《线性代数》教学教案—05矩阵的特征值与特征向量
矩阵特征值及特征向量教学
矩阵特征值及特征向量教学介绍在线性代数中，矩阵特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们不仅在数学领域有广泛的应用，也在物理、工程、计算机科学等领域中发挥着重要作用。
本文将深入探讨特征值和特征向量的概念、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1.1 特征值的定义给定一个n阶矩阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x使得Ax = λx，那么λ称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
1.2 特征向量的定义特征向量是与特征值相关联的非零向量，通过矩阵与特征向量的乘法可以得到特征值的倍数。
二、特征值与特征向量的计算2.1 计算特征值的方法计算矩阵的特征值可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是一个关于特征值的方程，形式为|A-λI|=0，其中A是给定的矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。
步骤： 1. 把矩阵A减去λI，得到一个新的矩阵B。
2. 计算矩阵B的行列式，即|B|。
3. 解方程|B|=0，得到特征值λ的值。
4. 验证特征值的正确性，将得到的λ代入方程(A-λI)x=0，求解x的解。
2.2 计算特征向量的方法计算矩阵的特征向量可以通过将特征值代入方程(A-λI)x=0，并解出x的解。
步骤： 1. 将特征值λ代入方程(A-λI)x=0，得到一个线性方程组。
2. 解线性方程组，求解出x的解。
3. 验证特征向量的正确性，将得到的x代入方程(A-λI)x=0，验证等式是否成立。
三、特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有许多重要的性质，下面介绍其中的一些。
3.1 特征值的性质•矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值。
•对于实矩阵，特征值可以是复数，但是它们总是成对出现，共轭复数。
•矩阵的特征值之和等于它的迹（主对角元素之和）。
•矩阵的特征值之积等于它的行列式。
3.2 特征向量的性质•特征向量与对应的特征值共线，即它们是线性相关的。
•特征向量可以通过标量乘法来缩放，缩放因子为特征值的值。
矩阵的特征值与特征向量
成 B 的相似变换矩阵.
⎛3 4⎞
⎛7 0 ⎞
⎛1 4 ⎞
例如
矩阵
A
=
⎜ ⎝
5
2
⎟ ⎠
与矩阵
B
=
⎜ ⎝
0
−2
⎟ ⎠
相似，因为存在可逆矩阵
P
=
⎜⎝1
−5
⎟ ⎠
，
使得
⎛5
P−1
AP
=
⎜ ⎜
9
⎜⎜ ⎝
1 9
4⎞
9 −1 9
⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
3 5
4⎞⎛1
2
⎟ ⎠
⎜⎝1
4 ⎞ ⎛7
−5
⎟ ⎠
=
⎜ ⎝
λ 特征值.
3
推论 1 设 λ 是 n 阶可逆矩阵 A 的特征值，则 A 是 A* 的特征值. λ
推论 2 设 λ 是 A 的特征值，则 λm 是 Am 的特征值；ϕ(λ) 是ϕ( A) 的特征值，其中ϕ(x)
是 λ 的多项式，ϕ( A) 是矩阵 A 的多项式.
例 4：设 3 阶矩阵 A 的特征值为1, −1, 2 ，求 | A* + 3A − 2E |.
⎛ −2 − 3
当 λ2 = −2 时，由 ⎜ ⎝
−5
−4 −2 −
⎞⎛
2
⎟ ⎠
⎜ ⎝
x1 x2
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎝
0⎞ 0 ⎟⎠
，解得
5x1
=
−4x2
，求得基础解系为
⎛ 4⎞
ξ2
=
⎜ ⎝
−5 ⎟⎠
.
所以 ξ2 是 A 的属于特征值 λ2 = −2 的一个特征向量，而 k2ξ2 (k2 ≠ 0) 是 A 的属于特征
线性代数课件矩阵的特征值与特征向量
所 以 对 应 的 特 征 向 量 可 取 为 p 2 11
.
1 1 0
例
求矩阵
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
解 第一步：写出矩阵A的特征方程,求出特征值.
1 l 1
0
AlI 4 3 l 0 2ll120
1
0 2l
特征值为 l12 ,l2l3 1
第二步：对每个特征值l代入齐次方程组 AlIxO,
l l 所 以 A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 4 .
l 当 1 = 2 时 , 对 应 的 特 征 向 量 应 满 足
32
1
1 x1 32x2
0 0
即11
1
1
x1 x2
00
例 求 A 3 1 3 1 的 特 征 值 和 特 征 向 量 .
l l 解 所 以 A 的 特 征 值 为 1 2 ,2 4 .
1 l
A . 且x仍然是矩阵 kA ,A m ,A 1,A 分别对应于
kl, lm,l1,1A 的特征向量. l
证 (3)当 A 可 逆 时 ,l0, 由 Axlx可 得
l l A 1 A x A 1 x A 1 xA1xl1x
l l 故 1 是 矩 阵 A 1 的 特 征 值 , 且 x 是 A 1 对 应 于 1 的 特 征 向 量 .
Amxlmx
l l 故 m 是 矩 阵 A m 的 特 征 值 , 且 x 是 A m 对 应 于 m 的 特 征 向 量 .
性质2 若A的特征值是l, X是A的对应于l的特征向量,
(1) kA的特征值是kl; (k是任意常数)
l (2 )A m 的 特 征 值 是 m ;(m是正整数)
《线性代数》矩阵的特征值与特征向量
《线性代数》矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念。
在许多实际问题的分析和求解中，特征值和特征向量扮演着重要的角色。
本文将从定义、性质和应用三个方面来详细介绍矩阵的特征值与特征向量。
一、定义给定一个n阶方阵A，若存在非零向量x和标量λ，使得满足以下等式：Ax=λx则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征向量是描述线性变换的方向，在变换过程中保持方向不变，特征值是对应于特征向量的缩放因子。
二、性质1.特征值与特征向量的存在性和唯一性对于n阶方阵A，它一定存在n个特征值，但不一定有n个线性无关的特征向量。
每个特征值对应的特征向量也不一定唯一2.特征值的性质（1）特征值的和等于方阵的迹，即λ1 + λ2 + ... + λn =tr(A)。
（2）特征值的积等于方阵的行列式，即λ1 * λ2 * ... * λn = det(A)。
3.特征向量的性质（1）对于同一个特征值λ，存在无穷多个线性无关的特征向量。
（2）特征向量的线性组合仍然是一个特征向量。
三、应用矩阵的特征值与特征向量在多个学科和领域中都有广泛的应用。
1.物理学在量子力学中，特征值与特征向量的概念被用来描述量子态和量子测量。
2.工程学在结构力学中，特征值与特征向量可以用来分析弹性体的振动频率和振动模态。
3.数据分析特征值与特征向量可以用于主成分分析（PCA），以降低数据的维度并提取最重要的特征。
4.图像处理特征值与特征向量可以用于图像压缩和图像恢复等领域。
5.机器学习在机器学习算法中，特征值与特征向量可以用于降维、分类和聚类等任务。
总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有很多实际应用。
通过特征值与特征向量，我们可以分析矩阵的性质、求解特征方程、降低数据维度等。
理解和掌握矩阵的特征值与特征向量对于深入理解线性代数以及在实际问题中的应用都具有重要意义。
【学习】线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量
【关键字】学习第五章矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量注意：1）是方阵；2）特征向量X 是非零列向量；3）方阵与特征值对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：（1）计算n阶矩阵A的特征多项式｜E－A｜；（2）求出特征方程｜E－A｜＝０的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；（3）设1 ，2 ，… ，s 是A的全部互异特征值。
对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个根底解系，该根底解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量.3．特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量；（2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量；（3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A—1的一个特征值，是A*的一个特征值；（4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0为一个多项式，则是f（A）的一个特征值。
性质2（1）（2）性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得Ｂ＝P―1ＡP则称A与B相似。
记作A∽B. 并称P为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是等价关系，满足：1°反身性：A∽A.2°对称性：若A∽Ｂ，则Ｂ∽A.3°传递性：若A∽Ｂ，B∽Ｃ则A∽Ｃ.5．矩阵相似的性质：设A、B为n阶矩阵，若A∽B，则（1） ； （2） ；（3）A 、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A ，B 或者都可逆或者都不可逆. 当A ，B 都可逆时，∽；（5）设f （x ）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0 为一个多项式，则 f （A ）∽ f （B ） ； 6．n 阶矩阵A 相似对角化的条件（1）n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. （2）n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的每个k 重特征值恰好对应有k 个线性无关的特征向量.注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
特征值与特征向量优秀教学设计
特征值与特征向量【教学目标】1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。
3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。
难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。
二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。
教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。
例 1：对于相关 x 轴的反射变换σ：x10x，从几何直观上可以发现，只有x 轴y01y和平行于 y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
因此，反射变换σ只把形如k1 和0的向量（其中 k1， k2是任意常数），分别变成与自身共线的0k2向量。
可以发现，反射变换σ分别把向量k1 ，0变成k1 ，0。
特别0k20k2的，反射变换σ把向量11变成11，把向量20变成。
用矩形的形式可表示为00111 0 1 11 1 0 0 0 。
010 0，1 111x 1 0 x 例 2：对于伸缩变换 ρ：0 2，从几何直观上可以发现，只有 x 轴和平行于 yyy轴的直线在伸缩变换 ρ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
因此，伸缩变换ρ只把形如k 1 和 0 的向量（其中 k 1 ， k 2 是任意常数）分别变成与自身共线的向量。
可以发k 2现，伸缩变换 ρ把向量k1，0 变成 k 1 ， 2 0 。
特别地，伸缩变换 ρ把向k 2 0 2k 2量 210 变成221 0 1 1变成 1，把向量 21 2 。
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量第一讲 特征值与特征向量教 学 目 的：通过本节的学习，使学生理解特征值与特征向量及相似矩阵基本概念，掌握特征值与特征向量的求解方法及其主要性质教学重点与难点：特征值与特征向量的求解 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：一、基本概念定义1 设A 是n 阶方阵，若对于数λ，存在n 维非零向量ξ，使得A ξλξ= （1）成立，则称数λ为方阵A 的一个特征值，非零向量ξ称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.说明：（1）式可以等价地写成： 0)(0=-ξλA E ， （2） 而（2）式存在非零列向量的充分必要条件是0||=-A E λ， （3）即0212222111211=---------nnn n nna a a a a a a a a λλλ. 定义2 设λ是一个未知量，矩阵A E -λ称为A 的特征矩阵，行列式||A E -λ称为矩阵A 的特征多项式，方程0||=-A E λ称为A 的特征方程，它的根称为A 的特征根，A 的特征根即为A 的特征值.说明：1、特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n 阶方阵A 在复数范围内有n 个特征值.2、 若ξ是A 的属于特征值λ的特征向量，则ξ的任何一个非零倍数(0)k k ξ≠也是A 的属于特征值λ的特征向量. 且可以推广到有限个的情形(1122s s k k k ξξξ++⋅⋅⋅+).3、特征向量不是被特征值所唯一决定. 相反，特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特征向量只能属于一个特征值.二、求解方法根据上述定义和讨论，即可得出n 阶方阵A 的特征值和特征向量的求法：1、计算A 的特征多项式||A E -λ，求出特征方程0||=-A E λ的全部根，即A 的全部特征值；2、对每个求出的特征值i λ，求齐次线性方程组()0i E A x λ-=的一组基础解系12,,,s ξξξ⋅⋅⋅，则 1122s s k k k ξξξ++⋅⋅⋅+12,(,,s k k k ⋅⋅⋅不全为)0是A 的属于特征值i λ的全部特征向量.例1：求矩阵3452A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值和特征向量.[解] 特征多项式为：234514(7)(2)52E A λλλλλλλ---==--=-+--, 所以A 的特征值为127,2λλ==-.当17λ=时，由1273405720x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 解得12x x =，求得基础解系为 111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以1ξ是A 的属于特征值17λ=的一个特征向量，而111(0)k k ξ≠是A 的属于特征值17λ=的全部特征向量.当22λ=-时，由1223405220x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1254x x =-，求得基础解系为 245ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.所以2ξ是A 的属于特征值22λ=-的一个特征向量，而222(0)k k ξ≠是A 的属于特征值22λ=-的全部特征向量.例2：求矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.[解] A 的特征多项式为 2110430(2)(1)12E A λλλλλλ+--=-=----, 所以A 的特征值为1232,1λλλ===.当12λ=时，解方程(2)0E A x -=，由3101002410010100000E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求得基础解系为：1(0,0,1)T ξ=.所以111(0)k k ξ≠是A 的属于特征值12λ=的全部特征向量.当231λλ==时，解方程()0E A x -=，由210101420012101000E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求得基础解系为:2(1,2,1)T ξ=--.所以222(0)k k ξ≠是A 的属于特征值231λλ==的全部特征向量.例3：求矩阵211020413A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值与特征向量.三、主要性质性质1 n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 的特征值相同.[证明] 因为()T T E A E A E A λλλ-=-=-,所以A 与T A 的特征多项式相同，从而它们的特征值相同.性质2 设n 阶矩阵)(ij a A =的特征值为12,,,n λλλ ，则有 (1)121122n nn a a a λλλ+++=+++ ； (2)12||n A λλλ= .推论 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的任一特征值不为零.性质3 设λ是n 阶矩阵A 的特征值，则2λ是2A 的特征值；当A 可逆时，λ1是1-A 的特征值.推论1 设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，则Aλ是*A 的特征值.推论2 设λ是A 的特征值，则mλ是mA 的特征值；()ϕλ是()A ϕ的特征值，其中()x ϕ是λ的多项式，()A ϕ是矩阵A 的多项式.例4：设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-，求*|32|A A E +-.定理1 设12,ξξ是方阵A 的属于两个不同特征值12,λλ的特征向量，则12,ξξ线性无关.定理2 设12,,,m ξξξ 是n 阶矩阵A 的属于互不相等的特征值12,,,m λλλ 的特征向量，则12,,,m ξξξ 线性无关.说明：属于矩阵不同特征值的特征向量是线性无关的. 另外，定理5.1.2还可以进一步推广为:定理3 设12,,,m λλλ 是n 阶矩阵A 的不同特征值，而12,,,i i i ik ξξξ 是A 的属于特征值(1,2,,)i i m λ= 的线性无关的特征向量，则向量组12111212122212,,,,,,,,,,,,,mk k m m mk ξξξξξξξξξ 也线性无关.例5：设12,λλ是方阵A 的两个不同的特征值，12,ξξ是A 的分别属于12,λλ的特征向量，证明12ξξ+不是A 的特征向量..四、相似矩阵定义3 设,A B 都是n 阶矩阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P ，使得：1P AP B -=成立，则称A 与B 相似. 对A 进行运算1P AP -称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵.例如 矩阵3452A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与矩阵7002B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭相似，因为存在可逆矩阵1415P ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，使得154341470991152150299P AP B -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.说明：1、若A 与B 相似，则B 也与A 相似.所以我们常说,A B 相似，也就是指对,A B 中的任一个矩阵总可以找到可逆矩阵P ，通过相似变换化为另一个矩阵.2、相似矩阵具有以下基本性质： （1）相似矩阵的转置矩阵也相似； （2）相似矩阵的幂也相似； （3）相似矩阵的多项式也相似； （4）相似矩阵的秩相等； （5）相似矩阵的行列式相等；（6）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似.（7）若n 阶矩阵,A B 相似，则A 与B 的特征多项式相同，从而A 与B 的特征值相同. （8）若n 阶矩阵A 与对角矩阵12n λλλ⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则12,,,n λλλ 即是A 的n 个特征值.3、若矩阵A 与对角矩阵Λ相似，即有可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ，或1A P P -=Λ，则 11,()()k k A P P A P P ϕϕ--=Λ=Λ，其中()A ϕ是A 的多项式. 而对于对角矩阵Λ，有1122()(),()()kkkk n n ϕλλϕλλϕϕλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪Λ=Λ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此可方便地计算kA 及A 的多项式()A ϕ.4、哈密尔顿－凯莱定理设()f λ是n 阶矩阵A 的特征多项式，若A 与对角矩阵相似，则()f A O =. 事实上，若A 与对角矩阵相似，即有可逆矩阵P ，使121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 其中i λ为A 的特征值，有()0(1,2,,)i f i n λ== .由1A P P -=Λ得12111()()()()()n f f f A Pf P P P POP O f λλλ---⎛⎫ ⎪⎪=Λ=== ⎪ ⎪⎝⎭. 哈密尔顿－凯莱（Hamilton-Cayley ）定理：设A 是n 阶矩阵，()f λ是A 的特征多项式，则11122()()(1)n n n nn f A A a a a A A E O -=-+++++-= .第二讲 矩阵相似对角化的条件教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解矩阵相似对角化的条件，并掌握矩阵对角化的过程.教学重点与难点：矩阵相似对角化的条件 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：由于相似的矩阵的特征值相同，且对角矩阵的特征值为其主对角线上的元素。
特征值与特征向量精品教案
特征值与特征向量【教学目标】1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。
2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。
3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。
难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。
【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。
二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。
教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。
例1：对于相关x 轴的反射变换σ：，从几何直观上可以发现，只有x 1001x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
因此，反射变换σ只把形如和的向量（其中，是任意常数），分别变成与自身共10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭1k 2k 线的向量。
可以发现，反射变换σ分别把向量，变成，。
10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫-= ⎪-⎝⎭特别的，反射变换σ把向量变成，把向量变成。
用矩形的形式可110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭201ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭01⎛⎫⎪-⎝⎭表示为，。
101110100⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100010111⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2：对于伸缩变换ρ：，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 1002x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴的直线在伸缩变换ρ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。
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3.设 为n阶实对称矩阵， 是 的特征方程的 重根，则矩阵 的秩 ，从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.
1．定理：设A为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵P，使得 = = ，其中 是 的n个特征值.
2．合同矩阵：给定两个n阶方阵 和 ,若存在可逆矩阵 ，使 = ，则称矩阵 与矩阵 合同，或 ， 是合同矩阵.
例2.设矩阵 是3阶实对称阵， 的特征值为 1，2，2， = 与 = 都是矩阵 的属于特征值2的特征向量.求 的属于特征值1的特征向量，并求出矩阵 .
例3.设某城市共有30万人从事农、工、商的工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：
(1)在这30万就业的人员中，目前约有15万从事农业、9万人从事工业、6万人从事商业；
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第5章第2节相似矩阵
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件
教学难点
矩阵可相似对角化的方法
参考教材
同济版《线性代数》
作业布置
课后习题
大纲要求
理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
推论2.若n阶矩阵 与对角矩阵 = 相似，则 是 的全部n个特征值.
二．方阵的相似对角化
1.相似对角化:若方阵 能与一个对角阵 相似，则称 可以相似对角化，简称 可对角化.
2．定理：n阶方阵 可以相似对角化的充要条件是 有n个线性无关的特征向量．
推论1.如果n阶方阵 的n个特征值互不相等，则 与对角阵相似.
第5章矩阵的特征值与特征向量
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第5章第1节特征值与特征向量
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质以及矩阵的特征值和特征向量的求法
教学难点
矩阵的特征值和特征向量的求法
参考教材
同济版《线性代数》
参考教材
同济版《线性代数》
作业布置
课后习题
大纲要求
了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。
教 学 基 本 内 容
一.实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的特征值、特征向量除具有一般矩阵的特征值、特征向量的性质外，还具有以下性质.
1.实对称矩阵的特征值一定为实数；
3．合同矩阵的性质：
(1)自反性：对任意方阵n阶方阵 ， 与 合同；
(2)对称性：若 与 合同，则 与 合同；
(3)传递性：若 与 合同， 与 合同，则 与 合同.
推论：设 为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交矩阵 ，使得 = = ，其中 是 的n个特征值.
三．例题讲解
例1.设A＝ ， 求一个正交矩阵 ，使 = 为对角阵.
作业布置
课后习题
大纲要求
理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。
教 学 基 本 内 容
一．特征值与特征向量的概念
1．设 是n阶方阵，如果存在数 和n维非零列向量x，使关系式 = 成立，那么，称 为方阵 的特征值，非零列向量 称为 的对应于特征值 的特征向量.
2．特征方程：称 ，即 = 为方阵A的特征方程.
例3．求解一阶线性常系数微分方程组
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第5章第3节实对称矩阵及其对角化
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
实对称矩阵的特征值和特征向量的性质以及用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。
教学难点
用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法。
3．特征多项式与特征矩阵： 是关于 的n次多项式，称为方阵 的特征多项式，记作 . 称为 的特征矩的特征值为 ，则
(1) ；
(2) .
2．矩阵的迹：设矩阵 ,称 为 的迹，记为tr .
3．矩阵 和 有相同的特征值.
4．设 是n阶可逆矩阵，则
(1) 的特征值都不为零；
教 学 基 本 内 容
一．相似矩阵的定义及性质
1．相似矩阵:设 ， 都是n阶方阵，若存在可逆矩阵 ，使 ，则称 是 的相似矩阵，或称矩阵 与 相似，记作 ~ .对 进行运算 称为对 进行相似变换，可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵.
2. 相似矩阵的性质：
(1)自反性：对任意方阵n阶方阵 ， 与 相似；
(2)若 是 的特征值，则 是 的特征值.
5．设 是关于 的多项式， 是n阶方阵，此时 ，若 是 的特征值，则 是 的特征值，此时 称为 的特征多项式.
6．定理：设 是n阶方阵 的m个特征值, 依次是与之对应的特征向量.如果 互不相等，则 线性无关.
三．例题讲解
例1．求A 的特征值和特征向量.
例2．求矩阵A 的特征值和特征向量.
(2)对称性：若 与 相似，则 与 相似；
(3)传递性：若 与 相似， 与 相似，则 与 相似.
(4)若 ~ ，则 ~ .
(5)若 ~ ，设 是一个多项式，则 ~ .
(6)若 ~ ，且A可逆，则B也可逆，且 ~ .
3.定理:若n阶方阵 与 相似，则 与 的特征多项式相同.
推论1.若 与 相似，则 与 的特征值相同；进而 与 的行列式相等.
推论2.n阶方阵 可对角化的充分必要条件是对应于 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设 是方阵 的 重根，则 与对角阵 相似，当且仅当
.
3． 的n个线性无关的特征向量 所构成的矩阵 ，恰好就是 到 的相似变换矩阵.
三．例题讲解
例1．设 与 相似，则 与 相似.
例2．已知 ，(1) 求可逆矩阵 , 使 为对角阵；(2) 计算 .
例3．求矩阵 的特征值和特征向量.
例4．设 是n阶方阵 的特征值, 证明： 的特征值.
例5．已知3阶方阵 的特征值为 ，1，2，求 .
例6．已知 为n阶方阵， 是A的两个不同的特征值， 是 的分别对应于 的特征向量，证明： 不是A的特征向量.
例7．设 分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平. 分别为该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平，有关系式如下： ，试预测该地区t年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.