数学建模论文 (贷款问题)

数学建模论文银行贷款问题模型
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2014年 5 月 24 日
目录
摘要----------------------------------------- 2
一、问题叙述------------------------------------- 2
二、问题分析------------------------------------- 2
三、基本假定--------------------------------------5
四、模型的建立及求解
1、等额本金还款法
2、等额本息还款法
五、模型的进一步分析
六、模型的评价及推广
七、参考文献
附：等额本息还款法和等额本金还款法的比较
--------------------------------------5
摘要
随着社会的不断发展，人们日益增长的物质需求也不断升高，可是对于大部分人来说，要想完成一些经济活动，需要向银行贷款，目前商业银行已经加大了个人贷款的力度，“门槛”也一降再降，申请个人贷款已经不是件难事。

对于贷款，大多数银行主要采用两种还贷方式：等额本息还款法和等额本金还款法。

若我们根据已知年利率，针对每月还款额和个月限满后的最后一月付款后本利和为零，推导出等额本金还款法和等额本息还款法的还款总额、利息负担总和、月供的公式。

合理假设的前提下，运用等差数列求和设计等额本金还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型，运用迭代和等比数列求和两种不同方法从不同角度推导等额本息还款法偿还贷款本息和每月还款额的模型，通过计算讨论比较偿还贷款本息的多少。

关键词：贷款利率还款总额等额本金还款等额本息还款
一、问题叙述
某家庭贷款30万元购买一套房子，贷款(年)利率为7%，用15年的时间还清贷款。

不同的贷款方案将会产生不同的效益，根据问题的要求，建立相应的数学模型解答出不同情况下每月还款额以及利息、还款的时间。

对不同方法进行比较，并选出最优方案。

问题如下：
1. 等额本息还款的方式偿还贷款；
2. 等额本金还款的方式偿还贷款；
3. 首先前5年用等额本息还款中途用等额本金还款的方式偿还贷款；
4. 考虑收入增长的情况下，贷款人收入每年增加一次且增加额为Δk的方式偿还贷款。

二、问题分析
银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。

等额本息还款法：
利息和=本金×年利率×个月限
月供=本息和/总个月数=本金×（1+年利率×个月限）/个月限/12个月
等额本金还款法：
利息和=本金×（总个月数+1）/2×年利率/12个月
月供=固定每个月应还本金+当个月利息=本金/总个月数+（本金-固定每个月应还本金×已还个月数）×年利率/12个月
以上两类还款法计算公式都为绝对公式，是在利率不变的前提条件下来计算总利息和月供的，所以假设银行在贷款个月利率不变。

由上面利息偿还公式中可见，月利息是与上月剩余本金成正比的，由于在贷款初个月，剩余本金较多，所以可见，贷款初个月每月的利息较多，月还款额中偿还利息的份额较重。

随着还款次数的增多，剩余本金将逐渐减少，月还款的利息也相应减少，直到最后一个月，本金全部还清，利息付最后一次，下个月将既无本金又无利息，至此，全部贷款偿还完毕。

两种贷款的偿还原理就如上所述。

上述两个公式是月还款的基本公式.其他公式都可由此导出。

三、基本假设
1、贷款月利率不变(目前个人房贷5-30年的贷款年利率为7%)
i=7%/12=5.83‰，每月还息近似用月利率按月计算计算，不到5年的也近似用该利率计算。

2、假设贷款人5年后有现金净现值（时间因素）
3、贷款人有足够能力支付每月房贷
4、贷款人每月消费十分理智
5、贷款人没有其他获取钱的渠道，不足的款项只能从银行合法获得
6、贷款人的目标是在保证基本生活前提的条件下，努力偿还贷款。

四、模型的建立及求解
模型一：等额本金还款法
设：贷款本金为 A元
平均每月应还本金B元
还款额为 x 元
贷款年利率为r
贷款月利率为 α 贷款个月为 m 还款月数为 n
设第n 个月应付的金额为n x ( i = 1.2.3…. m ) (单位：元) 因此，第一个月应付的金额为 ：α)(1B A B x -+= 第二个月应付的金额为 ：α)2(2B A B x -+= ……
那么，第n 个月应付的金额为 ：α)(nB A B x n -+= 累计应付的还款总额为 ：
2
)
2(21'αα-+=
+++=n A x x x C n
利息负担总和为 ：
A n A n A A C D )1(21
2)2(''-=--+=-=ααα
支付利息：Y=（n+1）×a×α/2=158284.5（元）
还款总额：M=（n+1）×a×α/2+a=458284.5（元）
若用C++语言编写，其主程序如下：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
void main()
{double x,s=0,d;
int i=1;
do {
x=(300000-300000*（i-1）/180)*0.0051+300000/180;
printf("第%d个月还款总额：%6.2f\n",i,x);
s=s+x;i++;;
}
while(i<=180);
printf("还款总额：%7.2f%\n总利息：%7.2f\n",s,d); } 模型二:等额本息还款法
设：贷款本金为 A元
平均每月应还本金B元
还款额为 x 元
贷款年利率为r
贷款月利率为 α 贷款个月为 m 还款月数为 n 设：
i a （i=1…n ）是在第1个月还款前还欠银行的金额 i b (i=1…n) 是在第2个月还钱后欠银行的金额. 则有：
第1个月还款前欠银行的金额：
)1(1α+=A a
第1个月还款后欠银行的金额：
x A x a b -+=-=)1(11α
……
第i 个月还款前欠银行的金额：
)1()1()1()1( )
1)()1()1(()1(21211αααααααα+--+-+-+=+--+-+=+=-----x x x A x x A b a i i i i i i i 第i 个月还款后欠银行的金额：
x x x A x
a b i i i i -+--+-+=-=-)1()1()1( 1ααα ……
第n 个月还款前欠银行的金额：
)1()1()1()1( )1)()1()1()1(()1(213211ααααααααα+--+-+-+=+--+-+-+=+=------x x x A x x x A b a n n n n n n n n
第n 个月还款后欠银行的金额：
x
x x A x a b n n n n -+---+=-=-)1()1()1(1ααα ＋
因为第n 个月还款后，欠银行的金额就还清. 也就是说：
=n b ，
即：
0)1()1()1(1
=-+---+-x x x A n n ααα ＋
解方程得：
1)1()1(-++=
n n
A x ααα
模型三：首先用等额本息还款中途用等额本金还款的方式偿还贷款；
首先前5年贷款人用等额本息还款法，而后资金较有增长改用等额本金还款的方式偿还剩余的10年贷款。

在以上两种模型的基础上，推导此模型。

运用EXCEL 计算5年等额本息还款法的月还款总额和累计还款总额
由此表可知，经5年的等额本息还款，贷款人已经偿还欠款220405.6545元，还有300000-220405.6545=79594.3455元未偿还，剩余的这部分贷款采用等额本金还款方式偿还。

后10年用等额本金还款的方式偿还剩余贷款，总还款数额为107668.4636元，
故前5年用等额本息还款中途用等额本金还款的方式偿还贷款总计还款数额为107668.4636+220405.6545=328074.1181元
模型四:考虑收入增长的情况下，贷款人收入每年增加一次且增加额为Δk的方式偿还贷款。

同模型三一样，贷款人先期资金较贫乏，采用等额本息还款方式，在考虑收入增长的情况下，假设收入平均每年只增长一次，第k年增长额为Δk.
设：贷款本金为 A元
每月月收入为Y元。