2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题

一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则U A C =（）

A ．?

B ．{1，3}

C ．{2，4，5}

D ．{1，2，3，4，5}

2．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（）

A ．x x y e e -=+

B ．()

ln 1y x =+

C ．sin x

y x

D ．1y x x

3．若3

12a ??= ???，12

34b ??

???

，c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是（） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜b ＜a

4．已知α为第二象限的角，且3

tan 4

α=-

，则sinα+cosα=（） A ．75- B ．34- C ．15- D ．15

5．已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（） A ．

23AD AB AC =-+ B ．

AD AB AC =

+ C ．13

AD AB AC =

+ D ．21

AD AB AC =

+ 6．一个几何体的三视图如图，其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）

A ．

π+ B ．

(86

π+ C ．

(83

π+ D ．(4π+7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知a 1=S 3=3，则S 4的值为（） A ．﹣3

B ．0

C ．3

D ．6

8．设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，则b 的取值范围为（）

A ．

B ．(

C ．

)

2 D ．()0,2

9．已知变量x ，y 满足约束条件206010x y x y x -+≤??

+-≤??-≥?

，则2x ﹣y 的最小值是（）

A ．2

B ．﹣2

C ．﹣3

D ．﹣1

10．若直线220mx ny --=（m ＞0，n ＞0）过点（1，﹣2），则

m n

+最小值（） A ．2

B ．6

C ．12

D ．3+2

11．已知函数()11x x f x e e +-=+，则满足()221f x e -<+的x 的取值范围是（）

A ．x ＜3

B ．0＜x ＜3

C ．1＜x ＜e

D ．1＜x ＜3

12．设等差数列{}n a 满足222222

222727

18sin cos cos cos sin sin 1sin()

a a a a a a a a -+-=+，公差

()1,0d ∈-，若当且仅当n =11时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范

围是（）

A ．9,10ππ??

??? B ．11,10ππ?????? C ．9,10ππ??????

D ．11,10π

π??

???

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设向量()1,0a =，()1,b m =-．若()

a ma

b ⊥-，则m = ． 14．已知1cos 123πθ??-=

???，则5sin 12πθ??

+ ???

的值是． 15．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R 上的部分图象如图所示，则f （2018）的值为．

16．已知直线l

：30mx y m ++=与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D

两点，若AB =|CD |= ．

三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）

如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADB =90°，CB =CD ，点E 为棱PB 的中点．（Ⅰ）若PB =PD ，求证：PC ⊥BD ；

（Ⅱ）求证：CE ∥平面P AD ．

18．（12分）

已知{}n a 的前n 项和24n S n n =-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列72n n

a -??

????

的前n 项和T n ．

19．在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GK 、AH ．

20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 6b A a B π??

=- ??

．（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值．

21．已知方程x 2+y 2﹣2x ﹣4y +m =0．

（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；

（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x +2y ﹣4=0相交于M ，N 两点，且坐标原点O 在以MN 为直径的圆的外部，求实数m 的取值范围．

22．已知函数()?,x

f x e a e x R -=+∈.

（Ⅰ）当1a =时，证明： ()f x 为偶函数；

（Ⅱ）若()f x 在[

)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）若1a =，求实数m 的取值范围，使()()221m f x f x ??+≥+??在R 上恒成立.

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

8．

【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，

∴0＜2A＜，且B+A=3A，

∴＜3A＜π．

∴＜A＜，

∴＜cosA＜，

∵a=1，B=2A，

∴由正弦定理可得：=b==2cosA，

∴＜2cosA＜，

则b的取值范围为（，）．

故选：A．

11．

【解答】解：∵f（x）=e1+x+e1﹣x =，

令t=e x，可得y=e（t+），

内函数t=e x为增函数，而外函数y=e（t+）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，

∴函数f（x）=e1+x+e1﹣x 的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞）．

又f（x）=e1+x+e1﹣x为偶函数，

∴由f（x﹣2）＜e2+1，得f（|x﹣2|）＜f（1），得|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3．

故选：D．

12．

【解答】解：∵等差数列{a n}满足

=1，

∴

sin（a2﹣a7）=sin（﹣5d）=1，

∴sin（5d）=﹣1，

∵d∈（﹣1，0），∴5d∈（﹣5，0），∴5d=﹣，d=﹣．

由S n=na1+d=na1﹣=﹣π+（a1+）n．

对称轴方程为n=（a1+），

由题意当且仅当n=11时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，

∴＜（a1+）＜，解得：π＜a1＜．

∴首项a1的取值范围是（π，）．

故选：D．

二．填空题（共4小题）

13．﹣1．14. 1

15. 2 16. 4

15．

【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，

=11﹣2=9，解得T=12，ω==；

又f（0）=Asinφ=1，

∴sinφ=；

f（2）=Asin（×2+φ）=A，

∴φ=，

∴=sin=，

∴A=2，

∴f（2018）=f（168×12+2）=f（2）=A=2．

故答案为：2．

16．

【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．

【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，

∴=3，

∴m=﹣

∴直线l的倾斜角为30°，

∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，

∴|CD|==4．

故答案为：4．

三．解答题（共6小题，满分22分）

17．

【解答】证明：（1）取BD的中点O，连结CO，PO，

因为CD=CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO．

因为PB=PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO．

又PO∩CO=O，所以BD⊥平面PCO．

因为PC?平面PCO，所以PC⊥BD．

解：（2）由E为PB中点，连EO，则EO∥PD，

又EO 平面PAD，所以EO∥平面PAD．

由∠ADB=90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，

又CO 平面PAD，所以CO∥平面PAD．

又CO∩EO=O，所以平面CEO∥平面PAD，

而CE?平面CEO，所以CE∥平面PAD．

18．

【解答】（Ⅰ）解：已知{a n}的前n项和，

则：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=4n﹣n2﹣4（n﹣1）+（n﹣1）2=5﹣2n．当n=1时，a1=S1=3，适合上式

∴a n=5﹣2n．

（Ⅱ）解：令=，

+…+①，

所以：+…+②，

①﹣②得：﹣，

=，

=．

整理得：．

19．

【解答】解：如图所示，因为AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，

所以=+=+（﹣）

=﹣+（﹣+）=．

因为A、H、G三点共线，

所以存在实数m，使=m=m（+）=m+m；

又D、H、F三点共线，

所以存在实数n，使=n=n（﹣）=n﹣n．

因为+=，所以+n=m+

因为a、b不共线，

∴解得m=，

即=（+）=+．

20．

【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，

又bsinA=acos（B﹣）．

∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）

=cosBcos+sinBsin=cosB+，

∴tanB=，

又B∈（0，π），∴B=．

（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，

由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，

∵a＜c，∴cosA=，

∴sin2A=2sinAcosA=，

cos2A=2cos2A﹣1=，

∴sin （2A ﹣B ）=sin2AcosB ﹣

cos2AsinB==．

21．

【解答】解：（1）∵程x 2+y 2﹣2x ﹣4y+m=0表示圆， ∴△=（﹣2）2+（﹣4）2﹣4m ＞0，解得m ＜5，

∴实数m 的取值范围是（﹣∞，5）．

（2）直线x+2y ﹣4=0代入圆的方程，消去x 可得：5y 2﹣16y+8+m=0 ∵△＞0，∴m ＜

，

设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2

，y 1y 2=

，

∴x 1x 2=（4﹣2y 1）（4﹣2y 2）=16﹣8（y 1+y 2）+4y 1y 2

=，

∵坐标原点O 在以MN 为径的圆的外部， ∴

＞0，

∴x 1x 2+y 1y 2＞0， ∴

＞0

解得m ＞． 22．【解答】：

（1）当1a =时， ()x x

f x e e -=+，定义域(),-∞+∞关于原点对称，

而()()x

x f x e

e f x --=+=，说明()f x 为偶函数；

（2）在[

)0,+∞上任取1x 、2x ，且12x x <，则()()(

)

()()1

12x x x x x x x x x x e e e

f x f x e ae

e ae

e +--+---=+-+=

，

因为12x x <，函数x

y e =为增函数，得12x

e e <， 120x

e e -<，

而()f x 在[

)0,+∞上单调递增，得()()12f x f x <， ()()120f x f x -<，

于是必须12

0x x e a +->恒成立，

即1

x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，

1a ∴≤；

（3）由（1）、（2）知函数()f x 在(],0-∞上递减，在[

)0,+∞上递增，其最小值()02f =，且()()

2222x

f x e

e e

--=+=+-，

设x x

t e e -=+，则[

)2,t ∈+∞， 110,2t ??∈ ???

于是不等式()()221m f x f x ???+≥+??

恒成立，等价于2

1m t t ?≥+，即21

t m t

+≥

恒成立，而2

22111111

t t t t t +??=+=+- ???，仅当112t =，即2t =时取最大值34，

故3

m ≥