高考数学基础知识训练(7)
高考数学复习第7讲基本不等式-
应用数学思想
思想：方程与函数思想 数形结合思想 等价转换思想 分类讨论思想等
基础知识回想
1、算术平均数：如果a,b R ，那么
正数的算术平均数。
ab 2
叫做这两个
2、几何平均数：如果 a,b R ，那么 ab 叫做这两个
2 2a b
2
( 2 1)(b a ) 1 ( 4b a 4) 4
a b 2 2a b
(当且仅当a=2b即a=4,b=2时取=)
3)由 2 1 1 ab
则
2
1
(
2 a
1 b
)2
1
ab
2
4
(当且仅当a=2b即a=4,b=2时取=)
2 1 ab 4
即ab 8 S
1 ab 4 2
法二 : 设直线方程:y 1 k(x 2) (k 0)
题“p 或 q”为真命题，命题“p 且 q”为假命题， 求实数 a 的取值范围.
2、解：命题 p 为真命题 函数 f (x) lg(ax2 x 1 a) 16
的定义域为 R ax2 x 1 a 0 对任意的 x 均成立 16
a 0 时， x >0 解集非 R ，即 a≠0；
a 0
1
，
x2 1
令u 2 x2 1 1 ， x2 1
则 u 2v 1 (v x2 1) ，由函数的单调性知 u 的最小值为 3， v
故 a 3 。 答案选 C。
例 2．命题 p:函数 f (x) lg(ax2 x 1 a) 的定义域为 R ； 16
命题 q:不等式 2x 1 1 ax 对一切正实数均成立.如果命
第7章 复数-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(必修第二册)
第7章 复数§7.1复数的概念1.复数：形式如(,)z a bi a b R =+∈的数叫复数，其中i 叫虚数单位，21i =-.a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.2.复数的分类复数(),z a bi a b R =+∈(0)(0,0)(0)(0,0)b a b b a b =⎧⎪=≠⎧⎨≠⎨⎪≠≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 3．复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.z a bi =+←−−−→一一对应复数复平面内的点(),Z a bz a bi OZ =+←−−−→一一对应复数平面向量4.复数的模向量OZ 的模叫复数(),z a bia b R =+∈的模或绝对值，即22b a bi a z +=+=. 5.共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示，z a bi =-.§7.2复数的四则运算1．复数的加、减运算及其几何意义（1）复数加减法：()()()()i d b c a di c bi a ±+±=+±+；（2）复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行：12,OZ OZ 分别对应复数,a bi c di ++，即()()12,,,OZ a b OZ c d ==，则()12,OZ OZ a c b d +=++对应复数()()a c b d i +++.2.复数的乘、除运算（1）复数的乘法：()()()()a bi c di ac bd bc ad i++=-++；（2）复数的除法()()()()2222a bi c dia bi ac bd bc adic di c di c di cd c d+-++-==+++-++.3.常见的运算规律(1);z z=2222(2);z z z z a b⋅===+。
高中数学选择性必修一 高考训练 练习习题 课时作业(七)
课时作业(七) 两点间的距离公式[练基础]1．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( )A ．1B ．－5C ．1或－5D ．－1或52．已知平面上两点A (x ，2－x )，B ⎝⎛⎭⎫22，0，则|AB |的最小值为( ) A ．3 B.13 C ．2 D.123．已知两直线l 1：x ＋y －2＝0，l 2：2x －y －1＝0相交于点P ，则点P 到原点的距离为( )A. 5 B ．5C. 2 D ．24．已知点M (－1,3)，N (5,1)，P (x ，y )到M ，N 的距离相等，则x ，y 满足的条件是( )A ．x ＋3y －8＝0B ．x －3y ＋8＝0C ．x －3y ＋9＝0D ．3x －y －4＝05．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与y ＝x 平行，则|AB |的值为( )A ．6 B. 6C. 2 D ．26．[多选题]等腰直角三角形ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A (0,4)，则点B 的坐标可能为( )A ．(2,0)B ．(6,4)C ．(0,2)D ．(4,6)7．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，则当|AB |取得最小值时，实数a 等于________．8．点P 与x 轴及点A (－4,2)的距离都是10，则P 的坐标为________．9．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________．10．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过点A 作直线l 2与直线l 1相交于点B ，且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[提能力]11．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．3＋2 3C ．6＋3 2D ．6＋1012．以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰非等边三角形D ．等腰直角三角形13．等腰三角形ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．14．在△ABC中，A(1,1)，B(3,1)，若△ABC是等边三角形，则点C的坐标为________．15．已知正方形ABCD中，E，F分别是BC，AB的中点，DE，CF交于点G，求证：|AG|＝|AD|.[培优生]16．已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P 在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则|PQ|的最小值为________．。
2021年高考数学 7.7 立体几何中的向量方法(一)——证明空间中的位置关系练习
2021年高考数学 7.7 立体几何中的向量方法(一)——证明空间中的位置关系练习——证明空间中的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx·天津模拟)若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(-2,0,-4),则( )A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α相交【解析】选B.因为n=-2a,所以a∥n,即直线l的方向向量与平面的法向量共线,这说明了直线与平面垂直.【误区警示】本题易由a∥n,误以为l∥α,而误选A.2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k等于( )A.2B.-4C.4D.-2【解题提示】α∥β等价于其法向量平行.【解析】选C.因为α∥β,所以==,所以k=4.【加固训练】若平面α,β垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是()A.n1=(1,2,1),n2=(-3,1,1)B.n1=(1,1,2),n2=(-2,1,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-1,2,1)D.n1=(1,2,1),n2=(0,-2,-2)【解析】选A.因为α⊥β,所以n1⊥n2,即n1·n2=0,经验证可知,选项A正确.3.(xx·锦州模拟)直线l的方向向量s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为()A.-2B.-C.D.±【解析】选D.由已知得s·n=0,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±.4.(xx·珠海模拟)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=,=(-1,-1,1),=-,·=·=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1)B.C. D.【解析】选C.由已知得A(,,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(x,x,1).则=(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1).设平面BDE的一个法向量为n=(a,b,c).则即解得,令b=1,则n=(1,1,).又AM∥平面BDE,所以n·=0.即2(x-)+=0,得x=,所以M.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x=.【解析】由α⊥β,得a⊥b.所以a·b=x-2+6=0,解得x=-4.答案:-47.(xx·兰州模拟)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量n=(-1,-1,-1).则不重合的两个平面α与β的位置关系是.【解析】由已知得,=(0,1,-1),=(1,0,-1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),则得得令z=1,得m=(1,1,1).又n=(-1,-1,-1),所以m=-n,即m∥n,所以α∥β.答案:平行【方法技巧】平面的法向量的求法1.设出平面的一个法向量n=(x,y,z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.2.注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和为.【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),所以=(x-1,0,1),又F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以=(1,1,y),由于AB⊥B1E,故若B1E⊥平面ABF, 只需·=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0⇒x+y=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.(xx·四平模拟)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG∥平面BEF.(2)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.【解析】(1)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E,F,G,因为=,=,而=,所以=+,故与平面BEF共面,又因为AG不在平面BEF内,所以AG∥平面BEF.(2)设M(1,1,m),则=(1,1,m),由·=0,·=0,所以-+m=0⇒m=,所以M为棱BB1的中点时,DM⊥平面BEF.10.(xx·泰安模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.(1)求证:CM∥平面PAD.(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.【证明】以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为PC⊥平面ABCD,所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,所以∠PBC=30°.因为PC=2.所以BC=2,PB=4.所以D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M,所以=(0,-1,2),=(2,3,0),=,(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,则即所以令y=2,得n=(-,2,1).因为n·=-×+2×0+1×=0,所以n⊥,又CM⊄平面PAD,所以CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E,并连接BE,则E(,2,1),=(-,2,1),因为PB=AB,所以BE⊥PA.又·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,所以⊥,则BE⊥DA.因为PA∩DA=A,所以BE⊥平面PAD,又因为BE⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角A1- AB- C是直二面角.求证:(1)A1B1⊥平面AA1C.(2)AB1∥平面A1C1C.【证明】因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,所以AA1⊥平面BAC.又因为AB=AC,BC=AB,所以∠CAB=90°,即CA⊥AB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量为n=(x,y,z),则即即取y=1,则n=(0,1,0).所以=2n,即∥n.所以A1B1⊥平面AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面A1C1C的一个法向量为m=(x1,y1,z1),则即令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).所以·m=0×1+2×(-1)+2×1=0,所以⊥m.又AB1⊄平面A1C1C,所以AB1∥平面A1C1C.(20分钟40分)1.(5分)平面α经过三点A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是()A. B.(6,-2,-2)C.(4,2,2)D.(-1,1,4)【解析】选D.由已知得=(2,1,1),=(3,-1,-1),设平面α的法向量为n=(x,y,z),则即解得令y=1,则n=(0,1,-1).经验算,对于选项A,B,C所对应的向量与法向量n的数量积均为零,而对于选项D,(-1)×0+1×1+(-1)×4=-3≠0,故选D.【一题多解】本题还可以采用如下方法:选D.对于选项A,因为=(1,-2,-2)=,所以选项A所对应的向量与平面α平行,同理可知选项B,C所对应的向量均与平面α平行,而对于选项D对应的向量与平面α不平行,故选D.2.(5分)(xx·太原模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.斜交B.平行C.垂直D.不能确定【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=a,所以M,N,所以=.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0),所以·=0,所以⊥.因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.【加固训练】如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM的位置关系为()A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对【解析】选C.以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,依题意,可得,D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0).所以=(,2,0)-(0,1,)=(,2,0)-(2,0,0)=(-,2,0),所以·=(,1,-)·(-,2,0)=0,即⊥,所以AM⊥PM.3.(5分)(xx·成都模拟)空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:①AD⊥MN;②MN∥平面CDE;③MN∥CE;④MN,CE异面.则所有的正确命题为.【解题提示】选,,为基向量,利用向量法,对四个命题逐一判断从中选择出正确命题.【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|且a·b=c·b=0.=-=(b+c)-(a+b)=(c-a),·=(c-a)·b=(c·b-a·b)=0,故AD⊥MN,故①正确;=c-a=2,故MN∥CE,故MN∥平面CDE,故②③正确;③正确时④一定不正确.答案:①②③4.(12分)(xx·辽宁高考)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点.(1)求证:EF⊥BC.(2)求二面角E-BF-C的正弦值.【解析】(1)如图,以点B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则B,A,D,C,从而E,F.所以=,=,因此·=·=0,所以⊥,即EF⊥BC.(2)平面BFC的一个法向量为n1=,设平面BEF的一个法向量为n2=,则由得令z=1得x=1,y=-,所以n2=,设二面角E-BF-C的大小为θ,则cosθ===,所以sinθ==,即所求二面角E-BF-C的正弦值为.5.(13分)(能力挑战题)已知一个三角形的简易遮阳棚△ABC(如图),AC=BC=5,AB=6,其中A,B是地面上南北方向的两个定点,正西方向射出的太阳(用点O表示)光线OCD与地面成30°,△ABD为光照遮阳棚产生的阴影.若点Q为AB的中点.(1)求证:AB⊥QD.(2)试问:遮阳棚△ABC与地面所成的角为多大时,才能保证阴影△ABD的面积最大.(3)在(2)的条件下,在线段AC上是否存在一点M,使BM⊥平面ACD,若存在,求出λ=的值,若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为AC=BC且AQ=BQ,所以AB⊥CQ,又AB⊥CD,所以AB⊥平面CQD,因为QD⊂平面CQD,所以AB⊥QD.(2)方法一:过点C作CH⊥QD于H,由AB⊥平面CQD得CH⊥AB,所以CH⊥平面ABD,即∠CDQ=30°,由正弦定理得=,又CQ=4,得QD=8sin∠QCD.当∠QCD=90°时,QD取最大值为8,阴影△ABD的面积最大值为24,此时∠CQD=60°,依题意∠CQD=60°就是遮阳棚△ABC与地面所成的角.方法二:过点C作CH⊥QD于H,由AB⊥平面CQD得CH⊥AB,所以CH⊥平面ABD即∠CDQ=30°,过点H作射线Hx平行BA作为x轴正半轴,射线HD,射线HC分别作为y轴正半轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,设∠CQD=θ,依题意得Q(0,-4cosθ,0),D(0,4sinθ,0),即QD=4sinθ+4cosθ=8sin(θ+30°),当∠CQD=θ=60°时,QD取最大值为8,阴影△ABD的面积最大值为24,依题意∠CQD=60°就是遮阳棚△ABC与地面所成的角.(3)方法一:由(2)知DC⊥CQ,又CD⊥AB,得DC⊥平面ABC,所以过点B在平面ABC内作BM⊥AC,得到DC⊥BM,所以BM⊥平面ACD,所以△ABC中AB×QC=AC×BM⇒BM=,所以Rt△BMA中得到AM=,所以CM=,所以λ==.方法二:过点H作射线Hx平行BA作为x轴正半轴,射线HD、射线HC分别作为y轴正半轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系,依题意得A(3,-2,0),D(0,6,0),C(0,0,2),B(-3,-2,0),设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z),由⇒n=(8,3,3),设=t,由=+=+t=(6-3t,2t,2t),根据∥n,得==⇒t=,所以=,=,所以λ==.【加固训练】如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上.当EM为何值时,AM∥平面BDF?证明你的结论.【解析】方法一:当EM=a时,AM∥平面BDF,以点C为原点,CA,CB,CF所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,a,0),A(a,0,0),D,F(0,0,a),E(a,0,a),因为AM⊄平面BDF,所以AM∥平面BDF⇔与,共面,所以存在实数m,n,使=m+n,设=t.因为=(-a,0,0),=(-at,0,0),所以=+=(-at,0,a),又=,=(0,a,-a),从而(-at,0,a)=m(0,a,-a)+na,-a,-a成立,需解得t=,所以当EM=a时,AM∥平面BDF.方法二:当EM=a时,AM∥平面BDF,在梯形ABCD中,设AC∩BD=N,连接FN,则CN∶NA=1∶2,因为EM=a,而EF=AC=a,所以EM∶MF=1∶2,所以MFAN,所以四边形ANFM是平行四边形,所以AM∥NF,又因为NF⊂平面BDF,AM⊄平面BDF,所以AM∥平面BDF.23164 5A7C 婼33965 84AD 蒭329500 733C 猼29584 7390 玐/ 34858 882A 蠪g 36559 8ECF 軏40216 9D18 鴘21463 53D7 受`。
高考数学基础知识专题提升训练7--- 集合的概念
高考数学基础知识专题提升训练集合的概念课程标准学科素养1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.通过对集合概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”的核心素养.[对应学生用书P1]知识点1 集合相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．(3)集合相等：构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．[微思考](1)本班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)一个集合中可以有相同的元素吗？提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)根据集合元素的互异性可知，集合中不能有相同的元素．知识点2 元素与集合的关系及常用数集(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(2)数学中一些常用的数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R [微体验]1．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A答案C2．用符号“∈”或“∉”填空．(1)1________N*；(2)－3________N；(3)13________Q；(4)π________Q；(5)－12________R.答案(1)∈(2)∉(3)∈(4)∉(5)∈知识点3 集合的表示方法(1)把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.(2)一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.[微体验]1．思考辨析(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )答案(1)×(2)×(3)√2．方程x2＝4的解集用列举法表示为( )A．{(－2,2)} B．{－2,2}C．{－2} D．{2}B[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]3．集合A＝{x∈Z|－2＜x＜3}的元素个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D[因为A＝{x∈Z|－2＜x＜3}，所以x的取值为－1，0,1,2，共4个．]][对应学生用书P2探究一集合的基本概念考察下列每组对象，能构成集合的是( )①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2020年第32届奥运会所设比赛项目．A．③④B．②③④C．②③D．②④B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合．][方法总结]判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[跟踪训练1] 考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2016年在校的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数，如“2”，是不是它的近似值，所以不能构成集合．探究二元素与集合之间的关系(1)下列所给关系中正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B[根据各数集的意义可知，①②正确，③④错误．](2)B[集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B．] [方法总结]判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．[跟踪训练2] (1)已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1∉A,2∈A，则( )A ．a ＞－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2 D [由题意可知⎩⎨⎧ 2×1＋a ≤0，2×2＋a ＞0，解得－4＜a ≤－2.](2)设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序数对(x ，y )的集合，则－1____D ，(－1,1)____D . 解析因为集合D 中的元素是有序数对(x ，y )，而－1是数，所以－1∉D ，(－1,1)∈D . 答案∉∈探究三 列举法表示集合用列举法表示下列给定的集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A ；(2)小于8的质数组成的集合B ；(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根组成的集合C ；(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D .解(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A ＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B ＝{2,3,5,7}．(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32，所以C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，32. (4)由⎩⎨⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝4.所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1,4)，所以D ＝{(1,4)}．[方法总结]列举法表示集合的步骤(1)分清元素：列举法表示集合，要分清是数集还是点集．(2)书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏．提醒：二元方程组的解集，函数的图象上的点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－1)}．[跟踪训练3] 用列举法表示下列集合．(1)由book 中的字母组成的集合；(2)方程(x －2)2＋|y ＋1|＝0的解集．解(1)由book 中的字母组成的集合为{b ，o ，k }．(2)由方程(x －2)2＋|y ＋1|＝0可知，⎩⎨⎧ x －2＝0，y ＋1＝0，即⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－1.从而方程的解集为{(2，－1)}．探究四 描述法表示集合用描述法表示下列集合．(1)所有正偶数组成的集合；(2)不等式3x －2＞4的解集；(3)在平面直角坐标系中，第一、三象限内点的集合．解(1)正偶数都能被2整除，所以正偶数可以表示为x ＝2n ，(n ∈N *)的形式． 于是这个集合可以表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)由3x －2＞4，得x ＞2，故不等式的解集为{x |x ＞2}．(3)第一、三象限中的点(x ，y )满足xy ＞0，于是这个集合可以表示为{(x ，y )|xy ＞0}．[变式探究] 若将本例(3)改为“坐标平面内坐标轴上的点组成的集合”，如何用描述法表示？解坐标平面内，x轴上的点纵坐标为0，横坐标为任意实数；y轴上的点横坐标为0，纵坐标为任意实数．故坐标轴上的点满足xy＝0.用集合表示为{(x，y)|xy＝0}．[方法技巧]描述法表示集合的步骤(1)确定集合中元素的特征．(2)给出其满足的性质．(3)根据描述法的形式写出其满足的集合.[跟踪训练4] 用适当的方法表示下列集合．(1)由大于5，且小于9的所有正整数组成的集合；(2)使y＝2－xx有意义的实数x的集合；(3)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(4)直线y＝x上去掉原点的点的集合．解(1)列举法：{6,7,8}．(2)描述法：{x|x≤2，且x≠0，x∈R}．(3)列举法：{(0,0)，(2,0)}．(4)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．[对应学生用书P4]1．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合就确定了．这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c 组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3．在用列举法表示集合时应注意(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．4．在用描述法表示集合时应注意(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．课时作业(一) 集合的概念[见课时作业(一)P]1351．下面有四个语句：①集合N*中最小的数是0；②－a∉N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；④x2＋1＝2x的解集中含有两个元素．其中正确语句的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3A[N*是不含0的自然数，所以①错误；取a＝2，则－2∉N，2∉N，所以②错误；对于③，当a＝b＝0时，a＋b取得最小值0，而不是2，所以③错误；对于④，解集中只含有元素1，故④错误．]2．如果A＝{x|x＞－1}，那么( )A．－2∈A B．{0}∈AC．－3∈A D．0∈AD[∵0＞－1，故0∈A.]3．集合A＝{x||x|＜2，x∈Z}用列举法表示正确的是( )A．{－2，－1,0,1,2} B．{－2，－1,1,2}C．{－1,0,1} D．{－1,1}C[因为|x|＜2，x∈Z，所以－2＜x＜2，故用列举法表示为{－1,0,1}．]4．(多选题)下列集合中表示数集的是( )A．{0} B．{y|y2＝0}C．{x|x＝0} D．{x＝0}ABC[A，B，C中的元素都是数，且只有一个元素0，D中的元素是式子x＝0.故D不是数集，A，B，C是数集．]5．P (1,3)和集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}之间的关系是________．解析集合A 是点集，P (1,3)的坐标满足集合A ，所以P ∈A .答案P ∈A6．用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ∈R ，y ∈R }＝________. 解析(x ＋2)2＋|y －3|＝0，只有x ＋2＝0与y －3＝0同时成立，即x ＝－2，y ＝3.集合A ＝{(－2,3)}．答案{(－2,3)}7．集合B ＝{1,3,4}，若a ∈B ，且8－a ∈B ，那么a 的值为________．解析当a ＝1时，8－a ＝7∉B 不满足题意．当a ＝3时，8－a ＝5∉B 不满足题意．当a ＝4时，8－a ＝4满足题意．所以a 的值为4.答案48．若两个集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，a ，b a ，B ＝{0，a 2，a ＋b }的元素相同，求a ＋b 的值．解依题意0∈A ，所以b ＝0.所以B ＝{0，a 2，a }，又1∈B ，且a ≠1.所以a 2＝1，所以a ＝－1，所以a ＋b ＝－1.9．用另一种方法表示下列集合．(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x |x ＝|x |，x ＜5，且x ∈Z }；(4){(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N *，y ∈N *}；(5){－3，－1,1,3,5}．解(1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．(3)∵x＝|x|，∴x≥0.又∵x∈Z，且x＜5，∴x＝0或1或2或3或4.∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．1．已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )A．0∉M B．2∈MC．－4∉M D．4∈MD[结合x，y，z的取值情况，可知当x＞0，y＞0，z＞0时，代数式的值为4，所以4∈M.]2．下列集合表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}B[A中两个坐标不同，C，D中一个点集一个数集．]3．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4A [当a ＝0时，1≠0，此时方程无解．当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0即a ＝4，此时满足A 中只有一个元素x ＝－12.]4．集合A ＝{1,4,9,16,25，…}，若m ∈A ，n ∈A ，则mΔn ∈A ，“Δ”是一种运算，则“Δ”可以是________．(①加法；②减法；③乘法；④除法)解析因为两个整数的平方的乘积必为一个整数的平方．所以③正确．答案③5．已知集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，a ∈P ，b ∈M ，设c ＝a ＋b ，则c 与集合M 有什么关系？解∵a ∈P ，b ∈M ，c ＝a ＋b ，∴设a ＝2k 1，k 1∈Z ，b ＝2k 2＋1，k 2∈Z .∴c ＝2k 1＋2k 2＋1＝2(k 1＋k 2)＋1.又k 1＋k 2∈Z ，∴c ∈M .6．(拓广探索)已知集合A 中的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A . (1)若a ＝2，求出A 中其他所有元素； (2)0是不是集合A 中的元素？请说明理由．解(1)由2∈A ，得1＋21－2＝－3∈A . 又由－3∈A ，得1－31＋3＝－12∈A .再由－12∈A ，得1－121＋12＝13∈A . 由13∈A ，得1＋131－13＝2∈A . 故A 中除2外，其他所有元素为－3，－12，13. (2)0不是集合A 中的元素．理由如下：若0∈A ，则1＋01－0＝1∈A ，而当1∈A 时，1＋a 1－a 不存在， 故0不是集合A 中的元素．。
压轴题型07 阿波罗尼斯圆问题(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题07阿波罗尼斯圆问题在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。
背景展示阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.如图，点B A ,为两定点，动点P 满足PB P A λ=，则1=λ时，动点P 的轨迹为直线；当1≠λ时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证明：设PB P A m m AB λ=>=,02）（．以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（0m A -），（0m B ．又设），（y x C ，则由PB P A λ=得:2222)()(y m x ym x +-=++λ，两边平方并化简整理得:）（）（）（）（222222211121λλλλ-=-++--m y x m x ，当1=λ时，0=x ，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当1>λ时，22222222)1(4)11(-=+-+-λλλλm y m x ，轨迹为以点)0,11(22m -+λλ为圆心，以122-λλm 长为半径的圆．○热○点○题○型隐形的阿波罗尼斯圆典型例题例1、如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NAMA NB MB =；②2NBMANA MB -=；③NBMANA MB +=其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）方法一可以改进为：这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难度.这是因为当圆O 的弦MN 绕定点A 旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编7-三角恒等变换(含解析)
五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编7-三角恒等变换（含解析）一、单选题1．（2022·北京·统考高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2．（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-3．（2022·全国·统考高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-4．（2021·北京·统考高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为985．（2021·全国·统考高考真题）22π5πcoscos 1212-=（ ）A ．12B C 2D 6．（2021·浙江·统考高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．（2021·全国·高考真题）若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ）A B C D 8．（2021·全国·统考高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，60A B C ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-约为（3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．4739．（2021·全国·统考高考真题）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A ．3π2B ．3π和2C ．6π2D ．6π和210．（2021·全国·统考高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．6511．（2020·山东·统考高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3B ．13-C ．3或13- D ．-3或1312．（2018·全国·高考真题）若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-13．（2018·全国·高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2π C ．πD ．2π14．（2018·全国·高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为415．（2018·全国·高考真题）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos23α=，则a b -= A ．15BCD ．116．（2019·全国·高考真题）已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD二、多选题17．（2022·全国·统考高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（ ）AB ．32CD18．（2021·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅三、填空题19．（2022·浙江·统考高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=__________，cos 2β=_________．20．（2020·北京·统考高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．21．（2018·全国·高考真题）已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________． 22．（2018·全国·高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．23．（2019·江苏·高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____.四、解答题24．（2022·天津·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ==-.(1)求c 的值； (2)求sin B 的值； (3)求sin(2)A B -的值.25．（2022·北京·统考高考真题）在ABC 中，sin 2C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．26．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+27．（2021·天津·统考高考真题）在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．28．（2021·浙江·统考高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.29．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．30．（2018·北京·高考真题）在ABC 中，17,8,cos 7a b B ===-．（1）求A ∠；（2）求AC 边上的高．31．（2018·浙江·高考真题）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455--，）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．32．（2018·北京·高考真题）已知函数()2sin cos f x x x x =.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，求m 的最小值.33．（2018·江苏·高考真题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．34．（2019·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 35．（2019·全国·高考真题）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．36．（2019·全国·统考高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 37．（2019·北京·高考真题）在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B –C ）的值．38．（2019·天津·高考真题） 在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.五、双空题39．（2022·北京·统考高考真题）若函数()sin f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．参考答案：1．C【分析】化简得出()cos2f x x =，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错.故选：C. 2．D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA ，PB ，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，因为1PC =，所以P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动， 设()cos ,sin P θθ，[]0,2θπ∈，所以()3cos ,sin PA θθ=--，()cos ,4sin PB θθ=--， 所以()()()()cos 3cos 4sin sin PA PB θθθθ⋅=-⨯-+-⨯- 22cos 3cos 4sin sin θθθθ=--+13cos 4sin θθ=--()15sin θϕ=-+，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以()415sin 6θϕ-≤-+≤，即[]4,6PA PB ⋅∈-； 故选：D3．C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=， 即：()()sin cos 0αβαβ-+-= 所以()tan 1αβ-=- 故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2πα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4π，排除D ；选C. [方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=+++++++=+（（）（）（）（）cos sin 44ππαβαβ+=+（）（） sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（）（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =0444πππαβαβαβαβαβ∴-+-+--+-（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即tan(）=-1,故选：C. 4．D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98. 故选：D. 5．D【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225cos cos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos6π==故选：D. 6．C【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则1111sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向. 7．A【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出8．B【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案．【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB 为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=所以210042''100(31)27362A B ⨯==≈-，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．【点睛】本题关键点在于如何正确将''AA CC -的长度通过作辅助线的方式转化为''100A B +．【分析】利用辅助角公式化简()f x，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sin cos3s3323234x x x xf xxπ=+=+⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x的最小正周期为2613T故选：C．10．C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cosθθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos2sin cossin1sin2sin sin cossin cos sin cosθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan422sin cos1tan145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2θ=-，求出sin,cosθθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．11．A【分析】利用余弦定理求出tan2C=，并进一步判断4Cπ>，由正弦定理可得sin()sinA C B+==【详解】222sincos tan222a b c CC Cab+-==⇒=，4Cπ∴>，2sin sin sina b cRAB C===，sin sin cos sin sin cosA B C C B AB∴⋅⋅+⋅⋅=，sin()sin22A C B∴+=⇒=4Bπ∴=，tan1B∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A. 12．B【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果. 详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题. 13．C【详解】分析:将函数()2f 1tanxtan xx =+进行化简即可详解：由已知得()221f sin2,1221()sinxtanx cosx sinxcosx x x k k Z sinx tan x c x osxππ⎛⎫====≠+∈ ⎪+⎝⎭+ ()f x 的最小正周期2T π2π== 故选C.点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 14．B【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+， 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==， 且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 15．B【分析】首先根据两点都在角的终边上，得到2b a =，利用2cos23α=，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得215a =，从而得到a =，再结合2b a =，从而得到2a b a a -=-，从而确定选项. 【详解】由,,O A B 三点共线，从而得到2b a =， 因为222cos22cos 1213αα⎛⎫=-=⋅-=，解得215a =，即a =所以2a b a a -=-=B. 【点睛】该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果. 16．B【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉． 17．AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到23b a =或2a b =，即可得解，注意就,M N 在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一M 、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为B ， 所以1OB F N ⊥，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的左支， OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=，由即3cos 5α=，则4sin 5α， 235NA NF 22a a ==， 21NF NF 2a -=532222a a b a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 52b e 2a =∴=， 选A 情况二若M 、N 在双曲线的两支，因为123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 所以OB a =，1OF c =， 1FB b =，设12F NF α∠=， 由123cos 5F NF ∠=，即3cos 5α=，则4sin 5α，235NA NF 22a a ==， 12NF NF 2a -= 352222a b a a +-=， 所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a ==选C[方法二]：答案回代法A e =选项特值双曲线())22121,F ,F 4x y -=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(y 2x =，两交点都在左支,N ⎛∴ ⎝，2112NF 5,NF 1,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，C e =选项特值双曲线())2212x y 1,F ,F 49-=∴，过1F 且与圆相切的一条直线为(2y x 3=，两交点在左右两支，N 在右支，N ∴，2112NF 5,NF 9,FF ∴===则123cos 5F NF ∠=，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ， 若,M N 分别在左右支，因为1OG NF ⊥，且123cos 05F NF ∠=>，所以N 在双曲线的右支， 又OG a =，1OF c =，1GF b =， 设12F NF α∠=，21F F N β∠=， 在12F NF △中，有()212sin sin sin NF NF cβαβα==+， 故()122sin sin sin NF NF cαββα-=+-即()sin sin sin a c αββα=+-，所以sin cos cos sin sin sin a cαβαββα=+-，而3cos 5α=，sin ac β=，cos b cβ=，故4sin 5α， 代入整理得到23b a =，即32b a =， 所以双曲线的离心率221312c b e a a ==+=若,M N 均在左支上，同理有()212sin sin sin NF NF c βαβα==+，其中β为钝角，故cos bc β=-， 故()212sin sin sin NF NF cβαβα-=-+即sin sin cos cos sin sin a c βαβαβα=--，代入3cos 5α=，sin ac β=，4sin 5α，整理得到：1424a b a ， 故2a b =，故251b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭故选：AC. 18．AC【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以221||cos sin 1OP αα=+=，222||(cos )(sin )1OP ββ=+-=，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以222221||(cos 1)sin cos 2cos 1sin 2(1cos )4sin 2|sin|22AP αααααααα=-+-++-==，同理222||(cos 1)sin 2|sin|2AP βββ=-+=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC19．45【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β． 【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=αα⎫=⎪⎪⎭sin θ=，cos θ=()αθ-∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.45. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin αα=210sin 90αα-+=，解得sin α=， 则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.45.20．2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+2，即可解出. 【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题. 21．32【分析】方法一：利用两角差的正切公式展开，解方程可得3tan 2α=. 【详解】［方法一］：直接使用两角差的正切公式展开因为5tantan tan 1444ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以5tan tan5tan 114tan 541tan 51tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，解之得3tan 2α=． 故答案为：32．［方法二］：整体思想＋两角和的正切公式551tan tan 1553445tan tan 15544211tan tan 544ππαππααππα⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--- ⎪⎝⎭． 故答案为：32．［方法三］：换元法＋两角和的正切公式 令54πθα=-，则1tan 5θ=，且54παθ=+．151tan tan5354tan tan 51421tan tan 145πθπαθπθ++⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭--．故答案为：32．【整体点评】方法一：直接利用两角差的正切公式展开，解方程，思路直接； 方法二：利用整体思想利用两角和的正切公式求出；方法三：通过换元法结合两角和的正切公式求出，是给值求值问题的常用解决方式． 22．12-【分析】方法一：将两式平方相加即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=-．［方法二］： 利用方程思想直接解出sin 1cos ,cos sin αβαβ=-=-，两式两边平方相加得1cos 2β=，则1sin 2α=．又cos sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1in()s 2αβ+=-．［方法三］： 诱导公式＋二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2πβαα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，则322k πβπα=++或32()2k k πβππα⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭Z ．若32()2k k πβπα=++∈Z ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k πααβπααα⎛⎫=+=++=-=-=- ⎪⎝⎭．若2()2k k πβπα=--∈Z ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=，得1sin 2α=． 又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-⎛⎫===-=- ⎪-⎝⎭，()2k k βαπ=-∈Z ，即22k απβ=-，则2()k k αβπα+=-∈Z ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβπαα+=-=-=-．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=，则cos()0αβ-=或sin()1αβ+=-．若cos()0αβ-=，则()2k k παβπ-=+∈Z ，即()2k k παβπ=++∈Z ．当k 为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-．当k 为奇数时，sin cos αβ=-，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾． 若sin()1αβ+=-，则2()2k k παβπ+=-∈Z ．则sin sin 2cos 2k παπββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解； 方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出； 方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出； 方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦． 23. 【分析】由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.【详解】由()tan 1tan tan tan 2tan 1tan 13tan 1tan 4αααααπααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-.sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα⎫+-+⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式22221221⎫⨯+-⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式22112133113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，sin 2410πα⎛⎫+=⎪⎝⎭【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题. 24．(1)1c =(2)sin B =(3)sin(2)A B -=【分析】（1）根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-以及2b c =解方程组即可求出； （2）由（1）可求出2b =，再根据正弦定理即可解出；（3）先根据二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，再根据两角差的正弦公式即可求出．【详解】（1）因为2222cos a b c bc A =+-，即22162b c bc =++，而2b c =，代入得22264c c c =++，解得：1c =．（2）由（1）可求出2b =，而0πA <<，所以sin A =sin sin a b A B =，所以2sin sin b A B a===．（3）因为1cos 4A =-，所以ππ2A <<，故π02B <<，又sin A =，所以1sin 22sin cos 24A A A ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，217cos 22cos 121168A A =-=⨯-=-，而sin B =cos B ==故7sin(2)sin 2cos cos 2sin 8A B A B A B ⎛-=-=+= ⎝⎭． 25．(1)6π(2)663【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【详解】（1）解：因为()0,C π∈，则sin 0C >2sin cos C C C =，可得cos C =，因此，6C π=.（2）解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABCS ab C a ===，解得a =由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=，c ∴=所以，ABC 的周长为6a b c ++=. 26．(1)5π8； (2)证明见解析．【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【详解】（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =．（2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．27．（I ）（II ）34；（III【分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c = （II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =2b =，2a c ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos24a b c C ab +-===；（III ）3cos 4C =，sin C ∴=，3sin 22sin cos 24C C C ∴===，291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1182=⨯=.28．（1）π；（2）1. 【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin 2y x =-，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎪⎭⎦⎝， 所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cos x x x x x x ⎫=⋅+=⎪⎪⎝⎭1cos 2222sin 224x x x x x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值129．（I ）3B π=；（II ）32⎤⎥⎝⎦ 【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ） [方法一]：余弦定理由2sin b A =，得22223sin 4a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=.结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=， 即444222222220a b c a c a b b c +++--=， 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=， 即()()22222a c b ac +-=，∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=.[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin b A =，结合正弦定理可得：2sin sin ,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-.结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤. 由临界状态（不妨取2A π=）可知a cb+=而ABC为锐角三角形，所以a cb+>由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++，222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭故cos cos cos A B C ++的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 622A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是313,22⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 30．（1）∠A =π3；（2）AC 边上的高为332．【分析】（1）方法一：先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠； （2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，即可解得AC 边上的高． 【详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理在ABC 中,∵21π43cos ,,π,sin 1cos 727B B B B ⎛⎫=-∴∈∴=-=⎪⎝⎭.由正弦定理得 783ππ,sin .,π,0,,.sin sin sin 2223437a b A B A A A B A π⎛⎫⎛⎫=⇒=∴=∈∴∈∴∠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭［方法二］：余弦定理的应用由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-．因为17,8,cos 7a b B ===-，代入上式可得3c =或5c =-（舍）．所以2221cos 22b c a A bc +-==，又(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义 在△ABC 中，∵sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A =+=+=311432727⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎝⎭=3314．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337142⨯=， ∴AC 边上的高为332．［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义如图1，由（1）得1cos 842AD AC A =∠=⨯=，则14737AB =-⨯=．作BE AC ⊥，垂足为E ，则333sin 322BE AB A =∠=⨯=，故AC 边上的高为332．［方法三］:等面积法由（1）得60A ∠=︒，易求43CD =1，作CD AB ⊥，易得4=AD ，即3AB =．所以根据等积法有11sin 22AC BE AB AC A ⋅⋅=⋅⋅⋅，即33BE =所以AC 33【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角； （2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出； 方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出； 方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出． 31．（Ⅰ）45；（Ⅱ）5665- 或1665.【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得sin α，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得cos α，再根据同角三角函数关系得()cos αβ+，最后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式求结果.【详解】详解：（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得4sin 5α=-，所以()4sin πsin 5αα+=-=.（Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭得3cos 5α=-，由()5sin 13αβ+=得()12cos 13αβ+=±.由()βαβα=+-得()()cos cos cos sin sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=. 点睛：三角函数求值的两种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的. 32．（Ⅰ）π ；（Ⅱ）π3.【分析】（I ）将()f x 化简整理成()sin()f x A x ωϕ=+的形式，利用公式2||T πω=可求最小正周期；（II ）根据[,]3x m π∈-，可求26x π-的范围，结合函数图象的性质，可得参数m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）()1cos211π1cos2sin 222262x f x x x x x -⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为π,3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦.要使得()f x 在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1.所以ππ262m -≥，即π3m ≥. 所以m 的最小值为π3.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负. 33．（1）725-；（2）211-【详解】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈．又因为()cos αβ+=()sin αβ+==因此()tan 2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--，因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+． 点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.34．（1）c =（2. 【分析】(1)由题意结合余弦定理得到关于c 的方程，解方程可得边长c 的值；(2)由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得cos B 的值，然后由诱导公式可得sin()2B π+的值.【详解】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得23=，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b=， 由正弦定理sin sin a bA B=，得cos sin 2B B b b =，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.35．（1）3A π=；（2）sin C =【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得1cos 2C C -=，然后结合辅助角公式可得64ππC =+，据此由两角和差正余弦公式可得sin C =【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-， 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-=， 由正弦定理可得：222b c a bc +-=， 2221cos 22b c a A bc +-∴==，()0,A π∈，3A π∴=.（2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦由（1）知，23B C π+=2b c +=，2sin 2sin 3πA C C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，1cos 2C C -sin 6C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又20,,,3662C C ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以64C ππ-=，即64ππC =+，则sin sin 64ππC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭[方法二]正弦定理+方程思想2b c +=，得sin 2sin B C A ==2sin C ， 代入22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，得23sin 2sin sin 4C C C ⎛⎛=- ⎝⎭⎝⎭，整理得24sin 10C C -+=，则sin C =由sin 2sin 0B C =>，得sin C >，所以sin C =[方法三]余弦定理令c t a=．由2,b c b c a =+>，得t >将2b c =代入222b c a bc +-=中，可得2230c a -+=，即2310t -+=，解得t =t =．所以sin sin c C t a A ===，从而sin C =[方法四]摄影定理因为2c b =+，所以1cos 45cos 602c b a b ︒=+=+︒， 由射影定理得()180456075C ∠=︒-︒+︒=︒，所以sin sin 75C ︒=． 【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解sin C 的值； 方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得sin C 的值； 方法三：利用余弦定理求得ct a=的值，然后结合正弦定理可得sin C 的值； 方法四：利用摄影定理求得C ∠的值，然后由两角和差正余弦公式求解sin C 的值； 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.36．(1) 3B π=;(2). 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCS ac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCSC 的值域.【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-， 此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos sin 2B a b A =．在ABC 中，由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==， 此时就有sin cossin sin 2B A A B =，即cos sin 2BB =， 再由二倍角的正弦公式得sin2sin cos 222B B B =，解得3B π=．[方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】 由解法1得sin sin 2A CB +=， 两边平方得22sinsin 2A C B +=，即21cos()sin 2A CB -+=． 又180A BC ++=︒，即cos()cos A C B +=-，所以21cos 2sin B B +=， 进一步整理得22cos cos 10B B +-=， 解得1cos 2B =，因此3B π=． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】 根据题意sinsin 2A Ca b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C A B A +=， 因为0A π<<，故sin 0A >， 消去sin A 得sinsin 2A CB +=．。
高考数学专题训练 (7)
专题训练71．已知集合{|{|12}M x y N x x ===+≤，且M 、N 都是全集I 的子集， 则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为A．{|1}x x ≤≤B ．{|31}z z -≤≤C．{|3z z -≤< D．{|1x x <≤ 2．已知1sin()43πα+=，则sin cos αα的值为A ．718-B ．79-C ．718D ．793．已知等比数列{}n a 的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是A ．数列{}n a 的各项均为正数B ．数列{}n a的项C ．数列{}n a 的公比必是正数D ．数列{}n a 中的首项和公比中必有一个4. 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称， 那么||ϕ的最小值为 A6πB4πC3πD2π5．如图为一个算法的程序框图，则其输出结果是（ A ）A ．0B ．2012C ．2011D ．16．已知ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤， 如果25=b ，则符合条件的三角形共有（ ）个 A ．124 B ．225 C ．300 D ．325 7．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为163)(22=-yxA . 1323)(22=-y xB .19648)(22=-yxC . 12412)(22=-yxD .9. 对于函数：①2)(+=x x f ；②2)2()(-=x x f ；③)2cos()(-=x x f .有如下两 个命题：命题甲：)2(+x f 是偶函数；命题乙：)(x f 在)2,(-∞上是减函数，在),2(+∞上是增函数.能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是)(A ①②. )(B ①③. )(C ②. )(D ③.10.在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为 A.（14，12） B.（-14，0） C.（0，14） D.（12，34）11.设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,则A.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B.()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称 D.()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称12．设方程0)21(=-x x的实根为1x ，方程0log 2=+x x 的实根为2x ，方程01log 2=-xx 的实根为3x ，则 A ．321x x x << B ．312x x x << C ．321x x x <= D ．321x x x ==13．函数xx x y )2ln(2++-=的定义域为 .14．已知两个等比数列{}{},n n a b 满足11122(0),1,2a a a b a b a =>-=-=，333b a -=，若数列{}n a 唯一，则a = ．15．双曲线2221()4xy b N b-=∈的两个焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，15,OP PF <、12F F 、2PF 成等比数列， 则2______b = .16、如图，某几何体的正视图（主视图） 是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图 都是矩形，则该几何体的体积为 。
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备考高考数学基础知识训练（7）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题（每题5分，共70分）1. 某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一抽取的人数是 ．2. 函数y ＝25x -的单调递增区间为 ．3. 若bi i i +=⋅-44)2(（其中i 是虚数单位，b 是实数），则b = ．4. 已知集合{}{}512,0342<+=<+-=x x N x x x M ，则N M ＝ ．5. 已知|a |=3,|b |=5，如果a ∥b ，则a ·b = ．6. 已知幂函数)()(12Z m x x f m ∈=-的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数)(x f 的解析式是 ．7. 幂函数的图象过点(2,14), 则它的单调递增区间是 ．8.若曲线32143y x bx x c =+++上任意一点处的切线斜率恒为非负数，则b 的取值范围为 ．9. 若三角形内切圆半径为r,三边长为a,b,c,则三角形的面积)(21c b a r S ++=,根据类比思想,若四面体内切球半径为R,四个面的面积为S 1,S 2,S 3,S 4,则四面体的体积V= ．10. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，每次运费为4万元，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x = 吨．11. 函数y ＝21m x +在第一象限内单调递减，则m 的最大负整数是________．12. 定义运算“*”如下：,,,*2⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a 则函数∈-⋅=x x x x x f ()*2()*1()(])2,2[-的最小值等于 ．13. 如图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4(从左至右)出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推．则第99行从左至右算第3个数字是 ．14. 已知幂函数y =f 1（x ）的图象过点（2，4），反比例函数y =f 2（x ）的图象与直线y =x 的两个交点间的距离为8，f （x ）=f 1（x ）+f 2（x ）．则函数f （x ）的表达式是________．二、解答题（共90分，写出详细的解题步骤）15．（14分）设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}2|(1)0B x x m x m =+++=；若φ=B A C U )(，求m 的值．16 （14分） 求值：000001cos201sin10(tan5)2sin 20tan5+--．17.（15分） 已知函数.,2cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象18. （15分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成 等比数列，3cos 4B =， 求（1）11tan tan A C+的值； （2）设32BA BC ⋅=，求a c +的值.19. （16分）已知不等式230{|1,}x x t x x m x R -+<<<∈的解集为（1）求t ，m 的值；（2）若函数2()4f x x ax =-++在区间(],1-∞上递增，求关于x 的不等式2log (32)0a mx x t -++-<的解集．20．（16分）已知函数[].2,0,334)(2∈+=x x x x f （1）求)(x f 的值域；（2）设0≠a ，函数[]2,0,31)(23∈-=x x a ax x g 。
若对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x ，使0)()(21=-x g x f ；求实数a 的取值范围．参考答案：1.解析：高一抽取的人数为1560072068060050=⨯++． 答案：152. 答案：（－∞，0）．3. 解析：∵i i i i i 84484)2(2+=-=⋅-，∴由已知得bi i +=+484，∴8=b ． 答案：84.解析：∵0342<+-x x 的解为31<<x ，512<+x 的解为2<x ，∴N M ＝{}3<x x ． 答案：{}3<x x5. 解析：根据平行向量的概念知a 、b 的夹角为0°或180°，∴a ·b =150cos 530=⨯⨯，或a ·b =15180cos 530-=⨯⨯．答案：15±6. 解析：因为函数的图象与x 轴，y 轴都无交点，所以012≤-m ，解得11≤≤-m ；又因为图象关于原点对称，且Z m ∈，所以m=0；此时1)(-=x x f ．答案：1)(-=x x f ．7．解析：设幂函数()a f x x =，则124a =，得2a =-；∴2()f x x -=；∴它的单调递增区间是(－∞, 0) ．答案：(－∞, 0) ．8.解析：设点),(00y x 为曲线32143y x bx x c =+++上的任意一点， 则该点处的切线斜率为420200++='=bx x y x x ； ∴由已知得042020>++bx x 对R x ∈∀0恒成立；∴01642<-=∆b ，解得-2≤b ≤2．答案：-2≤b ≤29. 解析：类比得V=)(314321S S S S R +++． 答案：)(314321S S S S R +++ 10. 解析：一年的总运费与总存储费用之和为16044400244400=⨯⨯≥+⨯=x x y ，（当且仅当x x44400=⨯，即20=x 时160=y ）；∴要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =20．答案：2011. 解析：函数y ＝21m x +即为幂函数(2)m y x -+=，∵它在第一象限内单调递减，∴(2)0m -+<，解得2m >-；∴m 的最大负整数是m ＝－1．答案：－1．12. 解析：由已知得⎩⎨⎧≤<-⋅≤≤--⋅=-⋅=)21(,2)12(,21)*2()*1()(2x x x x x x x x x f ；结合函数的单调性得)(x f 的最小值等于4-．答案：4-13. 解析：前98行一共已出现了48512)981(9898321=+=++++ 个数字，前99行一共出现了49502)991(9999321=+=++++ 个数字，而第99行的数字从左至右是由大到小出现的，即依次为4852,,4948,4949,4950 ，∴第99行从左至右算第3个数字是4948．答案：494814．解析：由已知，设f 1（x ）=x n ，由f 1（2）=4，得n =2；∴f 1（x ）=x 2．设f 2（x ）=xk ，则其图象与直线y =x 的交点分别为A ，B ）；且0k >；由AB =8，解得k =8；∴f 2（x ）=x 8，∴f （x ）=x 2+x8． 答案：f （x ）=x 2+x 8．15.解：{}2,1A =--，由(),U C A B B A φ=⊆得，当1m =时，{}1B =-，符合B A ⊆； 当1m ≠时，{}1,B m =--，而B A ⊆，∴2m -=-，即2m = ∴1m =或216、解：原式2000000002cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5=-- 000000cos10cos102sin 202cos102sin102sin10-=-= 0000000000cos102sin(3010)cos102sin 30cos102cos30sin102sin102sin10---+==0cos302==17．解：sin 2sin()2223x x x y π=+=+（1）当2232x k πππ+=+，即4,3x k k Z ππ=+∈时，y 取得最大值|4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭为所求 （2）2122sin()2sin 2sin 232x x y y y x ππ=+−−−−−→=−−−−−−−→=右移个单位横坐标缩小到原来的倍3 12sin y x −−−−−−−→=纵坐标缩小到原来的倍18、解：⑴由3cos 4B =得，sin B == 由2b ac =及正弦定理得 2sin sin sin B AC =211cos cos sin()sin 1tan tan sin sin sin sin sin sin A C A C B A C A C A C B B +∴+=+==== ⑵由32BA BC ⋅=得3cos 2ca B ⋅= 3cos 4B = 2ca ∴=即22b = 由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得2222cos 5a c b ac B +=+=222()2549a c a c ac ∴+=++=+= 3a c ∴+=19、解：⑴ 不等式t x x +-32＜0的解集为{|1,}x x m x R <<∈∴⎩⎨⎧==+t m m 31得⎩⎨⎧==22t m ⑵ f(x)=44222a a x ++--）（在(,1]-∞上递增，∴1,22a a ≥≥ 又0log log )32()23(22＜x x a t x mx a +--++-= ，由2≥a ，可知0＜x x 322+-＜1由2230x x -<， 得0＜x ＜23 由22310x x -+> 得x ＜21或x ＞1 故原不等式的解集为{x|0＜x ＜21或1＜x ＜23}20、。