九年级数学上册第4课时黄金分割

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2024年北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第4节探索三角形相似的条件第4课时黄金分割

那么 BP 的长度是(
A )
A. (12－4 )cm
B. (9－4 )cm
C. (4 －4)cm
D. (4 ＋4)cm
1
2
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5. 【情境题·体育赛事2023济南期中】 2023年第19届杭州亚
运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融
合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感.如

−
−

x＝
x .∴ ＝ − ＝
＝
.

−

∴ BE 与 BC 的比是黄金比.
∴剩余的四边形 BCFE 也是一个黄金矩形.
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.
⁠
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3星题
发展素养
8. [教材P96想一想变式]当一个矩形的宽长之比为( －
1)∶2时，称这个矩形是黄金矩形，如图，四边形 ABCD
是黄金矩形且

−
＝
，将矩形 ABCD 剪裁掉一个正方
பைடு நூலகம்

形 ADFE 后，剩余的四边形 BCFE 是否是黄金矩形？请说
明理由.
1
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D. 3－或－1
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7. 【新考向·传统文化2023达州】如图，乐器上的一根弦 AB
＝80 cm，两个端点 A ， B 固定在乐器板面上，支撑点 C

北师大版九年级数学上册课件 4.4 第4课时黄金分割

A
点 E 是 AB 的黄金分割点
E
B
AE（即 BC ）是黄金比
AB
AB
D
F
C
矩形 ABCD 的宽与长的比是黄金比
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，过点 B 作 BD⊥AB，使BD 1 AB ; 连接 AD，在 AD 上截
2
取 DE = DB；在 AB 上截取AC = AE . 点 C 就是线段AB的黄金
分割点. 你能说出其中的道理吗？
D E
A
C
B
令BD = 1 ，则AD = 2
12
1 2
2
=
5 ，AC = AE = 2
5 -1 22
= 5 -1，BC = 1- AC = 1- 5 -1 = 3 - 5 ；
2
2
2
5 -1
3- 5
∵ AC = 2 = 5 -1，BC = 2 = 3 - 5 2
黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段有两个黄金分割点. 如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点.
BD AD = 5 1 AB BD 2
AC BC = 5 1 AB AC 2
并且 AD = BC，AC = BD.
A
D
C
B
古希腊时期的巴台农神庙
下图是古希腊时期的巴台农神庙，如果把图中
解这个方程，得
1 x1 2
5
1 x2 2
5 （不合题意，舍去）
所以，黄金比 AC 5 1 0.618
AB 2
A
C
A
比值称为黄金比，近似值为0.618
黄金分割点
AC BC = 5 1 AB AC 2

北师大版九年级数学上册黄金分割

第4课时黄金分割一、目标导航1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC :AB =BC :AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 2．618.0215≈-=AB AC．二、基础过关1．若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式．2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0．001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处？，如果他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．（结果精确到0．1m ）三、能力提升4．有以下命题：①如果线段d 是线段a ， b ，c 的第四比例项，则有d cb a=；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；③如比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1．其中正确的判断有（）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM =AB ∶AM B ．AM =215-AB C ．BM =215-AB D ．AM ≈0．618AB6．已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ），则AC ∶BC = ( )A ． (5－1)∶2 B ．（5+1）∶2 C ．（3－5）∶2D ．（3+5）∶27．在长度为１的线段上找到两个黄金分割点Ｐ，Ｑ．则ＰＱ＝（）A ．215- B ．53- C ．25- D ．253-8．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN = 253-．求证：点A是MN 的黄金分割点．四、聚沙成塔9．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M在AD上．（1）求AM、DM的长．（2）求证：AM2=AD·DM．（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？10．如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，215-=BCAB≈0．618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．参考答案1．AP2=BP·AB或PB2=AP·AB；2．0.618；3．7.6，4.8；4．C；5．C；6．B；7．C；8证得AM2=AN·MN即可；9．⑴AM=5－1；DM=3－5；⑵略；⑶点M是线段AD的黄金分割点；10．通过计算可得215-=ABAE，所以矩形ABFE是黄金矩形．构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。

九年级数学上册4.4.4黄金分割全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件

6/13
总结
知1－讲
(1)应用黄金分割比时，假如准确计算就要使用 5 1 ,
2
假如要求准确到小数点后某位，那么注意在结果最终再代入预计值0.618，这么能够最大程度地确保结果准确度． (2)易错警示：一条线段有两个黄金分割点，在实际问题中应明确哪条是较长线段，哪条是较短线段．
（此讲解起源于《点拨》）
第四章图形相同
4.4 探索三角形相同条件
第4课时黄金分割
1/13
1 课堂讲解黄金分割定义
黄金分割应用
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
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复习提问：上几节课我们学习了哪些三角形相同判定方法？
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知识点 1 黄金分割定义
一个五角星如图所表示. (1)从图中找出相等角、相等线段. (2)在图中找出两对相同比不一样相同三角形.
（来自《典中点》）
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知识点 2 黄金分割应用
知2－导
想一想
如图是古希腊时期巴台农神庙（Parthenom Temple),假如把图中
用虚线表示矩形画成图中ABCD,以矩形ABCD宽为边在其内部作正
方形AEFD,那么我们能够惊奇地发觉，
BE BC , BC AB
点E是AB黄金分割点吗？矩形ABCD宽与长比是黄金比吗？
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知2－练
1 (中考·通辽)美是一个感觉，当人体下半身长与身高比值越靠近0.618时，越给人一个美感．如图，某女士身高为160 cm，下半身长x与身高l比值是0.60，为尽可能到达好效果，她应穿高跟鞋高度大约为( ) A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm
（来自《典中点》）

北师大版数学九年级上册.4黄金分割课件

AB的黄金分割点(AP>PB),
求观光区的高度.(结果精
确到1米)
训练：B本--第30页--第7题
7.如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个
端点A.B固定在乐器板面上,支撑点C是靠
近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A
的黄金分割点,求支撑点C,D之间的距离.
阅读：数学书--第97页--随堂练习
采用如下方法找到黄金分割点：
已知线段AB，按照如下方法画图：

(1)过B作BD⊥AB使 = ；
D
E

(2)连接AD，在DA上截取DE＝DB；A
(3)在AB上截取AC＝AE，
则点C即为线段AB的黄金分割点．
C
B
阅读：数学书--第97页--读一读
F
A
G
H
B
E
D
C
小结
黄金分割
C
1.定义以及结论
A
B
2.一条线段有两个黄金分割点.
D
A
C
B
家庭作业
B本---第30页
第四章
图形的类似
第4节黄金分割
书本第95页
类似三角形
1.定义：
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫
做类似三角形.
2.判定定理：
①两角分别相等的两个三角形类似.
②两边成比例且夹角相等的两个三角形类似
③三边成比例的两个三角形类似.
欣赏图片
黄金分割定义
短
长
A
C
B
短长

长全
全
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
BC AC
如果 AC AB 那么称线段AB被点C黄金分割.

北师大版九年级数学上册《黄金分割》课件

1．(3 分)已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，则可得到比例式__AA__CB_＝__AB_C_C___，此时 AC 与 AB 的数量关系为_A__C_＝____52_－__1_A_B__(或__AA__CB_＝____52_－__1_) __(保留根号)．
2．(3 分)若 P 点是线段 MN 的黄金分割点(MP＞NP)，则
第4课时黄金分割
一般地，点 C 把线段 ABABCC，那么称线段 AB 被点 C_黄__金__分__割__，点 C 叫做线段 AB 的 __黄__金__分__割__点__ ， AC 与 AB 的比叫做 __黄__金__比____．
知识点1 黄金分割及其相关概念
下列比例式成立的是( C )
A. PPNM＝MPNN C.MMNP＝MPNP
B.MPMN＝MPNN D.PPMN ＝MPMN
3．(3 分)已知点 P 将线段 AB 黄金分割，且 AP＞BP，则下列
结论中不正确的是( D )
A.ABPP＝AAPB
B．AP≈0.618AB
C．AP＝
5－1 2 AB
D．BP＝12( 5－1)AB
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
7．(3分)如图所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α＝________．
135°
第7题图
第8题图
8．(3分)如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC
＞AC，若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为 AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为 __S_1＝__S_2__．

九年级数学上册PPT课件《黄金分割》

3.在AB上截取AC=AE.
A
D E
CB
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
BD 1 ; AD
12

1
2

5 , AC AE
51
2
2 2
22
5 1, BC 1 AC 1 5 1 3 5 ;
2
2
2
5 1
3 5
AC 2 5 1, BC 2 3 5 2
美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例0.618，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是0.6，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里就要同学们自己去发现。
当堂练习
1.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP>BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形面积为S2，则S1与S2的关系是（ C ） A．S1>S2 B．S1<S2 C．S1=S2 D．S1≥S2
B C A
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．
设计与黄金分割
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异.但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618.
东方明珠塔，塔高 468米.设计师在263米处设计了一个球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观.
人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
【解析】本题考查黄金分割的有关知识，由题
意知 AC2 B≈6.2 cm.
3.如图所示，乐器上的一根弦AB=80 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC=______cm，DC=_______cm.

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编号：34445768428937925654158542
学校：摩歆市五镇淮子学校*
教师：高至发*
班级：天鹅参班*
第4课时黄金分割
【知识与技能】
1.理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点.
2.会判断一点是否是线段的黄金分割点.
【过程与方法】
通过找一条线段的黄金分割点，培养学生理解能力和动手能力.
【情感态度】
理解黄金分割点的现实意义，动手制作相关图形，感受黄金分割的美，体会教学的应用价值.
【教学重点】
找一条线段的黄金分割点.
【教学难点】
黄金分割比的应用.
一、情境导入，初步认识
现实生活中存在许多优美的图画和建筑，例如古埃及金字塔、古希腊巴台农神庙，这些建筑的边长之间的比都接近某一个数，你知道这个数是多少吗？
【教学说明】利用来源于生活中的美丽图象或建筑吸引学生的注意力，营造一个感受美、关注美、探究美的氛围，唤醒学生对美的感受.
二、思考探究，获取新知
动手量一量，五角星图案中，线段AC、BC的长度，然后计算AC
AB
与
BC
AC
,
它们的值相等吗？
【教学说明】学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解.
【归纳结论】在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如
果AC
AB
=
BC
AC
,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，
AC与AB的比叫做黄金比.
三、运用新知，深化理解
1.已知C是线段AB的一个黄金分割点，则AC∶AB为（D）
2.把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为0.764 米.
3.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞
CE，AE与BD相交于点F.那么BF∶FD的值为51 -
.
4.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感.张女士的身高为1.68米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.02米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美.(精确到十分位)
解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm，
则102
168
x
x
+
+
=0.618，
解得：x≈4.8cm.故答案为：4.8cm.
5.已知线段AB，求作线段AB的黄金分割点C，使AC＞BC.
解：作法如下：
（1）延长线段AB至F，使AB＝BF，分别以A、F为圆心，以大于线段
AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，
使BD＝1
2 AB；
（2）连接AD，在AD上截取DE＝DB；
（3）在AB上截取AC＝AE.如图，点C就是线段AB的黄金分割点.
【教学说明】通过例题分析使学生进一步理解定理的应用和黄金分割的意义.使学生能更好地掌握本节知识.
6.在矩形ABCD中，AB>BC，如图.若BC∶AB=51
2
-
∶1，那么这个矩形
成为黄金矩形.在黄金矩形ABCD内作正方形EBCF，则矩形AEFD是黄金矩形吗？试说明理由.
解：矩形AEFD是黄金矩形.理由如下：
设AB=1，由BC∶AB=51
-
∶1可知BC=
51
-
，
所以BE=51
2
-
，AE=1-
51
2
-
=3-52，
所以AE∶EF=35
-
∶
51
-
=
51
-
∶1.
故矩形AEFD是黄金矩形.
四、师生互动，课堂小结
如何找一条线段的黄金分割点，这节课你有哪些收获？
1.布置作业：教材“习题4.8”中第1 题.
2.完成练习册中相应练习.
本节课知识点较多，具有一定的抽象性，所以有一部分学生掌握的不够好.在今后的教学中将努力改变，铺设阶梯，给大多数同学发言、参与的机会，活跃课堂气氛.。