典型混沌系统和混沌同步的简介

2典型混沌系统和混沌同步的简介
2.1典型混沌系统的介绍
混沌从表述形式上大体包括两大类：以微分方程表述的时间连续函数和以状态方程表述的时间离散函数。

时间离散系统多用于扩频通信，而时间连续函数多见于保密通信之中。

介于本文主要考虑连续系统在保密通信之中的应用，这里就重点介绍连续时间混沌系统中的典型模型：Lorenz 系统、蔡氏电路、统一混沌系统。

2.1.1 Lorenz 系统
混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。

他提出了著名的Lorenz 方程组：
()
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧----cz xy y xz bx y x y a x ＝ｚ＝＝。

(2-1)
这是一个三阶常微分方程组。

它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。

式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统 (2-1)的主要控制参数。

k
v a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。

在参数范围为)1/()3(--++⋅>c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。

在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x 、y 随时间t 的变化情况。

图2.1 Lorenz 系统的吸引子
图2.2 分量x随时间t的变化情况
图2.3 Lorenz系统的x-y相图
总体上，Lorenz吸引子由左右两个环套而成，每个环绕着一个不动点，它实际上是一条双螺旋的曲线，就像以十分灵巧的方式交织起来的一对蝴蝶的翅膀。

这个吸引子中的环和螺线有无穷的深度，它们之间可以无限靠近，但永远不会相交，仅占据有限的空间，具有无穷嵌套的复杂结构。

例如，随着时间的演化，每一个环都靠得很近的无穷多层，每层上都密密麻麻的排列着无穷多个螺线，它代表系统的相点在右侧转几圈后又跳到左侧转几圈，运动轨道无法预测什么时候从这一侧过渡到另一侧，并且它所绕各自中心的方式和圈数也是个明显的随机数。

这就是混沌状态。

2.1.2蔡氏电路[23]
在诸多用于混沌研究的非线性电路系统中，有一类是分段线性的非线性系统，它们共同的特点是易于进行数学分析和物理实现。

其中蔡氏电路最为著名。

在许多文献中都以蔡氏电路为基础研究了混沌现象。

它的优点在于极为简单的系统就产生了极为复杂的动力学行为，人们从不同角度研究蔡氏电路以及它的变形电路，发现了几乎所有目前已知的动力学现象，如倍周期分叉、周期运动、阵发性混沌、奇异非混沌、混沌等。

蔡氏电路及其变形电路己经成为研究动力学行为的一个重要模型，而且蔡氏电路的应用研究已经遍及诸多领域，如保密
通信、手写特征识别、音乐的产生，以及利用蔡氏电路组成的时空系统进行轨迹识别等。

蔡氏电路是一个三维自治振荡系统，如图2.4(a)所示，由四个线性元件电感L,电阻R ，电容C 1，C 2和非线性电阻N 组成。

蔡氏电路可由以下状态方程描述：
()[]()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=--=221221121111)(1C L L C C C c C C c v L dt
di i v v G C dt dv v g v v G C dt dv (2-2) 其中G=1/R ，)(1C v g 是蔡氏二极管的分段线性i v -特性，如图2.7 (b)，表示
))((2
1)(1101101P C P C C C B v B v m m v m v g --+-+= (2-3) 现简化电路，令
()012
212212,,,,,,,m R b m R a L
R C C C G B i z B v y B v x C G t P L P C P C ⋅=⋅======⋅=βατ，我们可得到该电路的无量纲方程：
()
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+-=--=y z z
y x y x f x y x βα．．
．
)( (2-4) 其中
()11)(2
1)(--+-+=x x b a bx x f (2-5) NR
2C v 1C v L i
（a ）蔡氏电路
(b) R N 伏安特性
图2.4蔡氏电路及其非线性电阻特性
分析该混沌电路模型有如下特点：
(1)方程(2-4)关于状态空间原点是对称的，即式(2-4)中的((x, y, z)用(-x,-y,-z)代替时，方程保持不变。

且在状态空间的三个子空间
(){}()(){}(){}1,,,1,1,,,1,,0-≤=-∈=≥=-+x z y x D x z y x D x z y x D
中各有一个平衡点，分别记为：()()()k k p p k k p ,0,,0,0,0,,0,0---+，其中1
+-=b a b k 。

(2)在上述的子空间中，方程均属线性，取：()()⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡--+-=0011101,,b
a c a c
b a A
令()(),,0,,,,k k K z y x x -==∧则系统的状态方程可写成：
()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∧∧∧∧+∧∧∧D x K x a A D x x
b A D x K x a A x ,,,,,,0βαβαβα (2-6)
蔡氏二极管的伏安特性与参数P B m m ,,10的选取有关，其中10,m m 的大小直接关系到蔡氏电路的解行为和吸引子的结构。

为简便起见，将蔡氏电路中的吸引子分成两类：当10m m >，称为第一种蔡氏吸引子；当10m m <称为第二种蔡氏吸引子。

这里只仿真第一类混沌吸引子。

取68.0,27.1,87.14,10-=-===b a βα时，初始值为385.0,067.0,513.0000=-==z y x ，其吸引子如图2.5，2.6所示。

图2.5蔡氏电路第一类混沌吸引子
图2.6蔡氏电路的),(y x 相图
2.1.3统一混沌系统
1963年，美国气象学家E.N. Lorenz 在对流实验中发现了第一个混沌吸引子，Lorenz 吸引子为混沌研究提供了一个重要模型。

七十年代以来掀起了一股揭示混沌现象，研究混沌理论的热潮。

1999年，陈关荣教授在研究混沌反控制过程中发现了一个与Lorenz 类似的混沌吸引子--Chen 吸引子[24]。

2002年，吕金虎、陈关荣等又提出了一个新的混沌系统--统一混沌系统[25-27]，这一系统连接了Lorenz 吸引子和Chen 吸引子。

统一混沌系统的数学模型为：
()()
()()()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=--+-=-+=3/81293528102532133121212x x x x x x x x x x x x αααα。

１ (2-7)
式(2-7)中α为系统参数，当]1,0[∈α时系统均为混沌态。

当)8.0,0[∈α时，统一系统属于广义Lorenz 系统；当]1,8.0(∈α时，统一系统属于广义Chen 系统；8.0=α属于广义
.
．u L 系统。

现以46.0=α为例，给出统一混沌系统吸引子的数值仿真结果，如图2.7，2.8所示。

图2.7 统一混沌系统的吸引子
图2.8统一混沌系统的),(y x 相图
理论分析和数值实验表明，Chen 吸引子相比Lorenz 吸引子具有类似但不同、而且是更加复杂的拓扑结构和动力学性质。

统一混沌系统本质上是Lorenz 系统和Chen 系统的凸组合，代表了由中间无穷多个混沌系统组成的整个族，具有连接Lorenz 系统和Chen 系统的重要作用。

当参数α由0增加到1时，系统(2-7)由Lorenz 吸引子穿过临界吸引子然后连续演变到Chen 吸引子。

当α=0.8时，统一混沌系统的最大Lyapunov 指数达到Lyapunov 指数谱的最高峰，39607.2m ax =λ。

另阅读
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