湖南省三湘名校教育联盟2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题Word版
姓名 准考证号
(在此卷上答题无效）
绝密★启用前
三湘名校教育联盟•2019年上学期高二期末考试
理科数学
命题:天壹名校联盟命题组 审题:湘乡一中沈成友
本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={0 <)4)1(-+x x x ,B= {1 >x xe }，则=B A
A.(0,1)
B. (0,4)
C.(1,4)
D.(4, +∞) 2.复数i
i z +-=13的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，56,473==S a ，则=7a
A.10
B.12
C.16
D.20
4.下列函数既是偶函数，又在(0，+∞)上为减函数的是
A. 1-=x y
B. x y 1ln =
C.x x y --=22
D. ⎪⎩⎪⎨⎧-+=0
<,20>,222x x x x x x y 5.已知βα,为两个不同平面，l 为直线且α⊥l ，则“βα⊥”是“α∥l ”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知向量0),,1(),1,3(=⋅=-=BC AB t AB AC ，若0 <t ，则=t
A.-4
B.-3
C.-2
D.-1
7.设1
.14)21(,2log ,5lg ===c b a ，则
A. a>b>c
B. a>c>b
C. c>a>b
D. c>b>a 8.如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为 A. 8)(2x x S S i -+= B.8
)()1(2
x x S i S i -+-= C. i x x S S i 2)(-+= D. i
x x S i S i 2
)()1(-+-= 9.将函数)cos()(ϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来
的2倍(纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移
6π个单位长度，所得函数图像关 于2π
=x 对称，则=ϕtan A. 33- B. 3- C. 3
3± D. 3± 10.过双曲线C: )0>0,>(12
2
22b a b y a x =-的一个焦点F 向其一条渐近线x y l 21:=作垂线，垂足为E,0为坐标原点，若△OEF 的面积为1，则C 的焦距为 A. 5- B.3 C. 52 D. 5
11.已知函数c bx ax x x f +++=2
3)(的图像关于点（0,2)对称，曲线)(x f y =在点（1，)1(f )处的切线过点(2,7)，设曲线)(x f y =在0=x 处的切线的倾斜角为α，则)tan()3sin(απαπ-⋅+的值为 A. 105 B. 105- C. 426- D. 4
62- 12.已知点M(0,4)，点P 在抛物线y x 82=上运动，点Q 在圆1)2(22=-+y x 上运动，则
PQ
PM 2
的最小值为
A.2
B. 38
C.4
D. 3
16 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知y x ,满足约朿条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥-≤+0133y y x y x ，则y x z +=的最大值为 . 14. 63)2(x
x -的展开式中2x 的系数为 . 15.设n S 为数列{n a }的前n 项和，16
63,6==+S a S n n λ，则=λ . 16.《九章算术》卷五《商功》中有如下叙述“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈“刍甍”指的是底面为矩形的对称型屋脊状的几 何
体，“下广三丈”是指底面矩形宽三丈，“袤四丈”是指底面矩
形长四丈，“上袤二丈”是指脊长二丈，“无宽”是指脊无宽度，
“高一丈”是指几何体的高为一丈.现有一个刍甍如图所示，下广
三丈，袤四丈，上袤三丈，无广，高二丈，则该刍甍的外接球的
表面积为 平方丈.
三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤。
第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一）必考题：共60分。
17. (12 分）
已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，c b B a =+
21cos . (1)求A ；
(2)若7=a ，△ABC 的面积为2
33，求△ABC 的周长. 18. (12 分）
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1为正方形，AC 丄BC ，
E 是AA1的中点，D 是AC 的中点.
(1)证明：平面BCE 丄平面BDC1.
(2)若AC=2BC ，求二面角C-BD-C 的余弦值.
19. (12 分）
已知椭圆C1: )0>(12
2
22a b y a x =+与抛物线)0>(22p px y =有公共的焦点F ，且公共弦长为62,
(1)求p a ,的值.
(2)过F 的直线l 交C1于A ，B 两点，交C2于M ，N 两点，且BN AM =，求|AB|.
20.(12 分)
设函数]2,
0[,cos sin )(π∈--=x x x a x x f . (1)当1=a 时，求)(x f 的值域;
(2)若0)(≤x f ，求实数a 的取值范围.
21. (12 分）
某疾病控制中心为了研究某种病毒的抗体，将这种病毒感染源放人含40个小白鼠的封闭容器中进行感染，未感染病毒的小白鼠说明已经产生了抗体，已知小白鼠对这种病毒产生抗体的概率为5
1.现对40个小白鼠进行抽血化验，为了检验出所有产生该种病毒抗体的小白鼠，设计了下面的检测方案：按n(1<n<40,且n 是40的约数）个小白鼠平均分组，并将抽到的同组的n 个小白鼠每个抽取的一半血混合在一起化验，若发现该病毒抗体，则对该组的n 个小白鼠抽取的另一半血逐一化验，记X 为某组中含有抗体的小白鼠的个数.
(1)若n=5,求X 的分布列和数学期望.
(2)为减少化验次数的期望值，试确定n 的大小.
（参考数据: 012.0)5
4(,11.0)54
(,17.0)54
(,33.0)54
(,41.0)54
(1010854≈≈≈≈≈) (二）选考题：共1 0分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.选修4 — 4:坐标系与参数方程（10分）
在直角坐标系xOy 中，将单位圆122=+y x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
(1)求曲线C 的参数方程；
(2)设M 为C 上一点，N 点的极坐标为（2，
2
π），求MN 的最大值及此时点M 的坐标. 23.选修4 — 5:不等式选讲（10分）
设函数112)(++-=x x x f 的最小值为m .
(1)求m 的值.
(2)若m c b a R c b a =++
∈22221,,,,求bc ab +的取值范围.。
湖南省五市十校2018-2019学年高二下学期期末联考 数学(理) 试题
姓名 准考证号 (在此卷上答题无效) 绝密★启用前湖南省五市十校2019年上学期高二年级期末考试试题理科数学命题单位:宁乡一中本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={0<2|-x x } ,N= {1|+=x y x }，则M∪N =A. {-1>|x x }B. {2<1|x x ≤-}C. { 2<<1|x x -}D. R 2.已知复数iz -=12，则下列结论正确的是 A. z 的虚部为i B. 2||=z C. 2z 为纯虚数 D. i z +-=1 3.等比数列{n a }的各项均为正数，且187364=+a a a a ,则=++++93332313log ......log log log a a a aA. 12B. 10C.9D.2+log 35 4.函数2<||,0>)(sin()(πϕϕωA x A x f 其中+=的部分图像如图所示，为了得到函数x x g ωcos )(=的图像，只需将)(x f 的图像A.向左平移12π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度5.已知函数 x x x x f sin 23)(3+--=,设3.023.02log ,3.0,2===c b a ,则A. )(b f <)(a f <)(c fB. )(b f <)(c f <)(a fC. )(c f <)(b f <)(a fD.)(a f <)(b f <)(c f6.设⎰+=20)cos sin 5(πx x n ，则n xx )1(-的展开式中的常数项为A ，20 B. -20 C. 120 D. -1207.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当岡内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利 用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14, 这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（参考数据：sin15°= 0.2588，sin7.5° = 0. 1305) A. 12 B. 24 C. 48 D.968.函数x x y sin ⋅=在],[ππ-的图像大致为9.设正项等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若60572019=S ,则2018241a a +的最小值为 A.1 B.32 C.613D.4 10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D,的棱长为4,动点E ，F 在棱A1B1上，动点P ，Q 分别在棱AD,CD 上。
2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟高二(上)期中数学试卷(理科)
A ．逆命题与否命题均为真命题
B ．逆命题为假命题 ，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题 ，逆否命题为真命题
D ．否命题为假命题，道否命题为真命题
8．（ 5 分）下列函数中，最小周期为π 且为偶函数的是（
）
A ．f（x）＝ sin|2x|
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B ． f（ x）＝ tan（ x﹣） C． f（ x）＝ |cos2x| D ．f（x）＝
故将函数 g（ x）＝ cos2x 的图象向右平移
个单位，可得 f（ x）的图象，
故选： D ．
【点评】 本题主要考查诱导公式的应用，函数
y＝Asin（ω x+φ ）的图象变换规律，统一
这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
2﹣3x+ a≥ 0 恒成立，则a 的取值范围是（
）
10．（5 分）当 x∈（0， +∞ ）时， ax
）
A ．3
B．6
【分析】 根据等差数列的求和公式可得
【解答】 解：∵ S3+S6＝ 27，
C． 9 a1+2d＝ 3，即可求出．
D． 12
∴ 3a1+
d+6a1+
d＝ 27，
即 9a1+18d＝ 27， ∴ a1+2d＝ 3， ∴ a2+a4＝2（ a1+2d）＝ 6， 故选： B． 【点评】 本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题．
A ．10
B ．12
） C． 16
D． 20
6．（ 5 分）已知数列 { an}满足 a1＝ 2， an+1＝
，则an＝（
）
A ．2n
B ．n+1
2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟高二(上)期中数学试卷(理科)
2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟高二（上）期中数学试卷（理科）、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. （5分）已知集合 A =｛x|x 2- 2x - 3>0｝，且A U B = R ,则集合B 可以是（且与椭圆交于 A , B 两点，则△ FAB 的周长为（题、逆否命题的结论正确的是（ A .逆命题与否命题均为真命题 B .逆命题为假命题，否命题为真命题 C .逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D .否命题为假命题，道否命题为真命题 （5分）下列函数中，最小周期为n 且为偶函数的是（1.2. 3. 4. 5.A . {x|x > 3}B . {x|x >- 1}C . {xx < 3}D • {x - 1< x < 3}(5 分)命题 p : ?x > 0, x > sinx ，则「p ( )A . ?x < 0, x < sinx C . ?x < 0, x < sinx（5分）已知 兀b 均为单位向量,?x > 0, x < sinx ?x > 0, x < sinx|SL +b |=V^j ，则(2 直+b )?(a.-b ) = (（5分）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为C .S, S 3+S3= 27,贝y a 2+a 4=(C .12右焦点，倾斜角为60 的直线I 过点E ,A . 10B . 12C . 16 20（5分）已知数列｛a n ｝满足a 1 = 2, a n+1 =，贝y a n =(A . 2nB . n+1C . —+1n（5分）设a 、b 駅，原命题“若1 X >-（a+b ） 2,则x >a 2+b 2”，则关于其逆命题、否命（5分）已知E 、F 分别为椭圆 1的左、A . f (x)= sin|2x|B • f (x )= tan (x -—)C • f (x )= |cos2x|D • f （x ）=1十t 已n x9. （ 5分）要得到函数 f （ x ）= cos2x - sin （—- 2x ）的图象，只需将函数的图象（）10. （5分）当x € （0, +8）时，ax 2- 3x+a >0恒成立，则a 的取值范围是（A .（-8，-寻】C .12. （5分）在厶ABC 中，若（3,丄则角A 的最大值为（7T二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.15. （ 5分）在厶ABC 中，|小|=1」'|,/ BAC = 120 °，过点 A 作AB 的垂线交BC 于点D ,■L1 = x ，L ；+y ，T , I,^^― = ____16. （5分）如图，△ ABC 中，/ ACB 为钝角，AC = 10, BC = 6，过点B 向/ ACB 的角平分第2页（共18页）g (x )= cos2xA .向左平移 C .向左平移 丄个单位B .向右平移 JT个单位 丄个单位6D .向右平移个单位+ 8)+ 8)一点，E 的离心率为 2 X223 b （a > b > 0）上异于点 A (- a , 0), B (a , 0)的，则直线AP 与BP 的斜率之积为（C .13. （5分）已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 6=4,2a9a 7a814. (5 分)已知向量 金=(2, sin a) , b =( 1, cos a),且宜 // b ,贝y sin ( a- n)7Vcos ( --- + a)tan ( -a)=11. （5分）已知P 是椭圆E : =1线引垂线交于点 P ,岩AP = 6二，则△ ABP 的面积为 ___________三、解答题：共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (10 分)△ ABC 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知(2b - a ) cosC = c?cosA .(1)求角C ；(2 )若c =乙厶ABC 的面积为10. 一：，求△ ABC 的周长. 18. (12分)记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知一 、--”，n €N * •(1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2 )设&——-——，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .n%a n+l\'y +2^019. (12分)已知x ，y 满足约束条件 i+y-4^0 .I 2x-y-5^ 0(1 )若z =- mx+y 取得最小值的最优解有无数多个，求 m 的值；(2) 求z = x^y 2的取值范围.20. (12分)已知数列｛b n ｝的前n 项和为S n ，S n +b n = 2.等差数列｛a n ｝满足b 1a 2= 3， b 1+a 5=7.(1)求数列｛a n ｝，｛ b n ｝的通项公式; (2)证明：a 1b 2+a 2b 3+…+a n b n+1 < 3. 21. (12 分)设函数 f (x )= cos ( 2x -(1 )求f (x )的单调递减区间及其图象的对称轴方程;22. ( 12 分)已知椭圆C ： +［ = 1( a > b > 0)的一个顶点为A (-3,0)，且经过点(2,(2)若f (x )在区间［- ，a ］上的值域为［- ，1］，求实数a 的取值范围.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A作斜率为k ( k z 0)的直线I交C于另一点D，交y轴点E，P为线段AD的中点，0为坐标原点，是否存在点Q满足对于任意的k (k z 0)都有OP丄EQ ?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.32018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.（5分）已知集合 A =｛x|x 2- 2x - 3>0｝，且A U B = R ，则集合B 可以是（【分析】可解出集合A = ｛x|x <- 1,或x > 3｝，并且A U B = R 从而得出 1} •【解答】 解：I A = {x|x <— 1,或 x > 3}，且 A U B = R ; •••符合条件的只有 B . 故选：B .【点评】考查描述法的定义，以及并集的定义及运算.(5 分)命题 p : ?x > 0, x > sinx ，则「p ()【分析】根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式, 【解答】 解：命题 p ： ?x >0, x >sinx ,则「p 为?x >0, x <sinx , 故选：D .【点评】 本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键.B .寺【分析】由已知结合向量数量积的性质可求【解答】解：I L |,】「均为单位向量，且|」+「|= .「：, •爲壬丄， A . {x|x > 3} B . {x|x >- 1} C . {xx < 3}{x - 1< x < 3}3. （5分）已知 屯b 均为单位向量， 謂+切=孤，则（2宜品）？（企-b ）=（ 1. B 可以是｛x|x 》—2. A . ?x < 0, x < sinx B. ?x > 0, x < sinx C. ?x < 0, x < sinxD . ?x > 0, x < sinx可得答案. C .2则卩（2亦b）?G-・）=2了-；恳-芾=匸，故选：B .【点评】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题.4. （5分）已知等差数列｛a n｝的前n项和为3, S3+S s= 27,贝U a2+a4=（）A . 3B . 6C . 9D . 12【分析】根据等差数列的求和公式可得a1+2d= 3,即可求出.【解答】解：I S3+S6= 27,• 3a1^^d+6a1+ d = 27,2 2即9a1+18d= 27,•- a1+2d= 3,•- a2+a4 = 2 （a1+2d）= 6,故选：B .【点评】本题考查了等差数列的求和公式，属于基础题.5. （5分）已知E、F分别为椭圆备+牛=1的左、右焦点，倾斜角为60°的直线I过点E,且与椭圆交于A, B两点，则△ FAB的周长为（）A . 10B . 12C . 16D . 20【分析】禾U用椭圆的简单性质，椭圆的定义，转化求解三角形的周长即可.【解答】解：椭圆二+「= 1 ,可得a= 5,三角形AF2B 的周长=|AF2|+|BF2|+|AB|, |AB|= |AF1|+|BF1|,所以：周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|,由椭圆的第一定义，|AF1|+|AF2|= |BF1|+|BF2|= 2a = 10,所以，周长=4a = 20 .故选：D .【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查.第8页（共18页）2【解答】解：数列｛a n ｝满足a 1 = 2, a n+1 =可得a n = 故选：D .【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力.（5分）设a 、b 駅，原命题“若x >丄（a+b ） 2,则x > a 2+b 2”，则关于其逆命题、否命 题、逆否命题的结论正确的是（ A .逆命题与否命题均为真命题 B .逆命题为假命题，否命题为真命题 C .逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D .否命题为假命题，道否命题为真命题【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的 逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题.【解答】解：•••原命题：“设a 、b€R ，原命题“若x >二（a+b ） 2,则x >a 2+『”，是假2命题，• ••原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若x >a 2+b 2,则x >二（a+b ） 2”，是真命题，2 •原命题的否命题是真命题. 故选：A .6. （5分）已知数列｛a n ｝满足a 1 = 2, a n+1 =，则 a n =( )A . 2nB . n+1c . —+1n【分析】利用数列的递推关系式，推出I 1 是等差数列，然后求解数列的通项公式.1JLl =lan+lan 27.可得:，所以数列是等差数列，可得:2【点评】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.& （5分）下列函数中，最小周期为n且为偶函数的是（）A . f (x )= sin|2x|(x ) C . f (x )= |cos2x|D. f (x )【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【解答】解：T f( x )= sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为丄.二—=一，故排除A ;2 2 2由于f (x )= tan (x -丄一)为非奇非偶函数，故排除B ;4••• f (x )= |cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为丄・竺』_,故排除C ;2 2 2ii . 22» 2I pj j••• f (x )=「■ ■ . ' == cos2x 为偶函数，且它的最小正周期为二—=L+ta n M cos x+sin x2n,故D 满足条件,故选：D .【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题.的图象(【分析】利用诱导公式、函数 y = Asin (3X+ 0)的图象变换规律，得出结论.故选：D .【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y = Asin ( «x+K>的图象变换规律，统这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题.9. ( 5分)要得到函数 f ( x )= cos2x - sin ( -------------- 2x )的图象，只需将函数g (x ) =cos2xA .向左平移一个单位 —个单位C .向左平移7TT兀D .向右平移 --- 个单位5B .向右平移个单位【解答】 解：函数f (x )= cos2x - sin-2x ) = cos2x -(— cos2x - si n2x ) =2二cos2x+^~sin2x = cos (2x -2 2),故将函数g (x )= cos2x 的图象向右平移 个单位，可得f ( x )的图象,=tan (x -10. (5分)当x€ (0, +8)时，ax2- 3x+a> 0恒成立，则a的取值范围是( )=b 2 (椭圆的离心率为匚=価 丁 =~丁,2丄?Z =—2 2-轨2 , 2 a -b =3 £ a4 11A . (-8, c . [_, + 8)B .[4-D . (-8，—一］U匕，+8)2【分析】 对？x € ( 0, + 8),不等式ax 2 - 3x+a > 0恒成立？通过a = 0以及a > 0,利用二 次函数的性质即可得出.【解答】解：当a = 0时，不等式不恒成立,由二次函数的性质可知： a >0,且厶=9 - 4a 2< 0,解得a a < 0时，ax 2 - 3x+ a > 0不恒成立, 综上 a€[2, + 8). 故选：C .【点评】本题考查了恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题.+A (- a , 0),B (a , 0)一点，E 的离心率为 ，则直线AP 与BP 的斜率之积为(【分析】利用点P 与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲 线的方程，即可确定 a , b 的关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可.【解答】解：设P (x , y ),点A (- a , 0), B (a , 0),椭圆椭圆Ey 2•••点P 与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为:则k2，所以—= a故选：C.【点评】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中 档题. 12. （5分）在厶ABC 中，若（3,…-「；）丄|「T ,则角A 的最大值为（C .【分析】 根据（3AB-AC ）_LCB 即可得出,从而得出0=（3AB 2AC ）'1（Aa-AC ）| = 3|AK |2 + |AC | 2-4|AB | |AC|【解答】解：M7C ）丄蚀;•••2©忑-疋卜忑=（3忑・疋）・（忑-疋）=引両|2+|AC |2-4AC*AB=丨 t ： i |眾：：冷丨, c :| ■/■'：' ■< | '■：'；；二、一,且 0 V A V n;2 a92巧q •a e qa 7ae进而得出•A 的最大值为7T故选：A .【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意 义，以及 a 2+b 2> 2ab 的应用.二、填空题: 本题共 4小题，每小题5分，共20分.13. （5 分） 已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为s n ,」■= 4,2a 7a8【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出. 【解答】 解：设等比数列的公比为q ,由= 4,可得 ―=1 + q 3= 4,解得q 3= 3,,从而可求出A 的最大值.cos A故答案为：3. 础题.=q3= 3,【点评】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n项和公式的应用问题, 属于基【分析】由已知求得tan a,再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值. 【解答】解：由 口=( 2, sin a ), 1=( 1, cos a)，且」/ I ■, 得 2cos a - sin a= 0，即 tan a= 2. ■jrC -TT• sin ( a- n) cos (——+ a) tan (- a) =- sin a ?(- sin a)?tan (——.-)2 44sin^ CLtan^ CL_ 4七(sis 2 Ct)-3ttan^ Ct +1)故答案为：十【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本 关系式化简求值，是基础题.15. （ 5分）在厶ABC 中，|小|=|」'|,/ BAC = 120 °，过点 A 作AB 的垂线交BC 于点D , /' = x 「+y 「i,则丄=-二.y邑L―-1 ―-【分析】由题意，可得出BD = 2AD = 2DC ,由向量三角形法则可得出二 一,再结合t = Xrl ，+y 「I,根据平面向量基本定理，得出 x , y 的值，即可得出答案.【解答】解：•••在△ ABC 中，|，八|=円'|, / BAC = 120 ° ,过点A 作AB 的垂线交BC 于点D , 如图•••/ ABC = 30 ° , • BD = 2AD , 且/ ADB = 60 ° , 所以DC = AD • BD = 2AD = 2DC ,14. (5 分)已知向量 a =( 2, sin a), b =( 1, cos a),且 a.//b ，贝U sin ( a- n cos (—+ a)tan (-a)=L —.2 2又 s'= X J,+y -」，••• x = , y =2 2•上=_ 二 • 呂.故答案为-二【点评】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题.16. （5分）如图，△ ABC 中，/ ACB 为钝角，AC = 10, BC = 6，过点B 向/ ACB 的角平分 线引垂线交于点 P ,岩AP = 6|,则厶ABP 的面积为【分析】设CP = x ,Z ACP = Z BCP = a,利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得 x和cos a 的值，再计算sin /ACB 以及S ^ABC 、S ^ACP 和S ^BCP 的值，从而求得△ ABP 的面 积.【解答】解：如图所示, 设 CP = x ,/ ACP = / BCP = a, 贝y cos a=由余弦定理得， AP 2 = AC 2+x 2 - 2x?AC?cos a, 解得 x = 2 ::, cos a =• sin / ACB = sin2 a= 2 x• S ^ABC = x 6x 10x 20 ：?,2 2=10’ J ■!,S A ACP =2•- S AABP = S AABC - S AACP - S ABCP = 20 :- 10 :■: - 6 :■: = 4 ：?,【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (10 分)△ ABC 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知(2b - a ) cosC = c?cosA .(1) 求角C ; (2 )若c =ABC 的面积为10.「：，求△ ABC 的周长.【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 2sin BcosC = sinB ,由sinB > 0，可求cosC =二，结合范围 C € (0, n),可求C 的值. (2)由(1)及三角形面积公式可求 ab = 40,由余弦定理可求 a+b的值，即可解得厶ABC 的周长. 【解答】(本题满分为10分) 解：(1)v( 2b - a ) cosC = c?cosA ,•由正弦定理可得： (2s inB -si nA ) cosC = sin CcosA , 可得：2sinBcosC = sinAcosC+sinCcosA = sin (A+C )= sinB , ■/ sinB > 0, •解得：cosC =丄，T C € ( 0, n),• C= ---- •••( 5 分)(2)由(1)及已知可得：△ ABC 的面积为10 :;=亍abX _：,解得ab = 40,T 由余弦定理可得：c 2= a 2+b 2 - ab ,可得：49=( a+b ) 2 - 3ab =( a+b ) 2- 3X 40,解得：a+b = 13,S A BCP =X 6 X 2 「:即厶ABP 的面积为 4:!.• △ ABC 的周长 a+b+c = 13+7 = 20-( 10 分)【点评】 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定 理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.(12分)记Sn 为数列｛ an ｝的前n 项和，已知一 、--4-|, n €N .(1)求数列｛a n ｝的通项公式;n 项禾口 T n .(2)化简数列的通项公式，禾U 用裂项消项法求解数列的和即可. 【解答】解：(1)由片二2门—门，得 当 n = 1 时，a 1 = S 1 = 3 ；22当 n >2 时，a n = S n - S n -1 = 2n +n - [2 (n - 1) + (n - 1) ] = 4n - 1.所以 a n = 4n - 1.(2)b ^^=—占一=丄(一—M ，11a C4n-1)(4n+3) 4 "in-l '所以J#【(寺#)诲寻)+••■+(盂”岛)】=£(££)喘話 【点评】本题主要考查数列通项公式和前 n 项和的求解，利用累加法和分组求和法是解决本题的关键.\_y+2^019. (12分)已知x , y 满足约束条件 z+y-4>0 .I 2x-y-5^ 0(1 )若z =- mx+y 取得最小值的最优解有无数多个，求 m 的值；(2)求z = /+y 2的取值范围.【分析】利用约束条件画出可行域， (1)利用目标函数的最优解求解即可. (2)利用目标函数的几何意义，转化求解即可.【解答】解：作出约束条件的可行域如图：由图形可知： A (3, 1), B (7, 9), C (1, 3)；(1) z =- mx+y 取得最小值的最优解有无数多个，若m > 0，贝U m = 2 ;若mv 0,贝U m18.2*_ -+n ，n€N .利用a n = S n - S n - 1 .求通项公式即可.(2 )设，求数列｛b n ｝的前=-1，故m=- 1;所以m=- 1或m= 2.(2) z= x2+y2的几何意义是可行域内的点与( 0, 0)的距离的平方,由图可得：Z min= ■"二' =8 ；V22z max= |OB| = 130 .• 8 w z w 130.【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力.20. (12分)已知数列｛b n｝的前n项和为S n, S n+b n= 2.等差数列｛a n｝满足b1a2= 3, b1+a5=7.(1)求数列｛a n｝, ｛ b n｝的通项公式；(2)证明：a1b2+a2b3+…+a n b n+1< 3.【分析】(1)由数列的递推式：n= 1时，b1= S1, n >2时，b n= S n - S n-1，化简计算可得b n;再由等差数列的通项公式，可得首项和公差，即可得到a n;(2)由数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，以及不等式的性质，即可得证.【解答】解：(1) S n+b n = 2,可得n= 1 时，b1= S1= 2 - b1,可得b1 = 1 ；n A 2 时，b n= S n - S n- 1= 2 - b n- 2+b n- 1,即有b n=盲b n-1 ,可得b n=(丄)n- 1；等差数列｛a n｝的公差设为d, b1a2= 3, b1+a5= 7,即有a1+d = 3, a1+4d= 6,(2)证明：设 T n = a 1b 2+a 2b 3+ …+a n b n+1= 2丄+3?(丄)2 2化简可得 a 1b 2+a 2b 3+ …+a n b n+1 = 3 —( n+3)?(千) 由(n+3)?(*) n >0，可得 a1b2+a2b3+ …+anbn+1V 3【点评】 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的通项公 式，考查数列的错位相减法求和，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题.(1 )求f (x )的单调递减区间及其图象的对称轴方程； ,a ］上的值域为［-,1］,求实数a 的取值范围.2减区间和对称轴可得; (2)利用正弦函数的图象可得.茹=2?兮)2+3?傅)2相减可得二T n = 1+ (二)丄(1 ---- —)4 11丿——1+ -------- :---- =1丄2(n+1)?(—)3+…+ n+1)n —( n+1)?(二)n+12—(n+1yn+1【解答】解：(1) f (x )= cos2x+sin2x+(sinx — cosx ) (sinx+cosx )=一cos2x+ 丨 2 2 I K令 2k n +—w 2x — 2sin2x — cos2x = sin (2x — • f (x )的单调递减区间为［k n 7T ), ，则k<x w k n 一 &,k€Z .5K V],k^Z . TTK6 --k n+ | 2由2x —(k (Z )得 x = • f (x )图象的对称轴方程为 x =(kd).(2)T x€[—7T12 ,a], 兀■R7T一€ — 2a 6& 3 |• 2x — ]结合正弦函数图象可知:7T~247T2+…+ (n+1 )?(*)21 .(12 分)设函数 f (x )= cos ( 2x —― ) +2sin (x —+兀).(2)若f (x )在区间［-【分析】(1)利用恒等变换公式将 f (x )化为sin (2x - —),再利用正弦函数的单调递(kd).sin (x(2)证明：设T n= a1b2+a2b3+ …+a n b n+1= 2? +3?( ) 2+ …+ (n+1)?( ) n,2 3 n+1T n = 2?( ) 2+3?( ) 3+ …+ (n+1)?( ) n',相减可得T n = 1+ ( ) 2+ ( ) 3+ …+ ( ) n-( n+1)?( ) n+1= 1+ -( n+1 ?( n+1,化简可得a1b2+a2b3+ …+a n b n+1 = 3-( n+3) ?( ) n,由(n+3) ?( ) n>0，可得a1b2+a2b3+ …+a n b n+1 <3.【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列的递推式和等差数列的通项公式,考查数列的错位相减法求和,以及不等式的性质,考查运算能力,属于中档题.21. ( 12 分设函数f( x = cos( 2x- +2sin ( x- sin( x+ .( 1 求f( x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程;(2)若f (x)在区间[- ,a]上的值域为[- ,1],求实数a的取值范围.【分析】( 1 利用恒等变换公式将f( x 化为sin( 2x- ,再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得;( 2 利用正弦函数的图象可得.【解答】解：( 1 f( x = cos2x+ sin2x+ ( sinx- cosx ( sinx+cosx= cos2x+ sin2x- cos2x= sin( 2x- ,令2k n+w 2x-w 2k n+ ,则k n+w x w k n+,k€Z• f( x ) 的单调递减区间为[k n+,k n+],k C Z.由2x- =k n+(k(Z )得x= +(k C Z).• f (x)图象的对称轴方程为x= + (k C Z).( 2)证明：设T n= a1b2+a2b3+- +a n b n+1= 2? +3?( )2+- +( n+1 )?( )n，(2) T x€[ - , a], • 2x- €[ - , 2a-]结合正弦函数图象可知：w 2a- ,解得2 3 n+1T n=2?( )2+3?( )3+-+(n+1)?( )n+1，相减可得T n=1+( )2+( )3+-+( )n-(n+1)?( )n+1=1+ -(n+1)?( )n+1，化简可得a1b2+a2b3+-+a n b n+1=3-( n+3)?( )n，由(n+3)?( ) n>0，可得a1b2+a2b3+ …+a n b n+1 v3.【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等差数列的通项公式，考查数列的错位相减法求和，以及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题.21.( 12 分)设函数f( x)= cos( 2x- )+2sin( x- )sin( x+ ).(1 )求f (x)的单调递减区间及其图象的对称轴方程；(2)若f (x)在区间[- ,a]上的值域为[- ,1],求实数a的取值范围.【分析】(1)利用恒等变换公式将 f (x)化为sin (2x- )，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得；( 2)利用正弦函数的图象可得.【解答】解：( 1)f( x)= cos2x+ sin2x+ ( sinx- cosx)( sinx+cosx)= cos2x+ sin2x- cos2x= sin( 2x- )，令2k n+< 2x- W 2k n+ ,则k n+W x< k n+,k€Z• f( x) 的单调递减区间为[k n+,k n+],k C Z.由2x- =k n+(k(Z )得x= +(k C Z).• f (X)图象的对称轴方程为x= + (k C Z).(2)证明：设T n= a1b2+a2b3+ …+a n b n+1= 2? +3?( ) 2+ …+ (n+1)?( ) n, (2)T x€[ - , a], • 2x- €[ - , 2a-]结合正弦函数图象可知：< 2a- ，解得。
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟2018级高二5月联考数学试卷参考答案
或 sinx＝－1，即 x＝π或 x＝7π.当 x∈（0，π）时，f′（x）<0；当 x∈（π，7π）时，f′（x）>0；
2
6
6
当 x∈（7π，3π]时，f′（x）<0，∴x0＝π，∴tan（2x0－π）＝ 3 .
62
3
16．64 解析：由已知可得球的半径 r=3，设球心到四棱锥底面的距离为 x，棱锥的高为 h＝3＋x， 3
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟2018级高二5月联考数学试卷
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A
D
B
A
A
D
C
B
B
D
C
B
1.A 解析：A＝[－1，1]，∴A∩B＝[0，1]．
2
2
2．D 解析：∵y＝ln|x|－1x2 是偶函数，∴图像关于 y 轴对称．又 x>0 时，f′(x)＝1－x＝1－x2，∴f(x) f(1)
4 有一个极值点为零点，只能是 x＝a 处，∴f (a)＝0，解得 a＝2，∴f (x)在 x＝0 处取得极大值为 .又
3
f (3)＝4，∴f (x)在[-3,3]上的最大值为4，故选 C．
3
3
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12.B 解析：由已知可得点 F 在以 AB 为直径的圆上， AF BF , AB 2MF 4, AF 2 BF 2 16,
a＋b＝－2.
9.B 解析：EX＝6×2＝4，DX＝6×2×（1－2）＝4，EY＝3×4－3＝3，DY＝（3）2×4＝3，∴EY
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数z满足（z﹣i）（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1+2i C．2+i D．2﹣i2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣1，]D．[，2）3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重．它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．5．已知双曲线﹣＝1的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A．（1，﹣）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣）6．已知α为锐角，sin（）＝，则cosα＝（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，且bc＝2，则△ABC的面积为（）A．2B．C．D．8．新课程改革把劳动与技术课程作为7～9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准．某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．关于二项式（x2﹣）6的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有项的系数和为1B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含x3项D．常数项为12010．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（）A．1B．2C．3D．511．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象与y轴交于点（0，），与x轴的一个交点为（1，0），如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．f（x）的最小正周期为6C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）在[0，]单调递减12．已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（12﹣x）﹣f（12+x）＝0，当x∈[0，12]时，f（x）＝，实数x i是关于x的方程f（x）＝m（i＝1，2，3，…）的解，且x i互不相等．则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期是12B．y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝12k，k∈ZC．当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上有唯一解D．当m＝0时，存在x1，x2，x3，x4，使得|x1+x2+x3+x4|的最小值为0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在点（0，0）处的切线方程为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝36，S20﹣S14＝126，则数列{a n}的公差d ＝．15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图．根据等高图，（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．（参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.82816．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形BB1C1C 内的动点，当D1Q∥平面PBD时，点Q的轨迹长度为，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．在①sin B＝sin C＝sin A，②＝＝，③b＝c＝a，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，a＝4，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18．已知数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，b n＝n（S n+2+n），求数列{b n}的前n项和T n．19．在如图所示的多面体中，平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为正方形，E，F分别为AD，BP的中点，且AD＝2，AP＝2，PC＝2．（1）证明：EF⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞1）的离心率为，直线l：x＝ty+（t∈R）与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：+是定值．21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制．双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）．以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战．获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉入失败组，进入下一轮比赛．失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军．某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加．比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5．（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望．22．已知函数f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R）．（1）证明：当a≤0时，f（x）在（0，]上单调递增；（2）当a＝1时，不等式lnx﹣≥f（x）对任意的x∈（0，]恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足（z﹣i）（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1+2i C．2+i D．2﹣i解：由（z﹣i）（1﹣i）＝2i，得z﹣i＝，则z＝﹣1+2i．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣1，]D．[，2）解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log x＜1}＝{x|x＞}，∴∁R B＝{x|x}，∴A∩（∁R B）＝{x|﹣1＜x}＝（﹣1，]．故选：C．3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重．它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%解：根据全国人均消费支出的结构饼图，可知2019年内人均食品，研究消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%．故选：B．4．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．解：∵向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，∴•（λ+）＝λ+＝λ（﹣2﹣2）+5＝0，则λ＝，故选：A．5．已知双曲线﹣＝1的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A．（1，﹣）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣）解：由双曲线﹣＝1的离心率为2，可得＝2，即，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝x，由选项可知，（1，﹣）在双曲线的渐近线上．故选：A．6．已知α为锐角，sin（）＝，则cosα＝（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣解：α为锐角，且sin（）＝＜，所以＜+α＜π，所以cos（+α）＝﹣＝﹣＝﹣，所以cosα＝cos[（α+）﹣]＝cos（α+）cos+sin（α+）sin＝﹣×+×＝﹣．故选：C．7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，且bc＝2，则△ABC的面积为（）A．2B．C．D．解：△ABC中，tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，所以tan（B+C）＝＝1，A+B+C＝π，tan A＝﹣tan（B+C）＝﹣1，所以A＝，所以sin A＝，又bc＝2，所以S△ABC＝bc sin A＝×2×＝．故选：D．8．新课程改革把劳动与技术课程作为7～9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准．某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．B．C．D．解：由题意得7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和周三下午的6节课中的两节课，∴7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率为：p＝．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．关于二项式（x2﹣）6的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有项的系数和为1B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含x3项D．常数项为120解：令x＝1，则展开式所有项的系数和为（12﹣2）6＝1，故A正确，展开式二项式的系数和为26＝64，故B错误，展开式的通项公式T k+1＝C（x2）6﹣k（﹣）k＝C（﹣2）k x12﹣3k，由12﹣3k＝3得k＝3，即展开式中含x3项，故C错误，当12﹣3k＝0得k＝4，即展开式的常数为C（﹣2）4＝240，故D错误，故错误的是BCD，故选：BCD．10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（）A．1B．2C．3D．5解：设P（x，y），由|PA|＝2|PO|，得（x﹣3）2+y2＝4x2+4y2，整理得（x+1）2+y2＝4，又点P是圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆（x+1）2+y2＝4的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2，圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）的圆心坐标为（2，0），半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r+2＝3，得r＝1，当两圆内切时，|r﹣2|＝3，得r＝5．故选：AD．11．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象与y轴交于点（0，），与x轴的一个交点为（1，0），如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．f（x）的最小正周期为6C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）在[0，]单调递减解：由函数f（x）＝cos（ωx+φ）的图象与y轴交于点（0，），所以cosφ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝，A正确；由f（x）的图象与x轴的一个交点为（1，0），即y＝f（1）＝0，所以ω+＝2kπ+，k∈Z；又1＜＜2，解得＜ω＜，所以ω＝；所以f（x）＝cos（x+），求得f（x）的最小正周期为T＝6，B正确；f（）＝cos（×+）＝﹣1，所以x＝是f（x）的一条对称轴，C正确；令2kπ≤x+≤2kπ+π，k∈Z，解得6k﹣≤x≤6k+，k∈Z；所以函数f（x）在[6k﹣，6k+]，k∈Z上单调递减，D错误；综上知，正确的命题是ABC．故选：ABC．12．已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（12﹣x）﹣f（12+x）＝0，当x∈[0，12]时，f（x）＝，实数x i是关于x的方程f（x）＝m（i＝1，2，3，…）的解，且x i互不相等．则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期是12B．y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝12k，k∈ZC．当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上有唯一解D．当m＝0时，存在x1，x2，x3，x4，使得|x1+x2+x3+x4|的最小值为0解：因为函数f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，又f（12﹣x）＝f（12+x），所以函数关于直线x＝12对称，当x∈[0，12]时，函数f（x）无轴对称性，又f（x+24）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数的最小正周期为24，故A错误；因为x＝0是函数的对称轴，且f（12﹣x）＝f（12+x），所以函数图象关于直线x＝12k（k∈Z）对称，故B正确；当x∈[0，12]时，结合f（x）＝的单调性和图象可知，当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上只有唯一解，故C正确；当m＝0时，总能找到两两关于y轴对称的四个零点，使得|x1+x2+x3+x4|＝0，若4个零点不关于y轴对称时，|x1+x2+x3+x4|＞0，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在点（0，0）处的切线方程为x﹣y＝0．解：求导得：y′＝，把x＝0代入得：k＝1，则线y＝在点（0，0）处的切线方程为y＝x，即x﹣y＝0，故答案为：x﹣y＝014．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝36，S20﹣S14＝126，则数列{a n}的公差d＝．解：法一：由题意可得，S20﹣S14﹣S6＝14×6d＝126﹣36＝90，∴d＝．法二：因为S20﹣S14+S6＝a15+a16+a17+a18+a19+a20+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝6（a1+a20）＝162，所以a1+a20＝27，所以S20＝10（a1+a20）＝270，因为S6＝36，所以，解可得d＝，故答案为：．15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图．根据等高图，有（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．（参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828解：由题填写2×2列联表如下，乐观不乐观总计国内代表6040100国外代表4060100总计100100200 K2＝＝8＞7.879，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．故答案为：有．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形BB1C1C 内的动点，当D1Q∥平面PBD时，点Q的轨迹长度为，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为．解：依题意，D1Q∥平面PBD时，点Q是平面BB1C1C内的动点，可得D1点与点Q的轨迹构成的平面与平面PBD平行，如图所示，∵P是AA1的中点，取CC1的中点Q0，∴Q点的轨迹即为线段B1Q0．∵正方体的棱长为2，∴．把三棱锥D1﹣B1C1Q补形为长方体，可得球O的直径就是A1Q0，长为3．故球O的体积为．故答案为：；．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．在①sin B＝sin C＝sin A，②＝＝，③b＝c＝a，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，a＝4，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：选择①：因为sin B＝sin C＝sin A，由正弦定理可得a＝b＝c，即b＝c＝a，由余弦定理可得cos A＝＝﹣，在三角形中可得A＝π，所以B＝C＝，又因为BD为角平分线，所以∠ABD＝，在△ABD中，∠ADB＝π﹣π﹣＝，在△BCD中，由正弦定理可得＝，即＝，所以BD＝BC＝×4＝2．选择②：因为＝＝，可得b＝c，a＝b，又a＝4，所以可得b＝c＝4，由余弦定理cos A＝＝＝﹣，A∈（0，π），所以A＝，则B＝C＝，下面解法同①；选择③：因为b＝c＝a，而a＝4，所以b＝c＝4，下面解法同②；综上所述：BD的长为2．18．已知数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，b n＝n（S n+2+n），求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以，整理得．（2）由（1）得＝．故b n＝n（S n+2+n）＝n•2n+1，所以①，②，①﹣②得，整理得，解得．19．在如图所示的多面体中，平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为正方形，E，F分别为AD，BP的中点，且AD＝2，AP＝2，PC＝2．（1）证明：EF⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．解：（1）证明：取PC中点G，连结DG、FG，点E、F分别为AD、BP的中点，又AD＝2，AP＝2，∴PD＝2，∴△PCD是等腰三角形，∴EFGD是平行四边形，∴EF∥GD，∵平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为矩形，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥DG，∴PC⊥DG，又BC∩BC＝C，∴DG⊥平面PBC，∴EF⊥平面PBC．（2）如图，以D为原点，DC为x轴，在平面PDC内，过点D作DC的垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（2，0，0），B（2，0，2），P（﹣1，，0），＝（2，0，2），＝（﹣1，，0），平面PDC的法向量＝（0，0，1），设平面PDB的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（，1，﹣），∴cos＜＞＝＝＝﹣，由图知二面角B﹣PD﹣C的平面角为锐角，∴二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞1）的离心率为，直线l：x＝ty+（t∈R）与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：+是定值．解：（1）由题意可得b2＝1，所以b＝1，又e＝，所以a＝，所以椭圆C的标准方程为+y2＝1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理，得（2+t2）y2+ty﹣＝0，所以△＝t2+（2+t2）＞0恒成立，y1+y2＝，y1y2＝，所以+＝+＝＝＝＝×＝3，所以+为定值3．21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制．双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）．以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战．获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉入失败组，进入下一轮比赛．失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军．某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加．比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5．（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望．解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者组进入决赛并最终夺冠，也可能由失败者组进入决赛最终夺冠，∴甲获得冠军的概率为：p＝（）4+（）3×（）2+（）2×（）4+×（）5＝．（2）依题意X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X＝2）＝（）2＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝（）3+＝，当X＝5时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②前两场一胜一败，则第5场必败，∴P（X＝5）＝（）4+＝，当X＝6时，前5场只能失败一次，且只可能是第一场失败或第二场失败，∴P（X＝6）＝（）5＝，∴X的分布列为：X23456PE（X）＝+＝3.5．22．已知函数f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R）．（1）证明：当a≤0时，f（x）在（0，]上单调递增；（2）当a＝1时，不等式lnx﹣≥f（x）对任意的x∈（0，]恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（1）证明：因为f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R），所以，当a⩽0 时恒成立，f（x）在上单调递增．（2）解法1：由题意，对恒成立，设h（x）＝e x sin x﹣kx，h′（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，又设m（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，则m′（x）＝e x sin x+e x cos x+e x cos x﹣e x sin x＝2e x cos x⩾0，因此m（x）在单调递增，所以m（x）＞m（0）＝1﹣k，①当k⩽1 时，m（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在单调递增，故有h（x）＞h（0）＝0，即k⩽1 适合题意．②当k＞1 时，若，则取时，m（x）＜0，若，则在上m（x）存在唯一零点，记为x0，当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，总之，存在使x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，所以h（x）单调递减，h（x）＜h（0）＝0，故k＞1 时，存在x∈（0，x0）使h（x）＜0 不合适题意．综上，实数k的取值范围是（﹣∞，1]．解法2：，设g（x）＝e x sin x﹣x，则，∴g（x）＝e x sin x﹣x在区间上递增，即g（x）＝e x sin x﹣x＞g（0）＝0，∴，而而，因此函数的下确界为1，实数k的取值范围是（﹣∞，1]．。
2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟上学期高二期中考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖南省三湘名校教育联盟上学期高二期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，且，则集合B可以是A．B．C．D．【答案】B【解析】解出集合，或，由得出B．【详解】解：，或，且；符合条件的只有B．故选：B．【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算2．已知命题p：，，则为A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案．【详解】解：命题p：，，则为，，故选：D．【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全特称命题的否定方法是解答的关键．3．已知，均为单位向量，，则A．B．C．D．【解析】由已知结合向量数量积的性质可求，代入即可求解．【详解】解：，均为单位向量，且，，，则，故选：B．【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．4．已知等差数列的前n项和为，，则A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【解析】分析：把已知与求值式全部用首项和公差表示，详解：由题意，∴，∴．故选B．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论．5．已知E、F分别为椭圆的左、右焦点，倾斜角为的直线l过点E，且与椭圆交于A，B两点，则的周长为A．10 B．12 C．16 D．20【答案】D【解析】利用椭圆的定义即可得到结果．椭圆，可得，三角形的周长，，所以：周长，由椭圆的第一定义，，所以，周长．故选：D．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查．6．已知数列满足，，则A．2n B．C．D．【答案】D【解析】利用数列的递推关系式，推出是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列满足，，可得：，所以数列是等差数列，可得：，可得，故选：D．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．7．设a、，原命题“若，则”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是A．逆命题与否命题均为真命题B．逆命题为假命题，否命题为真命题C．逆命题为假命题，逆否命题为真命题D．否命题为假命题，道否命题为真命题【答案】A【解析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题．【详解】解：原命题：“设a、，原命题“若，则”，是假命题，原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若，则”，是真命题，原命题的否命题是真命题．故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．下列函数中，最小周期为且为偶函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：为偶函数，但它的最小正周期为，故排除A；由于为非奇非偶函数，故排除B；为偶函数，但它的最小正周期为，故排除C；为偶函数，且它的最小正周期为，故D满足条件，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题．9．要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】利用三角恒等变换、函数的图象变换规律，得出结论．【详解】解：函数，故将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．10．当时，恒成立，则a的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】对，不等式恒成立通过以及，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：，且，解得，时，不恒成立，综上．故选：C．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为A．B．C．D．【答案】C【解析】利用点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查双曲线的方程，即可确定a，b的关系，从而通过双曲线的离心率，求解即可．【详解】设，点，，椭圆椭圆E：，椭圆的离心率为，，，则，所以，点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为：，故选：C．【点睛】本题考查斜率的计算，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12．在中，若，则角A的最大值为A．B．C．D．【答案】A【解析】根据即可得出，从而得出，进而得出，从而可求出A 的最大值．【详解】；，；，且；的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及的应用．二、填空题13．已知等比数列的前n项和为，，则______．【答案】3【解析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出．【详解】解：设等比数列的公比为q，由，可得，解得，，故答案为：3．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n项和公式的应用问题，属于基础题．14．已知向量，，且，则___．【答案】【解析】由已知求得，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值．【详解】解：由，，且，得，即．，．故答案为：．【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题．15．在中，，，过点A作AB的垂线交BC于点D，，则______．【答案】【解析】由题意，可得出，由向量三角形法则可得出，再结合，根据平面向量基本定理，得出x，y的值，即可得出答案．【详解】在中，，，过点A作AB的垂线交BC于点D如图，，且，所以，，又，，．故答案为【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．16．如图，中，为钝角，，，过点B向的角平分线引垂线交于点P，若，则的面积为______．【答案】【解析】设，，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x和的值，再计算以及、和的值，从而求得的面积．【详解】如图所示，设，，则，由余弦定理得，，解得，；；，，，，即的面积为．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．三、解答题17．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C；若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）20【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，由，可求，结合范围，可求C的值；由及三角形面积公式可求，由余弦定理可求的值，即可解得的周长．【详解】解：，由正弦定理可得：，可得：，，解得：，，，由及已知可得：的面积为，解得，由余弦定理可得：，可得：，解得：，的周长【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．记为数列的前n项和，已知，．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由与之间的关系求出通项公式；（2）求出，再用裂项相消法求出前n项和。
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(含解析)_20
2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡书写作答，在试题上作答，答案无效。
3．考试结束，监考教师将答题卡收回。
第I卷（选择题共60分）—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的代号为A．B．C．D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.己知复数，若为纯虚数，则A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.【详解】由已知得：，所以解得：故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.2.焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案。
【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得。
解得。
所以双曲线的方程为，故答案选A。
【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上。
3.设，，若，则的最小值为A. B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。
【详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。
湖南省五市十校2018-2019学年高二下学期期末联考数学(理)试题
湖南省五市十校2018-2019学年高二下学期期末联考数学（理）试题一、选择题 本大题共12道小题。
1.设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若20196057S =，则2201814a a +的最小值为 A. 1B.23C.136 D.32答案及解析：1.D 【分析】先利用等差数列的求和公式得出()120192019201960572a a S +==，再利用等差数列的基本性质得出22018120196a a a a +=+=，再将代数式22018a a +和2201814a a +相乘，展开后利用基本不等式可求出2201814a a +的最小值. 【详解】由等差数列的前n 项和公式可得()120192019201960572a a S +==，所以，120196a a +=，由等差数列的基本性质可得22018120196a a a a +=+=，()2018222018220182201820182414146559a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，22018149362a a +≥=，当且仅当20182201824a a a a =，即当201822a a =时，等号成立，答案第2页，总22页……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………因此，2201814a a +的最小值为32，故选：D. 【点睛】本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。
2.函数()()sin (f x A x ωϕ=+其中0A >，)2πϕ<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，则只要将()f x 的图象( )A. 向左平移12π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度D. 向右平移6π个单位长度答案及解析：2.A由图象可知A ＝1，741234T πππ=-=，所以T ＝π，又T ＝2πω＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin (2x ＋φ)，又f 7()12π＝sin 7(2)12πϕ⨯+＝sin 7()6πϕ+＝－1，所以76π＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z.即φ＝3π＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<2π，所以φ＝3π，即f (x )＝sin (2)3x π+.因为g (x )＝cos 2x ＝sin (2)2x π+＝sin 2()123x ππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，所以直线将f (x )向左平移12π个单位长度即可得到g (x )的图象． 3.函数sin y x x =在[－π，π]的图象大致为（ ）A. B.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………C. D.答案及解析：3.C()()()()sin sin f x x x x x f x -=-⋅-==，为偶函数，则B 、D 错误；又当[]0,x π∈时，()'sin cos f x x x x =+， 当()'sin cos 0f x x x x =+=时，得tan x x =-，则则极值点0,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故选C 。
2018-2019学年湖南省三湘教育联盟高二下学期期末考试数学(理)试题答案
将 l 方程代入 C2 整理得 k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，∴x3＋x4＝2k2k＋2 4，x3x4＝1.
代入（x1＋x2）2－4x1x2＝（x3＋x4）2－4x3x4 中解得 k2＝83，∴|AB|＝|MN|＝x3＋x4＋2＝121.（12 分
20.解析：(1)当 a＝1 时，f(x)＝x－sinxcosx，f′(x)＝1－cosx+sinx 1 2 sin(x ) 0 ， 4
∴按 4 个小白鼠一组化验可使化验次数的期望值最小．(12 分)
22.解析：(1)依题意可得曲线
C
的直角坐标方程为x2＋y2＝1，∴其参数方程为
x＝2cosθ (θ为参数)．(4
分)
4
y＝sinθ
(2)N(0，2)，设 M(2cosθ，sinθ)，则|MN|＝ 4cos2θ＋（sinθ－2）2＝ －3（sinθ＋2）2＋28，
π
ππ
∴f(x)在[0， ]上单调递增，最小值为 f(0)＝－1，最大值为 f( )＝ －1，
2
22
π ∴f(x)的值域为[－1， －1]．(5 分)
2
(2)由 f(x)≤0 得 asinx≥x－cosx，
当 x＝0 时，成立；
当 0<x≤π时，a≥x－cosx，
2
sinx
令 h(x)＝x－cosx，则 h′(x)＝（1＋sinx）sinx－（x－cosx）cosx＝sinx＋1－xcosx，
理科数学参考答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 B
A
D
B
B
C
A
D
湖南省三湘名校教育联盟2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
姓名 准考证号(在此卷上答题无效）绝密★启用前三湘名校教育联盟•2019年上学期高二期末考试理科数学命题:天壹名校联盟命题组 审题:湘乡一中沈成友本试卷共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 A={0 <)4)1(-+x x x ,B= {1 >xxe }，则=B A A.(0,1) B. (0,4)C.(1,4)D.(4, +∞)2.复数iiz +-=13的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，56,473==S a ，则=7a A.10 B.12 C.16 D.204.下列函数既是偶函数，又在(0，+∞)上为减函数的是A. 1-=x yB. x y 1ln =C.xx y --=22 D. ⎪⎩⎪⎨⎧-+=0<,20>,222x x x x x x y5.已知βα,为两个不同平面，l 为直线且α⊥l ，则“βα⊥”是“α∥l ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量0),,1(),1,3(=⋅=-=t ，若0 <t ，则=t A.-4 B.-3 C.-2 D.-17.设1.14)21(,2log ,5lg ===c b a ，则 A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a8.如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为A. 8)(2x x S S i -+=B.8)()1(2x x S i S i -+-=C. i x x S S i 2)(-+=D. ix x S i S i 2)()1(-+-=9.将函数)cos()(ϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关 于2π=x 对称，则=ϕtanA. 33-B. 3-C. 33± D. 3± 10.过双曲线C: )0>0,>(12222b a b y a x =-的一个焦点F 向其一条渐近线x y l 21:=作垂线，垂足为E,0为坐标原点，若△OEF的面积为1，则C 的焦距为 A. 5- B.3 C. 52 D. 511.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图像关于点（0,2)对称，曲线)(x f y =在点（1，)1(f )处的切线过点(2,7)，设曲线)(x f y =在0=x 处的切线的倾斜角为α，则)tan()3sin(απαπ-⋅+的值为 A.105 B. 105- C. 426- D. 462- 12.已知点M(0,4)，点P 在抛物线y x 82=上运动，点Q 在圆1)2(22=-+y x 上运动，则PQPM 2的最小值为A.2B.38 C.4 D. 316 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。