【数学课件】 第3课时 平方根
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人教版《平方根》PPT完美课件初中数学3ppt
平方根
课件说明
学习目标： （1）了解平方根的概念；掌握平方根的特征． （2）能利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些非负数的平方根．
学习重点： 平方根的概念．
活动一 复习回顾 引入新知
(1)什么是算术平方根?怎样表示?
如果一个正数x的平方等于a,那么这个正 数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根表示为: a a 0
∴的平方根是±0.5.
活动三
探究性质 深化概念
平方根的性质
1.一个正数有几个平方根？ 它们有什么特点？
有几个平方根？是多少？ 3.负数呢？
1.正数正的平数方有根2个有平两个方，根它，们它互们为互相为反数相.
2.0有一反0个的数平平；方方根根，是它0是；0本身. 3.负数负没有数平没方有根平. 方根.
⑶6 1
4
⑷ 256
（5） 212
(1) 0.040.2
(2) 81 9 121 11
(3) 25 5 42
(4) 25616,164 (5) 212 21
活动四 巩固练习 检测反馈
3.如果一个正数的平方根是a-1和a+3,则a=_-_1__，
这个正数是＿4＿.
4.计算下列各式的值：
(1) 169; (2)- 0.0049; (3) 64. 81
活动二 探索归纳 引入概念
平方根定义
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个 数叫做a的平方根或二次方根，这就是说，如果 x2=a，那么x叫做a的平方根. 例如:3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
填空： 求平方
求平方根
1 1
1
2 2
4
课件说明
学习目标： （1）了解平方根的概念；掌握平方根的特征． （2）能利用开平方与平方互为逆运算的关系， 求某些非负数的平方根．
学习重点： 平方根的概念．
活动一 复习回顾 引入新知
(1)什么是算术平方根?怎样表示?
如果一个正数x的平方等于a,那么这个正 数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根表示为: a a 0
∴的平方根是±0.5.
活动三
探究性质 深化概念
平方根的性质
1.一个正数有几个平方根？ 它们有什么特点？
有几个平方根？是多少？ 3.负数呢？
1.正数正的平数方有根2个有平两个方，根它，们它互们为互相为反数相.
2.0有一反0个的数平平；方方根根，是它0是；0本身. 3.负数负没有数平没方有根平. 方根.
⑶6 1
4
⑷ 256
（5） 212
(1) 0.040.2
(2) 81 9 121 11
(3) 25 5 42
(4) 25616,164 (5) 212 21
活动四 巩固练习 检测反馈
3.如果一个正数的平方根是a-1和a+3,则a=_-_1__，
这个正数是＿4＿.
4.计算下列各式的值：
(1) 169; (2)- 0.0049; (3) 64. 81
活动二 探索归纳 引入概念
平方根定义
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个 数叫做a的平方根或二次方根，这就是说，如果 x2=a，那么x叫做a的平方根. 例如:3和-3是9的平方根,简记为±3是9的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
填空： 求平方
求平方根
1 1
1
2 2
4
人教版七年级下册数学公开课《平方根》PPT课件(精)
二次方程在实际问题中的应用
01
02
03
04
面积问题
通过二次方程可以求解一些与 面积相关的问题，例如求解矩 形、三角形、梯形等的面积。
利润问题
在商业活动中，经常需要计算 利润和成本等问题，这些问题 可以通过建立二次方程进行求 解。
行程问题
在物理和数学问题中，经常涉 及到速度、时间和距离等概念 ，这些问题可以通过建立二次 方程进行求解。
其他问题
除了以上几种类型的问题外， 二次方程还可以应用于其他领 域的问题求解，例如金融、工 程、科学计算等。
06
课程总结与拓展
课程重点与难点回顾
1 2
平方根的定义和性质
回顾平方根的定义，强调正数有两个平方根，它 们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 。
平方根的运算
总结平方根的运算法则，包括平方根与乘除、加 减运算的结合，以及分母有理化的方法。
计算圆的面积
已知圆的半径，利用平方 根和π计算面积。
勾股定理的应用
求解直角三角形
已知直角三角形两条边， 利用勾股定理和平方根求 解第三条边。
计算两点间距离
在平面直角坐标系中，已 知两点坐标，利用勾股定 理和平方根计算两点间距 离。
判断三角形形状
已知三角形三边长度，利 用勾股定理和平方根判断 三角形是否为直角三角形 。
平方根的性质
正实数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数 没有平方根。
平方根在数学中的应用
解方程
平方根在解一元二次方程时起到关键作用，通过开 平方可以求得方程的解。
几何应用
在几何学中，平方根用于计算长度、面积和体积等 ，如勾股定理中的边长计算。
数学建模
平方根ppt课件
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。因此，斜边的平方根 是直角边的长度与另一条直角边的长 度之间的比例中项。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
《平方根》ppt课件
那么这个数叫做a的平方根 （1）－9的平方根是－3 (
)
判断一个数有没有平方根，只要看这个数的符号。
一个数的平方根的表示方法：
那么x叫做a 平方根。
（4）1 的平方根是 1 （
）
01的平方根是 （ ）
例如： 3 =9；（－3） =9； 2 即：若x2=a，那么x叫做a平方根。
∴（
）
2
（1）－9的平方根是－3 (
+1
-1
1
1
+1 -1
+2 -2
4
4
+2 -2
+3
9
9
-3
+3 -3
注意：开平方运算的结果往往不是唯一的 4
填空：
16 25 49 81
如果一个数的平方等于a 那么这个数叫做a的平方根
5
概念：
如果一个数的平方等于a a是x的2次幂
（1）－9的平方根是－3 (
)
即：若x2=a，
1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。
（2）∵ （0.3）2 = 0.09
∴ （C）
（A）0.09 是 0.3的平方根. （B）0.09是0.3的3倍. （C）0.3 是0.09 的平方根. （D）0.3不是0.09的平方根.
10
1. 判断下列说法是否正确：
× （1）－9的平方根是－3 (
)
× （2）49的平方根是7 (
)
√ （3）（－2）2的平方根是±2 （
）
× （4）1 的平方根是 1 （
）
√ （5）－1 是 1的平方根 （
）
× （6）7的平方根是±49 (
)
× （7）若X2 = 16, 则X = 4 （
《平方根》PPT课件
5-2. 已知 2.06 ≈1.435，求下列各数的算术平方根： (1)0.020 6；解：∵ 2.06≈1.435，∴(1) 0.020 6≈0.143 5； (2)206； (2) 206≈14.35； (3)20 600. (3) 20 600≈143.5.
知识点 3 平方根
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
2. 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数 的算术平方根(或其近似值). 按键顺序：先按 键， 再输入被开方数，最后按 键. 计算器上就会显示这 个数的算术平方根(或其近似值).
特别解读 ●求一个正数(非平方数) 的算术平方根的近似值，通常有
三种方法： 一是用计算器； 二是查平方根表； 三是估算. ●计算器上显示的数值许多都是近似值.
(1) 1600; (2)－ 2 14；
25
(3) －22；
(4) 0.0036.
解：本题运用夹逼法来求整数a 与b 的值. 因为a，b 为连续整数，a< 7 <b， 而22<7<32，所以2< 7 <3. 所以a=2，b=3. 所以a+b=5.
3-1.[中考·天津] 估计 22 的值在( B ) A. 3 和4 之间 B. 4 和5 之间 C. 5 和6 之间 D. 6 和7 之间
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
解：(1)因为(±11)2=121，
人教版七年级下册数学《平方根》实数PPT教学课件
想一想
1. 121的平方根是什么？ 11
2. 0的平方根是什么？
0
3.
16 49
的平方根是什么？
4 7
4. -9有没有平方根？为什么？
问题：(1)正数有几个平方根？ (2)0有几个平方根？ (3)负数呢？
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
归纳总结
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3. 0的平方根是0，算术平方根也是0. 区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有
一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 a ，而算术平
方根表示为 a .
随堂练习
1.“± a ”的意义是（ C ） A．a的平方根 B．a的算术平方根 C．当a≥0时，± a 是a的平方根 D．以上均不正确
开平方及相关运算
例 a的一个平方根是3，则另一个平方根是 -3 ， a= 9 。
练一练
1.分别求下列各数的平方根：
（1）36 ; （2）295 ;
（3）1.21 .
2. 若一个数的平方等于5，则这个数等于 ___5___．
3.下列说法正确的是__①__④__⑤___ ① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8.
4.下列说法不正确的是___B___ A.0的平方根是0 B. 22 的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
1.a的一个平方根是3，则另一个平方根是 -3 ，a= 9 . 2.81的平方根是___9_， 81 的算术平方根是__3__ . 3.3a-2和2a-3是一个正数的两个平方根，则这两个平方根 是__1_和_-_1_，这个数是_1__.
《平方根》实数精品课件
定义描述数学表达式存在的条件030201对于任意实数a，它的平方根√a是非负的，即√a≥0。
非负性平方与开平方互逆乘积的平方根商的平方根对于非负数a，有(√a)²=a；反之，若a≥0，则√a²=a。
对于正实数a和b，有√(ab)=√a·√b。
对于正实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
与其他运算的关系在数学中的应用平方根在实数系中的位置1 2 3非负数有平方根平方与开平方互为逆运算平方根的计算方法平方根的运算规则数学函数计算误差控制最优化算法数值计算中的平方根应用物理学工程学经济学金融学平方根在实际问题中的应用绝对值联系对于任意实数a，其平方根的平方等于a的绝对值，即sqrt(a)^2 = |a|。
这一点揭示了平方根与绝对值之间的紧密关系。
方程中的应用平方根在解一元二次方程时发挥着关键作用。
通过平方根的性质，我们可以求解形如ax^2+bx+c=0的方程，其中涉及到平方根的求解。
平方根与绝对值、方程的联系定义区别运算性质联系平方根与开方、立方的区别与联系平方根的复数定义：在复数系中，任意非零复数z都可以表示为r(cosθ +isinθ)，其平方根可以定义为sqrt(r)(cos(θ/2) + isin(θ/2))。
这一定义将平方根的概念扩展到了复数领域。
多值性问题：在复数系中，由于存在多值性问题，一个给定的复数可能有多个平方根。
这与实数范围内的平方根存在区别，需要特别注意。
通过以上内容，我们可以更深入地理解平方根与其他数学概念之间的联系与区别，以及在复数系中的扩展。
这些知识将有助于我们更好地掌握平方根的概念和应用。
平方根在复数系中的扩展平方根的课堂教学策略利用直观模型激活学生的前知注重实际应用逐步抽象化从具体的数值和实例出发，逐渐引导学生抽象出平方根的一般概念和解题基于实际问题引入讲述古代数学家如何发现和使用平方根的故事，增加学生对这一知识点的兴趣。
数学史话引入案例分析平方根的引入与案例分析学生易错点及注意事项易错点101易错点202注意事项03。
统编人教版七年级数学下册优质课件 第3课时 平方根
解：（1）∵（±5）2 = 25，∴x = ±5;
（2）∵（±9）2 = 81，∴x = ±9;
（3）x2 = 36 .∵（ ± 6）2 = 36.
∴x = ± 6.25
5
25
5
5.根据下表回答下列问题：
x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5
x2
256
259.2 262.4 265.6 268.9 272.2
因为02 = 0，并且任何一个不为0的数的 平方都不等于0，所以0的平方根是0.
正数的平方是正数，0的平方是0，负数 的平方也是正数，即在我们所认识的数中， 任何一个数的平方都不会是负数，所以负数 没有平方根.
➢ 正数有两个平方根，它们互为相反数； ➢ 0的平方根是0； ➢ 负数没有平方根.
正数a的算术平方根可以用 a 表示；
第3课时 平方根
R·七年级下册
• 学习目标： （1）知道什么叫平方根？用符号如何表示
它？有哪些性质？ （2）能利用开平方与平方互为逆运算求某些
非负数的平方根.
情景导入
思考
如果一个数的平方等于9，这个 数是多少？
探究新知 知识点1 平方根的概念
3的平方是9. 除了3之外，还有没有别的 数的平方也等于9呢？
a ，– a的意义 ，他们分别表示a的平方根， a的算术平方根，a的负的平方根，解题时， “ a ”的前面是什么符号，对计算结果是有 影响的.
基础巩固
随堂演练
1. 下列各式：① 3 ；② 3 ；
③
(3)2 ;④
1 中，有意义的有（ C ） 102
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2. 下列各式中正确的是（ C ）
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做一做 判断下列说法是否正确，并说明理由． （1）49的平方根是7； （2）2是4的平方根； （3）-5是25的平方根； （4）64的平方根是±8； （5）-16的平方根是-4．
典例精析 例1 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4， 求这个数． 解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4， 则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0， 解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
例如： (±1)2=1，1的平方根为±1. 平方根的性质： 如果x是正数a的一个平方根，那么a的平方根有
且只有两个：x与-x.即平方根互为相反数.
试一试
1. 144的平方根是什么？
12
2. 0的平方根是什么？ 0
4 25
3.的平方根是什么？2 54. -4有没有平方根？为什么？
没有，因为一个数的平方不可能是负数
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即± 1.21=± 1.1 .
三、平方根的数学符号表示
一个非负数的平方根的表示方法：
a 表示a的正的平方根(算术平方根)
a 表示a的负的平方根
记作 a
a﹙a≥0﹚的平方根表示为 a
说一说
7
7
7 各表示什么意义？
表示7的正 的平方根 （即算术平 方根）
121 196
课堂小结
平方根的概念 平方根 平方根的性质
开平方及相关运算
想一想 通过这些题目的解答，你能发现什么?
问题：（1）正数有几个平方根？ （2）0有几个平方根？ （3）负数呢？ 有没有一个数的 平方是负数？
因为任何实数的平方都为非负数，所以 负数没有平方根，也没有算术平方根.
要点归纳
平方根的性质： 1.正数有两个平方根，两个平方根
互为相反数. 2.0的平方根还是0. 3.负数没有平方根.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.
区别：
当堂练习
1.下列说法正确的是_①__④__⑤____
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36 的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64 的算术平方根是8. 2.下列说法不正确的是__B____ A.0的平方根是0
B. 22的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3. 判断下列说法是否正确.
（1）75
是
25 49
的一个平方根；
（2）6 是6的算术平方根；
正确. 正确.
（3）16 的值是±4； （4）(-4)2的平方根是-4.
不正确，是 4.
不正确，是 ±4.
36，295 ，1.21.
（1）36 36有是两正个数 平方根
解 由于62=36， 因此36的平方根是6与-6. 即 ± 36 =± 6 .
（2） 25 9
有两个平方根
解:
由于 =
5
2
3
25 9
，
因此
25 9
的平方根是
53与-
5 3
.
即±
25 9
=±
5 3
.
（3）1.21
有两个平方根
解: 由于1.12=1.21，
第六章 实 数
6.1 平方根
第3课时 平方根
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系; 2.会求非负数的平方根．（重点、难点）
导入新课
回顾与思考 1.什么叫做算术平方根？
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有， 请求出它们的算术平方根. 100；1； 36 ; 0; －0.0025; (-3)2 ; －25；
121
3. 填空
（1）32= 9 ，（－3）2= 9 ；
（2） 32
2
4 9
，
2
2
3
4 9
；
（3）0.82= 0.64 ，（－0.8）2= 0.64 .
思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这 个数？
讲授新课
平方根的定义及性质
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
由于 3 2 =9 ， 3和-3互为相反数，
所以这个数是3或-3. 会不会是巧合呢?
想一想：3和-3有什么特征？
填一填1
(1) 4的平方等于16，那么16的算术平方根就是__4___
(2)
2 5
的平方等于
4 25
，那么
4 25
2
的算术平方根就是_5___
(3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为_7__m.
问题：平方等于16，245 ，49的数还有吗？
表示7的负 的平方根
表示7的 平方根
典例精析 例3 求下列各式的值：
（1） 36 ； （2） 0.81； （3）
49 ． 9
解：（1） 36 6 ；
（2） 0.81 0.9 ；
（3） 49 7 . 93
归纳总结 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术 平方根是平方根的一种.
4. 分别求 64，4891 ，6.25的平方根.
解: 64的平方根是8与-8，4891
的平方根是
7 9
与 -7 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
9
5.求下列各式的值：
（1） 144 （2） 0.81
解:（1） 144 12
（2） 0.81 0.9
（3）
121 11 196 14
（3）
填一填2
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
x2
8 -8
？64
3
4
-
3 4
11 ？
-11 ？
0.6 ？
-0.6 ？
0
？ ？
没有？ ？
？9 16
121 0.36
0 -4
一、平方根的概念 根据上述问题，即要找出一个数，使它的平
方等于给定的数.我们抽象出下述概念：
如果有一个数x，使得x2=a，那么我们把x叫作 a的一个平方根，也叫作二次方根.
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数.
回顾平方的概念 已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.
平方
+1
-1
1
+2
-2
4
+3
-3
9
二、开平方的概念 反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？
？运算
+1
-1
1
+2
-2
4
+3
-3
9
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
典例精析
例2 分别求下列各数的平方根：