保守系统的混沌控制
混沌控制理论及其应用
混沌控制理论及其应用混沌，似乎成为了当代科学中一种独树一帜的现象。
它不仅仅存在于物理学领域中的某些现象之中，还可以在经济、环境、生物等更广泛的领域中发现。
虽然混沌其自身并不是那么重要，但是人们对混沌控制理论的研究确实为我们日常生活中的各种现象做出了一些很好的解释，同时控制混沌现象，还可以为现代科技应用中的精确控制提供一些思路。
混沌控制理论定义为一种高度复杂的非线性系统类型，并指出控制这种混乱随机现象是一项极具挑战性的任务。
混沌是非晶体态物质的一个经典代表，它呈现出无序的外表和复杂内部结构。
混沌的内部结构不仅取决于起源，还受制于交互作用和外部因素。
从生命的角度来看，混沌构成了多级分层结构，这些结构决定了不同层次下的特性。
科学家们通过运用混沌控制理论，已经发现了多种有意义的应用。
混沌控制理论一般分为两类，分别是量化控制和演化控制。
量化混沌控制要清楚地定义混沌现象，通过使用控制参数来限制该现象的演化，使得它能够能够满足不同的要求。
演化混沌控制往往采用基于混沌现象的动态模拟和演化的机制。
当这种机制满足参数要求时混沌状态得以控制。
在某些应用中，混沌控制理论的应用非常广泛，例如数据加密和位移混沌通讯等领域，混沌系统具有高度随机性，是加密科技的重要发展方向。
另外，混沌控制系统在功率控制系统中也能发挥重要作用，特别是在滑模控制领域中的电气电子技术中更是如此。
在控制系统的设计和分析中，动态性质的分析是至关重要的。
同时，混沌控制系统在机器人技术和微型自主测量系统等方面的应用也非常广泛。
在一些实验中，甚至能够制造出一些非常类似于动物行为的混沌状态。
例如，混沌系统在模拟昆虫堆集时的行为和一些动物的行为非常相似。
这些相似之处表明，混沌控制理论为在复杂系统和生物场合的模拟控制提供了一种可能。
总之，混沌控制理论为我们解释并控制日常生活中的复杂系统、研究生物和环境现象提供了参照。
虽然混沌控制系统与普通控制系统有所不同，但是不管是在学术研究还是在应用控制系统开发中，我们都应该进一步深化研究，以更好地实现系统的控制和优化。
混沌系统的应用与控制研究
混沌系统的应用与控制研究混沌系统是指不断变化且表现出无序、随机、非线性等复杂性质的系统。
混沌系统在自然界中有着广泛的应用，如气象系统、生物系统、电路系统等。
此外，混沌系统在通信、保密、图像处理等领域也有很多实际应用。
混沌系统的产生是由于非线性系统中微小扰动在演化过程中不断放大，从而导致系统的表现出混乱的状态。
混沌系统的特点是不可预测、不稳定、无常、复杂等。
混沌系统对于一些领域的发展有着重要的作用，但是控制混沌系统是个挑战。
混沌控制一般是指通过一种控制手段去调节并稳定混沌状态以达到控制的目的。
下面我们将会详细介绍一些混沌系统的应用和控制方法。
一、混沌系统的应用1. 混沌通信混沌通信是一种新型的保密通信方式，它利用混沌系统的混乱性来保证通信的安全性。
混沌通信具有抗干扰、抗窃听等特点，已经被广泛应用于军事、金融和通信等领域。
其基础原理是通过混沌系统，将明文转化为混沌信号，然后发送到接收端，再通过相同的混沌系统进行解密。
混沌通信的保密性大大增加了通信的安全性，也为信息的保密传输提供了新的方法。
2. 混沌控制混沌控制可以用于一些实际应用中。
例如，在磁悬浮列车、空气动力学、化学反应等领域，混沌控制可以用于实现对系统的优化和调节。
混沌控制的方法有很多，例如针对可逆系统的方法、基于自适应控制的方法、基于反馈控制的方法等。
混沌控制的研究对于提高系统性能和稳定性具有重要意义。
3. 混沌密码学混沌密码学是一种新的密码保护方式，它使用混沌系统来生成随机数，这些随机数用于加密信息。
混沌密码学大大提高了密码保护的安全性。
混沌密码学与其他传统密码学的不同在于，混沌密码学生成的密钥是基于混沌系统的随机序列，这种序列是没有可确定规律的，从而可以提高密码的随机性和保密性。
二、混沌系统的控制方法1. 混沌控制的反馈控制方法反馈控制方法是一种常见的混沌控制方法，它通过在混沌系统中引入反馈控制，实现对混沌系统的稳定和控制。
在反馈控制策略中，系统的输出被量化，并与目标量进行比较，然后产生一个控制信号，该信号与系统中引入的反馈信号相加，修正系统的状态。
混沌控制、同步及加密的开题报告
混沌控制、同步及加密的开题报告一、研究背景混沌系统具有非线性、复杂性和随机性等特点，因此在通信、加密、控制等领域具有广泛的应用。
其中，混沌控制可以通过控制方法对混沌系统进行稳定控制，实现预定的目标。
混沌同步可以将两个或多个混沌系统的状态同步，用于安全通信和加密。
混沌加密则是利用混沌系统的复杂性和随机性设计的一种加密方案，目的在于保障信息的安全性。
二、研究内容本文将分别从混沌控制、同步及加密这三个方面进行研究，具体研究内容如下：1. 混沌控制：采用控制方法对混沌系统进行非线性控制，实现系统稳定控制和目标追踪，探讨不同的混沌控制方法在系统控制效果和复杂性方面的比较。
2. 混沌同步：研究不同混沌同步方案在同步效果和实现难度方面的比较，分析不同同步方案的安全性与通信效率，探讨混沌同步在通信和加密中的应用价值。
3. 混沌加密：研究基于混沌系统的加密算法，包括分组密码和流密码两种方式，分析不同加密算法在信息安全、实现难度和加密效率方面的差异，探讨混沌加密在信息安全领域的应用前景。
三、研究意义本文的研究意义在于：1. 探索混沌系统在控制、同步和加密中的应用，促进混沌系统在不同领域的发展和应用。
2. 基于对混沌控制、同步和加密的研究，提出适用于不同场景的混沌系统的应用方案和技术，提高混沌系统的实用性和应用效果。
3. 通过研究混沌控制、同步和加密，深入了解混沌系统的特性和优势，为混沌系统的进一步研究提供理论和技术支持。
四、研究方法本研究将采用实验和仿真方法进行研究，具体步骤如下：1. 实验：设计混沌电路实验平台，对混沌系统进行控制、同步和加密等实验，通过实验数据和实验结果进行分析和探讨。
2. 仿真：采用MATLAB等工具进行混沌模型的建立和仿真，对不同的混沌控制、同步和加密方案进行模拟实验，通过仿真结果进行分析和探讨。
五、预期结果本文预期主要结果包括：1. 对不同混沌控制、同步和加密方案在控制效果、同步效果和加密效率等方面进行分析和探讨，总结出各自的优劣和适用场景。
混沌系统的控制与优化研究
混沌系统的控制与优化研究混沌系统，指的是表现出无规律、不可预测的行为的系统。
它在自然界和人工系统中都有广泛的应用，包括气象、金融、通信、力学等领域。
混沌系统不仅具有复杂性，还常常表现出一些有用的性质，如随机性、自适应性、非线性响应等。
因此，对混沌系统的控制和优化研究一直是科学家们关注的重要问题。
控制混沌系统的一种常用方法是李雅普诺夫控制，即通过改变系统初始状态或者外部控制信号来驱动系统走向目标状态。
其基本思想是运用某种方式使系统导向一个特定的不动点或周期状态；通过李雅普诺夫指数分析系统的稳定性，计算出李雅普诺夫指数，并在这个指数为正时，对系统进行恢复控制。
除了李雅普诺夫控制，还有很多其他方法被用来控制混沌系统。
例如，反馈线性化控制（Feedback Linearization Control）可以通过反馈线性化、状态反馈等方式，使混沌系统变得可控。
另外，使用非线性控制器、基于模糊逻辑的控制、基于神经网络的控制等方法也是控制混沌系统的有效手段。
对混沌系统的优化研究主要集中在优化目标函数的选择、优化算法的设计、优化问题的收敛性等方面。
目标函数的选择是混沌系统优化问题中的重要因素，通过适当的选择可以更好地反映实际问题。
而优化算法的设计则涉及到了模型、参数的选择以及方程求解等问题，需要科学家们在理论上做足功夫。
同时，优化问题的收敛性也是优化研究中不可忽视的问题，通过理论分析和实验验证，得出收敛性的规律性和影响因素，为混沌系统的优化研究提供重要的参考。
总的来说，混沌系统的控制和优化研究是一个充满挑战和未知的领域。
科学家们需要在理论和实践中探索通往成功的方法。
只有不断探索，才能走出一条科学研究的新路，为人类社会的发展做出积极贡献。
混沌控制理论及其在工业过程中的应用研究
混沌控制理论及其在工业过程中的应用研究混沌控制理论是指对于混沌系统，通过控制方法来达到稳定控制的理论与方法。
它是一种全新的研究领域，旨在解决传统控制理论不能解决的非线性、不确定性和复杂性等问题。
近年来，随着工业自动化水平的不断提高，混沌控制理论在工业过程中的应用也日益广泛。
一、混沌控制理论的基本原理混沌系统是指一类特殊的动力学系统，它具有无序、复杂、敏感性等特点，不受传统线性控制理论的影响。
混沌控制理论基于混沌动力学的研究，通过制定动态变化的控制策略，使混沌系统“趋于有序”，从而实现控制。
在混沌控制中，主要采用两种控制方法：开环控制和闭环控制。
开环控制是指通过输入控制信号直接影响混沌系统的状态，如信号驱动控制和参数控制等；闭环控制则是通过外部的反馈信号来控制系统，其中最常用的方法是反馈控制。
二、混沌控制在工业过程中的应用混沌控制理论的应用范围非常广泛，特别是在工业自动化领域，其应用更是不可忽视。
混沌控制可以改善生产过程中的稳定性、效率和质量等方面的问题，具有重要的应用价值。
1. 混沌控制在化工生产中的应用化工生产过程中的反应动力学是非常复杂的，传统的控制方法往往难以适用。
混沌控制理论可以实现对化学反应的控制，为化工生产提供了新的思路。
比如在化工过程中，混沌动力学系统的控制可以实现对反应速率的调节，控制反应温度的变化范围，避免反应过程中产生的危险品等。
此外，在化工生产中采用混沌控制还可以减少能量的浪费，提高能耗利用率。
2. 混沌控制在机械加工中的应用机械加工中需要对加工精度、速度和力度等多个方面进行控制，而混沌控制可以有效地应对此类问题。
例如，采用混沌控制技术可以控制刀具的速度、切削深度和加工力等参数，提高机械加工的精度和效率。
在数控机床中，采用混沌控制技术还可以实现高精度切削，并保持加工的稳定性。
3. 混沌控制在气体分离中的应用气体分离是一种具有广泛应用前景的技术，而混沌控制技术可以用于气体分离过程的控制。
混沌控制系统的设计与实现
混沌控制系统的设计与实现随着科学技术的不断发展，生活中的许多问题也在不断地得到解决，如何控制混沌系统是其中之一。
混沌系统指的是表现出无序多样且难以预测的动态行为的系统。
这种系统在天文学、气象学、地球物理学、生物学、经济学、社会学等领域有广泛的应用价值。
本文将介绍混沌控制系统的设计与实现。
一、混沌控制基础混沌系统可以用动力学方程进行描述，许多混沌系统都可以用下面的洛伦兹方程来表示：$\frac {dx}{dt}=\sigma (y-x)$$\frac {dy}{dt}=x(\rho -z)-y$$\frac {dz}{dt}=xy-\beta z$其中，x,y,z是状态变量，$\sigma$、$\rho$、$\beta$ 是常数。
由于混沌系统的无序性，控制系统需要使用混沌控制技术来实现对这种系统的控制，保证其稳定性和可靠性。
混沌控制技术是指通过在混沌系统中添加控制器，对其状态变量进行调整，使其在特定状态下表现出特定的行为，从而实现对混沌系统的控制。
二、混沌控制系统的设计流程混沌控制系统的设计包括控制器设计和系统参数调整两个方面。
（1）控制器设计混沌控制系统中的控制器通常是一个混沌电路，其输出信号作为输入信号加入到混沌系统中。
控制器的设计需要满足以下几点要求：①控制器的混沌特性要与系统的混沌特性相适应，即需要选择适合当前系统的混沌电路。
②控制器的混沌特性需要与系统的混沌特性相同步。
③控制器的输出信号需要与系统的状态变量相对应。
为了达到这些要求，我们可以通过实验、模拟以及计算等方法进行设计和优化。
目前，常用的混沌电路包括Van der Pol电路、Duffing电路、Chua电路、Lorenz电路等。
（2）系统参数调整混沌控制系统的稳定性和可靠性与其系统参数的选择有着很大的关系。
在控制器设计好之后，还需要对混沌系统的参数进行调整，使得系统在控制器作用下保持稳定或者达到预定的混沌行为。
具体调整过程需要根据实际情况进行调整。
保守系统的混沌控制
第22卷第4期物理学进展Vol.22,No.4 2002年12月PROGRESS IN PHYSICS Dec.,2002文章编号:1000O0542(2002)04O0383O23保守系统的混沌控制许海波1,陈绍英2,3,王光瑞1,陈式刚1(1.北京应用物理与计算数学研究所,北京100088;2.中国工程物理研究院北京研究生部,北京100088;3.呼伦贝尔学院物理系,呼伦贝尔021008)摘要:保守系统的混沌控制是一个重要而富有挑战性的研究课题。
由于L iouv ille定理的限制和初始条件的特殊作用,使得适用于耗散系统的混沌控制方法不能直接用于保守系统。
本文通过对耗散系统和保守系统混沌运动的特征进行分析和比较,阐述了保守系统混沌运动的规律,总结了近期研究过程中一些典型的基本理论和方法,综述了近年来保守系统混沌控制的相关进展和我们在保守系统的混沌控制方面所做的工作,并对保守系统混沌控制的应用和发展方向进行了展望。
关键词:混沌控制;保守系统;标准映象;KAM环中图分类号:O415.5文献标识码:A0引言混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性,表现为对初值的敏感依赖性,或对小扰动的极端敏感性。
因此,混沌控制就成为混沌研究和应用的重要方向。
混沌控制注重于分析混沌系统对外加驱动信号的响应,研究这种非线性响应规律,并考虑如何利用这种响应规律来影响和改造混沌运动将其引向人们所期望的目标。
1989年,Hubler和L scher 发表了控制混沌的第一篇文章[1]。
1990年,Ott,Grebogi和Yorke基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这一事实,通过对系统参数作小扰动并反馈给系统,实现了把系统的轨道稳定在无穷多不稳定周期轨道的一条特定轨道上。
这就是著名的OGY 混沌控制方法(或称参数微扰法)[2]。
之后,混沌控制的理论与应用研究蓬勃发展,人们提出了一系列控制混沌的方法[3~37]。
混沌控制目标也由最初的不动点、低周期轨道的稳定发展到高周期轨道、准周期轨道的稳定;控制的对象也由最初的低维系统发展到高维系统,乃至于无穷维系统(时空混沌)[38~41]。
混沌控制及OGY方法
1.3混沌控制混沌控制一般分为：消除，抑制混沌现象的发生。
即就是使系统稳定到期望的平衡点或周期轨道；另一个是使原混沌系统产生新的混沌现象或使原本稳定的系统产生混沌现象，这也就是所谓的“混沌反控制”问题，它的目的是诱导出有用的混沌现象。
因为还没有建立系统的混沌理论，对混沌发生的机制理解的不够全面，混沌反控制问题是一个很有挑战的领域，我们在这里所将的混沌控制仅指对混沌的抑制。
因为混沌所呈现的运动是剧烈震荡的，它的出现常使系统处于不稳定的状态，这在工程中往往是有害的，因而快速地抑制混沌就是我们控制的一个目标。
在混沌吸引子上镶嵌着无数的不稳定周期轨道，而这些周期轨道往往和系统的一些良好的性能相关，这也就成为混沌控制的另一目标。
我们将周期1的轨道成为平衡点，对平衡点的镇定我们可以看做是一般非线性系统的的镇定。
大于周期1的轨道我们常常称为不稳定周期轨道UPOs(Unstable Periodic Orbits)，对于一个混沌系统，如果我们能知道描述系统的动力学方程，其平衡点往往是能被求解出来的，并进行分析的；但是，我们却无法知道它的无稳定周期轨道的动力学特性，将混沌系统控制到自身所包含的一条不稳定周期轨道上，这也就成了混沌控制于其他控制的一个重要区别。
自从OGY法开辟了混沌控制的先河，已经发展了很多方法来进行混沌控制，如偶然正比反馈技术OPF (Occasional Proportional Feedback)[15]，变量反馈控制(Variable Feedback Control)[16-18]，周期脉冲控制法,参数周期扰动法等[19-21]，但这些方法很多都是在一定条件下才有效的。
现在很多学者开始将控制理论中的一些方法应用到对混沌的控制上面取得了非常好的效果，比如PID控制[22-24]，神经网络法[25-28]，模糊控制[29-31]，各种自适应控制[32-40]等，但是由于混沌系统的复杂性，并没有形成一种统一理论，大多数是对某一确定的混沌系统的控制，在这方面还需要大量深入的研究。
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第22卷第4期物理学进展Vol.22,No.4 2002年12月PROGRESS IN PHYSICS Dec.,2002文章编号:1000O0542(2002)04O0383O23保守系统的混沌控制许海波1,陈绍英2,3,王光瑞1,陈式刚1(1.北京应用物理与计算数学研究所,北京100088;2.中国工程物理研究院北京研究生部,北京100088;3.呼伦贝尔学院物理系,呼伦贝尔021008)摘要:保守系统的混沌控制是一个重要而富有挑战性的研究课题。
由于L iouv ille定理的限制和初始条件的特殊作用,使得适用于耗散系统的混沌控制方法不能直接用于保守系统。
本文通过对耗散系统和保守系统混沌运动的特征进行分析和比较,阐述了保守系统混沌运动的规律,总结了近期研究过程中一些典型的基本理论和方法,综述了近年来保守系统混沌控制的相关进展和我们在保守系统的混沌控制方面所做的工作,并对保守系统混沌控制的应用和发展方向进行了展望。
关键词:混沌控制;保守系统;标准映象;KAM环中图分类号:O415.5文献标识码:A0引言混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性,表现为对初值的敏感依赖性,或对小扰动的极端敏感性。
因此,混沌控制就成为混沌研究和应用的重要方向。
混沌控制注重于分析混沌系统对外加驱动信号的响应,研究这种非线性响应规律,并考虑如何利用这种响应规律来影响和改造混沌运动将其引向人们所期望的目标。
1989年,Hubler和L scher 发表了控制混沌的第一篇文章[1]。
1990年,Ott,Grebogi和Yorke基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中这一事实,通过对系统参数作小扰动并反馈给系统,实现了把系统的轨道稳定在无穷多不稳定周期轨道的一条特定轨道上。
这就是著名的OGY 混沌控制方法(或称参数微扰法)[2]。
之后,混沌控制的理论与应用研究蓬勃发展,人们提出了一系列控制混沌的方法[3~37]。
混沌控制目标也由最初的不动点、低周期轨道的稳定发展到高周期轨道、准周期轨道的稳定;控制的对象也由最初的低维系统发展到高维系统,乃至于无穷维系统(时空混沌)[38~41]。
混沌控制正在逐步形成系统化的理论体系。
收稿日期:2002O09O23基金项目:国家重点基础研究专项经费资助,国家自然科学基金(Nos.19835020,19920003);国家自然科学基金理论物理专款(No.10147201);中国工程物理研究院基金资助项目(N o.20000440)384物理学进展22卷混沌控制不仅为混沌应用提供了条件,而且促进了混沌理论和系统控制理论两个方面研究的深入。
混沌控制的目标有两种:一种是基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌入在混沌吸引子中,控制的目标是对其中某个不稳定周期轨道进行有效地控制,根据人们的意愿逐一控制所需的周期轨道。
该控制的特点是并不改变系统中原有的周期轨道。
另一种控制目标则不要求必须稳定原有系统中的周期轨道,而只要求抑制住混沌运动,得到所需的周期轨道,即通过对系统的控制获得人们所需的新的动力学行为,包括各种周期态及其它行为[42~44]。
针对不同的目标,必然采取不同的方法。
混沌控制的方法从原理上可以分为反馈控制和非反馈控制两大类。
反馈控制通常以混沌态中嵌入的不稳定轨道为目标态。
反馈的对象可以是系统参数、系统变量、外部参数等等,但所选择的控制信号都与系统的状态有关。
所以,反馈控制可以保留系统原有的动力学性质,当控制信号趋于零或变得很小时,则将实现前面的第一种目标的控制。
反馈控制的核心问题是目标轨道的局域稳定性问题。
由于混沌运动具有各态历经性质,系统迟早会运行到目标轨道附近。
这样,目标轨道的局域稳定性就足以保证控制的成功。
反馈控制方法包括:条件比例反馈法[3~4],时间延迟反馈法[5~8],连续变量反馈法[9~11],周期脉冲反馈法[12~15],等等。
非反馈控制选择的控制信号不受系统变量的影响,这就完全避免了对系统变量持续的测量。
非反馈控制方法用于实现第二种目标的控制。
非反馈控制方法多种多样,有的非反馈控制不需要事先掌握系统的动力学,实现控制的要求比反馈控制宽松的多。
当然对反馈控制只能提出一些笼统的要求,不能确定具体的周期轨道。
当然有的非反馈控制可以实现人们事先设计的各种轨道,特别是不属于原有动力学系统的轨道。
无论哪种非反馈控制,当混沌被控制住后,系统的目标态通常不是非反馈系统的原有轨道,所以实现控制后控制信号并不趋于零。
非反馈控制方法包括:周期信号驱动法[16~19],输运和迁移控制法[20~21],常数周期脉冲法[22~24],等等。
上述方法都是针对耗散系统的混沌控制,关于保守系统混沌控制的研究很少。
这方面研究的挑战性来源于保守系统没有混沌吸引子,对保守系统混沌行为的研究涉及到相空间的很大区域,而且保守系统的初始条件作为特殊的控制参量对系统的状态起着举足轻重的作用,使得适用于耗散系统的混沌控制方法不能直接用于保守系统。
在本文中,我们通过对耗散系统和保守系统混沌运动的特点进行分析和比较,阐述了保守系统混沌运动的规律,总结了近期研究过程中一些典型的基本理论和方法,综述了近年来保守系统混沌控制的相关进展和我们在保守系统的混沌控制方面所做的工作,并对保守系统混沌控制的应用和发展方向进行了展望。
1保守系统的混沌运动1.1耗散系统与保守系统一个确定论性动力学系统是其状态按照某一确定性规则随时间改变的系统。
根据变化规则是否关于时间连续,可以分为连续动力学系统和离散动力学系统。
连续动力学系统由常微分方程组表示:d d t x (t)=F(x (t))(1)其中x (t )I R N 表示连续时间t 的状态。
如果F 不显含时间t ,称为自治系统;如果F 显含时间t ,称为非自治系统。
对于N 维相空间中的非自治系统,可通过增加一个与t 成正比例的新变量,亦即将相空间延伸一维而使系统变为N +1维自治系统;延时方程也可以化为无穷阶的自治方程。
混沌运动只可能出现在三个以上变量的自治方程组、两个以上变量的非自治方程组、一个以上变量的延时方程中。
离散动力学系统由差分方程或映象给出:x n+1=F(x n )(2)其中x I R N 。
自治微分方程组可通过常用的彭加莱(Poincare)映象,周期驱动的系统可通过分频采样,总可以对应许多个离散映象。
由于进行离散迭代比解微分方程组远为节省时间。
对某些研究目的,如能把微分方程组近似地变为离散映象,那当然是很有益处的。
由于N 维映象至少对应N +1维的流,因此在同样维数下,离散映象的内容总比连续系统更丰富。
离散映象是研究复杂系统的重要简化手段。
设N 维相空间中任何一个N -1维闭合曲面S 所包围的N 维区域的体积为V 。
根据散度定理。
N 维空间的体积元(d V )=dx 1dx 2,dx N 的变化率为+(x)=1V (x )d V (x)d t =div F =E N i=19F i (x)9x i (3)如果对轨道上的各点都有+(x)<0,则所对应的流称为耗散流,相应的系统称为耗散动力学系统;如果对轨道上的各点都有+(x )=0,则所对应的流称为保测度流,相应的系统称为保守动力学系统。
对于N 维映象,每次迭代后,体积元(d V )=dx 1dx 2,dx N 收缩一个因子det J(x ),其中J 为映象的雅可比(Jacobian)矩阵:J(x n )Sx n+1x n (4)其中映象的体积收缩率为+(x)=1d V 9d V 9n =log det J (x)(5)如果+(x)<0,则映象称为耗散映象。
在许多问题中,+(x )=常数。
当+(x)=0亦即det J(x n )=1,则映象称为保守映象。
特别是当N =2,+(x )处处为零的映象是平面对其自身的保面积映象[45]。
保守系统代表着孤立系统或受外界确定性作用的系统,因此常常存在许多的不变特性,它们表达为系统的不变量,如系统的能量。
如果一个系统的哈密顿(Hamilton)函数H 不显含时间t ,则H 不随时间变化,是一守恒量,这样的系统就称为保守系统。
如果H 中显含时间t ,可以引入2(n +1)维相空间,其第n +1个坐标为t ,第n +1个动量为-H 。
385 4期许海波等:保守系统的混沌控制这样做就可以将系统变为不显含时间t的H amilton系统,新系统的Ham ilton函数记为H,是一守恒量,所以新的系统是一个保守系统[46]。
任一Hamilton系统都可以化为保守系统,因此Hamilton系统和保守系统这两个名词可以互用。
Liouville定理给出了保守系统在相空间的运动规律,即相空间的体积在运动中保持不变。
保守系统的另一个重要的不变性质是面积的不变性,即相空间中的一条闭曲线在各子空间上所包围的面积之和是不变的。
保面积定理在混沌研究中有重要的应用。
1.2近可积系统Neother定理表明系统的不变量往往对应于系统存在着对称性[47]。
如果系统对称性或不变量的数目与系统的自由度相等,系统的演化完全由这些对称约束来确定,那么系统是可积的。
系统的演化是这些对称性约束下的周期运动或准周期运动,这取决于系统的初始条件。
如果系统不存在这种对称性或这种对称性遭到破坏,则系统不再受这些对称的规则所约束。
绝大多数具有两个或两个以上自由度的保守系统都是不可积系统。
如果一个不可积系统能看成受微扰的可积系统,就称为近可积系统。
近可积系统至少是二自由度的,它可等价于与时间有关的单自由度哈密顿系统。
近可积系统与可积系统的根本区别是前者存在混沌运动。
二自由度可积系统由H=H0(J1,J2)描述,其运动轨迹落在J1、J2为常数的二维环面上,有H1=X1t+H1(0),H2=X2t+H2(0)(6)式中X j(J1,J2)=9H0/9J j(j=1,2)。
如果A=X1/X2为有理数,即X1与X2可公度,环面退化为闭曲线;如果A=X1/X2为无理数,即X1与X2不可公度,准周期轨道布满整个环面。
在给定等能面中取H2=常数的(J1,H1)面为庞加莱(Poincare)截面,则轨道与该截面的交点处在J1=常数的圆上。
庞加莱截面上点的运动由二维映象J n+1=J n,H n+1=H n+2P A(J n+1)(7)给出。
上式满足扭转条件:9H n+1/9J n X0,所以称之为扭转映象(tw ist map)。
A称为绕数,扭转映象的绕数A与半径有关。
二自由度近可积自治哈密顿系统可写成H=H0(J1,J2)+E H1(J1,J2,H1,H2)(8)其中E是微扰参数。
取H2=常数的(J1,H1)面为庞加莱截面,得到受扰扭转映象J n+1=J n+E f(J n+1,H n)H n+1=H n+2P A(J n+1)+E g(J n+1,H n)(9)映象(7)和(9)满足保面积条件:9f9J n+1+9g9H n=0(10)因此是保面积映象。