动力响应理论
力学中的结构动力学响应与优化
力学中的结构动力学响应与优化力学是研究物体静态和动态力学性质的学科，而结构动力学响应与优化则是力学中的一个重要分支，通过分析结构体在外部力作用下的波动响应，找到最优的结构设计方案。
一、结构动力学响应在力学中，结构动力学响应是指结构体在受到外部力作用后所产生的振动与变形情况。
结构动力学响应可以分为静力响应和动力响应两种情况。
1. 静力响应静力响应是指结构体在受到稳定作用力后的平衡状态。
通过分析材料的力学性质和结构体的几何形状，可以计算出结构体在受力状态下的内力和变形情况。
静力响应的分析方法通常采用力平衡方程和材料本构关系进行计算。
2. 动力响应动力响应是指结构体在受到动态作用力或振动载荷时的响应情况。
动力响应的分析需要考虑结构的惯性和阻尼特性。
通过求解结构的振动方程，可以得到结构体在不同频率下的振动模态和共振情况。
动力响应的分析方法通常采用有限元法、模态分析等数值计算方法。
二、结构动力学优化结构动力学优化是在给定一定的约束条件下，通过调整结构体的形状、材料和结构参数，使得结构体在外部力作用下具有更好的响应性能。
结构动力学优化可以分为静力优化和动力优化两种情况。
1. 静力优化静力优化是指通过调整结构体的形状和几何参数，以使结构体在受力状态下具有更小的应力和变形。
静力优化的目标可以是最小化结构的重量、最大化结构的刚度或满足特定的结构性能要求。
静力优化的方法有拓扑优化、形状优化和尺寸优化等。
2. 动力优化动力优化是指通过调整结构体的参数和材料特性，以使结构体在受到动态作用力或振动载荷时具有更好的阻尼特性和振动响应控制能力。
动力优化的目标可以是最小化结构的振动幅值、最大化结构的振动模态频率或实现特定的振动控制要求。
动力优化的方法有结构参数优化、材料优化和阻尼控制优化等。
结构动力学响应与优化在工程领域具有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，通过分析房屋结构在地震作用下的动力响应，可以设计出具有良好抗震性能的建筑物；在航空航天工程中，通过优化飞机结构的动力响应特性，可以提高飞机的飞行稳定性和安全性。
桥梁工程的非线性动力响应
桥梁工程的非线性动力响应桥梁是连接两个地点的重要交通设施，具有承载能力和稳定性的重要要求。
然而，在桥梁结构的使用寿命中，各种自然和人为因素都会对其性能和安全产生影响。
其中之一就是桥梁在遭受外界荷载时的非线性动力响应问题。
本文将从理论和工程实例两个方面探讨桥梁工程的非线性动力响应问题。
1. 引言桥梁作为交通运输的关键节点，其结构必须经受住各种动力荷载的考验。
传统的结构设计方法主要基于线性静力理论，而对于桥梁结构的非线性动力响应问题，人们对其认识还相对有限。
因此，深入研究桥梁的非线性动力响应对于提高桥梁的稳定性和安全性具有重要意义。
2. 桥梁结构的非线性动力分析方法2.1 非线性数学模型可通过建立合适的非线性数学模型来描述桥梁结构的动力响应。
常见的非线性数学模型包括非线性弹簧模型、非线性阻尼模型和非线性质量模型等。
这些模型能够更准确地刻画荷载作用下桥梁结构的响应特性。
2.2 计算方法针对桥梁结构的非线性动力分析问题，可采取数值计算方法进行求解，如有限元法、模态叠加法和延时微分方程法等。
这些方法可以更精确地研究桥梁结构在动力荷载作用下的非线性响应。
3. 桥梁工程实例以某桥梁为例，探讨桥梁结构的非线性动力响应问题。
该桥梁承受着日常交通荷载以及突发事件等多种荷载作用。
通过对该桥梁的振动测量和监测数据进行分析，可以得到其在不同荷载下的非线性动力响应情况，并评估其安全性。
4. 桥梁结构的非线性动力响应控制为了提高桥梁结构的稳定性和安全性，可以采取一系列控制措施来减小非线性动力响应。
如采用主动控制和减振装置、改善材料和结构设计等手段，可以有效改善桥梁结构的非线性动力响应特性。
5. 结论桥梁工程的非线性动力响应问题对于提高桥梁的稳定性和安全性具有重要意义。
通过建立合适的非线性数学模型和采用适当的计算方法，可以更准确地刻画桥梁结构在动力荷载下的响应特性。
同时，结合实际工程实例，可以评估桥梁结构的非线性动力响应情况，并采取相应的控制措施来减小非线性响应。
NXNastran线性动力响应实例分析
NX Nastran中为我们提供了这样的多种分析方案，通常我们使用103响应仿真
来快速的解决此类问题。
实例的情景假设
此例取吊架模型(见图1-1)，假设吊架受到横向的冲击载荷的作用下的部件的动刚度。
材料为碳素钢05F对应材料库里的AISI_Steel_1005；边界条件：低端圆孔处约束轴向位
究自由振动即物体自身的特性；受迫振动则是由外界激励对物体所产生的响
应结果。比如：汽车的发动机所产生的振动通过与车身连接传递车内使驾驶
员感到不适，所以就要对发动机的振动幅值、频率加以优化或者让车身的固
有频率远离发动机的振动频率。
动力学的基本平衡方程： + + u= ， 为加速度，为速度
移、旋转，前端圆孔为销轴做刚性处理，在轴中间部位施加瞬态的激励载荷。
图1-1
接下来我们进行具体操作：见视频
讨论动力响应分析的结果及当前发展的实际情况
我们通过比较静态与动态可以发现动态情况下刚度是要大于静态的刚度结果，
因为是冲击载荷所以惯性就起到对结构影响比较大。这时用静力的求解方法就
会必然错误的结果。
除了用103，我们还可以使用直接或模态瞬态分析的方法来做进一步精确计算。
最后我简单说一下个人对动态分析的一个见解，就目前而言动态分析没有一个
准确的判定准则，不像静态分析那样有四大强度理论作支撑，我们更不能想当
然的用静态理论的评判方法去判别动态强度，如果是关心位移、速度、加速度
那就除外了。然后还要说一下阻尼，阻尼通常都需要试验来测得，准确性也是
与线性静力学所不同就是考虑惯性、阻尼、时间。
受迫振动中就是要我们要研究部件随时间或频率变化的力、位移、速度、加
土与基础结构动力相互作用的饱和弹性半空间理论
土与基础结构动力相互作用的饱和弹性半空间理论土与基础结构动力相互作用的饱和弹性半空间理论引言：土与基础结构的相互作用是土力学和地震工程领域中的重要研究课题。
在地震和其他动力荷载作用下，土体的动态特性对基础结构的动态响应和稳定性起着至关重要的作用。
本文将介绍土与基础结构动力相互作用的饱和弹性半空间理论，该理论基于弹性连续体力学和Biot动力响应理论，并考虑了饱和土的非均匀渗流效应。
1. 土弹性力学基础土体是一种多孔介质，具有弹性和连续性。
土体的弹性性质可以通过与岩石和金属类似的弹性力学理论来描述。
弹性体在受力时产生应变，并且当撤离力时能够完全恢复到无应变状态。
土体的弹性性质是通过弹性模量和泊松比来表征。
弹性模量是土体在单位应力作用下发生的应变，泊松比是侧向收缩应变与轴向应变之比。
2. 土与结构动力相互作用的Biot理论Biot理论是描述多孔弹性体动力响应的重要理论。
Biot理论考虑了土体的质量，弹性性质和渗流特性，并基于弹性连续体力学和一组渗流方程，提供了解析土体动力响应的框架。
该理论考虑了土体的质量能量平衡、线弹性力学和物质平衡方程。
3. 饱和弹性半空间模型饱和弹性半空间模型是一种简化的土体模型，它可以有效地描述土与基础结构之间的动力相互作用。
半空间指的是没有边界的无限土体模型。
饱和弹性半空间模型的基本假设是土体是均匀饱和、各向同性、弹性均一的介质，且无边界限制。
4. 动力相互作用分析方法饱和弹性半空间模型可以通过数值方法进行分析，例如有限元法和边界元法。
数值方法可以建立基于弹性理论和Biot动力响应理论的土体和结构的数学模型，通过求解模型的运动方程和边界条件来预测土体和结构的动力响应。
5. 非均匀渗流效应的考虑饱和土体中的渗流对土体的动力响应有着重要的影响。
由于渗流，土体中的孔隙水压强度会发生变化，从而改变土体弹性模量和阻尼特性。
非均匀渗流效应的考虑可以通过将渗流过程纳入动力相互作用分析中的渗流方程来完成。
建筑结构的动力响应分析
建筑结构的动力响应分析建筑结构的动力响应分析是研究建筑物在地震等动力荷载作用下的变形、应力和能量分布规律的一门学科。
它在工程实践中具有重要的意义，可以帮助工程师更好地设计和评估建筑物的抗震性能。
1. 动力响应分析的基本原理动力响应分析是基于结构动力学理论进行的，它主要涉及物体在振动过程中的固有频率、振型和振幅等参数。
通过建立结构的动力模型，可以对结构在地震等动力荷载作用下的响应进行数值模拟和分析。
在动力响应分析中，一般采用有限元法等数值方法进行计算，通过求解结构的位移、速度和加速度等参数，来揭示结构的响应特性。
2. 地震对建筑结构的影响地震是建筑结构受到的主要动力荷载之一。
地震波的传播会导致建筑物振动，从而产生构件的应变和应力，甚至可能引发结构的破坏。
因此，了解地震对建筑结构的影响是进行动力响应分析的前提。
地震波的特点包括频率、振型和振幅等参数，这些参数对结构的响应有着重要的影响。
通过分析地震波的地表运动记录，可以获取地震波的时程历时和频谱特性，为动力响应分析提供必要的输入。
3. 建筑结构的动力模型建筑结构的动力响应分析需要建立合适的动力模型。
常见的动力模型包括单自由度系统和多自由度系统。
单自由度系统假设整个结构只有一个振动模态，在分析中可以简化计算，适用于比较简单的结构。
多自由度系统则考虑了结构的各种振动模态，可以更精确地描述结构的响应情况。
在建立动力模型时，需要确定结构的质量、刚度和阻尼等参数，这些参数对结构的动力响应有着重要的影响。
4. 动力响应分析的结果与应用通过进行动力响应分析，可以得到结构在地震等动力荷载作用下的位移、速度、加速度、应力和能量等参数。
这些参数可以用来评估结构的抗震性能，并对结构的设计和加固提供参考。
例如，在结构设计中，可以通过响应分析研究建筑物的位移和应力分布情况，从而优化结构的布置和尺寸。
此外，动力响应分析还可以用于评估现有建筑物的抗震性能，并提出相应的改善方案。
5. 动力响应分析的挑战与发展方向尽管动力响应分析在工程实践中具有重要的应用前景，但在实际应用中仍存在一些挑战。
不同波浪理论下风机支撑系统的动力响应
不同波浪理论下风机支撑系统的动力响应刘红军;杨奇【摘要】Focusing on the dynamic response of offshore wind turbines,a numerical model of a wind turbine system is established based on revised small-amplitude wave theory,Airy wave theory,and Stokes five-order wave theory. By importing the P-y curve and simulating the application of wave,tidal current,and wind load, the dynamic re-sponses of a wind turbine supporting system are obtained under different wave theories.It is shown that the maxi-mum horizontal displacements,rotation angles,and bending moments of the support system are different with differ-ent wave theories,but the vibration modes and natural frequencies are basically the same.In the following order, the theories have the most to least significant effect on the entire support system: Stokes five-order wave theory, Airy wave theory,and revised small-amplitude wave theory.Results show that to provide basic data for both the bearing and fatigue designs of a wind turbine,it is necessary to select an appropriate wave theory to analyze the dy-namic response of the wind turbine under the action of wind,wave,and current.%针对海上风机动力响应问题,依据修正的小振幅波理论、Airy波理论以及Stokes五阶波浪理论,建立了风机系统模型,输入P-y曲线,并模拟施加波浪、潮流荷载、风荷载等,得到了不同波浪理论下风机支撑系统的动力响应.结果表明,不同波浪理论下支撑系统最大水平位移、转角和弯矩均存在一定差异,振型和自振频率基本一致, Stokes五阶波浪对整个支撑系统的影响最显著,其次是Airy波和经修正的小振幅波.在风机设计时必须选择合适的波浪理论,分析风机在风浪流作用下的动力响应,为风机承载设计和疲劳设计提供基础资料.【期刊名称】《哈尔滨工程大学学报》【年(卷),期】2018(039)004【总页数】6页(P668-673)【关键词】支撑系统;风机系统;单桩基础;波浪理论;修正的小振幅波理论;Airy波理论;Stokes五阶波浪理论;P-y曲线;动力响应;波浪;潮流荷载;风荷载【作者】刘红军;杨奇【作者单位】山东省海洋环境地质工程重点实验室,山东青岛266100;中国海洋大学环境科学与工程学院,山东青岛266100;中国海洋大学环境科学与工程学院,山东青岛266100【正文语种】中文【中图分类】TU43风能是一种新型的可再生能源，相比陆地上的风力发电，海上风力发电有一定的优势[1]。
理论力学中的力学系统动力学响应分析
理论力学中的力学系统动力学响应分析随着科学技术的不断发展，力学系统动力学响应分析在理论力学中扮演着至关重要的角色。
力学系统动力学响应分析旨在研究力学系统在受到外部激励或内部扰动时的响应特性，通过分析系统的运动、应变、位移等参数的变化，以揭示力学系统的性能和行为。
I. 力学系统的动力学模型在进行力学系统动力学响应分析之前，首先需要建立力学系统的动力学模型。
一个力学系统的动力学模型是通过描述系统内部元件之间的相互作用以及系统受到的外力而得到的。
动力学模型可以采用不同的数学描述方法，如常微分方程、偏微分方程或差分方程等，并可以采用连续介质力学、刚体力学、有限元方法等不同的分析工具。
II. 动力学方程的建立建立力学系统的动力学模型后，下一步是利用物理原理和数学方法推导出系统的动力学方程。
动力学方程是描述系统运动规律和受力情况的关键方程，可以通过拉格朗日方程、哈密顿方程、牛顿第二定律等经典力学原理得到。
根据系统的特点和需要，可以选择适合的动力学方程，从而进行系统的动力学响应分析。
III. 动力学响应的分析方法针对不同的力学系统和预期的研究目标，有多种方法可用于分析系统的动力学响应。
以下是一些常用的分析方法：1. 频域分析：通过将信号分解为不同频率的成分来研究系统的频率响应特性。
频域分析方法包括傅里叶变换、功率谱密度分析等，可以揭示系统的共振现象、频率响应特性等。
2. 时域分析：考虑时间因素，通过观察系统的运动轨迹和变化趋势来分析系统的动力学响应。
时域分析方法包括积分法、微分方程求解等，可以研究系统的瞬态响应和稳态响应等。
3. 模态分析：通过求解系统的固有频率和振型来研究系统的动力学响应。
模态分析方法包括模态分解、模态叠加等，可以分析系统的振动模态、振型图等。
IV. 数值模拟与实验验证除了传统的分析方法，如频域分析和时域分析，现代科学技术的进步也使得数值模拟和实验验证成为力学系统动力学响应分析的重要手段。
通过建立系统的数值模型，并利用计算机仿真软件进行数值模拟，可以获得系统的详细响应信息。
基于确定性理论的结构动力响应优化综述
改革 与 探 讨 Ｉ ｌｌ Ｉ
梁 庆华
基于确定性理论 的结构动力响应优化综述
（ 广西金 秀县建设局 ， 广西 金秀 ５ ５０ ） ４ ７ ０
摘 要： 对基 于确定性理论的结构动力响应优 化设 计发展与现状进 行了综述， 并粗略 的展望 了结构动力响应优化设 计研 究的未 来发展趋势和
ｊ 研究热点。
关键词： 结构 优 化 ； 力响 应 ； 化设 计 动 优
引 言 意义、学术价值和实用价值。 设计 。该软件系统包含 了以动力特性和动力响 许 多工程结构在服役期间不可避免 的受 到 结构动力学优化设计可分为结构动力特性 应 为约 束 的 两种 动 力优 化模 型 ，其 中利 用 风激 、 海浪 、 地震 、 炸以及 来 自于外界环境 的 的优化设计和结构动力响应 的优化设计 。文献 Ｒ ｙ ｉ 爆 ａ ｅ ｈ商原 理实 现 了 白振频 率 的高 精 度近 ｌｇ 振动或冲击 的作用 ， 动力破坏或损伤将是该类 对 １９ 年 以前结构动力学 优化设计的发展 给 似。对于结构动力 响应 的求解 ，则采用 了动力 ９９ 工程结构的主要失效形式 。要确保这些工程结 予 了详尽的综述与评论。将侧重于对结构动力 学方 程直接积分的方法 ，将简谐 激励作用下具 构在动力环境下能够安全 可靠 的工作 ，最为有 响应优化设计 的发展 进行综述和评 论， 结构 有阻尼系统 的动力响应灵敏度计算问题转化为 对 效 的办法就是进行结构的动力学设计。结构 的 动力特性的优化设计不做评述 。 虚拟荷载作用下的动力 响应问题 ，从而避免 了 动力学设计是动力分析 的反 问题或逆问题 ， 它 １基于确定性理论的结构动力响应优化设 求解特征 向量导数的繁重计算量。几个算例表 的求解要比正问题困难 和复杂得多。在早期 的 计 明了该软件 系统的实用性 和有效性。李福松等 动力学设计 中， 常常采用经验 、 比或试凑等方 类 基于确定性振动理论的结构动力响应优化 对研制中的气动射流发 电机 的振系结构进行 了 法。 显然 ， 这些方法 由于缺乏理论分析和计算结 设计是 以在确定 的动力激励下结构的响应如位 动力响应优化设计 ， 并通过实验验证了优 化结 果 的指导 ， 使得设计出来 的工程结构往往带有 移 、 速度 、加速度 、应力 、 变等为 目标函数 果 ，效果令人满意。Ｍ ｎ 应 ｉ 等利用均匀化和直接 较大的盲 目 ， 性 常常导致结构设计 的失败。 或约束 函数的结构优化设计。由于结构动力响 积分方法对 冲击性动力荷载作用下 的薄板结构 ２ 世纪 ６ 年代 以来 ，随着结构优 化设 计 应优化设计同时涉及到结构动力 特性和动力响 进行 了拓扑优 化设计 。Ｉ Ｖ ｎｎｉ Ｏ Ｏ ． ｅａ ｚ等采用 模拟 理论和方法的创立和发展 ， 高速度大容量电子 应分析以及优化设计 ，因此求 解更为 困难和复 退火算法对风激结构分别在频域和时域进行了 计算机的问世和普及 ， 使得计算机化的结构动 杂 ， 迄今有关研究成果不多 ，尚属于结构动力 多 目标优化设计 。潘晋等采用 自 适应遗传算法 力学优 化设计成 为可 能。 １６ 年 Ｎｏ ￣ ９５ ｉ ｄ ｎ发 学优化设计中有 待于进一步研究 的方面 。但 目 求 解了 以脉 冲激励下 的动力 响应 作为约束 条 ｒ 表 了关于振动梁结构动力学优化 的论文 ，开创 前 已经有一些学者开展 了这方 面的工作 。 件 、以结构重量最小化为 目 函数 的桁架结构 标 了结构动力学优化设计的先河 。在此之后 ，结 Ｃｓｉ等应用数学规划法对半正弦 冲击荷 拓扑优化问题。文献采用随机搜索方法进行动 ａｓ ｓ 构动力学优化设计的研究探索渐进深入 ，研究 载作用下 的平面正交钢框架进行了最小重量设 力 响应 优化设计显然 计算量太大 ， 际工程 在实 内容 日渐丰富，研究成果 与 日俱增 ，已涉及到 计 ，其 中考虑了频率、最大动位移和动应力约 中难 以应用。顾 元宪等提 出海洋平 台结构动力 结构动力学优化设计的理论 、方法 、建模 、设 束以及设计变量上下 限约束 ，但未考虑 阻尼 的 响应优化设计以及结构动力响应 的灵敏度计算 计敏度分析、软件设计和工程应用等方面。人 作用 。论文采 用 Ｔ ｙ ｒ 数 展开式 的一 阶近 方法 ，给出了结构稳态频率响应 和瞬态时程响 ａｌ 级 ｏ 们通过四十多年的研究和探索 ，结构动力学优 似 ，将 动力响应约 束用设 计变量 的显式 来表 应 的灵敏度分析算法 ，并通过数值试验讨论了 化设计取得了长足的发展 ， 与结构静力学优 示 ，由此引起的误差则通过 “ 但 运动极 限”予 以 瞬态响应灵敏度分析算法 的精度和差分法 中变 化 设计问题相 比，它的理论 和方 法尚不尽 完 控制。Ｋ ｐｏ 等利用无约束极小化中的 Ｐｗ ｎ 量摄动量的影响。 ａ ｏｒ ｏｅ 善 、系统与成熟 ，研究成果偏少 ，工程应用远 方法 ， 对发射塔桁架结构 的外形进行 了动力优 ２ 展 望 不尽人意。究其主要原因是： 化设计 。以杆件的截面积和塔基宽度 、板条高 从 以上综述所 列的文献可见 ， 结构动力响 ａ ． 在结构动力学优化设计数学模 型中 ，目 度等作为设计变量 ，以动应力和动位移 为约束 应优化设计仍停留在理论研究阶段 ， 的理论 它 标 函数或约束 函数的非线 性程度较高 、性态复 条件。设计结果表明塔 的外形对于动荷载 比静 和方法 尚有待完善，软件开发和应用与工程实 杂 ，一般 为结构 设计 变量的隐式和复合 函数 ， 荷载更为敏感 。 家浩对 同时具有静力 和动力 际存在较大的距离。结构动力响应优化设计今 林 从而导致动力学灵敏度分析和优化求解变得相 约束的结构其，面临各种新 当困难 ； 设计 。ｃ Ｃ ｓ ｈ ． ．Ｈｉ 等提 出一种机械 和结构 动 的挑战，以下的问题将是未来的研究热点 ： ｅ ｂ工程结构特别是大 型复杂 的多 自由度体 力系统的动力响应优化设计方法和灵敏度计算 ． ２１ ．复杂结构 的动力响应优 化设计及其优 系 ，其动力特性和动力响应 的计算几乎涵盖结 方法 。Ｃ ａａｌｅ等对结构 动力响应优 化设计 化方法 的研究。现有的结构动力优化设计基本 ｈｈ ａ ｄ 构有限元分析 的各个方面，内容繁复 ，计算耗 的数种方法进行了讨论 与比较 。Ｐ ｎ ｌ ｅ ａ ｔ ｉ 等将 上集 中在 某些 单一 的线 弹性 的结构 类型 上 ， ｅｄ 时且要求巨大的计算机内存空间 。在结构动力 改进的模拟退火法应用于求解具有动应 力和动 如 ： 桁架 、粱 、框架 、 与壳等 。为了将结构 板 学优化中的每一轮迭代都必须进行一次乃至多 位移约束的结构优化问题 ，并将优化结果 与一 动力响应 的研究成果应 用于工程实际 ，必须研 次 的结构动力学重分析 ，其计算量令人生畏 ； 般优化方法 的最优结果进行 了比较 ，结果表 明 究复杂结构 的动力响应优化设计方法及其求 解 ｃ ． 结构动力学优化设计 的计算 软件开发涉 即使初始设计为非可行点 ，改进的模 拟退火 法 策略和优化算法 。 及的知识面宽 、复杂程度 高、工作量巨大。因 最终也能收敛于全局最优解 。程耿东等对 涡轮 ２ ． ２结构 动力 响应 优化设 计 的软件 开发 。 此 ，目 前结构动力学优化设计主要集中在一些 机座的框架结构建立了以梁截面积和节 点坐标 结构动力学优化设计的计算软 件开发涉及的知 相对简单 的问题上 ，如以频率等动态特性作为 为设计变量 ，使结构重量和响应的振 幅同时极 识面宽、复杂程度高 、工作量具大 ，因此 ，目 约束条件或 目 函数的结构优化设计问题。而 小化的多 目 标 标优化数学模型 ，并利用序列线性 前涉及结构动力 响应优化设计 的软件很少。软 以结构动力响应 （ 动位移、动应力）为约束的 规划法求解 。孙焕纯等从工程角度出发 ，提出 件作为计算工具 已在很大程度上制约着结构动 动力学优化设计的工作非 常少 ，进而基于概率 了一种 “ 拟静力”优化 的方法 ，依据达朗伯原 力响应 优化设计 的实现与应用 。 除有可能引进 的结构 动力学优化设计更是凤毛麟角。从 目前 理将结 构惯性力极 值作 为静荷 载施加 到结 构 国外相关的计算软件之外 ， 还应尽快完善并 推 的发展状况来看 ，结构动力学优化设计的主体 上 ，从而将原动应力和动位移约束的离 散变 量 出具有我国知识产权的大型系统化和通用化的 研究仍处于理论阶段 ， 于工程结构设计领域 结构优化设计问题 近似化为静态约束 的优
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第2章 动力响应理论2.1引言机柜结构动力响应的计算机仿真分析是以设备动力响应理论为基础的，是进行设备结构动力响应研究的一种有效手段。
论文中主要研究设备动力响应两个方面的内容：设备结构固有特性分析和结构在地震波作用下的响应分析。
固有特性分析可以得到结构的固有频率和固有振型，是进行响应分析的基础；地震波响应分析将得到设备响应的时间历程变化。
在使用有限元工具对结构进行建模、分析之前必须掌握结构动力响应的理论和相关的有限元基本原理。
因此，本章重点叙述了与设备结构动力响应相关的机械振动学理论及其有限元仿真技术。
2.2结构动力响应分析相关理论2.2.1结构固有特性分析理论机柜设备结构的固有特性包括固有频率和振型，是响应分析的基础。
通过进行结构的固有特性分析可以使设计有效地避开结构的共振频率。
机柜设备是一个复杂振动系统，在理论分析过程中，常常可以把机柜设备简化为多自由度集中参数系统。
一般，多自由度系统的自由振动方程可以写成如下形式：{}...[]()[]{()}[]{()}{0}M x t C x t K x t ++= (21)a -式中：[]M ， []C 和[]K 分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;()x t 、.()x t 、..()x t 分别为系统的位移列向量、速度列向量和加速度列向量。
而多自由系统的无阻尼自由振动方程可以写成如下形式:{}..[]()[]{()}{0}M x t K x t += (21)b -通常系统的自由振动是简谐振动，所以可以假设式 (21)b -的解为： {()}{}sin x t X pt = (22)- 式中：{}X 为系统的振幅列向量;p 为系统的自由振动频率。
将(22)-代入(21)b -，就可以得到系统的振型方程，其具体形式如下：2[][]{}{0}K M X p -= (23)- 可以看到，式(23)-是一个齐次线性方程组，根据线性代数知识，它具有非零解的充分必要条件为系数矩阵的行列式为零，亦即有下式成立。
2[][]0K M p -= (24)- 式 (24)-称为系统的特征方程或频率方程，他是关于2p 的n 次代数方程。
解之，我们可以得到n 个解。
具体如下：2222123n p p p p ≤≤≤≤ (25)- 若系统为正定系统，则有20(1,2,3,,)i p i n ≥= (26)-式中：i p 为系统的第i 阶固有圆频率。
将i p 分别代入系统的振型方程（2-3）中，可以解得与之对应的振幅列向量{}i X ，也称为系统的主模态或主振型。
注意：（1）系统固有频率和模态的数目与系统拥有的自由度数相同，n 自由度系统必有n 阶固有频率和模态（主振型）。
（2）系统的固有频率仅与系统的质量矩阵和刚度矩阵有关，而与外界干扰力无关，它们是系统本身的固有性质。
（3）系统的主振型{}(1,2,3,,)i X i n =表示系统以频率i p 作自由振动时系统的各 个自由度的振幅的相对比值。
2.2.2结构冲击响应分析理论通过系统的自由振动方程，可以解得系统得固有频率和主振型。
在冲击激励作用下，多自由度系统振动将作受迫振动。
利用激励响应理论可以解得系统受迫振动过程中系统的响应。
2.2.2.1 多自由度系统的受迫振动方程多自由度系统的受迫振动方程可以写成如下形式：...[]{()}[]{()}[]{()}{()}M x t C x t K x t f t ++= (27)- 式中：{()}f t 为系统受到的激励力向量，如果系统受到基础加速度激励则激励力向量就是该加速度系统的等效惯性力；其他符号的意义同式（2-1）。
通常情况下，系统的各个自由度之间存在耦合，方程（2-7）中的[]M 、[]C 和[]K 不是对角阵，方程难以求解。
为了得到系统的响应必须选择适当的坐标系将（2-7）式解耦。
2.2.2.2振动方程的解耦（1）正则振型与正则振型矩阵在对振动方程解耦之前先介绍系统的正则振型与正则振型矩阵的概念。
通过式（2-3）与式（2-4）已经求得系统的各阶固有频率(1,2,3,,)i p i n =和相应的主振型{}(1,2,3,,)i X i n =。
令1{}{}(1,2,3,,)i i i x X i n μ== (28)- 使得{}[]{}1(1,2,3,,)T i i i M X M X i n === (29)- 式中：{}i X 为第i 阶正则振型；i μ为待定系数。
将（2-8）带入（2-9），可以得到 (1,2,3,,)i i M i n μ== (210)-将（2-10）带入（2-8）可得到各阶正则振型，进而可以写出正则振型矩阵，具体如下：~123[]{{}{}{}{}}n P X X X X = (211)- （2）振动方程解耦由于各阶主振型关于[]M 、[]K 是正交的，各阶正则振型也是关于[]M 、[]K 正交的，可以利用正则振型矩阵来对振动方程进行解耦。
选取一组广义坐标()q t 又称为主坐标，令{()}[]{()}x t P q t = (212)-将（2-12）代入（2-7）中，并且将方程两端左乘[]T P ，则可以得到解耦后的振动方程：..~.~[]{()}[]{()}[]{()}{()}I q t C q t q t f t ++Λ= (213)a - 式中，[]I 为单位阵；[]Λ伪对角阵，其对角限元素为各阶固有频率的平方；~[]C 为对角化的阻尼阵，采用比例阻尼假设，其对角线上的第i 个元素为： ~2i i c p αβ=+ (213)b - ~{()}f t 为外力对角阵，可进一步表示为：~~{()}[]{()}T f t P f t = (213)c - 式（2-13a ）是一个非齐次线性方程组，其中第i 个方程可以写成：..~2()()()()i i i i i q t c q t p q t f t ++= (214)- 式中，()i q t 为第i 个主坐标。
2.2.2.3单自由度系统对任意激励的响应式（2-14）在形式上与单自由度系统的振动方程一致，可以将上式看作单自由系统的受迫振动方程。
求解方程（2-14）即计算单自由度系统对任意激励的响应。
单自由度系统对任意激励的响应，可以看作系统对一连串单位脉冲响应的叠加。
单自由度系统对单位脉冲的响应可以用下式表述：1sin()0()00pt id id i e p t t mp h t t ξ-⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ (215)-式（2-15）表示的是单自由度系统对发生在t=0时刻的单位脉冲的响应，单自由度系统对发生在任意时刻t τ=的单位脉冲的响应可以写成如下形式： ()1sin(())()0i p t id id i e p t t mp h t t ξτττττ--⎧-≥⎪-=⎨⎪<⎩ (216)-则方程（2-14）所示的单自由度系统对任意激励的响应可用杜哈美积分表示为： ~0()()()t i i i q t f h t d τττ=-⎰ (217)-式（2-15）、（2-16）、（2-17）中，~2i i c p ξ=为式（2-14）表示的单自由度系统的阻尼比；21id i p p ξ=-为考虑阻尼时系统的第i 阶固有频率。
式（2-15），（2-16）称为单自由度系统的脉冲响应函数。
至此，第i 个自由度的响应己经求得。
式（2-17）表述的()i q t 为振动方程的全解，包含了瞬态解和稳态解两部分。
2.2.2.4多自由度系统任意激励的响应上节求得了第i 个自由度的响应解。
同理可以解得其他自由度的响应解，全部自由度的解可以写成向量{()}q t ，具体形式如下：~0{()}[()]{()}t q t h t f d τττ=-⎰ (218)- 式中，~{()}f t 由式~~{()}[]{()}T f t P f t =确定。
上式表示的响应为系统在主坐标下的响应。
要得到原物理坐标下的响应{()}x t 只要将式（2-18）代入式（2-13）。
具体如下：~~~0{()}[]{()}[][()][]{()}t T x t P q t P h t P f d τττ==-⎰ (219)- 也可以写成和的形式：~{()}{}()(1,2,3,,)n i i i x t X q t i n ==∑ (220)-式中，~{}iX为第i阶正则振型，可由式（2-8）确定，()iq t为杜哈美积分，可由式（2-17）确定。
2.3 结构动力响应的有限元仿真技术2.3.1有限元分析的一般步骤有限元方法是求解微分方程的一种非常有效的数值方法，其基本思想是用分片函数（单元形状函数）来逼近原函数，也就把无限自由度问题转化为有限自由度问题求解，通过求解一个线性方程组，得到原问题的近似解。
有限元方法的名称是Clough在处理平面弹性问题时，第一次提出使用的。
有两种通常与有限元方法相关的方法。
一种是力法或称作柔度法，它使用内力作为问题的基本未知量;另一种是位移法或称作刚度法，它使用节点位移为问题的基本未知量。
这两种方法在分析中得出不同的未知量（力或位移），并得出与其公式相关的不同的矩阵（柔度矩阵或刚度矩阵）。
目前绝大多数的通用有限元程序，如ANSYS，HYPERMESH，ABAQUS等，采用的都是位移法(或刚度法)。
有限元方法涉及用相互连接的、称作有限单元的小单元来模拟连续结构。
使用有限元工具进行分析计算通常有三个步骤：第一，把对象进行合理的简化建立其有限元模型；第二，按照实际的工况对模型施加约束和激励并进行必要的求解设置，然后开始求解；第三，待求解结束后，综合运用理论、经验或实验结果对计算结果进行分析、论证。
2.3.1.1有限元分析模型的建立在有限元分析过程中，从结构对象的实际模型到计算模型的简化和物理特征提取的过程称为结构对象的特征建模。
特征建模的过程也就是对结构实际模型进行简化的过程。
实际工程中的结构对象可以分为两种：一种是离散体结构，另一种是连续体结构。
杆梁结构体系是最常见的离散体结构，由于其本身存在有自然的连接关系即自然节点，一般可以直接基于这些节点进行单元划分和离散。
而连续体离散化过程需要人为地在连续体内部和边界上划分节点，以分片（单元）连续的形式来逼近原来复杂的几何形状。
一般情况下，连续体的有限元分析特征模型和结构对象的实际模型不是直接对应的，需要更好地进行问题的特征建模。
它需要分析人员具有相应的数学和力学基础、工程分析经验，以及对软件的熟练操作，以便做出准确合理的简化，得到既能反映实际结构对象的特征，又具有合理离散方案的有限元计算模型。
在机柜设备结构有限元分析中，一个重要的问题就是如何建立逼真的有限元模型。
近40年来实体造型理论和技术的成熟以及大批实用实体造型软件的出现，现在可以很轻松的建立分析对象的几何模型。