数列求和方法专题课
高考数学总复习6.4数列求和市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件
则 S2 017＝________．
【解析】 因为数列
an＝ncos
n2π呈周期性变化，观察此数
列规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4. 故 S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.
∴S2 017＝S2 016＋a2 017
＝2 0416×2＋2 017·cos2 0217π
＝1 008.
【答案】 1 008
…；a3，a6，a9，…分别成等差数列，且公差为2，
22/45
∴ S25 ＝ (a1 ＋ a4 ＋ a7 ＋ … ＋ a25) ＋ (a2 ＋ a5 ＋ … ＋ a23) ＋ (a3 ＋ a6 ＋ … ＋ a24) ＝ 1×9＋9×2 8×2 ＋ 2×8＋8×2 7×2 ＋ 3×8＋8×2 7×2＝233.
边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得．( )
7/45
(4)数列21n＋2n－1的前 n 项和为 n2＋21n.(
)
(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法
可求得 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝
44.5.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
21Tn＝12＋232＋253＋274＋295＋…＋2n2－n 1.② ①－②可得 21Tn＝2＋21＋212＋…＋2n1－2－2n2－n 1＝3－2n2＋n 3， 故 Tn＝6－22nn＋－13.
26/45
【方法规律】 用错位相减法求和时，应注意： (1)要善于识别题目类型，尤其是等比数列公比为负数情形 ； (2)在写出“Sn”与“qSn”表示式时应尤其注意将两式“错项对 齐”方便下一步准确写出“Sn－qSn”表示式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列公比为参数，应 分公比等于1和不等于1两种情况求解．
高三数列求和专题优质课
高三数列求和专题优质课一、导入部分（200字）在导入部分，可以通过提出一个生活中的实际问题或者引用一个有趣的数学故事来引起学生的兴趣。
例如：“小明每天都会在家门口摆放一些花瓶，第一天放1个，第二天放2个，第三天放3个，以此类推。
请问，如果小明连续摆放了n天，那么总共摆放了多少个花瓶呢？”二、知识讲解部分（800字）在知识讲解部分，可以详细介绍数列求和的概念和相关公式。
首先，解释什么是数列和数列的常见表示方法，如通项公式和递推公式。
然后，介绍等差数列和等比数列的求和公式，并给出相应的例子进行讲解。
最后，讲解其他特殊数列求和的方法，如等差数列的部分和和等差数列的交错求和。
三、例题分析部分（600字）在例题分析部分，选取几个具体的例题，对其进行详细分析和解答。
可以包括不同类型的数列求和问题，如等差数列的前n项和、等差数列的部分和、等差数列的奇数项和等。
通过逐步解题的方式，讲解解题思路和方法，并注重引导学生理解解题过程中的关键步骤和思想。
四、练习部分（300字）在练习部分，可以给学生一些练习题目，包括基础题目和提高题目。
基础题目可以用来巩固学生对数列求和公式的掌握和运用，而提高题目则可以用来拓展学生的思维和解题能力。
建议在课后布置这部分的题目，并在下节课进行讲解和答疑。
五、总结部分（100字）在总结部分，可以回顾本节课所学内容，并强调数列求和的重要性和实际应用价值。
同时，激发学生对数学的兴趣和学习的动力，鼓励他们在数学学习中勇于探索和思考。
通过以上的教学设计，可以帮助学生系统地学习和掌握数列求和的相关知识和技巧。
同时，通过例题分析和练习部分的设置，可以提高学生的解题能力和应用能力。
最重要的是，要注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，让他们在学习中体会到数学的乐趣和价值。
专题十一数列求和的常用方法
专题十一 数列求和的常用方法一、公式法①等差数列求和公式；②等比数列求和公式；③常用公式：)1(211+==∑=n n k S nk n ，)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n ，213)]1(21[+==∑=n n k S nk n二、．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.三、分组求和法：将数列分成可以求和的几组。
四．裂项相消法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. ①111(1)1n n n n =-++ ②1111(k)k k n n n n =-++（）③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++；④n n n n a n -+=++=111五．错位相减法：若}{n a 是等差数列，{n b }是等比数列，则数列{n n b a ⋅}的求和运用错位求和方法，这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.六．倒序相加法：将一个数列的倒数第k 项（k =1，2，3，…，n ）变为顺数第k 项，然后将得到的新数列与原数列相加，这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 七、通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
【课前热身】1、数列2， ,21,,814,413,2121-+n n 的前n 项之和为n n n+112122⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦（)（） 2、设5033171,)1(4321S S S n S n n ++⋅-++-+-=-则 = 1 ；3、数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+n-12），…的前n 项和等于n+12-2-n4、 已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,6512++=项和为n3n 3+（） 典型例题：例1、（1）求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值（2）求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 解：（1）设S n =89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++则S n =22222sin 89sin 88sin 87sin 2sin 1+++⋅⋅⋅++ ∴2S n =89，故S n =892（2）设T n =01n-13(21)(21)nn n n n C C n C n C ++⋅⋅⋅+-++，则T n =n-110(21)(21)3n n n n n n C n C C C ++-+⋅⋅⋅++∴2T n =01n-1n(22)n n n n n C C C C ⎡⎤+++⋅⋅⋅++⎣⎦=n(22)2n +⋅ ∴nn n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++注：本例是运用倒序相加法求和。
第讲数列的求和精选课件
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
数列求和的七种方法｜数列求和教案
数列求和是知识掌握的重点，下面是为大家带来的数列求和教案，希望能帮助到大家!数列求和教案篇一汉滨高中李安锋教学目标:知识目标①复习等差和等比数列的前n项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位相减的思想方法,及用数列求和公式求和时,应弄清基本量中各基本量的值,特别是用等比数列求和公式求和时,应关注公比q是否为1;②记住一些常见结论便于用公式法对数列求和;③学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
能力目标培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
情感目标培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界. 教学重点与难点教学重点等差等比数列求和及特殊数列求和的常用方法教学难点分析具体数列的求和方法及实际求解过程.教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式,培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力,借助幻灯片辅助教学,达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法(1)自主性学习法,(2)探究性学习法,(3)巩固反馈法,教学过程(一)情景导入复习回顾:等差数列和等比数列的前n项和公式?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 等差数列求和公式Sn?22(q?1)?na1? 等比数列求和公式Sna1(1?qn)a1?anq ?(q?1)?1?q?1?q 教师引导学生回忆数列几种常见的求和方法?①公式法②分组求和法③裂项相消法④错位相减法(充分发挥学生学习的能动性,以学生为主体,展开课堂教学)(二)自学指导若已知一个数列的通项,如何对其前n项求和?①an?3n ②an?3n?2n?1 ③an?n(n?1)④an?1 ⑤an?n?3n n(n?1)(通过学生对几种常见的求和方法的归纳、总结,结合具体的实例、简单回忆各方法的应用背景.把遗忘的知识点形成了一个完整的知识体系)巩固检测题(1) a?a2?a3?an?________(2) 1+3+5+?+(2n+1)=(3)12?22?32n2?(复习等差与等比数列的求和公式:(1)中易忘讨论公比是否为1(2)中易错项数(3)与(4)是为用公式法求和作铺垫.)(三)例题展示例设Sn=1-3+5-7+9++101 求Sn分析: 拆并项求和思路? Sn=(1-3)+(5-7)+(9-11)+(97-99)+101=?Sn=1+(-3+5)+(-7+9)+(-11+13)+(-99+101)=? Sn=(1+5++101)-(3+7++99)=意图通过一题多解,开阔学生的思维.，分析①②③培养学生的拆项求和与并项求和的意识, 比较分析①②思考应留下。
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
数列复习——数列求和 公开课精品课件
主讲老师：陈震
数列求和的方法：
1. 倒序相加法：
例1. 求和：
12
12 102
22 22 92
32 32 82
102 102 12
.
数列求和的方法：
1. 倒序相加法：
例1. 求和：
12
12 102
22 22 92
Hale Waihona Puke 32 32 82
(2) 化归法: 将已知数列的求和问题化为等 差数列、等比数列求和问题；
(3) 倒序相加法: 对前后项有对称性的数列 求和；
(4) 错位相减法: 对等比数列与等差数列组 合数列求和；
课堂小结
常用数列求和方法有：
(5) 并项求和法: 将相邻n项合并为一项求 和；
(6) 分部求和法：将一个数列分成n部分 求和；
数列求和的方法：
4. 裂项法求和：
例6. 求和:
1
1
1
2
1
1 2
3
1
2
1
n
.
数列求和的方法：
4. 裂项法求和：
例7. 求数列 1 , 1 , ,
1 2 2 3
的前n项和Sn.
1
,
n n1
课堂小结
常用数列求和方法有：
(1) 公式法: 直接运用等差数列、等比数列 求和公式;
2 4 8 16
的前n项和.
数列求和的方法：
3. 分组法求和：
例4.
设正项等比数列{an}的首项
a1
数列求和的几种方法课件ppt
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
专题一-数列求和课件分组求和法
所谓特殊数列，指旳就是等差数列或等比数列；对 于特殊数列求和，采用公式直接求和即可。
必须记住几种常见数列前n项和
等差数列：
等比数列：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n
1)d 2
na1 q 1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
q
1
例1：已知数列{an}①若an=2n+3,求Sn.
②若 an 3 2n ,求Sn.
Sn=1+[(-3)+5]+[(-7)+9]+……+[-(2n-3)+(2n-1)] =1+（k-1）×2=n.
所以Sn=
n -n
(n为奇数） (n为偶数）。
求和旳思绪：
1.转化为等差或等比数列旳求和; 2.拆项分组求和法; 3.通项化归法求和:先看通项（怎样旳类 型）,或把通项公式先变形化简。
4.并项求和法。
)
n(2 2n)
1 4
1
1 2n
2
1 1
2
n(n
1)
1 2
1 2n 1
(2)
an
(xn
1 xn
)2
x2n
1 x2n
2
Sn
(x2
1 x2
2) (x4
1 x4
2)
(x2n
1 x2n
2)
(x2 x4
x
2n
)
(
1 x2
1 x4
1 x2n
)
2n
当x 1时， 当x 1时，Sn
S n x2
n n 2n
(1 x2n ) 1 x2
高考数列总复习数列求和省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
数列求和
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法 2.错位相减法 3.裂项抵消法 4.倒序相加法
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法：
知识要点
求数列旳前n项和Sn旳基本措施 ：
1.公式法： （1）直接法：直接由等差、等比数列旳求和公式求和，等
1 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)
6
2
1 n(n 1)(2n 1 9) 6
1 n(n 1)(n 5) 3
（公式求和法）
数列求和
例5.求 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn 旳值 解：设 Cn0 2Cn1 3Cn2 nCnn1 (n 1)Cnn x
(n 1)Cnn nCnn1 (n 1)Cnn2 2Cn1 Cn0 x
两式相加得：
（倒序相加法）
练 习：
1.
数列
1
1 2
，3
1 4
，5
1 8
，7 1 16
，，2n
1
1 2n
，
旳前n项之和
为Sn，则Sn旳值得等于( A )
(A)
n2
1
1 2n
(B)
2n2
n
1
1 2n
(C)
n2
1
1 2n-1
Sn
1 1 a
[(1
a)
(a
a3)
Hale Waihona Puke (a n 1a 2 n 1 )]
1 [(1 a an1) (a a3 a2n1)] 1 a
1 1 an [
1a 1a
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（ 3 ） .n s 1 1 4 ， 4 1 7 ， 7 1 1， 0， (3 n 2 1 )3 n ( 1 )
裂项相消关键是：将数列的每一项拆成二项或多项使数
列中的项出现有规律的抵消项，进而达到求和的目的。
方法总结：常见的拆项公式有：
(1)nn1＋1＝n1－n＋1 1；
(2)nn1＋k＝1k(n1－n＋1 k)；
(3)2n－112n＋1＝12(2n1－1－2n1＋1)；
(4)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
(5)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
(6) nn＋11n＋2＝12[nn1＋1－n＋11n＋2]；
4.错位相减法：
设数列{ a n } 是公差为d的等差数列（d不等于
例2：求下面数列的前n项和。
11 1
1
2 ,4 ,6 , 4 8 16
,2n2n1
变式训练：
：（1）求Sn a 1 a2 2 an n
（2）求数列 1 ， 1 2 ， 1 2 2 2 ， ， 1 2 2 2 2 n 1
的前n项和
规律概括：如果一个数列的通项可分成两项 之和（或三项之和）则可用分组求和法，在 本章我们主要遇到如下两种形式的数列.
1) qn )
1 q
a1 anq 1 q
(q
1)
③ 12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1)
6
④ 13 23 33
n3
n(n 1) 2 2
例1 求和：1+(1/ a)+(1/a2)+……+(1/an)
n1，
解：S
an+1
1
an1 an
a=1 a 1
注意：在求等比数列前n项和时， 当q不确定时要对q分q=1和q≠1两 种情况讨论求解。
答案： Sn=3 2 n 3 2n
知识梳理
课堂收获总结：
本节课我们学习了那些知识？
1.公式法
2.分组求和法
3.裂项相消法 4.错位相减法
数列求和思路
分析数 列通项
选择求 和方法
基本数 列求和
作业：
1．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，点n，Snn(n∈N*)均在函数 y＝3x－2 的 图象上．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝ana3n＋1，Tn 是数列{bn}的前 n 项和，求使得 Tn＜2m0对所有 n ∈N*都成立的最小正整数 m.
2. 已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，又a1＝b1 ＝1 ，a2b2＝2，a3 b3 = 7/4 ．
(1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式； (2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn
2.分组求和法：
Hale Waihona Puke 若数列{an} 的通项可转化为an bn cn
s s 的形式，且数列 {bn}、{cn}可求出前n项和
、
b
c
则
sn a1 a2 an
(b1 c1) (b2 c2 ) (bn cn )
(b1 b2 bn ) (c1 c2 cn )
sb sc
零），数列{ b n } 是公比为q的等比数列（q不等于
1），数列{ c n } 满足： cn anbn 则{ c n } 的前n
项和为： No
SnIcm1agce2c3 cn
a1b1a2b2a3b3 anbn
例4、求和Sn =1+2x+3x2+……+nxn-1 (x≠0)
变式训练：
求数列 12， 43， 85， 176， ， 22nn1的前n项和
知识梳理
1.公式法
数 2.分组求和法
列
求 3.裂项相消法
和
方 法
4.错位相减法
5.倒序相加法
6.奇偶并项法 7.绝对值法
8.周期法
……
1.公式法：
直接用求和公式，求数列的前n项和。
①等差数列的前n项和公式：Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
②等比数列的前n项和公式
Sn
na1(q a1(1
No 其一：通Im项a公g式e为： anAnBqnC
其二：通项公式为： anApnBqnC
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的 一些项可以相互抵消，从而求得其和．
例3：Sn
=
1
1×3
1 + 3×5 +…+
1 (2n-1)×(2n+1)
变式训练：
(1 )S n . 1 1 1 2 1 2 1 3 1 2 3 1 n