+2．14．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为40 枚．【分析】根据表格中的数据求出摸出黑棋的概率，然后求出棋子的总个数，再减去黑棋子的个数即可．【解答】解：黑棋子的概率＝＝，棋子总数为10÷＝50，所以，白棋子的数量＝50﹣10＝40枚．故答案为：40．15．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°AC＝2，点M、N分别在线段AC、AB 上，将△AMN沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，则AN的长为或4﹣6 ．【分析】△DCM为直角三角形，需要分两种情况进行讨论：当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形；当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，分别依据含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到AN的长．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM＝90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2，∴∠C＝30°，AB＝AC＝，由折叠可得，∠MDN＝∠A＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝DN＝AN，∴BN＝AB＝，∴AN＝2BN＝；②如图，当∠CMD＝90°时，△CDM是直角三角形，由题意可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，又∵AB＝，∴2BD+BD＝，解得：BD＝2﹣3，∴AN＝2BD＝4﹣6；综上所述，AN的长或4﹣6；故答案为：或4﹣6．16．如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是以CD为直径的半圆上的一个动点，连接BP，则BP的最大值是+2 ．【分析】将以CD为直径的⊙O补充完整，由点B在⊙O外可得出当点B、O、P三点共线时BP最大，根据矩形以及圆的性质可得出OC、OP的长度，再利用勾股定理即可求出OB 的长度，进而即可得出BP的最大值．【解答】解：将以CD为直径的⊙O补充完整，如图所示．∵点B在⊙O外，∴当点B、O、P三点共线时，BP的值最大．∵CD为⊙O的直径，CD＝AB＝4，∴OC＝OP＝2．在Rt△BOC中，BC＝3，OC＝2，∴OB＝＝，∴此时BP＝BO+OP＝+2．故答案为：+2．三．解答题（共8小题）17．计算：【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣+1++2＝5．18．解方程：﹣1＝【分析】本题是分式方程，去分母后把分式方程转化为整式方程，求解检验即可．【解答】解：方程两边乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3即：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3整理，得x＝1检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，∴原方程无解．19．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，请你利用尺规在BC边上求一点P，使△PAC∽△ABC（不写画法，保留作图痕迹）【分析】直接作出AB的垂直平分线，进而得出P点位置，利用相似三角形的判定方法得出即可．【解答】解：如图所示：点P即为所求，△PAC∽△ABC．20．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．【解答】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．21．某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月平均增长率为多少？【分析】设该厂今年产量的月平均增长率为x，由6月份比5月份多生产了12000台，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设该厂今年产量的月平均增长率为x，依题意，得：50000（1+x）2﹣50000（1+x）＝12000，整理，得：25x2+25x﹣6＝0，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（舍去）．答：该厂今年产量的月平均增长率为20%．22．西安是举世著名的四大文明古都之一，到古都西安旅游是个不错的选择，西安的小吃也是很有名的，西安十大美食有肉夹馍、凉皮、羊肉泡馍、黄桂柿子饼、岐山臊子面、贾三灌汤包、泡泡油糕、biangbiang面、荞面饸饹、甑糕．李华和王涛同时去品尝美食，准备在贾三灌汤包、泡泡油糕、biangbiang面、荞面饸饹、甑糕”这五种美食中选择一种．（肉夹馍、凉皮、羊肉泡馍、黄桂柿子饼、岐山臊子面分别记为A，B，C，D，E，贾三灌汤包、泡泡油糕、biangbiang面、荞面饸饹、甑糕分别记为F，G，H，K，L）（1）用树状图或列表格的方法表示李华和王涛同学选择美食的所有可能结果；（2）求李华和王涛同时选择美食都是甜食类（黄桂柿子饼D，泡泡油糕G，甑糕L）的概率．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数即可（2）根据（1）得出李华和王涛同时选择美食都是甜食类的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意画图如下：李华和王涛同学选择美食的所有可能结果共有25种；（2）李华和王涛同时选择美食都是甜食类共有4种情况数，则李华和王涛同时选择美食都是甜食类的概率．23．问题探究（1）请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使PA+PC最小；（2）如图②，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点，AB＝2，BC＝2，点E为BC边的中点，请作一点P，使PE+PC最小，并求这个最小值；问题解决（3）如图③，李师傅有一块边长为1000米的菱形采摘园ABCD，AC＝1200米，BD为小路，BC的中点E为一水池，李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P，为了节省土地，使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用两点之间线段最短，即可得出结论；（2）先确定出点P的位置，再求出∠CBD＝30°，进而判断出△BCC'是等边三角形，即可得出结论；（3）先确定出点P的位置，再求出OA，OB，进而利用面积求出AH，最后用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图①，连接AC交BD于点P，则点P就是所要求作的点，理由：在BD上任取一点异于点P的点Q，连接AQ，CQ，∴CQ+AQ＞AC＝AP+CP；（2）如图②，作点C关于BD的对称点C'，连接EC'交BD于点P，连接C'P，∵点C与点C'关于BD的对称点，∴CP＝C'P，∴C'P+PE＝C'P'+P'E＝C'E，在BD上任取异于点P的P'，连接P'E，P'C，C'P'，∴C'P'+P'E＝P'C+P'E＞C'E，∴点P就是所要求作的点，EC'的长度PE+PC的最小值，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵AB＝2，BC＝2，∴tan∠CBD＝＝，∴∠CBD＝30°，∵点C和点C'关于BD对称，设CC'交BD于G，∴BD是CC'的垂直平分线，连接BC'，∴∠C'BD＝∠CBD＝30°，BC'＝BC，∴∠C'BC＝60°，∴△BCC'是等边三角形，∵点E是BC的中点，∴CE⊥BC，∴CE＝BC＝3，∴PC+PE＝3，即：PE+PC的最小值为3；（3）存在，如图③，连接AE交BD于P，点P就是所要求作的点，AE的长度就是休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短的值，∵四边形ABCD是菱形，∴点C关于BD的对称点为A，连接AE，交BD于P，点P就是所要求作的点，∵AB＝1000米，AC＝1200米，BD⊥AC于Q，∴OA＝600米，OB＝800米，过点A作AH⊥BC于H，∴AH•BC＝•OB，∴AH＝960米，在Rt△ABH中，根据勾股定理得，BH＝280米，∴EH＝500﹣280＝220米，在Rt△AEH中，AE＝≈985米，即：存在点P，且最短距离约为985米．24．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC（1）求过点A，B的直线的函数表达式；（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m，使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据A（﹣3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC＝3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．【解答】解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC，∴BC＝×4＝3，∴B（1，3），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x+；（2）若△ADB与△ABC相似，过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如图1，此时＝，即AB2＝AC•AD．∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝，∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝，∴点D的坐标为（，0）．（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m．Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，则有＝，∴AP•AD＝AB•AQ，∴m＝5（﹣m），解得m＝；Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，则有＝，∴AP•AB＝AD•AQ，∴5m＝（﹣m），解得：m＝，综上所述：符合要求的m的值为或．。
2019年西安市九年级数学上期中试题及答案
2019年西安市九年级数学上期中试题及答案一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x = 2．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ） A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3 3．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定 4．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10＝0时，下列变形正确的为( ) A ．(x+3)2＝1B ．(x ﹣3)2＝1C ．(x+3)2＝19D ．(x ﹣3)2＝19 5．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．22C ．2D ．2 6．已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．2 7．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3 B ．﹣3或1C ．3D ．1 8．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A ．2B ．4C ．6D ．8 9．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率是 （ ）A ．120B ．19100C ．14D ．以上都不对10．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（ ）．A ．摸出的4个球中至少有一个球是白球B ．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C ．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的4个球中至少有两个球是白球 11．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ）A ．-41B ．-35C ．39D ．45 12．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，»»»AC CDDB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：①∠BOE ＝60°；②∠CED ＝12∠DOB ；③DM ⊥CE ；④CM ＋DM 的最小值是10，上述结论中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2.14．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．15．圆锥的底面半径为14cm ，母线长为21cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____ 度．16．a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b ____c （用“＞”或“＜”号填空）17．如图，O e 的半径为2，切线AB 的长为23，点P 是O e 上的动点，则AP 的长的取值范围是_________．18．用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm ．19．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，F 是CD 弧的中点，则∠CBF 的度数为_____．20．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°．连接AC ，则∠A 的度数是_____°．三、解答题21．（2016内蒙古包头市）一幅长20cm 、宽12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm ，图案中三条彩条所占面积为ycm 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．22．2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A ．“解密世园会”、B ．“爱我家，爱园艺”、C ．“园艺小清新之旅”和D ．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．(1)李欣选择线路C ．“园艺小清新之旅”的概率是多少？(2)用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率．23．为打造“文化九中，书香校园”，阜阳九中积极开展“图书漂流”活动，旨在让全体师生共建共享，校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，5月份人数比4月份增加10%，6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人.(1)求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数；(2)列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率. 24．如图，ABO V 与CDO V 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ． 求证：FD=BE ．25．已知关于x 的方程x 2+4x +3-a =0．（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，当a 取满足条件的最小整数，求此时方程的解．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x 1=5，x 2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x 的一元二次方程的问题.2．D解析：D【解析】试题分析：将x 2+x ﹣12分解因式成（x+4）（x ﹣3），解x+4=0或x ﹣3=0即可得出结论． x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0， 则x+4=0，或x ﹣3=0， 解得：x 1=﹣4，x 2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法3．C解析：C【解析】【分析】把x 1代入方程ax 2+2x+c=0得ax 12+2x 1=-c ，作差法比较可得．【详解】∵x 1是方程ax 2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax 12+2x 1+c=0，即ax 12+2x 1=-c ，则M-N=（ax 1+1）2-（2-ac ）=a 2x 12+2ax 1+1-2+ac=a （ax 12+2x 1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N ＜0，∴M ＜N ．故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．4．D解析：D【解析】【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【详解】方程移项得：2610x x -=，配方得：26919x x -+=，即2(3)19x -=，故选D ． 5．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．6．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得出m-1≠0，m 2+1=2，求出m 的值即可．【详解】∵关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，∴m 2+1=2且m-1≠0，解得：m=-1，故选：B ．【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，且二次项系数不为0． 7．D解析：D【解析】【分析】设x 2﹣2x +1＝a ，则（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0化为a 2+2a ﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x 2﹣2x +1＝a ，∵（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.8．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，∵图形的面积是12cm2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；故答案为B．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．9．C解析：C【解析】解答：在1到100这100个数中，是质数的是：2，3 ，5，7，11，13，17，19，23，29，31 ，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个，所以摸出的编号是质数的概率是2511004，故选C．点睛: 本题关键是清楚1到100这一范围内有几个质数，特别注意的是1既不是质数，又不是合数.10．B解析：B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【详解】解：A、是随机事件，故A选项错误；B、是必然事件，故B选项正确；C、是随机事件，故C选项错误；D、是随机事件，故D选项错误．故选B．【点睛】本题考查随机事件．11．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a，b为方程2x5x10--=的两个实数根，∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a3ab8b2a++-=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2=39．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=ba-，x1·x2=ca；熟练掌握韦达定理是解题关键．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵弧AC=弧CD=弧DB，∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，故①正确；∵AB为直径，且点E是点D关于AB的对称点∴∠E=∠ODE，AB⊥DE∴∠CED =30°=12∠DOB，故②正确；∵M和A重合时，∠MDE=60°，∴∠MDE+∠E=90°∴DM⊥CE故③不正确；根据轴对称的性质，可知D与E对称，连接CE，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM最短，∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°∴CE为直径，即CE=10，故④正确.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大．二、填空题13．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S 侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线5=，∴S侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.14．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的新方程通过解新方程来求k的值【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k =2故答案是：2【点睛】本题考查了解析：2【解析】【分析】把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1，∴把x=1代入，得12+k×1−3=0，解得，k=2.故答案是：2.【点睛】本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用. 15．240【解析】【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm 圆心角=弧长180母线长π计算【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm 扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×解析：240【解析】【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm ，圆心角=弧长⨯180÷母线长÷π计算.【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm ，扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°．故答案为：240．【点睛】此题主要考查弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系，熟练掌握公式及关系是解题关键．16．＜【解析】试题分析：将二次函数y ＝x2－2ax ＋3转换成y ＝(x-a)2-a2＋3则它的对称轴是x=a 抛物线开口向上所以在对称轴右边y 随着x 的增大而增大点A 点B 均在对称轴右边且a+1<a+2所以b<解析：＜【解析】试题分析：将二次函数y ＝x 2－2ax ＋3转换成y ＝(x-a)2-a 2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右边y 随着x 的增大而增大，点A 点B 均在对称轴右边且a+1<a+2,所以b <c.17．【解析】【分析】连接OB 根据切线的性质得到∠OBA=90°根据勾股定理求出OA 根据题意计算即可【详解】连接OB∵AB 是⊙O 的切线∴∠OBA=90°∴OA==4当点P 在线段AO 上时AP 最小为2当点P 在解析：26AP ≤≤【解析】【分析】连接OB ，根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据勾股定理求出OA ，根据题意计算即可．【详解】连接OB ，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA=90°，∴22AB OB+=4，当点P在线段AO上时，AP最小为2，当点P在线段AO的延长线上时，AP最大为6，∴AP的长的取值范围是2≤AP≤6，故答案为：2≤AP≤6．【点睛】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．18．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π，则r=3．故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算．19．18°【解析】【分析】设圆心为O连接OCODBD根据已知条件得到∠COD==72°根据圆周角定理即可得到结论【详解】设圆心为O连接OCODBD∵五边形ABCDE为正五边形∴∠COD==72°∴∠CB解析：18°【解析】【分析】设圆心为O，连接OC，OD，BD，根据已知条件得到∠COD=3605︒=72°，根据圆周角定理即可得到结论．【详解】设圆心为O，连接OC，OD，BD．∵五边形ABCDE 为正五边形，∴∠COD =3605︒=72°， ∴∠CBD =12∠COD =36°． ∵F 是CD 弧的中点， ∴∠CBF =∠DBF =12∠CBD =18°． 故答案为：18°．【点睛】本题考查了正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系是解题的关键．20．【解析】试题分析：连结BC 因为AB 是⊙O 的直径所以∠ACB＝90°∠A+∠ABC＝90°又因为BDCD 分别是过⊙O 上点BC 的切线∠BDC＝110°所以CD=BD 所以∠BCD＝∠DB C ＝35°又∠AB解析：【解析】试题分析：连结BC ，因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°，∠A+∠ABC ＝90°，又因为BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，∠BDC ＝110°，所以CD=BD,所以∠BCD ＝∠DBC ＝35°,又∠ABD ＝90°，所以∠A=∠DBC ＝35°．考点：1．圆周角定理；2．切线的性质；3．切线长定理．三、解答题21．（1）2354y x x =-+；（2）横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．【解析】【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为32xcm ，根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积”，列出函数关系式化简即可；（2）根据“三条彩条所占面积是图案面积的25”，可列出关于x 的一元二次方程，整理后求解即可．【详解】（1）根据题意可知，横彩条的宽度为32 xcm，∴y=20×32x+2×12•x﹣2×32x•x=﹣3x2+54x，即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；（2）根据题意，得：﹣3x2+54x=25×20×12，整理，得：x2﹣18x+32=0，解得：x1=2，x2=16（舍），∴32x=3，答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．考点：根据实际问题列二次函数关系式；一元二次方程的应用．22．(1) 14；(2)14【解析】【分析】(1)由概率公式即可得出结果；(2)画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，由概率公式即可得出结果．【详解】解：(1)在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同，∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是14；(2)画树状图分析如下：共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种，∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为41 164．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）1440人；（2）20％【解析】【分析】（1）5月份借阅了名著类书籍的人数是1000（1+10%），则6月份借阅了名著类书籍的人数为：5月份借阅了名著类书籍的人数+340人；（2）根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．设平均每年的增长率是x，列出方程求解即可．【详解】解：（1）由题意，得5月份借阅了名著类书籍的人数是：1000×（1+10%）=1100（人），则6月份借阅了名著类书籍的人数为：1100+340=1440（人）；（2）设平均增长率为x．1000（1+x）2=1440，解得：x=0.2.答：从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率为20%．【点睛】本题是一道数学应用题中的增长率问题的实际问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用及一元二次方程的解法的运用，解答中对结果验根是否符合题意是解答的关键．24．详见解析【解析】【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．【详解】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC．∵AF=CE，∴OF=OE．∵在△DOF和△BOE中，OB ODDOF BOEOF OE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOF≌△BOE（SAS）．∴FD=BE．25．（1）a＞-1;(2) x1=-3,x2=-1.【解析】试题分析：（1）方程有两个不相等的实数根，可得△>0，代入后解不等式即可得a的取值范围；（2）把a代入后解方程即可.试题解析：（1）∵方程有两个不相等的实数根∴16-4（3-a）＞0,∴a＞-1 .（2）由题意得：a=0 ,方程为x2+4x+3=0 ,解得12-3,-1x x == .点睛：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．。
陕西省西安市高新一中2018-2019学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1.已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是（）A.32xy= B. 23xy=C.23xy= D.23x y=【答案】A 【解析】试题解析：A、两边都除以2y，得32xy=，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得32xy=，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选A．2.下面四幅图是同一天四个不同时刻的影子，其时间由早到晚的顺序（）A. ①②③④B. ④③①②C. ③④②①D. ④②③①【答案】B【解析】【分析】由于太阳早上从东方升起，则早上树的影子向西；傍晚太阳在西边落下，此时树的影子向东，于是可判断四个时刻的时间顺序．【详解】时间由早到晚的顺序为④③①②．故选：B．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．3.若反比例函数32myx-=的图象在二、四象限，则m的值可以是（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 2 【答案】D【解析】【分析】由于反比例函数的图像在第二、四象限，所以反比例函数kyx=的k<0.【详解】解：∵反比例函数y=32mx-的图象在二、四象限，∴3-2m<0,解得32 m>.所以选择D.【点睛】掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键.4.如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】该空心圆柱体的俯视图是：故选D．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5.如图是教学用直角三角板，边AC ＝30cm ，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，则BC 长为（ ）A. 303cmB. 203cmC. 103cmD. 53cm【答案】C 【解析】 【分析】根据∠BAC 的正切值，即可求出BC 的长度．【详解】解：在直角三角形ABC 中，根据三角函数定义可知：tan ∠BAC ＝BCAC， 又∵AC ＝30cm ，tan ∠BAC ＝tan30°＝33， ∴BC ＝AC·tan ∠BAC ＝30×3＝103（cm ）． 故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数的应用，熟练掌握正切的概念并熟记特殊角三角函数值是解题关键.6.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I 与R 的函数表达式为（ ）A . I ＝12RB. I ＝8RC. I ＝6RD. I ＝4R【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I=kR，再把（6，2）代入可得k的值，进而可得函数解析式．【详解】设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=kR，∵过（6，2），∴k=6×2=12，∴I=12R，故选：A．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．7.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为( )A. tantanαβ B.sinsinβαC.sinsinαβ D.coscosβα【答案】B【解析】【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；【详解】在Rt△ABC中，AB=AC sinα，在Rt△ACD中，AD=AC sinβ，∴AB：AD=ACsinα：ACsinβ=sinsinβα，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．8.在同一直角坐标系中，函数y=kx和y=kx+k的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行分析．【详解】①当k＞0时，一次函数y=kx-k经过一、二、三象限，反比例函数的y=kx（k≠0）的图象经过一、三象限，故D选项的图象符合要求；②当k＜0时，一次函数y=kx-k经过二、三、四象限，反比例函数的y=kx（k≠0）的图象经过二、四象限，没有符合该条件的选项．故选：D．【点睛】考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．9.如图，以某点为位似中心，将△OAB进行位似变换得到△DFE，若△OAB与△DFE的相似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（）A. （2，2），2B. （0，0），2C. （2，2），12D. （0，0），12【答案】A【解析】【分析】两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．【详解】连接OD、BE，延长OD交BE的延长线于点O′，点O′也就是位似中心，坐标为（2，2），k=OA：FD=8：4=2．故选A．【点睛】本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识，记住两对对应点的连线的交点为位似中心；任意一对对应边的比即为位似比．10.如图，∠AOB＝90°，且OA，OB分别与反比例函数y＝3x（x＞0）、y＝﹣4x（x＜0）的图象交于A，B两点，则sin∠OAB的值是（）A. 45B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数的几何意义，可求出△AOM，△BON的面积，由于∠AOB＝90°，可证出△AOM∽△BON，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而求出相似比，即直角三角形AOB两条直角边的比，可求出斜边，进而求sin∠OAB【详解】过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∵点A在反比例函数y＝3x（x＞0）的图象上，∴S△AOM＝12×3＝32，∵点B在反比例函数y＝﹣4x（x＜0）的图象上，∴S△BON＝12×4＝2，∵∠AOB＝90°∴△BON∽△AOM，∴（BOAO）2＝BONAOMSS＝43，∴OA OB在Rt△AOB中，设OB＝2m，则OA，∴ABm，∴sin∠OAB＝OBAB，故选：B．【点睛】考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的性质和判定、以及直角三角形的边角关系，把反比例函数的几何意义与相似三角形的性质和直角三角形的边角关系结合在一起是解决问题的关键．二、填空题（共7小题）11.某河堤横断面如图所示，AC＝9米，迎水坡AB的坡度为1：3，则堤高BC＝___米．【答案】33．【解析】【分析】根据坡度的定义即可求解.【详解】迎水坡AB的坡度为1：3，∴BCAC＝3，即BC9＝3，解得，BC＝33，故答案为：33．【点睛】此题主要考查坡度的应用，解题的关键是熟知坡度的定义.12.长方体的主视图与左视图如图所示，则这个长方体的表面积是________cm2.【答案】94【解析】【分析】由所给的视图判断出长方体的长、宽、高,根据长方体的表面积公式计算即可. 【详解】由主视图可知,这个长方体的长和高分别为5和3, 由左视图可知,这个长方体的宽和高分别为4和3, 因此这个长方体的长、宽、高分别为5、4、3,因此这个长方体的表面积为253243254294cm ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 故答案为：94.【点睛】本题是由两种视图考查长方体的特征,这种类型问题在中考试卷中经常出现,本题所用的知识是:主视图主要反映物体的长和高,左视图主要反映物体的宽和高.13.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条边DF=50cm ，EF=30cm ，测得边DF 离地面的高度AC=1.5m ，CD=20m ，则树髙AB 为_____．【答案】16.5m 【解析】 【分析】根据题意与图形可知△DEF ∽DCB，再根据对应成比例即可求解. 【详解】∵DE ⊥EF,BC ⊥CD，DF=50cm ，EF=30cm ， ∴2240DF EF cm -= 又∠EDF=∠CDB ∴△DEF ∽DCB，∴ED CD EF CB =，即0.4200.3CB=， 解得BC=15m, ∴AB=BC+AC=16.5m 故填：16.5m.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知对应成比例. 14.若A （﹣1，y 1），B （1，y 2），C （3，y 3）．A ，C 在反比例函数y ＝﹣5x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是____．【答案】y 2＜y 3＜y 1． 【解析】 【分析】把x 依次代入解析式求解y,即可比较.【详解】∵点A （﹣1，y 1），B （1，y 2），C （3，y 3）在反比例函数y ＝﹣5x的图象上， ∴y 1＝5，y 2＝﹣5，y 3＝﹣53， ∴y 2＜y 3＜y 1， 故答案为y 2＜y 3＜y 1．【点睛】此题主要考查函数值的大小，解题的关键把x 代入求解.15.如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则cos ∠BAC 的值为____．2. 【解析】 【分析】根据网格求出AB,BC,AC ，得到△ABC 是直角三角形，再进行求解. 【详解】∵每个小正方形的边长均为1，∴AB 2212+5BC 2212+5AC 2231+10，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴△ABC 是直角三角形，∴cos ∠BAC ＝AB AC＝2，． 【点睛】此题主要考查余弦的求解，解题的关键熟知勾股定理的运用.16.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y ＝﹣4x 的图象交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，那么（x 2﹣x 1）（y 2﹣y 1）的值为_____．【答案】﹣16【解析】【分析】正比例函数的图象与反比例函数y=-4x的图象交于的两交点坐标关于原点对称，依此可得x 1=-x 2，y 1=-y 2，将（x 2-x 1）（y 2-y 1）展开，依此关系即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=-4x 的图象交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，关于原点对称，依此可得x 1=-x 2，y 1=-y 2，∴（x 2-x 1）（y 2-y 1）=x 2y 2-x 2y 1-x 1y 2+x 1y 1=x 2y 2+x 2y 2+x 1y 1+x 1y 1=-4×4=-16．故答案为：-16．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，正比例函数与反比例函数的两交点坐标关于原点对称．17.如图，点M 是正方形ABCD 内一点，△MBC 是等边三角形，连接AM 、MD ．对角线BD 交CM 于点N ，现有以下结论：①∠AMD ＝150°；②MA 2＝MN •MC ；③BN DN =；④ADM BMC S S ∆∆=，其中正确的结论有____（填写序号）．【答案】①②③④．【解析】【分析】①先根据等边三角形得∠CMB＝60°，再根据等腰三角形的性质得∠AMB＝∠CMD＝75°，最后根据周角的定义可得结论；②证明△MND∽△MDC，列比例式可得结论；③如图1，作辅助线，设NH＝x，根据平行线分线段成比例定理得结论．④如图2，设MG＝x，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理分别计算BC、AG、BG的长，根据面积公式计算可得结论；【详解】∵△MBC是等边三角形，∴∠MBC＝∠MCB＝∠CMB＝60°，BM＝BC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∴∠ABM＝∠DCM＝30°，∵AB＝BM，∴∠AMB＝∠BAM＝12（180°﹣30°）＝75°，同理∠CMD＝∠CDM＝75°，∴∠AMD＝360°﹣75°﹣75°﹣60°＝150°；故①正确；∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，∴∠MDN＝∠CDM﹣∠BDC＝75°﹣45°＝30°，∵∠CMD＝∠CMD，∠MDN＝∠DCM＝30°，∴△MND∽△MDC，∴MNDM＝DMMC，∴DM2＝MN•MC，∵∠BAD＝∠ADC，∠BAM＝∠CDM，∴∠MAD＝∠MDA，∴MA＝DM，∴MA2＝MN•MC，故②正确；过N作NH⊥CD于H，设NH＝x，如图1所示：则NH⊥BC，∠NDH＝∠DNH＝45°，∴NH＝DH＝x，∵∠NCH＝30°，∠CHN＝90°∴CN＝2x，CH3，∵NH∥BC，∴BNDN＝CHDH3x3故③正确；过M作MG⊥AB于G，如图2所示：设MG＝x，Rt△BGM中，∠GBM＝30°，∴BM＝BC＝AB＝2x，BG3，∴AG＝2x3x，∴AMDBMCSS＝1AD AG21BC BG2⋅⋅＝AGBG＝233x xx-＝233-，故④正确；故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理，设未知数，表示各边长是本题的关键．三．解答题（共8小题）18.计算：（12）﹣1﹣2tan45°+4sin60°12【答案】0．【解析】【分析】根据实数的性质进行化简即可求解.【详解】原式＝2﹣2×1+4×33＝2﹣33＝0．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质.19.如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DP A∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）【答案】作图见解析.【解析】【分析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得【详解】如图所示，点P即为所求作的点.【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键.20.为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）【答案】凉亭P到公路l的距离为273.2m．【解析】【分析】分析：作PD⊥AB于D，构造出Rt△APD与Rt△BPD，根据AB的长度．利用特殊角的三角函数值求解．【详解】详解：作PD⊥AB于D．设BD=x，则AD=x+200．∵∠EAP=60°，∴∠PAB=90°﹣60°=30°．在Rt△BPD中，∵∠FBP=45°，∴∠PBD=∠BPD=45°，∴PD=DB=x．在Rt△APD中，∵∠PAB=30°，∴PD=tan30°•AD，即DB=PD=tan30°•AD=x=3（200+x），解得：x≈273.2，∴PD=273.2．答：凉亭P到公路l的距离为273.2m．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答．21. 如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD=∠ADE．（1）求证：△DCE∽△BCA；（2）若AB=3，AC=4．求DE的长．【答案】（1）、证明过程见解析；（2）、12 7【解析】试题分析：（1）已知AD 平分∠BAC ，可得∠EAD=∠ADE ，再由∠EAD=∠ADE ，可得∠BAD=∠ADE ，即可得AB∥DE ，从而得△DCE∽△BCA ；（2）已知∠EAD=∠ADE ，由三角形的性质可得AE=DE ，设DE=x ，所以CE=AC ﹣AE=AC ﹣DE=4﹣x ，由（1）可知△DCE∽△BCA ，根据相似三角形的对应边成比例可得x ：3=（4﹣x ）：4，解得x 的值，即可得DE 的长．试题解析：（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC ，∵∠EAD=∠ADE ，∴∠BAD=∠ADE ，∴AB∥DE ，∴△DCE∽△BCA ；（2）解：∵∠EAD=∠ADE ，∴AE=DE ，设DE=x ，∴CE=AC ﹣AE=AC ﹣DE=4﹣x ，∵△DCE∽△BCA ，∴DE ：AB=CE ：AC ，即x ：3=（4﹣x ）：4，解得：x=， ∴DE 的长是．考点：相似三角形的判定与性质．22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝k 1x +b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象交于A （3，﹣2）、B（﹣2，n ）两点，与x 轴交于点C ．（1）求k 2，n 的值；（2）请直接写出不等式k 1x +b ＞2k x 的解集；（3）将x 轴下方的图象沿x 轴翻折，点A 落在点A ′处，连接A 'B 、A 'C ，求△A 'BC 的面积．【答案】（1）k 2＝﹣6，n ＝3；（2）x ＜﹣2或0＜x ＜3；（3）△A 'BC 的面积为6．【解析】【分析】（1）将A 点坐标代入y ＝2k x 求得k 2，然后代入B （−2，n ）即可求得n ；（2）用函数的观点将不等式问题转化为函数图象问题；（3）求出对称点坐标，根据S △A 'BC ＝S △A 'AB -S △A 'AC 即可求面积．【详解】（1）将A （3，﹣2）代入y ＝2k x ，得k 2＝﹣6．∴y ＝﹣6x ，将（﹣2，n ）代入y ＝﹣6x ，求得n ＝3．∴k 2＝﹣6，n ＝3；（2）根据函数图象可知：不等式k 1x +b ＞2k x 的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜3；（3）如图，将A （3，﹣2），B （﹣2，3）代入y ＝k 1x +b ，得k 1＝﹣1，b ＝1，∴一次函数的关系式为y ＝﹣x +1，与x 轴交于点C （1，0）∴图象沿x 轴翻折后，得A ′（3，2），S △A 'BC ＝S △A 'AB -S △A 'AC ＝12（3+2）×4﹣12×4×（3﹣1）＝6∴△A 'BC 的面积为6．【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，使用的待定系数法，考查用函数的观点解决不等式问题．23.如图，矩形ABCD中，P是边AD上的一点，连接BP，CP过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交AD边于点M，且使∠ABE＝∠CBP，AB＝2，BC＝5．（1）证明：△ABM∽△APB；（2）当AP＝3时，求sin∠EBP的值；（3）如果△EBC是以BC为底边的等腰三角形，求AP的长．【答案】（1）见解析；（2）sin∠EBP＝513；（3）AP的值为45+37【解析】分析】（1）根据矩形的性质与相似三角形的判定即可求解；（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP＝x＝4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正弦值；（3）可分EB＝EC和CB＝CE两种情况讨论：①当EB＝EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM＝DP，从而有x−y＝5−x，即y＝2x−5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB＝CE时，可得到PC＝EC−EP＝BC−MP＝5−y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝∠DCB＝∠D＝90°，AB＝DC，∴∠APB＝∠CBP，∵∠ABM＝∠CBP，∴∠ABM＝∠APB，∵∠A＝∠A．∴△ABM∽△APB；（2）解：过点M作MH⊥BP于H，如图所示：∵△ABM∽△APB，∴ABAP＝AMAB，即23＝AM2，解得：AM＝43，∴MP＝AP﹣AM＝53，∴BMBP∵S△BMP＝12MP•AB＝12BP•MH，∴MH＝MP ABBP⋅52⨯＝39∴sin∠EBP＝MHBM＝513．（3）解：设AP＝x，PM＝y．由（1）得：△ABM∽△APB，∴ABAP＝AMAB，即2x＝2x y-，解得：y＝x﹣4 x①若EB＝EC，则有∠EBC＝∠ECB，∴∠ABM＝∠DCP，在△AMB和△DPC中，A DAB DCABM DCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMB≌△DPC（ASA），∴AM＝DP，∴x﹣y＝5﹣x，∴y＝2x﹣5，∴x﹣4x＝2x﹣5，解得：x＝1，或x＝4，∵2＜x≤5，∴AP＝x＝4；②若CE＝CB，则∠EBC＝∠E，∵AD∥BC，∴∠EMP＝∠EBC＝∠E，∴PE＝PM＝y，∴PC＝EC﹣EP＝5﹣y，∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2＝22，∴3x2﹣10x﹣4＝0，解得：x＝537+，或x＝537-（舍去），∴AP＝x＝5373+，终上所述：AP的值为4或537+．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理建立x与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．24.（1）如图1，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM＝AN，线段MN与线段AD相交于点T，若AD＝3AT，则tan∠ABM＝；（2）如图2，在菱形ABCD中，CD＝6，∠ADC＝60°，菱形形内部有一动点P，满足S△P AB＝13S菱形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和P A+PB的最小值为．【答案】（1）tan∠ABM＝13；（2）P A+PB的最小值为21．【解析】【分析】(1)先利用HL证明Rt△ABM≌Rt△AND，再证明△DNT∽△AMT，可得AMDN＝ATDT，由AD＝3AT，推出AMDN＝13，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝AMBM＝AMDN＝13；(2) 首先由S△P AB＝13S菱形ABCD，，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是3l上，作A关于直线l的对称点A′，连接AA′，连接BA′，则BA′的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABA′中，由勾股定理求得BA′的值，即PA＋PB的最小值.详解】（1）∵AD＝AB，AM＝AN，∠AMB＝∠AND＝90°，∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．∴∠DAN＝∠BAM，DN＝BM，∵∠BAM+∠DAM＝90°；∠DAN+∠ADN＝90°，∴∠DAM＝∠ADN，∴ND∥AM，∴△DNT∽△AMT，∴AMDN＝ATDT，∵AT ＝13AD ， ∴AM DN ＝13， 在Rt △ABM 中，tan ∠ABM ＝AM BM ＝AM DN ＝13； 故答案为：13； （2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝6，连接AC ，BD 交于O ，∴AC ⊥BD ，∵∠ADC ＝60°，∴∠CDO ＝30°，∴DO ＝OC ＝3，∴BD ＝，AC ＝6，∴S 菱形ABCD ＝12×6× 设△ABP 中AB 边上的高是h ，∵S △P AB ＝13S 菱形ABCD ，∴12AB •h ＝13×∴h ＝，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点A ′，连接AA ′，连接BA ′，则BA ′的长就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB ＝6，AA ′＝∴BA ′，即P A +PB 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、解直角三角形、三角形的面积，菱形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．25.如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）四边形PMBN是菱形；理由见解析；（3）919 EFAE.【解析】【分析】（1）过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD＝PG，DP＝AG，GB ＝PC，易证△APG∽△PBG，所以PG2＝AG•GB，即AD2＝DP•PC；（2）DP∥AB，所以∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，所以∠PAM＝∠APM，由于∠APB−∠PAM＝∠APB−∠APM，即∠ABP＝∠MPB，从而可知PM＝MB＝AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；（3）由于AD＝3DP，可设设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，从而求出BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得AF AC＝10 19，AEAC＝514，从而可求出EF＝AF﹣AE＝1019AC﹣514AC＝45166AC，从而可得EFAE＝45AC1665AC14＝919．【详解】（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴PGAG＝BGPG，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DP A＝∠P AM，由题意可知：∠DP A＝∠APM，∴∠P AM＝∠APM，∵∠APB﹣∠P AM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴CFAF＝PCAB＝910，∴AFAC＝1019，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝12AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴CEAF＝PCAM＝95，∴AEAC＝514，∴EF＝AF﹣AE＝1019AC﹣514AC＝45166AC，∴EFAE＝45AC1665AC14＝919．【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．。
2018—2019学年上期期中联考答案
22. 解： （1） 证明： ∵AF⊥DE 于点 F， AG⊥BC 于点 G， ∴∠AFE＝90°， ∠AGC＝90°， ∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC， 又∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AEF＝∠C 又∵∠DAE＝∠C，∴△ADE∽△ABC； ....5 分 （2）∵△ADE∽△ABC；∴∠C；
AN EM AM ∴ 2 0.35 42 EM
.....
4分
....2 分
解得:EM=7.35, ∴EF=EM+MF-1.75=7.3 答:城楼的高度为 7.3 米. ....1 分 ....1 分
20. 解： （1）四边形 ADEF 是平行四边形 ....1 分 .理由如下： ∵△ABD 和△EAC 都是等边三角形 ∴∠ABD=∠EBC=60° BD=AB BE=BC ∴∠ABD-∠EBA =∠EBC-∠EBA 即∠DBE =∠ABC ∴△DBE≌△ABC ....2 分 ∴DE=AC ∵△ACF 是等边三角形,AC=AF ∴DE=AF ...1 分 同理：EF=AD ∴四边形 ADEF 是平行四边形 ....1 分
4 1 概率为 12 3
2分
17.
(1)如图所示..........3 分 (2) (1,0)..........3 分 10..........3 分
18.1 a 2 4a 2 a 2 4a 8 a 2 4a 4 4 a 2 4
2
a 2 0 0
2
不论a取何实数，该方程都有 两个不相等的实数根
2将x 1带入方程x 2 ax a 2 0
1 a a 2 0, 解得，a 1 2
所以此方程为 x 解得 x
2018-2019交大附中九(上)期中数学试卷(教师版)
2018-2019学年度第一学期期中考试交大附中九年级数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）A．x2＝1 B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣3）2+15＝x2﹣5x+1 D．x2﹣5＝1【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断得结论．【解答】解：方程x2＝1符合一元二次方程的定义，故选项A是一元二次方程；方程ax2+bx+c＝0当a＝0时，不是一元二次方程，故选项B不一定是一元二次方程；方程（x﹣3）2+15＝x2﹣5x+1整理后不含未知数的二次项，故选项C不是一元二次方程；方程x2﹣5+＝1，等号的左边不是整式，故选项D不是一元二次方程．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．（3分）如图所示，该几何体的俯视图应为（）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：该几何体的俯视图应为，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．3．（3分）如果2x＝3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（）A．＝B．＝3 C．＝D．＝【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x＝3y，∴＝，∴选项A不正确；∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝3，∴选项B正确；∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝，∴选项C不正确；∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝，∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．4．（3分）当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断【分析】先计算根的判别式得到△＝（2k+1）2﹣4（k﹣1）＝4k2+5，根据非负数的性质得到4k2+5＞0，即△＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．【解答】解：∵a＝k﹣2，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（k﹣2）×k＝4k+1．∵当k＜﹣时，△＝4k+1＜0．∴该方程无实数根．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．5．（3分）已知点（3，﹣2）在反比例函数y＝的图象上，则下列点也在该反比例函数y＝的图象的是（）A．（3，﹣3）B．（﹣2，3）C．（1，6）D．（﹣2，﹣3）【分析】先根据反比例函数y＝图象过点（3，﹣2）求出k的值，再根据k ＝xy的特点进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝图象过点（3，﹣2），∴﹣2＝，即k＝﹣6，A、∵3×（﹣3）＝﹣9≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B、∵﹣2×3＝﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；C、∵1×6＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；D、∵﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．（3分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．7．（3分）已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A．2 B．C．3 D．4【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO＝3，AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，求出2AO•BO＝4，即可得出答案．【解答】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD＝6，∴AB＝，AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD，∴AO+BO＝3，∴AO2+BO2＝AB2，（AO+BO）2＝9，即AO2+BO2＝5，AO2+2AO•BO+BO2＝9，∴2AO•BO＝4，∴菱形的面积＝AC•BD＝2AO•BO＝4；故选：D．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）与y＝（m ≠0）的图象相交于点A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式kx+b＞的解集为（）A．x＜﹣6 B．﹣6＜x＜0或x＞2C．x＞2 D．x＜﹣6或0＜x＜2【分析】根据函数的图象和交点坐标即可求得结果．【解答】解：不等式kx+b＞的解集为：﹣6＜x＜0或x＞2，故选：B．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．4﹣2B．3﹣4 C．1 D．【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝4，∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE＝AD是解题的关键，也是本题的难点．10．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S ＝4，S△CDE＝16，则△ACD的面积为（）△BDEA．64 B．72 C．80 D．96【分析】由S△BDE＝4，S△CDE＝16，得到S△BDE：S△CDE＝1：4，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出＝，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后求出△ACD的面积．【解答】解：∵S△BDE＝4，S△CDE＝16，∴S△BDE：S△CDE＝1：4，∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，∴＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△DBE∽△ABC，∴S△DBE：S△ABC＝1：25，∴S△ACD＝80．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）11．（3分）已知某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为1，则较长的一边长为．【分析】根据黄金分割的定义解答即可．【解答】解：∵某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为1，所以较长的一边长为，故答案为：【点评】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．12．（3分）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20 %．【分析】设该药品平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格是25×（1﹣x），第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的为25×（1﹣x）（1﹣x）＝16，解方程即可求解．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得25×（1﹣x）（1﹣x）＝16，整理得25×（1﹣x）2＝16，解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去）；即该药品平均每次降价的百分率是20%．故答案为：20%．【点评】本题需注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．13．（3分）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k的值为﹣6 ．【分析】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，∴C（﹣3，2），∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴2＝，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式．14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°．若点D为AB的中点，P 为边AB上一点，且∠CDP＝90°，将∠CDP绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），角的两边分别与边AC、BC相交于M、N两点，则＝．【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得CD＝AD＝DB，则∠ACD＝∠A ＝30°，∠BCD＝∠B＝60°，由于∠CDP＝90°，可利用互余得∠CPD＝60°，再根据旋转的性质得∠PDM＝∠CDN＝α，于是可判断△PDM∽△CDN，然后，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，∴CD＝AD＝DB，∴∠ACD＝∠A＝30°，∠BCD＝∠B＝60°，∵∠CDP＝90°，∴∠CPD＝60°，∴∠MPD＝∠NCD，∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），∴∠PDM＝∠CDN＝α，∴△PDM∽△CDN，∴＝，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD＝tan30°＝，∴＝tan30°＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了相似三角形的判定与性质．三.解答题（共9小题，计58分，解答应写出过程）15．（5分）解方程（x+4）2＝5（x+4）【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：（x+4））2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x+4﹣5）＝0，x+4＝0，x+4﹣5＝0，x＝﹣4，x2＝1．1【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．16．（5分）已知m是方程x2+3x﹣1＝0的一个根，求代数式2m2+6m﹣3的值．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把x＝m入方程即可得到m2+3m的形式，再整体代入m2+3m ＝1，即可求解．【解答】解：根据题意得：m2+3m﹣1＝0，∴m2+3m＝1，∴2m2+6m﹣3＝2（m2+3m）﹣3＝2﹣3＝﹣1．【点评】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．17．（6分）画出下面立体图的三视图．【分析】从正面看下面是一个横着的长方形，上面是一个竖着的长方形；从左面看下面是一个横着的长方形，上面是一个三角形；从上面看是一个大正方形中右上一个小正方形．【解答】解：如图所示：【点评】考查了作三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来．18．（7分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．【解答】解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．（2）给出方程的两根，根据所给方程形式，可利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝2（m+1），代入且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，即可解答．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝[﹣2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）＝16+8m＞0，解得：m＞﹣2；（2）根据根与系数的关系可得：x+x2＝2（m+1），1∵（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，∴[2（m+1）]2﹣2（m+1）﹣12＝0，解得：m1＝1或m2＝﹣（舍去）∵m＞﹣2；∴m＝1．【点评】根据方程的根的情况即可得到关于未知系数的不等式，转化为结不等式的问题，另外（2）把求未知系数的问题，根据一元二次方程的根与系数的关系即可转化为方程的问题．20．（8分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．【分析】（1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率；（2）根据图表（1）得出）“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．【解答】解：（1）列表如下：∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，∴P（甲）＝＝；（2）∵“和是4的倍数”的结果有3种，∴P（乙）＝＝；∵，即P（甲）≠P（乙），∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．【点评】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F分别为AD，CD的中点，连接BE，BF，延长BE交CD的延长线于点M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若MD＝6，BC＝12，求BF的长度．（结果可保留根号）【分析】（1）先求出四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可；（2）求出DM＝AB＝6，根据矩形的性质得出CD＝AB＝6，求出CF，根据勾股定理求出BF即可．【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝∠ADC，∴∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠M，∵E为AD的中点，∴AE＝DE．在△ABE和△DME中，∴△ABE≌△DME（AAS），∴AB＝DM＝6，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝DM＝6，∠C＝90°，∵F为CD的中点，∴CF＝CD＝3，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝＝3．【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD是矩形是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．22．（12分）如图，已知反比例函数y＝（x＞0，k是常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM 与BN的交点为C．（1）求出反比例函数解析式；（2）求证：△ACB∽△NOM．（3）延长线段AB，交x轴于点D，若点B恰好为AD的中点，求此时点B的坐标．【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中，求出k，即可得出结论；（2）先判断出四边形OMCN是矩形，得出CN＝OM，ON＝CM，∠MCN＝90°，再求出OM＝1，ON＝n，AC＝4﹣n，BC＝m﹣1，进而判断出＝，即可得出结论；（3）先判断出AD＝2AB，再判断出△ACB∽△AMD，得出＝，进而求出n，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数y＝图象上，∴k＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为y＝；（2）由（1）知，反比例函数解析式为y＝，∵点B（m，n）在反比例函数上，∴mn＝4，∴m＝，∵AM⊥x轴，BN⊥y轴，∴∠OMC＝∠ONC＝90°＝∠MON，∴四边形OMCN是矩形，∴CN＝OM，ON＝CM，∠MCN＝90°，∴∠ACB＝90°＝∠NOM，∵AM⊥x轴，∴M（1，0），∵BN⊥y轴，∴N（0，n），∴C（1，n），∴OM＝CN＝1，ON＝n，∵A（1，4），B（m，n），∴AC＝4﹣n，BC＝m﹣1，∴＝＝﹣1＝m﹣1，＝＝m﹣1，∴＝，∵∠MON＝∠BCA＝90°，∴△ACB∽△NOM；（3）∵点B恰好为AD的中点，∴AD＝2AB，∵BN⊥y轴，∴BN∥OM，∴△ACB∽△AMD，∴＝，由（2）知，BC＝m﹣1，AC＝4﹣n，∵AM⊥x轴，A（1，4），∴AM＝4，∴＝，∴2（4﹣n）＝4，∴n＝2，∵mn＝4，∴m＝2，∴B（2，2）．【点评】此题是反比例函数综合题．主要考查了待定系数法，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握两边对应成比例，夹角相等的两三角形相似是解本题的关键．23．（15分）问题探究（1）如图1，已知锐角△ABC中，点D在BC边上，当线段AD最短时，请你在图中画出点D的位置．（2）若一个四边形的四个顶点分别在一个三角形的三条边上，则称这个四边形为该三角形的内接四边形．如图2，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°．矩形BEFG是△ABC的内接矩形，若EF＝2，则矩形BEFG的面积为如图3，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝45°，矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形且D、E在边BC上．若EF＝2，求矩形DEFG的面积；问题解决：（3）如图4，△ABC是一块三角形木板余料，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，木匠师傅想利用它裁下一块矩形DEFG木块，矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形且D、E在边BC上，请在图4中画出对角线DF最短的矩形DEFG，请说明理由，并求出此时DF的长度．【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，点D即可所求；（2）当△ABC为直角三角形时，由EF∥AB可得出△CEF∽△CBA，利用相似三角形的性质可求出CE的长度，进而可得出BE的长度，再利用矩形的面积公式即可得出矩形BEFG的面积；当△ABC为锐角三角形时，过点A作AM⊥BC于点M，则AM＝AB＝6，△BDG ∽△BMA，△CEF∽△CMA，利用相似三角形的性质可得出BD＝BM，CE＝CM，进而可求出DE的长度，再利用矩形的面积公式即可得出矩形BEFG的面积；（3）过点A作AN⊥BC于点N，则AN＝AB＝3，设EF＝x（0＜x＜3），由（2）可知：DE＝BC﹣•BC＝8﹣＝（3﹣x），利用勾股定理可得出DF2＝x2﹣x+64，利用配方法可求出DF2的最小值，开方后即可得出DF的最小值，此题得解．【解答】解：（1）在图1中，过点A作AD⊥BC于点D．（2）在图2中，∵四边形BEFG为矩形，∴EF∥AB，∴△CEF∽△CBA，∴＝，即＝，∴CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝，∴S矩形BEFG＝BE•EF＝×2＝．故答案为：．在图3中，过点A作AM⊥BC于点M，则AM＝AB＝6，同理可得出：△BDG∽△BMA，△CEF∽△CMA，∴＝，＝，即＝，＝，∴BD＝BM，CE＝CM，∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝BC＝，∴S矩形BEFG＝DE•EF＝×2＝．（3）在图4中，过点A作AN⊥BC于点N，则AN＝AB＝3．设EF＝x（0＜x＜3），由（2）可知：DE＝BC﹣•BC＝8﹣＝（3﹣x），∴DF2＝DE2+EF2＝（3﹣x）2+x2＝x2﹣x+64＝（x﹣）2+．∵＞0，∴当x＝时，DF2取最小值，最小值为，∴DF的最小值为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的面积、勾股定理以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）牢记点到直线之间垂直线段最短；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长度；（3）利用勾股定理找出DF2＝x2﹣x+64，再利用二次函数的性质解决最值问题．中数学；邮箱：xayzjy2@；学号：24958757。
2019届陕西省西安市九年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】
2019届陕西省西安市九年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、单选题1. 比大的数是（）A. B. C. D.2. 下列几何体是由个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A. B. C. D.二、选择题3. 下列运算正确的是（）(A) (B)(C) (D)三、单选题4. 如图，在中，点、分别在、边上，且，若，则的值等于（）A. B. C. D.5. 如图，过反比例函数的图象上一点作轴于点，连接.若，则的值为（）A. B. C. D.6. 如图，菱形的周长为，高长为，则对角线长和长之比为（）A. B. C. D.7. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，作轴于点，将绕点逆时针旋转得到.若点的坐标为，则点的坐标为（）A. B. C. D.8. 如图，是斜边上的高.若，，则为（）A. B. C. D.9. 如图，四边形和四边形都是矩形，且点恰好在上.若，，则为（）A. B. C. D.10. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（）A. B. C. D.四、填空题11. 一元二次方程的根是．12. 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分.A.在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为、，将线段经过平移后得到线段.若点的对应点为，则点的对应点的坐标是__________.B.比较______________.（填“>”、“=”或“<”）13. 如图，平行四边形中，，，顶点、在双曲线上，边交轴于点，若点恰好是的中点，则_________________.14. 如图，在四边形中，，对角线，若，，则四边形面积的最大值是_______________.五、判断题15. 计算：（1）；（2）.六、解答题16. 解分式方程：七、判断题17. 如图，已知，，请用尺规过点作一条直线，使其将分成两个相似的三角形.（保留作图痕迹，不写作法）八、解答题18. 某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）回收的问卷数为份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为；（2）把条形统计图补充完整；（3）若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？九、判断题19. 如图，在平行四边形中，的平分线分别与、交于点、.（1）求证：；（2）当，时，求的值.20. 如图，某中学九年级数学兴趣小组测量旗杆的高度，在点测得旗杆顶端的仰角，向前走了米到达点，在点测得旗杆顶端的仰角，求旗杆的高度.（结果保留根号）21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点.（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；（2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标.十、解答题22. 四张小卡片上分别写有数字 1、2、3、4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀．（1）随机地从盒子里抽取一张，求抽到数字 3的概率；（2）随机地从盒子里抽取一张，将数字记为 x，不放回再抽取第二张，将数字记为y．请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点（x，y）在函数图象上的概率．十一、判断题23. 如图，平面直角坐标系中，在四边形中，，，，，，点是轴上一个动点，点不与点、重合，连接，点是边上一点，连接.（1）求点的坐标；（2）若是等腰三角形，求此时点的坐标；（3）当点在边上，，且时，求此时点的坐标.24. 提出问题在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”.探究问题（1）如图①，在中，，，，请你过点画出的一条“等分积周线”，与交于点，并求出的长；（2）如图②，在中，，且，过点画一条直线，其中点为上一点，你觉得可能是的“等分积周线”吗？请说明理由；解决问题（3）西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处.在某地的街心花园中有一块如图③所示的空地，其中，，，，现要在这块空地上修建一条笔直的水渠（渠宽不计），使这条水渠所在的直线既平分四边形的周长，又平分四边形的面积，且要求这条水渠必须经过边.请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠与边的交点到点的距离.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】。
2018-2019学年陕西省西安交大附中分校九年级(上)期末数学试卷
2018-2019学年陕西省西安交大附中分校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣5的倒数是（）A．5B．C．﹣D．﹣52．（3分）某正方体每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“厉”字所在面相对的面上的汉字是（）A．国B．了C．的D．我3．（3分）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．15°B．35°C．25°D．40°4．（3分）若正比例函数的图象经过点（1，﹣2），则这个图象必经过点（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣1）5．（3分）下列运算正确的是（）A．a2•a5＝a10B．a3+a2＝a5C．（2ab2）3＝6a3b6D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b26．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝6，则AD的长为（）A．2B．3C．4D．4.57．（3分）直线y＝﹣2x﹣1关于y轴对称的直线与直线y＝﹣2x+m的交点在第四象限，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m＜1C．﹣1＜m＜1D．﹣1≤m≤1 8．（3分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝12，BD＝8，CD＝6，E、F、G、H 分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．14B．18C．20D．229．（3分）如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（）A．50°B．55°C．65°D．70°10．（3分）函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）11．（3分）将实数﹣2，π，﹣用“＜”连接．12．（3分）一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线了l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是．13．（3分）如图，反比例函数y＝，（k＞0）经过正方形ABCD的顶点C，D，若正方形的边长为4，则k的值为．14．（3分）如图，点O是▱ABCD的对称中心，点E在边AB上，点F是DE的中点，连接EO并延长交CD于点G．若BE＝3CG，则△EOF与▱ABCD的面积之比等于．三．解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）15．（5分）计算：（）0﹣tan60°﹣|﹣2|16．（5分）化简（1﹣）÷．17．（5分）如图，∠ACB＝∠CDB＝90°，在线段CD上求作一点P，使△APC∽△CDB．（不写作法，保留作图痕迹）18．（5分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．19．（7分）为了了解初三学生参加物理实验操作中得分的情况，学校对初三学生进行随机抽样调查，图1，图2是根据绘制的两幅不完整的统计图，其中，A、B、C、D分别表示本次测试的得分为10分、9分、8分和7分请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查的这组数据的中位数是．（2）求所抽取的所有学生的平均得分；（3）现规定物理实验操作测试得分不低于8分，物理实验操作成绩记录为“优秀”．若该校1500名学生，你估计全校可能有多少名初三学生物理实验操作成绩为优秀？20．（7分）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D．然后测出两人之间的距CD＝1.25m，颖颖与楼之间的距离DN＝30m（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高BD＝1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？21．（7分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．该公司准备投入资金y万元，购买A，B两种机器人共8台，其中购进A型机器人x台．下表是某科技公司提供给快递公司有关两种型号的机器人分拣速度和单价的信息．型号分拣速度单价A1200件/小时6万元/台B1000件/小时4万元/台（1）求y关于x的函数关系式；（2）若要使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，该公司至少需要投入资金多少万？22．（7分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为．（2）小明和小颖用转盘做游戏，每人转动转盘一次，若两次指针所指数字之和为奇数，则小明胜，否则小颖胜（指针指在分界线时重转），这个游戏对双方公平吗？请用树状图或者列表法说明理由．23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以AD是直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线EF交CD于点F，（1）求证：EF⊥CD；（2）若AC＝10，cos A＝，求线段DF的长．24．（10分）已知：抛物线l，y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线l的顶点P的坐标为，A的坐标为；（2）将抛物线l先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到抛物线l1，请直接写出平移后的抛物线l1的表达式；（3）将抛物线l向右平移m个单位长度，得到抛物线l2，其中点A的对应点为点M，若点M、A、P是恰好一个矩形的三个顶点，请求出m的值25．（12分）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”（例如圆的直径就是圆的“和谐线段”）问题探究：（1）如图①，已知△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，请写出△ABC的两条“和谐线段”的长．（2）如图②，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，请直接写出该平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最大值和最小值；问题解决（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图，其中AB＝2，CD＝10，∠A＝135°，∠B＝90°，tan C＝，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）。
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（1）求出反比例函数解析式； （2）求证：△ACB∽△NOM． （3）延长线段 AB，交 x 轴于点 D，若点 B 恰好为 AD 的中点，求此时点 B 的坐标．
分别是 6 和 4，反比例函数 y＝ （x＜0）的图象经过点 C，则 k 的值为
．
14．（3 分）在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝60°．若点 D 为 AB 的中点，P 为边 AB 上一点，且∠CDP＝90°，将∠CDP 绕点 D 顺时针方向旋转 α（0°＜α＜60°），角的
两边分别与边 AC、BC 相交于 M、N 两点，则 ＝
⊥AB，垂足为 F，则 EF 的长为（ ）
A．4﹣2
B．3 ﹣4
C．1
D．
10．（3 分）如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，BC 上的点，且 DE∥AC，若 S△BDE＝
4，S△CDE＝16，则△ACD 的面积为（ ）
第2页（共7页）
A．64
B．72
C．80
D．96
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）如果 2x＝3y（x、y 均不为 0），那么下列各式中正确的是（ ）
A． ＝B． ＝3来自C． ＝D． ＝
4．（3 分）当 k＜﹣ 时，关于 x 的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0 的根的情况
是（ ）
A．两个相等的实根 C．无实根
B．两个不相等的实根 D．无法判断
如图 3，在△ABC 中，AB＝6 ，BC＝8，∠B＝45°，矩形 DEFG 是△ABC 的一个内接矩 形且 D、E 在边 BC 上．若 EF＝2，求矩形 DEFG 的面积；
第5页（共7页）
问题解决： （3）如图 4，△ABC 是一块三角形木板余料，AB＝6，BC＝8，∠B＝30°，木匠师傅想利
23．（15 分）问题探究
（1）如图 1，已知锐角△ABC 中，点 D 在 BC 边上，当线段 AD 最短时，请你在图中画出 点 D 的位置．
（2）若一个四边形的四个顶点分别在一个三角形的三条边上，则称这个四边形为该三角形 的内接四边形．
如图 2，在 Rt△ABC 中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°．矩形 BEFG 是△ABC 的内接矩形， 若 EF＝2，则矩形 BEFG 的面积为
5．（3 分）已知点（3，﹣2）在反比例函数 y＝ 的图象上，则下列点也在该反比例函数 y
＝ 的图象的是（ ）
A．（3，﹣3）
B．（﹣2，3）
C．（1，6）
D．（﹣2，﹣3）
6．（3 分）下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ）
第1页（共7页）
A．
B．
C．
D．
7．（3 分）已知菱形的周长为 4 ，两条对角线的和为 6，则菱形的面积为（ ）
等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则： 同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为 3 的倍数，甲胜； 若指针所指两个区域的数字之和为 4 的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要 重新转动转盘． （1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率； （2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
11．（3 分）已知某矩形的一组邻边之比等于黄金比，且较短的一边长为 1，则较长的一边长
为
．
12．（3 分）某药品原价每盒 25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次
降价，现在售价每盒 16 元，则该药品平均每次降价的百分率是
%．
13．（3 分）如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条对角线的长
．
三.解答题（共 9 小题，计 58 分，解答应写出过程） 15．（5 分）解方程 （x+4）2＝5（x+4） 16．（5 分）已知 m 是方程 x2+3x﹣1＝0 的一个根，求代数式 2m2+6m﹣3 的值． 17．（6 分）画出下面立体图的三视图．
第3页（共7页）
18．（7 分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己 的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上，已知纸板的两条 直角边 DE＝40cm，EF＝20cm，测得边 DF 离地面的高度 AC＝1.5m，CD＝8m，求树高 AB．
A．2
B．
C．3
D．4
8．（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝kx+b（k≠0）与 y＝ （m≠0）的图
象相交于点 A（2，3），B（﹣6，﹣1），则不等式 kx+b＞ 的解集为（ ）
A．x＜﹣6
B．﹣6＜x＜0 或 x＞2
C．x＞2
D．x＜﹣6 或 0＜x＜2
9．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且∠BAE＝22.5°，EF
2018-2019 学年陕西省西安交大附中分校九年级（上）期中数学
试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝1
B．ax2+bx+c＝0
C．（x﹣3）2+15＝x2﹣5x+1
D．x2﹣5 ＝1
2．（3 分）如图所示，该几何体的俯视图应为（ ）
21．（12 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠ADC，E，F 分别为 AD，CD 的中点，连接 BE，BF，延长 BE 交 CD 的延长线于点 M．
（1）求证：四边形 ABCD 为矩形；
第4页（共7页）
（2）若 MD＝6，BC＝12，求 BF 的长度．（结果可保留根号）
19．（8 分）已知关于 x 的方程 x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0． （1）当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设 x1、x2 是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求 m 的值． 20．（8 分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘 A、B 分成 4 等份、3