不等式与不等式组

第一节：不等式与不等式组
一、知识概要
1.不等式：一般地，用不等号“＞”、“＜”表示不等关系的式子叫做不等式.
2.不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
3.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集.
4.一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
5.不等式的性质：
性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.
6.三角形中任意两边之差小于第三边.
二、教材解析
1. 常用的不等号有哪些？
常用的不等号有五种，其读法和意义是：
（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小. （2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大.
（3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小.
（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量. （5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量.
2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？
（1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示.
（2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义.
（3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来.
根据下列关系列不等式：a的2倍与b的的
和不大于3.
3. 用数轴表示不等式注意什么？
用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边界点不在范围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画.
在同一个数轴上表示下列两个不等式：x＞-3；x≤2.
三、例题
1、去括号时，错用乘法分配律
3x+2（2-4x）<19.
2、去括号时，忽视括号前的负号
5x-3（2x-1）>-6.
3、移项时，不改变符号
4x-5<2x-9.
4、去分母时，忽视分数线的括号作用
5、不等式两边同除以负数，不改变方向
3x－6＜1+7x.
6、x2与a的和不是正数用不等式表示.
7、求不等式的非负整数解.
8、解不等式3-5（x-2）-4（-1+5x）<0.
9、解关于x的不等式m（x-2）>x-2.
10、解不等式（a－1）x＞3.
11、不等式组的解集为
12、解不等式组
一个实数a的绝对值记作∣a∣，指的是由a所惟一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：
（1）∣a∣≥∣b∣b≤|a|或b≥-|a|，
∣a∣≤∣b∣∣b∣≤a≤∣b∣；
（2）∣a∣-∣b∣≤∣a+b∣≤∣∣a∣+∣b∣；
（3）∣a∣-∣b∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.
由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算．通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法．在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏．下面结合例题予以分析．
例一、解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜＜1．
分析：关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论：
解：（1）当当x≤时，原不等式化为-（x-5）-［-（2x+3）］＜1，
解得x<-7，结合x≤，故x<-7是原不等
式的解；
（2）当＜x≤5时，原不等式化为-（x-5）-（2x+3）＜1，
解得是原不等式的解；
（3）当x＞5时，原不等式化为：
x-5-（2x+3）＜1，
解得x＞-9，结合x＞5，故x＞5是原不等式的解．
综合（1），（2），（3）可知，是原不等式的解．
习题：
1.解不等式
2.李明在第一次数学测验中得76分，在第二次测验中得92分，设第三次测验的分数为x，且三次的平均分不低于85分，求x的取值范围.
3.小强去超市买某种牌子的衬衣，该种衬衣单价为每件100元，小强想买的衬衣数不少于5件，路上交通费为10元，小强准备钱时有以下几种选择：准备400元，准备500元，准备510元，准备610元.请你说明哪种方案可行？
4.某商城以单价260元购进一批DVD机，出售时标价398元，由于销售不好，商场准备降价出售，但要保证利润不低于10％.
小明说：“可降价100元.”
小英说：“可降价150元.”
小华说：“降价不能超过112元.”
你同意他们谁的说法？
5. 巧解下列不等式：
（1） 0.375x-2≤0.5x（2）
（4）
6. 解下列不等式：
（1）9-2（x－2）≥6（2） 12-3x＜8-2x
7. 已知
提高题：
1. 若实数a＞1，则实数M＝a，N=的大小关系是（）．
A． P＞N＞M B． M＞N＞P
C． N＞P＞M D． M＞P＞N
2. 若0＜a＜1，则下列四个不等式中正确的是（）.
3. a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的有（）．
① b+c＞0；② a+b＞a+c；③ bc＞ac；④ ab＞ac．
A．1个B．2个 C．3个 D．4个.
4.我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题.抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分.小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？
5.已知前年物价涨幅（即前年物价比上一年，也就是大前年物价增加的百分比）为20％，去年物价涨幅为15％，预计今年物价涨幅降低5个百分点，为了使明年物价比大前年物价涨幅不高出55％，明年物价涨幅必须比今年物价涨幅至少再降低x个百分点（x为整数）则x＝（）.
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
习题答案
2.解：由题意得我们可列不等式
≥85，解得x≥87.
3.解：设小明准备了x元钱.
我们由题意可列不等式≥5.解得x≥510.
所以准备510元或准备610元都可以.
4.解：设降价x元.
5. （1）x≥-16（提示：不等式两边同乘8）；
我们可以由题意列不等式398-x－260≥260×10％.解得x≤112.
所以小明和小华的说法是正确的.
提高题答案
1. 【分析与解】由于Ｍ、Ｎ、Ｐ都是含字母的式子，不易比较其大小．不妨用特殊值法．由a＞1，取a＝4，则M=4，N=2，P=3，易知Ｍ＞Ｐ＞Ｎ，故选D．注：用特殊值法解选择题时，一般取能使运算简单的数为特殊值，如本例取a=4．
3. 【分析与解】本题不妨取a＝2.5，b＝0.5，c＝
－1.5，这样就把利用不等式基本性质解答较难的问题变成了简单的计算题了，易知②、③、
④正确，故选C.
4.【思考与解】首先要清楚记分原则，抓住关键“最后得分不少于50分”，列出不等式解决问题.
方法一：设小军答对x道题，依题意，得
3x－（20-x）≥50，
解得x≥17.5.
因为x为正整数，所以x的最小正整数为18.
方法二：设小军答对x道题，依题意，得
3×20－4（20－x）≥50，
解得x≥17.5.
因为x为正整数，所以x的最小正整数为18.
方法三：设小军答错x道题，依题意，得
3×20－4x≥50，
解得x≤2.5.
因为x为正整数，所以x的最大正整数为2，
所以小军至少答对18道题.
5.C （提示：设大前年物价为1，则前年物价为1＋20％，去年物价为1.20×（1+15％）＝
1.38，预计今年物价为1.38×［1+（15％－5％）］＝1.518，明年物价为1.518×［1+（10-x ）％］≤1+55％，解得x≥7.9，因为x 为整数，最小值为8）
一元一次不等式组
解一元一次不等式的步骤为：去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化成1．要注意的是在去分母和系数化成1这两步中不等号方向是否改变．
解一元一次不等式组的步骤为：分别求出两个一元一次不等式的解集，在数轴上确定它们的公共部分，从而得出不等式组的解集．
解下列不等式组
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<->+x
x x 987121 （2）⎩⎨⎧+>++<-145123x x x x
（3）⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-x x x x 23712
1)1(325 （4）⎩⎨⎧<>-621113x x
总结：两个一元一次不等式所组成的不等式的解集有以下四种情形：(b a <)
(1) 不等式组⎩⎨⎧>>b
x a x 的解集是b x >; (2) 不等式组⎩⎨
⎧<<b x a x 的解集是a x <; (3) 不等式组⎩
⎨⎧<>b x a x 的解集是b x a <<; (4) 不等式组⎩⎨⎧><b
x a x 的解集是无解。

［师］这是用式子表示，也可以用语言简单表述为：
大大取大；小小取小；
大小小大取中间；
大大小小数无解．
练习：
（1）解下列不等式组⎩
⎨⎧>-<+81353x x
21
（2）求不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-5
23)1(26x x x x 的整数解。