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三角函数变换公式大全
三角函数变换公式大全这篇文章给大家分享三角函数的变换公式以及初中常用的三角函数公式，一起看一下具体内容。
三角函数变换公式三角函数乘积变换和差公式sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2cosAsinB=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2三角函数和差变换乘积公式sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)三角函数两角和与差公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cossinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)三角函数的转化公式sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαsin(π+α)=-sinαtanα=sinα/cosαtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα常用三角函数公式三角函数半角公式sin(A/2)=±√((1-cosA)/2)cos(A/2)=±√((1+cosA)/2)tan(A/2)=±√((1-cosA)/((1+cosA))三角函数倍角公式Sin2A=2SinA*CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)。
(完整版)三角恒等变换公式大全,推荐文档
三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。
常用三角函数转换公式
常用三角函数转换公式三角函数转换公式汇总锐角三角函数公式sinα=∠α的对边/斜边cosα=∠α的邻边/斜边tanα=∠α的对边/∠α的邻边cotα=∠α的邻边/∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2sin[(θ+a)/2]cos[(a-θ)/2]*2cos[(θ+a)/2]sin[(a-θ)/2]=sin（a+θ）*sin（a-θ）坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）,用字母i表示,即i=h/l,坡度的一般形式写成l:m形式,如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角）,那么i=h/l=tana.常用三角函数公式1.万能公式令tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)2.辅助角公式asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r) cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a3.两角和差公式：sin(AB)=sinAcosBcosAsinBcos(AB)=cosAcosBsinAsinBtan(AB)=(tanAtanB)/(1tanAtanB)cot(AB)=(cotAcotB1)/(cotBcotA)4.半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 5.积化和差sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina*sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/26.和差化积sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全1.正弦和余弦的平方和差关系：sin²x + cos²x = 1sin²x = 1 - cos²xcos²x = 1 - sin²x2.正弦和余弦的和差关系：sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin xsin(x - x) = sin x cos x - cos x sin xcos(x + x) = cos x cos x - sin x sin xcos(x - x) = cos x cos x + sin x sin x3.正切和余切的和差关系：tan(x + x) = (tan x + tan x) / (1 - tan x tan x)tan(x - x) = (tan x - tan x) / (1 + tan x tan x)cot(x + x) = (cot x cot x - 1) / (cot x + cot x)cot(x - x) = (cot x cot x + 1) / (cot x - cot x)4.正弦和余弦的二倍角关系：sin(2x) = 2sin x cos xcos(2x) = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x 5.正切和余切的二倍角关系：tan(2x) = (2tan x) / (1 - tan²x)cot(2x) = (cot²x - 1) / (2cot x)6.正弦和余弦的三倍角关系：sin(3x) = 3sin x - 4sin³xcos(3x) = 4cos³x - 3cos x7.正切和余切的三倍角关系：tan(3x) = (3tan x - tan³x) / (1 - 3tan²x)cot(3x) = (cot³x - 3cot x) / (3cot²x - 1)8.正弦和余弦的半角关系：sin(x/2) = ± √(1 - cos x) / 2cos(x/2) = ± √(1 + cosx) / 29.正切和余切的半角关系：tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x = sin x / (1 + cos x) cot(x/2) = (1 + cos x) / sin x = sin x / (1 - cos x) 10.和差的三角函数关系：sin x + sin x = 2 sin((x + x)/2) cos((x - x)/2) sin x - sin x = 2 cos((x + x)/2) sin((x - x)/2) cos x + cos x = 2 cos((x + x)/2) cos((x - x)/2) cos x - cos x = -2 sin((x + x)/2) sin((x - x)/2)这些是一些常见的三角恒等变换公式，应用在不同的数学问题和物理公式的推导中。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全三角函数是数学中的重要分支，它在许多科学与工程领域中具有广泛的应用。
而三角恒等变换公式是三角函数的重要性质之一。
它们可以将一个三角函数表达式转换为其他三角函数表达式，从而提供了在解决问题时的灵活性和简化计算的便利性。
在本文中，我们将介绍一些常用的三角恒等变换公式，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
1. 正弦、余弦和正切的平方和差公式：- 正弦的平方和差公式：sin²(A ± B) = sin²A*cos²B ±2*sinA*sinB*cosA*cosB- 余弦的平方和差公式：cos²(A ± B) = cos²A*cos²B -2*sinA*sinB*cosA*cosB- 正切的平方和差公式：tan²(A ± B) = (tan²A ± tan²B) / (1 ∓tanA*tanB)2. 正弦和余弦的倍角公式：- 正弦的倍角公式：sin2A = 2*sinA*cosA- 余弦的倍角公式：cos2A = cos²A - sin²A = 2*cos²A - 1 = 1 -2*sin²A3. 正切的倍角公式：- 正切的倍角公式：tan2A = (2*tanA) / (1 - tan²A)4. 正弦、余弦和正切的半角公式：- 正弦的半角公式：sin(A / 2) = ± √[(1 - cosA) / 2]- 余弦的半角公式：cos(A / 2) = ± √[(1 + cosA) / 2]- 正切的半角公式：tan(A / 2) = ± √[(1 - cosA) / (1 + cosA)]5. 正切的和差公式：- 正切的和公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA*tanB)6. 余弦的和差公式：- 余弦的和公式：cos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB7. 三角函数的倒数公式：- sin(-A) = -sinA，cos(-A) = cosA，tan(-A) = -tanA8. 三角函数的互余关系：- sin(π/2 - A) = cosA，cos(π/2 - A) = sinA，tan(π/2 - A) = 1/tanA9. 三角函数的余角关系：- sin(π - A) = sinA，cos(π - A) = -cosA，tan(π - A) = -tanA10. 三角函数的化简公式：- sin(2π - A) = -sinA，cos(2π - A) = cosA，tan(2π - A) = tanA这些三角恒等变换公式为解决三角函数相关的数学问题提供了便利，读者在学习和应用时可根据具体情况选择合适的公式进行推导和计算。
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常用三角不等式 1. 若 x (0,3)，贝V sinx x tanx 2. 若 x (0,3)，则 1 si nx cosx .2 三角变换知识点总结2. cos(3. tan(二倍角公式1.si n2)cos cos msin sin tan tan)1 mtan tan2sin cos同角三角函数关系 cot11. 倒数关系：sin csc 1， cos sec1， tan sin cos 2. 商数关系：tan ，cotcossin3. 平方关系：・2 2, 2 2/ , 22sin cos 1，1 tan sec ， 1 cot csc3. |sinx| | cos x | 1 简单三角方程的解 2. 3. cos2 2cossin 222cos1 1 2si n 22ta n 1 tan 2二倍角的余弦公式（）有以下常用变形:tan 2（规律:降序扩角，升幕缩角）21 cos2 2coscos22 sin 221 sin2 (sin cos )sin 2 (sin cos )21. sin sin k (1)k(k Z)2. cos cos 2k (kZ)3. tan tan k(k Z)两角和与差的公式 tan1. sin( )sin cos cos sin21 cos2cos ----------------1 cos2 sin 2sin 21 sin 2sin 2 1 cos2三角函数降幕公式1 . c 1. sin cos sin221.2 1 cos2 2. sin 22 1 cos23. cos 2三倍角公式 1. sin3 3s in 4si n 3 3 2. cos3 4cos 3cos 4si n si n()si n()33 4cos cos( )cos( )3 37. tan —2cos cossin 1 cos1 cos sin3. ta n3半角公式 1. sin 233ta n tan1 3tan2 tan tan (—3注：符号的选择由 一所在的象限确定 2万能公式2ta n1. si n2 ------------- 亍1 tan1 tan2 2. cos 2厂1 tan3. ta n2万能公式形式2ta n 1 tan 22：iSf =tan — ’72. cos —21 cos :2 3. ・2 sin 一1 cos224. 21 coscos2 2 5. 1 cos2sin 2 —2 6. 1 cos2cos 2 -2(I ) (3)2/sm a -i2 1 十T】+ tcin —’ 2 a 1-伽-| jcos a = ------------ - = ------ -1+tan 3^ l+r2lana =2t4和差化积公式1.sin sin 2si ncos22 2.sinsin2cossin22 3.coscos2 coscos224.cos cos 2si nsin2 2了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式:1.sin cos -sin( 2 )sin( ) 2. cossin1 si n(2 )sin()3. cos cos -cos( 2)cos( )4.sin sin-cos( 2)cos( )可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用 辅助角公式sin sin ------2sincos ----2 2 cos sin 2 a sinbsi na 2b 2 a sinb cos 2 2 a bsin sin ----- 2 sincos ----2 2cos — 2sina 2b 2 sin( )其中辅助角与点（a,b ）在同一象限，且ta na两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
三角恒等变换公式大全
三角恒等变换公式大全三角函数恒等变换是指将一个三角函数用其他三角函数表示的等式，称为三角函数的恒等变换公式。
通过恒等变换可以将复杂的三角函数表达式转化为简化的形式，从而方便计算和求解。
以下是一些常用的三角函数恒等变换公式：1.正弦函数的恒等变换公式：- 正余弦关系：$\sin^2x+\cos^2x=1$- 正弦的平方变换：$1-\cos^2x=\sin^2x$- 余弦的平方变换：$1-\sin^2x=\cos^2x$- 和差化积：$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$2.余弦函数的恒等变换公式：- 正余弦关系：$\sin^2x+\cos^2x=1$- 余弦的平方变换：$1-\sin^2x=\cos^2x$- 正弦的平方变换：$1-\cos^2x=\sin^2x$- 和差化积：$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$3.正切函数的恒等变换公式：- 正切的定义：$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$- 正切的倒数关系：$\tan x=\frac{1}{\cot x}$- 倍角公式：$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$- 和差化积：$\tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$4.余切函数的恒等变换公式：- 余切的定义：$\cot x=\frac{1}{\tan x}$- 余切的倒数关系：$\cot x=\frac{1}{\tan x}$- 倍角公式：$\cot 2x=\frac{\cot^2 x - 1}{2\cot x}$- 和差化积：$\cot(x\pm y)=\frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}$5.正割函数的恒等变换公式：- 正割的定义：$\sec x=\frac{1}{\cos x}$- 正割的倒数关系：$\sec x=\frac{1}{\cos x}$- 平方关系：$\sec^2x=1+\tan^2x$6.余割函数的恒等变换公式：- 余割的定义：$\csc x=\frac{1}{\sin x}$- 余割的倒数关系：$\csc x=\frac{1}{\sin x}$- 平方关系：$\csc^2x=1+\cot^2x$7.和差化积公式：- $\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$- $\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$- $\tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$ - $\cot(x\pm y)=\frac{\cot x\cot y \mp 1}{\cot y \pm \cot x}$8.二倍角公式：- $\sin 2x=2\sin x\cos x$- $\cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x$- $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$9.平方关系公式：- $\sin^2 x+\cos^2 x=1$- $1+\tan^2 x=\sec^2 x$- $1+\cot^2 x=\csc^2 x$10.二分公式：- $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$- $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$- $\tan^2 x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$以上是一些常用的三角函数恒等变换公式，这些公式在三角函数的计算和求解中经常被使用。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换，又称三角恒等式，是指数学中关于三角函数的一类等式。
它们具有很重要的作用，可以用来化简、证明以及推导其他数学公式。
本文将从基本的三角恒等变换开始，逐步展开，总结了一些常用的三角恒等变换公式。
1.余弦函数的基本恒等变换：(1)余弦函数的定义：cosθ = x / r(2)余弦函数的平方：cos^2θ + sin^2θ = 1(3)余弦函数的倒数：1 + tan^2θ = sec^2θ(4)余弦函数的和差化积：cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβcos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ(5)余弦函数的倍角化积：cos2θ = 2cos^2θ - 1cos2θ = 1 - 2sin^2θ(6)余弦函数的半角化和：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]2.正弦函数的基本恒等变换：(1)正弦函数的定义：sinθ = y / r(2)正弦函数的平方：sin^2θ + cos^2θ = 1(3)正弦函数的倒数：1 + cot^2θ = csc^2θ(4)正弦函数的和差化积：sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβsin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ(5)正弦函数的倍角化积：sin2θ = 2sinθ cosθ(6)正弦函数的半角化和：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]3.正切函数的基本恒等变换：(1)正切函数的定义：tanθ = sinθ / cosθ(2)正切函数的平方：tan^2θ + 1 = sec^2θ(3)正切函数的倒数：1 + tan^2θ = csc^2θ(4)正切函数的和差化积：tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ) tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα tanβ)(5)正切函数的倍角化积：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)(6)正切函数的半角化和：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]4.余割、正割和余切函数的基本恒等变换：(1)余割函数的定义：cscθ = 1 / sinθ(2)倍角化积：csc2θ = cscθ cotθcsc2θ = 1 + 2 cot^2θ(3)非倍角化积：csc^2θ - cot^2θ = 1(4)正割函数的定义：secθ = 1 / cosθ(5)倍角化积：sec2θ = secθ tanθsec2θ = 1 + 2 tan^2θ(6)非倍角化积：sec^2θ - tan^2θ = 1(7)余切函数的定义：cotθ = 1 / tanθ(8)正割与余切的乘积：cotθ = 1 / tanθcotθ = cosθ / sinθ这些三角恒等变换公式是数学中非常基础且常用的，掌握它们可以更加灵活地运用三角函数进行计算操作。
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三角变换知识点总结常用三角不等式 1. 若(0,)2x π∈，则sin tan x x x << 2. 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤3. |sin ||cos |1x x +≥ 同角三角函数关系1. 倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα2. 商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =3. 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+简单三角方程的解1. sin sin (1)()kk k Z αβαπβ=⇔=+-∈ 2. cos cos 2()k k Z αβαπβ=⇔=±∈ 3. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇔=+∈两角和与差的公式1. sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=⋅±⋅2. cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=⋅⋅m3. tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=⋅m二倍角公式1. αααcos sin 22sin =2. ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ------)(* 3. ααα2tan 1tan 22tan -=二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降序扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-三角函数降幂公式1. 1sin cos sin 22ααα=2. 21cos2sin 2αα-=3. 21cos 2cos 2αα+=三倍角公式1. 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+2. 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+ 3. 323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+- 半角公式 1. 1cos sin22αθ-=2. 1cos cos 22αθ+=±3. 21cos sin22αθ-=4. 21cos cos22αθ+=5. 21cos 2sin2θθ-= 6. 21cos 2cos2θθ+=7. 1cos sin 1cos tan21cos 1cos sin θθθθθθθ--=±==++注：符号的选择由2θ所在的象限确定 万能公式 1. ααα2tan 1tan 22sin +=2. ααα22tan 1tan 12cos +-=3. ααα2tan 1tan 22tan -=万能公式形式2：和差化积公式1. 2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2. 2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-3. 2cos2cos2cos cos βαβαβα-+=+4. 2sin2sin2cos cos βαβαβα-+-=-了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：2sin 2cos 2cos 2sin22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-++= 2sin 2cos 2cos 2sin22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=⎪⎭⎫⎝⎛--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。
2cos 2cos 2cos 2cos22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=⎪⎭⎫⎝⎛-++=2cos 2cos 2cos 2cos 22cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛--+=两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。
积化和差公式1. [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ 2. [])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 3. [])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 4. [])cos()cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用 辅助角公式sin sin a b θθθθ⎫+=+⎪⎭)θϕ=+注意：其中辅助角ϕ与点),(b a 在同一象限，且ab =ϕtan 22sin b a b +=ϕ，22cos b a a +=ϕ，ab =ϕtan特殊情况：sin cos 4πθθθ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭，sin 2sin 3πθθθ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭三角函数中的特殊等式1. ()()22sin sin sin sin αβαβαβ+-=-2. ()()2222cos cos cos sin cos sin αβαβαββα+-=-=-3. cot tan 2cot 2ααα-= 三角函数求值常见公式变形1. ()()()sin tan tan tan 1tan tan cos cos x y x y x y x y x y±±=±=m2.1tan tan 1tan 4x x x π±⎛⎫=± ⎪⎝⎭m 3. 21sin 2(sin cos )ααα±=±4.cos sin 22θθ==±5. 11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα++=L三角变换更一般的方法1. 角的变换：包括角的分解和角的组合， 如()ααββ=+-，222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，424x x πππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，22αα=⋅等 2. 项的分拆3. 名的变化：化弦或化切可以减少函数的种类，化异名为同名，对齐次三角函数式常作化切处理4. 次数的变换：升、降幂公式5. 形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算6. 常数代换：如1的活用等正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径）正弦定理的变形：sin sin sin sin a b A B a b A B ++=--，sin sin a Ab B=， 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+= B ac c a b cos 2222⋅-+= C ab b a c cos 2222⋅-+= 变形：222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=常见结论① 22260C c a b ab ∠=︒⇔=+- ② 222120C c a b ab ∠=︒⇔=++③22230C c a b ∠=︒⇔=+- ④222150C c a b ∠=︒⇔=++ ⑤22245C c a b ∠=︒⇔=+- ⑥22245C c a b ∠=︒⇔=++判断三角形形状形状包括：正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形. 判断形状时，将已知条件转化为边边关系，或将已知条件转化为角角关系 若c 为最大边1. 222a b c ABC +>⇔∆为锐角三角形 2. 222a b c ABC +=⇔∆为直角三角形 3. 222a b c ABC +<⇔∆为钝角三角形注：在ABC ∆中，sin 2sin 2A B =，可以得出22A B =或22A B π=-；而cos2cos2A B =可以得出22A B =，即A B = 三角形面积公式已知ABC ∆三条边分别为a b c 、、，R 为ABC ∆外接圆半径，r 为ABC∆内接圆半径，()12p a b c =++ 1. 12a S a h =g 2. 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===3. 4abcS R=4. 22sin sin sin S R A B C =5. 222sin sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin a B C b A C c A BS A B C===6. 111222S ar br cr pr =++= （注：将三角形面积分成三个小三角形面积）7. ()()()S p p a p b p c =--- 海伦公式8. ()()2212S AB ACAB AC=-u u u r u u u r u u u r u u u r g g三角形中常见规律1. 射影定理：在ABC ∆中，cos cos b a C c A =⋅+⋅，…2. 在ABC ∆中，sin sin A B A B <⇔<3. 在ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、成等差数列=60B ⇔︒4. ABC ∆为正三角形A B C ⇔∠∠∠、、成等差数列，边a b c 、、成等比数列 三角形中的恒等式三角形内角和定理：在ABC ∆中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+ （看似简单，却经常使用）以下各式一般都由三角形内角和定理推出(1) ()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=- (2) sin cos 22A B C +=，cos sin 22A B C +=，tan cot 22A B C+= (3) sin sin sin 4cos cos cos 222A B CA B C ++=(4) cos cos cos 14sin sin sin 222A B CA B C ++=+(5) sin 2sin 2sin 24sin sin sin A B C A B C ++=(6)cos2cos2cos214cos cos cos A B C A B C ++=--(7) 222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+ (8) 222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=- (9) tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅注：由()C A B π=-+两边取正切 (10) tantan tan tan tan tan 1222222A B B C C A++= 注：由222C A B π+=-两边取正切解三角形常见的类型及解法在三角形的 6 个元素中要知 3 个才能求解 1. 已知：一边和两角（如a ，B ，C ）一般解法：由 A+B+C=π，求∠A ；由正弦定理求出b ，c 在有解时只有一解2. 已知：两边和夹角（如a ，b ，C ）一般解法：由余弦定理求出第三边；由正弦定理求出小边所对的角； 再由A+B+C=π求出另一角. 在有解时只有一解 3. 已知：三边（如a ，b ，c ）一般解法：由余弦定理求出∠A 、∠B ； 再利用A+B+C=π求出∠C 在有解时只有一解 4. 已知：两边和其中一边的对角（如a ， b ，A ）一般解法：由正弦定理求出∠B ；利用A+B+C=π求出∠C ； 再利用正弦定理或余弦定理求c ，在有解时可有一解、两解或无解 三角形存在性讨论已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有一解、两解或无解。