第二章 随机过程的数字特征

1. 若随机过程X(t)为X(t)=At t ，式中 A为（0,1）上均匀分布的随机变量，求 E [X (t)], RX (t1,t2)
2. 给定一随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的相 关函数表示随机过程的自相关函数
Y (t) X (t a) X (t)
3. 已知随机过程X(t)的均值M x t和协方差函数 CX (i1,t2) , (t)是普通函数，试求随机过程 Y (t) X (t) (t) 是普通函数，试求随机过程
(t1,
t2
)

0，又称X(t)，Y(t)互不相
RXY (t1,t2 ) MY (t1)MY (t2 )
推论：若两个随机独立，则它们必不相关。反之， 两 个随机过程不相关，还不能断言它们的相互独立。（除 非是正态过程）。
注：自相关函数、互相关函数、协议差函数其结果是数， 而不再是一个过程。
习题二
性质2.2
CXY (t1,t2 ) RXY (t1,t2 ) M X (t1)MY (t2 )
在上式中，若对任意 t1,t2 都有
RXY (t1,t2 ) 0
则称X(t)，Y(t)为正交过程，此时
CXY (t1,t2 ) M X (t1)MY (t2 )
在上式中，若 关；此时
CXY
怎么办呢？事实上，在许多实际应用中，当 随机过程的“函数关系”不好确定时，我们 往往可以退而求其次，像引入随机变量的数 字特征一样，引入随机过程的数字特征。
用这些数字特征我们认为基本上能刻划随机 过程变化的重要统计规律，而且用随机过程 的X(t)的数字特征，又便于运算和实际测量。
显然，对于随机变量X，它的的数字特征我们 主要介绍了数学期望、方差、相关函数来描 述随机过程X(t)的主要统计特性。
Y (t) X (t) (t) 的均值和协方差函数。
4. 设 X (t) Acos at Bsin at ，其中A，B是相互独 立且服从同一高斯（正态）分布 N(0, 2) 的随 机变量，a为常数，试求X(t)的值与相关函数。
∴ E[A B] E(A) E(B) 0
当取定t时，X(t)为随机变量
E [X (t)] E [Acost] E [B sint]
costE [A] sintE [B] 0
RX (t1,t2 ) E [X (t1)X (t2 )]
E [( Acost1 B sin t1) ( Acost2 cos t2 )] E [ A2 cos t1 cost2 AB cos t2 ]
显然由图2.1可看出，随机过程 X(t) 就在 E[X (t)附] 近起伏变 化，图中细线表示样本函数，粗线表示均值函数。如果我们 计论的随机过程是接收机输出端的一条噪声电压，这个E[X (t)] 就是噪声电压在某一瞬时t的统计平均值（又称集平均值）。
§2.2 随机过程的均匀方值与方差
对于某一固定的时刻，随机过程X(t)就成为一个随 机变量，由此可给出随机过程均方值定义。定义随 机过程X(t)的均方值：
有时为了描述随机过程在任意两个不同时刻t1、t2间 内在联系，我们还可以用协方差函数中心化自相关函 数来定义。
定义协方差函数：称
Cx t1,t2 EX (t1) M X (t1)X (t2 ) M X (t2 )


x1 M X (t1 ) x2 M X (t2 ) PX (x1, x2 ;t1, t2 )d X1 d X2
定义互协方差函数：称
CXY (t1,t2 ) E {[X (t1) M X (t1) ][Y (t2) MY (t2)]}


[x M X (t1)] [ y MY (t2 )]
PXY (x, y,t1,t2 )dxdy
为两个随机过程的互协方差函数。
性质2.1 CX (t1,t2 ) RX (t1,t2 ) M X (t1)M X (t2 )
证∵
CX (t1,t2 ) E{[X (t1) M X (t1)] [X (t2 ) M X (t2 )]}
E [ X (t1) X (t2 ) X (t1)M X (t2 )] M X (t1) X (t2 ) M X (t1)M X (t2 )
从上式分析可知，随机过程的协方差函数 CX (t1,t2) 与 其自相关函数 RX (t1,t2) 只差一个统计平均值，特别 当随机过程的任意时刻数学期望 E [X (t)] 0 时，二者 完全相同。
§2.4 两个随机过程之间的互相关函数
随机过程的自相关函数描述了一个随机过程本身的
内在联系，而要描述两个过程在不同时刻 t1, t2 之
定义随机过程的自相关函数：
RX (t1, t2 ) E[x(t1) X (t2 )]


x1x2PX (x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
这就是随机过程X(t)在两个不同时刻 t1,t2 的状态
X (t1), X (t2) 之间的混合原点矩，自相关函数就反映了 X(t)在两个不同时刻的状态之间的相关程度。若在 定义式中取 t t1 t2 ，则有

E[ X (t)] M X (t) xPX (x ;t)dx
式中，PX (x;t) 是X(t)的一维概率密度函数。E[X (t)] 又 可称为X(t)的均值，这个均值函数可以理解为在某 一给定时刻t随机过程的所有样本函数的平均值。如 图2.1所示。
图2.1 随机过程的数学期望mX(t)
X (5)

2 X
(t)

D[X (t)]
注：随机过程的标准差是表示了随机过程在t时刻偏 离均值的程度大小，如图2.2所示。
图2.2
§2.3 随机过程的自相关函数
随机过程的数学期望、方差描述了随机过程在各个 孤立时刻的重要数字特征值，但它们不能反映随机 过程的内在联系，这一点可以通过下图的两个随机 过程X(t)、Y(t)来说明。
0
2
有
E[X (t)] M X (t)

0
2

2
a cos(t )
1
d 0
0
2
RX (t1,t2 ) E[x(t1) X (t2)]
E [a cos ( t1) ] a cos ( t2 )
a2E [cos ( t1 ) cos ( t2 )]

RX
(t , t )

M
2 X
(t)

a2 2
例2.3 给定随机过程 X (t) Acos t B sin t，式中
是常数，A和B是两个独立的正态随机变量，而
且 E(A) E(B) 0, E(A2) E(B2) 2 ，试求X(t)的均值 和自相关函数。
解 ∵ X (t) Acost Bsin，t 且A，B独立
a2
2 0
cos
(
t1
) cos
(
t2
)
1
2
d
a2 2
cos

a2 2
cos ， (t2
t1)
又∵ CX (t1,t2 ) RX (t1,t2 ) M X (t1)M X (t2 )
当令 t1 t2 t
CX (t,t) E{[ X (t) M X (t)]2} D [ X (t)]
对于这两个随机过程，从直观上讲，它们都具有大 致相同的数学期望和方差，但两个过程的内部结构 却有着非常明显的差别，其中X(t)随机时间变化缓 慢，这个过程在两个不同的时刻的状态之间有着较 强的相关性，而过程Y(t)的变化要急剧得多，其不 同时刻的状态之间的相关性，显然很弱。怎样去研 究和反映一个随机过程在不同时刻的内在联系呢？ 为此我们引入自相关函数（简称相关函数）来描述 随机过程在两个不同时刻状态之间的内在联系。
1
0
∴
E(X 2 )
0
x(1 x)dx
1 x(1 x)dx 1
1
0
6
∴
D(x) E(X 2) [E(x)2] 1
6
注意：随机变量的数字特征计算结果是一个确定的数。而
随机过程的数字特征不是数，是一个关于时间的确定函数。
§2.1 随机过程X(t)的数学期望
对于某个给定时刻t，随机过程成为一个随机变量， 因此可按通常随机变量的数学期望方法来定义随机 过程的数学期望。 定义X(t)的数学期望
间的相互关系，我们引入了互相关函数的定义。
定义互相关函数：称
RXY (t1,t2 ) E [ X (t1) Y (t2 )]


xyPXY (x, y ;t1, t2 ) dxdy
为两个随机过程的互相关函数。式中： PXY (x, y ; t1,t2)
为在两个不同时刻随机变量 X (t1) 、Y (t2 ) 的联合概率 密度函数。
例2.1 设随机变量X具有概率密度
f (x)
1 x, 1≤x≤0 1x, 0≤x≤1
求
E(x), D(x)
解：∵

E(x) xf (x)dx
D(X ) E(X 2 ) [E(X )]2
0
1
E(X ) x(1 x)dx x(1 x) 0
RX (t1,t2 ) RX (t,t) E[Xt)X (t)] E[X 2(t)]
此时自相关函数即为均方值。
式中，PX (x1, x2;t1,t2) 为过程X(t)的二维概率密度函数。
例2.2 求随机相位正弦波过程 X (t) a cos(t )
的均值、方差和自相关函数，其中 的概率密