2016考研数一真题答案及详细解析
从而
J I (t)= 盯(x,y )dx+盯(x,y)dy =JO,t) — f(O,O)=e2一t +t.
L
妇
沁
I'(t)=-e2一t +l.令 I'(t)=O得t =2.
由千当 t<2 时， I'(t)<o, Ht) 单调减少；当 t>2 时，I'(t)>O,I(t) 单调增加，所以 J(2)= 3
(x+u式-2y=x气f'1 (x — 之，y)• (— 式）+f�(x -之，y)]. 再将 x = O,y = l 代入原式，可得乏 = 1. 将 x = O,y = l,之 = 1 代入上述两式，得乏: = — 1,式 = 2. 故 dz I <o,u =己 dx +式dy = -dx+2dy.
-1 0 +
。 。 入 -1
入 -1
。 。 入 -1
入 -1
。 。 (-1)4+s X2 0 入
+(— 1)4+4 (A +1)
。 。 。 。 —1
入 -1 入
＝入 4 十入 3 +2入 2+3入十4.
04) (8. 2,10.8)
解
(x µ 的置信区间为
— t 旦 (n
2
— 1)
S
—
,
— X
矗
+t 旦 (n
当a =—2 时，由于
—1 —1 2
。。 -26)-(� 。。 。 。 c�(�
3 -3 -3 3 0
— 1 -1 2 2 1 —1 �)
0
所以AX=B无解．
(21) 解C I)因为
入1 -1
队E — Al= —2入+3 O =入（入2+D )' <入+
0
0入
所以A的特征值为儿 =-1, 从＝ —2,,1 3=0.
=』1 x(l-x) 2 dx= 』'
0
12
所以I=2X- 1 -+- 1 =-1 . 12 3 2
(19) 解 C I)因为 x 叶1 =f(x n), 所以
IXn+l — Xn I= If(x,,) — f(xn-1) I= IJ'(O (xn — Xn-1) I' 其中 5 介于X n 与Xn-1 之间．
又DX=EX 2
— (EX) 2
=
— 4 9
，同理，DY=
— 4 9
，故
PxY
=
Cov(X,Y)
呕· 熘
=
E(XY) -EX• EY
呕· 质
=
—
— 1
2
．
故应选A.
二 、 填空题
1
(9) -2
解
I。 r lim
— x-o
tln O +t sin t) dt
1
-
COS
2 X
=lim
x-o
o
tln(1
+t sin
2
-1)竺）．
嘉
已知 .i-, =9. 5,置信上限为10.8,
s 则
t立 (n
2
— 1) -=1.3,所以置信下限为 嘉
8.2.
故应填(8.2,10.8).
三、解答题
解』 』: (15)
(l+cose)
.:t dxdy =2 d0r
r 2 cos0dr
2
。 ＝ 巨厂区1+cos0)3 — l]cos0d0 3
p QR
= 0• i+1• j + (y — 1). k = j +(y — l)k.
Cll) -dx +2dy
解 等式(x+1)之 -y2 = x勹(x -之，y) 两边分别关于 x,y 求导， 得乏+ex+u之:=2xf(x — 之，y)+x2 f'1 (x — 之，y)• (1 — 之，工 ）；
(8) A
， 解 (X,Y) 的联合分布为：
了。
。
1
1 2
2 1
9
9
9
2
1
9
2 9
。
1
2
9
。
。
由此可得
EX=OX
— 4 9
+1
x-49 +2x-91 =-23 ;
同理，EY=— 2
3
EX 2 =0X
4 9
+1 2
X
4
—
9
+22 X
一1 ＝一8
99
； 同理
EY 2
=
—8 9
又EXY=-29 ,所以，Cov(X,Y)=EXY - EXEY = — 一29 ．
f(x) — f(0) .
n
f�(O)=工l-imo+
X -0
=工l-tmo+- x -—-0 ,
而 1 <x<- 1 ,可得 l< — 1 < n—+ —-l,且当x-矿时 n-=.
n+l
n
nx
n
所以 lim 1 =l, lim
n+l =lim
- n+—l = 1,
工 一 0＋
工 -o+
n
" 勺心"
1
dx —
0 l+x
O
1 O+x)2 dx=ln Cl+x)
+= + 1
+= = + =,
0
l+x I
发散，说明满足 a<l 且 b > l,原反常积分发散，排除 A.
(2) D
解 当 X<l 时，F(x)=f2 (x -1)dx = x2 -2x + C口
当 X�l 时，F(x)=finxdx=xlnx -x +C2 ;
n
由夹逼准则 lim
．它 _0+
n- 1x=1, 即
J'_(0)=f�十(0)=1.
故f(x)
在
X =0
处可导 ．
(5) C
解 p-1 AP=B' 有(P-1AP) T=B T' 即有 P T AT(p T 尸=B T' 即 A 正确 ； (P-1AP)-l=B-l,有 p-IA-IP=B-1' 即 B 正确，而 D 正确． 故应选 C.
｀厂 =竺+ (3cos2 0+3cos3 0+cos4 0)d0
5rr.
30
3
(16) 解 C I)微分方程 y"+2y '+ky =0的特征方程为入 z +2入十k=0.
解得儿＝
—
一
1+/1二飞
心＝
—
1-JI=万．
因为
O<k<l,所以儿<
o, = 从<O,从而『
e灯x
dx
与厂产 dx
收敛．
由于儿＃儿，所以 y (x)=C1 e入 I x +C2 e炀X ' 其中 C1 与 Cz 是任意常数．
代入该齐次方程，得fi2+x- 7- + p(x)•
2
Jf+7 =0,故
p(x)
=-
X
l+x2
·
再将 Yz (x)= O+x千+✓1了7 代入原方程，可得
J 4x (1
+ X2 )+
X
ji"+7
X
l+x
2
[
(1 + X 2) 2
十尸
=q (x)'
解得 q (x) = 3x (1 +x2 ).
(4) D
当入 1 =-1 时，解方程组(-E-A)x =0, 得特征向量� l = (1,1,Q)勹
(12) —1
2
解
1 1 +x2
=区(- l)nx2n ,则
n-0
r i=r -三二二 …， arctan x =
l dx =
心 (—l) n x 2n
=
—
f<
l)
nx
2n
+l
=x
+ o 1+x
n=O o
n = O 2n l
35
7＋
+ 区 1
X =x•
ax 2
l
l + (ax 2 )
=
= x (-a.尸） n n=o
-x1.
n=l
由< I) 知，nli-m=S n 存在，即 nli-m=(xn+l — X1) 存在，所以nl-im=xn 存在．
设把尸n = c'由Xn+l = j丘）及f(x)连续，得c = f(c),
即 c是 g(x)= x -f(x) 的零点．
o, 0 因为 g(O)= -1,g (2) =2-f(2) =1 — [f(2)-f(O)] = 1 — 2厂C r;)> 其中 r; E ( ,2), 0 0 且 g '(x)= 1 — J'(x) > ,所以 g(x) 存在唯一零点，且零点位于区间( ,2) 内． 0 千是O<c<2, 即 <nli-m=xn<2. 0(2 ) 解 对矩阵(A : B) 施以初等行变换
是 I<t)在(— =, 十=)上的最小值．
(18) 解
2016考研数学一真题及解析答案
x
上服从均匀分布，令
（I）写出 ( X ,Y ) 的概率密度； （II）问U 与 X 是否相互独立？并说明理由； （III）求 Z U X 的分布函数 F (z) .
3x2
（23）设总体 X 的概率密度为 f x,
3 ,0 x ，其中 0， 0,
其他 X1, X 2 , X 3 为来自总体 X 的简单随机样本，令T max X1 , X 2 , X 3 。
（3）若 y 1 x2 2 1 x2 , y 1 x2 2 两个解，则 q x （ ）
1 x2 是微分方程 y p x y q x
的
A 3x 1 x2
B 3x 1 x2
C
1
x x2
D
x 1 x2
x, x 0
（4）已知函数 f x
1 n
,
n
1
1
x
1 n , n 1,2,
，则（
）
（A） x 0 是 f x 的第一类间断点 （B） x 0 是 f x 的第二类间断点
2
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
x t ln 1 t sint dt
（9） lim 0 x0
1
cos x2
__________
（10）向量场 A x, y, z x y z i xyj zk 的旋度 rotA _________
（ 11） 设 函 数 f u,v 可 微 ， z z x, y 由 方 程 x 1 z y 2 x2 f x z, y 确 定 ， 则 dz 0,1 _________
0 11 2 30 000
（I）求 A
2016年全国硕士研究生招生考试数学(一)真题(含解析)
Cov(x,y)
PXY
VD(X) - VD(Y)
二、填空题
2
---------- X
一9
=----1
94
2'
（9）【答案】
【解】
Zln(l + Zsin t)dt
lim 0
■r f 0
i
1
―
COS
X
2
t ln( 1 + /sin / )dt
lim 0
工f 0
14
—X
2
（10）［答案】_/ +（》一1）4
x ln( 1 + j? sin x )_ 1
lim
j--*0
2工3
【解】rot A
a
a
=j + (y — 1)R.
xyz
N
(11) 【答案】 一djr +2d』・
【解】将x =Q ,y =1代入得n 1.
(工l)z — y2 =x2f (x —nq)两边关于jc求偏导得
n + («z +1)n： = 2jc f Jjc 一 z
:
*:
*
9
)9
)
99
)) 99
))
8
(8
(
:
*
9
)
99
))
8
(
2016年数学（一）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（O.
「+°°
【解】
0
dx ( 1 + j? )6
1
cLz
*
o j?"(l +工)"
1
djr
1+ 壬“（
2016考研数学一真题及答案解析(完整版)
2016年全国硕士研究生入学考试数学一一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题纸．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y px y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点（C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T A 与T B 相似 （B ）1A -与1B -相似（C ）T A A +与T B B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2fx x x=在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ） （A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面 （7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ） （A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题．．纸．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA （11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a（13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz x I 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n x x ∞+=-∑绝对收敛；（II ）limn n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ 分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016考研数学一真题及解析标准答案
２016考研数学（一)真题及答案解析一、选择题:1~8小题，每小题4分,共3２分,下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若反常积分()011b a dx x x +∞+⎰收敛，则( )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ） ()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3)若()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++(4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则( )（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 (B ）0x =是()f x 的第二类间断点（C ）()f x 在0x =处连续但不可导 (Ｄ)()f x 在0x =处可导（5）设Ａ,B 是可逆矩阵,且A 与Ｂ相似,则下列结论错误的是（ )（A)T A 与T B 相似 (B ）1A -与1B -相似(Ｃ)T A A +与T B B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为( )（A)单叶双曲面 (Ｂ）双叶双曲面 （C)椭球面 （C)柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ,则（ ） (A)p 随着μ的增加而增加 （B)p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少 (Ｄ）p 随着σ的增加而减少(8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ,且三种结果发生的概率均为31,将试验E 独立重复做２次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数,则X 与Y 的相关系数为（ )二、填空题:9-14小题，每小题４分，共2４分,请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)()__________cos 1sin 1ln lim 200=-+⎰→x dt t t t x x（10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（1１)设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz(１2）设函数()21arctan axx x x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+_____＿_____＿.(14)设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.８,则μ的置信度为0.９5的双侧置信区间为__＿__＿.三、解答题：15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15）(本题满分1０分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.(16）（本题满分１0分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;。
考研数学一真题及答案解析(完整版)
2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式100010014321λλλλ--=-+____________. （14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016考研数学一真题及答案解析完整版
2016考研数学一真题及答案解析(完整版)2016年考研数学一真题及答案解析(完整版)一、单选题1.已知函数 f(x) 在(0, +∞) 上连续，且满足 f(x+y) = f(x) + f(y) +2√[f(x)f(y)]，则 f(x) 的解析式是（） A. f(x) = x^2 B. f(x) = x^2 + 2x C. f(x) = x^2 + 4x D. f(x) = x^2 + 6x答案：C解析：将 x=y=0 代入方程得到 f(0) = 0，将 y=0 代入方程得到 f(x) = f(x) + f(0)，所以 f(0) = 0。
将 y=x 代入方程得到 f(2x) = 4f(x)，所以 f(2x) =4f(x) = 4(x^2 + 2x) = (2x + 4)^2。
所以 f(x) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4。
2.在等差数列 1, 3, 5, 2015 中，有多少个数能被 3 整除？ A. 672 B. 671C. 670D. 669答案：A解析：等差数列的公差是 2，所以第 n 项是 1 + (n-1)2 = 2n-1。
要使 2n-1 能被 3 整除，则 n 必须是 3 的倍数。
2015 ÷ 3 = 671 余 2，所以有 671 个数能被 3 整除。
3.设 A 是m×n 的矩阵，B 是n×m 的矩阵，则 AB 的秩为（） A. m B. nC. m + nD. 0答案：D解析：秩的定义是矩阵的非零行的最大数目。
AB 的秩等于 B 的非零行的最大数目，因为 AB 的行是 A 的行与 B 的列的线性组合，所以 AB 的秩不可能超过 B 的非零行的最大数目。
而 B 的非零行的最大数目不可能大于 n，所以 AB 的秩不可能大于 n，所以 AB 的秩为 0。
二、填空题1.设函数 f(x) = x^2 + ax + b，其中 a, b 是常数，f(x) 的图像经过点 (1,2)，则 a + b 的值是 ______。
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析（江南博哥）1 [单选题]A.a<1且b>1B.a>1且b>1C.a<1且a+b>1D.a>1且a+b>1正确答案：C参考解析：2 [单选题]A.B.C.D.正确答案：D参考解析：函数F(x)在x=1处连续，考查可导性，所以答案选D项．3 [单选题]若y=(1+x2)2-，y=(1+x2)2+是微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=（）．A.3x(1+x2)B.-3x(1+x2)C.D.-正确答案：A参考解析：4 [单选题]A.x=0是f(x)的第一类间断点B.x=0是f(x)的第二类间断点C.f(x)在x=0处连续但不可导D.f(x)在x=0处可导正确答案：D参考解析：由连续及可导的定义可知f(x)在x=0点是可导的，其中注意需要讨论左右连续及左右导数．5 [单选题]设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）．A.A T与B T相似B.A-1与B-1相似C.A+A T与B+B T相似D.A+A-1与B+B-1相似正确答案：C参考解析：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，两端分别取逆与转置可得：P-1A-1P=B-1，B项正确；P T A T(P T)-1=B T，A项正确；P-1(A+A-1)P=P-1AP+P-1A-1P=B+B-1，D项正确．6 [单选题]设二次型f(x1，x2，x3)=，则f(x1，x2，x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）．A.单叶双曲面B.双叶双曲面C.椭球面D.柱面正确答案：B参考解析：求出二次型矩阵的特征值，设1，负惯性指数为2，从而二次型f(x1，x2，x3)=2表示双叶双曲面．7 [单选题]设随机变量X～N(μ，σ2)(σ>0)，记P=P|X≤μ+σ2}，则（）．A.P随μ的增加而增加B.P随σ的增加而增加C.P随μ的增加而减少D.p随σ的增加而减少正确答案：B参考解析：将X标准化．8 [单选题]随机试验E有三种两两不相容的结果A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为，将试验E独立重复2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（）．A.-B.-C.D.正确答案：A参考解析：二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布列为：9 [填空题]_______.参考解析：【解析】10 [填空题]向量场A(x，y，z)=(x+y+z)i+xyj+zk的旋度rotA=_______.参考解析：j+(y-1)k【解析】11 [填空题]设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z—y2=x2f(x-z,y)所确定，则出dz|(0,1)=_______.参考解析：-dx+2dy【解析】方程两边求全微分得12 [填空题]设函数_______.参考解析：13 [填空题]_______.参考解析：14 [填空题]设X1，X2，…，X n为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，样本均值=9．5，参数μ的置信度为0．95的双侧置信区间的置信上限为10．8，则μ的置信度为0．95的双侧置信区间为_______.参考解析：(8.2，10.8)【解析】置信区间中心为x，可知置信下限为9.5-(10.8-9.5)=8.215 [简答题]参考解析：解：积分区域关于x轴对称，设D，为x轴上方区域，如右图．16 [简答题]设函数y(x)满足方程y”+2y’+ky=0，其中0<k<1．(I)(Ⅱ)参考解析：解：17 [简答题]参考解析：解：18 [简答题]参考解析：解：19 [简答题]已知函数f(x)可导，且f(0)=1，0<f’(x)<．设数列{x n}满足x n+1=f(x n)(n=1，2，…)，证明：(I)(Ⅱ)参考解析：证明：(I)由lagrange中值定理可知20 [简答题]当a为何值时，方程AX=B无解、有唯一解、有无穷多解?在有解时求此方程．参考解析：解：当|A|≠0时，可知方程AX=0有唯一解．21 [简答题](I)求A99；(Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1，α2，α3)满足B2=BA．记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．参考解析：解：(I)因此A的特征值为λ1=0，λ2=-1，λ3=-2．当λ1=0时，解(0E-A)x=0，即Ax=0．22 [简答题]设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0<x<1，x2<y<}上服从均匀分布，(I)写出(X，Y)的概率密度；(Ⅱ)问：U与X是否互相独立?并说明理由；(Ⅲ)求Z=U+X的分布函数F(z)．参考解析：解：23 [简答题](I)求T的概率密度；(Ⅱ)确定a值，使得aT为θ的无偏估计．参考解析：解：(I)T的分布函数为。
2016考研数学一真题及解析答案
2016考研数学（一）真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩K ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016考研数学一试题及答案详解
(8) 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1 , A2 , A3 ,且三种结果发生的概率均为
1 ,将试验 E 独 3
立重复做 2 次， X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数， Y 表示 2 次试验中结果 A2 发生的次数， 则 X 与 Y 的相关系数为 （ ） (B)
1 2 【答案】(A) 【解析】方法一：
x, x 0, (4) 已知函数 f ( x) 1 则 1 1 , x , n 1,2, , n n 1 n
(A) x 0 是 f ( x )的第一类间断点. (C) f ( x )在 x 0 处连续但不可导. 【答案】(D) 【解析】因为 lim f ( x) lim x 0 ， lim f ( x ) lim
2 2 (11) 设函数 f u, v 可微， z z x, y 由方程 x 1 z y x f x z , y 确定，则
dz | 0,1 _____ .
5
【答案】 dx 2dy 【解析】将 x 0, y 1 代入 ( x 1) z y 2 x 2 f ( x z , y ) 得 z 1 .
所以相关系数 XY
Cov ( X , Y ) D( X ) D(Y )
1 2
.
4
方法二： 设 Z 表示 2 次试验中结果 A3 发生的次数，则 X Y Z 2 。 根据方差的性质有 D(Y )=D( 2 X Z ) D( X Z ) D( X ) D( Z ) 2Cov( X , Z ) ，注意 到 D(Y ) D( X )=D( Z ), Cov( X , Z ) Cov( X , Y ) ，从而 D( X )= 2Cov( X , Y ) 。所以根据相关 系数的定义有 XY
2016考研数一真题及答案解析
( x 1) 2 , x 1, x (ln x 1) 1, x 1. ( x 1) 2 , x 1,
（C） F ( x)
x(ln x 1) 1, x 1.
( x 1) 2 , x 1, （D） F ( x ) x (ln x 1) 1, x 1.
X
} ( ), ( x)为标准正态分布的分布
函数， ( x) 是单调增加的，故选（B）. （8）随机试验 E 有三种两两不相容的结果， A1 , A2 , A3 ,且三种结果发生的概率均为
1 ， 3
将试验 E 独立重复做 2 次，X 表示 2 次试验中结果 A Y 表示 2 次试验中结果 A2 1 发生的次数， 发生的次数，则 X 与 Y 的相关系数为（ （A） ）
2 9
2 9
1 9
0
2 9
4 9
2
p j
所以 EX 0
1 9 4 9 4 4 2 2 1 2 , 9 9 9 3
2 8 8 , EX 2 , EY 2 , 3 9 9
0
0
1 9
4 9
1 9
同理可得 EY
2 4 , Cov ( X , Y ) EXY EXEY , 9 9 4 4 DX EX 2 E 2 X , DY EY 2 E 2Y , 9 9 EXY
(0,1) 1, z zx y (0,1) 2, dz (0,1) dx 2dy
（12）设函数
f (x) arctanx
x , 且f (0) 1, 则a 1 ax2
解析： f ( x) x 因此 a