收益率曲线拟合技术
曲线拟合分析
曲线拟合分析
曲线拟合分析是数学统计中一种常用的非参数估计方法。
它用
于拟合一组多变量数据，以获得最佳拟合的函数，并且将其用来建立
一个数学模型以描述这组数据的规律。
曲线拟合分析的适用条件是，
数据不必是精确的函数关系，而且可以包含误差和噪声。
曲线拟合分析可以使用各种不同拟合函数，如线性函数、多项式
函数、指数函数、对数函数等。
具体的方法有多种，包括最小二乘法、最小中心加权平方法、最小均值方差变换方法等。
此外，还可以使用
优化算法进行复杂的拟合。
曲线拟合分析的主要优点是，无论数据多项式函数的形式如何，
都可以使用多种拟合函数拟合，从而获得较好的精度。
此外，由于曲
线拟合不需要假设数据服从特定的分布，因此能够更好地描述复杂的
数据结构。
另外，曲线拟合分析也可用来探究参数之间的关系，从而提出更
有意义的结论，增加对数据的认识。
在实际应用中，曲线拟合分析广泛应用于物理和工程等科学领域、金融和经济等经济学领域、医学研究等医学领域，以及时间序列分析、模式识别等机器学习领域。
我国收益率曲线的研究
完全取决 于对未 来利 率的市 场预 期。 希克斯 又提 出期限 结构 国所规 定的利率 比市场所确 定的利率要 高，应该依照 市场 的利
的流 动 性 偏 好 。该 假 说 则 认 为 长 期 债 券 由于 具 有 较 高 的 风 险 ， 率来确 定基准利率才是 国际上的通常做法 ，所 以我 国应该通过 对 短 期 债 券 具 有 一 定 的 溢 价 。 市 场 分 割 理 论 最 早 是 由 卡 尔 伯 货 币政 策 降 低 利 率 。但 是 我 国 在 ２ ０ 年 为 了抑 制 经 济 过 热 ， ０８ 采 特 森 提 出来 的 ，该 理 论 假 定 ，市 场 是 由 不 愿 承 担 风 险 的 单 个 取 了调 高 利 率 的 经 济 政 策 ，才 使 得 利 率 大 大 高 于 市 场 所 确 定 的 投 资 者 和 将 生 存 看 的 至 关 重 要 的 公 司 及 金 融 机 构 组 成 ， 它 们 利 率 。 都 为 自 己 的 投 资 组 合 寻 求 免 疫 力 。 如 果 他 们 的 资 产 的 持 续 期 受到 多 种 因 素和 条 件 的限 制 ，当前 我 国 国债 收 益 率 曲线 的形 限 与 负 债 的 有 效 期 限 相 匹 配 的话 ， 那 么 ，他 们 的 投 资 组 合 就 状并 不 规 则 ， 国债 收 益 率也 尚不 能 成 由 于 为 金 融市 场 的基 准 利
融 市 场 以 及 经 济 系统 。然 而 官 定 利率 并 不 完全 等 同 于 基 准 利 率 ， 重 要 意 义 。
原 因在 于 管 制 的 利 率 不 能 充 分 优 化 配 置 资 金 资 源 ， 而 且 管 制 利 率 下 的 各 种 利 率 关 联 度 差 ，期 限 结构 常 常处 于扭 曲状 态 ， 使 得
我国理财产品收益率曲线构建及实证研究
中国人民银行工作论文No.2015/4PBC Working Paper No.2015/4 2015年4月3日April3,2015我国理财产品收益率曲线构建及实证研究吴国培王德惠付志祥梁垂芳1摘要：随着理财产品期限品种和发行数量的不断丰富，理财产品收益率开始显现出价格发现的功能，尤其是会通过理财产品与其他金融产品之间的替代性影响存款和债券的定价。
另外，在未来以政策利率为基础的新货币政策框架之下，理财产品的收益率也将是货币政策传导所需要关注的一类价格。
构建理财产品收益率曲线将有助于完善我国收益率曲线的体系。
本文用三次平滑样条插值法构建了商业银行理财产品收益率曲线，并对收益率曲线包含的经济信息进行了一些定量分析。
我们的初步结论包括：理财产品收益率的期限结构已经较为完整；理财产品收益率曲线对货币政策的反应较为显著；理财产品收益率曲线与宏观经济变量之间存在较为显著的关联关系，收益率曲线斜率包含了一定的经济预测功能。
Abstract:With rapid development of the wealth-management product(WMP)market,the yields of WMPs began to demonstrate a role of price discovery.In particular,the yields of WMPs affect the pricing of deposits and bonds through the substitution between financial products.In addition,under the policy rate-based new monetary policy framework in the future,the yields of WMPs will be subject to the influence of monetary policy transmission.Therefore,a yield curve of WMPs should be part of our yield curve system.In this paper,we develop a WMP yield curve using the cubic smoothing spline interpolation method,and conduct some quantitative analyses of the economic information contained in the yield curve.Our preliminary findings include:the term structure of WMP yield curve is largely complete;the yield curve responds to monetary policy shocks;the correlation between the yield curve and macroeconomic variables suggests that the former can be used as a predictor of economic preformance.关键词：理财产品；收益率曲线；三次平滑样条插值1吴国培，经济学博士，现任中国人民银行福州中心支行行长，国家外汇管理局福建省分局局长，厦门大学和福州大学博士生导师，研究员职称，享受国务院特殊津贴专家，email:wgp163@；王德惠，经济师，现任中国人民银行福州中心支行调查统计处副处长，email:Wdh7858@；付志祥，工程师，任职于中国人民银行福州中心支行，email:klening@；梁垂芳，经济师，任职于中国人民银行福州中心支行，email:liangchuifang@。
收益率曲线拟合度
收益率曲线拟合度一、什么是收益率曲线拟合度收益率曲线拟合度是衡量某个收益率曲线与市场收益率曲线之间拟合程度的指标。
它可以帮助分析人员判断某个投资组合的收益率表现是否符合市场预期，进而评估该投资组合的风险和收益水平。
二、收益率曲线拟合度的计算方法收益率曲线拟合度的计算方法通常使用最小二乘法。
最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来拟合曲线的方法。
在计算收益率曲线拟合度时，我们需要将待拟合的收益率曲线与市场收益率曲线进行比较，然后计算两者之间的误差平方和。
具体计算步骤如下：1.收集待拟合的收益率数据和市场收益率数据。
2.对待拟合的收益率数据和市场收益率数据进行排序，以确保两者的顺序一致。
3.计算待拟合的收益率数据与市场收益率数据之间的差值。
4.将差值平方，然后求和得到误差平方和。
5.将误差平方和除以总的差值平方和，得到收益率曲线拟合度。
三、收益率曲线拟合度的意义收益率曲线拟合度可以帮助分析人员评估投资组合的风险和收益水平。
当收益率曲线拟合度较高时，表示投资组合的收益率变动与市场收益率变动之间的相关性较高，投资组合的收益表现较为稳定。
相反，当收益率曲线拟合度较低时，表示投资组合的收益率变动与市场收益率变动之间的相关性较低，投资组合的收益表现较为不稳定。
四、收益率曲线拟合度的应用收益率曲线拟合度广泛应用于投资组合管理和风险控制中。
以下是几个常见的应用场景：1. 投资组合管理收益率曲线拟合度可以帮助投资经理评估投资组合的表现。
通过对比投资组合的收益率曲线与市场收益率曲线，投资经理可以判断投资组合的收益水平是否符合预期，并根据拟合度的变化调整投资策略，以提高投资组合的表现。
2. 风险控制收益率曲线拟合度可以帮助风险管理人员评估投资组合的风险水平。
当收益率曲线拟合度较高时，表示投资组合的风险相对较低，投资组合的收益变动主要受市场因素影响。
相反，当收益率曲线拟合度较低时，表示投资组合的风险相对较高，投资组合的收益变动主要受非市场因素影响。
收益率曲线拟合技术
收益率曲线拟合技术概述收益率曲线是描述不同期限、不同债券收益率之间关系的一种图标。
对于债券市场参与者来说，了解和掌握收益率曲线的走势非常重要。
收益率曲线提供了市场上债券的基本价格信息，同时也反映了市场对未来经济走势和通货膨胀的预期。
收益率曲线的含义收益率曲线通常是向上倾斜的，也就是说，期限短的债券相对期限长的债券有更低的收益率。
这是由于市场一般对于未来经济走势和通货膨胀的预期，长期预期相较于短期预期更加不确定。
因此，投资者要求对于更长期的投资有更高的回报，从而导致了收益率曲线的这种形态。
收益率曲线拟合技术线性拟合线性拟合是一种简单且常用的拟合技术。
线性拟合通过在收益率曲线上选择一些离散的点，并通过最小二乘法来拟合出一条线性方程。
这条线性方程能够较好地近似整个收益率曲线，并提供相关的曲线斜率信息。
多项式拟合多项式拟合是另一种常见的拟合技术。
与线性拟合不同，多项式拟合可以更好地适应不同的曲线形状。
通过选择合适的多项式阶数，可以实现对收益率曲线的更精确拟合。
然而，需要注意的是，过高的多项式阶数可能会导致过拟合问题，因此需要谨慎选择。
样条拟合样条拟合是一种灵活的拟合技术，可以对不同区间内的收益率曲线进行独立的拟合。
通过将整个收益率曲线分成若干个小区间，并在每个区间内拟合出一条样条函数，可以得到整个收益率曲线的拟合结果。
样条拟合可以更好地捕捉到不同区间内的曲线变化，因此被广泛应用于收益率曲线拟合。
拟合结果的应用通过收益率曲线的拟合，我们可以得到对未来经济走势和通货膨胀预期的近似值。
这一预期值可以帮助投资者做出更准确的投资决策。
例如，如果我们预测未来经济走势较为乐观，那么我们可以选择买入期限较长的债券以获取更高的回报。
反之，如果我们预测未来经济走势较为悲观，我们可以选择买入期限较短的债券，以防止可能出现的损失。
结论收益率曲线拟合技术是一种重要的金融分析工具，可以帮助投资者更好地理解和应对债券市场的变化。
线性拟合、多项式拟合和样条拟合是常用的拟合技术，它们各自具有不同的特点和适用范围。
债券市场中的收益率曲线拟合与预测
债券市场中的收益率曲线拟合与预测债券市场是金融市场中重要的一个组成部分，它为政府、企业和个人提供了融资和投资的渠道。
而债券的收益率曲线则是衡量债券市场风险和收益的重要指标之一。
本文将探讨债券市场中的收益率曲线拟合与预测的方法和意义。
一、收益率曲线的基本概念收益率曲线是指不同到期期限的债券的收益率之间的关系图形。
它反映了市场对未来经济发展和通货膨胀预期的预测。
通常情况下，收益率曲线呈现出向上的趋势，即长期债券的收益率高于短期债券的收益率。
二、收益率曲线的拟合方法拟合收益率曲线的方法有很多，常用的方法包括线性插值法、平滑插值法和参数拟合法。
1. 线性插值法线性插值法是最简单的拟合方法之一，它假设不同到期期限的债券的收益率之间存在线性关系。
通过已知的收益率数据点，可以通过线性插值法计算出其他未知期限的债券的收益率。
2. 平滑插值法平滑插值法是通过对已知收益率数据进行平滑处理，得到一条平滑的收益率曲线。
常用的平滑插值方法有移动平均法和指数平滑法。
移动平均法通过计算一定期限内的平均收益率来平滑曲线；指数平滑法则是通过对收益率进行加权平均，权重随着期限的增加而递减。
3. 参数拟合法参数拟合法是利用数学模型对收益率曲线进行拟合。
常用的参数拟合模型有Nelson-Siegel模型和Svensson模型。
这些模型通过拟合一组参数，可以较好地拟合收益率曲线。
三、收益率曲线的预测方法收益率曲线的预测对于投资者和债券市场参与者来说具有重要意义。
预测收益率曲线可以帮助投资者制定投资策略和决策。
1. 基于历史数据的预测基于历史数据的预测是一种常用的方法，它通过分析过去的收益率数据和市场情况，来预测未来的收益率曲线走势。
这种方法基于假设历史数据可以反映未来的趋势，但需要注意历史数据并不能完全预测未来。
2. 基于经济指标的预测基于经济指标的预测是一种较为常用的方法，它通过分析宏观经济指标、通货膨胀预期和货币政策等因素，来预测未来的收益率曲线走势。
货币政策对国债收益率曲线的影响——基于动态NS模型
货币政策对国债收益率曲线的影响——基于动态NS模型摘要：随着金融市场的创新发展，以M2为代表的数量型指标的可控性、可测性以及与经济增长的相关性越来越弱，国债收益率曲线在货币政策传导过程中起着更加重要的作用，一般认为货币政策首先影响短期利率，再传导至中长期利率，带动整条收益率曲线的变动。
本文首先介绍收益率曲线的相关理论，在此基础上对2002年—2019年的国债数据进行收益率曲线的拟合，通过脉冲响应分析，我国宏观经济指标和货币政策对国债收益率曲线水平因子的影响显著，但数量型货币政策对斜率因子作用不明显。
关键词：国债收益率曲线 货币政策 动态NS模型 VAR模型● 吴承凯一、引言自1981年我国恢复发债以来，国债市场发展迅速，国债的年发行规模从1981年的49亿元增加到2019年的4万亿元，但和我国全球第二大经济体的地位相比，国债市场仍与发达国家有所差距。
在现代市场经济中，中央银行在宏观经济调控方面起着非常重要的作用。
许多发达国家也曾经从数量型货币政策向价格型货币政策转变，以美国联邦储备系统为例，20世纪六七十年代以货币供应量为目标，但随着货币供应量与经济之间的关系不再紧密，到90年代，美联储将实际利率作为中介目标。
在发达的市场经济中，收益率曲线是货币政策重要的传导渠道。
国债收益率曲线发生变动将影响整个市场中所有行为人的决策、金融资产的价格，最终影响经济运行以实现央行的政策目标。
此外，收益率曲线还包含着市场参与者对未来经济的预期，央行可以根据市场的反馈来进行决策。
所以，研究货币政策对国债收益率曲线影响的意义凸显。
二、文献综述（一）收益率曲线相关理论收益率曲线，又名利率期限结构，显示的是债券即期收益率与到期日之间的关系，不同类型的债券有着不同的收益率曲线。
国债由于无违约风险，流动性好，所以国债收益率曲线被普遍认为是基准收益率曲线。
1.传统利率期限结构理论。
第一，预期理论：投资者对于各期限的债券没有特别偏好，可以完全替代，认为长期利率是由当前的短期利率和预期的未来短期利率决定，当市场预期未来短期利率将会上升时，收益率曲线斜率为正。
收益率曲线
红顶收益率曲线制作说明（交易所市场）投资固定收益证券(Fixed Income Securities) 最重要的市场指标之一就是收益率曲线(Yield Curve)。
红顶金融工程研究中心曾先后参与过国外债券交易中心的收益率曲线编制工作，以及提供国内银行间债券市场期限结构编制的技术并通过论证，因此本文根据这些研究成果与编制经验，为各位读者介绍收益率曲线的概念、使用方法、以及如何制作国内交易所债券市场的收益率曲线。
一、基础介绍何谓收益率曲线(Yield Curve)收益率曲线是指零息债券的收益率与其到期日之关系－横轴为各到期期限(Time to Maturity)，纵轴为相对应之到期收益率(Yield to Maturity)，用以描述两者之关系。
为何需要估计收益率曲线？从固定收益证券的投资与操作来看，掌握市场的收益率曲线是进行投资的首要工作，因为收益率曲线具有下列义涵：代表性收益率曲线代表一个市场的利率结构，能够真实反应出一个市场短中长期利率的关系，对投资者操作长天期或短天期债券十分重要。
操作性收益率曲线是根据市场上具有代表性的交易品种所绘制出来的利率曲线，这些具代表性的品种称为指标债券，由于指标债券必须具备流动性大、交投热络的条件，因此具备可操作性。
投资者可以根据收益率曲线上的利率进行操作解释性收利率曲线对固定收益证券的价格具有极强的解释性，了解曲线的结构有助于了解债券价格。
如果某一支债券价格偏离了根据收益率曲线推算出来的理论价格，通常会有两种情况：一是该支债券流动性不足，因此偏离的价格无法透过市场机制加以修正，二是该支债券流动性足够，这种偏差将只是短暂现象，很快就会被拉回合理价位。
分析性在进行债券的资产管理与风险分析时，收益率曲线是必要参考的数据：在许多财务金融的应用上，如未来开放利率衍生性商品后，对于这相商品的订价，以及利率相关商品风险管理制度等，收益率曲线均是不可缺少之基本数据。
二、名词解释“收益率曲线” 以及“期限结构” 两个名词常被国内投资人混淆，虽然两者的概念很类似，但是定义截然不同，在债券市场上的应用也完全不一样，因此投资人有必要把这两个名词的观念搞懂。
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收益率曲线参数模型的一般方法
一、符号定义：远期f (利t,率,T与) 即(T期利t)率 s关(t,系T ) ( t) s(t, )
T
f (t,T ) lim f (t, ,T ) s(t,T ) (T t) s(t,T )
T
t
T
f (t,T )dx
s(t,T ) xt
其中 其中
s0,5 s5,10
B10(s)d2c2eusb2e2usa2e3us其中 s1,020
上式中，uu的经tl im济T 含f (0义,t为,T起) 息日为未来无限远时的瞬间远期利率 T
亦即
指数样条函数（二）
应用指数样条函数的最优决策过程
（广义最小二乘无解bˆ 析* 解，必须通过迭代优化）
收益率曲线参数模型步骤（2）：确定误差
债券的理论价格与实际价格
对于债券 j，有 Pt Pˆt
对于 (j,j'){1,..n} .,
满足
1、 E(j ) 0
2、方差 var(j)2j2 3、协方差 covj(,j')0
( j j')
收益率曲线参数模型步骤（2）：确定误差
残差的方2差-协 2方差12矩阵22为（...与广义 最小二乘法对应）
函数形式
（样条法中，即为分段的样条函数）
b min( tP
j
tˆj P)2
bˆ*
arg
求使
最小
我们表示为bˆ *
B(t,T, b)
由此
向量，我们即可得知
限结构
从而得出瞬时远期利率期
收益率曲线参数模型步骤（1）
确定约束条件
B(t,T, b)
对 有贴现函数B(t,t,b)1
始终成立 上式作为目标函数的约束条件
... CFn,m
由贴现函数导 出定价误差
PPˆˆ12((bb11,,
b2,...,bi b2,...,bi
...
) )
P1
P2
...
1
2
...
Pˆn
(b1,
b2
,...,bi
)
Pn
n
Nelson-Siegel-Svenson模型
Svenson模型的瞬间远期利率
f
(TTM)t
b0
B5 (s) 1 c0s b0s2 a0[s3 (s 5)3 ] 其中 s5,10
B(s)
a1
(s
5)3
B10
(s)
1
c0 s
b0 s
2
a0[s
3
(s
5)3
]
其中 s1,020
a1[(s 5)3 (s 10)3 ] a2 (s 10)3
指数样条函数（一）
一般B应(s用) 三 阶B B 的05((指ss))数形dd01式 样cc01条ee 函uuss 数bb，10ee形22u式uss 如aa下10ee33uuss
其中 s0,5 其中 s5,10 其中 s1,020
且为上述B多B5(i0项)(i()1(式05))样 条BB15((0ii函)) ((15数0) )连续可导，须满足
B0 (0) 1
B(i) (x)
B(x)
其中
是函数
的第i 阶导数(i= 0, 1, 2)
多项式样条函数（二）
满足以上条件，约B掉0 (部s)分参1数c，0s样 条b0s函2 数 a形0s式3 为 其中 s0,5
,
T t
B(t,T ) es(t,T )(T t)
如果假设当前市场远期利率可用某种参数函数表达,如f(t,T,b) ,则即期利率可 以表达为s(t,T,b)，贴现函数同样也可以表达为B(t,T,b)
收益率曲线参数模型的一般方法
一、符号定义
贴现函数B(t,T,
b
)
b
表示在时间T支付的现金流
FT
在时间t的贴现系数
及约束条件
我们即可用广义最小二乘法求得参数的解析解。但一般Matlab软件可以通 过迭代优化完成这个过程。
优化过程——获得最优的参数向量
参数向量
贴现函数 B(t,T;b1,b2,...,bi)
bb b 即期利率s (t,T ) B 1 /s(t,T ;1 , 2 ,..., i)
bˆ*(b1,b2,..b.i,)
f (0,)
1、将参数向量 固定在一个合理f (的0,初)值上
2、以
来计算
3、运用牛顿迭代法取完所有 最小二乘估计量
的值来对
bˆ * 进行最优化，求出其
样条分段数的最优取值
✓ 样条分段数越大，曲线拟合度越高，但平滑值越差 ✓ 样条分段数越小，则曲线越平滑，但拟合度差
2 n
2 j
1
简化方法为假设各种债券的方差相等，即权重
收益率曲线参数模型步骤（2)：确定误差权重
显然，到期期限长的债券估价较难，因此，权重 限因素
Vasicek和2j Fo1/ndgdrP的j(ttj)方2法D (12j(tr)j((Ptt)j))22
2 j
应考虑期
即
j
1 rj (t) D j (t ) Pt j
rj (t) D j (t)
其中， 和 分别表示债券j在时间t的到期收益率和久期
收益率曲线参数模型步骤（2）：目标函数及其优化
b
令 bˆ
b
为 为bˆ 我无* 们约要束估条计件的下贴的b现函的数估系计数值向量
为约束条件下 的估计值
n
min b
(Pt j Pˆt j )2
j1
由目标函数
B(t,t,b) 1
TTM
b1e 1
b2
TT1MeTT1M
b3
TT2MeTT2M
积分后我们得到即期利率的参数模型：
s(TTM)t
b0
b1
1eTT1M TTM
b2
1eTT1M TTM
TTM
e 1
b3
1eTT2M TTM
TTM e 2
1 1
2
多项式样条函数（一）
我们一B(般s)使用三BB0阶5((ss的))多dd项01式cc样01ss条函bb10s数s22形a式a10ss33 B10(s)d2c2sb2s2a2s3
n
目标函数 min (Pi Pˆi*(B))2 i1
重复优化过程
残差方差权重
j
Dj (t)Pt j 1 rj (t)
约束条件 B(t,t) 1
债券现金流矩阵
债券1CF1,1 债券2CF2,1
... ... 债券n ...
CF1,2 ... ... ...
... CF1,m ...ຫໍສະໝຸດ ...... ...
其中， 为函数的参数向量
债券理Pˆtj论价格FTjB(t,T,b) T
Pˆt j
F
j
T表示债券j的理论价格
表示该债券现金流向量
收益率曲线参数模型的一般方法
二、一般方法
Pt j
假设 我们可以获得一组B现(金t,T流,向b)量
的市场价格为 的债券
FTj
已知，无违约风险，在时间t
同时，b我ˆ *们构造(P假t j 想Pˆ的tj)2