实数理论的建立
数学思想史论文习作推荐参考书目
数学思想史论文习作专题01．数系的扩充与奠基论数的起源。
论第一次数学危机产生的原因和影响。
论复数的起源。
论数系奠基的一般过程。
论实数理论的建立及其历史意义。
论皮亚诺建立自然数公理体系的历史意义。
主要参考文献（美）V.J.卡茨，《数学史通论》（第二版），李文林等译，高等教育出版社，2004（美）H.伊夫斯，《数学史概论》，欧阳绛译，山西人民出版社，1986；山西经济出版社，1993（美）H.伊夫斯，《数学史上的里程碑》，欧阳绛等译，上海科学技术出版社，1990 （美）T.丹齐克，《数——科学的语言》，苏仲湘译，通俗数学名著译丛，上海教育出版社，2000，2001（美）卡尔文·C·克劳森，《数学旅行家：漫游数王国》，袁向东、袁钧译，上海教育出版社，2001（美）约翰·塔巴克，《数——计算机、哲学家及对数的含义的探索》，王献芬、王辉、张红艳译，数学之旅，商务印书馆，2008（美）保罗·J·纳欣，《虚数的故事》，朱惠霖译，通俗数学名著译丛，上海教育出版社，2008（美）约翰·巴罗，《天空中的圆周率——计算、思维及存在》，苗华建译，中国对外翻译出版公司，2000（美）莫里斯·克莱因，《古今数学思想》，张理京、张锦炎、江泽涵等译，上海科学技术出版社，2002（美）兰佐斯，《无穷无尽的数》，吴伯泽译，北京出版社，1979王建午、曹之江、刘景麟编，《实数的构造理论》，人民教育出版社，1981朱求长，关于复数产生之说，《数学的实践与认识》，1981年第4期李文林主编，《数学珍宝──历史文献精选》，科学出版社，1998（美）M.克莱因，《西方文化中的数学》（1953），张祖贵译，复旦大学出版社，2004专题02．几何三大难题论几何三大难题的起源及其对希腊数学发展的影响。
论圆锥曲线概念的起源与发展。
论几何三大难题的历史地位。
主要参考文献（美）莫里斯·克莱因，《古今数学思想》，张理京、张锦炎、江泽涵等译，上海科学技术出版社，2002（美）Victor J.Katz（卡茨），《数学史通论》（第二版），李文林等译，高等教育出版社，2004（美）H.伊夫斯，《数学史概论》，欧阳绛译，山西人民出版社，1986；山西经济出版社，1993（美）H.Eves，《数学史上的里程碑》，欧阳绛等译，上海科学技术出版社，1990（美）约翰·塔巴克，《几何学——空间和形式的语言》，张红梅、刘献军译，数学之旅，北京：商务印书馆，2008吴文俊主编，《世界著名数学家传记》（上下集），科学出版社，1995，2003（美）E.T.贝尔，《数学精英》，徐源译，商务印书馆，1991李文林主编，《数学珍宝──历史文献精选》，科学出版社，1998（德）Felix Klein，《初等几何的著名问题》，沈一兵译，高等教育出版社，2005徐诚浩编著，《古典数学难题与伽罗瓦理论》，复旦大学出版社，1986H.Dorrie（德里），《100 个著名初等数学问题—历史和解》，上海科学技术出版社，1982钱曾涛，《你会不会三等分一角?》，中国青年出版社，1956，1984秦裕瑗，《一元代数方程纵横谈》，湖北教育出版社，1984梅向明、周春荔编著，《尺规作图话古今》，中学生数学视野丛书，湖南教育出版社，2000 邱贤忠、沈宗华，《尺规作图不能问题》，中学生文库，上海教育出版社，1983（美）M.克莱因，《西方文化中的数学》（1953），张祖贵译，复旦大学出版社，2004专题03．数形结合论数与形的关系在希腊数学中的演变。
实数理论的建立——基本序列方法
实数理论的建立——基本序列方法这个方法主要是由康托给出的。
回想判断数列是否收敛的柯西准则，称一个满足柯西准则的数列为基本序列。
从实数的有限或者无限小数的定义，不难验证：一个有理数可以用一个收敛的由有理数组成的数列的极限表示，比如这个数列的所有项都是这个有理数；一个无理数也可以用一个收敛的由有理数组成的数列的极限表示，比如对于a=√2，那么收敛到a的数列{a n}的各项可以是a1=1.4a2=1.41a3=1.414......因此，一个实数可以对应于一个基本序列。
于是定义基本数列的极限点为实数。
如果有两个基本序列，比如{a n}和{b n}，收敛于同一个极限点，那么，必有：当n→∞时a n-b n→0，康托称其为等价类。
这样，一个实数与一个有基本序列组成的等价类就一一对应了，定义是合理的。
下面我们证明√a·√b=√a·b，其中a和b为正实数。
令{a n}和{b n}分别为收敛到√a和√b的基本序列，容易验证{a2n}和{b2n}均为有理数列并且分别收敛到a和b，因为n→∞时a2n·b2n→a·b，因此{a2n·b2n}={(a n·b n)2}是确定实数(a·b)的基本序列，即{(a·b)}是确定实数√a·b的基本序列，这就证明了命题。
通过上面的论述，我们还可以得到这样一个基本事实：实数集合R不仅对于四则运算是封闭的，而且对于极限运算也是封闭的。
用基本序列的方法对于论证问题是有利的，但是就计算法则而言是没有新意的，特别是基本序列的等级类是令人费解的，因为我们无法知道这个类里的元素是什么，也无法知道这个类里的元素有多少，更不知道是否所有的等价类中的元素都是一样多。
为了把一件事情解释清楚，往往会带来更多的疑惑。
为了实数理论的完备，还有一个问题是需要解决的，就是实数与数轴上的点是否是一一对应的。
只有解决了这个问题，我们才能安下心来研究基于实数的所有数学理论。
数学与哲学张景中
≤数学与哲学≥一、“万物皆数”观点的破灭与再生——第一次数学危机与实数理论1、毕达哥拉斯学派：数是万物的本原。
数产生万物，数的规律统治万物。
万物皆数，就是万物皆可用自然数或分数表示。
2、毕达哥拉斯（也许是他的门徒）发现，2既不是自然数，也不是分数。
2又是什么?他是不是数？不是数，它为什么能表示确定的集合量？是数，为什么求不出它的准确值。
3、任何两个分数无论多么近，居然还不能表示出线段上某些点的长度。
数的万能的力量被否定，这便是所谓第一次数学危机。
（人们发现了无理数，又不敢承认它是数）4、电影实际上是由许多不同的画面构成的，它不是连续变化的，但因为相继的两个画面相差甚微，我们便以为它是连续的了。
莱布尼茨提出“连续性定律”，认为世界上的连续性是用无穷小量来定义的一个理想概念。
5、戴德金与康托几乎同时提出了实数理论。
6、辩证法认为一切事物都包含着矛盾，即“一分为二”.也许，这正是因为事物的变化归根结底可以用数量的变化来描述。
而数量变化，分解到每一维上，无非是增加与减少。
表现出来，当然是矛盾的双方，而不是三方或多方。
二、那种几何才是真的1、选择一些不加证明而承认下来的命题作为基本命题。
把这些基本命题叫做公理或公设。
公理是许多学科都用到的量的关系，如“与同一物相等的一些物，它们彼此相等”，“全量大于部分”，等等。
而公设则是专门为了几何对象而提出的。
有五条公理和五条公设。
2、公设：①从一点到另一点可作一条直线；②直线可以无限延长；③已知一点和一距离，可以该点为中心，以该距离为半径作一圆；④所有的直角彼此相等；⑤若一直线与其他两直线相交，以致该直线一侧的两内角之和小于两直角，则那两直线延伸足够长后笔相交与该侧。
三、变量∙无穷小∙量的鬼魂1、赫拉克利特说：人不能两次踏入同一条河流，因为河水在流动，当人第二次踏进同一条河流时，已经不是第一次踏进时的河水了。
他用这个生动的比喻说明万物皆在不断变化之中。
但严格讲起来，概念上却是不清楚的。
第一次数学危机
第一次数学危机起源毕达哥拉斯的数是指，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。
他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。
这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
不可通约性的发现引起第一次数学危机。
有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。
不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。
不管怎样，这个发现对古希腊的数学观点有极大的冲击。
这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之数却可以由几何量表示出来。
整数的尊崇地位受到挑战，于是几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。
同时这也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。
从此希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系，这不能不说是数学思想上一次巨大革命，这也是第一次数学危机的自然产物。
解决无理数的发现，引起了第一次数学危机。
首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。
其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。
在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。
由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。
“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。
但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。
泰奥多勒斯指出，面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。
随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
数学史上的三次危机
数学史上的三次危机
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S t
gt0
1g(t) 2
（*）
如果是0，上式左端当t 成无穷小后分母为0，就
没有意义了。如果不是0，上式右端的1 g ( t ) 就不能
2
任意去掉。
在推出上式时，假定了 t 0才能做除法，所以
上式的成立是以 t 0为前提的。那么，为什么又
可以让 t 0而求得瞬时速度呢？
因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从
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而且，随着时间的推移，研究范围的扩大， 类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级 数的时候，做出许多错误的证明，并由此得 到许多错误的结论。由于没有严格的极限理 论作为基础。数学家们在有限与无限之间任 意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。
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因此，进入19世纪时，一方面微积 分取得的成就超出人们的预料，另一方 面，大量的数学理论没有正确、牢固的逻 辑基础，因此不能保证数学结论是正确无 误的。
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一、第一次数学危机
第一次数学危机是由 2 不能写成两 个整数之比引发的，我们在第一章已专 门讨论过，现再简要回顾一下。
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这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现 2 不能表为整数比。
其实质是： 2 是无理数，全体整数之比
黎曼还造出一个函数，当自变量取 无理数时它是连续的，当自变量取有理 数时它是不连续的。
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黎曼
1826年9月17日，黎曼生于德国 北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是 一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上 学，14岁进入大学预科学习，19岁 按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读 哲学和神学， 1847年，黎曼转到柏 林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、 施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年 重回哥廷根大学攻读博士学位，成为 高斯晚年的学生。
实数的产生及发展历史
实数的产生及发展历史阐述实数的诞生和发展历史实数是数学领域中的一个重要概念，它描述的是实际存在的所有数字，包括有理数和无理数。
它的发展可以追溯到古埃及文明，由此数学的科学化发展开始。
古埃及文明早在3000年前，已发明了能用来表示实数的系统。
这种系统采用十进制，通过以表块为代表的硬币，能够很好地表示实数。
据称，古埃及文明是第一种使用十进制表示实数的文明。
在古希腊文明，有著名的几何学家苏格拉底和厄泽罗，于公元前400年建立了几何研究的理论基础。
他们的研究建设的几何学，为数学的后续发展奠定了基础。
同时，他们也完善了古埃及文明的实数表示系统，引入了无理数的概念，能够很好的用来表示形状的直线、圆及曲线。
在欧洲，实数的应用十分盛行，但此时无法表示所有的数字，以至于不能一致写出一些问题的答案。
直到14纪末新数学（新古典数学）的出现，才把新坡罗文明中早期发明的有理数、整数、分数等整合在一起，形成了完整的实数体系。
15世纪出现的新的实数体系，引入很多新的知识，能表示高精度的运算，甚至能够对无理数问题进行运算，重塑了实数体系。
15纪末，19纪法国数学家巴塞尔继续提出有理数、算术运算等数学技术，他的尼科彻斯定理又被称为实数理论的开端，因为它可以用来证明实数系统是有界的，这为进一步系统研究实数体系提供了基础。
同时，19世纪德国数学家赫尔巴特还提出了以冗余十进制表示实数的系统，能够有效的解决运算实数时的误差问题。
自从20世纪以来，实数的应用变得更加广泛，其中，像浮点数运算技术及矩阵理论等，都把实数的应用拓展到了更为广泛的领域。
因此，实数的功能表现出前所未有的强大，它不仅能够完成大量运算，而且可以解决现实生活中的许多数学问题。
从古埃及。
数系发展
6. 数集的地位
数学之比喻
数学像游戏，离不开 道具和规则。 数学中，各种集合是 道具，而在各种集合上赋 予的各种结构是规则。
6. 数集的地位
数学之比喻
数学像演戏，离不开 演员和剧本。 数学中，各种集合是 演员，演员被分配了角色 才能演戏。
6. 数集的地位
在这里：
数集 就是数学的一种道具， 要在其上赋予
1843 年爱尔兰数学家哈 密尔顿 发现有序四元实 数组完全可以组成一个 数系 —— 叫“四元数”， 这是一个乘法不满足交 换律的数系。
哈密尔顿 （Hamilton, William Rowan, 1805—1865）
3. 超复数的产生
1847 年 ， 英 国 数 学 家凯莱进一步发现了 八元数。这个数系的 乘法不满足交换律， 也不满足结合律。
一天，该旅馆所有的客房已满。这时，
又来了一位客人坚持要住下来。……
数系扩充概述
1. 实数系扩充历史
自然数是“数”出来的，其历史最早 可以追溯到五万年前。
1. 实数系扩充历史
分数（有理数）是“分”出来的，早 在古希腊时期，人类已经对有理数有 了非常清楚的认识，而且他们认为有 理数就是所有的数。
4. 数系扩充的科学道理
自然数中减法产生0和负数， 整数系统；
整数中除法产生分数， 有理数系统； 负数中开方产生虚数， 复数系统。
自然数中开方产生无理数， 实数系统；
数系的每一次扩充， 基本都是运算的需要
1 实数的结构
5. 实数的结构
实数中正、负数、有理数都是容易被 认识的，而无理数则是神秘的、复杂 的、难以被认识的； 实数中，整系数代数多项式的根叫代 数数，例如，1，1/2，31/2，其中有理 数是整系数一次多项式的根； 实数中不是代数数的数叫超越数，例 如，，e。
数学史题目及一些资料
一、单项选择题(每小题2 分，共26 分)1．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927 的数学家是( ) B.祖冲之2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是( ) C.朱世杰3．就微分学与积分学的起源而言( ) A.积分学早于微分学4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是( ) D.《周髀算经》5．发现著名公式e iθ=cosθ+isinθ的是( )D.欧拉6．中国古典数学发展的顶峰时期是( ) D.宋元时期7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是( )。
A.莱布尼茨8．1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是( )B.波尔查诺9．古埃及的数学知识常常记载在（）。
A.纸草书上10．大数学家欧拉出生于（）A.瑞士11．首先获得四次方程一般解法的数学家是( ) D.费拉利12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（）D.开方术13．最早采用位值制记数的国家或民族是( )。
A.美索不达米亚二、填空题(每空1 分，共28 分)14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：相容性、_____、_____。
15．在现存的中国古代数学著作中，_____是最早的一部。
卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了_____的一般形式。
16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为_____三角，而数学史学者常常称它为_____三角。
17．欧几里得《几何原本》全书共分13 卷，包括有_____条公理、_____条公设。
18．两千年来有关_____的争议，导致了非欧几何的诞生。
19．阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了_____方程的一般解法，并用_____方法对这一解法给出了证明。
20．在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽，如开普勒的旋转体体积计算、巴罗的_____以及瓦里士的_____等。
数学史试题及答案
1．世界上讲述方程最早的著作是( A )A.中国的《九章算术》B.阿拉伯花拉子米的《代数学》C.卡尔丹的《大法》D.牛顿的《普遍算术》2．《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为( B )。
A.托勒玫B.帕波斯C.阿波罗尼奥斯D.丢番图3．美索不达米亚是最早采用位值制记数的民族，他们主要用的是( A ) A.六十进制B.十进制C.五进制D.二十进制4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著( B )。
A.《考工记》B.《墨经》C.《史记》D.《庄子》5．下列数学著作中不属于“算经十书”的是( A )。
A.《数书九章》B.《五经算术》C.《缀术》D.《缉古算经》6．微积分诞生于( C )。
A.15 世纪B.16 世纪C.17 世纪D.18 世纪7．以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( D )。
A.爱奥尼亚学派B.伊利亚学派C.诡辩学派D.毕达哥拉斯学派8．最早记载勾股定理的我国古代名著是( A )A.《九章算术》B.《孙子算经》C.《周髀算经》D.《缀术》9．首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( A )。
A.中国B.印度C.阿拉伯D.古希腊10．在《几何原本》所建立的几何体系中，“整体大于部分”是( D )。
A.定义B.定理C.公设D.公理11．刘徽首先建立了可靠的理论来推算圆周率，他所算得的“徽率”是( B )。
A.3.1B.3.14C.3.142D.3.141592612．费马对微积分诞生的贡献主要在于其发明的( C )A.求瞬时速度的方法B.求切线的方法C.求极值的方法D.求体积的方法13．祖冲之的代表作是（ C ）A.《考工记》B.《海岛算经》C.《缀术》D.《缉古算经》二、填空题(每空2 分，共52 分)14．《九章算术》内容丰富，全书共有九章，大约有246 个问题。
15．世界上第一个把π 计算到3.1415926＜π ＜3.1415927 的数学家是祖冲之。
实数完备理论简史【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学实数完备理论简史一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）17世纪，微积分被牛顿和莱布尼茨各自独立发明，推动了科学技术的前进。
然而，它在开创之初自身就存在着逻辑矛盾。
直至19世纪，才由法国著名数学家柯西在分析基础严密化的工作上迈出了第一大步。
他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。
1823年，柯西给出了“柯西收敛定理”。
而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界(即上确界)的定义。
利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪60年代证明了“致密性定理”。
海涅于1872年提出，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。
1872年，戴德金、康托(Cantor)、梅雷(Meray)和海涅几乎同时发表了他们的实数构造法。
在这以前，魏尔斯特拉斯在柏林大学的演讲中已经给出了一种构造法。
戴德金和康托的构造法是现在通常采用的方法。
1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理——区间套定理。
可以说，实数系的构造是19世纪后30年间分析学算术化的重要一步[1]。
实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学坚实的理论基础。
人们可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，所以实数完备性有多个基本定理。
实数的完备性在数学学科本身中有着广泛的应用,特别是在求极限中起着至关重要的作用,因此研究实数完备性是数学分析的重要环节，对未来数学研究的发展具有深远的意义。
本文介绍了研究实数完备性的历史背景、现状，归纳梳理实数完备性的定义、性质、各命题的证明方法，结合例子说明实数完备性的应用。
随着科学技术的发展，实数完备性作为数学分析中的一项重要内容，会在更多的领域拥有广泛的应用，对其的研究也将更加的深入、透彻。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题实数系基本定理是数学分析中重要组成部分，是分析引论中极限理论的基础，也称为实数系的连续性定理或实数的完备性定理。