2019-2020学年江苏省无锡市锡中实验学校八年级(上)期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年江苏省无锡市锡中实验学校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列图案中是轴对称图形的是( ) A ．B ．C ．D ．2．（3分）下列结论：①2；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应； ④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的是( ) A ．①② B ．②③C ．③④D ．②③④3．（31x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >且2x ≠B ．1xC ．2x ≠D ．1x 且2x ≠4．（3分）下列计算正确的是( ) A 2010=B 236=C 422=D 2(3)3-=-5．（3分）下列命题中，是假命题的是( )A ．在ABC ∆中，若BC A ∠=∠-∠，则ABC ∆是直角三角形 B ．在ABC ∆中，若2()a b c =+ ()b c -，则ABC ∆是直角三角形 C ．在ABC ∆中，若::3:4:5A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形D ．在ABC ∆中，若::3:4:5a b c =，则ABC ∆是直角三角形6．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则点C 到AB 的距离是( ) A ．125B ．425C ．34D ．947．（3分）底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A 点爬到B 点，则蚂蚁爬行的最短距离是( )A．10B．8C．5D．48．（3分）如图，DE是ABC∆=，则ABDAB cmBC cm∆中边AC的垂直平分线，若18=，10的周长为()A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm9．（3分）如图，ABC∠的平分线交于点F，过点F作//DE BC，分∠与ACB∆中，ABC别交AB、AC于点D、E，那么下列结论：①BDF∆和CEF∆都是等腰三角形；②F为DE 中点；③ADE∆的周长等于AB与AC的和；④BF CF=．其中正确的有()A．①③B．①②③C．①②D．①④10．（3分）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，ABC∠=︒，ADC∆是等边三角形，30 AD=，64BD=，则CD的长为()A．32B．4C．25D．213二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（29=．12．（2分）已知15<<，且a、b为两个连续的整数，则a ba b+=．13．（2分）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30︒角，那么这棵树折断之前的高度是米．14．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70︒，则顶角的度数是． 15．（2分）如图AD 是ABC ∆的中线，60ADC ∠=︒，4BC =，把ADC ∆沿直线AD 折叠后，点C 落在C '的位置上，那么BC '为．16．（2分）在44⨯的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有种．17．（2分）如图所示，//AB CD ，O 为BAC ∠、ACD ∠的平分线的交点，OE AC ⊥于E ，且12OA =，5OE =，则AB 与CD 之间的距离等于．18．（2分）如图，在钢架AB 、AC 中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条12PP 、23P P 、34P P ⋯来加固钢架，且112AP PP =，则BAC ∠的最大值为．（结果保留整数）三、解答题（本大题共9小题，共84分） 19．（16分）计算：（1）201|32|(37)-+--- （2）112226183--+ （3）505(232)(232)÷++- （4）12323+++20．（6分）已知，1x -的平方根是2±，25x y ++的立方根是3，求22x y +的算术平方根． 21．（8分）如图，点P 为ABC ∆三边垂直平分线的交点，20PAC ∠=︒，30PCB ∠=︒，（1）求PAB ∠的度数；（2）直接写出APB ∠与ACB ∠的数量关系．22．（8分）如图，四边形ABCD 是一个四边形的草坪，AB 与AD 垂直，通过测量，获得如下数据：12AB m =，14BC m =，5AD m =，33CD m =，请你测算这块草坪的面积．（结果保留准确值）23．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（用阴影表示）．（1）在图（a ）中，画一个不含直角的三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图（b 17（3）在图（c ）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数．24．（10分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒．（1）在斜边AB 上确定一点E ，使点E 到点B 距离和点E 到AC 的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若6BC =，8AC =，点E 到AC 的距离为ED ，求BD 的长．25．（10分）如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB BD ⊥、ED BD ⊥，连结AC 、EC ．已知6AB =，2DE =，15BD =，设CD x =．（1）用含x 的代数式表示AC CE +的值；（写出过程）（2）请问点C 满足条件时，AC CE +的值最小；（3）根据（2）中的结论，画图并标上数据，求代数式224(4)1x x ++-+的最小值．26．（10分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，45ABC ACB ∠=∠=︒，在ABC ∆外侧作ACM ∠，使得12ACM ABC ∠=∠，点D 是射线CB 上的动点，过点D 作直线CM 的垂线，垂足为E ，交直线AC 于F ．（1）当点D 与点B 重合时，如图1所示，线段DF 与EC 的数量关系是；（2）当点D 运动到CB 延长线上某一点时，线段DF 和EC 是否保持上述数量关系？请在图2中画出图形，并说明理由．27．（10分）已知ABC ∆中，C ∠是最小的一个内角，过顶点B 的一条直线交AC 于点D ，直线BD 将原三角形分割成两个等腰三角形ABD ∆和BCD ∆，ABD ∆中BD AD =，请探究A ∠与C ∠的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图案中是轴对称图形的是( ) A ．B ．C ．D ．解：A 、不是轴对称图形，故此选项错误； B 、不是轴对称图形，故此选项错误； C 、不是轴对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，故此选项正确．故选：D ．2．（3分）下列结论：①2；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示； ③实数与数轴上的点一一对应； ④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④解：①任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故说法错误； ②任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故说法正确； ③实数与数轴上的点一一对应，故说法正确； ④有理数有无限个，无理数也有无限个，故说法错误．所以只有②③正确，故选：B ． 3．（31x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．1x >且2x ≠B ．1xC ．2x ≠D ．1x 且2x ≠解：由分式及二次根式有意义的条件可得：10x -，20x -≠，解得：1x ，2x ≠，故选：D ．4．（3分）下列计算正确的是( )A =B 36=C =D 3=-解：A =A 错误；B 、二次根式相乘除，等于把它们的被开方数相乘除，故B 正确；C 2-=-，故C 错误；D |3|3=-=，故D 错误．故选：B ．5．（3分）下列命题中，是假命题的是( )A ．在ABC ∆中，若BC A ∠=∠-∠，则ABC ∆是直角三角形 B ．在ABC ∆中，若2()a b c =+ ()b c -，则ABC ∆是直角三角形 C ．在ABC ∆中，若::3:4:5A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形D ．在ABC ∆中，若::3:4:5a b c =，则ABC ∆是直角三角形解：A 、在ABC ∆中，若B C A ∠=∠-∠，则ABC ∆是直角三角形，是真命题； B 、在ABC ∆中，若2()a b c =+ ()b c -，则ABC ∆是直角三角形，是真命题； C 、在ABC ∆中，若::3:4:5A B C ∠∠∠=，则ABC ∆是直角三角形，是假命题；D 、在ABC ∆中，若::3:4:5a b c =，则ABC ∆是直角三角形，是真命题；故选：C ．6．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则点C 到AB 的距离是( ) A ．125B ．425C ．34D ．94解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则有222AC BC AB +=， 4BC =，3AC =，5AB ∴==，设AB 边上的高为h ，则1122ABC S AC BC AB h ∆==， 125h ∴=，故选：A ．7．（3分）底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A 点爬到B 点，则蚂蚁爬行的最短距离是( )A ．10B ．8C ．5D ．4解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为12cm ，则11262BC cm =⨯=．又因为8AC cm =，所以226810AB cm =+=．故蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是10cm ．故选：A ．8．（3分）如图，DE 是ABC ∆中边AC 的垂直平分线，若18BC cm =，10AB cm =，则ABD ∆的周长为( )A ．16cmB ．28cmC ．26cmD ．18cm解：DE 是ABC ∆中边AC 的垂直平分线， AD CD ∴=，ABD ∴∆的周长AB BD AD AB BD CD AB BC =++=++=+， 18BC cm =，10AB cm =，ABD ∴∆的周长181028cm cm cm =+=．故选：B ．9．（3分）如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②F 为DE 中点；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =．其中正确的有( )A ．①③B ．①②③C ．①②D ．①④解：//DE BC ，DFB FBC ∴∠=∠，EFC FCB ∠=∠，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ， DBF FBC ∴∠=∠，ECF FCB ∠=∠，DBF DFB ∴∠=∠，ECF EFC ∠=∠， DB DF ∴=，EF EC =，即BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；故①正确；BD 与CE 无法判定相等， DF ∴与EF 无法判定相等，故②错误；ADE ∴∆的周长为：AD DE AE AB BD CE AE AB AC ++=+++=+；故③正确；ABC ∠不一定等于ACB ∠， FBC ∴∠不一定等于FCB ∠，BF ∴与CF 不一定相等，故④错误．故选：A．10．（3分）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，ABC∠=︒，∆是等边三角形，30ADCAD=，64BD=，则CD的长为()A．32B．4C．25D．213解：如图所示，将BCD∆，连结CE，DE，∆绕点C顺时针旋转60︒得到ACE由旋转的性质知DC ECBD AE==，∠=∠=︒，6=，60DCE ACB则DCE∆为等边三角形，∠=︒，ADC30∴∠=︒，ADE90222∴+=，AD DE AE222∴+=，DE46∴==．25DE CD故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（29=3．=．93故答案为：3．12．（2分）已知15a b<<，且a、b为两个连续的整数，则a b+=7．解：91516<<，<<，∴3154b=，∴=，43a∴+=+=．a b347故答案为：713．（2分）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30︒角，那么这棵树折断之前的高度是6米．解：一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30︒角，如图，可知：90ABC∠=︒，AC=米，30∠=︒，2ACBAB AC∴==米，24+=（米)．∴折断前高度为246故答案为6．14．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70︒，则顶角的度数是20︒或160︒．解：①当为锐角三角形时，如图1，∠=︒，BD AC⊥，ABD70∴∠=︒-︒=︒，A907020∴三角形的顶角为20︒；②当为钝角三角形时，如图2，50ABD∠=︒，BD AC⊥，907020BAD∴∠=︒-︒=︒，180BAD BAC∠+∠=︒，160BAC∴∠=︒∴三角形的顶角为160︒，故答案为：20︒或160︒．15．（2分）如图AD是ABC∆的中线，60ADC∠=︒，4BC=，把ADC∆沿直线AD折叠后，点C落在C'的位置上，那么BC'为2．解：根据题意：4BC=，D为BC的中点；故2BD DC==．由轴对称的性质可得：60ADC ADC∠=∠'=︒，2DC DC='=，则60BDC∠'=︒，故BDC∆'为等边三角形，即可得122BC BD BC'===．故答案为：2．16．（2分）在44⨯的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有4种．解：如图所示．这样的添法共有4种．故答案为：4．17．（2分）如图所示，//AB CD ，O 为BAC ∠、ACD ∠的平分线的交点，OE AC ⊥于E ，且12OA =，5OE =，则AB 与CD 之间的距离等于 10 ．解：如图，过点O 作MN ，MN AB ⊥于M ，交CD 于N ，//AB CD ， MN CD ∴⊥，AO 是BAC ∠的平分线，OM AB ⊥，OE AC ⊥，5OE =，5OM OE ∴==，CO 是ACD ∠的平分线，OE AC ⊥，ON CD ⊥，5ON OE ∴==，10MN OM ON ∴=+=，即AB 与CD 之间的距离是10．故答案为10．18．（2分）如图，在钢架AB 、AC 中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条12PP 、23P P 、34P P ⋯来加固钢架，且112AP PP =，则BAC ∠的最大值为 12︒ ．（结果保留整数）解：设BAC x ∠=，1122367AP PP P P P P ===⋯=，21A AP P x ∴∠=∠=，2132P PP x ∴∠=，3243P P P x ∴∠=，⋯，7867P P P x ∠=，790x ∴︒且890x >︒，则9011.25()7BAC ︒<∠︒，故BAC ∠的最大值约为12︒．故答案为：12︒．三、解答题（本大题共9小题，共84分）19．（16分）计算：（1）20132|(37)-+---（211226183--+ （3505(232)(232)÷-（42323++解：（1）原式1231=-+3=-；（2）原式2322332=-+2=；（3）原式505122=÷-1010=+；（4）原式2323=-++4=．20．（6分）已知，1x -的平方根是2±，25x y ++的立方根是3，求22x y +的算术平方根．解：1x -的平方根是2±，14x ∴-=，5x ∴=，25x y ++的立方根是3，2527x y ∴++=，把x 的值代入解得：12y =，22169x y ∴+=，22x y ∴+的算术平方根为13．21．（8分）如图，点P 为ABC ∆三边垂直平分线的交点，20PAC ∠=︒，30PCB ∠=︒，（1）求PAB ∠的度数；（2）直接写出APB ∠与ACB ∠的数量关系 2APB ACB ∠=∠ ．解：（1）P 为ABC ∆三边垂直平分线的交点，PA PC PB ∴==，20PAC PCA ∴∠=∠=︒，30PBC PCN ∠=∠=︒，PAB PBA ∠=∠，1(180220230)402PAB ∴∠=︒-⨯︒-⨯︒=︒．（2）1804040100APB ∠=︒-︒-︒=︒，50ACB ACP PCB ∠=∠+∠=︒，2APB ACB ∴∠=∠．故答案为2APB ACB ∠=∠．22．（8分）如图，四边形ABCD 是一个四边形的草坪，AB 与AD 垂直，通过测量，获得如下数据：12AB m =，14BC m =，5AD m =，33CD m =，请你测算这块草坪的面积．（结果保留准确值）解：连接BD ，如图所示：在Rt ABD ∆中，12AB m =，5AD m =，根据勾股定理得：222251213BD AD AB m =++=，又14BC m =，33CD m =，2196BC ∴=，2216927196BD CD +=+=，222BD CD BC ∴+=，BDC ∴∆为直角三角形，则239311111251333302222ABD BDC ABCD S S S AB AD BD DC m ∆∆⎛=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=+ ⎝四边形．答：这块草坪的面积是2393(30m +． 23．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（用阴影表示）．（1）在图（a ）中，画一个不含直角的三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图（b）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为17；（3）在图（c）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数．解：（1）如图（a）中ABC∆即为所求作的图形，不含直角的三角形三边长是有理数；（2）如图（b）中ABC∆即为所求作的图形，直角三角形的斜边长AB为17；（3）如图（c）中ABCBC=∆即为所求作的图形，直角三角形的斜边长为5，直角边长5和20AC=都是无理数．24．（10分）如图，Rt ABC∠=︒．C∆中，90（1）在斜边AB上确定一点E，使点E到点B距离和点E到AC的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若6AC=，点E到AC的距离为ED，求BD的长．BC=，8【解答】解；（1）如图，点E为所作；（2）设DE BE x==，在Rt ABC ∆中，226810AB =+=， 10AE x ∴=-，//DE BC ， ADE ACB ∴∆∆∽，∴DE AE BC AB =，即10610x x -=，解得154x =， 154DE ∴=，254AE =， 222515()()544AD ∴=-=， 3CD ∴=，223635BD ∴=+=．25．（10分）如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB BD ⊥、ED BD ⊥，连结AC 、EC ．已知6AB =，2DE =，15BD =，设CD x =．（1）用含x 的代数式表示AC CE +的值；（写出过程）（2）请问点C 满足条件点C 与点A 和B 在同一条直线上时，AC CE +的值最小；（3）根据（2）中的结论，画图并标上数据，求代数式224(4)1x x ++-+的最小值．解：（1）6AB =，2DE =，15BD =，设CD x =则15BC x =-，根据勾股定理，得2222AC CE AB BC CD DE +=++2236(15)4x x =+-+（2）根据两点之间线段最短可知：当点C 与点A 和点E 在同一条直线上时，AC CE +的值最小；故答案为：点C 与点A 和点E 在同一条直线上．（3）如图所示：AB BD ⊥、ED BD ⊥，//AB DE ∴， ∴AB BC DE CD =，即142x x -=，解得83x =，则443x -=， 224(4)1x x ++-+64164199=+++ 5=答：代数式224(4)1x x ++-+的最小值为5．26．（10分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，45ABC ACB ∠=∠=︒，在ABC ∆外侧作ACM ∠，使得12ACM ABC ∠=∠，点D 是射线CB 上的动点，过点D 作直线CM 的垂线，垂足为E ，交直线AC 于F ．（1）当点D 与点B 重合时，如图1所示，线段DF 与EC 的数量关系是 2DF EC = ；（2）当点D 运动到CB 延长线上某一点时，线段DF 和EC 是否保持上述数量关系？请在图2中画出图形，并说明理由．解：（1）如图1，2DF EC =，理由是：延长BA 、CM 交于点N ，90BAC BEC ∠=∠=︒，AFB EFC ∠=∠，12ABE ACM ABC ∴∠=∠=∠， BE ∴平分ABC ∠，BC BN∴=，E∴是CN的中点，2NC CE∴=，AB AC=，90BAC CAN∠=∠=︒，BAF CAN∴∆≅∆，BF CN∴=，2BF EC∴=，即2DF EC=；（2）仍然成立，2DF EC=；理由如下：如图2，作22.5PDE∠=，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，DE PC⊥，67.5ECD∠=，22.5EDC∴∠=︒，PDE EDC∴∠=∠，45NDC∠=︒，67.5DPC∴∠=︒，在DPE∆和DEC∆中，PDE CDEDPE DCE DE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DPE DEC AAS∴∆≅∆，PD CD∴=，PE EC=，2PC CE∴=，45NDC∠=︒，45NCD∠=︒，NCD NDC∴∠=∠，90DNC∠=︒，NDC∴∆是等腰直角三角形ND NC∴=且DNC PNC∠=∠，在DNF∆和PNC∆中，DNC PNC ND NCPDE PCN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()DNF PNC ASA∴∆≅∆，DF PC∴=，27．（10分）已知ABC ∆中，C ∠是最小的一个内角，过顶点B 的一条直线交AC 于点D ，直线BD 将原三角形分割成两个等腰三角形ABD ∆和BCD ∆，ABD ∆中BD AD =，请探究A ∠与C ∠的数量关系，并说明理由．解：设ABC y ∠=，C x ∠=，过点B 的直线交边AC 于D ．在DBC ∆中， ①若C ∠是顶角，如图，则90ADB ∠>︒，1902CBD CDB x ∠=∠=︒-，180A x y ∠=︒--．此时只能有A ABD ∠=∠，即1180[90]2x y y x ︒--=-︒-， 34540x y +=︒，即31354ABC C ∠=︒-∠，4180A C ∠+∠=︒； ②若C ∠是底角，则有两种情况．第一种情况：如图，当DB DC =时，则DBC x ∠=，ABD ∆中，2ADB x ∠=，ABD y x ∠=-．由AD BD =，得180x y y x ︒--=-，此时90y =︒，即90ABC ∠=︒，90A C ∠+∠=︒，C ∠为小于45︒的任意锐角．第二种情况，如图1，当BD BC =时，BDC x ∠=，18090ADB x ∠=︒->︒，此时只能有AD BD =，从而12A ABD C C ∠=∠=∠<∠，这与题设C ∠是最小角矛盾． ∴当C ∠是底角时，BD BC =不成立．综上，A ∠与C ∠之间的关系是：4180A C ∠+∠=︒或90A C ∠+∠=︒，C ∠是小于45︒的任意角．。

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2019学年江苏省无锡市八年级上学期期中数学试卷【含答案及解析】

2019学年江苏省无锡市八年级上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列长度的各组线段，能组成直角三角形的是（）A．12，15，18 B．12，35，36 C．0.3，0.4，0.5 D．2，3，42. 下列实数，﹣，0.，，，（﹣1）0，﹣，0.1010010010001…中，其中无理数共有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3. 如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右无滑动地滚动一周，原点滚到了点A，下列说法正确的（）A．点A所表示的是πB．OA上只有一个无理数πC．数轴上无理数和有理数一样多D．数轴上的有理数比无理数要多一些4. 如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）A．10：05 B．20：01 C．20：10 D．10：025. 如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对6. 如图，△ABD≌△ACE，∠AEC=110°，则∠DAE的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是（）A．28° B．118° C．62° D．62°或118°8. 如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点（其中P、Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论：（1）BP=CM；（2）△ABQ≌△CAP；（3）∠CMQ的度数始终等于60°；（4）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9. 全球七大洲的总面积约为149 480 000km2，对这个数据精确到百万位可表示为km2．10. 的平方根是，﹣27的立方根是，当a2=64时，= ．11. 如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=35°，∠2=30°，则∠3= ．12. 一个正数的平方根为﹣m﹣3和2m﹣3，则这个数为．13. 如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC= °．14. 如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．15. 如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，若BC=9，AB=11，则△EBC的周长为．16. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为 cm．17. 如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，∠D=60°，∠ABE=28°，则∠ACB= ．18. 如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为．三、解答题19. 计算下列各式的值（1）+（）2﹣23（2）求x的值：5（x﹣1）2﹣20=0．20. 已知D、E两点在△ABC内，求作一点P，使PE=PD，且点P到∠B两边的距离相等（尺规作图，保留作图痕迹）．21. 已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．22. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60千米/时．这时一辆小汽车在一条城市街道直路上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50米C处，过了8秒后，测得小汽车位置B与车速检测仪A之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？请说明理由．23. 如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．24. 如图1，长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且，点P、Q分别是边AD、AB上的动点．（1）求BD的长；（2）①如图2，在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形？若能，请求出PA的长；若不能，请说明理由；②如图3，在BC上取一点E，使EC=5，那么当△EPC为等腰三角形时，求出PA的长．25. 已知：如图1，等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题：（1）在运动过程中，△OPQ的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（2）在等边△OAB的边上（点A除外），是否存在点D，使得△OCD为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有个．（3）如图2，现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着点C旋转，使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】。

江苏省无锡市锡山区锡东片2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)

江苏省无锡市锡山区锡东片2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列是手机中部分软件的图标，其中属于轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列长度的各组线段能组成一个直角三角形的是()A. 2cm，4cm，6cmB. √2cm,√3cm,5cmC. 13cm,14cm,15cm D. 4cm，√5cm，√21cm3.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠BAC的度数为()A. 75°B. 70°C. 65°D.35°4.如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=64，S3=289，则边AC的长度为()A. 15B. 225C. 81D. 255.有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③√3是3的平方根；④在1和3之间的无理数有且只有√2，√3，√5，√7这4个；⑤π2是分数，它是有理数，⑥1+√6是多项式．其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知一个等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是()A. 17cmB. 22cmC. 17cm或22cmD. 18cm7.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是()A. SSSB. ASAC. SSAD. HL8.在数轴上表示√5和−√3的两点间的距离是()A. √5+√3B. √5−√3C. −(√5+√3)D. √3−√59.如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，则BD的长为()．A. 3B. 4C. 5D. 610.如图，△ABC中，∠A=35°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB=85°，则原三角形的∠ABC的度数为()A. 55°B. 65°C. 75°D. 85°二、填空题（本大题共8小题，共18.0分）11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=4，BC=3，则AD=______ ．12.比较大小：2_____√5.(用“>”、“<”或“=”填空)3中，无理数的个数是______．13.在实数−7，√5，π，−√2714.全球七大洲的总面积约为149 480 000km2，对这个数据精确到百万位可表示为______ km2．15.在△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，AD是角平分线，则AD=________cm，△ABC的面积为________cm2．16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，若∠CDB=90°，BD=3，AD=√65，则AC长为______ ．17.如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且AD=BD，AE=CE.则∠A的度数为．18.如图，在长方形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O.若AO=5cm，则AB的长为________．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.计算．(1)|−2|+(−1)2+(−5)0−√4；3．(2)(√3)2−√81+√27四、解答题（本大题共7小题，共62.0分）20.解方程(1)(x+2)2=25(2)3x3−81=0．21.如图，已知：∠CAB=∠DBA，AC=BD.求证：△ABD≌△BAC．22.已知2b+1的平方根为±3，3a+2b−1的算术平方根为4，求3b−a的立方根．23.如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：(1)CF=EB.(2)AB=AF+2EB．24.如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，连接AE、CD交于点F，连接BF.求证：(1)AE=CD；(2)BF平分∠AFD．25.如图，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD=2，BC=3，AB=12，P是线段AB上的一个动点，连接PD，PC(1)设AP=x，用二次根式表示线段PD，PC的长；(2)设y=PD+PC，求当点P在线段AB上运动时，y的最小值；(3)利用(2)的结论，试求代数式√x2+9+√(24−x)2+16的最小值．26.如图，△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，若动点P从点C开始，以每秒2个单位的速度按C→A→B→C的路径运动一周．设出发的时间为t秒．(1)若t=2秒时，求△ABP的周长．(2)若△BPC是直角三角形，请直接写出时间t的取值范围．(3)是否存在某一时刻t，使得△BCP为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选B ．2.答案：D解析：解：A 、因为22+42≠62，故不能围成直角三角形，此选项错误；B 、因为(√2)2+(√3)2≠52，故不能围成直角三角形，此选项错误；C 、因为(13)2+(14)2≠(15)2，故不能围成直角三角形，此选项错误；D 、因为42+(√5)2=(√21)2，故能围成直角三角形，此选项正确．故选：D ．计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理进行计算． 3.答案：A解析：解：∵AB =AD ，∠B =70°，∴∠ADB =70°．∵AD =DC ，∴∠C =∠DAC ，∴∠C =35°，∴∠BAC =180°−70°−35°=75°．故选：A ．先根据AB =AD ，∠B =70°求出∠ADB 的度数，再由AD =DC 得出∠C =∠DAC ，根据三角形外角的性质得出∠C 的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．4.答案：A解析：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．根据正方形的面积公式结合勾股定理求出AC2，即可求出答案．解：∵S1=64，S3=289，∴BC2=64，AB2=289，由勾股定理得，AB2=BC2+AC2，∴AC2=289−64=225，∴AC=15．故选A．5.答案：B解析：本题考查了实数，利用无理数的意义，实数与数轴的关系是解题关键．根据无理数的意义，实数与数轴的关系，可得答案．解：①任何无理数都是无限小数，故①符合题意；②实数与数轴上的点一一对应，故②不符合题意；③√3是3的平方根，故③符合题意；④在1和3之间的无理数有无数个，故④不符合题意；⑤π是无理数，故⑤不符合题意；2⑥1+√6是无理数，故⑥不符合题意；故选B．6.答案：B解析：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为4cm或是腰长为9cm两种情况．解：等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，9cm，4cm+4cm<9cm不满足三角形的三边关系；当腰长是9cm时，三角形的三边是9cm，9cm，4cm，三角形的周长是22cm.故选B．7.答案：D解析：解：∵OD⊥AB，OP⊥AC，∴△ADO和△APO是直角三角形，又∵OD=OP，AO=AO，∴Rt△AOD≌Rt△AOP(HL)．故选D．根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．本题考查直角三角形全等的判定方法HL．8.答案：A解析：解：√5−(−√3)=√5+√3．故选A．根据数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数，列式计算即可得解．本题考查了实数与数轴，主要利用了数轴上两点间的距离的求法．9.答案：A解析：此题考查了折叠的性质与勾股定理.此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系．由题意可得∠AED=∠B=90°，AE=AB=3，由勾股定理即可求得AC的长，则可得EC的长，然后设BD=ED=x，则CD=BC−BD=4−x，由勾股定理CD2=EC2+ED2，即可得方程，解方程即可求得答案．解：设BD=x，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=2+BC2=√62+82=10，折叠纸片使AB边与AC边重合，B点落在点E上，AE=AB=6，BD=DE=x，EC=AC−AE=10−6=4，由线段的和差，得DC=BC−BD=8−x，在Rt△CED中，由勾股定理得：DE2+CE2=DC2，x2+42=(8−x)2，x=3．故选A．10.答案：C解析：本题考查了轴对称性质，利用轴对称的性质，灵活运用题目中的条件，进行等量代换，进而可以求解．解：∵△ABE与△A′BE关于BE对称，∴∠ABE=∠A′BE，∵△BDC与△BDC′关于BD对称，∴∠CDB=∠C′DB=85°，∠A′BC=∠A′BE，∵∠CDB+∠A′BC+∠C=180°，∴∠A′BC+∠C=180°−∠CDB=180°−85°=95°，∵∠ABC+∠A+∠C=180°，∴∠ABC+∠C=180°−∠A=180°−35°=145°，∵∠ABC=∠ABE+∠A′BE+∠A′BC=3∠A′BC，∴3∠A′BC+∠C=145°，∴2∠A′BC=50°，∴∠A′BC=25°，∴∠ABC=3∠A′BC=75°故选C．11.答案：165解析：解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S△ABC=12×3×4=12×5×CD，∴CD=125．∴AD=√AC2−CD2=√16−14425=165，故答案为：16．5根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD，然后再利用勾股定理计算出AD长即可．此题主要考查了直角三角形面积及勾股定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．12.答案：<解析：[分析]用“夹逼法”解答即可．[详解]∵4<5<9，∴2<√5<3，∴2<√5．故答案为：<．[点睛]本题主要考查了无理数的估算，熟知“夹逼法”是解题的关键．13.答案：23是有理数，解析：解：−7，−√27√5，π中是无理数，故答案为：2．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．14.答案：1.49×108解析：解：149 480 000km2≈1.49×108km2(精确到百万位)．故答案为1.49×108．先用科学记数法表示，然后根据近似数的精确度四舍五入即可．本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字． 15.答案：15；120 解析：本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理求出AD 是解决问题的关键．解：∵AB =AC =17cm ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，BD =CD =12BC =8cm ，∴∠ADB =90°，由勾股定理得：AD =√AB 2−BD 2=√172−82=15(cm)，∴△ABC 的面积=12BC ⋅AD =12×16×15=120(cm 2)；故答案为15；120． 16.答案：√58解析：解：作AE ⊥CD 于E ，如图所示：则∠AEC =∠AED =90°，∴∠ACE +∠CAE =90°，∵∠ACB =90°，即∠BCD +∠ACE =90°，∴∠BCD =∠CAE ，在△ACE 和△CBD 中，{∠AEC =∠CDB =90°∠CAE =∠BCD AC =CB, ∴△ACE ≌△CBD(AAS)，∴CE =BD =3，AE =CD ，设AE =x ，则DE =x −3，在Rt △ADE 中，AE 2+DE 2=AD 2，即x 2+(x −3)2=(√65)2，解得：x =7，或x =−4(舍去)，∴AE =7，在Rt △ACE 中，AC =√CE 2+AE 2=√32+72=√58；故答案为：√58．作AE ⊥CD 于E ，先证明△ACE ≌△CBD ，得出CE =BD =3，AE =CD ，设AE =x ，则DE =x −3，在Rt △ADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出AE =7，在Rt △ACE 中，由勾股定理求出AC 即可．本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理和构造全等三角形是解决问题的关键．17.答案：60°解析：本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质和三角形内角和定理.根据题意可达到AD=ED=AE，然后即可得到答案．解：连接DE，∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴△ADC和△AEB都是直角三角形，∵AD=BD，AE=CE，∴DE=AE，DE=AD，即AD=ED=AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠A=60°，故答案为60°．18.答案：8cm解析：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．根据折叠前后角相等可证AO= CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可．解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠EAC=∠ACD，∴AO=CO=5cm，在直角三角形ADO中，DO=√AO2−AD2=√52−42=3(cm)，AB=CD=DO+CO=3+5=8(cm)．故答案为8cm．19.答案：解：(1)原式=2+1+1−2=2；(2)原式=3−9+3=−3．解析：本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．(1)依据绝对值、有理数的乘方、零指数幂和二次根式的性质计算即可；(2)依据二次根式的性质、算术平方根、立方根的定义求解即可．20.答案：解：(1)x+2=±5∴x=−7或x=3(2)x3=27x=3解析：根据平方根与立方根的定义即可求出答案．本题立方根与平方根的定义，解题的关键是熟练运用平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．21.答案：证明：在△ABD和△BAC中，{AC=BD∠CAB=∠DBA AB=AB,∴△ABD≌△BAC．解析：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．根据已知利用SAS直接判定△ABD≌△BAC．22.答案：解：由题意可知：2b+1=(±3)2=9，∴b=4，3a+2b−1=42=16，∴3a+8−1=16，a=3，∴3b−a=12−3=9，∴9的立方根是√93．解析：分别根据2b+1的平方根是±3，3a+2b−1的算术平方根是4，求出a、b的值，再求出3b−a 的值，求出其立方根即可．本题考查的是立方根、平方根及算术平方根的定义，根据题意求出a、b的值是解答此题的关键．23.答案：证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，又∵BD=DF，∴Rt△CDF≌Rt△EBD(HL)．∴CF=EB；(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴△ADC≌△ADE，∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．解析：(1)根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即CD=DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF=EB；(2)利用角平分线性质证明∴△ADC≌△ADE，AC=AE，再将线段AB进行转化．24.答案：证明：(1)∵△ABC、△BDE都是等腰直角三角形∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE∴∠ABE=∠CBD，且AB=BC，BE=BD，∴△ABE≌△CBD(SAS)∴AE=CD(2)如图，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N，∵△ABE≌△CBD∴S△ABE=S△CBD，∴12AE×BM=12CD×BN∴BM=BN，且BM⊥AE，BN⊥CD∴BF平分∠AFD解析：(1)由等腰直角三角形的性质可得AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠DBE，由“SAS”可证△ABE≌△CBD，可得AE=CD；(2)由全等三角形的性质可得S△ABE=S△CBD，可求BM=BN，由角平分线的性质可证BF平分∠AFD．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．25.答案：解：(1)在直角△ADP中，∵∠A=90°，AD=2，AP=x，∴PD=√AD2+AP2=√4+x2；在直角△BCP中，∵∠B=90°，AD=3，PB=AB−AP=12−x，∴PC=√PB2+BC2=√(12−x)2+9；(2)如右图．作D点关于AB的对称点D′，连接CD′，交AB于P，则PD′=PD，CD′=PD′+PC=PD+PC，即为y的最小值．过D′作AB的平行线，交CB的延长线于E．在△CED′中，∠E=90°，D′E=AB=12，CE=CB+BE=CB+AD=3+2=5，由勾股定理，得CD′=√D′E2+CE2=13，故y的最小值为13；(3)如右图．构造图形，AB=24，AD⊥AB，AD=3，BC=4，PA=x，PB=24−x，PD=√x2+9，PC=√(24−x)2+16，由对称性可知，PC+PD的最小值为PC+PD′=CD′=√D′E2+CE2=√242+(4+3)2=25．故代数式√x2+9+√(24−x)2+16的最小值为25．解析：(1)根据勾股定理即可用二次根式表示线段PD，PC的长；(2)作D点关于AB的对称点D′，连接CD′，根据勾股定理求出CD′的长，即为y的最小值；(3)根据勾股定理构造出图形，利用两点之间线段最短的方法即可求出代数式的最小值．本题考查了勾股定理，轴对称−最短路线问题，构造出图形利用勾股定理求解是解答此题的关键．26.答案：解：(1)∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴有勾股定理得AB=10，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2个单位∴出发2秒后，则CP=4，那么AP=4，∵∠C=90°，∴由勾股定理得PB=2√13，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=4+10+2√13=14+2√13；(2)如图，作CP ⊥AB 于P ．∵12⋅AB ⋅CP =12⋅AC ⋅BC ，∴CP =AC⋅BCAB =6×810=245，∴AP =√AC 2−PC 2=325，∴当∠CPB =90°时，t =(8+325)÷2=365，当点P 在线段AC 上时，∠PCB =90°，此时△PCB 是直角三角形，∴当0<t ≤4或t =365s 时，△PCB 是直角三角形．(3)△BCP 为等腰三角形时，分三种情况：①如果CP =CB ，那么点P 在AC 上，CP =6cm ，此时t =6÷2=3(秒)；如果CP =CB ，那么点P 在AB 上，CP =6cm ，此时t =5.4(秒)(点P 还可以在AB 上，此时，作AB 边上的高CD ，利用等面积法求得CD =4.8，再利用勾股定理求得DP =3.6，所以BP =7.2，AP =2.8，所以t =(8+2.8)÷2=5.4(秒))②如果BC =BP ，那么点P 在AB 上，BP =6cm ，CA +AP =8+10−6=12(cm)，此时t =12÷2=6(秒)；③如果PB =PC ，那么点P 在BC 的垂直平分线与AB 的交点处，即在AB 的中点，此时CA +AP =8+5=13(cm)，t =13÷2=6.5(秒)；综上可知，当t =3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP 为等腰三角形．解析：(1)由t =2可知点P 在线段AC 上，利用勾股定理可求得BP 的长，则可求得△ABP 的周长；(2)过C 作CP ⊥AB 于点P ，可求得CP 的长，则可求得AP 的长，当点P 在线段AC 上时，可知满足条件，当CP ⊥AB 时也满足条件，从而可求得t 的取值范围；(3)△BCP 为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP =CB ；②BC =BP ；③PB =PC ．本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的周长与面积，三角形的中线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡东片八年级(上)期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡东片八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）某软件其中四个功能的图标如下，四个图标中是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，83．（3分）在ABC∠=︒，则CBDBAC∠的度数∆中，AB AC=，BD为ABC∆的高，如果40是()A．70︒B．40︒C．20︒D．30︒4．（3分）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是()A．16B．32C．34D．645．（3分）下列说法错误的是()A．无理数都是无限小数π-的平方根是2±B．2C．9-是81的一个平方根D．与数轴上的点一一对应的数是实数6．（3分）若等腰三角形中有两边长分别为2和3，则这个三角形的周长为()A．7B．7或8C．8D．9或77．（3分）如图，已知AC BD⊥，垂足为O，AO CO=，AB CD=，则可得到AOB COD∆≅∆，理由是()A．HL B．SAS C．ASA D．SSS8．（3分）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1-和3，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为()A．23--B．13--C．23-+D．13+9．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若3DC=，2BE=，则22AB AC-的值为()A．4B．6C．10D．1610．（3分）如图，四边形ABCD中，AB AD=，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若110BAD∠=︒，则ACB∠的度数为()A．40︒B．35︒C．60︒D．70︒二、填空题（共8小题，每小题2分，满分18分）11．（2分）在Rt ABC∆中，90C∠=︒，13AB=，12BC=，则AC=．12．（2分）|2|π-=；比较大小：12134+（用“>”、“=”或“<”填空）．13．（2分）下列五个数4，2π，227，38，3.1415926中，是无理数的有个． 14．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积为2249900m ，请将249900精确到万位，并用科学记数法表示为．15．（2分）已知等腰ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，则ABC ∆的面积为．16．（2分）如图，90ABC ∠=︒，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为．17．（3分）如图，两块完全一样的含30︒角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M 转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C ．已知4AC =，则这两块直角三角板顶点A 、A '之间的距离等于．18．（3分）如图，在长方形纸片ABCD 中，3AB =，9AD =，折叠纸片ABCD ，使顶点C 落在边AD 上的点G 处，折痕分别交边AD 、BC 于点E 、F ，则GEF ∆的面积最大值是．三、解答题（共8小题，满分72分）19．（10分）计算（12231(3)(2)8-+-（204|12(1)π--20．（10分）求x 的值：（1）2(1)64x +=（2）38270x +=．21．（6分）已知：如图，AB AD =，C E ∠=∠，BAE DAC ∠=∠．求证：ABC ADE ∆≅∆．22．（10分）（1）若x ，y 为实数，且2634x y y =-+-+，求2()x y -的平方根；（2）已知2x -的平方根是2±，27x y ++的立方根是3，求22x y +的算术平方根．23．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，AD 为ABC ∆的角平分线．（1）用圆规在AB 上作一点P ，满足DP AB ⊥．（2）求CD 的长度．24．（9分）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边上．（1）证明：ECA DAB ∠=∠；（2）已知5AE =，3AB =，求AD ．（提醒：连接)BD25．（8分）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）代数应用：求代数式221(3)9(03)x x x ++-+的最小值；（3）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，最小值是．26．（11分）如图，ABC ∆中，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm =，若动点P 从点C 开始，按C A B →→的路径运动，且速度为每秒2cm ，设出发的时间为t 秒．（1）请判断ABC ∆的形状，说明理由．（2）当t = 时，BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q ，从点C 开始，按C B A C →→→的路径运动，且速度为每秒1cm ，若P 、Q 两点同时出发，当P 、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，P 、Q 两点之间的距离为5？参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）某软件其中四个功能的图标如下，四个图标中是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．2．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A ．3，4，4B ．3，4，5C ．3，4，6D ．3，4，8 解：A 、222344+≠，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B 、222345+=，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；C 、222346+≠，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；D 、222348+≠，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：B ．3．（3分）在ABC ∆中，AB AC =，BD 为ABC ∆的高，如果40BAC ∠=︒，则CBD ∠的度数是( )A ．70︒B ．40︒C ．20︒D ．30︒ 解：AB AC =，40BAC ∠=︒，70ABC ACB ∴∠=∠=︒ BD 是AC 边上的高，BD AC ∴⊥，907020CBD ∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．4．（3分）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A 的面积是( )A ．16B ．32C ．34D ．64解：如图所示：根据题意得：225EF =，29FG =，90EFG ∠=︒，根据勾股定理得：225934EG =+=，∴以斜边为边长的正方形A 的面积为34．故选：C ．5．（3分）下列说法错误的是( )A ．无理数都是无限小数B ．2π-的平方根是2±C ．9-是81的一个平方根D ．与数轴上的点一一对应的数是实数解：2π-的平方根是2π-；故选：B ．6．（3分）若等腰三角形中有两边长分别为2和3，则这个三角形的周长为( )A ．7B ．7或8C ．8D ．9或7解：当腰为3时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长3328=++=；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长2237=++= 所以这个三角形的周长是7或8．故选：B ．7．（3分）如图，已知AC BD ⊥，垂足为O ，AO CO =，AB CD =，则可得到AOB COD ∆≅∆，理由是( )A ．HLB ．SASC ．ASAD ．SSS 解：在Rt AOB ∆和Rt COD ∆中，AB CD AO CO =⎧⎨=⎩， Rt AOB Rt COD(HL)∴∆≅∆，则如图，已知AC BD ⊥，垂足为O ，AO CO =，AB CD =，则可得到AOB COD ∆≅∆，理由是HL ，故选：A ．8．（3分）如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为1-和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( )A ．23-B ．13-C ．23-+D ．13+ 解：对称的两点到对称中心的距离相等，CA AB ∴=，|1||313-+= 23OC ∴=，而C 点在原点左侧，C ∴表示的数为：23--．故选：A ．9．（3分）如图，将三角形纸片ABC 沿AD 折叠，使点C 落在BD 边上的点E 处．若3DC =，2BE =，则22AB AC -的值为( )A ．4B ．6C ．10D ．16 解：将三角形纸片ABC 沿AD 折叠，使点C 落在BD 边上的点E 处，90ADC ADE ∴∠=∠=︒，12DE CD CE ==， 3DC =，2BE =3ED CD ∴==6CE ∴=，5BD =在Rt ABD ∆中，222AB AD BD =+，在Rt ACD ∆中，222AC AD CD =+，2222225316AB AC BD CD ∴-=-=-=，故选：D ．10．（3分）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，若110BAD ∠=︒，则ACB ∠的度数为( )A ．40︒B ．35︒C ．60︒D ．70︒ 解：如图，连接AB '，BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，AC ∴垂直平分BB '，AB AB '∴=，BAC B AC '∴∠=∠，AB AD =，AD AB '∴=，又AE CD ⊥，DAE B AE '∴∠=∠，1552CAE BAD ∴∠=∠=︒，又90AEC ∠=︒，35ACB ACB '∴∠=∠=︒，故选：B ．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分18分）11．（2分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，13AB =，12BC =，则AC = 5 ．解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，13AB =，12BC =，5AC ∴===，故答案为：512．（2分）|2|π-= 2π- ；比较大小：（用“>”、“ =”或“<”填空）．解：|2|2ππ-=-，132<<，213∴<+<，∴1324<<，故答案为：2π-，<．13．（2，2π，227 3.1415926中，是无理数的有 1 个．2=2=，是整数，属于有理数；227是分数，属于有理数；3.1415926是有限小数，属于有理数．无理数只有2π共1个．故答案为：1．14．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积为2249900m ，请将249900精确到万位，并用科学记数法表示为 52.510⨯ ．解：将249900精确到万位，并用科学记数法表示为52.510⨯，故答案为：52.510⨯．15．（2分）已知等腰ABC ∆中，5AB AC ==，6BC =，则ABC ∆的面积为 12 ．解：如图，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，5AB AC ==，6BC =，116322BD CD BC ∴===⨯=，在ABD ∆中，222AD BD AB +=，2222534AD AB BD ∴=-=-=，11461222ABC S BC AD ∆∴==⨯⨯=，故答案为：12．16．（2分）如图，90ABC ∠=︒，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为 2 ．解：90ABC ∠=︒，//AD BC ，18090A ABC ∴∠=︒-∠=︒，AEB FBC ∴∠=∠，10BE BC ==，22221068AE BE AB ∴=-=-=，CF BE ⊥，90A BFC ∴∠=∠=︒，在AEB ∆和FBC ∆中，A BFC AEB FBC BE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEB FBC AAS ∴∆≅∆，8BF AE ∴==，1082EF BE BF ∴=-=-=；故答案为：2．17．（3分）如图，两块完全一样的含30︒角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M 转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C ．已知4AC =，则这两块直角三角板顶点A 、A '之间的距离等于 2 ．解：如图，连接AA '，点M 是AC 中点，122AM CM AC ∴===，旋转，CM C M '∴=，AM A M '=2A M MC AM '∴===，30C A B A CM ''''∴∠=∠=︒60AMA C A B MCA '''''∴∠=∠+∠=︒，且AM A M '=AMA '∴∆是等边三角形2A A AM '∴==故答案为：218．（3分）如图，在长方形纸片ABCD 中，3AB =，9AD =，折叠纸片ABCD ，使顶点C 落在边AD 上的点G 处，折痕分别交边AD 、BC 于点E 、F ，则GEF ∆的面积最大值是 7.5 ．解：如图，当点G 与点A 重合时，GEF ∆的面积最大，折叠GF FC ∴=，AFE EFC ∠=∠在Rt ABF ∠中，222AF AB BF =+，229(9)AF AF ∴=+-， 5AF ∴=四边形ABCD 是矩形//AD BC ∴，AEF EFC ∴∠=∠AEF AFE ∴∠=∠5AE AF ∴==GEF ∴∆的面积最大值1537.52=⨯⨯= 故答案为：7.5三、解答题（共8小题，满分72分）19．（10分）计算（1）2231(3)(2)8-+- （2）04|12|(1)π----解：（1）原式1132422=+-=；（2）原式2(21)1221122=---=-+-=-．20．（10分）求x 的值：（1）2(1)64x +=（2）38270x +=．解：（1）18x +=±7x =或9- （2）3827x =-3278x =- 32x =- 21．（6分）已知：如图，AB AD =，C E ∠=∠，BAE DAC ∠=∠．求证：ABC ADE ∆≅∆．【解答】证明：BAE DAC ∠=∠，BAE EAC DAC EAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC ∆和ADE ∆中，C E BAC DAE AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE AAS ∴∆≅∆．22．（10分）（1）若x ，y 为实数，且2634x y y =-+-+，求2()x y -的平方根；（2）已知2x -的平方根是2±，27x y ++的立方根是3，求22x y +的算术平方根．解：（1）由题意得：26030y y -⎧⎨-⎩，解得3y =，4x ∴=，2()1x y ∴-=，2()x y ∴-的平方根是1±．（2）由2x -的平方根是2±，27x y ++的立方根是3，得24x -=，2727x y ++=，解得6x =，8y =．22100x y ∴+=，22x y ∴+的算术平方根是10．23．（8分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，AD 为ABC ∆的角平分线．（1）用圆规在AB 上作一点P ，满足DP AB ⊥．（2）求CD 的长度．解：（1）如图，点P 即为所求；（2）AD 平分BAC ∠，CAD BAD ∴∠=∠．又DC AC ⊥、DP AB ⊥，C APD ∴∠=∠．在ACD ∆与APD 中，C APD CAD BAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD APD AAS ∴∆≅．4AP AC ∴==，CD PD =．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =，5AB ∴=．设DP 为x ，则DP x =，3BD x =-，在Rt DPB ∆中，90DPB ∠=︒，222DP PB DB ∴+=，即，2221(3)x x +=-，解得43x =， 43CD DP ∴==． 24．（9分）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边上．（1）证明：ECA DAB ∠=∠；（2）已知5AE =，3AB =，求AD ．（提醒：连接)BD【解答】（1）证明：ACB ∆与ECD ∆都是等腰直角三角形，45E CAB ∴∠=∠=︒，CAB DAB E ECA ∠+∠=∠+∠，ECA DAB ∴∠=∠；（2）解：连接BD ，如图所示：ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，90ECA ACD ACD DCB ∴∠+∠=∠+∠=︒，45CEA CDE ∠=∠=︒，45CAB CBA ∠=∠=︒， ECA DCB ∴∠=∠，在ECA ∆和DCB ∆中，CE CD ECA DCB CA CB =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，()ECA DCB SAS ∴∆≅∆，AE BD ∴=，CEA CDB ∠=∠，90ADB CDB EDC ∴∠=∠+∠=︒，ADB ∴∆是直角三角形，222AD BD AB ∴+=，222AD AE AB ∴+=， 5AE=，3AB =，22223(5)2AD AB AE ∴=-=-=．25．（8分）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为 10 ；（2221(3)9(03)x x x +-+的最小值；（3）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，最小值是．解：（1）如图2，作点E 关于直线BC 的对称点E '，连接E A '，则E A '与直线BC 的交点即为P ，且PA PE +的最小值为E A '，作E F AC '⊥交AC 的延长线于F ，由题意得，1E F '=，3AF =，PA PE ∴+的最小值221310E A '=+=，故答案为：10；（2）构造图形如图4所示，3AB BD ==，1AC =，AP x =，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，则221(3)9PC PD x x +=++-+，代数式221(3)9(03)x x x ++-+的最小值就是求PC PD +的值，作点C 关于AB 的对称点C '，过C '作C E DB '⊥交DB 的延长线于E ．则3C E AB '==，314DE =+=，2222345C D C E DE '='+=+=， ∴所求代数式的最小值是5；（3）如图3，作点C 关于直线AB 的对称点C '，作C N AC '⊥于N 交AB 于M ，连接AC '，则2C A CA '==，30C AB CAB ∠'=∠=︒，∴△C AC '为等边三角形，CM MN ∴+的最小值为3C N '=，故答案为：3．26．（11分）如图，ABC=，4BC cm=，若动点P从点C开始，AC cm=，3∆中，5AB cm按C A B→→的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）请判断ABC∆的形状，说明理由．（2）当t= 1.5或2.7或3时，BCP∆是以BC为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q，从点C开始，按C B A C→→→的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P、Q两点之间的距离为5？解：（1）ABC∆是直角三角形．AC=，BC=，4AB=，35222∴+==，AC BC AB25∴∆是直角三角形；ABC（2）如图，当点P在AC上时，3t=÷=秒；CP CB==，则32 1.5如图，当点P 在AB 上时，分两种情况：若3BP BC ==，则2AP =，故(42)23t =+÷=秒；若3CP CB ==，作CM AB ⊥于M ，则 1122AB MC BC AC ⨯⨯=⨯⨯， 1153422MC ⨯⨯=⨯⨯，解得 2.4CM =，∴由勾股定理可得 1.8PM BM ==，即 3.6BP =， 1.4AP ∴=，故(4 1.4)2 2.7t =+÷=秒．综上所述，当 1.5t =、3或2.7 时，BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形．故答案为： 1.5t =或2.7或3；（3）①如图，当点P 在AC 上，点Q 在BC 上运动时(02)t ，由勾股定理可得：22(2)5t t +=，解得1t =；②如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时(34)t<，由题可得：1225t t--=，解得1253t-=；③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时(4 4.5)t<，由题可得：2125t t+-=解得125t+=，1254.5t+=>，∴不成立，舍去．④当点P在AB上，点Q在BC上时，PQ的长不合题意；综上所述，当t为1125-P、Q5．。

无锡市初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)

无锡市2019初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析) 无锡市2019初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)一、选择题〔本大题共8小题,每题3分,共24分．〕1．以下标志中,可以看作是轴对称图形的是( )A．B．C．D．2．在以下各组条件中,不能说明△ABC≌△DEF的是( )A．AB=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠F B．AC=DF ,BC=EF ,∠A=∠DC．AB=DE ,∠A=∠D ,∠B=∠E D．AB=DE ,BC=EF ,AC=DF3．以下四组线段中,可以构成直角三角形的是( )A．4 ,5 ,6 B．1.5 ,2 ,2.5 C．2 ,3 ,4 D．1 , ,34．如图,在△ABC中,∠C=90° ,AC=BC ,AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB于点E ,假设AB=6cm ,那么△DEB的周长是( )A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm5．如图,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B ,那么线段A′B与线段AC的关系是( )A．垂直B．相等C．平分D．平分且垂直6．如图,在△ABC中∠A=60° ,BM⊥AC于点M ,CN⊥AB于点N ,P为BC边的中点,连接PM ,PN ,那么以下结论：①PM=PN；②△PMN为等边三角形；下面判断正确是( )A．①正确B．②正确C．①②都正确D．①②都不正确7．一等腰三角形底边长为8cm ,腰长为5cm ,那么腰上的高为( )A．3cm B．cm C．cm D．cm8．如图,在△ABC中,AC=BC ,∠ACB=90° ,AE平分∠BAC交BC于E ,BD⊥AE于D ,DF⊥AC交AC的延长线于F ,连接CD ,给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD= AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题〔本大题共11小题,每空2分,共22分．〕9．如图,在△ABC与△ADC中,AD=AB ,在不添加任何辅助线的前提下,要使△ABC≌△ADC ,只需再添加的一个条件可以是__________．10．如图,等腰△ABC中,AB=AC ,∠DBC=15° ,AB的垂直平分线MN 交AC于点D ,那么∠A的度数是__________．11．如图,△ABC中,CD⊥AB于D ,E是AC的中点．假设AD=6 ,DE=5 ,那么CD的长等于__________．12．如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=3cm ,BC=4cm ,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,那么CD=__________．13．等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm ,那么这个三角形的周长为__________cm．14．一个等腰三角形的一个角为80° ,那么它的顶角的度数是__________．15．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm ,那么它的面积是__________cm2．16．△ABC中,点O是△ABC内一点且到△ABC三边的距离相等,∠A=40° ,那么∠BOC=__________．17．如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm ,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,PN+PM+MN的最小值是5cm ,那么∠AOB的度数是__________．18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36° ,那么该等腰三角形的底角的度数为__________．19．如图,在△ABC中AB=17 ,AC=10 ,BC边上的高AD=8 ,那么边BC的长为__________．三、简答题：〔本大题共7小题,共54分〕20．如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上．〔1〕在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；〔2〕在直线l上找一点P〔在答题纸上图中标出〕,使PB+PC的长最短,这个最短长度的平方值是__________．21．如图,△A BC ,AC＜AB．〔1〕用直尺和圆规作出一条过点A的直线l ,使得点C关于直线l的对称点落在边AB上〔不写作法,保存作图痕迹〕；〔2〕设直线l与边BC的交点为D ,且∠C=2∠B ,请你通过观察或测量,猜测线段AB、AC、CD之间的数量关系,并说明理由．22．如图,E ,F在BC上,BE=CF ,AB=CD ,AB∥CD．求证：〔1〕△ABF≌△DCE．〔2〕AF∥DE．23．如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地,AD=8米,CD=6米,∠ADC=90° ,AB=26米,BC=24米,小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,草坪每平方米100元,试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？24．如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,使得点D与点B重合,点C落在点C′的位置上．〔1〕折叠后,DC的对应线段是__________ ,CF的对应线段是__________；〔2〕假设AB=8 ,DE=10 ,求CF的长度．25．勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法〞给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法〞来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90° ,求证：a2+b2=c2证明：连结DB ,过点D作BC边上的高DF ,那么DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a〔b﹣a〕∴ b2+ ab= c2+ a〔b﹣a〕∴a2+b2=c2请参照上述证法,利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．26．如图,△ABC中,∠C=Rt∠ ,AB=5cm ,BC=3cm ,假设动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm ,设出发的时间为t秒．〔1〕出发2秒后,求△ABP的周长．〔2〕问t为何值时,△BCP为等腰三角形？〔3〕另有一点Q ,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm ,假设P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动．当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两局部？无锡市2019初二年级数学上册期中重点试卷(含答案解析)参考答案及试题解析一、选择题〔本大题共8小题,每题3分,共24分．〕1．以下标志中,可以看作是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意；B、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意；C、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意；D、是轴对称图形,符合题意．应选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义,掌握中心对称图形与轴对称图形的概念,解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心,图形旋转180度后与原图重合．2．在以下各组条件中,不能说明△ABC≌△DEF的是( )A．AB=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠F B．AC=DF ,BC=EF ,∠A=∠DC．AB=DE ,∠A=∠D ,∠B=∠E D．AB=DE ,BC=EF ,AC=DF【考点】全等三角形的判定．【分析】根据题目所给的条件结合判定三角形全等的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、AB=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠F ,可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF ,故此选项不合题意；B、AC=DF ,BC=EF ,∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEF ,故此选项符合题意；C、AB=DE ,∠A=∠D ,∠B=∠E ,可以利用ASA定理证明△ABC≌△DEF ,故此选项不合题意；D、AB=DE ,BC=EF ,AC=DF可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF ,故此选项不合题意；应选：B．【点评】此题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,假设有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．3．以下四组线段中,可以构成直角三角形的是( )A．4 ,5 ,6 B．1.5 ,2 ,2.5 C．2 ,3 ,4 D．1 , ,3【考点】勾股定理的逆定理．【专题】计算题．【分析】由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52=41≠62 ,不可以构成直角三角形,故A选项错误；B、1.52+22=6.25=2.52 ,可以构成直角三角形,故B选项正确；C、22+32=13≠42 ,不可以构成直角三角形,故C选项错误；D、12+〔〕2=3≠32 ,不可以构成直角三角形,故D选项错误．应选：B．【点评】此题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ,b ,c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形就是直角三角形．4．如图,在△ABC中,∠C=90° ,AC=BC ,AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB于点E ,假设AB=6cm ,那么△DEB的周长是( )A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】根据角平分线的性质得到DC=DE ,AC=AE ,根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB ,∠C=90° ,∴DC=DE ,AC=AE ,∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm．应选：B．【点评】此题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．5．如图,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B ,那么线段A′B与线段AC的关系是( )A．垂直B．相等C．平分D．平分且垂直【考点】平移的性质；勾股定理．【专题】网格型．【分析】先根据题意画出图形,再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系．【解答】解：如图,将点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A′点,连接A′B ,与线段AC交于点O．∵A′O=OB= ,AO=OC=2 ,∴线段A′B与线段AC互相平分,又∵∠AOA′=45°+45°=90° ,∴A′B⊥AC ,∴线段A′B与线段AC互相垂直平分．应选：D．【点评】此题考查了平移的性质,勾股定理,正确利用网格求边长长度及角度是解题的关键．6．如图,在△ABC中∠A=60° ,BM⊥AC于点M ,CN⊥AB于点N ,P为BC边的中点,连接PM ,PN ,那么以下结论：①PM=PN；②△PMN为等边三角形；下面判断正确是( )A．①正确B．②正确C．①②都正确D．①②都不正确【考点】直角三角形斜边上的中线；等边三角形的判定．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30° ,再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60° ,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120° ,从而得到∠MPN=60° ,又由①得PM=PN ,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断②正确．【解答】解：①∵BM⊥AC于点M ,CN⊥AB于点N ,P为BC边的中点,∴PM= BC ,PN= BC ,∴PM=PN ,正确；②∵∠A=60° ,BM⊥AC于点M ,CN⊥AB于点N ,∴∠ABM=∠ACN=30° ,在△ABC中,∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60° ,∵点P是BC的中点,BM⊥AC ,CN⊥AB ,∴PM=PN=PB=PC ,∴∠BPN=2∠BCN ,∠CPM=2∠CBM ,∴∠BPN+∠CPM=2〔∠BCN+∠CBM〕=2×60°=120° ,∴∠MPN=60° ,∴△PMN是等边三角形,正确；所以①②都正确．应选：C．【点评】此题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,等边三角形的判定与性质,熟练掌握性质是解题的关键．7．一等腰三角形底边长为8cm ,腰长为5cm ,那么腰上的高为( )A．3cm B．cm C．cm D．cm【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作AD⊥BC于D ,作CE⊥AB于E ,由等腰三角形的性质得出BD ,由勾股定理求出AD ,由三角形面积的计算方法即可求出腰上的高．【解答】解：如下图：作AD⊥BC于D ,作CE⊥AB于E ,那么∠ADB=90° ,∵AB=AC ,∴BD= BC=4cm ,∴AD= = =3〔cm〕,∵△ABC的面积= AB?CE= BC?AD ,∴AB?CE=BC?AD ,即5×CE=8×3 ,解得：CE= ,即腰上的高为；应选：C．【点评】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质三角形面积的计算；熟练掌握等腰三角形的性质,运用勾股定理求出AD是解决问题的关键．8．如图,在△ABC中,AC=BC ,∠ACB=90° ,AE平分∠BAC交BC于E ,BD⊥AE于D ,DF⊥AC交AC的延长线于F ,连接CD ,给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD= AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】过E作EQ⊥AB于Q ,作∠ACN=∠BCD ,交AD于N ,过D作DH⊥AB于H ,根据角平分线性质求出CE=EQ ,DF=DH ,根据勾股定理求出AC=AQ ,AF=AH ,根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE ,即可求出③；根据三角形外角性质求出∠CND=45° ,证△ACN≌△BCD ,推出CD=CN ,即可求出②①；证△DCF≌△DBH ,得到CF=BH ,AF=AH ,即可求出④．【解答】解：如图,过E作EQ⊥AB于Q ,∵∠ACB=90° ,AE平分∠CAB ,∴CE=EQ ,∵∠ACB=90° ,AC=BC ,∴∠CBA=∠CAB=45° ,∵EQ⊥AB ,∴∠EQA=∠EQB=90° ,由勾股定理得：AC=AQ ,∴∠QEB=45°=∠CBA ,∴EQ=BQ ,∴AB=AQ+BQ=AC+CE ,∴③正确；作∠ACN=∠BCD ,交AD于N ,∵∠CAD= ∠CAB=22.5°=∠BAD ,∴∠ABD=90°﹣22.5°=67.5° ,∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD ,∴∠DBC=∠CAD ,在△ACN和△BCD中,∴△ACN≌△BCD ,∴CN=CD ,AN=BD ,∵∠ACN+∠NCE=90° ,∴∠NCB+∠BCD=90° ,∴∠CND=∠CDA=45° ,∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN ,∴AN=CN ,∴∠NCE=∠AEC=67.5° ,∴CN=NE ,∴CD=AN=EN= AE ,∵AN=BD ,∴BD= AE ,∴①正确,②正确；过D作DH⊥AB于H ,∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5° ,∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5° ,∴∠FCD=∠DBA ,∵AE平分∠CAB ,DF⊥AC ,DH⊥AB ,∴DF=DH ,在△DCF和△DBH中∴△DCF≌△DBH ,∴BH=CF ,由勾股定理得：AF=AH ,∴ = = = =2 ,∴AC+AB=2AF ,AC+AB=2AC+2CF ,AB﹣AC=2CF ,∵AC=CB ,∴AB﹣CB=2CF ,∴④正确．应选D【点评】此题主要考查了三角形的外角性质,三角形的内角和定理,等腰三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质,全等三角形的性质和判定,等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．二、填空题〔本大题共11小题,每空2分,共22分．〕9．如图,在△ABC与△ADC中,AD=AB ,在不添加任何辅助线的前提下,要使△ABC≌△ADC ,只需再添加的一个条件可以是DC=BC或∠DAC=∠BAC．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】添加DC=BC ,利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC ,利用SAS即可得到两三角形全等．【解答】解：添加条件为DC=BC ,在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC〔SSS〕；假设添加条件为∠DAC=∠BAC ,在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC〔SAS〕．故答案为：DC=BC或∠DA C=∠BAC【点评】此题考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．10．如图,等腰△ABC中,AB=AC ,∠DBC=15° ,AB的垂直平分线MN 交AC于点D ,那么∠A的度数是50°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD ,根据等边对等角可得∠A=∠ABD ,然后表示出∠ABC ,再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC ,然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线,∴AD=BD ,∴∠A=∠ABD ,∵∠DBC=15° ,∴∠ABC=∠A+15° ,∵AB=AC ,∴∠C=∠ABC=∠A+15° ,∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180° ,解得∠A=50°．故答案为：50°．【点评】此题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质,等腰三角形的性质,熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角,然后列出方程是解题的关键．11．如图,△ABC中,CD⊥AB于D ,E是AC的中点．假设AD=6 ,DE=5 ,那么CD的长等于8．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〞求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中,利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【解答】解：如图,∵△ABC中,CD⊥AB于D ,E是AC的中点,DE=5 ,∴DE= AC=5 ,∴AC=10．在直角△ACD中,∠ADC=90° ,AD=6 ,AC=10 ,那么根据勾股定理,得CD= = =8．故答案是：8．【点评】此题考查了勾股定理,直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．12．如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=3cm ,BC=4cm ,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,那么CD= cm．【考点】翻折变换〔折叠问题〕．【分析】先利用勾股定理求得AB=5 ,然后由翻折的性质得到AE=AC=3 ,CD=DE ,那么EB=2 ,设CD=EC=x ,那么BD=4﹣x ,然后在Rt△DEB中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：在Rt△ACB中,AB= =5 ,由翻折的性质可知：AE=AC=3 ,CD=DE ,那么BE=2．设CD=DE=x ,那么BD=4﹣x．Rt△DEB中,由勾股定理得：DB2=DE2+EB2 ,即〔4﹣x〕2=x2+22 ,解得：x= ．∴CD= ．故答案为：．【点评】此题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用,利用翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．13．等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm ,那么这个三角形的周长为10cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题中没有指明哪边是底哪边是腰,那么应该分两种情况进行分析．【解答】解：〔1〕当三边是2cm ,2cm ,4cm时,2+2=4cm ,不符合三角形的三边关系,应舍去；〔2〕当三边是2cm ,4cm ,4cm时,符合三角形的三边关系,此时周长是10cm；所以这个三角形的周长是10cm．故填10．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键．14．一个等腰三角形的一个角为80° ,那么它的顶角的度数是80°或20°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】等腰三角形一内角为80° ,没说明是顶角还是底角,所以有两种情况．【解答】解：〔1〕当80°角为顶角,顶角度数即为80°；〔2〕当80°为底角时,顶角=180°﹣2×80°=20°．故答案为：80°或20°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,属于根底题,假设题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键．15．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm ,那么它的面积是30cm2．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】由于直角三角形斜边上的中线是6cm ,因而斜边是12cm ,而高线,因而可以根据面积公式求出三角形的面积．【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线是6cm ,∴斜边是12cm ,∴S△= ×5×12=30cm2∴它的面积是30cm2．故填：30cm2．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．16．△ABC中,点O是△ABC内一点且到△ABC三边的距离相等,∠A=40° ,那么∠BOC=110°．【考点】角平分线的性质．【分析】根据O到三角形三边距离相等,得到O是内心,再利用三角形内角和定理和角平分线的概念即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵O到三角形三边距离相等,∴O是内心,∴AO ,BO ,CO都是角平分线,∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC ,∠BCO=∠ACO= ∠ACB ,∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140° ,∠OBC+∠OCB=70° ,∠BOC=180°﹣70°=110°．故答案为：110°．【点评】此题考查的是角平分线的定义和三角形的内心的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm ,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,PN+PM+MN的最小值是5cm ,那么∠AOB的度数是30°．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D ,连接CD ,分别交OA、OB于点M、N ,连接OC、OD、PM、PN、MN ,由对称的性质得出PM=CM ,OP=OC ,∠COA=∠POA；PN=DN ,OP=OD ,∠DOB=∠POB ,得出∠AOB= ∠COD ,证出△OCD是等边三角形,得出∠COD=60° ,即可得出结果．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D ,连接CD ,分别交OA、OB于点M、N ,连接OC、OD、PM、PN、MN ,如图所示：∵点P关于OA的对称点为D ,关于OB的对称点为C ,∴PM=DM ,OP=OD ,∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C ,∴PN=CN ,OP=OC ,∠COB=∠POB ,∴OC=OP=OD ,∠AOB= ∠COD ,∵PN+PM+MN的最小值是5cm ,∴PM+PN+MN=5 ,∴DM+CN+MN=5 ,即CD=5=OP ,∴OC=OD=CD ,即△OCD是等边三角形,∴∠COD=60° ,∴∠AOB=30°．故答案为：30°．【点评】此题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质, 证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36° ,那么该等腰三角形的底角的度数为63°或27°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．【解答】解：在三角形ABC中,设AB=AC ,BD⊥AC于D．①假设是锐角三角形,∠A=90°﹣36°=54° ,底角=〔180°﹣54°〕÷2=63°；②假设三角形是钝角三角形,∠BAC=36°+90°=126° ,此时底角=〔180°﹣126°〕÷2=27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故答案为：63°或27°．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用,此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．19．如图,在△ABC中AB=17 ,AC=10 ,BC边上的高AD=8 ,那么边BC的长为21．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】在直角三角形ACD中,利用勾股定理求出CD的长,在直角三角形ABD中,利用勾股定理求出BD的长,由CD+BD求出BC的长即可．【解答】解：在Rt△ACD中,AC=10 ,AD=8 ,根据勾股定理得：CD= =6 ,在Rt△ABD中,AB=17 ,AD=8 ,根据勾股定理得：BD= =15 ,那么BC=6+15=21 ,故答案为：21【点评】此题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解此题的关键．三、简答题：〔本大题共7小题,共54分〕20．如图,在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中,点A、B、C在小正方形的顶点上．〔1〕在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；〔2〕在直线l上找一点P〔在答题纸上图中标出〕,使PB+PC的长最短,这个最短长度的平方值是13．【考点】作图-轴对称变换．【分析】〔1〕分别找到各点的对称点,顺次连接可得△A′B′C′．〔2〕连接B'C ,那么B'C与l的交点即是点P的位置,求出PB+PC的值即可．【解答】解：〔1〕如下图：〔2〕如下图：PB+PC=PB'+PC=B'C= = ．那么这个最短长度的平方值是13．【点评】此题考查了轴对称作图及最短路线问题,解答此题的关键是掌握轴对称的性质,难度一般．21．如图,△ABC ,AC＜AB．〔1〕用直尺和圆规作出一条过点A的直线l ,使得点C关于直线l的对称点落在边AB上〔不写作法,保存作图痕迹〕；〔2〕设直线l与边BC的交点为D ,且∠C=2∠B ,请你通过观察或测量,猜测线段AB、AC、CD之间的数量关系,并说明理由．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】作图题．【分析】〔1〕先作∠BAC的平分线l ,再过点C作CF⊥l交AB于F ,那么可得到点C和F点关于l对称,所以l为所作；〔2〕连结DF ,如图,利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC ,那么AD 垂直平分CF ,所以DF=DC ,那么∠DCF=∠DFC ,再利用三角形外角性质得∠BDF=2∠DCF ,接着证明∠B=2∠BCF ,于是得到∠B=∠BDF ,那么FB=FD=CD ,那么易得AB=AF+FB=AC+CD．【解答】解：〔1〕如图,直线l为所作；〔2〕AB=AC+CD．理由如下：连结DF ,如图,∵AD平分∠BAC ,AD⊥CF ,∴AF=AC ,∴AD垂直平分CF ,∴DF=DC ,∴∠DCF=∠DFC ,∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF ,∵∠AFC=∠ACF ,∵∠AFC=∠B+∠BCF ,∴∠ACF=∠B+∠BCF ,∵∠ACB=2∠B ,∴2∠B﹣∠BCF=∠B+∠BCF ,∴∠B=2∠BCF ,∴∠B=∠BDF ,∴FB=FD ,∴FB=CD ,∴AB=AF+FB=AC+CD．【点评】此题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种根本作图的根底上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和根本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉根本几何图形的性质,结合几何图形的根本性质把复杂作图拆解成根本作图,逐步操作．也考查了角平分线的性质．22．如图,E ,F在BC上,BE=CF ,AB=CD ,AB∥CD．求证：〔1〕△ABF≌△DCE．〔2〕AF∥DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】〔1〕由等式的性质就可以得出BF=CE ,由平行线的性质就可以得出∠B=∠C ,根据SAS就可以得出结论；〔2〕由△ABF≌△DCE就可以得出∠AFB=∠DEC就可以得出结论．【解答】证明：∵BE=CF ,∴BE+EF=CF+EF ,∴BF=CE．∵AB∥CD ,∴∠B=∠C ．在△ABF和△DCE中∴△ABF≌△DCE〔SAS〕；〔2〕∵△ABF≌△DCE ,∴∠AFB=∠DEC ,∴AF∥DE．【点评】此题考查了等式的性质的运用,平行线的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,解答时证明三角形全等是关键．23．如图,某住宅小区在施工过程中留下了一块空地,AD=8米,CD=6米,∠ADC=90° ,AB=26米,BC=24米,小区为美化环境,欲在空地上铺草坪,草坪每平方米100元,试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】连接AC ,根据勾股定理求出AC ,根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90° ,求出区域的面积,即可求出答案．【解答】解：连结AC ,如下图：在Rt△ACD中,∠ADC=90° ,AD=4米,CD=3米,由勾股定理得：AC= =10〔米〕,∵AC2+BC2=102+242=676 ,AB2=262=676 ,∴AC2+BC2=AB2 ,∴∠ACB=90° ,∴该区域面积S=S△ACB﹣S△ADC= ×10×24﹣×6×8=96〔平方米〕,∴铺满这块空地共需花费=96×100=9600元．【点评】此题考查了勾股定理,三角形面积,勾股定理的逆定理的应用；解此题的关键是求出区域的面积．24．如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,使得点D与点B重合,点C落在点C′的位置上．〔1〕折叠后,DC的对应线段是BC′ ,CF的对应线段是FC′；〔2〕假设AB=8 ,DE=10 ,求CF的长度．【考点】翻折变换〔折叠问题〕．【分析】〔1〕根据翻折后的对应点确定出对应线段即可；〔2〕在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE=6 ,从而得到AD=16 ,然后证明BE=BF=10 ,从而可求得FC=16﹣10=6．【解答】解：〔1〕∵点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,∴DC的对应线段是BC′ ,CF的对应线段是FC′．故答案为：BC′；FC′．〔2〕由翻折的性质可知：DE=BE=10 ,∠2=∠BEF．∵AD∥BC ,∴∠2=∠1．∴∠1=∠BEF．∴BE=BF=10．在Rt△A BE中,由勾股定理得：AE= = =6 ,∴AD=AE+ED=6+10=16．∴CF=CB﹣BF=16﹣10=6．【点评】此题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用,证得BE=BF=10是解题的关键．25．勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法〞给了小聪以灵感,他惊喜的发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法〞来证明,下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90° ,求证：a2+b2=c2证明：连结DB ,过点D作BC边上的高DF ,那么DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= b2+ ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB= c2+ a〔b﹣a〕∴ b2+ ab= c2+ a〔b﹣a〕∴a2+b2=c2请参照上述证法,利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．【考点】勾股定理的证明．【分析】首先连结BD ,过点B作DE边上的高BF ,那么BF=b﹣a ,表示出S五边形ACBED ,两者相等,整理即可得证．【解答】证明：连结BD ,过点B作DE边上的高BF ,那么BF=b﹣a ,∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE= ab+ b2+ ab ,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE= ab+ c2+ a〔b﹣a〕,∴ ab+ b2+ ab= ab+ c2+ a〔b﹣a〕,∴a2+b2=c2．【点评】此题考查了勾股定理的证明,用两种方法表示出五边形ACBED 的面积是解此题的关键．26．如图,△ABC中,∠C=Rt∠ ,AB=5cm ,BC=3cm ,假设动点P从点C开始,按C→A→B →C的路径运动,且速度为每秒1cm ,设出发的时间为t秒．〔1〕出发2秒后,求△ABP的周长．〔2〕问t为何值时,△BCP为等腰三角形？〔3〕另有一点Q ,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速度为每秒2cm ,假设P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达终点时,另一点也停止运动．当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两局部？【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】计算题；动点型．【分析】〔1〕根据速度为每秒1cm ,求出出发2秒后CP的长,然后就知AP的长,利用勾股定理求得PB的长,最后即可求得周长．〔2〕因为AB与CB ,由勾股定理得AC=4 因为AB为5cm ,所以必须使AC=CB ,或CB=AB ,所以必须使AC或AB等于3 ,有两种情况,△BCP为等腰三角形．〔3〕分类讨论：当P点在AC上,Q在AB上,那么PC=t ,BQ=2t﹣3 ,t+2t ﹣3=6；当P点在AB上,Q在AC上,那么AC=t﹣4 ,AQ=2t﹣8 ,t﹣4+2t ﹣8=6．【解答】解：〔1〕如图1 ,由∠C=90° ,AB=5cm ,BC=3cm ,∴A C=4 ,动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒1cm ,∴出发2秒后,那么CP=2 ,∵∠C=90° ,∴PB= = ,∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+ =7 ．〔2〕①如图2 ,假设P在边AC上时,BC=CP=3cm ,此时用的时间为3s ,△BCP为等腰三角形；②假设P在AB边上时,有三种情况：i〕如图3 ,假设使BP=CB=3cm ,此时AP=2cm ,P运动的路程为2+4=6cm ,所以用的时间为6s ,△BCP为等腰三角形；ii〕如图4 ,假设CP=BC=3cm ,过C作斜边AB的高,根据面积法求得高为2.4cm ,作CD⊥AB于点D ,在Rt△PCD中,PD = = =1.8 ,所以BP=2PD=3.6cm ,所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm ,那么用的时间为5.4s ,△BCP为等腰三角形；ⅲ〕如图5 ,假设BP=CP ,此时P应该为斜边AB的中点,P运动的路程为4+2.5=6.5cm那么所用的时间为6.5s ,△BCP为等腰三角形；综上所述,当t为3s、5.4s、6s、6.5s时,△BC P为等腰三角形〔3〕如图6 ,当P点在AC上,Q在AB上,那么PC=t ,BQ=2t﹣3 ,∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两局部,∴t+2t﹣3=3 ,。

江苏省无锡市锡中实验学校2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷含解析

2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列图案中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④3．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1且x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠2 4．下列计算正确的是（）A．＝2B．•＝C．﹣＝D．＝﹣3 5．下列命题中，是假命题的是（）A．在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝3：4：5，则△ABC是直角三角形6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．7．底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．10 B．8 C．5 D．48．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC＝18cm，AB＝10cm，则△ABD的周长为（）A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm9．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②F为DE中点；③△ADE 的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（）A．①③B．①②③C．①②D．①④10．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（）A．B．4 C．D．二．填空题（共8小题）11．化简：＝．12．已知，且a、b为两个连续的整数，则a+b＝．13．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是米．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，则顶角的度数是．15．如图AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C′的位置上，那么BC′为．16．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有种．17．如图所示，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OA＝12，OE ＝5，则AB与CD之间的距离等于．18．如图，在钢架AB、AC中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条P1P2、P2P3、P3P4…来加固钢架，且AP1＝P1P2，则∠BAC的最大值为．（结果保留整数）三．解答题（共9小题）19．计算：（1）（2）（3）（4）20．已知，x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．21．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，（1）求∠PAB的度数；（2）直接写出∠APB与∠ACB的数量关系．22．如图，四边形ABCD是一个四边形的草坪，AB与AD垂直，通过测量，获得如下数据：AB＝12m，BC＝14m，AD＝5m，CD＝m，请你测算这块草坪的面积．（结果保留准确值）23．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（用阴影表示）．（1）在图（a）中，画一个不含直角的三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图（b）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为；（3）在图（c）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数．24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）在斜边AB上确定一点E，使点E到点B距离和点E到AC的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，点E到AC的距离为ED，求BD的长．25．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD、ED⊥BD，连结AC、EC．已知AB＝6，DE＝2，BD＝15，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的值；（写出过程）（2）请问点C满足条件时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的结论，画图并标上数据，求代数式的最小值．26．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，在△ABC外侧作∠ACM，使得∠ACM＝∠ABC，点D是射线CB上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．（1）当点D与点B重合时，如图1所示，线段DF与EC的数量关系是；（2）当点D运动到CB延长线上某一点时，线段DF和EC是否保持上述数量关系？请在图2中画出图形，并说明理由．27．已知△ABC中，∠C是最小的一个内角，过顶点B的一条直线交AC于点D，直线BD将原三角形分割成两个等腰三角形△ABD和△BCD，△ABD中BD＝AD，请探究∠A与∠C的数量关系，并说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图案中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．2．下列结论：①在数轴上只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．②③④【分析】①②③根据数轴的上的点与实数的对应关系即可求解；④根据有理数、无理数的对应即可判定．【解答】解：①任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故说法错误；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故说法正确；③实数与数轴上的点一一对应，故说法正确；④有理数有无限个，无理数也有无限个，故说法错误．所以只有②③正确，故选：B．3．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1且x≠2 B．x≥1 C．x≠2 D．x≥1且x≠2【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：由分式及二次根式有意义的条件可得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，解得：x≥1，x≠2，故选：D．4．下列计算正确的是（）A．＝2B．•＝C．﹣＝D．＝﹣3 【分析】根据二次根式的性质化简二次根式，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算．二次根式的加减，实质是合并同类二次根式；二次根式相乘除，等于把它们的被开方数相乘除．【解答】解：A、＝2，故A错误；B、二次根式相乘除，等于把它们的被开方数相乘除，故B正确；C、﹣＝2﹣，故C错误；D、＝|﹣3|＝3，故D错误．故选：B．5．下列命题中，是假命题的是（）A．在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝3：4：5，则△ABC是直角三角形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、在△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形，是真命题；B、在△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形，是真命题；C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形，是假命题；D、在△ABC中，若a：b：c＝3：4：5，则△ABC是直角三角形，是真命题；故选：C．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是（）A．B．C．D．【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，∵BC＝4，AC＝3，∴AB＝＝5，设AB边上的高为h，则S△ABC＝AC•BC＝AB•h，∴h＝，故选：A．7．底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．10 B．8 C．5 D．4【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为12cm，则BC＝12×＝6cm．又因为AC＝8cm，所以AB＝＝10cm．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是10cm．故选：A．8．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC＝18cm，AB＝10cm，则△ABD的周长为（）A．16cm B．28cm C．26cm D．18cm【分析】由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，然后，根据三角形的周长和等量代换，即可解答．【解答】解：∵DE是△ABC中边AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC，∵BC＝18cm，AB＝10cm，∴△ABD的周长＝18cm+10cm＝28cm．故选：B．9．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC 于点D、E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②F为DE中点；③△ADE 的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（）A．①③B．①②③C．①②D．①④【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，∴DB＝DF，EF＝EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形；故①正确；∵BD与CE无法判定相等，∴DF与EF无法判定相等，故②错误；∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；故③正确；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB，∴BF与CF不一定相等，故④错误．故选：A．10．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝6，则CD的长为（）A．B．4 C．D．【分析】将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连结CE，DE，由旋转的性质知DC ＝EC、∠DCE＝∠ACB＝60°、BD＝AE＝6，即可得△DCE为等边三角形，根据∠ADC＝30°得到∠ADE＝90°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图所示，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连结CE，DE，由旋转的性质知DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝60°，BD＝AE＝6，则△DCE为等边三角形，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝90°，∴AD2+DE2＝AE2，∴42+DE2＝62，∴DE＝CD＝2．故选：C．二．填空题（共8小题）11．化简：＝ 3 ．【分析】根据算术平方根的定义求出即可．【解答】解：＝3．故答案为：3．12．已知，且a、b为两个连续的整数，则a+b＝7 ．【分析】先估算出的取值范围，得出a，b的值，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜15＜16，∴，∴a＝3，b＝4，∴a+b＝3+4＝7．故答案为：713．如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是 6 米．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了短直角边和一锐角为30度，运用直角三角形30度角的性质，从而得出这棵树折断之前的高度．【解答】解：∵一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，如图，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4米，∴折断前高度为2+4＝6（米）．故答案为6．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70°，则顶角的度数是20°或160°．【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．【解答】解：①当为锐角三角形时，如图1，∵∠ABD＝70°，BD⊥AC，∴∠A＝90°﹣70°＝20°，∴三角形的顶角为20°；②当为钝角三角形时，如图2，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°﹣70°＝20°，∵∠BAD+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝160°∴三角形的顶角为160°，故答案为：20°或160°．15．如图AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C′的位置上，那么BC′为 2 ．【分析】根据中点的性质得BD＝DC＝2．再根据对称的性质得∠BDC′＝60°，判定三角形为等边三角形即可求．【解答】解：根据题意：BC＝4，D为BC的中点；故BD＝DC＝2．由轴对称的性质可得：∠ADC＝∠ADC′＝60°，DC＝DC′＝2，则∠BDC′＝60°，故△BDC′为等边三角形，即可得BC′＝BD＝BC＝2．故答案为：2．16．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，请你添加一个正方形到空白方格中，使它与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的添法共有 4 种．【分析】因为中间4个小正方形组成一个大的正方形，正方形有四条对称轴，试着利用这四条对称轴添加图形得出答案即可．【解答】解：如图所示．这样的添法共有4种．故答案为：4．17．如图所示，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OA＝12，OE ＝5，则AB与CD之间的距离等于10 ．【分析】过点O作MN，MN⊥AB于M，求出MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们求和即可．【解答】解：如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝5，∴OM＝OE＝5，∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON＝OE＝5，∴MN＝OM+ON＝10，即AB与CD之间的距离是10．故答案为10．18．如图，在钢架AB、AC中，从左至右顺次焊上7根相等长度的钢条P1P2、P2P3、P3P4…来加固钢架，且AP1＝P1P2，则∠BAC的最大值为12°．（结果保留整数）【分析】设∠BAC＝x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP6P7，∠AP7P6，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设∠BAC＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P6P7，∴∠A＝∠AP2P1＝x，∴∠P2P1P3＝2x，∴∠P3P2P4＝3x，…，∠P7P8P6＝7x，∴7x≤90°且8x＞90°，则11.25°＜∠BAC≤（）°，故∠BAC的最大值约为12°．故答案为：12°．三．解答题（共9小题）19．计算：（1）（2）（3）（4）【分析】（1）根据乘方的意义、绝对值的意义和零指数幂的意义计算；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；‘（3）利用二次根式的除法法则和平方差公式计算；（4）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）原式＝﹣1+2﹣﹣1＝﹣；（2）原式＝2﹣2﹣2+3＝；（3）原式＝+12﹣2＝+10；（4）原式＝2﹣+2+＝4．20．已知，x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．【分析】根据平方根、立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入代数式求解即可．【解答】解：∵x﹣1的平方根是±2，∴x﹣1＝4，∴x＝5，∵2x+y+5的立方根是3，∴2x+y+5＝27，把x的值代入解得：y＝12，∴x2+y2＝169，∴x2+y2的算术平方根为13．21．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，（1）求∠PAB的度数；（2）直接写出∠APB与∠ACB的数量关系∠APB＝2∠ACB．【分析】（1）由P为△ABC三边垂直平分线的交点，推出PA＝PC＝PB，由等腰三角形的性质证得∠PAC＝∠PCA＝20°，∠PBC＝∠PCN＝30°，由∠PAB＝∠PBA，根据三角形的内角和即可推出结论．（2）求出两个角的度数即可判断．【解答】解：（1）∵P为△ABC三边垂直平分线的交点，∴PA＝PC＝PB，∴∠PAC＝∠PCA＝20°，∠PBC＝∠PCN＝30°，∵∠PAB＝∠PBA，∴∠PAB＝（180°﹣2×20°﹣2×30°）＝40°．（2）∵∠APB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∠ACB＝∠ACP+∠PCB＝50°，∴∠APB＝2∠ACB．故答案为∠APB＝2∠ACB．22．如图，四边形ABCD是一个四边形的草坪，AB与AD垂直，通过测量，获得如下数据：AB＝12m，BC＝14m，AD＝5m，CD＝m，请你测算这块草坪的面积．（结果保留准确值）【分析】连接BD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，再由BC及CD的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形BCD为直角三角形，草坪的面积＝直角三角形ABD的面积+直角三角形BDC的面积，求出即可．【解答】解：连接BD，如图所示：在Rt△ABD中，AB＝12m，AD＝5m，根据勾股定理得：BD＝＝＝13m，又BC＝14m，CD＝3m，∴BC2＝196，BD2+CD2＝169+27＝196，∴BD2+CD2＝BC2，∴△BDC为直角三角形，则S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝AB•AD+BD•DC＝×12×5+＝（30+）m2．答：这块草坪的面积是（30+）m2．23．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（用阴影表示）．（1）在图（a）中，画一个不含直角的三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图（b）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为；（3）在图（c）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数．【分析】（1）在图（a）中，画一个不含直角的三角形，使它的三边长都是有理数即可；（2）根据勾股定理在图（b）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为即可；（3）在图（c）中，画一个直角三角形，使它的斜边长为5，直角边长都是无理数即可．【解答】解：（1）如图（a）中△ABC即为所求作的图形，不含直角的三角形三边长是有理数；（2）如图（b）中△ABC即为所求作的图形，直角三角形的斜边长AB为；（3）如图（c）中△ABC即为所求作的图形，直角三角形的斜边长为5，直角边长BC＝和AC＝都是无理数．24．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）在斜边AB上确定一点E，使点E到点B距离和点E到AC的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若BC＝6，AC＝8，点E到AC的距离为ED，求BD的长．【分析】（1）先作∠ABC的平分线BD，再过点D作DE⊥AC交AB于E点，则利用角平分线的性质和平行线的性质可证明EB＝DE；（2）设DE＝BE＝x，利用勾股定理计算出AB＝10，则AE＝10﹣x，再证明△ADE∽△ACB，利用相似比计算出x＝，接着利用公共短可计算出AD＝5，从而得到CD＝3，然后利用勾股定理可计算出BD．【解答】解；（1）如图，点E为所作；（2）设DE＝BE＝x，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴AE＝10﹣x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得x＝，∴DE＝，AE＝，∴AD＝＝5，∴CD＝3，∴BD＝＝3．25．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD、ED⊥BD，连结AC、EC．已知AB＝6，DE＝2，BD＝15，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的值；（写出过程）（2）请问点C满足条件点C与点A和B在同一条直线上时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的结论，画图并标上数据，求代数式的最小值．【分析】（1）根据勾股定理用含x的代数式表示AC+CE的值即可；（2）根据两点之间线段最短可知：点C满足条件与点A、E在同一条直线上时，AC+CE 的值最小；（3）根据（2）中的结论，画图并标上数据，即可求代数式的最小值．【解答】解：（1）∵AB＝6，DE＝2，BD＝15，设CD＝x则BC＝15﹣x，根据勾股定理，得AC+CE＝+＝+（2）根据两点之间线段最短可知：当点C与点A和点E在同一条直线上时，AC+CE的值最小；故答案为：点C与点A和点E在同一条直线上．（3）如图所示：∵AB⊥BD、ED⊥BD，∴AB∥DE，∴＝，即＝，解得x＝，则4﹣x＝，＝+＝5答：代数式的最小值为5．26．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，在△ABC外侧作∠ACM，使得∠ACM＝∠ABC，点D是射线CB上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．（1）当点D与点B重合时，如图1所示，线段DF与EC的数量关系是DF＝2EC；（2）当点D运动到CB延长线上某一点时，线段DF和EC是否保持上述数量关系？请在图2中画出图形，并说明理由．【分析】（1）如图1，延长BA、CM交于点N，先证明BC＝BN，得出CN＝2CE，再证明△BAF≌△CAN，得对应边相等BF＝CN，即可得出结论；（2）如图2，结论仍然成立，作∠PDE＝22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，先证明DC＝PD，得出PC＝2CE，再证明∴△DNF≌△PNC，得对应边相等DF＝PC，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，DF＝2EC，理由是：延长BA、CM交于点N，∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠AFB＝∠EFC，∴∠ABE＝∠ACM＝∠ABC，∴BE平分∠ABC，∵BE⊥CN，∴BC＝BN，∴E是CN的中点，∴NC＝2CE，∵AB＝AC，∠BAC＝∠CAN＝90°，∴△BAF≌△CAN，∴BF＝CN，∴BF＝2EC，即DF＝2EC；（2）仍然成立，DF＝2EC；理由如下：如图2，作∠PDE＝22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，∵DE⊥PC，∠ECD＝67.5，∴∠EDC＝22.5°，∴∠PDE＝∠EDC，∠NDC＝45°，∴∠DPC＝67.5°，在△DPE和△DEC中，，∴△DPE≌△DEC（AAS），∴PD＝CD，PE＝EC，∴PC＝2CE，∵∠NDC＝45°，∠NCD＝45°，∴∠NCD＝∠NDC，∠DNC＝90°，∴△NDC是等腰直角三角形∴ND＝NC且∠DNC＝∠PNC，在△DNF和△PNC中，，∴△DNF≌△PNC（ASA），∴DF＝PC，∴DF＝2CE．27．已知△ABC中，∠C是最小的一个内角，过顶点B的一条直线交AC于点D，直线BD将原三角形分割成两个等腰三角形△ABD和△BCD，△ABD中BD＝AD，请探究∠A与∠C的数量关系，并说明理由．【分析】因为没有指明是哪两个边相等，故应该分情况进行分析，从而求解．【解答】解：设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠ADB＞90°，∠CBD＝∠CDB＝90°﹣x，∠A＝180°﹣x﹣y．此时只能有∠A＝∠ABD，即180°﹣x﹣y＝y﹣[90°﹣x]，3x+4y＝540°，即∠ABC＝135°﹣∠C，4∠A+∠C＝180°；②若∠C是底角，则有两种情况．第一种情况：如图，当DB＝DC时，则∠DBC＝x，△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y﹣x．由AD＝BD，得180°﹣x﹣y＝y﹣x，此时y＝90°，即∠ABC＝90°，∠A+∠C＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况，如图1，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°﹣x＞90°，此时只能有AD＝BD，从而∠A＝∠ABD＝∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上，∠A与∠C之间的关系是：4∠A+∠C＝180°或∠A+∠C＝90°，∠C是小于45°的任意角．。

江苏省无锡市锡中实验学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)

江苏省无锡市锡中实验学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图所示中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.和数轴上的点一一对应的是()A. 整数B. 有理数C. 无理数D. 实数3.如果代数式√x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是()x+1A. x≥3且x≠−1B. x>3且x≠−1C. x>−1D. x≥34.下列运算正确的是()A. √(−2)2=−2B. (2√3)2=6C. √2+√3=√5D. √2×√3=√65.下列命题中，假命题是()A. 等边三角形是等腰三角形B. 如果ab=0，那么a=0且b=0C. 如果a>0，b<0，那么ab<0D. 全等三角形的面积相等6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是()A. 4B. 3C. 5D. 4.57.如图，长方体的底面长为若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径为()A. 13cmB. 12cmC. 11cmD. 10cm8.如图，DE是AC的垂直平分线，AB=8cm，BC=12cm，则△BAD的周长为()A. 22cmB. 20cmC. 18cmD.16cm9.如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF//BC交AB于D，交AC于F，若AB=4，AC=3，则△ADF周长为()A. 6B. 7C. 8D. 1010.如图所示，AC=BC，AC⊥BC于点C，AB=AD=BD，CD=CE=DE.若AB=√2，则BE的长为()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.计算√16的结果是________．12.若a<√30<b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为______．13.如图，一木杆AB在离地面3米的点C处折断，木杆顶端落在离木杆底端A点4米处，则木杆折断之前的高度为_________米14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为______．15.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠DEF=65°，则∠AED′的大小为______°．16.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂灰7个小正方形所形成的图案，将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有________种．17.如图，AD//BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为_________．18.如图钢架中，只能焊接4根等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5来加固钢架．若P1A=P1P2，则∠A的取值范围为三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）)−1．19.计算：(1−π)0+|√2−√3|−√12+(√220.已知5x−1的算术平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x−2y的平方根．．．．21.如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D。

2019学年江苏省无锡市锡北片八年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】

2019学年江苏省无锡市锡北片八年级上学期期中考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2. 已知等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是（）A．17 B．15 C．13 D．13或173. 下列能判定△A BC为等腰三角形的是（）A．∠A=40º、∠B=50º B．∠A=40º、∠B=70ºC．AB=AC=3，BC=6 D．AB=3、BC=8，周长为164. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，35. 如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB＝AD B．AC平分∠BCDC．AB＝BD D．△BEC≌△DEC6. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC7. 如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm8. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．89. 如图所示的一块地，，，，，，求这块地的面积为（）m2．A．54 B．108 C．216 D．27010. 如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC＝90º，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①图中只有2对全等三角形，②AE=CF；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF=S△ABC；⑤EF的最小值为．上述结论始终正确的有（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题11. 如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为（答案不唯一，只需填一个）12. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是__°．13. 在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为．14. 如图，以直角三角形一边向外作正方形，其中两个正方形的面积为100和64，则正方形A的面积为．15. 在中，三边长分别用a、b、c表示，已知a=3、b=5，则c2=_____________．16. 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1．2km，则M，C两点间的距离为_______km．17. 已知┃x－12┃＋┃z－13┃+y2－10y＋25=0，则以x、y、z为三边的三角形是三角形。

2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷附参考答案

2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠32．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣56．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分13．若分式的值为0，则x的值是．14．分式，，的最简公分母是．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于．三、解答题：本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）321．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）522．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．若分式的值不存在，则x的取值是（）A．x＝﹣2 B．x≠﹣2 C．x＝3 D．x≠3【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值不存在，∴2x+4＝0，解得：x＝﹣2，则x的取值是：﹣2．2．若分式的值等于0，则x的取值是（）A．x＝0 B．x＝3 C．x＝﹣3 D．x＝3或x＝﹣3 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零分母不为零，进而得出答案．【解答】解：∵分式的值等于0，∴|x|﹣3＝0，2x﹣6≠0，解得：x＝﹣3，故选：C．3．下列式子变形，正确的是（）A．＝B．＝﹣C．＝D．＝【分析】根据分式的基本性质解答．【解答】解：A、原式＝，故本选项错误；B、原式＝﹣，故本选项正确；C、原式＝，故本选项错误；D、原式＝，故本选项错误；故选：B．4．下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．【解答】解：A．＝，不符合题意；B．＝，不符合题意；C．＝，不符合题意；D．是最简分式，符合题意；5．用科学记数法表示：0.00002018是（）A．2.018×10﹣5B．2.018×10﹣4C．201.8×10﹣7D．2018×10﹣5【分析】根据科学记数法的形式选择即可．【解答】解：0.00002018＝2.018×10﹣5，故选：A．6．计算：（）﹣3的结果是（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】先根据负整数指数幂的定义进行变形，再求出即可．【解答】解：（）﹣3＝（）3＝，故选：B．7．如图，图中三角形的个数共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论．【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD．故选：C．8．如图，CD是△ABC的角平分线，∠A＝30°，∠B＝66°，则∠BDC的度数是（）A．96°B．84°C．76°D．72°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据CD是△ABC的角平分线，即可求出∠ACD的度数；再根据三角形内角和外角的关系即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝66°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣66°＝84°，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝×84°＝42°．∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝30°+42°＝72°．故选：D．9．下列语句：①你叫什么名字；②负数的绝对值等于它的相反数；③相等的角是对顶角；④明天下雨吗？属于命题的是（）A．①②B．②③C．③④D．①②③④【分析】根据命题是判断性语句，可得答案．【解答】解：①你叫什么名字，没有作出判断，不是命题；②负数的绝对值等于它的相反数，正确，是命题；③相等的角是对顶角，正确，是命题；④明天下雨吗？是疑问句，不是命题，故选：B．10．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DEC．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E D．AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF【分析】根据题意画出图形，再由全等三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：如图所示，A、AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，符合SAS定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；B、∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，符合ASA定理，∴△ABC≌△DEF，故本选项正确；C、∵AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，故本选项错误；D、∵AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，符合SSS定理，∴△ABC≌△EFD，故本选项正确．故选：C．11．如图，∠CAB＝60°，CD垂直平分AB，垂足为点D，∠CAB的平分线交CD于点E，连接EB，则∠BEC的度数是（）A．120°B．110°C．100°D．90°【分析】根据三角形的外角的性质可知：∠BEC＝∠B+∠EDB，想办法求出∠B，∠EDB即可解决问题；【解答】解：∵AE平分∠CAB，∠CAB＝60°，∴∠EAD＝∠CAB＝30°，∵CD垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∠EDB＝90°，∴∠B＝∠EAD＝30°，∴∠BEC＝∠EDB+∠B＝90°+30°＝120°，故选：A．12．如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AC与BD相交于点O，且OA＝OB，下列结论：①AD＝BC；②AC＝BD；③∠CDA＝∠DCB；④CD∥AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由△ABC≌△BAD（AAS），推出AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，再证明CO＝OD，可得∠CDA＝∠DCB，故③正确，由∠CDO＝∠OAB，可得CD∥AB，故④正确；【解答】解：∵OA＝OB，∴∠DAB＝∠CBA，∵∠ACB＝∠BDA＝90°，AB＝BA，∴△ABC≌△BAD（AAS），∴AD＝BC，AC＝BD，故①②正确，∵BC＝AD，BO＝AO，∴CO＝OD，∴∠CDA＝∠DCB，故③正确，∵∠COD＝∠AOB，∴∠CDO＝∠OAB，∴CD∥AB，故④正确，故选：D．二．填空题（共6小题）13．若分式的值为0，则x的值是0 ．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴x＝0．将x＝0代入x+1＝1≠0．当x＝0时，分式分式的值为0．故答案为：0．14．分式，，的最简公分母是12a2b2c．【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：因为三分式中的常数项系数的最小公倍数是12，a的最高次幂是2，b的最高次幂是2，c的最高次幂是1，所以三分式的最简公分母是12a2b2c．故答案为：12a2b2c．15．若3x＝10，3y＝5，则3x﹣y＝ 2 ．【分析】先根据同底数幂的除法进行变形，再代入求出即可．【解答】解：∵3x＝10，3y＝5，∴3x﹣y＝3x÷3y＝10÷5＝2，故答案为：2．16．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．17．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，EF是AC边的垂直平分线，垂足为E，交BC 于点F，则∠AFE的度数等于50°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝70°，根据三角形的内角和得到∠C ＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，根据线段垂直平分线的性质得到CF＝AF，EF⊥AC，于是得到结论．【解答】解：∵AC＝BC，∠B＝70°，∴∠CAB＝∠B＝70°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠B＝40°，∵EF是AC边的垂直平分线，∴CF＝AF，EF⊥AC，∴∠EAF＝∠C＝40°，∴∠AFE＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50°．18．已知ab＝1，m＝+，则﹣m2018的值等于﹣1 ．【分析】先利用异分母分式的加减法法则，计算m的值，再求出﹣m2018的值．【解答】解：m＝+＝＝∵ab＝1，∴m＝＝1∴﹣m2018＝﹣12018＝﹣1故答案为：﹣1三．解答题（共8小题）19．先约分，再求值：，其中x＝﹣2，y＝﹣．【分析】先把分子分母因式分解，再约分得到原式＝，然后把x、y的值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝，当x＝﹣2，y＝﹣时，原式＝＝．20．计算：（1）•（2）÷（3）（）2（4）（）3【分析】（1）先分解因式，再根据分式的乘法法则求出即可；（2）先把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出即可；（3）根据分式的乘方法则求出即可；（4）根据分式的乘方法则求出即可．【解答】解：（1）•＝•＝﹣2x（x+1）＝﹣2x2﹣2x；（2）原式＝•＝；（3）（）2＝；（4）（）3＝﹣＝﹣．21．计算（1）（）3•（）2•（）2（2）（）4•（）3÷（）5【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可；（2）先算乘方，把除法变成乘法，再算乘法即可．【解答】解：（1）原式＝••＝；（2）原式＝••＝﹣．22．计算：（1）+﹣（2）﹣﹣【分析】（1）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案；（2）直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）+﹣＝+﹣＝；（2）﹣﹣＝﹣﹣＝＝﹣．23．如图，已知AB∥ED，CD∥BF，AE＝CF．求证：AB＝ED．【分析】根据平行线性质得到∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB∥ED，CD∥BF，∴∠A＝∠DEC，∠C＝∠AFB，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ABF与△EDC中，∴△ABF≌△EDC，（ASA），∴AB＝ED．24．如图，AB＝CD，AD＝BC，E、F分别是AC上的点，且AE＝CF（1）求证：AB∥CD；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）由全等三角形的判定定理SSS证得△ABD≌△CDB，则该全等三角形的对应角相等，即∠ABD＝∠CDB，故AB∥CD；（2）欲证明BE＝DF，只需推知△ABE≌△CDF即可．【解答】证明：（1）在△ABD与△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD；（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，又AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．25．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD 的延长线于点F（1）求证：△ABE≌△AFE；（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EBC＝∠F，然后求出∠ABF＝∠F，再利用“角角边”证明△ABE 和△AFE全等即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得BE＝FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DF，然后根据AD+BC整理即可得证．【解答】证明：（1）∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）；（2）∵△ABE≌△AFE，∴BE＝EF，在△BCE和△FDE中，，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴BC＝DF，∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，即AD+BC＝AB．∵AD＝2，BC＝6，∴AB＝8．26．甲种污水处理器处理25吨的污水与乙种污水处理器处理35吨的污水所用的时间相同，已知乙种污水处理器每小时比甲种污水处理器多处理20吨的污水．（1）分别求甲、乙两种污水处理器的污水处理效率；（2）若某厂每天同时开甲、乙两种污水处理器处理污水共4小时，且甲、乙两种污水处理器处理污水每吨需要的费用分别30元和50元，问该厂每个月（以30天计）需要污水处理费多少？【分析】（1）首先设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，则设乙种污水处理器每小时处理污水（x+20）吨，根据题意可得等量关系：甲种污水处理器处理25吨的污水＝乙种污水处理器处理35吨的污水所用时间，根据等量关系，列出方程，再解即可．（2）根据题意列出计算式解答即可．【解答】解：（1）设甲种污水处理器每小时处理污水x吨，由题意得，，解之得，x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，所以x＝50，x+20＝70，答，甲种污水处理器每小时处理污水50吨，乙种污水处理器每小时处理污水70吨．（2）30×4×50×30+30×4×70×50＝180000+420000＝600000（元），答：该厂每个月（以30天计）需要污水处理费600000元．。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡东片八年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡东片八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）某软件其中四个功能的图标如下，四个图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，83．（3分）在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的高，如果∠BAC＝40°，则∠CBD的度数是（）A．70°B．40°C．20°D．30°4．（3分）如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形的面积分别为9和25，则正方形A的面积是（）A．16B．32C．34D．645．（3分）下列说法错误的是（）A．无理数都是无限小数B．π﹣2的平方根是±2C．﹣9是81的一个平方根D．与数轴上的点一一对应的数是实数6．（3分）若等腰三角形中有两边长分别为2和3，则这个三角形的周长为（）A．7B．7或8C．8D．9或77．（3分）如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是（）A．HL B．SAS C．ASA D．SSS8．（3分）如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．﹣2﹣B．﹣1﹣C．﹣2+D．1+9．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若DC＝3，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（）A．4B．6C．10D．1610．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．35°C．60°D．70°二、填空题（共8小题，每小题2分，满分18分）11．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则AC＝．12．（2分）|2﹣π|＝；比较大小：．（用“＞”、“＝”或“＜”填空）．13．（2分）下列五个数，2π，，，3.1415926中，是无理数的有个．14．（2分）被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜F AST的反射面总面积为249900m2，请将249900精确到万位，并用科学记数法表示为．15．（2分）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为．16．（2分）如图，∠ABC＝90°，AD∥BC，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F．若AB＝6，BC＝10，则EF的长为．17．（3分）如图，两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC＝4，则这两块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．18．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝9，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD上的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E、F，则△GEF的面积最大值是．三、解答题（共8小题，满分72分）19．（10分）计算（1）+（2）﹣|1﹣|﹣（π﹣1）020．（10分）求x的值：（1）（x+1）2＝64（2）8x3+27＝0．21．（6分）已知：如图，AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC．求证：△ABC≌△ADE．22．（10分）（1）若x，y为实数，且x＝+4，求（x﹣y）2的平方根；（2）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AD为△ABC的角平分线．（1）用圆规在AB上作一点P，满足DP⊥AB．（2）求CD的长度．24．（9分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边上．（1）证明：∠ECA＝∠DAB；（2）已知AE＝，AB＝3，求AD．（提醒：连接BD）25．（8分）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得P A+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直线l 的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且P A+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则P A+PE的最小值为；（2）代数应用：求代数式+（0≤x≤3）的最小值；（3）几何拓展：如图3，△ABC中，AC＝2，∠A＝30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN的值最小，最小值是．26．（11分）如图，△ABC中，AB＝5cm，BC＝3cm，AC＝4cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）请判断△ABC的形状，说明理由．（2）当t＝时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P、Q两点之间的距离为？2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡东片八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．2．【解答】解：A、32+42≠42，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、32+42＝52，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；C、32+42≠62，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；D、32+42≠82，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：B．3．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠CBD＝90°﹣70°＝20°．故选：C．4．【解答】解：如图所示：根据题意得：EF2＝25，FG2＝9，∠EFG＝90°，根据勾股定理得：EG2＝25+9＝34，∴以斜边为边长的正方形A的面积为34．故选：C．5．【解答】解：π﹣2的平方根是±；故选：B．6．【解答】解：当腰为3时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝3+3+2＝8；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长＝2+2+3＝7所以这个三角形的周长是7或8．故选：B．7．【解答】解：在Rt△AOB和Rt△COD中，，∴Rt△AOB≌Rt△COD（HL），则如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是HL，故选：A．8．【解答】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴CA＝AB，|﹣1|+||＝1+，∴OC＝2+，而C点在原点左侧，∴C表示的数为：﹣2﹣．故选：A．9．【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，DE＝CD＝CE，∵DC＝3，BE＝2∴ED＝CD＝3∴CE＝6，BD＝5在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2＝52﹣32＝16，故选：D．10．【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，∴AC垂直平分BB'，∴AB＝AB'，∴∠BAC＝∠B'AC，∵AB＝AD，∴AD＝AB'，又∵AE⊥CD，∴∠DAE＝∠B'AE，∴∠CAE＝∠BAD＝55°，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠ACB'＝35°，故选：B．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分18分）11．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC＝，故答案为：512．【解答】解：|2﹣π|＝π﹣2，∵1＜2，∴2＜1+＜3，∴＜＜，故答案为：π﹣2，＜．13．【解答】解：、，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；3.1415926是有限小数，属于有理数．无理数只有2π共1个．故答案为：1．14．【解答】解：将249900精确到万位，并用科学记数法表示为2.5×105，故答案为：2.5×105．15．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝BC＝×6＝3，在△ABD中，∵AD2+BD2＝AB2，∴AD＝＝4，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×6＝12，故答案为：12．16．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵BE＝BC＝10，∴AE＝＝＝8，∵CF⊥BE，∴∠A＝∠BFC＝90°，在△AEB和△FBC中，，∴△AEB≌△FBC（AAS），∴BF＝AE＝8，∴EF＝BE﹣BF＝10﹣8＝2；故答案为：2．17．【解答】解：如图，连接AA'，∵点M是AC中点，∴AM＝CM＝AC＝2，∵旋转，∴CM＝C'M，AM＝A'M∴A'M＝MC＝AM＝2，∴∠C'A'B'＝∠A'CM＝30°∴∠AMA'＝∠C'A'B'+∠MCA'＝60°，且AM＝A'M∴△AMA'是等边三角形∴A'A＝AM＝2故答案为：218．【解答】解：如图，当点G与点A重合时，△GEF的面积最大，∵折叠∴GF＝FC，∠AFE＝∠EFC在Rt∠ABF中，AF2＝AB2+BF2，∴AF2＝9+（9﹣AF）2，∴AF＝5∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFC∴∠AEF＝∠AFE∴AE＝AF＝5∴△GEF的面积最大值＝×5×3＝7.5故答案为：7.5三、解答题（共8小题，满分72分）19．【解答】解：（1）原式＝3+2﹣＝4；（2）原式＝2﹣（﹣1）﹣1＝2﹣+1﹣1＝2﹣．20．【解答】解：（1）x+1＝±8x＝7或﹣9（2）8x3＝﹣27x3＝x＝21．【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．22．【解答】解：（1）由题意得：，解得y＝3，∴x＝4，∴（x﹣y）2＝1，∴（x﹣y）2的平方根是±1．（2）由x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，得x﹣2＝4，2x+y+7＝27，解得x＝6，y＝8．∴x2+y2＝100，∴x2+y2的算术平方根是10．23．【解答】解：（1）如图，点P即为所求；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．又∵DC⊥AC、DP⊥AB，∴∠C＝∠APD．在△ACD与APD中，∵，∴△ACD≌APD（AAS）．∴AP＝AC＝4，CD＝PD．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．设DP为x，则DP＝x，BD＝3﹣x，在Rt△DPB中，∠DPB＝90°，∴DP2+PB2＝DB2，即，x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴CD＝DP＝．24．【解答】（1）证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴∠E＝∠CAB＝45°，∵∠CAB+∠DAB＝∠E+∠ECA，∴∠ECA＝∠DAB；（2）解：连接BD，如图所示：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，∴∠ECA+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∠CEA＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠ECA＝∠DCB，在△ECA和△DCB中，，∴△ECA≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，∴△ADB是直角三角形，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD2+AE2＝AB2，∵AE＝，AB＝3，∴AD＝＝＝2．25．【解答】解：（1）如图2，作点E关于直线BC的对称点E′，连接E′A，则E′A与直线BC的交点即为P，且P A+PE的最小值为E′A，作E′F⊥AC交AC的延长线于F，由题意得，E′F＝1，AF＝3，∴P A+PE的最小值E′A＝＝，故答案为：；（2）构造图形如图4所示，AB＝BD＝3，AC＝1，AP＝x，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，则PC+PD＝+，代数式+（0≤x≤3）的最小值就是求PC+PD的值，作点C关于AB的对称点C'，过C'作C'E⊥DB交DB的延长线于E．则C'E＝AB＝3，DE＝3+1＝4，C'D＝＝＝5，∴所求代数式的最小值是5；（3）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A＝CA＝2，∠C′AB＝∠CAB＝30°，∴△C′AC为等边三角形，∴CM+MN的最小值为C′N＝，故答案为：．26．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．∵AB＝5，BC＝3，AC＝4，∴AC2+BC2＝25＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）如图，当点P在AC上时，CP＝CB＝3，则t＝3÷2＝1.5秒；如图，当点P在AB上时，分两种情况：若BP＝BC＝3，则AP＝2，故t＝（4+2）÷2＝3秒；若CP＝CB＝3，作CM⊥AB于M，则×AB×MC＝×BC×AC，×5×MC＝×3×4，解得CM＝2.4，∴由勾股定理可得PM＝BM＝1.8，即BP＝3.6，∴AP＝1.4，故t＝（4+1.4）÷2＝2.7秒．综上所述，当t＝1.5、3或2.7 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．故答案为：t＝1.5或2.7或3；（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤2），由勾股定理可得：（2t）2+t2＝5，解得t＝1；②如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（3≤t＜4），由题可得：12﹣2t﹣t＝，解得t＝；③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（4＜t≤4.5），由题可得：2t+t﹣12＝，解得t＝，∵t＝＞4.5，∴不成立，舍去．④当点P在AB上，点Q在BC上时，PQ的长不合题意；综上所述，当t为1秒或秒时，P、Q两点之间的距离为．。

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡北片八年级(上)期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡北片八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列美丽的图案中不是轴对称图形是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）在227， 1.732-、2π0.121121112⋯（每两个2中逐次多一个1)、中，无理数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（3分）与数轴上的点一一对应的是( )A ．有理数B ．实数C ．无理数D ．自然数4．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A ．6，12，8B ．7，24，25C ．1.5，2，2.5D ．9，12，155．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A ．ABC ∆ 的三条中线的交点B ．ABC ∆ 三边的中垂线的交点C ．ABC ∆ 三条角平分线的交点D ．ABC ∆ 三条高所在直线的交点6．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长为( )A ．8B ．10C ．11D ．10或117．（3分）如图，AC DF =，12∠=∠，再添加一个条件，不一定能判定ABC DEF ∆≅∆的是( )A ．AB DE = B ．BF CE =C ．AD ∠=∠ D ．BE ∠=∠8．（3分）如图，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米，则梯子顶端A 下落了( )A ．0.9米B ．1.3米C ．1.5米D ．2米9．（3分）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得PAB ∆是等腰三角形，则符合条件的P 点有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个10．（3分）如图，在ABC ∆，ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下三个结论：①BD CE =；②BD CE ⊥；③45ACE DBC ∠+∠=︒．其中结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空（每题2分，共16分）11．（2分）16的算术平方根是．12．（2分）小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是．13．（2分）已知ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，80B ∠=︒，则F ∠= ．14．（2分）等腰三角形的一个角是110︒，则它的底角是．15．（2分）已知|1|0a -=，则a b += ．16．（2分）已知：如图，在AOB ∆中，90AOB ∠=︒，3AO cm =，4BO cm =．将AOB ∆绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△11A OB 处，此时线段1OB 与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段1B D = cm ．17．（2分）如图，已知AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于E ，//ED AC ，36BAE ∠=︒，那么BED ∠= ．18．（2分）已知：如图，ABC ∆是边长为6的等边三角形，直线AF BC ⊥于F ，点D 是直线AF 上一动点，以BD 为边在BD 的右侧作等边BDE ∆，连接EF ，则EF 的最小值为．三、解答题（共74分）19．（8分）计算：（1）0(1)2|( 3.14)π---+-（220．（8分）解方程：（1）32160x +=（2）2(1)40x +-=21．（8分）如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB DE =，A D ∠=∠，//AC DF ．求证：BE CF =．22．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 分别交边AB 、AC 于点E 、D ，连结BD（1）求DBC ∠的度数；（2）若4BC =，求AD 的长．23．（8分）如图，已知四边形ABCD 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，求四边形ABCD 的面积．24．（4分）利用网格画图：（1）在AC 上找一点P ，使点P 到AB 和BC 的距离相等；（2）在射线BP 上找一点Q ，使QA QC =．25．（10分）如图，ABC ∆中，AB BC =，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，45BAD ∠=︒，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求证：2BF AE =；（2）若1CD =，求AD 的长．26．（10分）【问题】如图1，在R t A B CEDF∠=︒，=，过点C作直线l平行于AB．90∠=︒，AC BCACB∆中，90点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与直线AC交于点P，研究DP 和DB的数量关系．【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点=；C重合时，可以得到DP DB【数学思考】（1）如图1，若点P是线段AC上的任意一点（不含端点A、)=；C时，请证明DP DB【拓展引申】（2）如图3和图4，当DF与CA的延长线（或AC的延长线）交于点P时，BD DP=是否成立？如果成立，请你根据图3或图4中的任意一张图进行证明，如果不成立，请说明理由．27．（10分）如图，ABC=，3AB cm=，若点P从点A出发，BC cm∆中，90ACB∠=︒，5以每秒2cm的速度沿折线A C B At>．---运动，设运动时间为t秒(0)（1）若点P在AC上，且满足PA PB=时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在BAC∠的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，BCP∆为等腰三角形．2019-2020学年江苏省无锡市锡山区锡北片八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）下列美丽的图案中不是轴对称图形是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A 、是轴对称图形，故此选项错误；B 、不是轴对称图形，故此选项正确；C 、是轴对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，故此选项错误．故选：B ．【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．2．（3分）在227， 1.732-、2π0.121121112⋯（每两个2中逐次多一个1)、中，无理数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可．【解答】解：227是分数，属于有理数； 1.732-是有限小数，属于有理数；110=-，是分数，属于有理数．∴无理数有：2π、0.121121112⋯（每两个2中逐次多一个1)共3个．故选：B ．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．3．（3分）与数轴上的点一一对应的是( )A ．有理数B ．实数C ．无理数D ．自然数【分析】根据实数都可以用数轴上的点来表示，数轴上的点都表示一个实数，进行填空．【解答】解：与数轴上的点一一对应的是实数．故选：B ．【点评】此题考查了实数和数轴上的点之间的一一对应关系．4．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A ．6，12，8B ．7，24，25C ．1.5，2，2.5D ．9，12，15【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【解答】解：A 、2226812+≠，不符合勾股定理的逆定理，故正确．B 、22272425+=，符合勾股定理的逆定理，故错误；C 、2221.52 2.5+=，符合勾股定理的逆定理，故错误；D 、22291215+=，符合勾股定理的逆定理，故错误；故选：A ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．5．（3分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A ．ABC ∆ 的三条中线的交点B ．ABC ∆ 三边的中垂线的交点C ．ABC ∆ 三条角平分线的交点D ．ABC ∆ 三条高所在直线的交点【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是ABC ∆三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【解答】解：凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择ABC ∆三条角平分线的交点．故选：C ．【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．6．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长为( )A ．8B ．10C ．11D ．10或11【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解即可．【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，能组成三角形，周长33410=++=，②3是底边时，三角形的三边分别为3、4、4，能组成三角形，周长34411=++=，所以，三角形的周长为10或11．故选：D ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．7．（3分）如图，AC DF =，12∠=∠，再添加一个条件，不一定能判定ABC DEF ∆≅∆的是( )A ．AB DE = B ．BF CE =C ．AD ∠=∠ D ．BE ∠=∠【分析】分别从全等三角形的判定“ASA 、AAS 、SAS ”来添加条件，从而得出答案．【解答】解：在ABC ∆和DEF ∆中，AC DF =，12∠=∠，∴若从“ASA ”的判定来添加条件，可添加A D ∠=∠，若从“AAS ”的判定来添加条件，可添加B E ∠=∠，若从“SAS ”的判定来添加条件，可添加BC EF =或BF EC =，故选：A ．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．8．（3分）如图，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米，则梯子顶端A 下落了( )A ．0.9米B ．1.3米C ．1.5米D ．2米【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC 和CE 的长即可．【解答】解：在Rt ACB ∆中，222222.5 1.54AC AB BC =-=-=，2AC ∴=，0.9BD =，2.4CD ∴=．在Rt ECD ∆中，222222.5 2.40.49EC ED CD =-=-=，0.7EC ∴=，20.7 1.3AE AC EC ∴=-=-=．故选：B ．【点评】考查了勾股定理的应用，解答中此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解答题目的关键．9．（3分）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得PAB ∆是等腰三角形，则符合条件的P 点有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【分析】本题是开放性试题，根据题意，画出图形结合求解．【解答】解：第1个点在AC 上，作线段AB 的垂直平分线，交AC 于点P ，则有PA PB =；第2个点是以A 为圆心，以AB 长为半径截取AP AB =，交AC 延长线上于点P ；第3个点是以A 为圆心，以AB 长为半径截取AP AB =，在上边于CA 延长线上交于点P ；第4个点是以B 为圆心，以BA 长为半径截取BP BA =，与AC 的延长线交于点P ；第5个点是以B 为圆心，以BA 长为半径截取BP BA =，与BC 在左边交于点P ；第6个点是以A 为圆心，以AB 长为半径截取AP AB =，与BC 在右边交于点P ； ∴符合条件的点P 有6个点．故选：C ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．10．（3分）如图，在ABC ∆，ADE ∆中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下三个结论：①BD CE =；②BD CE ⊥；③45ACE DBC ∠+∠=︒．其中结论正确的个数是( )A．1B．2C．3D．0【分析】①由AB AC=，AD AE=，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD CE=，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；③由等腰直角三角形的性质得到45ABD DBC∠+∠=︒，等量代换得到45ACE DBC∠+∠=︒，本选项正确．【解答】解：①90BAC DAE∠=∠=︒，BAC CAD DAE CAD∴∠+∠=∠+∠，即BAD CAE∠=∠，在BAD∆和CAE∆中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS∴∆≅∆，BD CE∴=，本选项正确；②BAD CAE∆≅∆，ABD ACE∴∠=∠，45ABD DBC∠+∠=︒，45ACE DBC∴∠+∠=︒，90 DBC DCB DBC ACE ACB∴∠+∠=∠+∠+∠=︒，则BD CE⊥，本选项正确；③ABC∆为等腰直角三角形，45ABC ACB∴∠=∠=︒，45ABD DBC∴∠+∠=︒，ABD ACE∠=∠ACE DBC∴∠+∠=︒，本选项正确；45综上所述，正确的结论有3个．故选：C．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空（每题2分，共16分）11．（2分）16的算术平方根是4．【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．【解答】解：2416=，∴4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．12．（2分）小明从镜子中看到对面电子钟如图所示，这时的时刻应是10:51．【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际时间．【解答】解：是从镜子中看，∴对称轴为竖直方向的直线，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，∴这时的时刻应是10:51．故答案为：10:51．【点评】考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5．13．（2分）已知ABC DEF∠=70︒．B∠=︒，则F∠=︒，80∆≅∆，30A【分析】根据ABC DEF∆≅∆，从而推出对应角相等求解．【解答】解：ABC DEF∆≅∆，∠=∠=︒，C F∠=∠，B E∴∠=∠=︒，80A D30180D E F ∠+∠+∠=︒，70F ∴∠=︒．故答案是：70︒．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．14．（2分）等腰三角形的一个角是110︒，则它的底角是 35︒ ．【分析】题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．【解答】解：①当这个角是顶角时，底角(180110)235=︒-︒÷=︒；②当这个角是底角时，另一个底角为110︒，因为110110240︒+︒=︒，不符合三角形内角和定理，所以舍去．故答案为：35︒．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．15．（2分）已知|1|0a -=，则a b += 6- ．【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，10a -=，70b +=，解得1a =，7b =-，所以1(7)6a b +=+-=-．故答案为：6-．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．（2分）已知：如图，在AOB ∆中，90AOB ∠=︒，3AO cm =，4BO cm =．将AOB ∆绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△11A OB 处，此时线段1OB 与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段1B D = 1.5 cm ．【分析】先在直角AOB ∆中利用勾股定理求出5AB cm ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出1 2.52OD AB cm ==．然后根据旋转的性质得到14OB OB cm==，那么11 1.5B D OB OD cm =-=．【解答】解：在AOB ∆中，90AOB ∠=︒，3AO cm =，4BO cm =，5AB cm ∴==，点D 为AB 的中点，1 2.52OD AB cm ∴==．将AOB ∆绕顶点O ，按顺时针方向旋转到△11A OB 处，14OB OB cm ∴==，11 1.5B D OB OD cm ∴=-=．故答案为1.5．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理．17．（2分）如图，已知AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于E ，//ED AC ，36BAE ∠=︒，那么BED ∠=126︒．【分析】已知AE平分BAC∠的ED AC，根据两直线平行同旁内角互补，可求得DEA∠，//度数，再由三角形外角和为360︒求得BED∠度数．【解答】解：AE平分BAC∠∴∠=∠=︒36BAE CAEED AC//∴∠+∠=︒CAE DEA180∴∠=︒-︒=︒DEA18036144∠+∠+∠=︒AED AEB BED360∴∠=︒-︒-︒=︒．36014490126BED故答案为126︒．【点评】考查平行线的性质和三角形外角和定理．两直线平行，同旁内角互补．18．（2分）已知：如图，ABC⊥于F，点D是直∆是边长为6的等边三角形，直线AF BC线AF上一动点，以BD为边在BD的右侧作等边BDE∆，连接EF，则EF的最小值为3．2【分析】取AB中点H，连接DH，由“SAS”可证BHD BFE=，则当∆≅∆，可得EF DHDH取最小值时，EF有最小值，即当DH AF⊥时，DH有最小值，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：如图，取AB中点H，连接DH，ABC ∆，BDE ∆都是等边三角形，AB BC ∴=，BD BE =，60DBE ABC ∠=∠=︒，ABD EBC ∴∠=∠，ABC ∆是等边三角形，AF BC ⊥11322BF BC AB ∴===，30BAF ∠=︒， H 是AB 中点，132AH BH AB BF ∴====，且ABD EBC ∠=∠，BD BE =， ()BHD BFE SAS ∴∆≅∆EF DH ∴=，∴当DH 取最小值时，EF 有最小值，当DH AF ⊥时，DH 有最小值，1322DH AH ∴==， EF ∴的最小值为32，故答案为：32．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明EF DH =是本题的关键．三、解答题（共74分）19．（8分）计算：（1）0(1)2|( 3.14)π---+-（2【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂法则计算即可求出值；（2）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值．【解答】解：（1）原式121=-（2）原式4(3)23=+-+=．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（8分）解方程：（1）32160x +=（2）2(1)40x +-=【分析】（1）直接利用立方根的定义计算得出答案；（2）直接利用平方根的定义计算得出答案．【解答】解：（1）32160x +=，则38x =-，解得：2x =-；（2）2(1)40x +-=，2(1)4x +=，12x +=±，解得：1x =或3x =-．【点评】此题主要考查了立方根和平方根，正确把握相关定义是解题关键．21．（8分）如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB DE =，A D ∠=∠，//AC DF ．求证：BE CF =．【分析】欲证BE CF =，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而//AC DF 可以得出ACB F ∠=∠，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC EF =，都减去一段EC 即可得证．本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．【解答】证明：//AC DF ，ACB F ∴∠=∠，在ABC ∆和DEF ∆中，A D ACB F AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC DEF AAS ∴∆≅∆；BC EF ∴=，BC CE EF CE ∴-=-，即BE CF =．【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．22．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，36A ∠=︒，AB 的垂直平分线DE 分别交边AB 、AC 于点E 、D ，连结BD（1）求DBC ∠的度数；（2）若4BC =，求AD 的长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到72ABC C ∠=∠=︒，根据线段垂直平分线的性质得到AD BD =，于是得到结论；（2）根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）AB AC =，36A ∠=︒，72ABC C ∴∠=∠=︒， DE 垂直平分AB ，AD BD ∴=，36DBA A ∴∠=∠=︒，36DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒；（2）由（1）得36DBC ∠=︒，72C ∠=︒，18072BDC C DBC ∴∠=︒-∠-∠=︒，C BDC ∴∠=∠，BC BD ∴=，AD BD =，4AD BC ∴==．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．23．（8分）如图，已知四边形ABCD 中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，12CD =，13AD =，求四边形ABCD 的面积．【分析】连接AC ，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形ABCD 的面积=直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．【解答】解：连接AC ，如图所示：90B ∠=︒，ABC ∴∆为直角三角形，又3AB =，4BC =，∴根据勾股定理得：5AC =，又12CD =，13AD =，2213169AD ∴==，222212514425169CD AC +=+=+=，222CD AC AD ∴+=，ACD ∴∆为直角三角形，90ACD ∠=︒，则111134512362222ABC ACD ABCD S S S AB BC AC CD ∆∆=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=四边形．故四边形ABCD 的面积是36．【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．24．（4分）利用网格画图：（1）在AC 上找一点P ，使点P 到AB 和BC 的距离相等；（2）在射线BP 上找一点Q ，使QA QC =．【分析】（1）直接利用角平分线的性质与作法得出P 点位置；（2）直接利用网格结合勾股定理得出Q 点位置．【解答】解：（1）如图所示：点P 即为所求；（2）如图所示：点Q 即为所求．【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用网格分析是解题关键．25．（10分）如图，ABC ∆中，AB BC =，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，45BAD ∠=︒，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求证：2BF AE =；（2）若1CD =，求AD 的长．【分析】（1）先判定出ABD ∆是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD BD =，再根据同角的余角相等求出CAD CBE ∠=∠，然后利用“角边角”证明ADC ∆和BDF ∆全等，根据全等三角形对应边相等可得BF AC =，再根据等腰三角形三线合一的性质可得2AC AF =，从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得DF CD =，然后利用勾股定理列式求出CF ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF CF =，然后根据AD AF DF =+代入数据即可得解．【解答】（1）证明：AD BC ⊥，45BAD ∠=︒，ABD ∴∆是等腰直角三角形，AD BD ∴=，BE AC ⊥，AD BC ⊥，90CAD ACD ∴∠+∠=︒，90CBE ACD ∠+∠=︒，CAD CBE ∴∠=∠，在ADC ∆和BDF ∆中，90CAD CBE AD BD ADC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ADC BDF ASA ∴∆≅∆，BF AC ∴=，AB BC =，BE AC ⊥，2AC AE ∴=，2BF AE ∴=；（2）解：ADC BDF ∆≅∆，∴==，DF CD1在Rt CDF∆中，CF==，BE AC⊥，AE ECAF CF∴=∴=+=+AD AF DF1【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．26．（10分）【问题】如图1，在R t A B CEDF∠=︒，=，过点C作直线l平行于AB．90∠=︒，AC BC∆中，90ACB点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与直线AC交于点P，研究DP 和DB的数量关系．【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P与点=；C重合时，可以得到DP DB【数学思考】（1）如图1，若点P是线段AC上的任意一点（不含端点A、)=；C时，请证明DP DB【拓展引申】（2）如图3和图4，当DF与CA的延长线（或AC的延长线）交于点P时，BD DP=是否成立？如果成立，请你根据图3或图4中的任意一张图进行证明，如果不成立，请说明理由．【分析】（1）过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，根据等腰直角三角形的性质、平行线的性质得到CDP GDB ∠=∠，利用ASA 定理证明CDP GDB ∆≅∆，根据全等三角形的性质证明结论；（2）过点D 作DH CD ⊥交CA 于点H ，仿照（1）的证明过程解答即可．【解答】（1）证明：过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，90ACB ∠=︒，AC BC =，45CAB CBA ∴∠=∠=︒，//CD AB ，45DCB CBA ∴∠=∠=︒，45DCG DGC ∴∠=∠=︒，DC DG ∴=，135DCP DGB ∠=∠=︒，90BDP CDG ∠=∠=︒，CDP GDB ∴∠=∠，在CDP ∆和GDB ∆中，CDP GDB CD GDDCP DGB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()CDP GDB ASA ∴∆≅∆，BD DP ∴=；（2）图3、图4结论仍然成立，以图3为例证明：过点D 作DH CD ⊥交CA 于点H ，90ACB ∠=︒，AC BC =，45CAB CBA ∴∠=∠=︒，//CD AB ，45DCA CAB ∴∠=∠=︒，45DCH DHC ∴∠=∠=︒，DC DH ∴=，135DHP DCB ∠=∠=︒，90BDP CDH ∠=∠=︒，HDP CDB ∴∠=∠，在HDP ∆和CDB ∆中，HDP CDB DH DCDHP DCB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()HDP CDB ASA ∴∆≅∆，BD DP ∴=．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．27．（10分）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB cm =，3BC cm =，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒(0)t >．（1）若点P 在AC 上，且满足PA PB =时，求出此时t 的值；（2）若点P 恰好在BAC ∠的角平分线上，求t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，BCP ∆为等腰三角形．【分析】（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论；（3）在Rt ABC ∆中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP ∆为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP ∆为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，③PC BC =，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =，列方程2234352t --=⨯，即可得到结论．【解答】解：（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，在Rt PCB ∆中，222PC CB PB +=，即：222(42)3(2)t t -+=，解得：2516t =， ∴当2516t =时，PA PB =；（2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，在Rt BEP ∆中，222PE BE BP +=，即：222(24)1(72)t t -+=-，解得：83t =，当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上；（3）在Rt ABC ∆中，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP ∆为等腰三角形，PC BC ∴=，即423t -=，12t ∴=，当P 在AB 上时，BCP ∆为等腰三角形，①CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，1322BE BC ∴==， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194t =， ②PB BC =，即2343t --=，解得：5t =，③PC BC =，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，12BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，由射影定理得；2BC BF AB =，即2234352t --=⨯，解得：5310t =， ∴当15319,5,2104t =或时，BCP ∆为等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．。

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