2018年高中理科数学优化设计第一轮复习1.1
2018届高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习必修一 §1.1 集合及其运算
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，
易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，
故A∩B中有2个元素.
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题型分类 深度剖析
题型一
集合的含义
(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个 B.3 C.5 D.9
{x|x≤2或x≥10} ＝_______________.
解析 ∵A∪B＝{x|2<x<10}，
∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}.
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解析答案
5.已知集合A＝{(x，y)| x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y
＝x}，则A∩B的元素个数为___. 2
失误与防范
1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、
数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.
2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集
的讨论，防止漏解.
3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与
集合的包含关系.
(∁RP)∩Q等于( C )
A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]
解析 ∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，
∴(∁RP)∩Q＝{x|1＜x＜2}，故选C.
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解析答案
4.(教材改编)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)
解析 由题意知，∁UB＝{2,5,8}， 则A∩(∁UB)＝{2,5}，选A.
【人教A版】2017-2018学年数学选修1-1优化练习：1.1 1.1.1 命 题 Word版含解析
[课时作业][A组基础巩固]1．以下语句中①{0}∈N②x2＋y2＝0③x2>x④{x|x2＋1＝0}命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假不是命题；④不是陈述句，不是命题．答案：B2．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：A应写成“若p则q”的形式，B是命题，C是假命题，当a>4时，方程x2－4x＋a＝0无实根，所以D项是假命题，故选D.答案：D3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是() A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．答案：D4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2 C．0 D．－3解析：方程无实根，应满足Δ＝a2－4<0，故a＝0时适合条件．答案：C5．“若x2－2x－8＜0，则p”为真命题，那么p是()A．{x|－2＜x＜4}B．{x|2＜x＜4}C．{x|x＞4或x＜－2} D．{x|x＞4或x＜2}解析：由x2－2x－8＜0易得－2＜x＜4，故选A.答案：A6．命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p ：________，结论q ：________________.它是______命题(填“真”或“假”)．解析：a >0时，设a ＝1，把(0,0)代入x ＋y －1≥0得－1≥0不成立，∴x ＋y －1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．答案：a >0 二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界) 真7．把命题“已知a ，b 为正数，当a >b 时，有log 2a >log 2b ”写成“若p ，则q ”的形式：________________________________________________________________________.解析：“已知a ，b 是正数”是一个大前提．答案：已知a ，b 为正数，若a >b ，则log 2a >log 2b8．下列命题中，真命题是________．①若a 2＝b 2，则|a |＝|b |；②若M ∪N ＝N ，则M ⊆N ；③函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]是周期函数；④若直线l 与m 异面，m 与n 异面，则l 与n 异面．解析：①中a 2＝|a |2，b 2＝|b |2，故①正确；②正确；③x ∈[0,2π]时不符合周期函数的定义，不是周期函数；④l 与n 有可能共面．答案：①②9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)当1a >1b时，a <b ； (2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等．解析：(1)若1a >1b，则a <b ，假命题； (2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，真命题；(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，假命题．10．已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解析：若视A 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a 5，则x >1”．由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； 若视B 为p ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4. 故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”． [B 组 能力提升]1．已知集合A ＝{x |x ＜2}，若a ∈A 是真命题，则a 的取值范围是( )A ．a ＜ 2B ．a ＞－ 2C ．－2＜a ＜ 2D ．a ＜－2或a ＞ 2 解析：∵a ∈A 是真命题，故a 2＜2. ∴－2＜a ＜ 2.答案：C2．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 解析：对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．答案：C3．命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立，∴ax 2－2ax －3≤0恒成立，∴当a ＝0时，－3≤0恒成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0，∴－3≤a <0.综上－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]4．将下列命题改写成“如果p ，那么q ”的形式，并判断命题的真假．(1)两条直线相交有且只有一个交点；(2)到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；(3)全等的两个三角形面积相等．解析：(1)如果两条直线相交，那么它们有且只有一个交点，是真命题．(2)如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上，是真命题．(3)如果两个三角形全等，那么它们的面积相等，是真命题．5．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．解析：若命题p 为真命题，则可知m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1m ≥2或⎩⎨⎧m >1，m <2. 故m 的取值范围是1<m <2.。
优化设计高考一轮复习资料
优化设计高考一轮复习资料高考是每个学生都要面对的一场重要考试，一轮复习是备战高考的关键阶段。
而如何优化设计高考一轮复习资料，提高学习效果，成为了许多学生和家长关注的焦点。
本文将探讨一些优化设计高考一轮复习资料的方法和建议。
首先，一轮复习资料的内容应该全面、准确。
高考的范围广泛，各科目的知识点繁多，因此一轮复习资料应该包含全面的知识点，并且对每个知识点进行详细的解释和例题讲解。
同时，资料中的内容应该准确无误，避免出现错误或模糊的表达，以免给学生带来困惑和误导。
其次，一轮复习资料的形式应该多样化。
学生的学习方式各不相同，有的人喜欢看书，有的人喜欢听讲座，有的人喜欢做题。
因此，一轮复习资料可以以书籍、讲座、习题集等形式呈现，以满足不同学生的需求。
此外，还可以利用现代科技手段，开发一些互动性强、趣味性强的学习软件或APP，让学生在学习中更加主动、积极。
第三，一轮复习资料的难度应该适中。
复习资料的难度过高，容易让学生感到压力过大，产生挫败感；而难度过低，又无法真正提升学生的能力和水平。
因此，一轮复习资料应该根据高考的要求和学生的实际情况，设置适当的难度，既能够挑战学生，又能够让学生有所收获。
第四，一轮复习资料的布局应该合理。
布局的合理性包括章节设置的合理性和内容组织的合理性。
章节设置应该按照知识点的逻辑关系和复习的顺序进行划分，让学生能够有条理地进行复习。
内容组织应该清晰明了，重点突出，以便学生能够更好地理解和记忆。
第五，一轮复习资料的辅助工具应该齐全。
在复习过程中，学生可能需要使用一些辅助工具，如计算器、几何工具、实验器材等。
因此，一轮复习资料应该提供相应的辅助工具，并且对其使用方法进行详细的说明，以帮助学生更好地完成复习任务。
最后，一轮复习资料的更新和调整也是必要的。
高考的内容和要求会随着时间的推移而有所变化，因此，一轮复习资料应该及时更新，以符合最新的考试要求。
同时，根据学生的反馈和实际情况，对资料进行调整和改进，以提高学习效果。
2018年高中数学优化设计第一轮复习单元质检六A
单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a6=15,S9=99,则等差数列{a n}的公差是()A. B.4 C.-4 D.-32.公比为的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=()A.4B.5C.6D.73.(2016河北衡水中学考前仿真二)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a1>0,且,当S n取最大值时,n的值为()A.9B.10C.11D.124.已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足:3a1-+3a15=0,且a8=b10,则b3b17=()A.9B.12C.16D.365.(2016陕西汉中市质检二)设S n是数列{a n}的前n项和,当n≥2时,点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,且{a n}的首项a1是二次函数y=x2-2x+3的最小值,则S9的值为()A.6B.7C.36D.32 〚导学号37270578〛6.(2016河北保定一模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=x(1-x).若数,则f(a11)=()列{a n}满足a1=,且a n+1=-A.2B.-2C.6D.-6 〚导学号37270579〛二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2016河北唐山一模)已知S n为等比数列{a n}的前n项和,且S n=2a n-1,则数列{a n}的公比q=.8.已知等比数列{a n}满足a2+8a5=0,设S n是数列的前n项和,则=.〚导学号37270580〛三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2016河南郑州一模)已知数列{a n}的首项为a1=1,其前n项和为S n,且数列是公差为2的等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(-1)n a n,求数列{b n}的前n项和T n.10.(15分)(2016河南八市重点高中4月质检)数列{a n}满足a n=6-(n∈N*,n≥2).-是等差数列;(1)求证:数列-(2)若a1=6,求数列{lg a n}的前999项的和.11.(15分)设数列{a n}满足a1=2,a n+1-a n=3·22n-1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.〚导学号37270581〛参考答案单元质检六数列(A)1.B解析∵{a n}是等差数列,a6=15,S9=99,∴a1+a9=22,∴2a5=22,a5=11.∴公差d=a6-a5=4.2.B解析由等比中项的性质得a3a11==16,又数列{a n}各项为正,所以a7=4.所以a16=a7q9=32.所以log2a16=5.3.B解析不妨设a6=9t,则a5=11t,故公差d=-2t,其中t>0.因此a10=t,a11=-t,即当n=10时,S n取最大值,故选B.4.D解析由3a1-+3a15=0得=3a1+3a15=3(a1+a15)=3×2a8,即-6a8=0,因为a8=b10≠0,所以a8=6,b10=6,所以b3b17==36.5.C解析由点(a n-1,2a n)在直线y=2x+1上,得2a n=2a n-1+1,a n-a n-1=,故数列{a n}是公差为的等差数列.由函数y=x2-2x+3的最小值为2,得a1=2,故S9=9×2+×9×8×=36.6.C解析设x>0,则-x<0.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由a1=,且a n+1=-,得a2=--=2,a3=--=-1,a4=---.……所以数列{a n}是以3为周期的周期数列,即a11=a3×3+2=a2=2.所以f(a11)=f(a2)=f(2)=2×(1+2)=6.7.2解析∵S n=2a n-1,∴a1=2a1-1,a1+a2=2a2-1,解得a1=1,a2=2.∴等比数列{a n}的公比q=2.8.-11解析由a2+8a5=0得a1q+8a1q4=0,解得q=-.易知是等比数列,公比为-2,首项为,所以S2=----=-,S5=----,所以=-11.9.解(1)∵数列是公差为2的等差数列,且=a1=1,∴=1+(n-1)×2=2n-1.∴S n=2n2-n.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.又a1符合a n=4n-3,∴a n=4n-3.(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n·(4n-3).当n为偶数时,T n=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;当n为奇数时,n+1为偶数T n=T n+1-b n+1=2(n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上,T n=∈--∈10.(1)证明∵------------(n≥2),∴数列-是等差数列.(2)解∵-是等差数列,且-,d=.∴--(n-1)=.∴a n=.∴lg a n=lg(n+1)-lg n+lg 3.设数列{lg a n}的前999项的和为S,则S=999lg 3+(lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 1 000-lg 999)=999lg 3+lg 1 000=3+999lg 3.11.解(1)由已知,当n≥1时,a n+1=[(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=22n-1.(2)由b n=na n=n·22n-1知S n=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1.①从而22·S n=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1.②①-②,得(1-22)S n=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1,即S n=[(3n-1)22n+1+2].。
创新设计全国通用2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合练习理北师大版201703310142
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合练习理北师大版基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}解析由(x＋1)(x－2)<0，得－1<x<2，又x∈Z，所以B＝{0，1}，因此A∪B＝{0，1，2，3}.答案 C3.(2017·宝鸡模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( )A.A∩B≠∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.答案 B4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].答案 C5.(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)解析由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞).又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).因此A∪B＝(－1，＋∞).答案 C6.(2016·浙江卷)已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，集合P ＝{1，3，5}，Q ＝{1，2，4}，则(∁U P )∪Q ＝( )A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}解析 ∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，P ＝{1，3，5}，∴∁U P ＝{2，4，6}，∵Q ＝{1，2，4}，∴(∁U P )∪Q ＝{1，2，4，6}.答案 C7.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A.1B.3C.7D.31解析 具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. 答案 B8.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A.{x |x ≥0}B.{x |x ≤1}C.{x |0≤x ≤1}D.{x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}.答案 D二、填空题9.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案 (－∞，1]10.(2016·天津卷)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝________. 解析 由A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，∴B ＝{1，3，5}，因此A ∩B ＝{1，3}. 答案 {1，3}11.集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.解析 由x (x ＋1)>0，得x <－1或x >0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1，0).答案 [－1，0)12.(2017·合肥质检)已知集合A ＝{x |x 2－2 016x －2 017≤0}，B ＝{x |x <m ＋1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________.解析 由x 2－2 016x －2 017≤0，得A ＝[－1，2 017]，又B ＝{x |x <m ＋1}，且A ⊆B ，所以m ＋1>2 017，则m >2 016.答案 (2 016，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则(∁R S )∩T ＝( )A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)C.(2，3)D.(0，＋∞) 解析 易知S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S ＝(2，3)，因此(∁R S )∩T ＝(2，3).答案 C14.(2016·黄山模拟)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x |x ≥1}B.{x |1≤x <2}C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤1}解析 易知A ＝(－1，2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.答案 B15.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________.解析 由14≤2x ≤16，x ∈N ， ∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}.又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}，∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素.答案 116.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.所以m＋n＝0.答案0。
2018年高中数学优化设计第一轮复习考点规范练50课后习题Word版
考点规范练50双曲线基础巩固1.(2016吉林白山三模)当双曲线x 2m+8−y26-2m=1的焦距取得最小值时,其渐近线的斜率为()A.±1B.±23C.±13D.±122.(2016河南信阳、三门峡一模)若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e,一条渐近线的方程为y=2e-1x,则e=()A.2B.3C.2D.63.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,3),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=47x的准线上,则双曲线的方程为()A.x 221−y228=1 B.x228−y221=1C.x 23−y24=1 D.x24−y23=14.已知F1,F2是双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P,且△F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是() A.2 B.3 C.2 D.55.设F1,F2分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=94ab,则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D.3 〚导学号37270497〛6.(2016河南焦作二模)已知双曲线x 2a2−y2b2=1的一个焦点为F(2,0),且双曲线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为()A.32B.2C.3D.4 〚导学号37270498〛7.(2016河北南宫一中三模)若双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14,则该双曲线的离心率为.8.(2016山东,理13)已知双曲线E:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.9.设A,B分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=t OD,求t的值及点D的坐标.〚导学号37270499〛10.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA·OB的最小值.〚导学号37270500〛能力提升11.(2016浙江,理7)已知椭圆C1:x 2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2:x2n2-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m>n,且e1e2>1B.m>n,且e1e2<1C.m<n,且e1e2>1D.m<n,且e1e2<1 〚导学号37270501〛12.(2016东北三省四市二模)已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF与双曲线的实轴垂直,则双曲线C的离心率为()A.52B.5C.2D.2 〚导学号37270502〛13.若点P在曲线C1:x 216−y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.〚导学号37270503〛14.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为2,求实数k的值.〚导学号37270504〛15.如图,O为坐标原点,双曲线C1:x 2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:y2a22+x2b22=1(a2>b2>0)均过点P233,1,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|?证明你的结论.〚导学号37270505〛高考预测16.如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,试在“8”字形曲线上求点P,使得∠F1PF2是直角.〚导学号37270506〛参考答案考点规范练50 双曲线1.B 解析由题意可得6-2m>0,即m<3.由c 2=m 2+8+6-2m=(m-1)2+13,可得当m=1时,焦距2c 取得最小值,此时双曲线的方程为x 29−y 24=1.故渐近线方程为y=±23x , 即其渐近线的斜率为±23. 2.C 解析因为e=c ,双曲线x 22−y 2b2=1的渐近线方程为y=±bx ,所以 2e -1=ba .又b= c 2-a 2,所以 2e -1= c 2-a2a 2= e 2-1,即为e 2=2e ,解得e=2(e=0舍去). 3.D解析因为双曲线x 22−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b x ,所以2b= 3.① 又因为抛物线y 2=4 7x 的准线为x=- 7,所以c=2+b 2= 7. ②由①②,得a 2=4,b 2=3.故所求双曲线的方程为x 24−y 23=1.4.D 解析不妨设点P 位于第一象限,F 1为左焦点,|PF 2|=m-d ,|PF 1|=m ,|F 1F 2|=m+d ,其中m>d>0,则有(m-d )2+m 2=(m+d )2,解得m=4d ,故双曲线的离心率e=|F 1F 2||PF 1|-|PF 2|=5.5.B 解析由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,又|PF 1|+|PF 2|=3b ,所以(|PF 1|+|PF 2|)2-(|PF 1|-|PF 2|)2=9b 2-4a 2, 即4|PF 1|·|PF 2|=9b 2-4a 2, 又4|PF 1|·|PF 2|=9ab , 因此9b 2-4a 2=9ab ,即9 b a 2−9ba -4=0,则 3ba +1 3ba -4 =0,解得b a=43 b a=-13舍去 ,则双曲线的离心率e= 1+ ba2=53.6.B解析因为双曲线x 2a 2−y 2b2=1的一个焦点为F (2,0),所以c=2,因为双曲线与圆(x-2)2+y 2=1相切,所以圆心为F (2,0),半径R=1. 所以c-a=1,即a=1,所以双曲线的离心率e=ca =2.7.2 33 解析因为双曲线的一条渐近线方程为y=ba x ,即为bx-ay=0,一个焦点为(c ,0),所以焦点到渐近线的距离为a 2+b=b=1×2c=1c ,所以c 2=a 2+b 2=a 2+1c 2,得c =2 3. 8.2 解析由双曲线和矩形的对称性可知AB ⊥x 轴,设点A 的横坐标为c ,则由c 2a 2−y 2b2=1,解得y=±b 2a .不妨设A c ,b 2 ,B c ,-b 2 ,则|AB|=2b 2,|BC|=2c ,由2|AB|=3|BC|,c 2=a 2+b 2得离心率e=2或e=-1(舍去),所以离心率为2. 9.解(1)由题意知a=2 3,故可得一条渐近线方程为y=23x ,即bx-2 3y=0,所以b +12= 3.所以b 2=3,所以双曲线的方程为x 2−y 2=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),D (x 0,y 0),则x 1+x 2=tx 0,y 1+y 2=ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得x 2-16 3x+84=0, 则x 1+x 2=16 3,y 1+y 2=12.故 x 00=4 3,x 02-y 02=1,解得 x 0=4 3,y 0=3. 由OM +ON =t OD,得(16 3,12)=(4 3t ,3t ),故t=4,点D 的坐标为(4 3,3). 10.解(1)由|PM|-|PN|=2 2知动点P 的轨迹是以M ,N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长a= 2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b= c 2-a 2= 2. 所以W 的方程为x 22−y 22=1(x ≥ .(2)设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).当AB ⊥x 轴时,x 1=x 2,y 1=-y 2,从而OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=x 12−y 12=2.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y=kx+m (k ≠±1),与W 的方程联立,消去y 得(1-k 2)x 2-2kmx-m 2-2=0,则x 1+x 2=2km 1-k2,x 1x 2=m 2+2k 2-1,所以OA ·OB=x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m ) =(1+k 2)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(m 2+2)k 2-1+2k 2m 21-k2+m 2=2k 2+2k 2-1=2+4k 2-1.又因为x 1x 2>0,所以k 2-1>0.所以OA ·OB>2. 综上所述,当AB ⊥x 轴时,OA ·OB取得最小值2. 11.A 解析∵椭圆与双曲线的焦点重合,∴m 2-1=n 2+1. ∴m 2-n 2=2,∴m>n.∵e 1= 1-1m 2,e 2= 1+1n 2, ∴e 1e 2= 1-1m 2 1+1n 2= 1+1n 2-1m 2-1m 2n 2= 1+m 2-n 2-1m 2n 2= 1+1m 2n 2>1.故选A .12.C 解析设F (c ,0),渐近线方程为y=b a x ,可得点F 到渐近线的距离为 a 2+b=b ,即有圆F 的半径为b.令x=c ,可得y=±b c 2a 2-1=±b 2a .由题意可得b2a =b ,即a=b ,则c= a 2+b 2= 2a. 即离心率e=ca = 2.13.10 解析依题意得,点F 1(-5,0),F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点,因此有|PQ|-|PR|≤|(|PF 2|+1)-(|PF 1|-1)|≤||PF 2|-|PF 1||+2=2×4+2=10,故|PQ|-|PR|的最大值是10. 14.解(1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点,则方程组 x 2-y 2=1,y =kx -1有两个不同的实数根,整理得(1-k 2)x 2+2kx-2=0.故 1-k 2≠0,Δ=4k 2+8(1-k 2)>0, 解得- 2<k< 2,且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时,k 的取值范围是(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2). (2)设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 与y 轴交于点D (0,-1), 由(1)知,C 与l 联立的方程组可化简为(1-k 2)x 2+2kx-2=0. 故 x 1+x 2=-2k 1-k 2,x 1x 2=-21-k 2.当A ,B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时,S △OAB =S △OAD -S △OBD =1(|x 1|-|x 2|)=1|x 1-x 2|; 当A ,B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时, S △OAB =S △ODA +S △OBD =1(|x 1|+|x 2|)=1|x 1-x 2|. 故S △OAB =1|x 1-x 2|= 2,即(x 1-x 2)2=(2 2)2, 即-2k1-k2 2+81-k2=8,解得k=0或k=± 6. 又- 2<k< 2,且k ≠±1,所以当k=0或k=± 6时,△AOB 的面积为15.解(1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2.从而a 1=1,c 2=1.因为点P 2 3,1 在双曲线x 2-y2b 12=1上,所以 2 32−1b 12=1.故b 12=3. 由椭圆的定义知2a 2= 2 332+(1-1)2+ 2 332+(1+1)2=2 3.于是a 2= 3,b 22=a 22−c 22=2.故C 1,C 2的方程分别为x2-y 23=1,y 23+x 22=1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l 垂直于x 轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为x= 2或x=- 2.当x= 2时,易知A ( 2, 3),B ( 2,- 3),所以|OA +OB |=2 2,|AB |=2 3.此时,|OA +OB |≠|AB |.当x=- 2时,同理可知,|OA +OB |≠|AB |.②若直线l 不垂直于x 轴,设l 的方程为y=kx+m.由 y =kx +m ,x 2-y 23=1 得(3-k 2)x 2-2kmx-m 2-3=0.当l 与C 1相交于A ,B 两点时, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是上述方程的两个实根, 从而x 1+x 2=2km 3-k2,x 1x 2=m 2+3k 2-3.于是y 1y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3k 2-3m 2k 2-3.由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此OA·OB=x1x2+y1y2=m 2+3k2-3+3k2-3m2k2-3=-k2-3k2-3≠0,于是OA2+OB2+2OA·OB≠OA2+OB2-2OA·OB,即|OA+OB|2≠|OA−OB|2,故|OA+OB|≠|AB|.综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.16.解(1)上半圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为2 2.则下半圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为2 2.双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即a=2.由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点,则令y=2,解得x=±2 2.即交点为(±22,2).设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),则82−4b2=1,且a=2,解得b=2.则双曲线的标准方程为x24−y24=1.(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-22,0),F2(22,0).若∠F1PF2是直角,则设P(x,y),则有x2+y2=8.由x2+y2=8,x2-y2=4,解得x2=6,y2=2.由x2+y2=8,x2+(y±2)2=8,解得y=∓1,不满足题意,舍去.故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为(6,2),(-6,2),(-6,-2),(6,-2).11。
2018年高中数学优化设计第一轮复习滚动测试卷二
滚动测试卷二(第一~五章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2016河南开封四模)集合A={x∈N||x-1|≤1},B={x|y=-},则A∩B的子集个数为()A.1B.2C.4D.8=()2.(2016山西运城4月模拟)复数-A.1-2iB.1+2iC.-1+2iD.-1-2i3.下列结论正确的是()A.若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0≤0,使得≤0B.若命题p和p∨q都是真命题,则命题q也是真命题C.在△ABC中,a,b,c是内角A,B,C所对的边,则a<b的充要条件是cos A>cos BD.命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2或x≠1,则x2+x-2≠0”4.(2016河南高考押题)如图,阴影区域是由函数y=cos x的一段图象与x轴围成的封闭图形,则这个阴影区域的面积是()A.1B.2C. D.π5.(2016辽宁沈阳三模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=-log2(-2x),则f(32)=()A.-32B.-6C.6D.646.先把函数f(x)=sin-的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再把新得到的图象向右平移个单位,得到y=g(x)的图象.当x∈时,函数g(x)的值域为()A.-B.-C.-D.[-1,0)7.设x0是函数f(x)=-log2x的零点.若0<a<x0,则f(a)的值满足()A.f(a)=0B.f(a)<0C.f(a)>0D.f(a)的符号不确定8.(2016山东师大附中仿真)在四边形ABCD中,AC⊥BD,且AC=2,BD=3,则的最小值为()A. B.- C. D.-9.(2016山西运城4月模拟)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10B.C.-10D.-10.(2016山西太原三模)已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则sin 2φ=()A.-B.-C.D.11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若cos B==2,且S△ABC=,则b=()A.4B.3C.2D.1 〚导学号37270666〛12.(2016山西运城4月模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1,且对任意的x∈R,都有f'(x)<,则不等式f(log2x)>的解集为()A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞) 〚导学号37270667〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知|a|=,|b|=2,若(a+b)⊥a,则a与b的夹角是.14.(2016河南开封四模)已知函数f(x)=-(其中e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x))的零点是.15.(2016山西太原一模)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|a-b|=1,则|a+b|的最大值是.〚导学号37270668〛16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=1,则c=.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;(2)求|b+c|的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.18.(12分)(2016山东昌乐二中模拟)请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB 上,且E,F是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.〚导学号37270669〛19.(12分)函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)=-,求函数g(x)在x∈-上的最大值,并确定此时x的值.20.(12分)(2016山西运城4月模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2a cos B=2c-b.(1)求角A;(2)若△ABC的面积为,且a=,请判断△ABC的形状,并说明理由.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·e x,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.〚导学号37270670〛22.(12分)已知函数f(x)=x2-a ln x(a∈R).(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(3)讨论方程f(x)=0的解的个数,并说明理由.〚导学号37270671〛参考答案滚动测试卷二(第一~五章)1.C解析∵集合A={x∈N||x-1|≤1}={0,1,2},B={x|y=-}={x|-1≤x≤1},∴A∩B={0,1}.∴集合A∩B的子集个数为22=4,故选C.2.A解析------=-=1-2i,故选A.3.C解析若命题p:∀x>0,都有x2>0,则p:∃x0>0,使得≤0.故A错误;若命题p和p∨q都是真命题,则命题q可能是真命题,也可能是假命题.故B错误;在△ABC中,由a<b可知0<A<B<π,而y=cos x在(0,π)内单调递减,故cos A>cos B,C 正确;命题“若x2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x≠-2且x≠1,则x2+x-2≠0”.故D错误.故选C.4.B解析由题意可知阴影区域的面积是S=-cos x d x=-sin x=2.故选B.5.B解析因为当x<0时,f(x)=-log2(-2x),且函数f(x)是R上的偶函数,所以f(32)=f(-32)=-log264=-6,故选B.6.A解析依题意得g(x)=sin--=sin-,当x∈时,2x--,sin--,此时g(x)的值域是-.选A.7.C解析f(x)=-log2x为减函数,f(x0)=-log2x0=0,由0<a<x0,可知f(a)>f(x0)=0.8.B解析设AC与BD相交于点O,以O为原点,AC,BD为坐标轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),D(0,b),则A(a-2,0),B(0,b-3),故=(2-a,b-3),=(-a,b).∴=a(a-2)+b(b-3)=(a-1)2+-.∴当a=1,b=时,取得最小值-.9.B解析∵f(x+3)=-,∴f(x+6)=-=--=f(x).∴函数f(x)是以6为周期的函数.∴f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=-=--=--.故选B.10.A解析y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)=πx+φ-α),其中sin α=,cos α=.∵函数y的图象关于直线x=1对称,∴π+φ-α=+kπ,k∈Z,即φ=α-+kπ,k∈Z.∴sin 2φ=sin 2-=sin(2α-π+2kπ)=sin(2α-π)=-sin 2α=-2sin αcos α=-2×=-,故选A.11.C解析由cos B=,0<B<π得sin B=.又=2得=2,即c=2a.由S△ABC=ac sin B=a2·,得a=1.所以c=2.由b2=a2+c2-2ac cos B=1+4-2×1×2×=4,得b=2. 12.C解析设g(x)=f(x)-x.∵f'(x)<,∴g'(x)=f'(x)-<0.∴g(x)是R上的减函数.又f(1)=1,∴f(log2x)>=log2x+,即g(log2x)=f(log2x)-log2x>=g(1)=f(1)-=g(log22).∴log2x<log22.又y=log2x是定义域上的增函数,∴0<x<2.∴不等式f(log2x)>的解集为(0,2).故选C.13.150°解析因为(a+b)⊥a,所以(a+b)·a=0⇔a2+b·a=0⇔3+b·a=0,所以b·a=-3,可知a与b的夹角的余弦值为-=-.则a与b的夹角为150°.14.e解析令f(x)=t,则y=f(t).由f(t)=0,可得t=1;由f(x)=1,可得x=e.故函数y=f(f(x))的零点是e.15.解析∵|a-b|=1,∴a2+b2-2|a||b|cos 60°=1,即a2+b2=1+|a||b|≥2|a||b|.∴|a||b|≤1,当且仅当|a|=|b|=1时等号成立.∴|a+b|==°=.∴2|a||b|+1≤3.∴|a+b|的最大值是.16.解析由内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,可知AB=c,AC=b,BC=a.由,得cb cos A=ca cos B.故由正弦定理得sin B cos A=cos B sin A,即sin(B-A)=0.因为-π<B-A<π,所以B=A,从而b=a.由已知=1,得ac cos B=1.故由余弦定理知ac·-=1,即a2+c2-b2=2,故c=.17.(1)解因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin αsin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.(2)解由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|==-≤4.又当β=kπ-(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4.(3)证明由tan αtan β=16,得16cos αcos β=sin αsin β,故a∥b.18.解设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=x,h=(30-x),0<x<30.(1)由题意知S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,故当x=15时,S取最大值.(2)由题意知V=a2h=2(-x3+30x2),则V'=6x(20-x).由V'=0得x=20(x=0舍去).当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0;故当x=20时,包装盒容积V最大,此时,即此时包装盒的高与底面边长的比值是.19.解(1)由题图知A=2,,则=4×,即ω=.又f-=2sin-=2sin-=0,∴sin-=0,∵0<φ<,-<φ-,∴φ-=0,即φ=,∴f(x)的解析式为f(x)=2sin.(2)由(1)可得f-=2sin-=2sin,g(x)=-=4×-=2-2cos,∵x∈-,∴-≤3x+,∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.20.解(1)∵2a cos B=2c-b,∴2sin A cos B=2sin C-sin B.又sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B, ∴2cos A sin B=sin B.在△ABC中,sin B≠0,故cos A=.∵0<A<π,∴A=.(2)△ABC是等边三角形,理由如下:由(1)可知A=,则sin A=,故S△ABC=bc sin A=,即bc=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,可得b2+c2=6,解得c=,b=,故△ABC是等边三角形.21.解(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f'(x)=3x2+2ax-1.当x=时,得a=f'=3×+2a×-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,则f'(x)=3x2-2x-1=3(x-1),由f'(x)>0,得x<-或x>1;由f'(x)<0,得-<x<1.所以f(x)的单调递增区间是--和(1,+∞),f(x)的单调递减区间是-.(3)函数g(x)=(f(x)-x3)·e x=(-x2-x+c)·e x,有g'(x)=(-2x-1)e x+(-x2-x+c)e x=(-x2-3x+c-1)e x,因为函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,所以h(x)=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3,2]上恒成立.故只要h(x)在[-3,2]上的最小值h(2)≥0即可,解得c≥11,所以c的取值范围是[11,+∞).22.解(1)因为f'(x)=x-(x>0),又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以--解得a=2,b=-2ln 2.(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,则f'(x)=x-≥0在(1,+∞)上恒成立,即a≤x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.(3)当a=0时,f(x)在定义域(0,+∞)上恒大于0,此时方程无解.当a<0时,f'(x)=x->0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.因为f(1)=>0,f()=-1<0,所以方程有唯一解.当a>0时,f'(x)=x-=--.因为当x∈(0,)时,f'(x)<0,则f(x)在(0,)上为减函数;当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在(,+∞)上为增函数.所以当x=时,f(x)有极小值,即最小值为f()=a-a ln a(1-ln a).当a∈(0,e)时,f()=a(1-ln a)>0,方程无解;当a=e时,f()=a(1-ln a)=0,此方程有唯一解x=.当a∈(e,+∞)时,f()=a(1-ln a)<0,因为f>0且>1,所以方程f(x)=0在区间(0,)上有唯一解.因为当x>1时,(x-ln x)'>0,所以x-ln x>1,所以x>ln x.所以f(x)=x2-a ln x>x2-ax.因为2a>>1,所以f(2a)>(2a)2-2a2=0,所以方程f(x)=0在区间(,+∞)上有唯一解.所以方程f(x)=0在区间(e,+∞)上有两解.综上,当a∈[0,e)时,方程无解;当a<0或a=e时,方程有唯一解;当a>e时,方程有两解.。
2018年高中数学优化设计第一轮复习综合测试卷
综合测试卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知x,y∈R,i是虚数单位,若2+x i与互为共轭复数,则(x+y i)2=()A.3iB.3+2iC.-2iD.2i2.若集合A={x|lo(2x+1)>-1},集合B={x|1<3x<9},则A∩B=()A. B.- C.(0,2) D.3.(2016河南高考押题卷)设a=,b=,c=logπ,则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c4.根据下边程序框图,当输入x为2 017时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28(第4题图)(第5题图)5.(2016河南开封四模)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为()A.4B.4C.8D.86.若将函数f sin x-cos x的图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到的图象关于原点对称,则m=()A.B.C.D.7.(2016河南开封四模)若椭圆+y2=1(m>1)与双曲线-y2=1(n>0)有共同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△F1PF2的面积是()A.3B.1C.D.8.(2016山西太原一模)已知变量x,y满足约束条件----若-,则实数a的取值范围是()A.(0,1]B.[0,1)C.[0,1]D.(0,1)9.(2016安徽合肥质检)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.若a=,S为△ABC的面积,则S+3cos B cos C的最大值为()A.3B.C.2D.10.直线y=kx+1与曲线f(x)=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-211.(2016河南郑州二模)对∀α∈R,n∈[0,2],向量c=(2n+3cos α,n-3sin α)的长度不超过6的概率为()A. B. C. D.〚导学号37270682〛12.已知数列{a n}满足a1=15,-=2,则的最小值为()A.7B.2-1C.9D.〚导学号37270683〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016辽宁丹东高三二模)(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数等于.14.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且|AB|=,则=.15.若函数f(x)=-在其定义域上只有一个零点,则实数a的取值范围是.〚导学号37270684〛16.(2016河南信阳、三门峡一模)已知e是自然对数的底数,实数a,b满足e b=2a-3,则|2a-b-1|的最小值为.〚导学号37270685〛三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(12分)(2016湖南益阳一模)若数列{a n}满足:a1=,a2=2,3(a n+1-2a n+a n-1)=2.(1)证明:数列{a n+1-a n}是等差数列;(2)求使+…+成立的最小的正整数n.18.(12分)某电脑公司有6名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表:(1)求年推销金额y与工作年限x之间的相关系数;(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;(3)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的年推销金额.参考数据:≈1.02;由检验水平0.01及n-2=3,查表得r0.01=0.959.参考公式:线性相关系数公式r=----;线性回归方程系数公式:x+,其中---.19.(12分)(2016河南开封四模)如图,已知在长方形ABCD中,AB=2AD,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证:AD⊥BM;(2)若E是线段DB的中点,求AE与平面BDM所成角的正弦值.〚导学号37270686〛20.(12分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点(2,).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若k AC·k BD=-.①求的最值;②求证:四边形ABCD的面积为定值.〚导学号37270687〛21.(12分)设函数f(x)=a e x(x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x2+bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)若对∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,求实数k的取值范围.〚导学号37270688〛请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4—4:坐标系与参数方程]22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,过点P作倾斜角为α的直线l与曲线C:(x-1)2+(y-2)2=1相交于不同的两点M,N.(1)写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程;(2)求的取值范围.〚导学号37270689〛[选修4—5:不等式选讲]23.(10分)已知函数f(x)=|x-2|+2|x+a|(a>0).(1)当a=1时,解不等式f(x)>8;(2)若不等式f(x)≥3在(-∞,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.〚导学号37270690〛参考答案综合测试卷1.D解析∵--=-,∴解得--∴(x+y i)2=(1+i)2=2i.2.A解析∵A={x|lo(2x+1)>-1}=-,B={x|1<3x<9}={x|0<x<2},∴A∩B=,故选A.3.B解析设d=,由指数函数f(x)=与g(x)=的单调性知,a>d,b>,再由幂函数h(x)=的单调性知,d>b,故a>b>.又π>e,所以c<.所以c<b<a.故选B.4.B解析由程序框图可知,每运行一次,x的值减少2,当程序框图运行了1 009次后,x=-1,此时终止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-1)+1=4,故输出y的值为4,故选B.5.A解析根据三视图可得此棱锥的高为SO=4,底面为直角梯形,且CD=AB=2,AB∥CD,且ABCO为正方形,如图所示,故该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面为SCD,它的面积为CD·SO=×2×4=4,故选A.6.A解析f(x)=sin x-cos x=sin-,图象向右平移m(0<m<π)个单位长度,得到y=sin--,由于得到的图象关于原点对称,故是奇函数,所以--m=kπ,k∈Z,当k=-1时,m=.7.B解析设两个圆锥曲线的焦距为2c,椭圆的长轴长为2,双曲线的实轴长为2,由题意,得m-1=n+1,即m-n=2.不妨令P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2, ①由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2, ②①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2(m+n),即有|PF1|·|PF2|=m-n=2,又|F1F2|=2-,可得|PF1|2+|PF2|2=4(m-1),|F1F2|2=4(m-1),即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,则△F1PF2为直角三角形.即有△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=×2=1.8.C解析-表示区域内的点(x,y)与定点A(2,0)连线的斜率k.作出约束条件所表示的平面区域如图所示.观察上图可知,当BC与y轴重合时,|k|≤k AC=;当BC向右移动时,|k|≤k AC<.综上可知,a∈[0,1].9.A解析由cos A=--=-,可知A=,又a=,故S=bc sin A=·a sin C=3sin B sin C.因此S+3cos B cos C=3sin B sin C+3cos B cos C=3cos(B-C), 于是当B=C时,S+3cos B cos C取得最大值3.10.C解析依题意知,f'(x)=3x2+a,则由此解得-所以2a+b=1.11.C解析由题意知|c|≤6,即(2n+3cos α)2+(n-3sin α)2≤36,整理得5n2+6n(2cos α-sin α)≤27,即6n cos(α+θ)≤27-5n2其中, 即当n=0时,不等式成立;当n≠0时,不等式等价于cos(α+θ)≤,要使cos(α+θ)≤恒成立, 则1≤,即5n2+6n-27≤0,解得-≤n≤.∵n∈[0,2],∴0<n≤.综上,0≤n≤.故所求的概率为--,故选C.12.D解析由题意知,a n+1-a n=2n,所以a2-a1=2,a3-a2=2×2,……,a n-a n-1=2(n-1),将以上(n-1)个式子相加,得a n-a1=2(1+2+3+…+n-1)=--=n2-n,所以a n=n2-n+15,所以=n+-1,令g(x)=x+-1,则g'(x)=1--,当x∈[0,3]时,g'(x)<0,当x∈[4,+∞),g'(x)>0,g(3)=7,g(4)=,故最小值为.13.-10解析(y+x2-x)5的展开式的通项公式T r+1=y5-r(x2-x)r,令5-r=2,解得r=3.(x2-x)3的展开式的通项公式T k+1=(x2)3-k(-x)k=(-1)k x6-k,令6-k=3,解得k=3.故(x2-x+y)5的展开式中x3y2项的系数为-=-10.14.-解析如图,作OC⊥AB于点C,|AB|=,在Rt△OAC中,因为AC=,OA=1,所以∠AOC=60°,则∠AOB=120°,所以=1×1×cos 120°=-.15.(16,+∞)解析当x≤0时,y=-x与y=3x的图象有一个交点,而f(x)在其定义域上只有一个零点,所以当x>0时,f(x)没有零点.当x>0时,f'(x)=x2-4,令f'(x)=0得x=2,所以f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增,f(x)在x=2处取得最小值f(2)=>0,解得a>16.16.3解析e是自然对数的底数,实数a,b满足e b=2a-3,可知2a-3>0,可得b=ln(2a-3),则|2a-b-1|=|2a-ln(2a-3)-1|,令2a-3=x,上式化为|x-ln x+2|.令y=x-ln x+2,可得y'=1-,由y'=0,可得x=1.当x∈(0,1)时,y'<0,函数y是减函数;当x>1时,y'>0,函数y是增函数;故当x=1时,y=x-ln x+2取得最小值3.因此|2a-b-1|的最小值为3.17.(1)证明由3(a n+1-2a n+a n-1)=2可得,a n+1-2a n+a n-1=,即(a n+1-a n)-(a n-a n-1)=,故数列{a n+1-a n}是以a2-a1=为首项,为公差的等差数列.(2)解由(1)知a n+1-a n=(n-1)=(n+1),于是累加求和得a n=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),故=3-,因此+…+=3-,可得n>5,故最小的正整数n为6.18.解(1)由(x i-)(y i-)=10,(x i-)2=20,(y i-)2=5.2,--≈0.98;可得r=--即年推销金额y与工作年限x之间的相关系数约为0.98.(2)由(1)知,r=0.98>0.959=r0.01,故可以认为年推销金额y与工作年限x之间具有较强的线性相关关系.设所求的线性回归方程为x+,--=0.5,=0.4.则-因此年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为=0.5x+0.4.(3)由(2)可知,当x=11时,=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元).故可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.19.(1)证明∵四边形ABCD是矩形,AB=2AD,M为CD的中点,∴AM=BM=AD.∴AM2+BM2=AB2,∴AM⊥BM.∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM⊂平面ABCM,∴BM⊥平面ADM.∵AD⊂平面ADM,∴AD⊥BM.(2)解过M作平面ABCM的垂线Mz,以M为原点,以MA,MB,Mz为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示.设AD=1,则AM=BM=,M(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),D,E.∴-=(0,,0),.设平面BMD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=1,得n=(-1,0,1).∴n·.∴cos<n,>=.∴AE与平面BDM所成角的正弦值为.20.解(1)由题意知e==1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,∴椭圆的标准方程为=1.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,Δ=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)>0,(*)∵k OA·k OB=-=-,∴=-.y1y2=-x1x2=--=--,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·-+km·-+m2=-, ∴---,∴-(m2-4)=m2-8k2,∴4k2+2=m2.①=x1x2+y1y2=----=2-,∴-2=2-4≤<2.当k=0(此时m2=2满足(*)式),即直线AB平行于x轴时,取最小值为-2.又直线AB的斜率不存在时,=2,∴的最大值为2.②证明:设原点到直线AB的距离为d,则S△AOB=|AB|·d=|x2-x1|·=-=---=--=2-=2,∴四边形=4S△AOB=8,即四边形ABCD的面积为定值.21.解(1)f'(x)=a e x(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数在x=0处有相同的切线.∴f'(0)=2a,g'(0)=b, ∴2a=b,f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4,∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)f'(x)=2e x(x+2),由f'(x)>0得x>-2,由f'(x)<0得x<-2,∴f(x)在(-2,+∞)内单调递增,在(-∞,-2)内单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.①当-3<t<-2时,f(x)在[t,-2]上单调递减,[-2,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2e t(t+1);∴f(x)min=-----(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,由题意当x≥-2,F(x)min≥0.∵∀x≥-2,kf(x)≥g(x)恒成立,∴F(0)=2k-2≥0,∴k≥1.F'(x)=2k e x(x+1)+2k e x-2x-4=2(x+2)(k e x-1).∵x≥-2,由F'(x)>0得e x>,∴x>ln;由F'(x)<0得x<ln.∴F(x)在-上单调递减,在内单调递增.①当ln<-2,即k>e2时,F(x)在[-2,+∞)内单调递增,F(x)min=F(-2)=-2k e-2+2=(e2-k)<0,不满足F(x)min≥0.②当ln=-2,即k=e2时,由①知,F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0,满足F(x)min≥0.③当ln>-2,即1≤k<e2时,F(x)在-上单调递减,在内单调递增.F(x)min=F=ln k(2-ln k)>0,满足F(x)min≥0.综上所述,满足题意的k的取值范围为[1,e2].22.解(1)由题意,直线l的参数方程为(t为参数).由(x-1)2+(y-2)2=1得,x2+y2-2x-4y+4=0,将y=ρsin θ,x=ρcos θ,ρ2=x2+y2代入得,ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-2x-4y+4=0,得t2+(2cos α-sin α)t+=0,由Δ>0,得|2cos α-sin α|>1.故=4|2cos α-sin α|∈(4,4 ].23.解(1)当a=1时,f(x)=|x-2|+2|x+1|,①当x≤-1时f(x)=2-x-2(x+1)=-3x,由f(x)>8,得-3x>8,解得x<-;②-1<x≤2时,f(x)=2-x+2(x+1)=x+4,由f(x)>8,得x>4,∴此时不等式无解;③当x>2时,f(x)=x-2+2(x+1)=3x,由f(x)>8,得3x>8,解得x>.综上,不等式f(x)>3的解集为--.(2)∵a>0,∴-a<0<2,f(x)=|x-2|+2|x+a|=-----∴f(x)min=f(-a)=a+2,f(x)≥3,即a+2≥3,解得a≥1.。
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或
A=B
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
-6-
1
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5
3.集合的运算
集合的并集 图形 符号 A∩B ∁U A A∪B {x|x∈A,且x∈B} ={x|x∈U,且x∉A} ={x|x∈A或x∈B} = 集合的交集 集合的补集
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合 自然数集 正整数集 符号 整数集 有理数集 实数集
N
N*(或N+)
Z
Q
R
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn 图
集合 A 中所有元素都在 子集 集合 B 中(即若 x∈A,则 x A⊆B(或B⊇A) ∈B) 集合 A 是集合 B 的子集, 真子 且集合 B 中至少有一个 A⫋B(或B⫌A) 集 元素不在集合 A 中 集合 A,B 中元素相同或 相等 集合 A,B 互为子集
第一章 集合与常用逻辑用语
第一章
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
-2-
1.1
集合的概念与运算
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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1.集合的含义与表示 (1)集合元素的三个性质特征: 确定性 、 互异性 、 无序性 . (2)元素与集合的关系是 属于 或 不属于 ,用符号 ∈ 或 ∉ 表示. (3)集合的表示 法: 列举法 、 描述法 、 Venn图法 . (4)常见数集的记法
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解析 ∵A={1,4},B={2,4}, ∴A∩B={4}. 又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4}, ∴∁U(A∩B)={1,2,3} A
解析
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答案
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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4.(2016浙江,理1)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4}, 则P∪(∁RQ)=( ) A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
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由题意可知,B={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},而A={1,2,3}, 故A∪B={0,1,2,3},故选C. C
解析
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答案
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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5
3.(2016河南郑州一模)设全集U={x∈N*|x≤4},集合 A={1,4},B={2,4},则∁U(A∩B)=( ) A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{1,3,4} D.{2,3,4}
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(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
答案
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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1
23Βιβλιοθήκη 452.(2016全国甲卷,理2)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x2)<0,x∈Z},则A∪B=( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
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由题意,A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},得A∩B={x|1<x<2},即A∩B=(1,2).
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C
解析 答案
第一章
考点1 考点2 考点3
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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考点 1
集合的基本概念
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例 1(1) 设集合A= B={4,5}, M= x|x=a+b ,a (1) 因为集合 M{1,2,3}, 中的元素 x=a+b ,a{ ∈ A,b∈B , ∈A,b∈B},则M 中的元素个数为 ( ,a=)1,2,3,此时 x=5,6,7. 所以当 b=4 时 A.3 B.4 C.5 D.6 当 b= 5 时,a= 1,2,3, 此时 x=6,7,8.
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
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4.集合的运算性质 (1)并集的性 质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔ B⊆A . (2)交集的性 质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔ A⊆B . (3)补集的性 质:A∩(∁UA)=⌀;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)= A ;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁ UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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5.集合关系的常用结论 若有限集A中有n个元素,则A的子集有 2n-1 个,真子集有 2n-1 个.
2n
个,非空子集有
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)在集合{x2+x,0}中,实数x可取任意值. ( ) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ) (3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B;(A∩B)⊆(A∪B).( ) (4)若A∩B=A∩C,则B=C. ( ) (5)(教材习题改编P5T2(3))直线y=x+3与y=-2x+6的交点构成的集 合是{1,4}. ( )
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∵Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≤-2或x≥2}, ∴∁RQ={x∈R|-2<x<2}. ∴P∪(∁RQ)={x∈R|-2<x≤3}=(-2,3].故选B.
B
解析
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答案
第一章
知识梳理 双基自测
1.1
集合的概念与运算
知识梳理 核心考点
知识体系
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5.(教材例题改编P8例5)设集合A={x|(x+1)· (x-2)<0},集合 B={x|1<x<3},则A∩B=( ) A.(-1,3) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)