【跃渊风暴】【恒心】数学高考满分冲刺教材回扣-三角函数与平面向量

易错点 6
忽视零向量性质致误
零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为 0，其 方向是任意的， 零向量与任意向量都共线． 它在向量中的位 置正如实数中 0 的位置一样，但有了它容易引起一些混淆， 稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视． 易错点 7 向量加减法的几何意义不明致误 根据向量减法的三角形法则， 两个向量相减， 所得向量是减 向量的终点指向被减向量的终点所得的向量， 也就是说对于 平面上任意一点 O，都有MN＝ON－OM，这个结论由于点 O 的任意性，又可以写成MN＝AN－AM＝BN－BM＝…， 它为考生解决问题带来了很大的便捷．
易错点 5
图象变换方向把握不准致误
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A＞0，ω＞0，x∈R)的图象可看 做由下面的方法得到：(1)把正弦曲线上的所有点向左(当 φ ＞0 时)或向右(当 φ＜0 时)平行移动|φ|个单位长度； (2)再把 所得各点横坐标缩短(当 ω＞1 时)或伸长(当 0＜ω＜1 时)到 1 原来的 倍(纵坐标不变)；(3)再把所得各点的纵坐标伸长 ω (当 A＞1 时)或缩短(当 0＜A＜1 时)到原来的 A 倍(横坐标 不变)．即先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变 |φ| 换．若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移 个 ω 单位．另外注意根据 φ 的符号判定平移的方向．
中点坐标公式 特殊点的坐标 三角形重心 坐标公式
x1 x2 端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) 2 y1 y2 y= 2 x1 x2 x3 x= 3 顶点坐标分别为(x1,y1), y y2 y3 (x2,y2)，(x3,y3) y= 1 3
x=
平面 向量 的运 算
易错点 4 三角函数的单调性判断致误 π π 正弦函数 y＝sin x 在区间[－ ＋2kπ， ＋2kπ](k∈Z)上单调递 2 2 π 3π 增，在区间[ ＋2kπ， ＋2kπ](k∈Z)上单调递减，余弦函数 y 2 2 ＝cos x 在区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增，在区间 [2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减；正切函数 y＝tan x 在区间 π π (－ ＋kπ， ＋kπ)(k∈Z)上单调递增．对于函数 y＝A sin(ωx 2 2 ＋φ)的单调性，当 ω＞0 时，由于内层函数 u＝ωx＋φ 是单调 递增的， 所以整个函数的单调性和 y＝sin x 的单调性相同， 故 可完全按照函数 y＝sin x 的单调区间解决，但当 ω＜0 时，内 层函数 u＝ωx＋φ 是单调递减的， 此时整个函数的单调性和函 数 y＝sin x 的单调性相反， 就不能再按照函数 y＝sin x 的单调 性解决，一般是根据三角函数的奇偶性提取－1，将内层函数 的系数变为正数后再加以解决．对于带有绝对值的三角函数 应该根据图象，从直观上进行判断．
c 2 a 2 b2 2abcos C.
sin2α＋cos2α＝1 sin α cos α
A
基础回扣训练
1． 若角 α 的始边为 x 轴的非负半轴， 顶点为坐标原点， P(4a， 点
4 ± －3a)为其终边上一点，则 cos α 的值为________． 5
解析 本题考查三角函数的意义，以及分类讨论的基本思想． 注意 r＝ (4a)2＋(－3a)2 ＝5|a|， x 4a 4 ∴cos α＝ ＝ ＝± . 5 r 5|a|
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解析
→ → → → → → 由已知得|CB |＝|AB ＋AC|即|CB |2 ＝|AB |2 ＋|AC |2 ＋
2|AB|· |cos A |AC 由余弦定理得：CB2＝AB2＋AC2－2AB· ACcos A，
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→ |AC → ∴2|AB|· |cos A＝－2AB· cos A， AC· π ∴cos A＝0.故 A＝2，∴△ABC 为直角三角形．
解析 ①是对的；②可得 a⊥b；③(a＋b)· (a－b)＝a2－b2 ＝|a|2－|b|2＝0， 正确， ④两向量平行时， 夹角为 0° 180° 或 ， a· b＝|a|· |b|cos θ＝± |b|.∴①③正确． |a|·
3．O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC －2OA|，则△ABC 的形状为______________． 直角三角形
∴函数 f(x)的值域为[1,2]．
名师警示
易错点 1 用错三角函数的定义 如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角 α 的终边与 单位圆的交点坐标为(x，y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ y ，但如果不是在单位圆中，设角 α 的终边经过点 P(x，y)， x y x y |OP|＝r，则 sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ .在这个定义中最容 r r x 易弄错的就是正弦和余弦的定义，在解决与三角函数定义有 关的试题时， 一定要注意其准确性， 不要把 x， 的位置颠倒． y
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易错点 8 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面 内的任一向量 a， 有且只有一对实数 λ1、 2， a＝λ1e1＋λ2e2， λ 使 特别地，当 a＝0 时，λ1＝λ2＝0.在平面向量的知识体系里， 平面向量基本定理是基石， 平面向量定理是重要工具， 在复 习这部分时要充分注意这两个定理在解决问题中的作用， 在 使用平面向量基本定理时要注意其使用条件是两个基向量 误 已知向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 λa＝(λx1，λy1)，a＋b ＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，a· 1x2＋y1y2， b＝x x1x2＋y1y2 a· b cos θ＝ ＝ 2 2 2 2，a 在 b 上的投影＝|a|cos 〈a， |a|· |b| x1＋y1· x2＋y2 a· x1x2＋y1y2 b b〉＝ ＝ 2 2 ，在坐标形式下，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0， |b| x2＋y2 a∥ b⇔x1y2－x2y1＝0，要特别注意平行的充要条件，很容易 用错． 在解答与向量的坐标运算有关的试题时要注意核查运 算过程，时时刻刻注意运算的准确性，防止出现运算上细微 疏忽导致整个题目结果出现错误的严重后果． 易错点 10 向量夹角范围不清致误 解题时要全面考虑问题． 数学试题中往往隐含着一些容易被 考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是 解题成功的关键，如当已知两个向量所成的角为锐角时，要 注意角等于零的情况，再如当 a· b＜0 时，a 与 b 的夹角不一 定为钝角，要注意 θ＝π 的情况． 返回
易错点 2 忽视函数定义域的限制与变化而致错 三角函数的定义域问题是三角函数的基本性质之一，几乎 涉及所有的函数问题，为高考最基本的命题点．此类问题 可难可易，主要考查考生对三角函数基础知识的理解、掌 握和运用能力．定义域问题也是解题过程中最容易出错和 忽视的，在平时的备考中要特别注意． 易错点 3 三角函数奇偶性判断致误 研究函数的奇偶性首先要考虑函数的定义域，在定义域满 足奇偶函数要求的前提下再按照奇偶函数的定义进行判 断．在判断形如 y＝Asin(ωx＋φ)(或 y＝Acos(ωx＋φ))的奇 偶性时，注意根据 φ 的取值看能否化为 y＝Asin ωx(或 y＝ Acos ωx)的形式，再根据定义进行判定．
定义 平面向量的数量积
数量积满足的运算律
性质
平 面 向 量
解斜三角形的应用举例
正弦定理：
解斜三角形
a b c 2 R( R是 Δ ABC的外接圆半径 ); sin A sin B sin C
余弦定理：a 2 b2 c 2 2bccos A; b2 a 2 c 2 2accos B;
三、三角函数与平面向量 高频考点整合
概念 三角形法则 向量的加法与减法 平行四边形法则 向量共线的充要条件： 有且只有一个非零实数λ ，使b=λ a 实数与向量的积 平面向量的基本定理 平 面 向 量 平面 向量 的运 算 平面向量的坐标表示 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 几何意义的应用
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＋AC)，由平行四边形法则知：AB＋AC是△ABC 的中线 所在向量的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心．
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9．给出下列命题： ①向量 a、 满足|a|＝|b|＝|a－b|， a 与 a＋b 的夹角为 30° b 则 ； ②a· b＞0 是 a、b 的夹角为锐角的充要条件； ③若 a· b＝a· c，则 b＝c；
＝2cos B∈( 2， 3)．
8．已知 O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的
→ → → → 三个动点，若动点 P 满足OP＝OA＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，
重 ＋∞)，则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________心．
解析 由原等式得：OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB
7．锐角三角形 ABC 中，若 A＝2B，则下列叙述正确的序号
①②③ 为________．
3B C π π ①sin 3B＝sin C；②tan tan ＝1；③ ＜B＜ ； 2 2 6 4 a ④ ∈[ 2， 3]． b π π π π π 解析 2B＜ ⇒B＜ ，A＋B＝2B＋B＝3B＞ ⇒ ＜B＜ ， 2 4 2 6 4 A＋B π－C sin(A＋B)＝sin C⇒sin 3B＝sin C，tan ＝tan ＝ 2 2 π－C C sin cos 2 2 3B C a sin A sin 2B ＝ ⇒tan tan ＝1， ＝ ＝ 2 2 C b sin B sin B π－C sin cos 2 2
→ → (AB → ④在△ABC 中，若(AB＋AC)·→ －AC)＝0，则△ABC 为
等腰三角形；
④ 以上命题正确的是________．(注：把你认为正确的命题序