振动能量和合成
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第6章 振动2(振动合成、其它振动)
A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数： 时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 在欠阻尼情况下， 振幅 振动能量E： 振动能量 ： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其 值 它
15
二、李萨如图： 李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比， 如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运 动具有稳定的封闭的运动轨迹。 动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象： ３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象． 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T
8.4 简谐运动能量 8.5简谐运动的合成 8.6阻尼振动 受迫振动 共振
单摆1作垂直于纸面 的简谐运动时，单摆5将 作相同周期的简谐运动， 其它单摆基本不动.
6
3
1 2 4
5
本章小结
一、谐振动的基本规律
1.受力特征：物体受回复力作用 F kx
x A cos(t )
2.运动规律：
v A sin(t )
a A cos(t )
在阻尼作用较小时,方程的解为:
x A0 e t cos( t )
振幅 其中:
02 2
x
角频率
Ae
o
t
T
2π
2π
2 0
2
t
(1)这种阻尼作用较小的情 况称为欠阻尼。 阻尼振动位移时间曲线
(2)过阻尼振动------阻尼很大
(3)临界阻尼振动---阻尼适中 临界阻尼时，系统一次性地 回到平衡状态，但所用的时 间比过阻尼状态要短。达到 平衡位置的时间最短。
t 大的多
2
1 2
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分 振动频率 振幅
合振动频率
( 1 2 ) 2
A 2 A1 cos 2π
2 1
2
t
Amax 2A1
Amin 0
振幅是随时间变化的，由于振幅这种改变也是周 期性的，因此就出现振动忽强忽弱的现象。
T 4
T 2
3T 4
T
t
Ek
1 m 2 A2 sin 2 t 2
3. 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
大学物理简谐振动
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
大学物理振动
4.1 简谐振动
一.简谐振动
一物理量随时间的变 化规律遵从余弦函数 关系，则称该物理量 作简谐振动。
表达式 x(t)=Acos( t+)
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
－A 0 A
X
表达式 x(t)=Acos( t+)
二. 描述简谐振动的特征量 1. 振幅 A： 即最大位移：x＝±A 2. 角频率 （圆频率）ω （弧度/秒：rad/s） 3. 周期T 和频率 v ∵ ωT＝2π ∴ T＝2π/ω （s） （完成一次全振动所需的时间） 而 v = 1/T ＝ω/2π （Hz）
a
d2x d t2
2 Acos(
t
0)
2 Acos(
t
0
)
x、 v 、a
2A
A v
A
x
0
-A
- A
- 2A v > 0
<0
a<0 减速
<0 加速
<0 >0 减速
a
T t
>0 >0 加速
解题方法
由初始条件求解振幅和初位相：
设 t =0 时，振动位移：x = x0
振动速度：v = v0
x Acos（ t ） xo Acos
谐振系统的总机械能：
E Ek Ep
1 m 2 A2 sin 2 ( t ) 1 kA2 cos2 ( t )
2
2
E
1 2
kA2
1 2m2 A2来自1 2mvm 2
x Acos t
X
Ep
Ek
E 1 kA2
2
X
结论：
16 简谐振动能量 振动合成
x x1 x2 A cos( t )
由几何关系得:
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 ) A A1 A2
合振动的初相: A sin 1 A2 sin 2 arctan 1 A1 cos1 A2 cos2 用旋转矢量法推导: A2
x A1 cos( t 1 ) y A2 cos( t 2 )
x
讨论: 1) 2 1 kπ 时
x 2 y 2 2 xy 2 0 2 A1 A2 A1 A2
2) 2 1
x y 0 A A 2 1
2
y
A2 x, A1
1
1.相位差 2 1 2k
k=0, ±1, ±2, ±3, ……
x 合振幅加强: A A1 A2
x2
x A A1 A2 x x1 x2 A cos( t )
A A A 2A1A2 cos(1 2 )
2 1 2 2
第5章 机械振动
§5.4 简谐运动的能量 系统势能:
Ep 1 2 1 2 kx kA cos 2 ( t ) 2 2
1 2 kA sin 2 (t ) 2 m 2 k
谐振动系统的机械能:
1 1 2 2 2 E Ek Ep m A kA 2 2
5.5.3 相互垂直的简谐运动的合成 1. 相互垂直同频率简谐运动的合成
质点运动轨迹为直线
A2 ； A1 A 2 1 π，斜率 2 A1 y
2 1 0，斜率
x cos t cos 1 sin t sin 1 A1 y cos t cos 2 sin t sin 2 A2 x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A12 A2 A1 A2
第三节振动合成物理专题波动方程和波的能量
13
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的
能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
WmA22sin2[(tu x)0]
W 1 kA2 2
传播能量
不传播能量
W k 和 W 同p 相变化
W k 最大时、 W p为0 W p 最大时、 W k 为0
三、 波的能量密度和平均能量密度
2
u2
sin 2
(t
x) u
10
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
由波函数和波速 u 2 Y 可得
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
1 A22 (Sx) sin2 (t x )
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin 2 (t
x) u
2
u
棒元的总机械能
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
RT p
ul
M
说明
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
1. 波的能量密度
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。
比较波动过程、振动过程能量变化规律的异同
波动过程
振动过程
波动过程，某质元具有的
能量w是时间t的周期函数
振动过程，质元总能量不变
WmA22sin2[(tu x)0]
W 1 kA2 2
传播能量
不传播能量
W k 和 W 同p 相变化
W k 最大时、 W p为0 W p 最大时、 W k 为0
三、 波的能量密度和平均能量密度
2
u2
sin 2
(t
x) u
10
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
由波函数和波速 u 2 Y 可得
Ep
1 Y (Sx) A2 2
2
u2
sin 2
(t
x) u
1 A22 (Sx) sin2 (t x )
Ek
1 2
A2 2 (Sx) sin 2 (t
x) u
2
u
棒元的总机械能
ut
G
G— 固体的切变弹性模量
— 固体密度
d. 液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出：
ul
B
B— 流体的容变弹性模量
— 流体的密度
e. 稀薄大气中的纵波波速为
RT p
ul
M
说明
— 气体摩尔热容比
M— 气体摩尔质量 R — 气体摩尔常数
(1) 波的周期和频率与媒质的性质无关；一般情况下，与
1. 波的能量密度
E
Ek
Ep
A2 2 (SΔx) sin
2
(t
x) u
介质中单位体积的波动能量，称为波的能量密度。
同方向、不同频率的简谐振动的合成
02 x
h cos
pt
• 共振
同方向、同频率的简谐振动的合成(干涉)
A A12 A22 2A1A2 cos2 1
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
同方向、不同频率的简谐振动的合成(拍) 21
垂直方向、同(不同)频率简谐振动的合成
李萨如图
23
mghsin I
O
mgh 0Iຫໍສະໝຸດ 2 0mgh IC
简谐振动的能量
mg
E
Ek
E p
1 4
kA2
1 4
kA2
1 2
kA2
* 任一简谐振动总能量 与振幅的平方成正比
22
• 谐振子的阻尼振动
mx kx x
令
2 0
k ;
m
；h
2m
H m
• 谐振子的受迫振动
d 2x dt 2
2
dx dt
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2
24
sin(
20
10 )
x2 A12
y2 A22
2 xy A1 A2
cos
sin2
上式是个椭圆方程，具体形状由
(20 10) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关。当 0 时，
质点沿顺时针方向运动；当 2 时，
质点沿逆时针方向运动。
当 A1 A2 时，正椭圆退化为圆。13
x2 A12
用李萨如图形在 无线电技术中可 以测量频率：
Tx :Ty 1: 2
在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入 两个振动，已知其中一个频率，则可根据所 成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就 可得知另一个未知的频率。
简谐振动振动合成
前言：振动和波动是物理中的重要领域：
振动:一个物理量随时间作周期性变化
简谐振动是最简单的振动,任何复杂的振动都 是简谐振动的线性迭加。
一、简谐振动 定义：物体运动时，离开平衡位置的位移（或 角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化， 这类运动称简谐振动。
x(t) Acos(t )
二、简谐振动的速度、加速度
x Acos t
A cos t π
2
dx dt
A
sin
t
a A 2cos t π
a
d
dt
A
2cos t
2x
速度与加速度也都是周期变化的。
三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位
1、振幅A x A cos(t )
物体离开平衡位置的最大距离。 单位：米，m
2、周期 T
a
d 2x dt 2
F弹 m
k x m
d2x k x 0 dt 2 m
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d 2x 2x 0 简谐振动微分方程
dt 2
解微分方程 x A cos(t )
其中A为振幅，为圆频率，只与弹簧振子性质有关。
1.圆频率 k
x0 / A
x0
五、相位差
1.相位差和初相差 相位差---相位之差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差
= (t + 2) - (t + 1)
= 2 - 1
2.同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，
称同相
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调
T 2
2 2
T
振动:一个物理量随时间作周期性变化
简谐振动是最简单的振动,任何复杂的振动都 是简谐振动的线性迭加。
一、简谐振动 定义：物体运动时，离开平衡位置的位移（或 角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化， 这类运动称简谐振动。
x(t) Acos(t )
二、简谐振动的速度、加速度
x Acos t
A cos t π
2
dx dt
A
sin
t
a A 2cos t π
a
d
dt
A
2cos t
2x
速度与加速度也都是周期变化的。
三、谐振动的振幅、周期、（频率）和相位
1、振幅A x A cos(t )
物体离开平衡位置的最大距离。 单位：米，m
2、周期 T
a
d 2x dt 2
F弹 m
k x m
d2x k x 0 dt 2 m
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d 2x 2x 0 简谐振动微分方程
dt 2
解微分方程 x A cos(t )
其中A为振幅，为圆频率，只与弹簧振子性质有关。
1.圆频率 k
x0 / A
x0
五、相位差
1.相位差和初相差 相位差---相位之差 对两同频率的简谐振动，相位差等于初相差
= (t + 2) - (t + 1)
= 2 - 1
2.同相和反相
当 = 2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，
称同相
当 = (2k+1)， ( k= 0,1,2,…)，两振动步调
T 2
2 2
T
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T
2π
0.314 s
（2）Ek ,max
1 2 1 2 2 mvmax m A 2 2
2.0 10
第九章 振 动
3
J
10
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
已知 m 0.10 kg，A 1.0 10 m， 2 amax 4.0 m s 求:(3) Esum ； (4)何处动势能相等? 解（3）Esum Ek ,max 2.0 10 3 J
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2 π1t
x2 A2 cos2t A2 cos2 π 2t
x x1 x2
2 1
拍频（振幅变化的频率）
第十章 波动
物理学
第九章 振 动
27
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
答案：B
第九章 振 动
28
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
答案：C
第九章 振 动
29
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
答案：D
第九章 振 动
30
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
答案：C
第九章 振 动
31
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
答案：B
第九章 振 动
答案：物体在回复力作用下，在平衡位置附近，做周期 性的线性往复振动，其动力学方程中加速度与位移成正 比，且方向相反: d2x 2
dt
2
x
或：运动方程中位移与时间满足余弦周期关系:
x A cos( t )
第九章 振 动
25
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
3、伽利略曾提出和解决了这样一个问题：一根线挂在又 高又暗的城堡中，看不见它的上端而只能看见其下端，那 么如何测量此线的长度？ 答案：在线下端挂一质量远大于线的物体，拉开 一小角度，让其自由振动，测出周期T，便可依据单 摆周期公式 T 2 l 计算摆长。
2 2
所以振幅为：
A v0
m M / k 5 102 (m)
第九章 振 动
33
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
（2）振动的圆频率为：
k 40(rad s 1 ) mM
取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方 程可设为：x = Acos(ωt + φ)．
7
xt t
0
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
简谐运动能量守 恒，振幅不变
Ep
C
1 E kA2 2
简谐运动势能曲线
E
EkΒιβλιοθήκη EpAOB
x
A
x
8
第九章 振 动
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
例 质量为0.10 kg的物体，以振幅1.0 10 2 m 作简谐运动，其最大加速度为 4.0 m s 2 ，求： （1）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
二、 两个相互垂直的同频率的简谐运 动的合成 x A1 cos(t 1 )
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
第九章 振 动
3
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
9-4 简谐运动的能量
第九章 振 动
4
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
（1） 动能 (以弹簧振子为例) 1 2 1 2 Ek mv m A sin(t ) 2 2 1 2 2 2 m A sin (t ) 2
k m
2
m
O
第九章 振 动
x
X
5
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
1 2 1 2 （2） 势能 Ep kx kA cos2 (t ) 2 2 1 1 2 2 （3） 机械能 E Ek Ep m A kA2 2 2
线性回 复力是保守 力，作简谐 运动的系统 机械能守恒.
第九章 振 动
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
（2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ， 1, )
x
A1
x
2
o
o
T
t
x ( A2 A1 ) cos( t ) A A1 A2 2 1 (2k 1)π
第十章 波动
m
O x X
6
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
x, v
o
能量
简谐运动能量图
o
T 4
T 2
x A cost T v A sin t vt 1 2 E kA 2 1 2 2 Ep kA cos t 2 3T T t 1 2 2 2 Ek m A sin t 4 2
第九章 振 动
A
A2
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
小结 （1）相位差 2 1 2k π
(k 0 ， 1 ， )
加强
A A1 A2
A A1 A2
1 ， ) （2）相位差 2 1 (2k 1) π (k 0 ，
减弱 （3）一般情况 A1 A2 A A1 A2
2
x 5cos t 2
2
第九章 振 动
物理学
第五版
9-3 单摆和复摆
(b)由图(b)知 A=6m，x0>0，v0>0
t1=1s ，x1=0，
3
由旋转矢量可求出：
5 t1 3 2 6
=5/6
5 x 6cos t 3 6
第五版
9-3 单摆和复摆
1、简述符合什么规律的运动是简谐运动
当质点离开平衡位置的位移`x`随时间`t`变化的规律， x A cost 时，该质点 遵从余弦函数或正弦函数 的运动便是简谐振动。或：位移x与加速度a的关系为 正比反向关系。
2、怎样判定一个振动是否简谐振动？写出简谐振动 的运动学方程和动力学方程。
2
（4）Ek Ep 时
Ep 1.0 10 3 J
由
x
2
1 2 1 Ep kx m 2 x 2 2 2
2 Ep m
2
0.5 10 4 m2
第九章 振 动
x 0.707 cm
11
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
9-5 简谐运动的合成
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
一 两个同方向同频率简谐运动的合 成
设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
A2
2
O
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
x2
1
x1
A1
x
两振动的位相差 2 1 =常数
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
x x1 x2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A A1 sin 1 A2 sin 2 A2 tan 2 A1 cos1 A2 cos 2 A
2 2
x A cos( t )
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
用旋转矢量描绘振动合成图
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
第十章 波动
物理学
第五版
10-1 机械波的几个概念
四 的合成
两个同方向不同频率简谐运动
第十章 波动
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10-1 机械波的几个概念
当t = 0时，x = 0，可得：φ = ±π/2
由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为：
x 5 10 cos(40t ) 2
第九章 振 动
34
2
2
2
第十章 波动
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10-1 机械波的几个概念
x 2 y 2 2 xy 讨 2 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 论 A1 A2 A1 A2 y
2 1 0 或 2 π （1） A2 y x A1
A2
o
A1
x
2 1 π （2） A2 y x A1
（3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
第九章 振 动
9
物理学
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9-3 单摆和复摆
已知 m 0.10 kg，A 1.0 10 m， 2 amax 4.0 m s 求:(1)T ；(2) Ek,max
2
解（1）amax A
2
amax 1 20 s A
g
4、一质量未知的物体挂在一劲度系数未知的弹簧上 ，只要测得此物体所引起的弹簧的静平衡伸长量， 就可知该弹簧振子的振动周期，为什么？ m 答案：因为 T 2 ，若知伸长量为 l ，则 k l 有 mg kl ，于是 T 2 g