高等代数(II)期末考试试卷及答案(A卷)

高等代数（II ）期末考试试卷及答案(Ａ卷)一、 填空题(每小题3分，共15分)1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是Ｖ 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵, 则A 与Ｂ的关系是4、设3阶方阵Ａ的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分)1、 ( ）复数域Ｃ作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：(A)数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间; （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间; （C ）数域Ｐ上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； (D ）复数域Ｃ作为复数域C 上的线性空间。

2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（Ａ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B) 的核是Ｖ的充要条件是 是满射（C) 的值域是零子空间的充要条件是 是满射 (D) 的值域是Ｖ的充要条件是 是满射。

3、( )λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的;()()D A λ是方阵。

4、( ）设实二次型f X AX '=(A 为对称阵)经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数;()C 是A 的所有特征值;()D 不确定。

5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”,则A 的若当 标准形是:()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分)(请在你认为对的小题对应的括号内打“√”,否则打“⨯”） １、（ )设V 1,V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =则12VV V =⊕。

２、( )n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。

3、( )同阶方阵A 与Ｂ相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、( )欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题1０分，共30分）１、在线性空间4P 中，定义线性变换:()()()()4,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P '''=++∀∈(1）求该线性变换 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵Ａ;(2)求矩阵Ａ的所有特征值和特征向量。

2、(1)求线性空间[]3P x 中从基()()()2:1,1,1I x x --到基()()()2:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；(2）求线性空间[]3Px 中向量()2123f x x x =-+在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标。

3、在R ２中，()()1212,,,a a b b αβ∀==，规定二元函数：()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+（1） 证明:这是R 2的一个内积。

（2） 求R 2的一个标准正交基。

五、 证明题(每小题１0分,共３0分)1、 设P ３的两个子空间分别为：(){}(){}11231232123123,,0,,,0W x x x x xx W x x x x xx =++==--= 证明：（1）312P W W =+;(2)12W W +不是直和。

2、设 是数域Ｐ上线性空间Ｖ的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i Wi r α∈=3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明: (1）Ａ是正定矩阵； (２)23n A E +>答案一、 填空题(每小题3分,共15分)1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+={}2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是ｎ维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是Ｃ,列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标,则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是1C X-３、设Ａ、Ｂ是n 维线性空间Ｖ的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 相似关系４、设３阶方阵A 的3个行列式因子分别为:()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是()10000001λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是:A AX A B''=二、 单项选择题(每小题3分,共1５分）2、 ( A )复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（Ａ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间; （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； (D)复数域C 作为复数域Ｃ上的线性空间。

２、（ D ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是: (Ａ) 的核是零子空间的充要条件是 是满射； (B) 的核是V 的充要条件是 是满射（Ｃ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D) 的值域是Ｖ的充要条件是 是满射。

3、( B )λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是:()()()()0;A A B A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的;()()D A λ是方阵。

4、（ Ｃ )设实二次型f X AX '=(A 为对称阵)经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++, 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是Ａ的所有特征值；()D 不确定。

5、( A )设３阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题(每小题2分，共10分)（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”,否则打“⨯”) 1、( × )设V １,V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =则12VV V =⊕。

2、（ √ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、( √ )同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

４、( × ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题(每小题１０分,共30分）1、在线性空间4P 中,定义线性变换：()()()()4,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P '''=++∀∈（１)求该线性变换 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；(２)求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

解：（1)线性变换 在自然基下的矩阵是1000010010100101A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（5分)(2)因为()41E A λλ-=-所以矩阵A 的所有特征值是12341λλλλ====解齐次线性方程组()0E A X -=得矩阵A 的所有特征向量:()()120,0,1,00,0,0,1k k ''+,其中12,k k 不全为零。

（5分）2、(１)求线性空间[]3P x 中从基()()()2:1,1,1I x x --到基()()()2:1,1,1II x x ++的过渡矩阵;（2）求线性空间[]3Px 中向量()2123f x x x =-+在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标。

解：（1)因为()()()()221111,1,11,,012001x x x x -⎛⎫⎪--=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()()221111,1,11,,012001x x x x ⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()()()()1221111111,1,11,1,1012012001001x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()21111111,1,1012012001001x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即所求的过渡矩阵为124014001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（５分）（2)因为()()()()221111,,1,1,1012001x x x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭故()()2211231,,23f x x x x x ⎛⎫ ⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()()()2211111,1,10122241310013x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=---=+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()21241,1,1014001x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()f x 在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标是:243⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(５分) 3、在Ｒ２中，()()1212,,,a a b b αβ∀==，规定二元函数： ()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+（3） 证明:这是Ｒ２的一个内积。

（4） 求R 2的一个标准正交基。