概率论与数理统计_排列组合知识的补充
概率论与数理统计基础知识和公式整理
第1章随机事件与概率A B=不可能同时发生，称事件A与事件互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
=且B互为逆事件，或对A BΦ，则(P B-A{ωω21,P) (2=ω1()(|)n i i P A P A B ==∑对全概率公式可以利用课堂讲解过的概率树来描述和分析。
设事件B 1,B 2,…,B n 及1(|))(|i n j j P A B P P A B ==∑此公式即为贝叶斯公式。
1=i 2n第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布的联合分布函数。
通过全平面上的区域来形}1z-)]n第四章随机变量的数字特征第五章大数定律和中心极限定理1（数理统计部分的知识都是从样本和样本统计量出发来分析总体的属性，例如：分析已知分布中的未知参数等）第六章数理统计的基本概念与抽样分布总体有相同分布的随机变量；观察之后，样本就是nk=2,3,.()},max{n n X X =常用统计量的基本性质~X N 221)~S χ-(X-第七章 参数估计,)mA θ=),,2∧m θ 即为参数n12,,,,)(;,)m i m P X θθθθ=∏=∂法的流程。
第八章 假设检验假设检验的基本步骤如下：1. 根据实际问题,提出原假设0H 及备择假设1H ；（可确定是单侧还是双侧假设检验）2. 依据实际条件构造检验统计量；（检验统计量不含任何未知参数且分布已知）3.对于给定显著性水平α，确定检验统计量的拒绝域；（拒绝域要与0H 为真时检验统计量的趋势相反）4.将样本值或者样本统计量的值代入检验统计量的表达式计算实际值，判断是否落入拒绝域，若落入拒绝域，则否定0H ，否则接受0H 。
04183概率论与数理统计(经管类)基础知识
D(aX b) a2 D( X )
,
D(Y ) [ x j E(Y )]2 p j
j
D( X ) [ x E( X )]2 f X ( x)dx
协方差与 相关系数
3、二维随机变量关系特征 协方差 cov(x,y) 相关系数 cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)
p j , i 1,2,
，
5、分布函数 F(x,y)的基本性质： ⑴ 0 F ( x, y) 1; 其中 x=h(y)为 y=g(x)的反函数 ⑵F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即当 x2>x1，F（x2,y）≥F(x1,y);当 y2>y1，有 F(x,y2) ≥F(x,y1); ⑶F(x,y)分别对 x 和 y 右连续，即 F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0); ⑷ F (,) F (, y) F ( x,) 0, F (,) 1. ⑸当 x
i 1 i i
k
n
f ( x) 0 ；
②
f ( x)dx 1。
xk x
③ P(a ；
X b) F (b) F (a) =
F ( x)
Pn(k ) Cn p k q nk
二、随机变量及其分布
④对于离散型随机变量，
F ( x)
p
⑤对于连续型随机变量，
2 2 N (, 2 ) ，则①aX+b～N(aµ+b,a σ ), ②(X-µ)/σ～N(0,1)
X X
b(n, p) P( )
概率论与数理统计公式解题方法
1、排列组合：)1)...(1()(!1)...1()1)...(1(m!m n m n +--=-=⨯-+--==m n n n m n n A m m m n n n A C m n 性质!10n A C C C C n n m n n m n n n n ====-2、事件运算律：①AB=BA ②A ∪B=B ∪A③ABC=A(BC)④A ∪B ∪C=A ∪(B ∪C)④A(B ∪C)=(A ∪B)(B ∪C)=(BC)∪A ⑤德摩根率：____________A ∪B =__A ∩__B ____AB=__A ∪__B⑥加法公式：P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)⑦减法公式：P(A-B)=P(A ___B)=P(A)-P(BA)⑧独立事件：P(AB)=P(A)*P(B)P(AB)=P(B)*P(AlB)=P(A)P(B)☆P(AlB)=P(A)↔A,B 独立⑨三个事件两两独立：P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个条件缺一不可，少了第四个就只有两两互相独立了3、条件概率：)()()(A P AB P A B P =乘法公式：)()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==,P(A)>0)()()()(AB C P A B P A P ABC P =4、全概率公式：∑==ni Bi A P Bi P A P 1)()()((B1,B2,......Bn ，是完备事件组)5、贝叶斯公式：)()()()i ()()i ()i (1A P ABi P Bi A P B P Bi A P B P A B P n i ==∑-6、切比雪夫不等式：[][][]εεεεε≥--=<->≤≥-)(1)()0()()(2X E X P X E X P X D X E X P 7、多项独立同分布，求总和怎样的概率。
数学中的排列与组合知识点总结
数学中的排列与组合知识点总结在数学中，排列和组合是两个重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，特别是在概率论、统计学和组合数学中。
本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。
一、排列的概念与性质排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。
排列的计算公式为：P(n, m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
排列的性质如下：1. 排列数P(n, m)满足如下关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有P(n, n) = n!，即n个元素的全排列数为n 的阶乘。
3. 当m>n时，P(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。
4. 当m=0时，P(n, m) = 1，即不取任何元素进行排列时，排列数为1。
二、组合的概念与性质组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，而不考虑元素的顺序。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行组合的方式记为C(n, m)。
组合的计算公式为：C(n, m) = n!/(m!(n-m)! )组合的性质如下：1. 组合数C(n, m)满足如下关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有C(n, 0) = C(n, n) = 1，即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。
3. 当m>n时，C(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。
4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系：C(n, m) = P(n, m)/m!三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列和组合在概率计算中有广泛的应用。
《概率论与数理统计》第一章知识小结
附加知识： 排列组合知识小结： 一、计数原理1.加法原理：分类计数。
2.乘法原理：分步计数。
二、排列组合1.排列数（与顺序有关）：)(),1()2)(1(n m m n n n n A m n ≤+---= !n A nn =，n A A n n==10,1 如：25203456757=⨯⨯⨯⨯=A ，12012345!5=⨯⨯⨯⨯= 2.组合数(与顺序无关)：!m A C mn m n=，mn n m n C C -=如：3512344567!44747=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==A C ，2112672757757=⨯⨯===-C C C3.例题：（1）从1，2，3，4，5这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___6034535=⨯⨯=A ____种取法。
（2）从0，1，2，3，4这五个数字中，任取3个数字，组成一个没有重复的3位数，共有___483442414=⨯⨯=A A ____种取法。
（3）有5名同学照毕业照，共有__1201234555=⨯⨯⨯⨯=A _种排法。
（4）有5名同学照毕业照，其中有两人要排在一起，那么共有_48)1234()12(4422=⨯⨯⨯⨯⨯=A A ___种排法。
（5）袋子里有8个球，从中任意取出3个，共有___38C ____种取法。
（6）袋子里有8个球，5个白球，3个红球。
从中任意取出3个，取到2个白球1个红球的方法有___1325C C ____种。
3887656321C ⨯⨯==⨯⨯第一章、基础知识小结一、随机事件的关系与运算 1.事件的包含设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含于A ，记作B A ⊂。
2.和事件事件“A,B 中至少有一个发生”为事件A 与B 的和事件，记作B A 或B A +。
性质：（1）B A B B A A ⊂⊂, ；（2）若B A ⊂，则B B A =3.积事件：事件A,B 同时发生，为事件A 与事件B 的积事件，记作B A 或AB 。
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
高中数学中的排列与组合重要知识点详解
高中数学中的排列与组合重要知识点详解排列与组合是高中数学中的重要知识点之一，它们在概率统计、数论以及实际问题中的应用非常广泛。
本文将详细介绍排列与组合的相关概念、性质以及应用。
一、排列的概念与性质排列是指从给定的元素中选取一部分按照一定的顺序进行排列，其结果不同于组合。
在排列中，每个元素只能使用一次，且不同的顺序会形成不同的排列。
1. 重复排列重复排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列，但允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行重复排列的可能数可以表示为n^r。
2. 不重复排列不重复排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列，但不允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行不重复排列的可能数可以表示为A(n, r)或nPr，计算公式为A(n, r) = n!/(n-r)!。
二、组合的概念与性质组合是指从给定的元素中选取一部分，不考虑其顺序，将其组成一个集合。
在组合中，不同顺序的元素组合形成的结果是相同的。
1. 重复组合重复组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合，允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行重复组合的可能数可以表示为C(n+r-1, r)或C(n+r-1, n-1)，计算公式为C(n+r-1, r) = (n+r-1)! / (r!(n-1)!)。
2. 不重复组合不重复组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合，不允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行不重复组合的可能数可以表示为C(n, r)或nCr，计算公式为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!。
三、排列与组合的应用排列与组合既有理论上的意义，也有广泛的实际应用。
1. 概率统计排列与组合在概率统计中经常用来计算样本空间的大小，从而计算概率。
例如，在抽取彩票号码、扑克牌的发牌问题中，可以利用排列与组合的知识来计算可能的结果数量。
2. 数论排列与组合也在数论中有重要的应用。
例如，在数论中，可能出现对排列和组合的计数问题，而排列与组合的知识可以帮助解决这些问题。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
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1 3 3 5 1 1 1 2 2 4
3)有重复排列: 从n个不同元素中有放回（可重复）地取m个
元素进行排列，称为可重排列，其总数为 nm 。 4.组合公式 1)从n个不同元素中不重复地选取m个元素，组成一组(不管 其顺序)，称为从n个不同元素中选取m个元素的组合。 则所有不同组合的总数为
排列组合概要
1.加法原理 设完成一件事有m种方式，第i 种方式有ni 种方法，则完 成这件事共有: n1＋n2＋……＋ nm 种不同的方法。
2.乘法原理
设完成一件事有m个步骤，第i 种步骤有ni 种方法，则完 成这件事共有: n1×n2 ×……×nm 种不同的方法。 3.排列公式 1) 从n个不同元素中不放回（不重复）地选取m个元素进行 排列，称为选排列，则所有不同排列的总数为
组m个，另一组n-m个，组内元素不考虑顺序，那么不同分法
的总数为：
n! m !( n m )!
2）多组组合：把n个不同元素分成k 组(1≤ k ≤ n) ，使第 i 组有ni 个元素，
n
i 1
k
i
n ，若组内元素不考虑顺序，那么
不同分法的总数为
n! n1 ! nk !
3）常用组合公式：
k n k k k C n C n k , C n 1 C n C n 1 ,
C
k n m
C Ci 0 i n源自kk i m,
C
i 0
n
i n
2 .
n
熟练运用排列组 合公式对求概率 问题很重要！
P 6 5 4 3 2 720 (个)
5 6
例: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四个， 问能组成多少个四位偶数? 解 组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或 4,可先选末位数,共 P
3 5 1 3 种,前三位数的选取方法有
P 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
n n ！ m Cn m！ m ) (n ！ m
选排列与选组合的关系：
A C m!
m n m n
例: 从10名战士中选出3名组成一个突 击队，问共有多少种组队方法？
解: 按组合的定义，组队方法共有
3 C10 120 （种）。
说明：选组合也等价于：如果把n个不同的元素分成两组，一
n ！ A (P ) n( n 1) ( n m 1) (n m ) ！
m n m n
2)当n=m 时，称为全排列，其计算公式为
n Pn An n ！
例: 从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个 组成五位数,问共能组成多少个五位数? 解 从六个不同数中任取五个组成五位数, 相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因 此,所有可能组成五位数共有