购房贷款数学模型
数学建模 几何在生活中应用
数学建模几何在生活中应用
数学建模在几何学的应用在生活中非常广泛，以下是一些具体的应用实例：
1.购房贷款：在购房过程中，数学模型可以帮助我们理解和分析贷款的各种可能方案。
例
如，利用数学模型，我们可以比较等额本金和等额本息这两种不同的还款方式，并计算出在不同利率和还款期限下，每种方式的还款总额和每月还款金额。
这样，我们就可以选择最适合自己的还款方案。
2.时尚穿搭：高跟鞋是一种时尚单品，但穿多高的高跟鞋才能达到最佳的视觉效果呢？这
时，我们可以借助数学模型来解决这个问题。
根据黄金分割原理，当女生的腿长和身高比值是0.618时，身材会显得最迷人。
因此，我们可以计算出最适合女生身高的高跟鞋高度，使她们在穿搭上更加出彩。
3.银行利率：在金融领域，数学建模也发挥着重要作用。
例如，我们可以通过建立数学模
型来分析银行利率的变化对存款或贷款的影响。
这种分析可以帮助我们更好地理解金融市场的运作，从而做出更明智的决策。
数学建模房贷还款问题
数学建模房贷还款问题房贷是大部分人买房的首选方式，但对于许多人来说，如何合理规划房贷还款方式并确保在还款期限内完成还款是一个挑战。
数学建模可以为我们提供一个优化的解决方案。
本文将探讨数学建模在房贷还款问题中的应用，帮助我们了解如何有效管理和规划房贷还款。
一、问题描述房贷还款问题可以被视为一种贷款利息问题。
假设我们购买了一套房子，假设贷款金额为P，贷款期限为n年，年利率为r。
我们需要确定每月的还款金额，以便在贷款期限内完成还款。
二、贷款本金首先，我们需要计算每月的贷款本金。
贷款本金是贷款金额除以还款期限的总月数。
例如，如果贷款金额为100万，还款期限为20年，则贷款本金为100万除以240个月，即4166.67元/月。
三、贷款利息其次，我们需要计算每月的贷款利息。
贷款利息是剩余贷款金额乘以月利率。
在每个月的还款后，剩余贷款金额会相应减少，因此每月的贷款利息也会随之变化。
例如，如果月利率为0.5%，剩余贷款金额为80万元，则每月的贷款利息为80万元乘以0.5%，即4000元。
四、月还款额最后，我们需要计算每月的还款金额。
每月的还款金额是贷款本金加上贷款利息。
例如，在上述例子中，每月的还款金额为4166.67元加上4000元，即8166.67元。
五、优化策略数学建模可以帮助我们优化房贷还款策略，以减少还款利息的支出，从而实现更快的还款。
下面是一些优化策略的示例：1. 提前还款：在贷款期限内提前偿还部分或全部贷款本金，可以减少剩余贷款金额，从而减少每月的贷款利息支出。
然而，有时提前还款可能会产生违约金或手续费等额外费用，因此需要综合考虑成本和收益。
2. 增加还款额：如果财务条件允许，可以适当增加每月的还款额。
通过提高还款额，可以更快地偿还贷款本金，并减少贷款利息支出。
3. 变更还款周期：可以选择较短的还款周期，如每两周还款一次。
较短的还款周期可以有效减少贷款利息支出。
4. 利率优化：如果贷款利率有一定的浮动范围，可以关注市场利率变动，并在利率较低时进行贷款利率重新协商。
§4 贷款模型
§4 买房贷款方案的选择的数学模型如今，买房问题是每个人都要考虑的问题。
但是对于大多数人来说，房款数额较大，需要贷款买房。
但贷款买房合适不合适？贷款多少？贷多长时间为好？这是我们必须考虑的问题。
下面通过建立数学模型来回答这个问题。
问题的提出贷款就是向银行按一定的利率实行有偿借款。
贷款越多，时间越长，付给银行的利息就越多。
在利率已知的情况下，如何选择适当的贷款额和贷款期限呢？这里有一对矛盾，就是多贷付给银行的利息多，从而增加了买房成本；而贷款少又不能达到买房的目的。
这就有一个如何权衡的问题。
如有一个家庭，为了买房需要向银行贷款10万元，已知利率是按月计算，且为复利率。
月利率为0.01，贷款期限为25年。
问这个家庭每月平均要向银行交款多少？一共付给银行多少钱？如果25年后再开始还款，那时应付给银行多少钱？如果分别将贷款额和期限缩小到原来的1/5，其结果会怎样？模型分析此研究对象所涉及到的数量有：贷款额100=M 万元，贷款期限年，月利率，25=t 01.0=R N 表示贷款后的第N 个月，为第N M N 个月末尚欠银行的钱数，x 表示平均每月向银行还款的钱数。
这里x 为因变量，为参变量，R M 0、、t N 为自变量。
模型假设此问题的模型假设很简单，各个变量及其代号都已在第二步中给出，这里从略。
假设1、 25年内银行的利率保持不变。
假设2、 25年内该家庭始终具有还款能力。
且不提前还清贷款。
模型建立由于 100000 （1）=0M 则 x R M M −+=)1(01 （2）(3）M xR M M −+=)1(12第N 个月后尚欠银行的钱数为x R M M N N −+=−)1(1 （4）其中。
300,,3,2,1L =N这就得到了该家庭个月欠银行钱数的数学模型。
模型求解这个模型求解较为简单，要求出x ，只要将式（1）、（2）、（3）依次代入（4）式，即得N N R M M )1(0+=]1)1()1()1[(21+++++++−−−R R R x N N L （5）由等比数列求和公式得]1)1[(_)1(0−++=N N N R Rx R M M （6） 取，且为在25年还清贷款，得，300=N 0300=M 01.001.11000000300x −×=)101.0(300− （7） 即得22.1053=x 元这样，一共付给银行钱数为315966300=×x 元如果一直等到25年以后再开始还贷款，那末应还钱数为元63.19788467884663.19)1(03000=≈+M R M 表示当年仅借款10万元，25年后就变成了197.884663万元。
住房贷款问题探究(1)———数学建模
住房贷款问题探究一、摘要随着人们的生活水平的提高，人们对住宅的要求越来越高，朝着大面积、豪华型的标准发展。
为此，住房贷款问题也成为众多购房者关心问题。
本文针对银行等额还贷及相关问题进行探究。
问题（1）实际是一个数学问题，我们通过不完全归纳法得出等额还贷公式：A= P(1+r)12n r/[(1+r)12n-1]针对问题（2），将有关数据代入问题（1）所得出的公式即得到解决；问题（3），我们查阅了有关资料，得出了这对年轻夫妇的月支出情况（见表1），进而得到他们每月的开支范围。
为了更方便的说明问题，我们约定月余额（D）=月总收入—月正常开支。
判断他们能否买房只需比较定月余额（D）与月还贷额（A）的大小情况；对于问题（4）我们首先根据目前的消费水平及他们的收入情况，计算出他们能够买房。
并且随着时间的推移，他们的工资每年都有8%的增长，就考虑可以提前还贷的问题。
对此，我们首先假设他们一直按照等额还贷方式进行还贷，得出还贷年限；然后假设进行提前还贷。
再比较这两种情况实际所还的本利之和，得出最优还贷方案。
关键词：等额还贷贷款年限月利率提前还贷二、问题重述住房贷款问题是众多购房者关心问题。
在购房贷款过程中，现在一般银行现在一般都采用等额还贷的方法。
在这一还贷方式的基础之上，请解决如下几个问题：（1）若贷款总额为P，月利率为r,贷款年限为n,每月还贷金额为A,请推导出等额还贷公式.（2）有一对年轻夫妇,计划贷款15万元,贷款年限为15年,月利率为0.01,则每月需还款多少元?（3）如果现在他们的年收入为3500元,在当前长沙的物价水平下,除去生活开支,他们能否买房?（4）预计将来收入每年会有8%的增长,在目前的物价水平和贷款利率保持不变的情况下,你对他们的投资及贷款买房有什么样的建议?(请参考银行各期贷款利率)三、问题分析根据题中购房贷款出现的等额还贷这一概念，我们从消费者的角度考虑着。
如何让买房者受益更多？由该问题我们从所给的四个分问题入手，先由给出的参数通过构建等量关系得到了我们所需要的目标等式方程。
关于房贷还款问题的建模与求解
关于房贷还款问题的建模与求解摘要为了解现行房贷还款方式利弊，本文针对我国银行现行两种购房贷款制度进行对比研究。
分别对等额本金还贷方式和等额本息还贷方式进行建模、制图、比较，并设计了新的还贷方式。
首先，建立等额本金和等额本息两种还贷方式的数学模型：等额本金：Z=A+n⨯A⨯i-A⨯(n-1)⨯i/2等额本息：Z= A⨯i⨯n(1+i)n/[(1+i)n-1]1根据模型分别做出两种贷款方式在不同还贷期限下，还款总额与还款时间的关系图；再根据两种还贷方式模型分别作出在相同本金及相同还贷期限下月供与还贷时间的关系图。
经过对比发现，两种还贷方式并无好坏之分，只是为了适合不同的人群。
等额本息适合有稳定收入的工薪阶层人群，而等额本金适合于有一定积蓄或者收入递减的人群。
关于提前还贷问题，本文就提前一次性结清和提前部分还贷两种情况，分别对等额本金和等额本息两种还贷方式作了严格的推理分析和论证。
最后得出结论，无论何种情况，何种还贷方式，提前还贷都可使还贷总额相比计划还款总额减小。
贷款人可根据自身情况选择提前一次性结清或提前部分还贷。
考虑到现在大部分年轻人由于事业家庭刚刚起步，支付购房首付后经济暂时拮据，但随着工作的稳定和上升，收入和积蓄也会增加，所以本文中尝试着设计了一种月供逐渐增加的还贷方式，并研究了这一种还贷方式的可行性，建立模型如下：设计模型：w=A+A(1+n)⨯i⨯n/2同样作出还款总额与还款时间的关系图，以及月供与还贷时间的关系图。
并与先行两种还贷方式进行对比。
对比可以发现，设计模型在还款总额和月供数额的递变方面都更适合工薪阶层及年轻人。
最后我们对模型存在的优缺点进行了分析。
本文中所建三个模型基本可以清楚准确的描述各还贷方式的特点及实施过程。
关键字：等额本金等额本息月供还贷总额利率每月贷款余额一问题的提出随着国家住房商品化政策的推行，于是银行提供了购房贷款项目，帮助很多人解决了购房款的问题。
人民群众住房条件改善的同时也带来了不小的问题，极少数居民有能力一次性付清房款我国银行现行两种购房贷款还款方式：等额本息和等额本金。
数学建模例题解析
1.贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。
目前，银行的利率是0.6%/月。
他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。
(1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？(2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？(3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？(4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。
但条件是：(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；(ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。
试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。
解答：(1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。
利用式子(元)，即每个月还款1574.70元，共还款(元)，共计付利息177928.00元。
(2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为，利用公式：，所以，(元)(3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元)(4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。
帮忙提前三年还清需要资金数：。
对于条件(ii)佣金数：分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。
所以建议请这家借贷公司帮助还款。
2.冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。
用此定律建立相应的微分方程模型。
购房贷款的数学建模.doc
购房贷款的数学建模.doc一、问题提出现在人们购房的方式大多通过贷款实现。
贷款的还款方式主要有等额本金和等额本息两种。
那么如何理性地选择合适的还款方式，以确保不会因为贷款而增加过多的经济负担。
因此，通过数学建模来分析和探讨贷款的还款方式选择问题，有助于人们更好地管理自己的财务和购房计划。
二、问题分析(一)贷款基础知识1. 总贷款金额P：指的是购房人申请银行贷款的款项总额，包括贷款本金和利息。
2. 贷款期限n：指的是购房人约定的贷款还款期限，通常为5年、10年、15年、20年、25年、30年。
3. 年利率i：指的是购房人所承担的贷款利率，通常为基准利率上浮5%至30%不等。
(二)等额本金和等额本息还款方式1. 等额本金还款方式：等额本金还款方式是指每个月还款数额相同，但是每个月所支付的利息和本金比例不同。
这是因为每个月的还款中，本金所占比例是相同的，而利息所占比例随着未还本金的减少而减少。
三、模型建立假设购房人贷款时间为n个月，贷款总额为P元，月利率为i，则等额本金还款方式有如下计算公式：每月还款单价a= P/n + i*P*(1-(t-1)/n)第t个月，购房人所要偿还的贷款金额为Mt= a*(n-t+1)其中，t∈[1, n]四、实例分析某购房人决定申请银行30年的贷款，贷款金额为100万元，年利率为6.55％，现在需要选择合适的还款方式，从而更好地管理自己的经济财务。
首先我们可以根据等额本金还款方式的计算公式计算每月还款额a=100/360+6.55%/12*（1-(1-1/360)^360）=3,693.19元月份本月归还额每月本金归还额每月还款额还款总额1 3716.25 2500.00 3693.19 3693.19…………此时，我们可以将表格转化为折线图来直观感受等额本金还款方式与等额本息还款方式的还贷情况。
从图可见，等额本金的还款总额为1,109,536.16元，平均每个月还款3,081.49元。
购房贷款数学建模 兰州交通大学
数学建模提出问题：某人购房，需要贷款，等额本息还款法，等额本金还款法，某人贷款40万，还款期为10年，贷款利率为6%。
1、月供金额2、总的支付利息比较两种贷款法，给出你的方案。
一、分析问题解决此问题需要建立数学模型，找出偿还贷款的金额最少时的最优解，这是一个优化问题，这就是说在不同的约束条件下，只要建模合理，答案可以是多种。
建立优化问题的模型最主要的是用数学符号和式子表述决策变量、构造目标函数和确定约束条件。
对于等额本息还款方式和等额本金还款方式，分别建立了与之对应的模型，然后根据题中所给的数据，分别求解出两种方式的还款额，并得到最优解，最后根据自己的实际情况合理选择还款方式。
二、模型假设1、假设贷款人在还款期间有能力支付银行要求的还款费用。
2、还款期间还款人没有任何意外事件。
3、贷款利率在还清前一直为6%。
三、参数说明设贷款总额为A，银行年利率为a，月利率为β,总期数为m（个月），月还款额为X，总支付利息为Y，还款总额为B。
四、模型的建立与求解1、等额本息还款模型的建立与求解。
等额本息还款，也称定期付息，即借款人每月按相等的金额偿还贷款本息，其中每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。
把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中。
作为还款人，每个月还给银行固定金额，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。
假设这批贷款是一次性到帐的，为使模型便于运算，也假设这批贷款是某一年的第一天就到帐的，利息也是从那一天开始产生。
等额本息还款公式的推导如下，个个月所欠银行的贷款为：第一个月：A(1+β)-X第二个月：[A(1+β)-X](1+β)-X=A(1+β)^2 -X[1+(1+β)]第三个月：{[A(1+β)-X](1+β)-X}(1+β)-X= {[A(1+β)-X](1+β)-X}(1+β)-X由此可得第n月后的所欠银行数额为：A(1+β)^n-X[1+(1+β)+(1+β)^2+…+(1+β)^(n-1)] =A(1+β)^n-X[(1+β)^n-1]/β由于还款总期数为m，也即第m月刚好还完银行所有贷款，因此有：A(1+β)^m-X[(1+β)^m-1]/β = 0 由此求得：X = Aβ(1+β)^m/[(1+β)^m-1]带入数值得：X=4417总支付利息为：总利息=月还款额×贷款月数-本金，带入数值得：Y=4417×120-400000=130040还款总额为：B=400000+130040=530040元讨论：如果按等额本息还款法，还款人的月供金额为4417元人民币，这种还款方法所要求金额较大，对于一般收入者来说可无力承受，按一般城市的消费来说，还款人的月收入应在6000元以上就可承受等额本息还款法。
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度（月供）为 x，第 n（n=1,2,3…N)个月还款后仍欠款额度为 an，则有 第一个月后 a1=a0(1+r)−x 第二个月后 a2=a1(1+r)−x
……
第 n 个月后 an=an-1(1+r)−x
……
不难看出，数列{an}以 an=an-1(1+r)−x 为通项，将其变形得
an−x/r=(1+r)(an-1−x/r) ∴ an−x/r=(a0−x/r)(1+r)n
二、模型假设
1.假设在贷款期间银行贷款月利率保持 r 不变； 2.假设首付后贷款总额为 a0； 3.假设还款期限为 N 个月； 4.假设每次还款都在每月最后一天； 5.假设贷款者能够在不影响其正常经济生活的条件下每月按时付月供； 6.记贷款总利息为 M;
三、模型建立及求解
（一)等额本息模型
等额本息，即每个月以相等的额度平均还贷款本息，直至期满还清。设每月还款额
参考文献 ：
杨启帆 《数学建模》 高等教育出版社 2005.5
4
等额本金还款第一个月月供 b1=a0 +a0r N
很明显，等额本金还款的前期月供较多。
3
五、模型优缺点分析及推广
贷款模型有很多种，这里只考虑到了其中两种，但无论是那种贷款模型，其关键因 素都是还款期限，只有规定还款期限，模型才有可比性。
等额本息还款，操作相对简单还，但还款总利息较高，适合收入相对稳定的普通群体。 等额本金还款，还款总利息低，但是前期的还款压力较大，还款负担则逐月递减，适合 目前收入较高但预计将来会减少的普通群体。一般而言，如果有经济实力，那就尽可能 多付首付，甚至一次性付清，毕竟还贷款是需要很多利息的。
借款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一还款日至本次还款日之间的利息。设第 n 个月还款额度为 bn（n=1,2,3…N),则有
b1=a0 +a0r N
2
b2=a0 +a0(1− 1 )r
N
N
……
bn=a0 +a0(1− n-1 )r
N
N
…… 很明显，总利息 M2=∑bn−a0=a0r(N+1)/2
期限 N（月） 24
M1/a0 0.072801910299
M2/a0 0.07125
48
0.14585996596
0.13965
72
0.22200421956
0.20805
96
0.30120617791
0.27645
120
0.38342647448
0.34485
144
0.46861537738
0.41325
an=(a0−x/r)(1+r)n+x/r
第 N 个月还清欠额，即 aN=0
由
(a0−x/r)(1+r)N+x/r=0
得
x=a0r(1+r)N
(1+r)N−1
贷款总利息为 M1=Nx−a0=Na(01r+(r1)+Nr−)1N −a0;
(二）等额本金模型 等额本金，即每月偿还贷款本金（月供）相同，而利息随本金的减少而逐月递减，
四、模型对比及检验
1. 在相同贷款总额和还款期限下比较两种模型的总利息 M1 和 M2，
M1=Na(01r+(r1)+Nr−)1N −a0
M2= a0r(N+1)/2
可以查出，我国银行贷款五年以上年利率为 6.80%，月利率 r=0.068/12≈0.0057
实际生活中，还款期限一般都在 1-30 年之内，经计算，有下表格
摘要
随着国民经济的发展，车价房价一再上涨，一般职工要想圆车房梦，不得不选择住 房购车贷款，实现用明天的钱住今天的房，用明天的钱开今天的车。现针对当前社会上 流行的等额本金和等额本息两种还款方法分别建立数学模型进行比较分析，以供消费者 选择更合理的消费决策。
关键词 等额本金 等额本息
1
一、问题重述
“自备款只需七万元人民币，其余由银行贷款，五年还清，相当于每月只需付 1200 元，就可拥有属于自己的住房。”“首付三四万元，就可开走一辆桑塔纳车 。”报纸上此 类广告比比皆是，买房与购车是未来消费的两大热点。若考虑现金支付与银行贷款相结 合的办法，利用数学建模方法为工薪阶层制定购房或购车的消费决策及还贷办法。
168
0.55671342002
0.48165
192
0.64765213934
0.55005
216
0.74135490369
0.61845
240
0.83773781173
0.686852640.93671064221
0.75525
288
1.0381778348
0.82365
312
1.142039483
0.89205
336
1.2481923196
0.96045
360
1.3565306799
1.02885
从中可以看出，在还款期限为 1-30 年之内，等额本息还款利息明显比等额本金还 款所付的利息要多,即 M1>M2 且 N↑ M1-M2↑ 2.从前期月供方面比较两种模型
1 等额本息还款每月月供 x=a0r{1+(1+r)N−1 }