数学43空间直角坐标系测试新人教A版必修2
高中数学 4.3.2 空间两点间的距离公式基础达标(含解析
【优化方案】2013-2014学年高中数学 4.3.2 空间两点间的距离公式基础达标（含解析）新人教A 版必修21．点P (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在( )A ．y 轴上B ．xOy 面上C ．xOz 面上D ．yOz 面上 解析：选C.本题主要考查空间坐标的特点，由点P 的坐标y ＝0知，该点在xOz 面上．2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选A.点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．已知点B 是A (2，－3,5)关于xOy 面的对称点，则AB 等于( )A ．10 B.10C.38 D ．38解析：选A.点B 坐标为(2，－3，－5)，∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10.4．已知A 点坐标为(1,1,1)，B (3,3,3)，点P 在x 轴上，且|P A |＝|PB |，则P 点坐标为( )A ．(6,0,0)B ．(6,0,1)C ．(0,0,6)D ．(0,6,0)解析：选A.设P (x,0,0)，|P A |＝(x －1)2＋1＋1，|PB |＝(x －3)2＋9＋9，由|P A |＝|PB |，得x ＝6.5．(2013·东莞高一检测)已知△ABC 顶点坐标分别为A (－1,2,3)，B (2，－2,3)，C (12，52，3)，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.∵|AB |＝5，|B C |＝3102，|AC |＝102， ∴|AB |2＝|B C |2＋|AC |2，∴△ABC 为直角三角形．6．点P 在x 轴上，它到点P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P 的坐标是________．解析：∵点P 在x 轴上，设点P (x,0,0)，则|PP 1|＝x 2＋(2)2＋32＝x 2＋11， |PP 2|＝x 2＋12＋(－1)2＝x 2＋2. ∵|PP 1|＝2|PP 2|，∴x 2＋11＝2x 2＋2，解得x ＝±1.∴所求点的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．答案：(1,0,0)或(－1,0,0)7.如图所示，为一个正方体裁下的一角P －ABC .|P A |＝a ，|PB |＝b ，|PC |＝c .则△ABC 的重心G 的坐标为________解析：△ABC 的重心G 在xOy 平面上的射影G ′是△P AB 的重心，其坐标为(a 3，b 3，0)，而|G ′G |＝13|PC |，∴G (a 3，b 3，c 3)． 答案：(a 3，b 3，c 3) 8．点A (1－t,1－t ，t )和B (2，t ，t )的距离的最小值为________．解析：|AB |2＝(1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2.当t ＝15时，|AB |2min ＝95，即|AB |min ＝355. 答案：3559.如图所示，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，作OD ⊥AC 于D ，求点O 1到点D 的距离．解：由题意得：A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，在Rt △AOC 中，O A ＝2，OC ＝3，|AC |＝13，∴|OD |＝613＝61313. 在Rt △ODA 中，|OD |2＝x ·|OA |，∴x ＝1813. 在Rt △ODC 中，|OD |2＝y ·|OC |，∴y ＝1213. ∴D (1813，1213，0)，∴O 1D ＝(1813)2＋(1213)2＋4＝1144132＝228613. 10．已知A (1,2，－1)，B (2,0,2)．(1)在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |；(2)若xOz 平面内的点M 到点A 的距离与到点B 的距离相等，求点M 的坐标满足的条件．解：(1)由于点P 在x 轴上，故可设P (a,0,0)，由|P A |＝|PB |，得(a －1)2＋4＋1＝(a －2)2＋4，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以点P 的坐标为P (1,0,0)．(2)由于点M在平面xOz内，故可设M(x,0，z)，由|MA|＝|MB|，得(x－1)2＋(－2)2＋(z＋1)2＝(x－2)2＋(z－2)2，即x＋3z－1＝0.所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0.。
(福建专用)2021高考数学一轮复习课时规范练43空间几何中的向量方法理新人教A版
课时标准练43 空间几何中的向量方法一、根底稳固组1.假设平面α,β的法向量分别为n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),那么()A.α∥βB.α⊥βC.α,β2.平面α的一个法向量为n=(1,-,0),那么y轴与平面α所成的角的大小为()A. B. C. D.3.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),那么两平面间的距离是()A. B. C.4.向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,假设cos<m,n>=-,那么l与α所成的角为()A.30°B.60°C.120°D.150°5.如图,过正方形ABCD的顶点A,作PA⊥平面ABCD.假设PA=BA,那么平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°6.(2021广东珠海质检)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是2,那么点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D.7.如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,那么直线BC 与平面PAC所成的角为.〚导学号21500564〛8.如图,在三棱锥P-ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)证明:AP⊥BC;(2)假设点M是线段AP上一点,且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC.9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求点B1到平面A1BD的距离.〚导学号21500565〛二、综合提升组10.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,那么直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A. B.C. D.11.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,那么平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为()A.-B.-C. D.12.(2021广东广州模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1.那么D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.13.(2021山东青岛模拟,理17)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1 BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1⊥平面AA1C;(2)AB1∥平面A1C1C.14.如下图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?假设存在,求SE∶EC的值;假设不存在,试说明理由.三、创新应用组15.(2021宁夏中卫二模,理18)如图,菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,其中BE∥AF,AB ⊥AF,AB=BE=AF=2,∠CBA=.(1)求证:AF⊥BC;(2)线段AB上是否存在一点G,使得直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为,假设存在,求AG的长;假设不存在,说明理由.〚导学号21500566〛16.(2021山西吕梁二模,理18)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=BC,BE=BC.(1)求证:DE⊥平面PAC;(2)假设直线PE与平面PAC所成角的正弦值为,求二面角A-PC-D的平面角的余弦值.〚导学号21500567〛课时标准练43空间几何中的向量方法1.C因为cos<n1,n2>=0且cos<n1,n2>≠±1,所以α,β相交但不垂直.2.B可知y轴的方向向量为m=(0,1,0),设y轴与平面α所成的角为θ,那么sin θ=|cos<m,n>|.∵cos<m,n>==-,∴sin θ=,∴θ=3.B两平面的一个单位法向量n0=,故两平面间的距离d=|n0|=4.A因为cos<m,n>=-,所以l与α所成角θ满足sin θ=|cos<m,n>|=,又,所以θ=30°.5.B(方法一)建立如图1所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为,故所求的二面角的大小是45°.(方法二)将其补成正方体.如图2,不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ所成的二面角,其大小为45°.6.D建立如下图的空间直角坐标系,那么D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 那么令x=1,那么n=(1,-1,-1),∴点D1到平面A1BD的距离是d=7.30°如下图,以O为原点建立空间直角坐标系.设OD=SO=OA=OB=OC=a,那么A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P那么=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),那么cos<,n>=∴<,n>=60°,∴直线BC与平面PAC所成角为90°-60°=30°.8.证明 (1)如下图,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系.那么O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,,即AP⊥BC.(2)由(1)知|AP|=5,又|AM|=3,且点M在线段AP上,,又=(-4,-5,0),,那么=(0,3,4)=0,,即AP⊥BM,又根据(1)的结论知AP⊥BC,∴AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BCM.9.(1)证明连接AB1交A1B于点E,连接DE.可知E为AB1的中点,D是AC的中点,∴DE∥B1C.又DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,∴B1C∥平面A1BD.(2)解建立如下图的空间直角坐标系,那么B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),∴n=(3,0,1).故所求距离为d=10.C以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如下图的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F,=(0,0,-2),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),那么由得取z=1,那么n=(2,0,1),设PA与平面DEF所成的角为θ,那么sin θ=,∴PA与平面DEF所成角的正弦值为11.A建立如下图的空间直角坐标系,那么C(0,0,0),B(,0,0),A(0,1,0),B1(,0,1),D=(,0,0),=(-,1,0),=(0,0,1).设平面CBD和平面B1BD的法向量分别为n1,n2,可得n1=(0,1,-1),n2=(1,,0),所以cos<n1,n2>=,又平面B1BD与平面CBD所成的二面角的平面角与<n1,n2>互补,故平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为-12建立如下图的空间直角坐标系,由于AB=2,BC=AA1=1,所以A1(1,0,1),B(1,2,0),C1(0,2,1),D1(0,0,1).所以=(-1,2,0),=(-1,0,1),=(0,2,0),设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),那么有令x=2,那么y=1,z=2,那么n=(2,1,2).又设D1C1与平面A1BC1所成的角为θ,那么sin θ=|cos< ,n>|=13.证明∵二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,∴AA1⊥平面BAC.又AB=AC,BC=AB,∴∠CAB=90°,即CA⊥AB,∴AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如下图的空间直角坐标系,不妨设AB=2,那么A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z),那么取y=1,那么n=(0,1,0)=2n,即n.∴A1B1⊥平面AA1C.(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),设平面A1C1C的法向量m=(x1,y1,z1),那么令x1=1,那么y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).m=0×1+2×(-1)+2×1=0,m.又AB1⊄平面A1C1C,∴AB1∥平面A1C1C.14.(1)证明连接BD,设AC交BD于点O,连接SO,那么AC⊥BD,由题意知SO⊥平面ABCD.以O为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系如图.设底面边长为a,那么高SO=a,于是S,D,C, 那么=0.故OC⊥SD.从而AC⊥SD.(2)解棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.理由如下:由条件知是平面PAC的一个法向量,且0,-a,设=t,那么+t,由=0,解得t=∴当SE∶EC=2∶1时,又BE⊄平面PAC,故BE∥平面PAC.15.(1)证明∵菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直,AB⊥AF,∴AF⊥平面ABCD,∵BC⊂平面ABCD,∴AF⊥BC.(2)解取AB的中点O,连接CO,那么CO⊥AB,∵平面ABCD⊥平面ABEF,∴CO⊥平面ABEF.建立如下图的空间直角坐标系,那么D(-2,0,),F(-1,4,0),E(1,2,0),=(1,4,-),=(-2,2,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),那么即取n=,设G(λ,0,0),λ∈[-1,1],那么=(-λ-1,4,0).∵直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为,,∴λ=-1∈[-1,1],∴AG=0,直线FG与平面DEF所成的角的正弦值为16.(1)证明以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如下图.不妨设AB=AD=BC=2,那么D(0,2,0),E(2,1,0),A(0,0,0),C(2,4,0),=(2,-1,0),=(2,4,0),=4-4+0=0,∴DE⊥AC.∵PA⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD,∴DE⊥PA.∵PA∩AC=A,∴DE⊥平面PAC.(2)解设P(0,0,t)(t>0),=(0,0,t),=(2,4,0),=(2,1,-t),设平面PAC的法向量n=(x,y,z),那么取x=2,得n=(2,-1,0), ∵直线PE与平面PAC所成角的正弦值为,,解得t=1或t=-1(舍),∴P(0,0,1),=(2,4,-1),=(0,2,-1),设平面PCD的法向量m=(a,b,c),那么取b=1,得m=(-1,1,2),设二面角A-PC-D的平面角为θ, 那么cos θ=二面角A-PC-D的平面角的余弦值为。
高中数学 4.3.2 空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2
(0,1,1),D1(0,0,1).∴
E(0, 0, 1), F(1 , 1 , 0),G(1,1, 1)
2 22
2
规律技巧:点的空间坐标为该点在坐标轴上的投影在这个坐
标轴上的坐标.
变式训练1:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,各棱长均为a,底面 为正方形,PO⊥底面ABCD,建立适当的坐标系,写出各顶点的 坐标.
2.空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数 组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 ___(_x_,y_,z_)___,其中x叫做点M的___横__坐__标___,y叫做点M的 ___纵__坐__标___,z叫做点M的___竖__坐__标___. 3.空间直角坐标系中的两点间距离公
题型三 两点间距离公式的应用 例3:已知A(1,2,-1),B(2,0,2),在xOz平面内的点M到A与B等距
离,求M点的轨迹. 分析:在xOz平面上点的坐标的特点是y=0,因此点M(x,0,z),代
入两点间距离公式化简得解.
解:设M(x,0,z)为所求轨迹上任一点,则有
(x 1)2 (2)2 (z 1)2 (x 2)2 02 (z 2)2
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:①错,②,③,④正确.因此应选C.
答案:C
2.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是
()
A.(-2,1,-4)
B.(-2,-1,-4)
C.(2,-1,4)
D.(2,1,-4)
解析:点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为(x,-y,-z).
所以(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(-2,-1,-4).
整理,得x+3z-1=0. ∴M点的轨迹是xOz平面内的一条直线,其方程为x+3z-1=0. 规律技巧:动点M的轨迹与轨迹方程是两个不同的概念.轨迹
高中数学第四章圆与方程4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式学案含解析新人教A版必修2
4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式知识导图学法指导1.结合长方体、正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，并能写出空间中的点在坐标系中的坐标．2．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．3．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．高考导航1.空间直角坐标系的应用很少单独命题，一般是在解答题中应用建立空间直角坐标系的方法求解，分值为2～3分．2．通过建立空间直角坐标系，计算两点间的距离公式或确定点的坐标，是常考知识点，常与后面将要学习的立体几何等知识相结合，分值为4～6分.知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135 °(或45 °)，x 轴与z 轴成135 °(或45 °)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.知识点二 空间两点间的距离公式1．空间中任意一点P (x ，y ，z )与原点之间的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2； 2．空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.1.空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22).[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( ) (2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz 平面内的是( ) A ．(3,2,1) B ．(2,0,0) C ．(5,0,2) D ．(0，－1，－3)解析：位于yOz 平面内的点，其x 坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz 平面内．答案：D3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．zOx 平面上 D ．第一象限内解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx 平面上． 答案：C4．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：|AB|＝－3－2＋－3－2＋－3－2＝4 3.答案：A类型一空间中点的坐标的确定例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【解析】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz.因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，所以A(3,0,0)；C在y轴上，所以C(0,5,0)；D1在z轴上，所以D1(0,0,4)；B在xOy平面内，所以B(3,5,0)；A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4).(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)利用线段长度结合符号写出各点坐标．要注意与坐标轴正向相反的坐标为负．方法归纳(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．跟踪训练1 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．解析：如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连接BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，OO 1⊥BO ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32，∵点A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1在yOz 平面内，∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，∴各点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.建立空间直角坐标系，求出有关线段的长，再写出各点的坐标． 类型二 空间直角坐标系中的点的对称点例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4)关于x 轴对称的点P 1的坐标是________；关于xOy 平面对称的点P 2的坐标是________；关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标是________．【解析】 点P 关于x 轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为(－2，－1，－4)．点P 关于xOy 平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P 关于xOy 平面的对称点P 2的坐标为(－2,1，－4)．设点P 关于点A 的对称点的坐标为P 3(x ，y ，z )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x2＝1，1＋y2＝0，4＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，z ＝0.故点P 关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标为(4，－1,0)．【答案】 (－2，－1，－4) (－2,1，－4) (4，－1,0)利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．方法归纳在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．跟踪训练2 已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M 关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x 轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).方法归纳求对称点的坐标问题一般依据“关于谁对称谁不变，其余均改变”来解决．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．要特别注意：点关于点的对称要用中点坐标公式解决．类型三空间两点间的距离,,例3 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．【解析】由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .建立空间直角坐标系，先确定相关点的坐标，然后根据两点间的距离公式求解． 方法归纳求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练3 求A (0,1,3)，B (2,0,1)两点之间的距离． 解析：|AB |＝－2＋－2＋－2＝3.解答本题可直接利用空间两点间的距离公式.[基础巩固](20分钟，40分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点M (0,3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．z 轴上 D ．xOz 平面上解析：因为点M (0,3,0)的横坐标、竖坐标均为0，纵坐标不为0，所以点M 在y 轴上． 答案：B2．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是( ) A ．(4,2,2) B ．(2，－1,2) C ．(2,1,1) D ．(4，－1,2)解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.答案：C3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标2，z坐标3分别相等，∴Q(0，2，3)．答案：B4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．∴a＝10，b＝17，c＝5.答案：B5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )A．(0,0,6) B．(6,0,1)C．(6,0,0) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－2＋1＋1，|PB|＝x－2＋9＋9，由|PA|＝|PB|，得x＝6.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．答案：(a，b，c)7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．答案：(－4,1，－2)8．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝－1－2＋[2－－2＋02＝3 2.答案：3 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得M (4＋02，0＋42，0＋42)，N (0＋42，0＋02，4＋42)，即M (2,2,2)，N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝2 2.10．已知点P (2,3，－1)，求：(1)点P 关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P 关于坐标原点对称的点的坐标．解析：(1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′的横坐标、纵坐标与点P 的横坐标、纵坐标相同，点P ′的竖坐标与点P 的竖坐标互为相反数．所以点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．(2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 的横坐标与点P 的横坐标相同，点Q 的纵坐标、竖坐标与点P 的纵坐标、竖坐标互为相反数．所以点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)．同理，点P 关于y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)． (3)点P (2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．[能力提升](20分钟，40分)11．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴对称的点在xOz 平面上的射影的坐标为( )A ．(4,0,6)B ．(－4,7，－6)C ．(－4,0，－6)D ．(－4,7,0)解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．答案：C12．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－413．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解析：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．14．已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件． 解析：(1)根据空间两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以x －2＋y －2＋z －2＝x －2＋y －2＋z －2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.。
2019-2020人教A版数学必修2第4章 4.3 空间直角坐标系
4.3 空间直角坐标系1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的特征 ①三条轴两两相交且互相垂直； ②有相同的单位长度． (2)相关概念 ①坐标原点：O ；②坐标轴：x 轴、y 轴、z 轴；③坐标平面：xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面． (3)右手直角坐标系要求右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向．2. 空间一点的坐标其中x →横坐标，y →纵坐标，z →竖坐标．思考：给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x ，y ，z )之间存在唯一的对应关系？[提示] 是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x ，y ，z )；反之，给定一个有序实数组(x ，y ，z )，空间也有唯一的点与之对应．3．空间两点间的距离公式(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0, 0, 0)的距离|OP|(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离|P1P2|思考：空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？[提示]适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．1．下列点在x轴上的是()A．(0.1，0.2，0.3)B．(0，0，0.001)C．(5，0，0) D．(0，0.01，0)C[x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0.]2．点P(1，－2，5)到xOy平面的距离为()A．1 B．2C．－2D．5D[点P(1，－2，5)在xOy平面上的射影是P′(1，－2，0)，则点P(1，－2，5)到xOy平面的距离为|PP′|＝5.]3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝26，则实数x的值是() A．－3或4 B．6或2 C．3或－4 D．6或－2D[由题意得（x－2）2＋（1－3）2＋（2－4）2＝26，解得x＝－2或x ＝6.]【例1】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．[解] 如图，过点M 作MM 1⊥BC 于点M 1，连接DM 1，取DM 1的中点N 1，连接NN 1.由|BM |＝2|MC 1|，知|MM 1|＝23|CC 1|＝23，|M 1C |＝13|BC |＝13.因为M 1M ∥DD 1，所以M 1M 与z 轴平行，点M 1与点M 的横坐标、纵坐标相同，点M 的竖坐标为23，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23.由N 1为DM 1的中点，知N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫16，12，0.因为N 1N 与z 轴平行，且|N 1N |＝|M 1M |＋|DD 1|2＝56，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，12，56.求某点P 的坐标的方法：先找到点P 在xOy 平面上的射影M ，过点M 向x 轴作垂线，确定垂足N .其中|ON |，|NM |，|MP |即为点P 坐标的绝对值，再按O →N →M →P 确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，即可得到相应的点P 的坐标．1．已知正四棱锥P -ABCD 的底面边长为52，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．[解] 因为|PO |＝|PB |2－|OB |2＝169－25＝12， 所以各顶点的坐标分别为P (0，0，12)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫522，－522，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫522，522，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－522，522，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－522，－522，0.(1)求点P 关于x 轴对称的点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面对称的点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)对称的点的坐标．[解] (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴，z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 1(－2，－1，－4)．(2)由点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴，y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P 2(－2，1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点， 由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6， y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12， 所以P 3的坐标为(6，－3，－12)．求空间对称点的方法：空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．2．求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标．[解]如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1)．过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2，1)．∴点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1，2，1)；点A(1，2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2，1)．1．已知两点P(1，0，1)与Q(4，3，－1)，请求出P、Q之间的距离．[提示]|PQ|＝（1－4）2＋（0－3）2＋（1＋1）2＝22.2．上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M的坐标．[提示]设M(0，0，z)，由|MP|＝|MQ|，得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，∴z＝－6.∴M(0，0，－6)．【例3】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN 的长度.思路探究：建系→求点M、N坐标→两点间的距离公式求解[解]如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3，3，0)，D (0，3，0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3，3，2)，D 1(0，3，2)， ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1.M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点， ∴M (1，1，2)．由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋（3－1）2＋（1－2）2＝212.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：3．若A (4，－7，1)，B (6，2，z )，|AB |＝11，则z ＝________．－5或7 [∵|AB |＝11，∴(6－4)2＋(2＋7)2＋(z －1)2＝112，化简得(z －1)2＝36，即|z －1|＝6，∴z ＝－5或7.]1．结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ，y ，z )，培养立体思维，增强空间想象力．2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．3．在导出空间两点间的距离公式中体会转化化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上D ．第一象限内C [点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在xOz 平面上．]2．在空间直角坐标系中，点P (3，4，5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对A [点P (3，4，5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．]3．以棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA 1B 1B 的对角线的交点坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12B [由题图得A (0，0，0)，B 1(1，0，1)，所以对角线的交点即为AB 1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.]4．如图所示，V ABCD 是正四棱锥，O 为底面中心，E ，F 分别为BC ，CD 的中点．已知|AB |＝2，|VO |＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．[解]∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1，1，0)，同样的方法可以确定B(1，－1，0)，A(－1，－1，0)，D(－1，1，0)．∵V在z轴上，∴V(0，0，3)．。
高中数学人教A版必修二4.3.2 空间两点间的距离公式
例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1(0, 2,3)的距离为 到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x 2 2 2 3 2 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2, PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
小结
• 空间两点间的距离公式：
• 点 P（x，y，z）与坐标原点O的距离公式：
问题解决
1、在空间直角坐标系中标出下列各点：
A(0,2,4) C(0,2,0)
B(1,0,5) D(1,3,4)
A B
D C
例 1 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
z
P1
P2
O
y
x
P1P2 MN x1 x2 2 y1 y2 2
思考9:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线，则点P1、P2
的距离如何计算？
z
P2
P1 O
xM
A
y N
思考10:在上述图形背景下，点P1（x1，y1，z1）与P2 （x2，y2，z2）之间的距离是
它对任意两点P1、P2都成立吗？
z
O
P
y
x
4-3-1、2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
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新课引入
飞机的飞行速度是很快的，即使是民航飞机，也有超音 速，这就说明有很多飞机的时速在1 000 km以上，全世界的飞 机非常多，这些飞机在天空中风驰电掣，速度是如此的快， 不是很容易撞机吗？我们如何确定一架飞机在空中的位置 呢？
第四章
4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式
第四章 圆的方程
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课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答
基础巩固训练 能力强化提升
第四章 4.3 4.3.1 、2
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[答案] C
第四章 4.3 4.3.1 、2
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[解析] 根据空间中点坐标公式，可得中点坐标为 (1＋2 3，4－2 2，－32＋5)，即(2,1,1)．
本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的 说 正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指 明 向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角 坐标系.
第四章 4.3 4.3.1 、2
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[破疑点]将空间直角坐标系画在纸上时， ①x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)； ②y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位 长则等于y轴单位长的12.
2．坐标
第四章 4.3 4.3.1 、2
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4.3.《空间直角坐标系》课件(新人教A版必修2)
思考2:平面直角坐标系由两条互相 垂直的数轴组成，设想：空间直角 坐标系由几条数轴组成？其相对位 置关系如何？在平面上如何画空间 直角坐标系？ z 三条交于一点且两 两互相垂直的数轴 ∠xOy=135° ∠yOz=90°
O
y
x
思考3:在长方体中，如何建立直角坐标系？
OABC D A B C 是长方体．以O为原点，分别以 如图， 射线OA,OC, OD ' 的方向为正方向，，建立三条数轴：x轴、 y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标 O xyz， 其中点O 叫做坐标原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、 yOz平面、zOx平面．
知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标
思考1:在平面直角坐标系中，点M的 横坐标、纵坐标的含义如何？
(x,y)
|x| |y|
y
O
x
思考2：怎样确定空间中点M的坐标？
设点M是空间的一个定点，过点M分别作 垂直于x 轴、y 轴和z 轴的平面，依次交x 轴、 y 轴和z 轴于点P、Q和R． 设点P、Q和R在x 轴、y 轴和z 轴上的坐 标分别是x，y和zz ，那么点M就对应唯一确定 的有序实数组（x，y，z）．
设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位 置关系如何？在平面上如何画空间直角坐标系？ C1 思考3:在长方体中，如何建立直角坐标系？ D1 思考4：什么是右手直角坐标系？ A1 B1
思考5：怎样确定空间中点
O A B
C
M的坐标？
知识探究（一）：空间直角坐标系
思考1:数轴上的点M的坐标用一个实 数x表示，它是一维坐标；平面上的 点M的坐标用一对有序实数（x，y） 表示，它是二维坐标.设想：对于空 间中的点的坐标，需要几个实数表 示？ (x,y) y
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4. 3空间直角坐标系
P(1，2，3)xOyPQQ P的坐标，过点的垂线作平面题第1. ，则在空间直角坐标系中，点为（）
3)22，，(0，0)(0，0)(1，23)(1，，0，Ｄ．Ｂ．Ｃ．Ａ．
答案：Ｄ．
A(?31，，4)A关于原点的对称点的坐标为（，则点. 已知点）第2题(1，?3，?4)(?41，，?3)Ａ．Ｂ．4)?1，?，(3(4，?13)，Ｃ．Ｄ．
答案：Ｃ．
xOy，51)Nx?y?1(6，MM到点上确定一点3第题. 在的距离最小．平面内的直线，使1?x，0)M(x，答案：解：由已知，可设，
22221)(0??x(x?6)?(1??5)?MN?51?1)?2(x．则
∴MN?51．min
，，0)B(51A0)(2，3，y，z)，(x求到两定点，题. 等的点的坐标距离相满足的条件．第4P(x，y，z)为满足条件的任一点，则由题意，答案：解：设
222222
0)?z?5)?0)PB(x??(y1)?(z??(2)x?PA(??y3)(?，得．∵PA?PB∴6x?4y?13?0即为所求点所满足的条件．，
A(?41，，7)B(3，5，?2)C z的坐标为第5题. 在轴上与点．等距离的点和点
14)0，(0，答案：9
AB)tt)B(2，t，，A(1?t1?t，），的最小值为（，则6第题. 已知
5355511Ｄ．Ｃ．Ａ．Ｂ．5555
答案：Ｃ．
A(2，?1，4)B(3，2，?6)C(5，0，2)．则第7题. 已知三角形的三个顶点，，
A点的中线长为；（1）过B点的中线长为；（2）过
C点的中线长为（3）过．
62511214；答案：；22
2PBAP?PC，4)，C(111)13B，A(12，1)(?，，长为，则，，. 8第题已知．，
77．答案：3
30P(42)，1，x P，使它与点9 的距离为．第题轴上找一点. 给定空间直角坐标系，在0
22230P?P0)(x，，0(x?4)?1?2?30P，，即答案：解：设点的坐标是，由题意，02?25?4)∴(x x?9x??1．．解得或0，0)(?1，0，0)(9，P∴坐标为点．或
22212?z?x?y）第10题. 下列各点不在曲线上的是（2，22)(0，(1，3(2，?2，2)，4)2)(?2，2，Ｂ．Ｄ．Ａ．Ｃ．
答案：Ｄ．
）11第题. 坐标原点到下列各点的距离最小的是（
4)0(3，3(2，，(122)，，(111)，?，5)，Ｃ．Ｂ．Ａ．Ｄ．
案：Ａ．答
PB?PA x3)，，B，(111)，(33PPA点坐标为，轴上，且，则，点. 12第题已知点坐标为
在（）0，0)(6，0，1)(6，0，6)(0，6，0)(0，Ｄ．Ｂ．Ｃ．Ａ．
答案：Ａ．
O?xyz z?1的所有点构成的图形是中，．. 13第题在空间直角坐标系
0，1)(0，z答案：过点且与轴垂直的平面
xOy5)，(2，3P的距离为第14题. 点到平面．
5答案：
A(?4，?1，?9)B(?101，，?6)C(?2，?4，?3)为顶点的三角形是等腰直，第15题. 求证：以，角三角形．
222?6)79?(??(?1?1)?(d(A，B)??4?10)，答案：证明：
222?3)7(?9(?1?4)?(d(A，C)??4?2)??，
222?7?63)?4)2?(?(B，C)(?10?2)??(1d，
222(B，C)，C)?d?(A，B)dd(Ad(A，B)?d(A，C)∵．且∴△ABC为等腰直角三角形．
AP?2PB(1,1,1)A(1,2,1)C?1,3,4)B(，则第，，题. 已知，16PC长为．
77．答案：3
z'C'D'''OABC?DABC'中，如图，长方体题第17.
'A3?4OC3?OD'?OAAC'''BD'，，于，'B P C'BPP相交于点．分别写出，，的坐标．
y O
BA x
3,2,3)(4,3)(0,4,0)(3,'BCP答案：，，各点的坐标分别是，，．2
(6,5,1)xOyN1x?y?MM到点；使. 在的距离最小．平面内的直线上确定一点第18题
,0)?xM(x,1答案：解：设点则
2220)??x?5)?(x?6)(1?(1?MN
2?1)51?2(x?
∴MN?51．min
22236?5)?(?y?3)?(z(x?12)试解释方程的几何意义．第19题.
3,5)(12,?答案：该方程几何意义是：在空间中以点为球心，球半径长为６的球面．
0，3)(2，点20题. ）在空间直角坐标系中的位置是在（第y xOy xOz平面上Ｄ．第一卦限内Ｃ．Ａ．轴上Ｂ．平面上
答案：Ｃ．
2，?1)xOyyOzP(?3，点. 21，关于平面题的对称点第关于平面的对称点是
x zOx轴的对称关于点，关于是，平面是的对称点
y z轴的对称，关于点称点是于是，关对轴的
是．
2，1)2，1)(3，?2，?1)(3，，3?(，1)，?3(3，(1)，2??，2??，(321)答案：，，，．，，
M(4，?3，5)d?z轴的距离，的距. 第22题点离到到原点
d?．
525．答案：，
0，2)M(0，3，?1)M(?1，已知两点题. ，此两点间的距离为（，）第231219111119Ｃ．Ｄ．Ｂ．Ａ．
答案：Ａ．
y aa00平行的坐标平面是. 题若向量，其他坐标不为在，那么与向量轴上的坐标为第24（）xOyyOz xOz平面Ｃ．Ｄ．以上都有可能Ｂ．Ａ．平面平面
答案：Ｂ．
POy Ox轴上的在在第25题. 在空间直角坐标系中，，轴上的点的坐标特点为1
PPxOy Oz平面点的坐标特点为，在，在轴上的点的坐标特点为32
PPyzO xOz在在，平面上的点的坐标特点为，上的点的坐标特点为45P的坐标特点为．面上的点平6
，0，0)P(0，y，0)P(0，0，z)P(x，y，0)P(0，y，z)，P(x，0，z)P(x答案：，，，，．154236
，B，CA2)q?p，3，C，?2)B(2，A(141)，(，5，若，第26题. 已知空间三点的坐标为三点，p?q?，．共线，则
32答案：，
(3，4，5)PP．的坐标为，试在空间直角坐标系中作出点第27题. 已知点
4，0)OyB(0，0)0，A，4，5)(3，P(3OxP轴上射影为，在轴上的射影为，答案：解：由可知点在OA，OB xOyC(3，4，0)OACBCP．在坐标平面上的射影，为邻边的矩形的顶点是点以xOyxOy5C个单位，过平面上方截取作直线垂直于坐标平面，并在此直线的
P．得到的就是点。