基本初等函数(11)
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基本初等函数
指数函数
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。
(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3)函数图形都是下凸的。
(4) a>1时,则指数函数单调递增;若0 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过指数函数程中(不等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。 (7)函数总是通过(0,1)这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b) (8)指数函数无界。 (9)指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 (10)当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。 (11)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。函数图像 (1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。 (2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。 (3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)》。 (4)y=a的x次方与y=a分之1的x次方的图像关于y轴对称。 幂的比较 比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。 比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。 例如:y1=3^4,y2=3^5,因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以y2大于y1。 (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如:y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1. (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如: <1> 对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。 <2> 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如: a 〉1且x 〉0,或0〈 a〈 1且 x〈 0)时,a^x 大于1,异向时a^x小于1. 〈3〉例:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数; ⑵y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数 定义域 x∈R 指代一切实数(-∞,+∞),就是R。 值域 对于一切指数函数y=a^x来讲。他的a满足a>0且a≠1,即说明y>0。所以值域为(0,+∞)。a=1时也可以,此时值域恒为1。 指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果存在实数x,使得x^n=a(a∈R,n〉1,N+)则x叫做a的n次方根(nthroot)。 当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand). 当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±(>0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。 注意:当是奇数时,,当是偶数时, 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 对数函数 一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log aN=b,读作以a为底N的对数,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。一般地,函数y=log(a)X,(其中a是常数,a>0且a不等于1)叫做对数函数,它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。 定义 真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零, 底数则要大于0且不为1 。对数函数的底数为什么要大于0且不为1?【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是,根据对数定义:log以a为底a的对数;如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等)】 通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N 记为lgN。另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把loge N 记为In N。根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系: 当a 〉0,a≠ 1时,a^X=N→X=logaN。 由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论: 在实数范围内,负数和零没有对数 loga a=1 log以a为底a的对数为1(a为常数) 恒过点(1,0) 对数函数 对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。 (1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。 (2)对数函数的值域为全部实数集合。 (3)函数图像总是通过(1,0)点。 (4) a大于1时,为单调增函数,并且上凸;a大于0小于1时,函数为单调减函数,并且下凹。 (5)显然对数函数无界。 对数函数的常用简略表达方式: (1)log(a)(b)=log(a)(b) (a为底数) (2)lg(b)=log(10)(b) (10为底数) (3)ln(b)=log(e)(b) (e为底数) 对数函数的运算性质: 如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么: (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n属于R) (4)log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n属于R) (5) a^log(a)(N)=N 对数与指数之间的关系 当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n属于R) 换底公式(很重要) log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数以e为底 e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828) lg 常用对数以10为底 表达方式 (1)常用对数:lg(b)=log(10)(b) (2)自然对数:ln(b)=log(e)(b) 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义 对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y。因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:关于X 轴对称、 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。 性质 定义域求解:对数函数y=loga x 的定义域是{x ︳x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需满足{x>0且x≠1} 。 {2x-1>0 ,x>1/2且x≠1},即其定义域为 {x ︳x>1/2且x≠1}值域:实数集R 定点:函数图像恒过定点(1,0)。 单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸 对数的图像0 奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性。 周期性:不是周期函数 零点:x=1 注意:负数和0没有对数。 两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。解释如下: 也就是说:若y=log(a)b (其中a>0,a≠1,b>0) 当00; 当a>1, b>1时,y=log(a)b>0; 当a>1, 0 定义 一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y 的关系, 用y把x表示出,得到x= g(y). 若对于y在C中的 任何一个值,通过x= g(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x= g(y)就表示y是自变量,x是因变量是y的函数,这样的函数y= g(x)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 用法 例:三角函数中 正切函数和它的反函数:f(x)=tanx ->f(x)=arctanx 余切函数和它的反函数:f(x)=cotx->f(x)=arccotx 指数函数和它的反函数:f(x)=x^a->f(x)=logax 性质 反函数其实就是y=f(x)中,x和y互换了角色 (1)函数f(x)与他的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称; 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称(2)函数存在反函数的重要条件是,函数的定义域与值域是一一映射; (3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; (4)大部分偶函数不存在反函数(当函数y=f(x),定义域是{0} 且 f(x)=C (其中C是常数),则函数f(x)是偶函数且有反函数,其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} )。奇函数不一定存在反函数,被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数; (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; (7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】; (8)反函数是相互的且具有唯一性; (9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反); (10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)(在有反函数的情况下,即满足(2))。 例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题:求函数y=3x-2的反函数 解:y=3x-2的定义域为R,值域为R。 由y=3x-2,解得: x=(y+2)/3 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=(x+2)/3(x属于R) (11)反函数的导数关系:如果x=f(y)在区间I上单调,可导,且f’(y)≠0,那么它的反函数y=f’(X)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导,且[f'(x)]'=1\[f'(x)]'。 (12)y=x的反函数是它本身。 (13)互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称 幂函数 形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。 当a取非零的有理数时是比较容易理解的,而对于a取无理数时,初学者则不大容易理解了。因此,在初等函数里,我们不要求掌握指数为无理数的问题,只需接受它作为一个已知事实即可,因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。 性质 所有的幂函数在(0,+∞)上都有各自的定义,并且图像都过点(1,1)。 (1)当a>0时,幂函数y=x^a有下列性质: a、图像都通过点(1,1)(0,0) ; b、在第一象限内,函数值随x的增大而增大;