2014-2015年高一上学期数学第一次月考试卷(有答案)(10月)

一．选择题（每小题5分，共40分）
1．若直角坐标平面内不同的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图像上；②,P Q 关于原点对称，
则称点对[],P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”（注：点对[],P Q 与[],Q P 看作同一对“友好点对”）．若函数，则此函数的“友好点对”有（ ）对．
A ． 0
B ． 1
C ．2
D ．3 2．若函数()(0x
x
f x ka a
a -=->且)1a ≠在(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则()()
log a g x x k =+的图象是( )
3．函数()2
45f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数,则()1f 的取值范围是( ) A. ()125f ≥ B. ()125f = C. ()125f ≤
D. ()125f >
4．函数1
()322
x f x x =+-的零点所在的一个区间是( ) A ，0)
C ．(0，1)
D ．(1，2)
5．已知集合}12|{},1|{>=<=x
x N x x M ,则M N =（ ）
A ．φ
B ．}0|{<x x
C ．}1|{<x x
D ．}10|{<<x x
6．设函数2
()2360f x x x =-+，()()|()|g x f x f x =+，则(1)(2)(20)g g g +++=（ ）
A ．0
B ．38
C ．56
D ．112
7．已知集合{|14}M x x =<<，{1,2,3,4,5}N =，则M N =（ ） A ．{1,2,3,4} B ．{2,3} C ．{1,2,3} D ．{2,3,6}
8.已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++2342013
()1...2342013x x x x g x x =-+-+--,设函数()(F x f x =（ ）
A 、11
B 、10
C 、9
D 、8
二．填空题（每小题5分，共30分）
9．已知函数2log ,0,()2,
0,x x x f x x >⎧=⎨<⎩ 则1
()(2)4f f +-=______.
10．若函数()(0,1)x
f x a a a =>≠在[]2,1-上的最大值为4，最小值为m ，则m 的值是＿.
11．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x
f x =+.若()3f a =，则实数a 的值
为 . 12．若1
()2
x a f x x +-=
+在区间(2,)-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是____________.
13．已知函数1,()0,Z x N
f x x N
∈⎧=⎨
∈⎩，则((2))f f -= . 14．若函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图象过点（2，－1），且函数)(x f y =的图像与函数)
1,0(log ≠>=a a x y a 的图像关于直线x
y =对称，则)(x f = ．
三．解答题
15（14分）．数2
()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()2(2)x g x a x =-≤的值域为集合B ． （1）求集合A ，B ；
（2）若集合A ，B 满足A B B =,求实数a 的取值范围． 16(21分）．
e 为自然对数的底数，且当x>0时()3
f x ≥恒成立．
（Ⅰ）求()g x 的单调区间；
（Ⅱ）求实数a 的所有可能取值的集合； （Ⅲ）求证：()()4f x g x +>. 17(15分）．函数2
()ln f x x ax a x =+- （1）1a =时，求函数()f x 的单调区间; （2）1a >时，求函数()f x 在[1,]a 上的最大值.
高一数学测试答案
15．（Ⅰ）{|1,3}x x x <->或，{}|4y a y a -<≤- （Ⅱ）(,3]
(5,)-∞-+∞（Ⅲ）详见解析.
试题分析：（Ⅰ）确定定义域，求)(x g '，由 0)(>'x g 求得增区间，由 0)(<'x g 求得减区间；（Ⅱ）利用在区间D 上，)(x f a ≤恒成立，则min )(x f a ≤求解；（Ⅲ）利用构造法，构造新函数求解. 试题解析：(Ⅰ)()1x
g x e '=-,()00g x x '<⇒<,()00g x x '>⇒>， ()g x ∴的减区间是(,0)-∞,增区间是(0,)+∞.
(Ⅱ)()ln 3a f x x x x =+-
恒成立,即ln 3a
x x x
+-, 0x >,2ln 3a x x x x ∴+-恒成立.
设2
()ln 3,(0)h x x x x x x =+->,()ln 22h x x x '=+-, 由于()h x '在(0,)+∞上是增函数,且(1)0h '=,
(0,1)x ∴∈时,()0,()h x h x '<是减函数,(1,)x ∈+∞时,()0,()h x h x '>是增函数,
min ()(1)2h x h ∴==-,从而若2ln 3a
x x x x +-恒成立,必有2a
-.
又
2a
-,a ∴的取值集合为{}2-.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,()(0)1g x g =,即1x e x
-,当且仅当0x =时等号成立,
0x ∴>时,有1x e x >+.
2
()()ln x f x g x x e x
∴+=++2ln 1x x x >+++,
设2
()ln 1(0)F x x x x x
=+++>,
则2222
122(2)(1)
()1x x x x F x x x x x +-+-'=+-==,
当(0,1)x ∈时,()0,()F x F x '<是减函数, 当(1,)x ∈+∞时,()0,()F x F x '>是增函数,
()(1)4F x F ∴=,即()()4f x g x +>成立.
考点：导数法判断函数的单调性，恒成立，构造法.
17．（1）()f x 的减区间为1(0,)2，增区间为1(,)2
+∞. （2）1a >时，函数()f x 在[1,]a 上的最大值为2
()2ln f a a a a =-.
【解析】
试题分析：（1）首先确定函数的定义域，求导数，然后利用()0f x '<，可得减区间；利用()0f x '>，可
得增区间.（2）求函数最值的常用方法是，求导数，求驻点，计算驻点函数值、区间端点函数值，比较大小，得出最值.
试题解析：（1）1a =时，2
()ln f x x x x =+-的定义域为(0,)+∞
2111
()21(21)(21)(1)f x x x x x x x x x
'=+-
=+-=-+ 因为0x >，由()0f x '<，则1
02
x <<；()0f x '>，则12x >
故()f x 的减区间为1(0,)2，增区间为1
(,)2+∞
（2）1a >时，2
()ln f x x ax a x =+-的定义域为(0,)+∞
21
()2(2)a f x x a x ax a x x
'=+-=+-
设2
()2g x x ax a =+-，则()()g x f x x
'=
1a >，其根判别式280a a ∆=+>，
设方程()0g x =的两个不等实根12,x x 且12x x <，。