高中数学人教版必修五数列总复习 课件
人教版高中数学必修5：第二章 数列 章末总结PPT优质课件
数学
(1)证明:因为 lg a1、lg a2、lg a4 成等差数列,
所以 2lg a2=lg a1+lg a4.即 a22 =a1a4.设等差数列{an}的公差为 d, 则(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得 d2=a1d. 因为 d≠0,所以 a1=d.所以 a2n =a1+(2n-1)d=2n·d.
3 1 3n1
即 an-a1=
- nn 1 .又因为 a1=1,所以 an= 1 ×3n- nn 1 - 1 .
13
2
2
22
显然 a1=1 也适合上式,所以{an}的通项公式为 an= 1 ×3n- nn 1 - 1 .
2
22
数学
(2)因为 an1 =2n, an
所以 a2 =2, a3 =22, a4 =23,…, an =2n-1,
数学
(2)
an2 (
1 2
)n=(2n -1)
1 2n
.
Sn=1·
1 2
+3×
1 22
+5 ×
1 23
+…+(2n-1)·
1 2n
,①
1 2
Sn=1·
1 22
+3·
1 23
+5 ·
1 24
+…+(2n-1)·
1 2n 1
,②
①-②,得
1 2
Sn=
1 2
+2(
1 22
+
1 23
+
1 2n
)- (2n-1)·
数学
四、数列中的最值
高中数学人教版必修五数列总复习课件
则 am an ap aq 2ak
（3）{an}是等差数列，若从中取下标项数成等差数列的项， 则相应的项构成等差数列
（4）若数列 {an}是等差数列，则 Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,
也是等差数列 d k 2d
（5）在等差数列中，若项数为2n，则S偶 S奇 nd
若项数为2n 1,则S奇
S偶
an
(中间项），S奇 S偶
n n 1
等比数列的重要性质
（1） an am qnm
qnm n p q 2k, 则am an ap aq
（3）{an}是等比数列，若从中取下标项数成等差数列的项， 则相应的项构成等比数列
（4）{an} 是等比数列且q 1 ，则Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,
(q 1) (q 1)
判断（或证明）数列为等差(等比）的方法：
解答题的方法： 方法1（定义法）( a n + 1 －a n = d 或 a n －a n －1 = d ( n ≥ 2 )
方法2(等差中项法) a n + 1 +a n －1 = 2a n ( n ≥ 2 )
非解答题的方法： 方法3：通项公式法 等差数列通项公式，形如an＝kn＋b，
而 a1 b1
a29 b29
a15 b15
∴ a15 82 b15 65
高中数学人教版必修五第二章数列总 复习 课件（共21张PPT）
专题一：一般数列求和法
①公式法求和， 如an=2n-5, an=3n
②分组求和法求和， 如an=2n+3n
③裂项相消法求和，如
1 an n(n 1)
④错位相减法求和，如an=(2n-1)2n
人教版高一数学必修5--第二章数列总结
人教版高一数学必修5--第二章数列总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN人教版高一数学必修5第二章数列总结1、数列的基本概念(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： a n ＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n －S n －1n ≥2.(2)等差数列a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋12n (n －1)d . A ＝a ＋b2(等差中项)． （3）等比数列a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －m .S n ＝⎩⎨⎧na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 11－qn 1－qq ≠1.G ＝±ab (等比中项)．3．主要性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．专题一 数列的通项公式的求法1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．(1)1,1，57，715，931，…；2．定义法等差数列{a n}是递增数列，前n项和为S n，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25.求数列{a n}的通项公式．3．前n项和法(1)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项a n；(2)已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋2，求通项a n.4．累加法已知{a n}中，a1＝1，且a n＋1－a n＝3n(n∈N*)，求通项a n.5．累乘法已知数列{a n}，a1＝13，前n项和S n与a n的关系是S n＝n(2n－1)a n，求通项a n.6．辅助数列法已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋2(n∈N*)．求数列{a n}的通项公式．7．倒数法已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a na n＋1(n∈N*)．求通项a n.专题二数列的前n项和的求法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．求和：S n＝112＋214＋318＋…＋(n＋12n)．2．裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：(1)1n n＋k＝1k·(1n－1n＋k)；(2)若{a n}为等差数列，公差为d，则1a n·a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)；(3)1n＋1＋n＝n＋1－n等．3．错位相减法若数列{a n}为等差数列，数列{b n}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{a n b n}的各项乘以等比数列{b n}的公比q，然后错位一项与{a n b n}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．已知数列{a n}中，a1＝3，点(a n，a n＋1)在直线y＝x＋2上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n·3n，求数列{b n}的前n项和T n.4．分段求和法如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n＋S n＝1(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n.附注：常用结论1）1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对比（1）判断数列的常用方法看数列是不是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数).看数列是不是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数).④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列.（2）等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列定义1．1．公式2．2．性质1．，称为与的等差中项2．若（、、、），则3．，，成等差数列4.1．，称为与的等比中项2．若（、、、），则3．，，成等比数列4. ，（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
高一数学新人教必修5第二章数列复习课件
1）最小
a n
a
n
a n 1 a n1
最大
2）考虑数列的单调性
an
a
n
a n 1 a n1
求数列 2n29n3中的数值最大的项.
解:
an
2(n
9 )2 4
105 , 8
又2 9 3, n N* 4
n2 时 an取 最 大 值 1 3 .
数 列 - 2 n29n3中 数 值 最 大 的 项 为 a21 3 .
a6 30
（2）若 a52,a1010,则 a 1 5 50
（3）已知 a3a4a5 8,求 a2a3a4a5a6.
= 32
（4）若a 1 a 2 3 2 4 ,a 3 a 4 3 6 ,则a5 a6 4
一、求通项公式的几种方法
1、观察法猜想求通项： 2、特殊数列的通项：
3、公式法求通项：
6,n1 an 4n1,n2
设 S n 数列 a n 的前 n 项和，
知和求项:
即 S n a 1 a 2 a 3 a n
则
an
SSn1
n1 Sn1n2
单调性： （1）若an+1>an恒成立，则{an}为递增数列 （2）若an+1<an恒成立，则{an}为递减数列
返回
最值问题
求数列中最大最小项的方法：
2．等差数列中基本量的计算 例 2 等差数列的前n项和为Sn，若S12 =84，S20 = 460，求S28.
三、等比数列知识点
1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常
数的数列称作等比数列.an1
an
2．通项公式 an a1qn,1 推广形式:
q(q为不等
人教版高中数学必修五第二章数列课件PPT
(2)从函数的观点看数列. 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集 {1,2,…,n}）的函数f（n），当它的自变量n从开始依次取 正整数值时，对应的一列函数值为f（1），f（2），…， f（n），….
（3）数列的图象表示. 以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图，就可 以得到数列的图象.因为它的定义域是正整数集N*（或它的 有限子集{1,2,…,n}）所以其图象是一群孤立的点，这些 点的个数可以是无限的，也可以是有限的.
（3）次序对一个数列来说相当重要，有几个不同的数，由 于它们的次序不相同，可构成不同的数列.显然，数列与数 集有本质的区别.
2.数列分类的判断 （1）若数列{an}满足an＜an+1，则是递增数列； （2）若数列{an}满足an＞an+1，则是递减数列； （3）若数列{an}满足an=an+1，则是常数列； （4）若数列{an}从第2项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项，则是摆动数列.
为 4， 4，4，…，4 ，再把分母分别加1，又变为
2 5 8 11
4， 4， 36
4， 9
1…42，，∴数列的通项公式为an=
4 （(n∈1）Nn1*).
3n 1
数列的函数特性
【名师指津】数列与函数的关系
（1）数列中的对应. 对于任意数列如：1，1，1，1，1，1，1，…，每一项的序号与该
234567
(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用 （-1）k处理符号问题. (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式， 或者利用周期函数，如三角函数等.
2.“基本数列”的通项公式. (1)数列-1，1，-1，1，…的通项公式是an=(-1)n； (2)数列1，2，3，4，…的通项公式是an=n； (3)数列3，5，7，9，…的通项公式是an=2n+1； (4)数列2，4，6，8，…的通项公式是an=2n； (5)数列1，2，4，8，…的通项公式是an=2n-1；
新课标高中数学人教A版必修五全册课件第二章数列复习
组成的数列仍是等差数列.
第八页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、等比数列 1. 等比数列的定义 2. 等比数列的通项公式
an a1 qn1(a1 , q 0)
3. 等比中项
第九页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、等比数列
其推导的方法．
第三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
知识归纳
一、等差数列
1.等差数列这单元学习了哪些内容？
定义
等差数列
通项
前n项和
主要性质
第四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
一、等差数列
2. 等差数列的定义、用途及使用时需
注意的问题:
n≥2，an －an－1＝d (常数)
3. 等差数列的通项公式如何？结构有 什么特点？
qn )
1 q
(q 1) (q 1)
第十三页，编辑于星期日：十三点 十八分。
二、等比数列
已知
x0
，
7.
等比数列前n项和的一般形式
y0
，
x，Aq (q 1) x，c，d，y
n
成等比数列，则
n
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
第十四页，编辑于星期日：十三点 十八分。
4．数列求和的基本方法有公式法、化归法、倒 序相加法、错位相减法、并项求和法、分步求和 法、裂项相消法等．
第十七页，编辑于星期日：十三点 十八分。
1. 已知: x＞0，y＞0, x，a，b，y成等差数
列，x，c，d，y成等比数列，则
的最小值是 ( )
(a b)2 cd
A. 0 B. 1 C. 2
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三、求前n项和的方法
设数列{a n
}为等差数列，数列{bn
}为等比数列
1.通项c n
=a n
b n
,
利用分组求和
2.通项c n
=a
n
b n
,
利用错位相减
3.通项c = p n aa
, 利用裂项相消
n n1
常见的裂项相消
（1） 1 1 1 n(n 1) n n 1
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常见的裂项相消 （2） 1 1 (1 1 )
n(n 2) 2 n n 2
（3）
1
（2n+1）(2n
1)
1 2
(
1 2n 1
1) 2n+1
（4）
1
1 ( nk n)
nk n k
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若a,b, c成等差
2b a c
an =a1 (n 1)d an am (n m)d
若m+n=p+q,则 am an a p aq 特别地，若m+n=2t, 则am an 2at
an1 q或 an （q n 2）
an
an-1
若a,b, c成等比
b2 ac b ac an =a1qn1 an amqnm
数列
复习课
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教学目标
➢ 牢记等差数列等比数列的定义、中项、通项、 下标和性质、前n项和
高中数学必修五第二章《数列》整合课件人教A版
本章整合
专题一 专题二 专题三 专题四
知识建构
综合应用
真题放送
应用2德国数学家莱布尼茨发现了如图所示的单位分数三角形 (单位分数是分子为1、分母为正整数的分数)称为莱布尼茨三角形. 根据前5行的规律,写出第6行的数从左到右依次 是 .
1 1 1 1 1 1 答案: , , , , , 6 30 60 60 30 6
设
������(������+1) = 2
2 016,解得 n=63 或 n=-64(舍去),
则2 016是第63行第63个数. 答案:63 63
-8-
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专题一 专题二 专题三 专题四
知识建构
综合应用
真题放送
应用4给定81个数排成数阵如图所示,若每一行,每一列都构成等 差数列,且正中间一个数a55=5,则此数阵中所有数之和 为 . a11 a12 … a19 a21 a22 … a29 … … … … a91 a92 … a99
-7-
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专题一 专题二 专题三 专题四
知识建构
综合应用
真题放送
应用3自然数按如图所示的规律排列,则2 016是第 个数.
行第
解析:设第n行最右边的数即第n行第n个数是an,则 a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,a5=15=1+2+3+4+ ������(������ + 1) 5,…,an=1+2+3+…+n = 2 .
-5-
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专题一 专题二 专题三 专题四
知识建构
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a2 2S1 1 1 a 2 1，数列从第 a1
2 项开始是等比的
答案an： 13,n(n2,(n1)2)
n 2时， a n a 2 q n 2 3 n 2
验证n=1时是否可以合并！！！
na1
2、Sn
•
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
•
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
•
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
a2+a8的值为__1_8_0_____.
运用性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq
•
⒊在等差数列{an}中，
ak 15
=10,
a45=90,则
a60 =___1_3_0_____.
运用性质：若从中取下标项数成等差数列的项，则相应的项 k
构成等差数列
• ⒋在等差数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则
a1
1qn
1q
q1
q1 应用时产生的错误
练一练 等比数a列 n，已2知 S3,23S4,S6成等差，
则公q比 为多少？
解：由已知3得 S4 2S3 S6
注意：若用求和公
3(a1 a2 a3 a4) 2(a1 a2 a3)(a1 a2a6) 式，一要讨论q是
3a4 a4 a5 a6即a6 a5 2a4 0
（1） an amqnm
qnm an am
求q
（2） 若 mnpq2k, 则amanapaq
（3）{an}是等比数列，若从中取下标项数成等差数列的项， 则相应的项构成等比数列
（4）{ a n } 是等比数列且q 1 ，则S k,S 2 k S k,S 3 k S 2 k,S 4 k S 3 k, 也是等比数列 q qk
④累加法 an1anf(n)
⑤累乘法 an1 f (n)
an
数列中的易错题精析
1、an
S1 (n1) Sn Sn1(n2)
应用时产生的错误
练一练（1）Snn23n1,求 an.
2 S n an1 1
2
S
n
1
an
1( n
2)
二式相减得
an1 3an (n 2)
答案an： 52(nn21()n2)
数列综合复习课
高一数学 必修（5）
知识 结构
数列
通项an 前n项和Sn 等比数列
等差数列
an
Sn
S1(n1) Sn1(n2)
定义 通项 前n项和 性质
等差、等比数列的有关概念和公式
等差数列
等比数列
定义 an+1-an=d(常数) , n∈N* an+1/an=q(常数), n∈N*
通项 公式
an= a1+(n-1)d
an=a1qn-1(a1,q≠0)
中项 若a，A，b成等差 若a，G，b成等比数列， 公式 数列，则 A=(a+b)/2. 则G2=ab（a,b≠0）
前n项 和公 式
Sn
n(a1 2
an )
n(n 1)
na1
2
d
Sn a1(11naqq1n) a11aqnq
(q1) (q1)
判断（或证明）数列为等差(等比）的方法：
（4）若数列 { a n } 是等差数列，则 S k,S 2 k S k,S 3 k S ）在等差数数 列为 2 中 n， ， 则 S偶 若 S奇 项 nd 若项2 数 n1为 ,则 S奇S偶an(中间项 SS奇 偶） nn， 1
等比数列的重要性质
3 7 1 1 1 9 9 123499100
50(3199)5050
10（ 0 1100） 5050 2
2
这样也可以
专题二：.通项的求法
①公式法，
②构造定义法，构造新数列如：an1 anb
取倒数：如
a1
3,an
3an1 (n2) 3an1
③Sn和n或an的关系：如Sn
3 2 an
3
，Sn n22n
前n项之和分别为Sn ,Tn 则an S2n1
bn T2n1
而 a1 a29 a15 b1 b29 b15
∴ a15 82 b15 65
专题一：一般数列求和法
①公式法求和， 如an=2n-5, an=3n
②分组求和法求和， 如an=2n+3n
③裂项相消法求和，如
an
1 n(n 1)
④错位相减法求和，如an=(2n-1)2n
•
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
方法4：前n项和公式法
等差数 n项 列和 前公式 Sn， a形 n 2b如 n 等比数 n项列 和前 公S式 nA q ， nA形 （ q如 0， 1)
等差数列的重要性质
（1） anamnmd
d an am nm
（2） 若 mnpq2k
则 amanapaq2ak
（3）{an}是等差数列，若从中取下标项数成等差数列的项， 则相应的项构成等差数列
4、等差数列的和求最值时需小心
1、Sn 2n2 21n,则使Sn最小的n 5 2、Sn n2 21n,则使Sn最小的n 10或11 3、S5 S9,a1 0,则使Sn最大的n 7 4、S5 S8,a1 0,则使Sn最大的n6或7
注意解的个数！
5、认清数列
1 an
是等差数列a， 4 6,
12
a6 4,则a10 _5___.
5 ) 在 等 比 数 列 中 ， 若 项 数 为 2 n ， 则 S 偶 q S 奇
练习:
a a a • ⒈在等差数列{an}中， 2=-2, 5=16，求 8=__3__4_.
运用性质： an=am+(n-m)d或等差中项 • ⒉在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则
解答题的方法： 方法1（定义法）( a n + 1 －a n = d 或 a n －a n －1 = d ( n ≥ 2 )
方法2(等差中项法) a n + 1 +a n －1 = 2a n ( n ≥ 2 )
非解答题的方法： 方法3：通项公式法 等差数列通项公式，形如an＝kn＋b，
等比数列通项公式，形如an＝a·qn－1，
• ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 a60 =__2_70_或__-_27_0__.
• ⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120,
则a5+a6=___4_8_0
.
练习：两个等差数列{ an }、{ bn }的前 n 项之和分别为
Sn
,Tn
,
且
否为1，而且q不
a1q5 a1q4 2a1q3 0
为1时，计算复杂
a1q0q2 q20
q 1或q 2
验证公比是否为1？
（即是否为常数列？）
3、利用等比中项公式求值需小心
等比数列 an:
1、a1 1,a10 16,则a19 _25_6 ___._ 2、a1 1,a19 16,则a10 _4____._ 3、a2 1,a1816,则a10 _4____._
•
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
•
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
2000
2000 2000
S f (1999) f (1998) f (1000) f ( 2 ) f ( 1 )
2000 2000
2000
2000 2000
S
S
f
(1) 2000
f
(12909090)
f
(
2) 2000
f
(12909080)
f
(1999 ) 2000
f
( 20100)
11999
S 1999 2
补充2、并项求和法. 练习：求和 S 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 9 9 2 1 0 0 2
解：S ( 2 2 1 2 ) ( 4 2 3 2 ) ( 6 2 5 2 ) ( 1 0 0 2 9 9 2 )
( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 4 3 ) ( 4 3 ) ( 1 0 0 9 9 ) ( 1 0 0 9 9 )
⑤倒序相加法求和 ⑥并项求和法求和