二阶常系数非齐次-待定系数法
二阶常系数非齐次线性微分方程讲解
y1 *
y2 *
1 2 x cos x Rm x sinx y* x k e x Rm
1 2 x , Rm x 都是 m 次多项式， m = max{ l , n }，且 其中Rm
0
λ±iω不是特征根 λ±iω是特征根
9
k=
1
例 3 求方程 y' ' y x cos 2 x 的通解。 解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 1 0 r1, 2 i 于是齐次方程的通解为 Y C1 cos x C 2 sinx 由于 f ( x ) x cos 2 x, ( 0, 2, Pl ( x ) x, Pn ( x ) 0即m 1) λ±iω=±2i不是特征方程的根，取 k 0, 故原方程特解设为： y* (ax b) cos2 x (cx d ) sin2 x 代入所给方程，得 y py qy e x [ pl ( x) cos x pn ( x) sin x]
第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微ຫໍສະໝຸດ 方程一般式是y" py' qy f x
(1)
其中p、q是常数。 由定理3，只要求出(1)的一个特解 y*及(1)对应的齐次方程
y" py' qy 0
* y Y y . 的通解Y， 即可求得(1)的通解 :
对 f(x) 的下面两种最常见形式， 采用待定系数法来求出 y*。
Q x Qm ( x) b0 x m b1 x m1 bm1 x bm
代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定bi i 0,1,2 , m,
x y * Q ( x ) e . 进而得(1)的特解
二阶常系数非齐次微分方程
因
多项式 .
本质上为实函数 ,
均为 m 次实
小 结:
对非齐次方程
为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
则可设特解:
例4.
解: 本题
特征方程
不是特征方程的根,
的一个特解 .
故设特解为
代入方程得
比较系数 , 得 于是求得一个特解
例5.
解: 特征方程为 对应齐次方程的通解为
的一个特解.
代入方程 :
比较系数, 得
于是所求特解为
例2.
解: 本题
特征方程为
对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程得 比较系数, 得
因此特解为 所求通解为
的通解.
其根为
二、
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
第二步 求出如下两个方程的特解
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
为特征方程的单根 ,
代入方程: 比较系数, 得 因此特解为 所求通解为
其根为
的通解.
因此设非齐次方程特解为
内容小结
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根,
则设特解为
为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
则设特解为
思考与练习
1 . (填空) 设
时可设特解为
二阶常系数线性非齐次微分方程 : ①
根据解的结构定理 , 其通解为
齐次方程通解
非齐次方程特解
求特解的方法
— 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
二阶常系数非齐次微分方程
f ( x) ex[P cosx P sinx] 利用欧拉公式
l
n
ex [Pl
eix eix
2
Pn
eix eix 2i
]
( Pl Pn)e( i) x ( Pl Pn)e(i) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i)x P ( x)e(i) x ,
设 y py qy P(x)e( i)x ,
y* 2ixeix 2 x sin x (2 x cos x)i,
所求非齐方程特解为 y 2 x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2 x cos x.
例3 求方程 y y x cos 2 x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y xe2ix ,
设 y c1 ( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
sin x cos x
ln sec C2
x
tan
x
C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小 结
(待定系数法)
y xk Q e(i)x ,
1
m
设 y py qy P( x)e(i)x ,
y
xkex[Q eix m
ix
Qme
]
y2
x kQ e(i) x m
,
xkex[R(1) ( x)cosx R(2) ( x)sinx],
m
m
其中 Rm(1) ( x), Rm(2) ( x)是m次多项式， m maxl,n
二阶常系数非齐次微分方程解的关系
在微分方程的研究中，二阶常系数非齐次微分方程解的关系是一个重要的主题。
通过深入分析和探讨，我们可以更好地理解和应用这一概念。
在本文中，我将从浅入深地讨论二阶常系数非齐次微分方程的解，带领您深入探索这一主题。
1. 二阶常系数非齐次微分方程的基本概念让我们了解一下二阶常系数非齐次微分方程的基本概念。
二阶常系数非齐次微分方程的一般形式可以表示为：$$ay'' + by' + cy = f(x)$$其中，a、b、c为常数，f(x)为非齐次项。
在研究二阶常系数非齐次微分方程的解的关系时，我们需要重点关注它的特征根和非齐次项的关系。
2. 特征根与非齐次项的关系在求解二阶常系数非齐次微分方程时，我们首先需要求得对应齐次方程的特征根。
特征根的求解可以帮助我们得到齐次方程的通解。
接下来，我们要考虑非齐次项f(x)的形式和特征根的关系。
这个关系非常重要，它决定了非齐次微分方程的特解形式。
一般来说，非齐次项f(x)的形式决定了特解的形式，而特解与齐次方程的通解之间存在一定的关系。
3. 解的关系及其应用通过对二阶常系数非齐次微分方程解的关系进行深入研究，我们可以发现其中蕴含着许多有趣的数学性质和应用。
在信号处理中，二阶常系数非齐次微分方程解的关系可以帮助我们分析和处理不同类型的信号。
在控制理论中，这一概念也有着重要的应用，例如在控制系统的建模和分析中起着关键作用。
4. 个人观点和总结对于二阶常系数非齐次微分方程解的关系，我个人认为它是微分方程理论中的一个重要且有趣的研究方向。
通过深入的学习和探讨，我们可以更好地理解和应用这一概念，从而为实际问题的解决提供有力的数学工具和方法。
在撰写本文的过程中，我深入思考并总结了二阶常系数非齐次微分方程解的关系，希望对您有所帮助。
在本文中，我从浅入深地探讨了二阶常系数非齐次微分方程解的关系这一主题，并共享了个人观点和总结性内容。
通过多次提及指定的主题文字，我希望能够全面、深刻地探讨这一概念，为您对这一主题的理解和应用提供有力的支持。
第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法
o
x
x
17
h sin pt x = Asin ( k t +ϕ ) + 2 2 k −p
自由振动 强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
h 振 幅 2 将 大! 很 k − p2 • 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
而 2r + a ≠ 0 , 则令 Q ( x ) = x Qm ( x ) , 即
y = xQm ( x)e
∗
rxБайду номын сангаас
5
′′ + (2r + a)Q′ + (r 2 + ar + b)Q = Pm ( x) Q
情形3 情形3
(*)
是特征方程的二重 二重根 若 r 是特征方程的二重根, 即 r 2 + ar + b = 0 ,
3x
1 3 3x + x e . 6
10
3x 的通解. 例6 求微分方程 y′′ − 6 y′ + 9 y = x e 的通解.
解
特征方程 λ2 − 6λ + 9 = 0 , 特征根 λ1, 2 = 3 ，
对应齐次方程通解 Y = (C1 + C 2 x ) e 3 x .
是二重特征根, 因为 r = 3 是二重特征根,
y′′ + ay′ + by = f (x) 对应齐次方程 y′′ + ay′ + by = 0
(1) (2)
是方程(1) 的一个特解, (1)的一个特解 定理2 定理2 设 y ∗ ( x ) 是方程 (1) 的一个特解,
6.7二阶常系数非齐次线性微分方程
2
e Pm ( x )
Pm ( x ) 为 m 次多项式 . 设特解为
其中
x
Q( x )
Q( x )
为待定多项式,
p y* e
y* e
[ p Q ( x ) p Q ( x )]
[ Q ( x ) 2 Q ( x ) Q ( x )]
②
代入原方程① , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 Q (x)为 m 次多项式 系数由②式确定， 从而得到 特解的形式为
(3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
1
21
作业 36页习题6-7
1.(1),(3), 2. 4. 6.
作业本写上班级姓名
22
x x x (1 a b ) x e c e (2 a ) e (1 a b) e x x 对应齐次方程通解: Y C e C e x
1 2 x x
原方程通解为 y C 1 e C 2 e e x e 1 a1 b (0 C ex C 2 1) e x x e x 比较系数得 2 a cx x x y C e C e x e 即 1 1 a b0 2 其中 ( C 2 C 2 1)
是特征方程的根。 不是特征方程的根。 不是特征方程的根。
18
例9. 求微分方程 (其中 为实数 ) .
2
e
x
的通解
解: 特征方程 r 4r 4 0, 特征根: r1 对应齐次方程通解:
e
x
2 x
r2 2
1) 2 时, 令 y A e
1 , 代入原方程得 A ( 2)2
2 p 0 ,
二阶常系数非齐次的通解
二阶常系数非齐次的通解1. 引言非齐次线性微分方程是研究微分方程中的重要内容之一。
二阶常系数非齐次线性微分方程是其中的一类典型问题，其形式为：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=f(t)$$其中a,b为常数，f(t)为已知函数。
本文将着重讨论这类微分方程的通解。
2. 齐次线性微分方程的通解为了解决非齐次线性微分方程，首先需要求解其对应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dt^2}+a\frac{dy}{dt}+by=0$$其通解可以表示为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$其中，$r_1$，$r_2$为齐次方程的特征根，$c_1$，$c_2$为任意常数。
根据特征根的不同情况，可以将齐次方程分为三类：两个实根、两个虚根、一个实根和一个重根。
分别讨论如下。
2.1 两个实根当齐次方程的特征方程有两个实根$r_1$和$r_2$时，通解为：$$y_h(t)=c_1e^{r_1t}+c_2e^{r_2t}$$此时，$r_1$和$r_2$可以通过特征方程求得：$$r_1,\ r_2=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$$如果$a^2<4b$，则$r_1$和$r_2$是两个虚根。
2.2 两个虚根当齐次方程的特征方程有两个虚根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=e^{\alpha t}(c_1\cos\beta t+c_2\sin\beta t)$$其中，$\alpha$和$\beta$为实数，可以通过特征方程求得：$$\alpha=-\frac{a}{2},\ \beta=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$$ 2.3 一个实根和一个重根当齐次方程的特征方程仅有一个实根$r_1$且其重根时，通解可以表示为：$$y_h(t)=(c_1+c_2t)e^{r_1t}$$其中$c_1$、$c_2$为任意常数。
一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法
一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法特解叠加原理是指，对于非齐次线性微分方程，其通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解加上一个特解。
特解叠加原理的核心思想是通过叠加不同形式的特解，使得线性微分方程的非齐次项得到满足。
待定系数法是特解叠加原理的具体应用，它是通过假设特解的形式，并通过代入方程进行求解特定的系数。
常见的非齐次项形式包括多项式、指数函数、三角函数等。
具体的步骤如下：1.如果非齐次项是常函数，假设特解的形式为常数，将特解代入方程，求解特定的常数。
2.如果非齐次项是多项式函数，假设特解的形式与非齐次项相同，并将特解代入方程，求解特定的系数。
3.如果非齐次项是指数函数，假设特解的形式为指数函数，并将特解代入方程，求解特定的系数。
4.如果非齐次项是三角函数，假设特解的形式为三角函数，并将特解代入方程，求解特定的系数。
5.如果非齐次项是三角函数和指数函数的线性组合，可以通过假设特解的形式为三角函数和指数函数的线性组合，并将特解代入方程，求解特定的系数。
需要注意的是，在使用待定系数法时，特解的形式应根据非齐次项的形式来确定，同时需要确保特解与齐次方程的解线性无关。
对于二阶常系数非齐次线性微分方程，其通解可以表示为齐次方程的通解加上一个特解，即$$y=y_h+y_p$$其中，$y_h$表示齐次方程的通解，$y_p$表示特解。
求解非齐次线性微分方程的步骤如下：1. 首先,求解对应齐次线性微分方程的通解$y_h$。
对于二阶齐次线性微分方程$ay''+by'+cy=0$，其中$a,b,c$为常数，可以通过特征方程求解其特征根$r_1$和$r_2$，然后得到通解$y_h=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$，其中$c_1$和$c_2$为常数。
2.然后,求解特解$y_p$。
根据待定系数法，假设特解的形式，并将特解代入原方程，求解特定的系数。
3.最后,将通解$y=y_h+y_p$代回原方程，验证是否满足原方程。
常系数线性非齐次微分方程
2 是单根， 设 y* x(Ax B)e2x,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
A
1 2
,
于是 y* x(1 x 1)e2x
B 1
原方程通解为
2
y C1e2x 2
.
例2 求通解 y 6 y 9 y 5xe3x
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）
y xkexQm ( x);
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x
R(2) m
(
x
)
sin
x];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0,
通解结构 y Y y*,
常见类型 自由项为 Pm ( x), Pm ( x)ex , Pm ( x)ex cos x, Pm ( x)ex sin x,
1 x cos 2x 4 sin 2x (4 cos 2x 1 x sin 2x) j,
3
9
9
3
所求非齐方程特解为 y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
3
9（取实部）
原方程通解为
y
C1
cos
x
C2
sin
二阶常系数非齐次线性微分方程
( −3ax − 3b + 4c ) cos 2 x − ( 3cx + 3d + 4a ) sin 2 x = x cos 2 x
(1 (2 y* = xk eλx Rm) ( x)cosωx + Rm ) ( x)sinωx
1 4 所以 a = − 3 , b = 0 , c = 0 , d = 9 于是得原方程的一个特解为 y* = − 1 x cos 2 x + 4 sin 2 x 3 9
6
例 2 求解 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = 5
y
x=0
= 1, y ′
x =0
=2
解 对应齐次方程的特征方程为 r 2 − 3r + 2 = 0 ⇒ r1 = 1, r2 = 2 于是齐次方程的通解为 Y = C 1 e x + C 2 e 2 x 由于 f ( x ) = 5e 0⋅ x , λ=0不是特征方程的根， 不是特征方程的根， 不是特征方程的根 故原方程特解设为： 故原方程特解设为：y* = A 代入方程， 代入方程，得 2 A = 5
（iii）如果λ 2 + pλ + q = 0且2λ + p = 0，即λ是特征方程的重根。 ） 是特征方程的重根。 是特征方程的重根 应是 次多项式. 次多项式 要使(3)式成立， 要使 式成立， Q' ' ( x ) 应是m次多项式 令 式成立 Q( x) = x 2Qm ( x) 仍是比较(3)式两端的系数来确定 的系数。 仍是比较 式两端的系数来确定Qm (x) 的系数。
Q( x) = Qm ( x) = b0 x m + b1 x m−1 + L+ bm−1 x + bm
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例
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的一个特解 .
解：本题 = 0, = 2, Pl (x) = x, P~n (x) = 0,
特征方程 r 2 +1 = 0
不是特征方程的根, 故设特解为
代入方程得
(−3a x − 3b + 4c) cos 2x − (3c x + 3d + 4 a)sin 2x = x cos 2x
比较系数 , 得
−3a =1 − 3b + 4c = 0
−3c = 0 −3d + 4a = 0
a
=
−1 3
,
d
=
4 9
b=c=0
于是求得一个特解
例
解: 特征方程为 r 2 + 9 = 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
������������ 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x − 6a sin 3x
比较系数, 得
因此特解为 y* = x (5cos3x + 3sin 3x )
所求通解为
+ x (5cos3x + 3sin 3x )
微积分
Calculus
微分方程 与差分方程
微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 二阶常系数线性微分方程 差分方程的概念 一阶常系数线性差分方程
二阶常系数线性非齐次微分方程 之
待定系数法
四 f (x) = e x Pl (x) cos x + P~n (x)sin x 型
1 对非齐次方程
y + py + qy = e x Pl (x) cos x + P~n (x)sin x ( p, q 为常数)
+ i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* = xke x Rm cos x + R~m sin x
其中