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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形 式。为了搞好毕业论文答辩，在举行答辩会前，校方、答辩委员会、答辩者（撰写毕业 论文的作者）三方都要作好充分的准备。在答辩会上，考官要极力找出来在论文中所表 现的水平是真是假。而学生不仅要证明自己的论点是对的，而且还要证明老师是错的
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、 有计划、有鉴定的比较正规的审查论
文的重要形式
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、 有计划、有鉴定的比较正规的审查论
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、 有计划、有鉴定的比较正规的审查论
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、 有计划、有鉴定的比较正规的审查论 文的重要形式
毕业论文答辩是一种有组织、有 准备、有计划、有鉴定的比较正
规的审查论文的重要形式
毕业论文答辩是一种有组织、有 准备、有计划、有鉴定的比较正
3
毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、 有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式
03 研 究 综 述 REVIEW OF
01
03
05
02
04
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毕业论文答辩是一种有组 织、有准备、有计划、有 鉴定的比较正规的审查论
文的重要形式
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毕业论文答辩是一种有组 织、有准备、有计划、有 鉴定的比较正规的审查论
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式。为了搞好毕业论文答辩，在举行答辩会前，校方、 答辩委员会、答辩者（撰写毕业论文的作者）三方都要作好充分的准备。在答辩会上，考官要极力找出来在论文中所表现的水平是真是假。而 学生不仅要证明自己的论点是对的，而且还要证明老师是错的
21-9——华东师范大学数学分析课件PPT
I
第3步： D J(u,v)dudv.
第4步： D J (u,v)dudv.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第1步的证明 设(u0,v0 ) int , 0,取正数
J u0,v0 满足1 2 J u0,v0 J u0,v0 .
v
dudv
4n
,
由定理16.2，存在u0,v0 In int . 于是 0,
J u0,v0 I
J u,vdudv I .
I
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第2步的证明 若有正方形I int 使
T I J u,vdudv 0,
I
将I等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一个
a xu,v x u,v b yu,v y u,v
a b a b .
2 2M 2 2M 2M 2M 2
同理
v1
v
2
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
设 I1 是与 I同中心的正方形，边长是1 ，从而
(u1,v1) I .于是
u1 v1
u v
,
由此
u1 v1
u v
a c
b d
x y
u1 u1
, ,
v1 v1
x y
u, u,
v v
.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
于是
u1 u a x u1,v1 x u,v b y u1,v1 y u,v a xu,v xu,v b yu,v yu,v
第3步： D J(u,v)dudv.
第4步： D J (u,v)dudv.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第1步的证明 设(u0,v0 ) int , 0,取正数
J u0,v0 满足1 2 J u0,v0 J u0,v0 .
v
dudv
4n
,
由定理16.2，存在u0,v0 In int . 于是 0,
J u0,v0 I
J u,vdudv I .
I
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第2步的证明 若有正方形I int 使
T I J u,vdudv 0,
I
将I等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一个
a xu,v x u,v b yu,v y u,v
a b a b .
2 2M 2 2M 2M 2M 2
同理
v1
v
2
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
设 I1 是与 I同中心的正方形，边长是1 ，从而
(u1,v1) I .于是
u1 v1
u v
,
由此
u1 v1
u v
a c
b d
x y
u1 u1
, ,
v1 v1
x y
u, u,
v v
.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
于是
u1 u a x u1,v1 x u,v b y u1,v1 y u,v a xu,v xu,v b yu,v yu,v
7-1——华东师范大学数学分析课件PPT
一、区间套定理 二、聚点定理与有限覆盖
定理 三、实数完备性基本定 理
的等价性
*点击以上标题可直接前往对应内容
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
定义1
设闭区间列 {[an, bn]} 满足如下条件 : 1. [an , bn ] [an1, bn1] , n 1, 2, ,
x
证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 有上界
b1. 所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在.
数学分析 第七章 实数的完备性
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理的等价性
设
lim
n
an
=
,
从而由定义1 的条件2 可得
高等教育出版社
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理的等价性
推论
设 {[an ,bn]} 是一个区间套, [an , bn ], n 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n N 时,
[an ,bn ] U ( ; ).
证 由区间套定理的证明可得:
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理的等价性
取 [a2, b2] [a1,b1]
aN2
1 22
,
aN2
1 22
.
显然有
1
[a1 ,
b1] [a2 ,
b2 ],
b2 a2
, 2
并且当 n N2 时, an [a2 ,b2 ]. ......
5-5——华东师范大学数学分析课件PPT
v( x)
v( x)d u( x) u( x)dv( x) v2(x)
函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在点 x0 可
导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有
于是
Δy A o(1). Δx
f
(
x0
)
lim
Δ x 0
Δ Δ
y x
lim ( A o(1)) A ,
Δ x 0
(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
成函数的微分与自变量的微分之商, 即
d y f ( x) ,
(5)
dx
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面
积分学部分中.
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
例1 d(x ) x 1 dx ;
d (sin x) cos x dx ; d (a x ) a x ln a dx .
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的运算法则
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则: 1. d (u( x) v( x)) du( x) dv( x); 2. d(u( x)v( x)) v( x)du( x) u( x)dv( x);
Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 :
Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x)2. 因
v( x)d u( x) u( x)dv( x) v2(x)
函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在点 x0 可
导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有
于是
Δy A o(1). Δx
f
(
x0
)
lim
Δ x 0
Δ Δ
y x
lim ( A o(1)) A ,
Δ x 0
(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
成函数的微分与自变量的微分之商, 即
d y f ( x) ,
(5)
dx
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面
积分学部分中.
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
例1 d(x ) x 1 dx ;
d (sin x) cos x dx ; d (a x ) a x ln a dx .
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的运算法则
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则: 1. d (u( x) v( x)) du( x) dv( x); 2. d(u( x)v( x)) v( x)du( x) u( x)dv( x);
Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 :
Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x)2. 因
17-3——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
16-3——华东师范大学数学分析课件PPT
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续函数的性质
又若把上述例3 的函数改为
f
( x,
y)
xy
x2 m
y
1 m2
2
,
,
( x, y) ( x, y) | y mx, x 0,
( x, y) (0, 0),
其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 y m x
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续 0, 则相应得到的
增量称为偏增量, 分别记作
x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 1， xy 0,
f ( x, y) 0， xy 0 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.
数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续
高等教育出版社
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
由上述定义知道: 若P0 是 D 的孤立点, 则 P0 必定是
f 的连续点. 若P0 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
(2)
PD
如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元
函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或
xy
x2 x2
y2 y2
，
9-4——华东师范大学数学分析课件PPT
0, [a,c]与[c,b]上分割T与T, 使得
T
ixi
2
,
T
ixi
2
.
令 T T T, 它是 [a, b] 的一个分割,
ixi ixi ixi .
T
T
T
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
因此, f 在 [a, b] 上可积.
(必要性) 已知 f 在[a,b]上可积， 则 0, T ,
b
f ( x)dx.
a
a
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质2
若 f , g 在 [a, b] 上可积, 则 f g 在 [a, b] 上可积,
且
b
( f ( x) g( x))dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
a
证
记 J1
0,
存在分割T,使if xi T
; 又存在分
2M
割 T ，使
T
ig Δxi
2M
.
令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
fg i
sup
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
n
f (i )Δ xi J
i 1
. k 1
从而
数学分析 第九章 定积分
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华东师范大学-版面2-PPT1-师大红
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华东师范大学成立于1951年10月16日，是以大夏大学（1924年）、光华大学（1925年）为基础，同时调进圣约翰大学、复旦大学、同济大学和浙江大学等高校的部分系科，在大夏大学原址上创办的。1972年与上海师范学院、上海体育学院等院校合并，改名上海师范大学。1980年恢复华东师范大学校名。1996年被列入“211工程”国家重点建设大学行列。1997-1998年。
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华东师范大学成立于1951年10月16日，是以大夏大学（1924年）、光华大学（1925年）为基础，同时调进圣约翰大学、复旦大学、同济大学和浙江大学等高校的部分系科，在大夏大学原址上创办的。1972年与上海师范学院、上海体育学院等院校合并，改名上海师范大学。1980年恢复华东师范大学校名。1996年被列入“211工程”国家重点建设大学行列。1997-1998年，上海幼儿师范高等专科学
全球化赋能高等教育
Internationally collaborative higher education
中国现代教育财政制度的逻辑起点与主要任务
The logical origin and core missions of Chinese modern education financial system
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华东师范大学成立于1951年10月16日，是以大夏大学（1924年）、光华大学（1925年）为基础，同时调进圣约翰大学、复旦大学、同济大学和浙江大学等高校的部分系科，在大夏大学原址上创办的。1972年与上海师范学院、上海体育学院等院校合并，改名上海师范大学。1980年恢复华东师范大学校名。1996年被列入“211工程”国家重点建设大学行列。1997-1998年。
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华东师范大学成立于1951年10月16日，是以大夏大学（1924年）、光华大学（1925年）为基础，同时调进圣约翰大学、复旦大学、同济大学和浙江大学等高校的部分系科，在大夏大学原址上创办的。1972年与上海师范学院、上海体育学院等院校合并，改名上海师范大学。1980年恢复华东师范大学校名。1996年被列入“211工程”国家重点建设大学行列。1997-1998年。
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华东师范大学成立于1951年10月16日，是以大夏大学（1924年）、光华大学（1925年）为基础，同时调进圣约翰大学、复旦大学、同济大学和浙江大学等高校的部分系科，在大夏大学原址上创办的。1972年与上海师范学院、上海体育学院等院校合并，改名上海师范大学。1980年恢复华东师范大学校名。1996年被列入“211工程”国家重点建设大学行列。1997-1998年，上海幼儿师范高等专科学
全球化赋能高等教育
Internationally collaborative higher education
中国现代教育财政制度的逻辑起点与主要任务
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华东师范大学成立于1951年10月16日，是以大夏大学（1924年）、光华大学（1925年）为基础，同时调进圣约翰大学、复旦大学、同济大学和浙江大学等高校的部分系科，在大夏大学原址上创办的。1972年与上海师范学院、上海体育学院等院校合并，改名上海师范大学。1980年恢复华东师范大学校名。1996年被列入“211工程”国家重点建设大学行列。1997-1998年。
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定 的比较正规的审查论文的重要形式
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02 研 究 方 案 RESEARCH PROGRAMS
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答辩人：
导师：
01 课 题 背 景 及 内 容 BACKGROUND AND ISSUES
02
课题现状及发展
SITUATION AND DEVELOPMENT ISSUES
03 研 究 思 路 及 过 程 BACKGROUND AND ISSUES
04 研 究 数 据 及 结 果 RESEARCH IDEAS AND PROCESSES
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05 参 考 文 献 及 总 结 REFERENCES AND SUMMARY
课题背景及内容
BACKGROUND AND ISSUES 选题背景 研究意义 研究综述 理论基础 主要贡献
01 选 题 背 景 THE BACKGROUND
全国 现状
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、 有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式
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地区 现状
02 研 究 意 义 SIGNIFICANCE
研究 意义
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文的重要形式
2
毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、 有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式
毕业论文答辩是一种有组织、有 准备、有计划、有鉴定的比较正
规的审查论文的重要形式
毕业论文答辩是一种有组织、有 准备、有计划、有鉴定的比较正
研究思路及过程
BACKGROUND AND ISSUES 研究思路 研究方案
可行性说明
01 研 究 思 路 RESEARCH IDEAS
A
B
E 添 加 标 题
C
D
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04 理 论 基 础 THEORETICAL BASIS
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02 发 展 趋 势 DEVELOPMENT TREND
课题现状及发展
SITUATION AND DEVELOPMENT ISSUES
课题现状
发展趋势
01 课 题 现 状 SUBJECT SITUATION
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毕业论文答辩是一种有组
织、有准备、有计划、有
鉴定的比较正规的审查论
文的重要形式
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05 主 要 贡 献 THE MAIN CONTRIBUTION
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02 研 究 方 案 RESEARCH PROGRAMS
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毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式。为了搞好毕业论文答辩，在举行答辩会前，校方、 答辩委员会、答辩者（撰写毕业论文的作者）三方都要作好充分的准备。在答辩会上，考官要极力找出来在论文中所表现的水平是真是假。而 学生不仅要证明自己的论点是对的，而且还要证明老师是错的
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毕业论文答辩PPT模板
答辩人：
导师：
01 课 题 背 景 及 内 容 BACKGROUND AND ISSUES
02
课题现状及发展
SITUATION AND DEVELOPMENT ISSUES
03 研 究 思 路 及 过 程 BACKGROUND AND ISSUES
04 研 究 数 据 及 结 果 RESEARCH IDEAS AND PROCESSES
毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形 式。为了搞好毕业论文答辩，在举行答辩会前，校方、答辩委员会、答辩者（撰写毕业 论文的作者）三方都要作好充分的准备。在答辩会上，考官要极力找出来在论文中所表 现的水平是真是假。而学生不仅要证明自己的论点是对的，而且还要证明老师是错的
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05 参 考 文 献 及 总 结 REFERENCES AND SUMMARY
课题背景及内容
BACKGROUND AND ISSUES 选题背景 研究意义 研究综述 理论基础 主要贡献
01 选 题 背 景 THE BACKGROUND
全国 现状
毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形 式。为了搞好毕业论文答辩，在举行答辩会前，校方、答辩委员会、答辩者（撰写毕业 论文的作者）三方都要作好充分的准备。在答辩会上，考官要极力找出来在论文中所表 现的水平是真是假。而学生不仅要证明自己的论点是对的，而且还要证明老师是错的
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03 研 究 综 述 REVIEW OF
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地区 现状
02 研 究 意 义 SIGNIFICANCE
研究 意义
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规的审查论文的重要形式
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研究思路及过程
BACKGROUND AND ISSUES 研究思路 研究方案
可行性说明
01 研 究 思 路 RESEARCH IDEAS
A
B
E 添 加 标 题
C
D
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04 理 论 基 础 THEORETICAL BASIS
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02 发 展 趋 势 DEVELOPMENT TREND
课题现状及发展
SITUATION AND DEVELOPMENT ISSUES
课题现状
发展趋势
01 课 题 现 状 SUBJECT SITUATION
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织、有准备、有计划、有
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05 主 要 贡 献 THE MAIN CONTRIBUTION
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