求最大利润问题
最大利润问题

当商店卖两种牌子的冻果汁时,
如何取得最大利润
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁,当地牌子的进价每听30美分,外地牌子的进价每听40美分.店主估价,如果当地牌子的每听卖x美分,外地牌子每听卖y美分,则每天可卖出y x 4570+-听当地牌子的果汁, y x 7680-+听外地牌子的果汁.
问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益? 解:既然总收益为当地牌子果汁收益与外地
牌子果汁收益之和,所以每天总收益为二元
函数:
)7680)(40()4570)(30(),(y x y y x x y x f -+-++--=
于是求每天最大的总收益,就是求二元函数的最大值
),(y x f
解题过程
求),(y x f 的偏导数,得
201010-+-='y x f x
2401410+-='y x f y
令0,0='='y x f f 且
则有驻点:
x=53
Y=55
求二阶偏导数在(53,55)的值: 由多元函数求极值方法,由于
))(()(2yy xx xy
f f f ''''-'' 140100-=
040<-=
010<-=''xx
f
所以当
x=53 (美分)
y=55 (美分)
时,小店可取得最大收益.。
二次函数最大利润问题

二次函数最大利润问题44.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)45.某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.(1)设每天盈利w元,求出w关于x的函数关系式,并说明每天盈利是否可以达到8000元?(2)若该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?46.某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=-10x+500(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)47.某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售,一天可售出100件,后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低2元,其销量可增加10件.(1)求商场经营该商品原来一天可获利润多少元?(2)设后来该商品每件降价x元,商场一天可获利润y元.①若商场经营该商品一天要获利润4320元,则每件商品应降价多少元?②求出y与x之间的函数关系式,当x取何值时,商场获利润最大?并求最大利润值.48.某工艺品厂生产一款工艺品.已知这款工艺品的生产成本为每件元.经市场调研发现:该款工艺品每天的销售量件与售价元之间存在着如下表所示的一次函数关系.(1)求销售量件与售价元之间的函数关系式;(2)设每天获得的利润为元,当售价为多少时,每天获得的利润最大?并求出最大值.49.某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件。
求利润最大值的公式

求利润最大值的公式
求利润最大值的公式一般采用最优化理论来求解。
其中,利用数
学最优化方法可以解决多余变量、非线性及不可微分函数的最优化问题,也即求利润最大化的问题。
具体的求利润最大值的公式可以表示为:
有:n个决策变量:x1, x2, x3 ……xn;目标函数:Z=f(x1,
x2, x3 ……xn);因变量约束条件:gi(x1, x2, x3 ……xn)≤0
(i=1,2,3……m)
求解最优化问题即求满足所有约束条件和目标函数最大值的决策
变量值,即求最大利润z* 。
求解利润最大化问题,可以采用数学规划中的拉格朗日乘子法,
即求解其对应的对偶问题。
由拉格朗日乘子法可以得出求利润最大值
的公式为:
构造拉格朗日函数:L(x,λ)=f(x)+∑λi gi(x);
令L(x,λ)=0,即可求出最大值z*
这里,x表示一系列的决策变量,λ表示一系列的拉格朗日乘子,gi(x)表示约束条件,f(x)表示目标函数,利润最大值z*可以求解如下:
z* = max{f(x)}
s.t. gi(x)≤0 (i=1,2,3……m)
尤其在面对多变量、非线性及不可微分的情况下,以上的拉格朗
日乘子法是十分有效的,可以得到准确的求利润最大值的公式。
二次函数利润最大问题

1. (2011湖南怀化,16,3)出售某种手工艺品,若每个获利x 元,一天可售出(8-x )个,则当x =________元时,一天出售该种手工艺品的总利润y 最大.【答案】4【思路分析】总利润=单件产品利润×销售数量,因此y =x (8-x )=-(x -4)2+16,当x =4时,总利润y 有最大值16.【方法规律】①了解总利润的计算方法;②运用配方法求二次三项式的最值是解本题的难点;③解实际问题,要考虑所求的解是否符合实际意义.【易错点分析】配方过程易出现错误.【关键词】二次函数,二次函数与实际问题.【推荐指数】★★★☆☆【题型】常规题1. (2011广东佛山,24,10)商场对某种商品进行市场调查,1至6月份该种商品的销售情况如下:①销售成本p (元/千克)与销售月份x 的关系如图所示:②销售收入q (元/千克)与销售月份x 满足q=-32x+15 ③销售量m (千克)与销售月份x 满足m=100x+200.试解决以下问题:(1)根据图形,求与p 与x 之间的函数关系式:(2)求该种商品每月的销售利润y (元)与销售月份X 的函数关系式,并求出哪个月的销售利润最大?【答案】解:(1)根据图形可知;p 与x 之间的关系符合一次函数.故可设为p=kx+b ,并有946k b k b =+⎧⎨=+⎩解得110k b =-⎧⎨=⎩故p 与x 的函数关系式为p=-x +10.(2)根据题意,月销售利润y=(q-p)m=[(-32x+15)-(-x+10)](100x+200),化简得y=-50x²+400x+10000,所以4月份销售利润最大。
【思路分析】(1)观察图象,可以判断p 与x 之间的关系符合一次函数,于是设出其解析式,选取其中两组点坐标,利用待定系数法求解.(2)依题意,有月销售利润y=(q-p)m ,进而可以得到二次函数,并利用二次函数的性质求解.【方法规律】利用对问题的转化和待定系数法,结合函数性质求解.【易错点分析】对于(2)容易错误地认为销售利润y=pm.【关键词】一次函数、二次函数的应用 【难度】★★★★☆ 【题型】好题、综合题.3. (2011湖北荆州,23,10分)(本题满分10分)2011年长江中下游地区发生了特大旱情,为抗旱保丰收,某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法,其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.16p (元/千克)x (月份) 49o型 号金 额Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 投资金额x (万元)x 5 x 2 4 补贴金额y (万元) y 1=kx(k≠0)2 y 2=ax 2+bx(a≠0) 2.4 3.2 (1)分别求出1y 和2y 的函数解析式;(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买,请你设计一个能获得最大补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额.【答案】解:(1)由题意得:①5k =2,k =52 ∴x y 521= ②⎩⎨⎧=+=+2.34164.224b a b a ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=5851b a ,∴x x y 585122+-= (2)设购Ⅱ型设备投资t 万元,购Ⅰ型设备投资(10-t )万元,共获补贴Q 万元 ∴t t y 524)10(521-=-=,t t y 585122+-= 529)3(5158515242221+--=+--=+=t t t t y y Q ∴当t =3时,Q 有最大值为529,此时10-t =7(万元) 即投资7万元购Ⅰ型设备,投资3万元购Ⅱ型设备,共获最大补贴5.8万元.【思路分析】第(1)小题考查学生求函数解析式的能力,坡度设置合理,学生上手容易,只需根据函数的解析式,直接代入就可求出,对于(2)主要考查了学生自己用函数关系表示题目中的数量关系,并进一步求二次函数的极值的方法.【方法规律】掌握待定系数法求解析式的基本方法,以及求二次函数最值的方法,即当ab x 2-=时,y 有最大(小)值a b ac 442-. 【易错点分析】对于第(2)不能正确列出函数关系式【关键词】待定系数法求函数解析式 二次函数的极值【推荐指数】★★★☆☆【题型】常规题 好题4. (2011湖北随州,23,12分)我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入x 万元,可获得利润()216041100P x =--+(万元).当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入x 万元,可获利润()()299294101001601005Q x x =--+-+(万元) ⑴若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少?⑵若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?⑶根据⑴、⑵,该方案是否具有实施价值?【答案】解:⑴当x =60时,P 最大且为41,故五年获利最大值是41×5=205万元. ⑵前两年:0≤x ≤50,此时因为P 随x 增大而增大,所以x =50时,P 值最大且为40万元,所以这两年获利最大为40×2=80万元.后三年:设每年获利为y ,设当地投资额为x ,则外地投资额为100-x ,所以y =P +Q =()216041100x ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦+2992941601005x x ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦=260165x x -++=()2301065x --+,表明x =30时,y 最大且为1065,那么三年获利最大为1065×3=3495万元,故五年获利最大值为80+3495-50×2=3475万元.⑶有极大的实施价值.【思路分析】(1)由代数式()216041100P x =--+可知当x =60时,可获得利润最大值,即可求出5年所获利润的最大值;3495万元.所以有实施价值.(2)前两年得利润加上后三年的利润再除去前两年每年拨出的利润50万元即可.(3)不开发5年所获利润的最大值是205万元;若按规划实施,5年所获利润(扣除修路后)的最大值是3475元,有极大的实施价值.【方法规律】二次函数的实际应用问题的解题关键是理解题意,找到合适函数;取得最大值,是解此题的关键,还要注意后三年的最大值的求解方法,要考虑其它的费用.【易错点分析】配方时易出现计算错误.6. (2011江苏常州,26,7分)某商店以6元/千克的价格购进某干果1140千克,并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售,这批干果销售结束后,店主从销售统计中发现:甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销售量,且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销售的第x 天的总销售量1y (千克)与x 的关系为2140y x x =-+;乙级干果从开始销售至销售的第t 天的总销售量2y (千克)与t 的关系为22y at bt =+,且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:t 1 2 32y21 44 69 (1)求a 、b 的值.(2)若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛利润为多少元?(3)此人第几天起乙级干果每天的销售量比甲级干果每天的销售量至少多千克?(说明:毛利润=销售总金额-进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计.)【答案】(1)选取表中两组数据,如当t=1时,y 2=21当t=2时,y 2=44;分别代入22y at bt =+,得⎩⎨⎧+=+=ba b a 244421,解得a=1,b=20. (2)设甲级干果与乙级干果n 天销完这批货.则1140204022=+++-n n n n ,即60n=1140,解之得n=19,当n=19时,1399y =,2y =741.毛利润=399×8+741×6-1140×6=798(元).(3)第n 天甲级干果的销售量为-2n+41,第n 天乙级干果的销售量为2n+19.(2n+19)-(-2n+41)≥6解之得n≥7.【思路分析】(1)选取表中两组数据,求得a=1,b=20.(2)设n 天消完这批货,根据“甲级干果销售量+乙级干果销售量=总量”可求出n ,计算出销售量,从而可求出毛利润.(3)用前n 天的销售量减去前(n-1)天的销售量,即可求出甲、乙两种干果第n 天的的销售量,从而可列出不等式求解.【方法规律】本题第(1)问考查利用待定系数法,求二次函数关系式;(2)、(3)需要根据题目中提供的有关信息建立数学模型,进而解决问题.【易错点分析】第n 天的销售量会直接用总的销售量除以天数,从而导致错误.【关键词】待定系数法、二次函数【推荐指数】★★★☆☆【题型】应用题7. (2011江苏徐州,25,8分)某网店以每件60元的价格购进一批商品,若以单价80元销售,每月可售出300件.调查表明:单价每上涨1元,该商品每月的销售量就减少10件.(1)请写出每月销售该商品的利润y (元)与单价上涨x (元)间的函数关系式;(2)单价定为多少元时,每月销售商品的利润最大?最大利润为多少?【答案】(1)y=(x -60)[300-10(x -80)]=(x -60)(300-10x+800)=(x -60)(1100-10x )=210170066000x x -+-即y=210170066000x x -+-(2)y=210170066000x x -+-=210(85)6250x --+.因为-10<0,所以当x =85时,y 有最大值,y 最大值=6250.即单价定为85元时,每月销售商品的利润最大,最大利润为6250元.【思路分析】(1)上涨x 元后,所销售的件数是[300-10(x -80)];每件的销售利润为(x -60)所以y=(x -60)[300-10(x -80)],整理得y=210170066000x x -+-;(2)根据二次函数的配方法可以求得最大利润.【方法规律】本题是综合考查二次函数的最值问题,需要熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题.要注意解题过程的完整性.【易错点分析】每件销售利润=每件销售收入-每件购进成本,这里销售利润只与进价 60元,不要把利润与定价80直接联系起来误把利润写成(x -80)元.【关键词】二次函数的应用.【推荐指数】★★★★★9. (2011山东菏泽,20,9分)我市一家电子计算器专卖店每只进价13元,售价20元,多买优惠 ;凡是一次买10只以上的,每多买1只,所买的全部计算器每只就降低0.10元,例如,某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1(元),因此,所买的全部20只计算器都按照每只19元计算,但是最低价为每只16元.(1) 求一次至少买多少只,才能以最低价购买?(2) 写出该专卖店当一次销售x (只)时,所获利润y (元)与x (只)之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(3)若店主一次卖的只数在10至50只之间,问一次卖多少只获得的利润最大?其最大利润为多少?【答案】解:(1)设一次购买x 只,才能以最低价购买,则有:0.1(x -10)=20-16,解这个方程得x =50;答:一次至少买50只,才能以最低价购买.(2) 220137(001[(2013)0.1(10)]8(1050)101613=3(50)x x x x y x x x x x x x x -=⎧⎪⎪=---=-+⎨⎪⎪-⎩<≤1)<<≥. (说明:因三段图象首尾相连,所以端点10、50包括在哪个区间均可)(3)将21810y x x =-+配方得21(40)16010y x =--+,所以店主一次卖40只时可获得最高利润,最高利润为160元.(也可用公式法求得)【思路分析】(1)由题意知最低价是16元,则可优惠4元,凡是一次买10只以上的,每多买1只,所买的全部计算器每只就降低0.10元,可设一次购买x 只,才能以最低价购买,则可列方程0.1(x -10)=20-16求解;(2)由题意可知分3种情况,当0<x ≤10时不优惠,当10<x <50时,每多买1只,所买的全部计算器每只就降低0.10元,当x ≥50时,每只都是最低价16元;(3)当只数在10至50只之间时,y 是x 的二次函数,求出最大值即可.【方法规律】本题是考查学生用方程,函数的思想解决实际问题,本题关键要想到由自变量的取值不同分情况讨论.【易错点分析】学生不易想到分类讨论的思想【关键词】一元一次方程,函数,分类讨论【推荐指数】★★★★☆【题型】、新题,好题,难题10.(2011山东泰安,28 ,10分)某商店经营一种小商品,进价为每件20元,据市场分析,在一个月内,售价定为每件25元时,可卖出105件,而售价每上涨1元,就少卖5元.(1)当售价定为每件30元时,一个月可获利多少元?(2)当倍价定为每件多少元时,一个月的获利最大?最大利润是多少元?【答案】(1)获利:(30-20)[105-5(30-25)]=800(元)(2)设售价为每件x 元时,一个月的获利为y 元由题意,得:y =(x -20)[105-5(30-25)]=-5x 2+330x -4600=-5(x -33)2+845当x =33时,y 的最大值是845故当售价为定价格为33元时,一个月获利最大,最大利润是845元.【思路分析】(1)可根据题意列出算术,并进行计算;(2)根据题意列出二次函数关系式,用配方法求得最值.【方法规律】考查了有理数的运算,二次函数最值的求法,运用了配方法求二次函数的最大值.【易错点分析】 最值时,凭直觉求得;列错算式.【关键词】二次函数的最值【推荐指数】★☆☆【题型】常规题.11. (2011山东潍坊,22,10分)2010年上半年,某种农产品受不良炒作的影响,价格一路上扬,8月初国家实施调控措施后,该农产品的价格开始回落.其中,1月份至7月份,该农产品的月平均价格y 元/千克与月份x 呈一次函数关系;7月份至12月份,月平均价格元/千克与月份x 呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.(1)分别求出当1≤x ≤7和7≤x ≤12时,y 关于x 的函数关系式;(2)2010年的12个月中,这种农产品的月平均价格哪个月最低?最低为多少?(3)若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格,月平均价格高于年平均价格的月份有哪些?【解】(1)当17x ≤≤时,设y kx m =+,将点(1,8)、(7,26)分别代入y kx m =+,得8,726.k m k m +=⎧⎨+=⎩解之,得5,3.m k =⎧⎨=⎩ ∴函数解析式为35y x =+.当712x ≤≤时,设2y ax bx c =++,将(7,26)、(9,14)、(12,11)分别代入2y ax bx c =++,得: 49726,81914,1441211.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之,得1,22,131.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴函数解析式为222131y x x =-+.(2)当17x ≤≤时,函数35y x =+中y 随x 的增大而增大,∴当1x =最小值时,3158y =⨯+=最小值.当712x ≤≤时,()22221311110y x x x =-+=-+, ∴当11x =时,10y =最小值.所以,该农产品平均价格最低的是1月,最低为8元/千克.(3)∵1至7月份的月平均价格呈一次函数,∴4x =时的月平均价格17是前7个月的平均值.将8x =,10x =和11x =分别代入222131y x x =-+,得19y =,11y =和10y =. ∴后5个月的月平均价格分别为19,14,11,10,11. ∴年平均价格为17719141110114615.3123y ⨯+++++==≈(元/千克). 当3x =时,1415.3y =<,∴4,5,6,7,8这五个月的月平均价格高于年平均价格.【思路分析】(1)当1≤x ≤7时,y 与x 间成一次函数关系,当7≤x ≤12时,y 与x 间成二次函数关系,运用待定系数法可求出相应的函数关系式.(2)分别结合一次函数与二次函数的性质,可确定在(1)中所求得的两个函数解析式中y 的最小值,由此可以进行分析判断.(3)要求年平均价格,需要知道该年月平均价格的和,由于1月份至7月份月平均价格呈一次函数,所以可取4x =时的月平均价格作为前7个月的平均值,在后5个月中,9月和12月的月平均价格一直,而其余3个月(8月,10月,11 月)的月平均价格可利用(1)中所求得的函数解析式求得.求出年平均价格后,把每月的平均价格与之相比即可作出判断.【规律总结】对于分段函数,在确定函数解析式时,要根据自变量的取值范围确定相对应的函数值,运用待定系数法确定函数解析式,利用函数解析式确定函数的最值时,要充分利用相应函数的性质.【易错点分析】计算量较大,在具体计算时易出现数据错误.【关键词】待定系数法,一次函数,二次函数,最值问题,平均数【推荐指数】★★★★☆【题型】新题,易错题13. (2011重庆,25,10分)某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件.受美元走低的影响,从去年1至9月,该配件的原材料价格一路攀升,每件配件的原材料价格y 1(元)与月份x (1≤x ≤9,且x 取整数)之间的函数关系如下表:月份x 1 2 3 45 6 7 8 9 价格y 1(元/件) 560 580 600620 640 660 680 700 720 随着国家调控措施的出台,原材料价格的涨势趋缓,10至12月每件配件的原材料价格y 2(元)与月份x (10≤x ≤12,且x 取整数)之间存在如图所示的变化趋势:(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,直接写出y1与x之间的函数关系式,根据如图所示的变化趋势,直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式;(2)若去年该配件每件的售价为1000元,生产每件配件的人力成本为50元,其它成本30元,该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1(1≤x≤9,且x取整数),10至12月的销售量p2(万件)p2=-0.1x+2.9(10≤x≤12,且x取整数).求去年哪个月销售该配件的利润最大,并求出这个最大利润;(3)今年1至5月,每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元,人力成本比去年增加20%,其它成本没有变化,该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%,与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1 a%.这样,在保证每月上万件配件销量的前提下,完成1至5月的总利润1700万元的任务,请你参考以下数据,估算出a 的整数值.(参考数据:992=9801,982=9604,972=9409,962=9216,952=9025) 【解】(1)y1与x之间的函数关系式为y1=20x+540,y2与x之间满足的一次函数关系式为y2=10x+630.(2)去年1至9月时,销售该配件的利润w=p1(1000-50-30-y1)=(0.1x+1.1)(1000−50−30−20x−540)=(0.1x+1.1)(380−20x)=-2x2+160x+418=-2( x-4)2+450,(1≤x≤9,且x取整数)∵-2<0,1≤x≤9,∴当x=4时,w最大=450(万元);去年10至12月时,销售该配件的利润w=p2(1000-50-30-y2)=(-0.1x+2.9)(1000-50-30-10x-630)=(-0.1x+2.9)(290-10x)=( x-29)2,(10≤x≤12,且x取整数),当10≤x≤12时,∵x<29,∴自变量x增大,函数值w减小,∴当x=10时,w最大=361(万元),∵450>361,∴去年4月销售该配件的利润最大,最大利润为450万元.(3)去年12月份销售量为:-0.1×12+0.9=1.7(万件),今年原材料的价格为:750+60=810(元),今年人力成本为:50×(1+20﹪)=60(元),由题意,得5×[1000(1+a﹪)-810-60-30]×1.7(1-0.1a﹪)=1700,设t= a﹪,整理,得10t2-99t+10=0,解得t=99940120,∵972=9409,962=9216,而9401更接近9409.∴9401=97.∴t1≈0.1或t2≈9.8,∴a1≈10或a2≈980.∵1.7(1-0.1a ﹪)≥1,∴a 2≈980舍去,∴a ≈10.答:a 的整数值为10.【思路分析】(1)用待定系数法求一次函数关系式;(2)分时间段求出销售该配件的利润w 关于的函数,再求出各自的最大值,最后通过比较求出去年12个月中利润的最大值;(3) 根据1至5月的总利润1700万元列一元二次方程,通过一元二次方程的解找出符合条件的答案.【方法规律】本题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式、列代数式求二次函数的解析式,列一元二次方程求符合条件的解、二次函数的最值、合理估算等代数知识,采用了先局部后整体的思维策略解决问题,用到了待定系数法、方程思想、函数思想等数学思想方法,是一道综合性较强的题目.【易错点分析】不会分析分时间段列出二次函数的解析式,不会求分段函数的最值,不会根据题意列一元二次方程.【关键词】一次函数,二次函数及最值,一元二次方程 【难度】★★★★★ 【题型】常规题,易错题,难题,新题,综合题15. (2011湖北黄冈,23,12分)我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为:每投入x 万元,可获得利润()216041100P x =--+(万元).当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资,在实施规划5年的前两年中,每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的3年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在外地销售的投资收益为:每投入x 万元,可获利润()()299294101001601005Q x x =--+-+(万元) ⑴若不进行开发,求5年所获利润的最大值是多少?⑵若按规划实施,求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少?⑶根据⑴、⑵,该方案是否具有实施价值?【答案】解:⑴当x=60时,P 最大且为41,故五年获利最大值是41×5=205万元. ⑵前两年:0≤x ≤50,此时因为P 随x 增大而增大,所以x=50时,P 值最大且为40万元,所以这两年获利最大为40×2=80万元.后三年:设每年获利为y ,设当地投资额为x,则外地投资额为100-x ,所以y=P +Q =()216041100x ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦+2992941601005x x ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦=260165x x -++=()2301065x --+,表明x=30时,y 最大且为1065,那么三年获利最大为1065×3=3495万元,故五年获利最大值为80+3495-50×2=3475万元.⑶有极大的实施价值.【思路分析】(1)根据题意把x = 60代入解析式就可以计算求出最大值;(2)根据二次函数的性质,利用其性质求解;(3)通过比较利润即可明晰何种方案的实施价值较大。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题

变式训练1.为了扩大内需,让惠于农民,丰富农民的业余生活,鼓励送彩电下乡,国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴,规定每购买一台彩电,政府补贴若干元,经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系,随着补贴款额x的不断增大,销售量也不断增加,但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
(1)在政府未出补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元?,(2)在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式;(3)要使该商场销售彩电的总收益W(元)最大,政府应将每台补贴款额x定为多少?并求出总收益w的最大值。
题型三:实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ,宽80m 的空地,现将其建成花园广场,设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域(四块绿化区域是全等矩形),空白区域为活动区域,且四周出口一样宽,宽度不小于50 m ,不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元,绿化区域每平方米造价50元。
(1)设其中一块绿化区域的长边长为xm ,写出工程总造价y (元)与x ( m )的函数式系式(写出x 的取值范围); (2)如果小区投资46.9万元,问能否完成工程任务?若能,请写出x 为整数的所有工程方案;若不能,请说明理由。
(参考数据:732.13 )一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表:产品每件售价(万元)每件成本(万元)每年其他费用(万元)每年最大产销量(件)甲 6 a20 200乙20 10 40+0.05x280其中a为常数,且3≤a≤5。
(1)若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式;(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由。
二次函数最大利润求法经典

分析:本题用到的数量关系是:(1)利润=售价-进价(2)销售总利润=单件利润×销售数量问题1:售价为x 元时,每件的利润可表示为 (x-40)问题2:售价为x 元,售价涨了多少元?可表示为 (x-60)问题3:售价为x 元,销售数量会减少,减少的件数为 -60202x ⨯ (件) 问题4:售价为x 元,销售数量为y (件),那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯= 30010(60)x --= 10900x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩ 自变量x 的取值范围是 60x ≥问题4:售价为x 元,销售数量为y (件),销售总利润为W (元),那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅= (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-问题5:售价为x 元,销售总利润为W (元)时,可获得的最大利润是多少?因为 (40)W x y =-⋅= (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知,当售价为65元时,可获得最大利润,且最大利润为6250元分析:本题用到的数量关系是:(1)利润=售价-进价(2)销售总利润=单件利润×销售数量问题1:售价为x 元时,每件的利润可表示为 (x-40)问题2:售价为x 元,售价降了多少元?可表示为 (60-x )问题3:售价为x 元,销售数量会增加,增加的件数为 60402x -⨯ (件) 问题4:售价为x 元,销售数量为y (件),那么y 与x 的函数关系式可表示为60300402x y -=+⨯= 30020(60)x +-= 201500x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩ 所以,自变量x 的取值范围是 060x ≤≤问题4:售价为x 元,销售数量为y (件),销售总利润为W (元),那么W 与x 的函数关系式为(40)W x y =-⋅= (40)x -(201500x -+)= 220230060000x x -+-问题5:售价为x 元,销售总利润为W (元)时,可获得的最大利润是多少?因为 (40)W x y =-⋅= (40)x -(201500x -+)= 220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知,当售价为57.5元时,可获得最大利润,且最大利润为6125元三、某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价2元,每星期少卖出20件;每降价2元,每星期可多卖出40件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?分析:调整价格包括涨价和降价两种情况,即:(1)涨价时,虽然销售数量减少了,但是每件的利润增加了,所以可以使销售过程中的总利润增加(2)降价时,虽然每件的利润减少了,但是销售数量增加了,所以同样可以使销售过程中的总利润增加本题用到的数量关系是:(1)利润=售价-进价(2)销售总利润=单件利润×销售数量根据题目内容,完成下列各题:1、涨价时(1)售价为x 元,销售数量为y (件),那么y 与x 的函数关系式可表示为-60300202x y =-⨯= 30010(60)x --= 10900x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩ 自变量x 的取值范围是 60x ≥(2)售价为x 元,销售数量为y (件),销售总利润为W (元),那么W 与x 的函数关系式为1(40)W x y =-⋅= (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-(3)售价为x 元,销售总利润为W (元)时,可获得的最大利润是多少?1W = (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知,当售价为65元时,可获得最大利润,且最大利润为6250元2、降价时:(1)售价为x 元,销售数量为y (件),那么y 与x 的函数关系式可表示为 60300402x y -=+⨯= 30020(60)x +-= 201500x -+因为0600x x ⎧⎨-≥⎩ 所以,自变量x 的取值范围是 060x ≤≤(2)售价为x 元,销售数量为y (件),销售总利润为W (元),那么W 与x 的函数关系式为2W =(40)x -y= (40)x -(201500x -+)= 220230060000x x -+-(3)售价为x 元,销售总利润为W (元)时,可获得的最大利润是多少?因为2W =(40)x -(60300402x -+⨯) = (40)x -(201500x -+)= 220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知,当售价为57.5元时,可获得最大利润,且最大利润为6125元本题解题过程如下:解:设售价为x 元,利润为W(1)涨价时, 1W =(40)x -(300 --60202x ⨯) = (40)(10900)x x --+= 210130036000x x -+-=210(130)36000x x ---=22210(13065)6536000x x ⎡⎤--+--⎣⎦ =210(65)4225036000x --+-=210(65)6250x --+所以可知,当售价为65元时,可获得最大利润,且最大利润为6250元(2)降价时, 2W =(40)x -(300+60402x -⨯) = (40)x -(201500x -+)= 220230060000x x -+-=220(115)60000x x --- =22211511520115)6000022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ =211520()66125600002x --+- =220(57.5)6612560000x --+-=220(57.5)6125x --+所以可知,当售价为57.5元时,可获得最大利润,且最大利润为6125元综上所述,售价为65元或售价为57.5元时,都可得到最大利润,最大利润分别为6250元或6125元。
专题 二次函数利润问题

专题八二次函数最大利润问题最大利润问题:这类问题只需围绕一点来求解,那就是:总利润=单件商品利润*销售数量设未知数时,总利润必然是因变量y,而自变量可能有两种情况:(1)自变量x是所涨价多少,或降价多少(2)自变量x是最终的销售价格例:商场促销,将每件进价为80元的服装按原价100元出售,一天可售出140件,后经市场调查发现,该服装的单价每降低1元,其销量可增加10件,现设一天的销售利润为y元,降价x元。
(1)求按原价出售一天可得多少利润?(2)求销售利润y与降价x的关系式。
(3)商场要使每天利润为2850元并且使得玩家得到实惠,应该降价多少元?(4)要使利润最大,则需降价多少元?并求出最大利润。
(一)涨价或降价为未知数:例1:某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金每增加5元,则每天出租的客房会减少6间。
不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?比装修前的日租金总收入增加多少元?变式1:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天多售出2件。
①若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?②若每件衬衫降价x 元时,商场平均每天盈利 y元,写出y与x的函数关系式。
例2:某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施。
调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台。
(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式;(不要求写自变量的取值范围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?最高利润是多少?变式2:某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)。
《商品利润最大问题》人教版九年级数学(下册)

A.160元 B.180元
C.140元 D.200元
4.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产,现有一 生产季节性产品的企业,一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是 y=-n2+15n-36,那么该企业一年中应停产的月份是( )
D
A.1月,2月 C.3月,12月
B.1月,2月,3月 D.1月,2月,3月,12月
例2 某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元,每天都客满.经市场调查, 如果一间客房日租金每增加10元,则客房每天少出租6间,不考虑其他因素,旅馆将 每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?最高总收入是多少?
解:设每间客房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会 减少6x间,设客房日租金为y万元,则
③涨价多少元时,利润最大,最大利润是多少? y=-10x2+100x+6000, 当 x 100 时 5,y=-10×52+100×5+6000=6250.
2 (10)
即涨价5元时,最大利润是6250元.
例1 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查 反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出 18件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
3
3
即降价 元5 时,最大利润是6050元.
3
综合由可(知1),(2应)的定讨价论58及元现时在,的才销能售使情况,你 知道应该如何定价能使利润最大了吗?
利润最大。
知识要点
求解最大利润问题的一般步骤 (1)建立利润与价格之间的函数关系式: 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润 ×销售量” (2)结合实际意义,确定自变量的取值范围; (3)在自变量的取值范围内确定最大利润: 可以利用配方法或公式求出最大利润;也可以画出函数的简图,利用 简图和性质求出.
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求最大利润问题
学习目标
1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题 的过程,体会二次函数是一类最优化问题 的数学模型,并感受数学的应用价值。 2.能够分析和表示实际问题中变量之间的 二次函数,并运用二次函数是知识求出实 际问题的最大(小)值,发展解决问题的 能力。
情境导入
将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)改写为顶点式, 并写出它的对称轴和顶点坐标。
顶点式、对称轴和顶点坐标公式:
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
直线x b
顶点(
b
4ac b2
,
)
2a
2a 4a
利润= 售价-进价 总利润= 每件利润×销售额
做一做
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是6.5元. 根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段 时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降 低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析,销售单价 是多少时,可以获利最多?
运用新知
还记得章一开始涉及的“种多少棵橙子树” 的问题吗?
我们还曾经利用列表的方法得到一个数据,现 在请你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时,总产 量最大?)是否正确.
与同伴进行交流你是怎么做的.
议一议: 何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
若设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
销售额可表示为: x500 20013.5 x 元;
所获利润可表示为: x 6.5 500 200 13.5 x 元;
当销售单价为 11.25 元时,可以获得最大利润,最大利 润是4512.5 元.
如果增种x棵树,果园橙 子的总产量为y个,那么何时 总产量y值最大?
y=(600-5x)(100+x ) =-5x²+100x+60000
解: y=(600-5x)(100+x ) =-5x²+100x+60000 =-5(x-10)2+60500
∵当x=10时,y最大=60500 ∴增种10棵树时, 总产量最多,是60500个
当堂检测
某宾馆有120个房间供游客住宿,当每 个房间的房价为每天160元时,房间会 全部住满.当每个房间每天的房价每增 加10元时,就会有 6个房间空闲.不考 虑其他因素,旅馆将每间客房的房价提 高到多少元时,客房房价的总收入最高?
时间是个常数,但也是个变数。 勤奋的人无穷多,懒惰的人无穷少。
——字严