山东省济南市高一下学期期末数学试卷
山东省济南市高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共15分)
1. （1分）直线2xcosα﹣y﹣3=0（α∈[ ， ]）的倾斜角的范围是________．
2. （1分）已知数列{an}的前n项和，则其通项公式为________．
3. （1分）直线3x﹣2y=4的截距式方程是________．
4. （2分）(2019·浙江模拟) 在锐角中，内角所对的边分别是，，，则 ________．的取值范围是________．
5. （1分）不等式：（x2﹣x+1）（x+1）（x﹣4）（6﹣x）＞0的解集为________．
6. （1分） (2018高二下·邯郸期末) 若动直线与函数和的图象分别交于
，两点，则的最大值为________．
7. （1分）(2017·静安模拟) 已知f（x）=ax﹣b（（a＞0且且a≠1，b∈R），g（x）=x+1，若对任意实数x 均有f（x）•g（x）≤0，则的最小值为________．
8. （1分） (2016高二上·重庆期中) 若一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于________．
9. （1分）化简：sin •cos •tan =________．
10. （1分）(2016·嘉兴模拟) 如图，直线平面，垂足为，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)
的棱长为2，在平面内，是直线上的动点，当到的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为________．
11. （1分） (2016高二上·浦东期中) 若等比数列{an}的前n项和Sn=（）n+a（n∈N*），则数列{an}的各项和为________．
12. （1分）设非空数集A={x|﹣3≤x≤a}，B={y|y=3x+10，x∈A}，C={z|z=5﹣x，x∈A}且B∩C=C，则实数a的取值范围是________．
13. （1分） (2016高二上·浦东期中) 已知数列{an}的通项公式为an=25﹣n ，数列{bn}的通项公式为bn=n+k，设cn= 若在数列{cn}中，c5≤cn对任意n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是________．
14. （1分） (2015高一下·西宁期中) 若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是________．
二、解答题 (共6题；共45分)
15. （5分） (2016高一下·宁波期中) 已知sin（x﹣）= ，cos2x= ，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
16. （10分） (2017高一下·启东期末) 如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．
（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．
17. （10分） (2016高一下·淄川开学考) 已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，∠B的平分线BN所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：
（1）顶点B的坐标；
（2）直线BC的方程．
18. （5分）(2019高一下·湖州月考) 如图，在中，点在边上，
.
（1）求的值；
19. （5分） (2016高一下·齐河期中) 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（﹣1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以10 海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．
20. （10分）(2018高二上·会宁月考) 已知数列的前项和为，且满足：，
，
（1）、求数列的前项和为；
（2）、若不等式恒成立，求实数的取值范围。
参考答案一、填空题 (共14题；共15分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共45分)
15-1、16-1、
16-2、
17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
20-1、20-2、。
2023-2024学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题
2023-2024学年山东省济南市高一下学期7月期末学习质量检测数学试题1.已知为虚数单位，则复数的虚部是（）A．B．C．D．2.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（）A．“至少一个白球”与“至少一个黄球”B．“恰有一个白球”与“恰有两个白球”C．“至多一个白球”与“至多一个黄球”D．“至少一个黄球”与“都是黄球”3.在中，记，，若，则（）A．B．C．D．4.若正三棱台上底面边长为，下底面边长为，高为，则该棱台的体积为（）A．B．2C．D．5.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A．众数平均数中位数B．众数中位数平均数C．众数平均数中位数D．中位数平均数众数6.已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列结论正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，，，则D．若，，，则与平行或异面7.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（）A．0.035B．0.07C．0.105D．0.148.如图，设，是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序数对叫做点在坐标系中的坐标.在该坐标系下，，，为不共线的三点，下列结论错误．．的是（）A ．线段中点的坐标为B ．重心的坐标为C ．，两点的距离为D ．若，则，，三点共线9.已知为虚数单位，复数，，则下列结论正确的是（）A ．所对应的点在第一象限B ．所对应的点在第二象限C ．D ．10.已知有限集为随机试验的样本空间，事件，为的子集，则事件，相互独立的充分条件可以是（）A ．B ．C ．D ．11.如图所示，三棱锥中，，其余棱长均为.为棱的中点，将三棱锥绕旋转，使得点，分别到达点，，且.下列结论正确的是（）A ．平面B ．C ．直线与所成的角为D ．点，，，，，在同一个直径为的球面上12.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为______．13.已知，，分别为内角，，的对边，且，，则使得有两组解的的值可以是_____________（写出满足条件的一个值即可）.14.在平行六面体中，底面是边长为2的菱形，，，且平面，均与底面垂直.点在侧面上运动，若，则点的轨迹长为_____________.15.某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求的值并估计参赛学生成绩的分位数；(2)从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率.16.已知内角，，的对边分别为，，，且满足.(1)求；(2)若，，求的周长.17.如图1，在菱形中，是边长为2的等边三角形，将沿对角线翻折至的位置，得到图2所示的三棱锥.(1)证明：；(2)若二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值.18.如图，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，.(1)已知.（ⅰ）求的值；（ⅱ）若，求的面积；(2)求的最小值.19.给定三棱锥，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，称为的阶等距集.(1)若为三棱锥，满足，，求出的1阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积（求出其中的一个即可）；(2)如图所示，是棱长为的正四面体.（ⅰ）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能取值以及相对应的的个数；（ⅱ）已知是的4阶等距平面，点与点，，分别位于两侧.是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求出截所得的平面多边形的最大边长；若不存在，说明理由.。
2024届山东省济南市部分区县高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析
2024届山东省济南市部分区县高一数学第二学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知0a b >>，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +=（ ） A ．7 B ．6C ．5D ．92．把直线y x =绕原点逆时针转动，使它与圆22230x y y ++-+=相切，则直线转动的最小正角度（）． A ．3πB ．2π C ．23π D ．56π 3．若直线()y c c R =∈与函数tan (0)y x ωω=≠的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数tan y x ω=图象的对称中心为（ ）A ．,0,2k k Z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．(,0),k k Z ∈C ．,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．(,0),k k Z π∈ 4．圆()()22215x y -++=关于原点对称的圆的方程为( ) A ．()()22215x y -+-= B ．()()22125x y ++-= C ．()()22125x y -++=D ．()()22215x y ++-=5．在直三棱柱（侧棱垂直于底面）111ABC A B C -中，若2AB BC ==，13AA =，90ABC ∠=︒，则其外接球的表面积为（ ）A ．17πB ．43π C ．173πD 6．关于x 的方程sin 26x m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[0,]π内有相异两实根，则实数m 的取值范围为（ ）A ．31,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．31,42⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．设偶函数()f x 定义在0022ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 上，其导数为()f x '，当02x π<< 时，()cos ()sin 0f x x f x x '+< ，则不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为（ ）A ．0233πππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，B ．0332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， C ．0033，，ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2332ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，8．已知数列{}n a 满足：()*122,n n a a n n n N-=+≥∈，17a=-，则该数列中满足311n a ≤≤的项共有（ ）项A ．0B ．1C ．2D ．59．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．23B ．46+C ．43+D ．23+10．执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
山东省济南市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(B卷)(解析版)
山东省济南市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（B 卷）一、单项选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1．已知211ai i=++，其中a R ∈，i 为虚数单位，则(a = ) A ．1- B ．1 C ．2- D ．2〖解 析〗2(1)11(1)(1)i i ai i i -=-=++-，则1a =-．〖答 案〗A2．为宣传城市文化，提高城市知名度，我市某所学校5位同学各自随机从“趵突腾空”、“历山览胜”、“明湖汇泊”三个城市推荐词中选择一个，来确定该学校所推荐的景点，则三个推荐词都有人选的概率是( ) A ．5081B ．2081C ．81125D ．27125〖解 析〗设三个推荐词都有人选为事件A ，基本事件总数为53243=， 事件A 包含两种情况，①5位同学分为1，1，3三组，为113354332260C C C A A ⋅⋅⋅=， ②5位同学分为2，2，1三组，为221353132290C C C A A ⋅⋅⋅=， ∴事件A 包含的基本事件数为150，则三个推荐词都有人选的概率是1505024381P ==． 〖答 案〗A3．已知ABC ∆中，2227sin 3sin 2sin 2sin sin sin B C A A B C +=+，则cos()(4A π-= )A B ． C D 〖解 析〗2227sin 3sin 2sin 2sin sin sin B C A A B C +=+，由正弦定理可得：2227322sin b c a bc A +=+，222732sin 2b c bc Aa +-∴=，又2222cos a b c bc A =+-，∴2222732sin 2cos 2b c bc A b c bc A +-=+-，化为：225552(sin 2cos )2b c b c b cA A bc c b c b +-==+⋅=c =时取等号．即)25A θ-，其中tan 2θ=，sinθ=cos θ=．即sin()1A θ-，又sin()1A θ-，sin()1A θ∴-=． 22A k πθπ∴-=+，即22A k πθπ=++，*k N ∈．sin()sin(2)cos()4424A k ππππθπθ∴+=+++=+sin )22θθ=-==cos(?)cos(?)sin()444A A A πππ∴==+= 〖答 案〗B4．函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<在区间5[,]66ππ-上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移(0)θθ>个单位长度后，所得到的图像关于原点对称，则θ的最小值为( )A ．76πB ．6πC ．12πD ．724π 〖解 析〗由图象知，5()66T πππ=--=，即2ππω=，得2ω=， 由五点对应法得2()06πϕ⨯-+=，得3πϕ=，则()sin(2)3f x x π=+，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），得到sin(4)3y x π=+，再向右平移(0)θθ>个单位长度后，得到sin[4()]sin(44)33y x x ππθθ=-+=+-，此时所得到的图像关于原点对称，即43k πθπ-=，k Z ∈，则124k ππθ=-，k Z ∈，0θ>，∴当0k =时，θ取得最小值为12π．〖答 案〗C5．已知一组数据：1x ，2x ，3x 的平均数是5，方差是4，则由121x +，221x +，321x +和11这四个数据组成的新数据组的方差是( ) A ．16B ．14C ．12D ．11〖解 析〗由已知得12315x x x ++=，222123(5)(5)(5)12x x x -+-+-=， 则新数据的平均数为1231(21212111)114x x x ++++++=．所以方差为：22221231[(2111)(2111)(2111)(1111)]124x x x +-++-++-+-=．〖答 案〗C6．如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥．如图是根据如图作的简易侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）．在侧视图中，斜拉杆PA ，PB ，PC ，PD 的一端P 在垂直于水平面的塔柱上，另一端A ，B ，C ，D 与塔柱上的点O 都在桥面同一侧的水平直线上．已知8AB m =，16BO m =，12PO m =，0PB PC ⋅=．根据物理学知识得11()()222PA PB PC PD PO +++=，则(CD = )A ．28mB ．20mC ．31mD ．22m〖解 析〗由11()()222PA PB PC PD PO +++=，则11(2)(2)222OA OB OP OC OD OP PO +-++-=，即0OA OB OC OD +++=， 又已知8AB m =，16BO m =，12PO m =，0PB PC ⋅=，则24OA =，16OB =，9OC =，即31OD =，则31922CD =-=． 〖答 案〗D7．已知长方体1111ABCD A B C D -中14AB AA ==，3BC =，M 为1AA 的中点，N 为11C D 的中点，过1B 的平面α与DM ，1A N 都平行，则平面α截长方体所得截面的面积为( )A ．B ．C ．D ．〖解 析〗设E 为1CC 的中点，F 为CD 的中点，连接1AB ，1B E ，EF ，AF ， 则1//EF C D 又11//C D AB ，所以1//EF AB ．所以E ，F ，A ，1B 四点共面，四边形1AB EF 为过点1B 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的一个截面四边形．设H 为1BB 的中点，连接MH ，CH ，因为M 为1AA 的中点，所以////MH AB DC ，MH AB DC ==， 所以四边形CDMH 为平行四边形，所以//DM CH ， 因为1//CE HB ，1CE HB =，所以四边形1CHB E 为平行四边形，所以1//B E CH ，所以1//DM B E ， 又DM ⊂/平面1AB EF ，1B E ⊂平面1AB EF ，所以//DM 平面1AB EF ， 连接1A N ，FN ，因为N 为11C D 的中点，F 为CD 的中点， 所以11////FN DD AA ，11FN DD AA ==，所以四边形1AA NF 为平行四边形，所以1//A N AF ，又1A N ⊂/平面1AB EF ，AF ⊂平面1AB EF ，所以1//A N 平面1AB EF ． 所以平面1AB EF 为过1B 且与DM ，1A N 都平行的平面α，则四边形1AB EF 为过点1B 的平面α截长方体1111ABCD A B C D -所得截面四边形，又114AB C D ===112EF C D ==1AF B E ===，所以四边形1AB EF 为等腰梯形，在等腰梯形1AB EF 中，分别过点E ，F 作1EP AB ⊥，1FQ AB ⊥，垂足分别为P ，Q ，则PQ EF ==111()2B P AB EF =-=EP ==所以截面1AB EF 的面积为12S ==〖答 案〗A8．在ABC ∆中，点O 是线段BC 上的点，且满足||3||OC OB =，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点E ，F ，且AB mAE =，AC nAF =，其中0m >且0n >，若1tm n+的最小值为3，则正数t 的值为( )A ．2B ．3C ．83D ．113〖解 析〗点O 是线段BC 上的点，且满足||3||OC OB =，∴11()44BO BC AC AB ==-， ∴131()444AO AB BO AB AC AB AB AC =+=+-=+， 又AB mAE =，AC nAF =，其中0m >且0n >，∴344m nAO AE AF =+， E 、O 、F 三点共线，∴3144m n+=，故113()()44t t m n m n m n +=++13(3)4tm n t n m=+++1(34t ++当且仅当3tm nn m=，即n 时，等号成立，故1(334t ++=，解得3t =．〖答 案〗B二、多项选择题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分.每小题有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分）9．从含有3道代数题和2道几何题的5道试题中随机抽取2道题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，则( )A ．“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”是互斥事件B ．“第1次抽到代数题”与“第2次抽到几何题”相互独立C ．第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是310D ．在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是13〖解 析〗对于A ，“第1次抽到代数题”与“第1次抽到几何题”这两个事件不可能同时发生，为互斥事件，故A 正确，对于B ，“第一次抽到代数题”发生时，“第二次抽到几何题”的概率是12， “第一次抽到代数题”不发生时，“第二次抽到几何题”的概率是14，它们不独立， 故B 错误，对于C ，第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率是3135210⨯=，故C 正确，对于D ，抽取两次都是几何题的概率为2115410⨯=，因此有代数题的概率是1911010-=，在有代数题的条件下，两道题都是代数题的概率是31109310=，故D 正确．〖答 案〗ACD10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ=，11D P D B μ=，其中λ，[0μ∈，1]，则( ) A ．当12λ=时，三棱锥P EFD -的体积为定值B ．当12μ=时，四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是94π C ．若直线CP 与平面ABCD 所成角的正弦值为23，则13μ=D ．存在唯一的实数对(,)λμ，使得DP ⊥平面EFP 〖解 析〗对于A ，当12λ=时，F 是11D C 的中点，连接BC ，与交BC 于点E ， 则E 为1BC 的中点，1//EF BD ∴，1//BD ∴面EFD ， 又点P 在BD 上，∴点P 到面EFD 的距离为定值，三棱锥P EFD -的体积为定值，故A 正确；对于B ，当12μ=时，点P 为1BD 的中点， 设四棱锥P ABCD -的外接球的半径为R ， 则球心O 在PM 延长线上，由OP R =，得102M R ==，由222OM CM OC +=，得2221()2R R -+=，解得34R =，∴外接球的表面积为94π，故B 正确；对于C ，连接BD ，过点P 作PM BD ⊥于M ，连接CM ，1BB ⊥平面ABCD ，∴平面11BDD B ⊥平面ABCD ，平面11BDD B ⋂平面ABCD BD =，PM ∴⊥平面ABCD ，PCM ∴∠为CP 与平面ABCD 所成角，11D P D B μ=∴)BM μ=-，1PM μ=-，在AMB 中，由余弦定理有CM在Rt CPM ∆中由勾股定理有PC∴2sin 3PM PCM PC ∠===，解得13μ=，故C 正确． 对于D ，点F 在11D C ，上，又E 在1BC 上，P 在1BD 上，∴平面PEF 即为平面11BC D A ，又易证1B C ⊥平面11BC D A ， ∴1B C 是平面11BC D A 的法向量，∴欲DP ⊥平面EFP ，须1B C 与DP 共线，即须1DA 与DP 共线，显然不可能，∴不存在实数对(,)λμ使得DP ⊥平面EFP ，故D 错误．〖答 案〗ABC11．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，)R ϕ∈在区间7(12π，5)6π上单调，且满足73()()124f f ππ=-．有下列结论正确的有( ) A ．2()03f π=B ．若5()()6f x f x π-=，则函数()f x 的最小正周期为πC ．关于x 的方程()1f x =在区间[0，2)π上最多有4个不相等的实数解D ．若函数()f x 在区间2[3π，13)6π上恰有5个零点，则ω的取值范围为8(3，3] 〖解 析〗A ，7375(,)(,)124126ππππ⊆，()f x ∴在73(,)124ππ上单调， 又73732124()(),12423f f πππππ+=-=，∴2()03f π=，故A 正确； B ，区间75(,)126ππ右端点56x π=关于23x π=的对称点为2x π=， 2()0,()3f f x π=在75(,)126ππ上单调， 根据正弦函数图像特征可知()f x 在5(,)26ππ上单调，∴512(62322||T T ππππω-==⋅为()f x 的最小正周期），即||3ω， 又0ω>，03ω∴<．若5()()6f x f x π-=， 则()f x 的图象关于直线512x π=对称，结合2()03f π=， 得252121()312442k k T k z ππππ++-===⋅∈，即21()k k Z ω=+∈，故0k =，2ω=，T π=，故B 正确． C ，由03ω<，得23Tπ，()f x ∴在区间[0，2)π上最多有3个完整的周期， 而()1f x =在1个完整周期内只有1个解，故关于x 的方程()1f x =在区间[0，2)π上最多有3个不相等的实数解，故C 错误． D ，由2()03f π=知，23π是函数()f x 在区间213[,)36ππ上的第1个零点，而()f x 在区间213[,)36ππ上佮有5个零点，则13252632TT ππ<-， 结合2T πω=，得81033ω<，又03ω<， ω∴的取值范围为8(,3]3，故D 正确．〖答 案〗ABD12．已知等边三角形ABC 的边长为6，M ，N 分别为AB ，AC 的中点，如图所示，将AMN ∆沿MN 折起至△A MN '，得到四棱锥A MNCB '-，则在四棱锥A MNCB '-中，下列说法正确的是( )A ．当四棱锥A MNCB '-的体积最大时，二面角A MN B '--为直二面角 B ．在折起过程中，存在某位置使BN ⊥平面A NC 'C ．当四棱锥A MNCB '-体积的最大时，直线A B '与平面MNCBD ．当二面角A MN B '--的余弦值为13时，△A NC '的面积最大〖解 析〗如图，取MN 中点F ，易得AF MN ⊥，由于四边形BCNM 的面积为定值，要使四棱锥A MNCB '-的体积最大， 即高最大，当A F '⊥面BCNM 时，此时高为A F '最大，二面角A MN B '--为直二面角，A 正确；若BN ⊥平面A NC '，则BN A N ⊥'，又3BN A N ='=，则6A B '=，又6AB =，6A B '<，故BN AN ⊥'不成立，即不存在某位置使BN ⊥平面A NC '，B 错误； 由上知，当四棱锥A MNCB '-体积的最大时， 即二面角A MN B '--为直二面角，A F '⊥面BCNM ，此时直线A B '与平面MNCB 所成角即为A BF ∠'，易得四边形BCNM 为等腰梯形， 取BC 中点D ，易得FD BC ⊥，且FD =，故BF == 又A F BF '⊥，故tan A F A BF BF '∠'===，C 正确； 如图，取MN 中点F ，易得A F MN '⊥，取BC 中点D ，易得FD MN ⊥，故A FD ∠'即为二面角A MN B --的平面角，即1cos 3A FD ∠'=，故2222cos A D AF DF A F DF A FD '=+-'⋅⋅∠'，又A F FD '==，解得3A D '=， 又A B AC '='，A D BC '⊥，故2A C '=又3A N CN '==，此时△A NC '为等腰直角三角形，面积最大为1922AN NC ⋅=，故D 正确．〖答 案〗ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量(,3),(1,)a b λλ=-=．若()a b b +⊥，则λ= ． 〖解 析〗(1,3)a b λλ+=+-，()a b b +⊥，∴()1(3)0a b b λλλ+⋅=++-=，解得1λ=．〖答 案〗114．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1，2，3，4，从乙箱子中随机摸出1个球．则摸到红球的概率为 ． 〖解 析〗掷到点数为1，2，3，4的概率为4263=，从乙箱子摸到红球的概率为84105=， 掷到点数为5，6的概率为2163=，从甲箱子摸到红球的概率为51102=， 故摸出红球的概率24117353210P =⨯+⨯=． 〖答 案〗71015．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，且满足条件3PA =，4PB =，5PC =，5AB =，AC BC =O 的表面积为 ．〖解 析〗由题意可知，3PA =，4PB =，5AB =，可得222PA PB AB +=， 所以2APB π∠=，即PA DB ⊥，同理可得，PA PC ⊥，PB PC ⊥，以点P 为一个顶点，PA ，PB ，PC 为三条相邻棱，构造长方体PADB CEFG -，由于点P ，A ，B ，C 都在球O 的球面上，显然长方体PADB CEFG -内接于球O ，其对角线PF 长就是球O 的直径，所以2R R === 所以球O 的表面积25044504S R πππ==⨯=． 〖答 案〗50π16．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则11tan tan B C +的最小值为 ．〖解 析〗在ABC ∆中，tan tan()C A B =-+， ∴111111tan tan tan tan tan tan()tan tan tan A B B C B A B B A B-+=-=-++， tan 2tan B A =， ∴211tan tan 11212tan tan tan tan 2tan 3tan 6tan 3A B tan A A B A B A A A ---=-=++， A 为锐角，tan 0A ∴>，12tan tan 226tan 363A A A +=， 当且仅当12tan 6tan 3A A =即1tan 2A =时，等号成立， ∴11tan tan B C +的最小值为23． 〖答 案〗23 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量(,3),(3,)m b a c b n c b a c =++=-+，(,3),(3,)m b a c b n c b a c =++=-+，且//m n ．（1）若3BD DC =，1AD =，求ABC ∆面积的最大值．；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且3a =，求ABC ∆周长的取值范围．（1）解：因为//m n ，所以222()()30b a c b a c bc b c a bc ++-+-=⇒+-=， 由余弦定理可得：1cos 2A =，而0A π<<，所以3A π=， 3313()4444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， ∴222213193()4416168AD AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 22193||||||||cos 161683AB AC AB AC π=++， ∴221931161616c b bc ++=即229316c b bc ++=， 而2296c b bc +，当且仅当3c b =时取“=” 2293916c b bc bc ++=，当且仅当3c b =时取“=”，∴169bc ，ABC ∴∆的面积143sin 239S bc π=，故当3c b =时，ABC ∆（2）解：由正弦定理得sin sin b c B C ===所以,b B c C ==，则21sin()]sin )6sin()326b c B B B B B B ππ+=+-=+=+， 因为ABC ∆是锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∴62B ππ<<，则2363B πππ<+<，所以sin()6B π+∈，所以三角形周长36sin()(36a b c B π++=++∈+． 18．（12分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为56，35；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，34．甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．解：（1）设1A = “甲在第一轮比赛中胜出”， 2A = “甲在第二轮比赛中胜出”， 1B = “乙在第一轮比赛中胜出”， 2B = “乙在第二轮比赛中胜出”，则12A A = “甲赢得比赛”， 12B B = “乙赢得比赛”，15()6P A =，22()3P A =，13()5P B =，23()4P B =， 1212525()()()639P A A P A P A ∴==⨯=， 同理1212339()()()5420P B B P B P B ==⨯=，59920>，∴派甲参赛获胜的概率更大． （2）由（1）知，设C = “甲赢得比赛”， D = “乙赢得比赛”，1254()1()199P C P A A =-=-=，12911()1()12020P D P B B =-=-=，于是CD = “两人中至少有一人赢得比赛”， 41134()1()1()()192045P C D P CD P C P D ∴=-=-=-⨯=．19．（12分）如图1，在平行四边形ABCD 中，2AB =，AD =30ABC ∠=︒，AE BC ⊥，垂足为E ．以AE 为折痕把ABE ∆折起，使点B 到达点P 的位置，且平面PAE 与平面AECD 所成的角为90︒（如图2)．（1）求证：PE CD ⊥；（2）若点F 在线段PC 上，且二面角F AD C --的大小为30︒，求三棱锥F ACD -的体积．（1）证明：平面PAE 与平面AECD 所成的角为90︒，∴平面PAE ⊥平面AECD ，平面PAE ⋂平面AECD AE =，又PE AE ⊥，PE ⊂平面PAE ，PE ∴⊥平面AECD ，CD ⊂平面AECD ，PE CD ∴⊥．（2）解：PE ⊥平面AECD ，PE AE ∴⊥，PE CE ⊥，EA EC ⊥，EA ∴，EC ，EP 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，在Rt ABE ∆中，2AB =，30ABE ∠=︒，1AE ∴=，BE ，CE ∴=(1D ∴，0)，(0C ，0)，(0P ，0，(1A ，0，0)，设PF PC λ=，(,,(0F F F x y z λ∴=，，(0F ∴，)，设平面AFD 的一个法向量为(n x =，y ，)z ，(0AD =，0)，(1AF =-，))λ-， ∴330)0n AD n AF x y z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，取1z =，得(3(1),0,1)n λ=-， 平面ACD 的一个法向量(0m =，0，1)，二面角F AD C --的大小为30︒，||cos30||||3(1m n m n ⋅∴︒===⋅-，解得23λ=，PE ∴，F ∴到平面AECD ，112ACD S ∆=⨯=，∴三棱锥F ACD -的体积为：1132F ACD V -==． 20．（12分）以简单随机抽样的方式从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50~400kw h ⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x 的值；（2）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；（3）从用电量落在区间[300，400)内被抽到的用户中任取2户，求至少有1户落在区间[350，400)内的概率．解：（1）由(0.00040.000820.00360.00440.006)501x +++++⨯=，得0.0024x =，（2）平均值(0.0024750.00361250.0061750.00442250.0024275⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 0.00083250.0004375)50187+⨯+⨯⨯=，用电量落在区间[50，200)的频率之和为(0.00240.00360.006)500.6++⨯=，∴中位数落在区[150，200)，设中位数为a ，则0.0024500.0036500.006(150)0.5a ⨯+⨯+⨯-=，解得183.3a =．（3）易知用电量落在区间[300，350)的用户有4户，用电量落在区间[350，400)用户有2户，记事件E = “至少有1户落在区间[350，400)内”．∴从1A ，2A ，3A ，4A ，1B ，2B 中这6个元素中任取2个元素共2615C =个基本事件，事件E 共9个基本事件，P ∴（E ）93155==，即至少有1户落在区间[350，400)内的概率为35． 21．（12分）已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ=+，(cos ,2)b m θ=-，函数()f a b θ=⋅．（1）当0m =时，求函数()6f π的值； （2）若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有[0θ∈，]2π恒成立，求实数m 的范围． 解：（1）()2sin cos (2)(sin cos )f a b m θθθθθ=⋅=+-+，当0m =时，11()2sin cos 2(sin cos )22(16666622f πππππ=++=⨯+⨯． （2）2(sin cos )12sin cos θθθθ+=+，∴不妨令sin cos t θθ=+，则22sin cos 1t θθ=-，此时sin cos )4t πθθθ=+=+， [0θ∈，]2π，[44ππθ∴+∈，3]4π，[1t ∴∈， ∴原问题等价于不等式241(2)23t m t m t-+-+>-对所有[1t ∈恒成立， 242(2)2t t m t t∴++>+-， 20t +>，24222(2)(2)222t t t t t t t m t t t t++++++∴<==+++，222t t t t +⋅=2t t=，即t =时，等号成立，此时2()min t t += m∴<，故实数m 的范围为(-∞，．22．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，22BC AB AD ===E 是PB 上一点，且3PB PE =．（1）求证：//PD 平面AEC ；（2）已知平面AEC ⊥平面PBC ，求二面角A CE D --的余弦值．（1）证明：如图，连接BD 交AC 于F ，连接EF ，//AD BC ，2BC AD =，3PB PE =，∴23BF BE BD BP ==，//EF PD ∴， 又EF ⊂平面AEC ，PD ⊂/平面AEC ，//PD ∴平面AEC ；（2）解：由题意，底面ABCD 为等腰梯形，作AG BC ⊥于点G ，由于22BC AB AD ===BG CG AG ==， 以AG ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AP t =，则2(0,0,0),(0,0,),)22223t A B C D P t E ，∴369262236(,,0),(,,),(0,62,0),()2222322t AC AE BC BP t ==-==-， 设平面AEC 的一个法向量为(,,)n x y z =，平面PBC 的一个法向量为(,,)m a b c =，则6202233602t nAE x y z n AC y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，则可取(3,3,n =-， 同理620302m BC m BP tc ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，则可取9(6,0,)m t =， 由平面AEC⊥平面PBC，得360m nt ⋅=-=，解得3t =，∴36326(,,0),(,22222E DC DE ==-， 设平面EDC 的一个法向量为(,,)k p q μ=，则360262022DC p DE k p q μμ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，则可取(3,3,μ=--，又(3,3,n =-， ∴314cos ,||||14n n n μμμ⋅<>==， ∴锐二面角A CE D --。
山东省济南市高一下学期期末数学试卷
山东省济南市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）(2012·北京) 在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B 两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为________．2. （1分）若不等式（x﹣3）（x+a）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞），则（x﹣3）（x+a）≤0的解集为________．3. （1分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（1，1），C（2，﹣1），则∠BAC的余弦值为________4. （1分） (2019高二上·汇川期中) 已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥ ；③l⊥ ．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________．5. （1分）斜率为2，且与直线2x+y﹣4=0的交点恰好在x轴上的直线方程是________．6. （1分）(2020·杨浦期末) 己知数列的通项公式为，是数列的前项和，则 ________.7. （1分） (2019高二上·洛阳期中) 在锐角中，内角的对边分别为，若，则的最小值为________．8. （1分） (2017高三上·嘉兴期中) 如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，圆O所在平面，且PA=AB=2，过点A作平面，交PB,PC分别于E,F，当三棱锥P-AEF体积最大时， =________．9. （1分）(2019·黄冈模拟) 关于的实系数方程的一个根在内，另一个根在内，则的值域为________．10. （1分） (2017高二上·江苏月考) 以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为________.11. （1分）(2017·西宁模拟) 已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2 ，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．12. （1分） (2016高二上·西安期中) 已知x＞0，y＞0，n＞0，4x+y=1，则 + 的最小值为________13. （1分） (2016高一下·盐城期中) M（﹣1，0）关于直线x+2y﹣1=0对称点M′的坐标是________．14. （1分） (2016高二上·清城期中) 在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+ ），则an=________．二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分） (2017高二上·汕头月考) 如图,四棱锥 ,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形, 为棱上的动点,且 .(I)求证：为直角三角形；(II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为 .16. （5分） (2017高二上·潮阳期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．17. （5分）(2017·泰安模拟) 若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=2，且anbn+bn=nbn+1 ．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{cn}满足cn= ，数列{cn}的前n项和为Tn ，若不等式（﹣1）nλ＜Tn+ 对一切n∈N* ，求实数λ的取值范围．18. （10分） (2019高三上·铁岭月考) 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：（1）顶点的坐标；（2）求外接圆的方程．19. （10分） (2018高一上·汉中期中) 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．（1）设销售商一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式．（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？20. （10分）(2017·枣庄模拟) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，且a6=0，S4=14．（1）求an；（2）将a2，a3，a4，a5去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{bn}的前三项，求数列{anbn}的前n项和Tn．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共45分)16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、。
山东省济南市高一下学期数学期末考试试卷
山东省济南市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）数列｛an}的前n项和为Sn ，，则数列的前100项的和为（）。
A .B .C .D .2. （2分）某中学从已编号(1~60)的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（）A . 6,16,26,36,46,56B . 3,10,17,24,31,38C . 4,11,18,25,32,39D . 5,14,23,32,41,503. （2分）设,且,则（）A .B .C .D .4. （2分）若在甲袋内装有8个白球、4个红球，在乙袋内装有6个白球、5个红球，现从两袋内各任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则下列概率中等于的是（）A . P（X=0）B . P（X≤2）C . P（X=1）D . P（X=2）5. （2分）已知a,b是正数，且满足．那么的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）一艘轮船按北偏西方向以每小时30海里的速度从A处开始航行，此时灯塔M在轮船的北偏东45°方向上，经过40分钟后轮船到达B处，灯塔在轮船的东偏南方向上，则灯塔M到轮船起始位置A的距离是（）海里。
A .B .C .D .7. （2分）设等比数列的公比q=2，前n项和为，则的值是（）A .B . 4C .D .8. （2分）若，函数有零点的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·衡阳模拟) 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想:对于每一个正整数。
如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶救。
对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.虽然该猜想看上去很简单，但有的教学家认为“该猜思任何程度的解决都是现化数学的一大进步”。
如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为（）A . 是偶数?；6B . 是偶数?；8C . 是奇数?；5D . 是奇数？；710. （2分）为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图),那么在这100株树木中,底部周长大于110cm的株数是（）A . 70B . 60C . 30D . 8011. （2分）设z＝x＋y，其中x、y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为（）A . －3B . 3C . 2D . －212. （2分）(2017·绍兴模拟) 已知a＞0，且a≠1，若ab＞1，则（）A . ab＞bB . ab＜bC . a＞bD . a＜b二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·金山模拟) 从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是________14. （1分） (2017高三上·宿迁期中) 某校高三年级500名学生中，血型为O型的有200人，A型的有125人，B型的有125人，AB型的有50人．为研究血型与色弱之间的关系，现用分层抽样的方法从这500名学生中抽取一个容量为60的样本，则应抽取________名血型为AB的学生．15. （1分）(2017·苏州模拟) 如图中流程图的运行结果是________．16. （1分）(2017·泰州模拟) 若正实数x，y满足x2+2xy﹣1=0，则2x+y的最小值为________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高二下·中山月考) 现有一块大型的广告宣传版面，其形状是右图所示的直角梯形 .某厂家因产品宣传的需要，拟投资规划出一块区域（图中阴影部分）为产品做广告，形状为直角梯形（点在曲线段上，点在线段上）.已知，，其中曲线段是以为顶点，为对称轴的抛物线的一部分.（1）建立适当的平面直角坐标系，分别求出曲线段与线段的方程；（2）求该厂家广告区域的最大面积.18. （15分） (2017高一上·邢台期末) 一名大学生尝试开家小“网店”销售一种学习用品，经测算每售出1盒盖产品获利30元，未售出的商品每盒亏损10元．根据统计资料，得到该商品的月需求量的频率分布直方图（如图所示），该同学为此购进180盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200）表示一个月内的市场需求量，y（单位：元）表示一个月内经销该产品的利润．（1）根据直方图估计这个月内市场需求量x的平均数；（2）将y表示为x的函数；（3）根据直方图估计这个月利润不少于3800元的概率（用频率近似概率）．19. （5分）(2017·郴州模拟) 已知等差数列{an}．满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an+2log2bn=﹣1．（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn ．20. （10分）(2017·山西模拟) 西部大开发给中国西部带来了绿色，人与环境日期和谐，群众生活条件和各项基础设施得到了极大的改善．西部地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2009201020112012201320142015年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： = ， = ﹣（其中，为样本平均值）．21. （5分）(2017·邢台模拟) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S4=4S2 ， a2n=2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn ，且（λ为常数）．令cn=b2n ，（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Rn ．22. （5分）(2018·临川模拟) 已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积为，，求．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。
2022-2023学年山东省济南市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z =11+2i对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ） A ．1000人B ．300人C ．200人D ．100人3．设α，β为两个平面，则α⊥β的充要条件是（ ） A ．α过β的一条垂线B ．α，β垂直于同一平面C ．α内有一条直线垂直于α与β的交线D ．α内有两条相交直线分别与β内两条直线垂直 4．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为（ ） A ．110B ．15C ．25D ．355．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π4，b =1，c =√62，则角C 的值为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．无解6．如果三棱锥S ﹣ABC 底面不是等边三角形，侧棱SA ，SB ，SC 与底面ABC 所成的角都相等，SO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 是△ABC 的（ ） A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心7．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，c =2，则△ABC 的周长的取值范围为（ ）A ．(3+√3，2+2√3)B ．(3+√3，4+2√3)C ．(3+√3，6+2√3)D ．(3+√3，+∞)8．在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝1．点E ，F ，G 分别为平面P AB ，平面P AD 和平面ABCD 内的动点，点Q 为棱PC 上的动点，则QE 2+QF 2+QG 2的最小值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知复数ω=−12+√32i ，则下列说法中正确的是（ ）A ．|ω|＝1B ．ω3＝﹣1C ．ω2＝ωD ．ω2+ω+1＝010．先后抛掷质地均匀的硬币两次，则下列说法正确的是（ ） A ．事件“恰有一次正面向上”与事件“恰有一次反面向上”相等B ．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”互斥C ．事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”互为对立事件D ．事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立11．某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）A ．平均数的估计值为30B ．众数的估计值为35C ．第60百分位数估计值是32D ．随机选取这100名学生中有25名学生体育活动时间不低于40分钟12．如图，已知三棱锥D ﹣ABC 可绕AB 在空间中任意旋转，△ABC 为等边三角形，AB 在平面α内，AB ⊥CD ，AB ＝2，CD =√6，cos∠CBD =14，则下列说法正确的是（ ）A ．二面角D ﹣AB ﹣C 为π2B ．三棱锥D ﹣ABC 的外接球表面积为20π3C ．点C 与点D 到平面α的距离之和的最大值为2 D ．点C 在平面α内的射影为点M ，线段DM 的最大值为√15+√32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．一组数据1，2，4，5，8的第75百分位数为 ．14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与直线CD 1夹角的余弦值为 ． 15．在圆C 中，已知弦AB ＝2，则AB →⋅AC →的值为 ．16．已知△ABC 的重心为G ，面积为1，且AB ＝2AC ，则3AG 2+BC 2的最小值为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知e →1，e →2是两个单位向量，夹角为π3，设a→=e →1+2e →2，b→=te →1−3e →2．（1）求|a →|；（2）若a →⊥b →，求t 的值．18．（12分）已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长均为2，M 为A 1C 1的中点． （1）求证：BC 1∥平面AB 1M ； （2）求点B 到平面AB 1M 的距离d ．19．（12分）独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追溯到17世纪的布莱兹•帕斯卡和皮埃尔•德•费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔•西蒙•拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件A 与B ，如果P （AB ）＝P （A ）P （B ）成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．（1）若事件A 与事件B 相互独立，证明：A 与B 相互独立；（2）甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为35，乙每轮答对的概率为23．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率．20．（12分）某社区工作人员采用分层抽样的方法分别在甲乙两个小区各抽取了8户家庭，统计了每户家庭近7天用于垃圾分类的总时间（单位：分钟），其中甲小区的统计表如下，设x i ，y i 分别为甲，乙小区抽取的第i 户家庭近7天用于垃圾分类的总时间，s x 2，s y 2分别为甲，乙小区所抽取样本的方差，已知x =18∑ 8i=1x i =200，s x 2=18∑ 8i=1(x i −x)2=200，y =195，s y 2=210，其中i ＝1，2，⋯，8．（1）若a ≤b ，求a 和b 的值；（2）甲小区物业为提高垃圾分类效率，优先试行新措施，每天由部分物业员工协助垃圾分类工作，经统计，甲小区住户每户每天用于垃圾分类的时间减少了5分钟．利用样本估计总体，计算甲小区试行新措施之后，甲乙两个小区的所有住户近7天用于垃圾分类的总时间的平均值z 和方差s z 2．参考公式：若总体划为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x 1，s 12；n ，x 2，s 22，总的样本平均数为ω，样本方差为s 2，则s 2=m m+n [s 12+(x 1−ω)2]+n m+n[s 22+(x 2−ω)2]．21．（12分）如图1，在等腰△ABC 中，AC ＝4，A =π2，O ，D 分别为BC 、AB 的中点，过D 作DE ⊥BC 于E ．如图2，沿DE 将△BDE 翻折，连接BA ，BC 得到四棱锥B ﹣ACED ，F 为AB 中点．（1）证明：DF ⊥平面AOB ；（2）当OB =√2时，求直线BF 与平面BCD 所成的角的正弦值．22．（12分）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，D ．对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值x =CACBDA DB叫做这四个有序点的交比，记作（ABCD ）． （1）证明：（EFGH ）＝（ABCD ）；（2）已知（EFGH）=32，点B为线段AD的中点，AC=√3OB=3，sin∠ACOsin∠AOB=32，求cos A．2022-2023学年山东省济南市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z=11+2i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：z=11+2i=1−2i(1+2i)(1−2i)=15−25i，它在复平面内对应点为（15，−25），在第四象限．故选：D．2．《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（）A．1000人B．300人C．200人D．100人解：依题意济南天下第一泉风景区应抽取游客1500×100100+30+20=1000(人)．故选：A．3．设α，β为两个平面，则α⊥β的充要条件是（）A．α过β的一条垂线B．α，β垂直于同一平面C．α内有一条直线垂直于α与β的交线D．α内有两条相交直线分别与β内两条直线垂直解：由α⊥β可得α经过β的一条垂线，反之若α经过β的一条垂线，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故A正确；α，β垂直于同一个平面，可得α，β平行或相交，故B错误；α内有一条直线垂直于α与β的交线，可得α，β不一定垂直，故C 错误； α内有两条相交直线分别与β内两条直线垂直，可得α，β平行或相交，故D 错误． 故选：A ．4．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则第二次摸到红球的概率为（ ） A ．110B ．15C ．25D ．35解：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球，2个黄球， 从中不放回地依次随机摸出2个球， 第二次摸到红球的情况有两种：①第一次摸到红球，第二次摸到红球，概率为：P 1=35×24=310， ②第一次摸到黄球，第二次摸到红球，概率为：P 2=25×34=310， 则第二次摸到红球的概率为P ＝P 1+P 2=310+310=35． 故选：D ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π4，b =1，c =√62，则角C 的值为（ ） A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．无解解：∵B =π4，b ＝1，c =√62，由正弦定理有：bsinB=c sinC，∴sinC =csinB b =√62×√221=√32，∵c ＞b ，∴C ＞B ，∴C ∈(π4，π)，∴C =π3或2π3．故选：C ．6．如果三棱锥S ﹣ABC 底面不是等边三角形，侧棱SA ，SB ，SC 与底面ABC 所成的角都相等，SO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则O 是△ABC 的（ ） A ．垂心 B ．重心C ．内心D ．外心解：如图所示：因为SO ⊥平面ABC ，侧棱SA ，SB ，SC 与底面ABC 所成的角都相等， 则∠SAO ＝∠SBO ＝∠SCO ，AO =SO tan∠SAO ，BO =SO tan∠SBO ，CO =SOtan∠SCO，故AO ＝BO ＝CO ，故O 是△ABC 的外心． 故选：D ．7．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，c =2，则△ABC 的周长的取值范围为（ ）A ．(3+√3，2+2√3)B ．(3+√3，4+2√3)C ．(3+√3，6+2√3)D ．(3+√3，+∞)解：∵B =π3，c ＝2， ∴由正弦定理得asinA=b sinπ3=2sinC，∴b =√3sinC ，a =2sinA sinC =2sin(π3+C)sinC =√3cosC+sinCsinC， ∴a +b =√3sinC+√3cosC+sinCsinC=√3(cosC+1)sinC+1=2√3cos 2C 22sin C 2cos C 2+1=√3tan C 2+1，在锐角△ABC 中，{0＜C ＜π20＜2π3−C ＜π2，解得π6＜C ＜π2， ∴π12＜C 2＜π4，即tanπ12＜tan C2＜1，又tan π6=2tanπ121−tan 2π12=√33，解得tan π12=2−√3或tan π12=−2−√3（不合题意，舍去）， ∴2−√3＜tan C2＜1，∴1＜1tan C 212−3=2+√3，∴√3+1＜√3tan C 2+1＜4+2√3，即√3+1＜a +b ＜4+2√3，∴√3+3＜a +b +c ＜6+2√3，故△ABC 的周长的取值范围为（√3+3，6+2√3）． 故选：C ．8．在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝1．点E ，F ，G 分别为平面P AB ，平面P AD 和平面ABCD 内的动点，点Q 为棱PC 上的动点，则QE 2+QF 2+QG 2的最小值为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．1解：由题意得QE ，QF ，QG 均最小时，平方和最小，过点Q 分别作平面P AB ，平面P AD ，平面ABCD 的垂线，垂足分别为E ，F ，G ， 连接AQ ，因为P A ⊥面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BC ，因为底面ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，又因为P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥面P AB ，因为QE ⊥平面P AB ，则QE ∥BC ，又因为点Q 在PC 上，则点E 应在PB 上， 同理可证F ，G 分别位于PD ，AC 上， 从而补出长方体EQFJ ﹣HGIA ，则AQ 是以QE ，QF ，QG 为共点的长方体的对角线，则AQ ²＝QE ²+QF ²+QG ²， 则题目转化为求AQ 的最小值，显然当AQ ⊥PC 时，AQ 的最小值， 因为四边形ABCD 为正方形，且P A ＝AB ＝1，则AC =√2， 因为P A ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，所以P A ⊥AC ， 所以PC =√PA 2+AC 2=√3， 则直角三角形P AC 斜边AC 的高AQ =1×√2√3=√63，此时AQ 2=23， 则QE ²+QF ²+QG ²的最小值为23，故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知复数ω=−12+√32i ，则下列说法中正确的是（ ）A ．|ω|＝1B ．ω3＝﹣1C ．ω2＝ωD ．ω2+ω+1＝0解：ω=−12+√32i ，则ω2=(−12+√32i)=−12−√32i ，ω2≠ω，故C 错误； |ω|=√(−12)2+(√32)2=1，故A 正确；ω3＝ω2•ω=(−12−√32i)(−12+√32i)=1，故B 错误； ω2+ω+1=−12−√32i −12+√32i +1=0，故D 正确．故选：AD．10．先后抛掷质地均匀的硬币两次，则下列说法正确的是（）A．事件“恰有一次正面向上”与事件“恰有一次反面向上”相等B．事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”互斥C．事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”互为对立事件D．事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立解：根据题意，依次分析选项：对于A，事件“恰有一次正面向上”即“一次正面向上、一次反面向上”，同样，事件“恰有一次反面向上”也是“一次正面向上、一次反面向上”，两个事件相等，A正确；对于B，事件“至少一次正面向上”，即“一次正面向上、一次反面向上”和“两次都是正面向上”，事件“至少一次反面向上”，即“一次正面向上、一次反面向上”和“两次都是反面向上”，两个事件不互斥，B错误；对于C，事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”不是对立事件，还有一种情况“一次正面向上、一次反面向上”，C错误；对于D，由相互独立事件的定义，事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立，D正确．故选：AD．11．某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A．平均数的估计值为30B．众数的估计值为35C．第60百分位数估计值是32D．随机选取这100名学生中有25名学生体育活动时间不低于40分钟解：对于A，由频率分布直方图可知平均数的估计值为：5×0.1+15×0.18+25×0.22+35×0.25+45×0.2+55×0.05＝29.2，故A 错误；对于B ，由频率分布直方图可知[30，40）的频率最大，因此众数的估计值为35，故B 正确； 对于C ，由频率分布直方图得从第一组到第六组的频率依次是0.1，0.18，0.22，0.25，0.2，0.05， 所以第60百分位数估计值m 在[30，40）内，所以0.1+0.18+0.22+（m ﹣30）×0.025＝0.6，解得m ＝34，故C 错误；对于D ，随机选取这100名学生中体育活动时间不低于40分钟的人数为100×（0.2+0.05）＝25，故D 正确． 故选：BD ．12．如图，已知三棱锥D ﹣ABC 可绕AB 在空间中任意旋转，△ABC 为等边三角形，AB 在平面α内，AB ⊥CD ，AB ＝2，CD =√6，cos∠CBD =14，则下列说法正确的是（ ）A ．二面角D ﹣AB ﹣C 为π2B ．三棱锥D ﹣ABC 的外接球表面积为20π3C ．点C 与点D 到平面α的距离之和的最大值为2 D ．点C 在平面α内的射影为点M ，线段DM 的最大值为√15+√32解：对于A 选项，在△BCD 中，BC =AB =2，CD =√6，cos∠CBD =14， 由余弦定理可得CD 2＝BC 2+BD 2﹣2BC •BD cos ∠CBD ， 即4+BD 2−4BD ×14=6，即BD 2﹣BD ﹣2＝0，因为BD ＞0，解得BD ＝2， 取AB 的中点E ，连接CE 、DE ，如下图所示：因为△ABC 为等边三角形，E 为AB 的中点，所以，CE ⊥AB ，又因为CD ⊥AB ，CD ∩CE ＝C ，CD ，CE ⊂平面CDE ，所以，AB ⊥平面CDE ， 因为DE ⊂平面CDE ，所以，DE ⊥AB ， 所以，二面角D ﹣AB ﹣C 的平面角为∠CED ，因为E 为AB 的中点，所以，AD ＝BD ＝2，故△ABD 也是边长为2的等边三角形， 所以DE =√AD 2−AE 2=√4−1=√3，CE =√AC 2−AE 2=√4−1=√3， 又因为CD =√6，所以，CE 2+DE 2＝CD 2，则CE ⊥DE ， 故二面角D ﹣AB ﹣C 为π2，A 对；对于B 选项，设△ABC 、△ABD 的中心分别为点G 、H ，分别过点G 、H 作GO ∥DE 、HO ∥CE ，设GO ∩HO ＝O ， 因为CE ⊥DE ，CE ⊥AB ，AB ∩DE ＝E ，AB 、DE ⊂平面ABD ，所以，CE ⊥平面ABD ，因为HO ∥CE ，则OH ⊥平面ABD ，同理，OG ⊥平面ABC ， 所以，O 为三棱锥D ﹣ABC 的外接球球心， 由等边三角形的几何性质可知，HE =13DE =√33，同理，GE =13CE =√33，因为OH ∥GE ，OG ∥EH ，HE =GE =√33，GE ⊥HE ， 所以，四边形OHEG 为正方形，且OH =GE =√33， 又因为DH =DE −HE =√3−√33=2√33， 因为CE ⊥DE ，OH ∥CE ，则OH ⊥DE ，则OD =√OH 2+DH 2=√(33)2+(233)2=√153， 所以，三棱锥D ﹣ABC 的外接球半径为√153，因此，三棱锥D ﹣ABC 的外接球的表面积为4π⋅OD 2=4π×(√153)2=20π3，B 对； 对于C 选项，设点D 在平面α内的射影点为N ，连接MN ，因为CM ⊥a ，DN ⊥a ，则CM ∥DN ，故点C 、D 、N 、M 四点共面， 因为AB ⊂α，则AB ⊥CM ，又因为CD ⊥AB ，CD ∩CM ＝C ，CD 、CM ⊂平面CDNM ，则AB ⊥平面CDNM ， 又因为AB ⊥平面CDE ，故平面CDE 与平面CDNM 重合， 又因为E ∈α，M ，N ∈α，故E ∈MN ， 设∠CEM ＝θ，其中0≤θ≤π2，又因为∠CED =π2，则∠DEN =π−∠CED −∠CEM =π−π2−θ=π2−θ， 所以，CM =CEsin ∠CEM =√3sinθ，DN =DEsin ∠DEN =√3sin(π2−θ)=√3cosθ，所以，点C 与点D 到平面α的距离之和CM +DN =√3sinθ+√3cosθ=√6sin(θ+π4)， 因为0≤θ≤π2，则π4≤θ+π4≤3π4，故当θ+π4=π2时，即当θ=π4时，CM +DN 取最大值√6，C 错； 对于D 选项，ME =CEcosθ=√3cosθ，∠DEM =∠CED +∠CEM =π2+θ， 由余弦定理可得DM =√DE 2+EM 2−2DE ⋅EMcos(π2+θ) =√3+3cos 2θ+2√3⋅√3cosθsinθ=√3+3×1+cos2θ2+3sin2θ =√3sin2θ+3cos2θ2+92=√352sin(2θ+φ)+92， 其中φ为锐角，且tanφ=12，因为0≤θ≤π2，则φ≤2θ+φ≤π+φ，故当2θ+φ=π2时，DM 取得最大值， 且(DM)max =√9+352=√18+654=√15+√32，D 对． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．一组数据1，2，4，5，8的第75百分位数为 5 ．解：5×75%＝3.75，故一组数据1，2，4，5，8的第75百分位数为5． 故答案为：5．14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与直线CD 1夹角的余弦值为 12．解：如图，连接A 1C 1，A 1B ，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，有A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，A 1D 1＝B 1C 1＝BC ， 所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形，所以A 1B ∥CD 1， 所以∠A 1BC 1为直线BC 1与直线CD 1夹角或其补角， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1棱长为a ， 则A 1B =BC 1=A 1C 1=√2a ， 所以△A 1BC 1为等边三角形， 所以∠A 1BC 1=π3，故直线BC 1与直线CD 1夹角的余弦值为cos ∠A 1BC 1=cos π3=12． 故答案为：12．15．在圆C 中，已知弦AB ＝2，则AB →⋅AC →的值为 2 ． 解：∵在圆C 中，已知一条弦AB ＝2，∴根据圆的几何性质得出：|AC |cos ∠CAB =12|AB |=12×2=1， ∵AB →•AC →=|AB →•|AC →|cos ∠CAB ＝2×1＝2． 故答案为：2．16．已知△ABC 的重心为G ，面积为1，且AB ＝2AC ，则3AG 2+BC 2的最小值为4√213．解：由题意c ＝2b ，S △ABC =12bc sin A ＝1，即b 2sin A ＝1；连接AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，可得AD →=12（AB →+AC →），又因为G 为三角形的重心，则AG →=23AD →，可得AG →=13（AB →+AC →），BC →=AC →−AB →，所以AG 2=AG →2=19（AB →2+AC →2+2AB →•AC →）=19（c 2+b 2+2bc cos A ）=19（5b 2+4b 2cos A ）， BC 2=BC →2=AC →2+AB →2﹣2AB →•AC →=b 2+c 2﹣2bc cos A ＝5b 2﹣4b 2cos A ，所以3AG 2+BC 2=53b 2+4b 23cos A +5b 2﹣4b 2cos A =203b 2−83b 2cos A =203sinA −8cosA 3sinA，令t =203sinA −8cosA 3sinA＞0，则3t sin A +8cos A ＝20， 即sin （A +φ）=20√9t +64≤1，当且仅当A +φ=π2时取等号，tan φ=82t ，可得9t 2+64≥400，解得t ≥4√213或t ≤−4√213（舍）， 即t 的最小值为：4√213．故答案为：4√213． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知e →1，e →2是两个单位向量，夹角为π3，设a→=e →1+2e →2，b→=te →1−3e →2．（1）求|a →|；（2）若a →⊥b →，求t 的值．解：（1）∵|e 1→|=|e 2→|=1，＜e 1→，e 2→＞=π3， ∴e 1→⋅e 2→=12，∴|a →|=√e 1→2+4e 2→2+4e 1→⋅e 2→=√1+4+2=√7； （2）∵a →⊥b →，∴a →⋅b →=(e 1→+2e 2→)⋅(te 1→−3e 2→)=te 1→2−6e 2→2+(2t −3)e 1→⋅e 2→=t −6+12(2t −3)=0，解得t =154． 18．（12分）已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长均为2，M 为A 1C 1的中点． （1）求证：BC 1∥平面AB 1M ； （2）求点B 到平面AB 1M 的距离d ．证明：（1）连接A 1B 交AB 1于点N ，连接MN ，则正三棱柱中A 1B 1BA 是平行四边形， 所以N 为A 1B 的中点，又M 为A 1C 1的中点，所以MN ∥BC 1，BC 1⊄平面AB 1M ，MN ⊂平面AB 1M ，所以BC 1∥平面AB 1M ． 解：（2）过M 作MH ⊥A 1B 1，垂足为H ，由题意可得B 1M =√3，AM =√5，AB 1=2√2，所以B 1M 2+AM 2=AB 12，所以B 1M ⊥AM ，所以△AB 1M 的面积S △AB 1M =12×√3×√5=√152， 因为正三棱柱中平面A 1B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，又平面A 1B 1C 1∩平面A 1B 1BA ＝A 1B 1，MH ⊂平面A 1B 1C 1，且MH ⊥A 1B 1， 所以MH ⊥平面A 1B 1BA ，即M 到平面A 1B 1BA 的距离为MH =MA 1sin π3=√32，又△ABB 1的面积S △ABB 1=12AB ⋅BB 1=2， 所以V M−ABB 1=13MH ⋅S △ABB 1=13×√32×2=√33，又V M−ABB 1=V B−MAB 1， 所以13S △AB 1M ⋅d =√33，解得d =2√55， 所以点B 到平面AB 1M 的距离为2√55． 19．（12分）独立事件是一个非常基础但又十分重要的概念，对于理解和应用概率论和统计学至关重要．它的概念最早可以追溯到17世纪的布莱兹•帕斯卡和皮埃尔•德•费马，当时被定义为彼此不相关的事件．19世纪初期，皮埃尔•西蒙•拉普拉斯在他的《概率的分析理论》中给出了相互独立事件的概率乘法公式．对任意两个事件A 与B ，如果P （AB ）＝P （A ）P （B ）成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称为独立．（1）若事件A 与事件B 相互独立，证明：A 与B 相互独立；（2）甲、乙两人参加数学节的答题活动，每轮活动由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为35，乙每轮答对的概率为23．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率．解：（1）证明：事件A 与事件B 相互独立，则P （AB ）＝P （A ）P （B ）， 又由B =A B +AB ，事件A B 和AB 互斥，则有P （B ）＝P （A B +AB ）＝P （AB ）+P （A B ）＝P （A ）P （B ）+P （A B ），变形可得：P （A B ）＝P （B ）﹣P （A ）P （B ）＝[1﹣P （A ）]P （B ）＝P （A ）P （B ）， 故事件A 与B 相互独立；（2）根据题意，设事件A 1、A 2分别表示甲答对1道、2道题目，事件B 1、B 2分别表示乙答对1道、2道题目，则P （A 1）＝2×35×（1−35）=1225，P （A 2）=35×35=925， P （B 1）＝2×23×（1−23）=49，P （B 2）=23×23=49， 若甲乙两人在两轮活动中答对3道题，即A 2B 1+A 1B 2，则甲乙两人在两轮活动中答对3道题的概率P ＝P （A 2B 1+A 1B 2）＝P （A 2B 1）+P （A 1B 2）=925×49+1225×49=2875． 20．（12分）某社区工作人员采用分层抽样的方法分别在甲乙两个小区各抽取了8户家庭，统计了每户家庭近7天用于垃圾分类的总时间（单位：分钟），其中甲小区的统计表如下，设x i，y i分别为甲，乙小区抽取的第i户家庭近7天用于垃圾分类的总时间，s x2，s y2分别为甲，乙小区所抽取样本的方差，已知x=18∑8i=1x i=200，s x2=18∑8i=1(x i−x)2=200，y=195，s y2=210，其中i＝1，2，⋯，8．（1）若a≤b，求a和b的值；（2）甲小区物业为提高垃圾分类效率，优先试行新措施，每天由部分物业员工协助垃圾分类工作，经统计，甲小区住户每户每天用于垃圾分类的时间减少了5分钟．利用样本估计总体，计算甲小区试行新措施之后，甲乙两个小区的所有住户近7天用于垃圾分类的总时间的平均值z和方差s z2．参考公式：若总体划为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，x1，s12；n，x2，s22，总的样本平均数为ω，样本方差为s2，则s2=mm+n [s12+(x1−ω)2]+nm+n[s22+(x2−ω)2]．解：（1）已知x=18∑8i=1x i=18(200+220+200+180+200+a+b+220)=200，整理得a+b＝380，①又s x2=18∑8i=1(x i−x)2=8[3×（200﹣200）2+2×（220﹣200）2+（180﹣200）2+（a﹣200）2+（b﹣200）2]＝200，整理得（a﹣200）2+（b﹣200）2＝400，②联立①②，解得a＝180，b＝200或a＝200，b＝180，因为a≤b，所以a＝180，b＝200；（2）设甲小区试行新措施之后，甲小区抽取的第i户家庭近7天用于垃圾分类的总时间为m i，此时m i＝x i﹣35，则m i=x−35＝165，s m2=s x2=200，所以z=116（8m+8y）=12（165+195）＝180，s z2=88+8[s m2+（m−z）2]+88+8[s y2+（y−z）]=12[200+（165﹣180）2]+12[210+（195﹣180）2]＝430．21．（12分）如图1，在等腰△ABC中，AC＝4，A=π2，O，D分别为BC、AB的中点，过D作DE⊥BC于E ．如图2，沿DE 将△BDE 翻折，连接BA ，BC 得到四棱锥B ﹣ACED ，F 为AB 中点．（1）证明：DF ⊥平面AOB ；（2）当OB =√2时，求直线BF 与平面BCD 所成的角的正弦值．（1）证明：因为DE ⊥BE ，DE ⊥OE ，且BE ∩OE ＝E ，BE 、OE ⊂平面BCE ， 所以DE ⊥平面BCE ，又OA ∥DE ，所以OA ⊥平面BCE ，设点P 是翻折前点B 所在的位置，则D 为AP 的中点， 因为F 为AB 的中点，所以DF ∥PB ，因为PB ⊂平面BCE ，所以OA ⊥PB ，所以OA ⊥DF ， 由题意知，DA ＝DB ，因为F 为AB 的中点，所以DF ⊥AB ， 又OA ∩AB ＝A ，OA 、AB ⊂平面AOB ， 所以DF ⊥平面AOB ．（2）解：以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，2√2），P （2√2，0，0），C （﹣2√2，0，0），D （√2，0，√2）， 由（1）知，DF ⊥平面AOB ，因为DF ∥PB ，所以PB ⊥平面AOB ，所以PB ⊥OB ， 又OB =√2=12OP ，所以∠POB ＝60°，所以B （√22，√62，0），F （√24，√64，√2）， 所以BF →=（−√24，−√64，√2），CD →=（3√2，0，√2），CB →=（5√22，√62，0），设平面BCD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅CD →=0n →⋅CB →=0，即{3√2x +√2z =05√22x +√62y =0， 令x ＝1，则y =53，z ＝﹣3，所以n →=（1，53，﹣3）， 设直线BF 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜BF →，n →＞|=|BF →⋅n →||BF →|⋅|n →|=|−√24+√64×5√3−3√2|(24)+(64)√1+(5√3)=4√3355，故直线BF 与平面BCD 所成的角的正弦值为4√3355． 22．（12分）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，O 为透视中心，平面内四个点E ，F ，G ，H 经过中心投影之后的投影点分别为A ，B ，C ，D ．对于四个有序点A ，B ，C ，D ，定义比值x =CACBDA DB叫做这四个有序点的交比，记作（ABCD ）． （1）证明：（EFGH ）＝（ABCD ）；（2）已知（EFGH ）=32，点B 为线段AD 的中点，AC =√3OB =3，sin∠ACOsin∠AOB =32，求cos A ．解：（1）证明：在△AOC 、△AOD 、△BOC 、△BOD 中，CA CB =S △AOC S △BOC =12OA⋅OCsin∠AOC 12OB⋅OCsin∠BOC =OAsin∠AOC OBsin∠BOC，DA DB=S △AOD S △BOD=12OA⋅ODsin∠AOD 12OB⋅ODsin∠BOD =OAsin∠AOD OBsin∠BOD，所以(ABCD)=CA CB DA DB=OAsin∠AOC OBsin∠BOC OAsin∠AOD OBsin∠BOD=sin∠AOC⋅sin∠BODsin∠BOC⋅sin∠AOD，又在△EOG 、△EOH 、△FOG 、△FOH 中，GE GF =S △EOG S △FOG =12OE⋅OGsin∠EOG 12OF⋅OGsin∠FOG =OEsin∠EOG OFsin∠FOG，HE HF=S △EOH S △FOH=12OE⋅OHsin∠EOH 12OF⋅OHsin∠FOH =OEsin∠EOH OFsin∠FOH，所以(EFGH)=GE GF HE HF=OEsin∠EOG OFsin∠FOG OEsin∠EOH OFsin∠FOH=sin∠EOG⋅sin∠FOHsin∠FOG⋅sin∠EOH ，又∠EOG ＝∠AOC ，∠FOH ＝∠BOD ，∠FOG ＝∠BOC ，∠EOH ＝∠AOD ， 所以sin∠AOC⋅sin∠BOD sin∠BOC⋅sin∠AOD=sin∠EOG⋅sin∠FOH sin∠FOG⋅sin∠EOH，所以（EFGH ）＝（ABCD ）．（2）由题意可得(EFGH)=32，所以(ABCD)=32，即CACB DA DB=32，所以CA CB ⋅DBDA=32，又点B 为线段AD 的中点，即DB DA=12，所以CACB=3，又AC ＝3，则AB ＝2，BC ＝1， 设OA ＝x ，OC ＝y 且OB =√3， 由∠ABO ＝π﹣∠CBO ， 所以cos ∠ABO +cos ∠CBO ＝0， 即2√3)222×2×√3+2√3)222×1×√3=0，解得x 2+2y 2＝15，①在△AOB 中，由正弦定理可得AB sin∠AOB =x sin∠ABO，②在△COB 中，由正弦定理可得OB sin∠BCO=y sin∠CBO，③且sin ∠ABO ＝sin ∠CBO ，②③得，x y=AB sin∠AOB⋅sin∠BCO OB=32×√3=√3，即x =√3y ，④由①④解得x =3，y =√3（负值舍去）， 即AO =3，OC =√3所以cosA =AO 2+AB 2−OB 22AO⋅AB =32+22−(√3)22×3×2=56．。
山东省济南市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题[含答案]
山东省济南市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则21i i=- A. 1 B. 1 C. 1 D. 1i i i i+--+--2．甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0．8，乙中靶的概率为0．9．甲乙各射击一次，则两人都中靶的概率为A ．0．26B ．0．72C ．0．8D ．0．983．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若 222b c a +=+，则角A 的大小为52 A. B. C. 6336D.ππππ4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A ．若，则m ⊥nB ．若 ，则,,m n αβαβ⊥⊂⊂,m m αβ⊥⊂αβ⊥C ．若，则m //nD ．若，则,m n αα ,m m αβ αβ5．2020年起，山东省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科日，考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目．某考生已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案，则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为A ．相互独立事件B ．对立事件C ．不是互斥事件D ．互斥事件但不是对立事件6．如图，A ，B 两点分别在河的两侧，为了测量A ，B 两点之间的距离，在点A 的同侧选取点C ，测得米，则A ，B45,105,100ACB BAC AC ︒︒∠=∠==两点之间的距离为A ． 100米B ． 100米23C ．50米D ．200米7．作三棱锥P —ABC 中．PA ⊥平面ABC，，则该三棱锥外按球的表面积为2AB AC PA BC ====8.32.8..23A C B D ππππ8．在△ABC 中，．P 为△ABC 所在平面上任意一点，则,22BAC AB AC π∠===的最小值为()PA PB PC '⋅+ A ．1B ．－C ．1D ．－212二、多项选择题：本题共1小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．在全国人民的共同努力下，特别是医护人员的奋力救治下，"新冠肺炎”疫情得到了有效控制．下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎"确诊人数的折线图．则下列关于甲、乙两省新增确诊人数的说法，正确的是A ．甲省的平均数比乙省低B ．甲省的方差比乙省大C ．甲省的中位数是27D ．乙省的极差是1210．已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是11 A. B. 0222112 D. 3333AD AB AC MA MB MC BM BA BD CM CA CD =+++==+=+ 11．任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成：z a bi =+,,a b R i ∈的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： (cos sin )z r i θθ=+，我们称这个结论为棣莫弗定理[(cos sin )]n n z r i θθ=+=(cos isin )()n r n n n N θθ++∈．根据以上信息，下列说法正确的是A ． 22||||z z =B ．当r ＝1，θ＝时，π331z =C 当r ＝1，θ＝时，π312z =-D ．当r ＝1，时，若n 为偶数，则复数z n 为纯虚数4πθ=12．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ， BC 的中点，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ， DF，EF 折起、使A ，B ，C 重合于点P ，得到如图2所示的三棱锥P －DEF ，则下列结论正确的是A ．PD ⊥EFB 平面PDE ⊥平面PDFC ．三面角P —EF —D 的余弦值为13D ．点P 到平面DEF 的距离为33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，其中i 为虚数单位，则的值为________43a i bi +=-,,a b R ∈||a bi +14．为做好"新冠肺炎"疫情肪控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告"制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36．3，36．1．36．4，36，7，36．5．36．6（单位：℃），则该组数据的第80百分位数为________15．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底而圆周上一点A 出发，绕圆维侧面一周，再次回到A 点，则该质点经过的最短路程为________16．在圆内接四边形ABCD 中，．则60,DAB BD ︒∠==∠ADB ＝________，若AC ＝4，则△BCD 面积的最大值为2________．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①PA ⊥平面ABC ，②∠ABC ＝60°，③点P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的垂心这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答．三棱锥P －ABC 中， PA ＝AB ＝AC ＝6．若________，求三棱锥P －ABC 的体积．注：如果选择多种条件组合分别解答，按第一种解答计分．18．（12分）已知向量．(1,2),(3,1)=-=-a b (1)若(＋λ) ⊥．求实数λ的值；a b a （2）若，求向量与的夹角．2-2==+c a b,d a b c d 19．（12分）4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长，右图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周课外阅读时长不足4小时的中学生有100人，求图中a ，b 的值；（2）试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；（3）为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从[10，12）和[12，14]两组中共抽取了6名学生参加座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2名学生来自不同组的概率．20．（12分）如图，在正三棱柱，中，D 为AC 的中点．111ABC A B C -(1)证明： AB 1∥平面BC 1D ；（2）证明：BD ⊥平面AA 1C 1C ；（3）若AA 1＝A B ．求直线BC 1与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．21．（12分）在△ABC 中，角A ，B ．C 所对的边分别为a ，b ，c ， D 为AB 的中点．(1)证明：CD =(2)已知a ＝4．b ＝6．CD ＝4，求△ABC 的面积．22．（12分）某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产其款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为A 等品，低于10分的为B 等品．厂家将A 等品售价定为2000元/件，B 等品售价定为1200元/件．下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：经计算得，其中为抽16161622221111119.97,()0.045161616i i i i i i x x s x x x x ======-=-=∑∑∑i x 取的第i 件产品的评分， i ＝1，2， (16)该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费1500万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0．05．已知该厂现有一笔1500万元的资金．（1）若厂家用这1500万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，（i ）估计改进后该生产线生产的产品中A 等品所占的比例；（ii ）估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差．（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为8．2%的理财产品，请你利用所学知识分析，将这1500万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？ （一年按365天计算）。
山东省济南市市中区实验中学2024届数学高一下期末统考试题含解析
山东省济南市市中区实验中学2024届数学高一下期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．己知ABC ∆的周长为20，内切圆的半径为3，7BC =， 则tan A 的值为（ ）A ．33B ．1C ．3D ．22．在ABC △中，3A π∠=，6,26BC AB ==，则C ∠=（ ）A ．4π或34πB ．34π C ．4π D ．6π 3．化简()1111232240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（ ） A ．a B ．b C ．abD ．b a4．若实数,x y 满足26403xy x x ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则41x y +的最小值为( ) A ．4B ．8C ．16D ．325．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( ) A ．B ．C ．D ．6．把十进制数15化为二进制数为 A ．1011 B ．1001 C ．1111D ．11107．已知直线()21:3120l x a y +--=，()21:103l x a y a +--=，若12//l l ，则a 的值为（ ） A ．1a =或2a =B ．1a =C ．2a =D ．2a =-8．若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-有零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．9[2,]4B ．[2,2]-C ．[2,2]-D ．9[2,]4-9．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅则的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
济南市高一下学期期末数学试卷(II)卷
16. （1分） (2016高二上·厦门期中) 已知关于x的不等式（a2﹣4）x2+（a+2）x﹣1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围________
三、 解答题 (共6题；共40分)
16-1、
三、 解答题 (共6题；共40分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
21-1、
22-1、
22-2、
20. （5分） 用图象解不等式．
①
② ．
21. （5分） 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB+ccosC=acosA，试判断△ABC的形状．
22. （10分） (2016高二上·南阳期中) 已知数列{an}满足：an≠0，a1= ，an﹣an+1=2an•an+1 ． （n∈N*）．
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 中， ， 则B=（ ）
A .
B . 或
C . 或
D .
4. （2分） 已知平面向量 ， 的夹角为60°， ， 则 （ ）
A . 2
B .
C ·汕头月考) 设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A . 63
B . 45
A . a•lgx＞b•lgx
B . ax2＞bx2
C . a2＞b2
D . a•2x＞b•2x
9. （2分） 在 中，若 ， 则 的外接圆半径是（ ）
A .
B .
C .
D .
山东省济南市实验中学高一数学理下学期期末试题含解析
山东省济南市实验中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，其中，且，则向量和的夹角是（）A. B. C. D.参考答案：B试题分析：由题意知，所以，设与的夹角为，则，，故选B．考点：1、向量的概念；2、向量的数量积．2. 的值为A．B．C．D．参考答案：D3. 若函数（且）经过点，则（A）（B）（C）（D）参考答案：C4. 定义算式?：x?y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）?（x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．D．参考答案：D【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由已知中算式?：x?y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a）?（x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：∵x?y=x（1﹣y），∴若不等式（x﹣a）?（x+a）＜1对任意x都成立，则（x﹣a）?（1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立解得故选D5. 某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程=﹣2x+a ，当气温为﹣4℃时，预测用电量均为（）A ．68度B．52度C．12度D．28度参考答案：A【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得==10，=40．∴（，）为：（10，40），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴=﹣2x+60，当x=﹣4时， =﹣2×（﹣4）+60=68．故选：A．6. 函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2π参考答案：C【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，求出函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴．【解答】解：对于函数y=2sin（x﹣），令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，可得它的图象的对称轴为x=kπ+，k∈Z，令k=0，可得它的一条对称轴是x=，故选：C．7. 10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )．A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a参考答案：D试题分析：：∵生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12总和为147，∴平均数a==14.7，样本数据17出现次数最多，为众数，即c=17；从小到大排列中间二位的平均数，即中位数b=15．∵17＞15＞14.7，∴c＞b＞a考点：众数、中位数、平均数8. 若点在函数的图象上，则函数的值域为A. B. C. D.参考答案：D略9. 如果函数f（x）=x2+bx+c对任意实数均有f（﹣x）=f（x），那么（）A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）B．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）C．f（﹣2）＜f（3）＜f （1）D．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）参考答案：D【考点】二次函数的性质．【分析】由条件可知f（x）为偶函数，b=0，从而得到当x＞0时，f（x）是单调递增，则f（﹣2）=f（2），由单调性，即可判断大小．【解答】解：∵函数f（x）=x2+bx+c对任意实数均有f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，b=0，∴f（﹣2）=f（2），当x＞0时，f（x）是单调递增，∵1＜2＜3，∴f（1）＜f（2）＜f（3），即f（1）＜f（﹣2）＜f（3），故选D．10. 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，记事件B为“落地时向上的数是偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（）A．A与D B．A与B C．B与C D．B与D参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某程序框图如图所示，若输出的，则自然数___▲.参考答案： 4由题意，可列表如下：S 0 1 3 6 10 … k 12345…由上表数据知，时，循环结束，所以的值为.12. 将函数的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的，再向右平移个单位，所得图像的解析式为，则函数的解析式为=。