山西省晋中市2017届高考适应性调研考试数学试题(理)有答案

山西省晋中市2017年3月高考适应性调研考试高三数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设U R =，{3,2,1,0,1,2}A =---，{|1}B x x =≥，则U AC B =（ ）A ．{1,2}B ．{1,0,1,2}-C ．{3,2,1,0}---D ．{2} 2.在复平面中，复数421(1)1i i +++对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限3.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“sin sin A B >”是“a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4.若1sin()3πα-=，且2παπ≤≤，则sin 2α的值为（ ）A ．9-B ．9- C. 9 D ．95.执行下面的程序框图，则输出K 的值为（ ）A ． 98B ． 99 C. 100 D ．1016.李冶（1192～1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边形到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算） A ．10步，50步 B ．20步，60步 C.30步，70步 D ．40步，80步7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ． 16B ． 20 C. 52 D ．60 8.已知函数()sin(2)12f x x π=+，'()f x 是()f x 的导函数，则函数'2()()y f x f x =+的一个单调递减区间是（ ） A ．7[,]1212ππB ．5[,]1212ππ-C. 2[,]33ππ- D ．5[,]66ππ- 9.若332(||)a x x dx -=+⎰，则在a的展开式中，x 的幂函数不是整数的项共有（ ） A ．13项 B ． 14项 C. 15项 D ．16项10.在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r ⎧+≤⎪-≤⎨⎪+≤⎩（r 为常数）表示的平面区域的面积为π，若,x y 满足上述约束条件，则13x y z x ++=+的最小值为（ ）A ． -1 B．17-C. 13 D ．75- 11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于,A B 两点，22,AF BF 分别交y 轴于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）A12.已知函数22()1xf x eax bx =-+-，其中,a b R ∈，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．22(3,1)e e -+ B ．2(3,)e -+∞ C. 2(,22)e -∞+ D ．22(26,22)e e -+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设样本数据122017,,,x x x 的方差是4，若21(12,,2017)i i y x i =-=，则122017,,,y y y 的方差为 ．14.在平面内将点(2,1)A 绕原点按逆时针方向旋转34π，得到点B ，则点B 的坐标为 ． 15.设二面角CD αβ--的大小为45，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且45ABC ∠=，则AB 与平面β所成的角的大小为 ． 16.非零向量,m n 的夹角为3π，且满足||||(0)n m λλ=>，向量组123,,x x x 由一个m 和两个n 排列而成，向量组123,,y y y 由两个m 和一个n 排列而成，若112233x y x y x y ++所有可能值中的最小值为24m ，则λ= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=（2m ≥ 且*m N ∈）. （1）求m 的值； （2）若数列{}n b 满足2log 2nn a b =*()n N ∈，求数列{(6)}n n a b +的前n 项和．18. 如图，三棱柱ABC DEF -中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且3ABE π∠=，BC =四棱锥F ABED -的体积为2，点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且G 在AE 上点M 是线段CF 上，且14CM CF =．（1）证明：直线//GM 平面DEF ； （2）求二面角M AB F --的余弦值．19. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：某机构为了 某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a =，记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．20. 设,,M N T 是椭圆2211612x y +=上三个点，,M N 在直线8x =上的射影分别为11,M N ． （1）若直线MN 过原点O ，直线,MT NT 斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值；（2）若,M N 不是椭圆长轴的端点，点L 坐标为(3,0)，11M N L ∆与MNL ∆面积之比为5，求MN 中点K 的轨迹方程．21. 已知函数()ln(1)f x m x =+，()(1)1xg x x x =>-+． （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在(1,)-+∞上的单调性；（2）若()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x a a y a ββ=+⎧⎨=⎩（0a >，β为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程3cos()32πρθ-=．（1）若曲线C 与l 只有一个公共点，求a 的值； （2）,A B 为曲线C 上的两点，且3AOB π∠=，求OAB ∆的面积最大值．23.选修4-5：不等式选讲设函数()|1||21|f x x x =--+的最大值为m ． （1）作出函数()f x 的图象；（2）若22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值．试卷答案一、选择题1-5:CDCAB 6-10:BBACD 11、12：DA二、填空题13. 16 14. (,22-15. 30 16. 83三、解答题17.（1）由已知得：14m m m a S S -=-=， 且12214m m m m a a S S ++++=-=，设数列{}n a 的公差为d ，则有2314m a d +=， ∴2d =，由0m S =，得1(1)202m m ma -+⨯=，即11a m =- ∴1(1)214m a a m m =+-⨯=-= ∴5m =（2）由（1）知，14a =-，2d =，∴26n a n =-，∴23log n n b -=，得32n n b -=. ∴32(6)222n n n n a b n n --+=⨯=⨯设数列{(6)}n n a b +的前n 项和为n T∴10321222(1)22n n n T n n ---=⨯+⨯++-⨯+⨯① 012121222(1)22n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+⨯②①–②，得：1212222n n n T n ---=+++-⨯112(12)212n n n ---=-⨯-111222n n n --=--⨯∴1*1(1)2()2n n T n n N -=-+∈ 18.（1）因为四棱锥F ABED -的体积为2，即142234F ABED V FG -=⨯⨯⨯⨯=，所以FG =又2BC EF ==，所以32EG =，即点G 是靠近A 的四等分点， 过点G 作//GK AD 交DE 于点K ，所以3344GK AD CF ==又34MF CF =，所以MF GK =且//MF GK 所以四边形MFKG 为平行四边形所以//GM FK ，所以直线//GM 平面DEF.（2）设,AE BD 的交点为O ，OB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABED 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，(0,1,0)A -，B，1(0,2F -，54M -，(1,0)BA =-，5(4BM =--，1(2BF =-，设平面ABM ，ABF 的法向量为,m n ，00m BA m BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则(1,1)m =-，0n BA n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则1(1,3,)2n =- 785cos 85||||m n m n θ==，即为所求. 19.（1）由题意可知：X 的可能取值为0.9,0.8,0.7,,1.1,1.3a a a a a a 由统计数据可知：1(0.9)6P X a ==，1(0.8)12P X a ==，1(0.7)12P X a ==，1()3P X a ==，1( 1.1)4P X a ==，1( 1.3)12P X a == 所以X 的分布列为：所以0.90.80.7 1.1 1.39426121234121212EX a a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==≈ （2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故的概率为13，三辆车中至多有一辆事故车的概率为3123112(1)()333P C =-+2027=②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为-5000,10000 所以Y 的分布列为： 所以500010000500033EY =-⨯+⨯= 所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为10050EY ⨯=万元20.（1）设(,)M p q ，(,)N p q --，00(,)T x y ，则22012220y q k k x p-=- 又2222001161211612p q x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22220001612x p y q --+=， 即22022034y q x p -=-- 1234k k =-（2）设直线MN 与x 轴相交于点(,0)R r ，1|3|||2MNL M N S r y y ∆=-- 111115||2M N L M N S y y ∆=- 由于115M N L MNL S S ∆∆=且11||||M N M N y y y y -=-，得11115||5|3|||22M N M N y y r y y -=--，4r =（舍去）或2r = 即直线MN 经过点(2,0)F ，设1122(,),(,)M x y N x y ，00(,)K x y①当直线MN 垂直于x 轴时，弦MN 中点为(2,0)F②当直线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为(2)y k x =-，则2211612(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩2222(34)1616480k x k x k ⇒+-+-= 21221634k x x k +=+，2122164834k x x k -=+， 202834k x k =+，02634ky k-=+， 消去k ，整理得：22004(1)1(0)3y x y -+=≠ 综上所述，点K 的轨迹方程为224(1)1(0)3y x x -+=>. 21.（1）'''221(1)1()()()1(1)(1)m m x F x f x g x x x x +-=-=-=+++，1x >-， 当0m ≤时，'()0F x <，函数()F x 在(1,)-+∞上单调递减； 当0m >时，令'()0F x <11x m ⇒<-+，函数()F x 在1(1,1)m--+上单调递减； '()0F x >11x m ⇒>-+，函数()F x 在1(1,)m-++∞上单调递增， 综上所述，当0m ≤时，()F x 的单减区间是(1,)-+∞；当0m >时，()F x 的单减区间是1(1,1)m--+； 单增区间是1(1,)m-++∞. （2）函数()ln(1)f x m x =+在点(,ln(1))a m a +处的切线方程为ln(1)()1my m a x a a -+=-+， 即ln(1)11m may x m a a a =++-++ 函数()1x g x x =+在点1(,1)1b b -+处的切线方程为211(1)()1(1)y x b b b --=-++， 即2221(1)(1)b y x b b =+++.()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线所以2221(1)1(1)ln(1)(2)1(1)ma b ma b m a a b ⎧=⎪++⎪⎨⎪+-=⎪++⎩有唯一一对(,)a b 满足这个方程组，且0m >由（1）得：21(1)a m b +=+代入（2）消去a ，整理得：22ln(1)ln 101m b m m m b +++--=+，关于(1)b b >-的方程有唯一解 令2()2ln(1)ln 11g b m b m m m b =+++--+ '22222[(1)1]()1(1)(1)m m b g b b b b +-=-=+++方程组有 解时，0m >，所以()g b 在1(1,1)m --+单调递减，在1(1,)m-++∞单调递增 所以min 1()(1)ln 1g b g m m m m=-+=-- 因为b →+∞，()g b →+∞，1b →-，()g b →+∞， 只需ln 10m m m --= 令()ln 1m m m m σ=--'()ln m m σ=-在0m >为单减函数且1m =时，'()0m σ=，即max ()(1)0m σσ== 所以1m =时，关于b 的方程22ln(1)ln 101m b m m m b +++--=+有唯一解 此时0a b ==，公切线方程为y x =22.（1）曲线C 是以(,0)a 为圆心，以a 为半径的圆直线l 的直角坐标方程为30x +-= 由直线l 与圆C 只有一个公共点，则可得|3|2a a -= 解得：3a =-（舍），1a = 所以：1a =（2）曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=（0a >） 设A 的极角为θ，B 的极角为3πθ+，则21||||sin |2cos ||2cos()||cos cos()|23433OAB S OA OB a a πππθθθθ∆==+=+21cos cos()cos sin cos 322πθθθθθ+=-1cos 212224θθ+=-111(cos 22)224θθ=-+11cos(2)234πθ=++所以当6πθ=-时，11cos(2)234πθ++取得最大值34. OAB ∆的面积最大值24a . 23.（1）12,21()3,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩画出图象如图，（2）由（1）知，32m = ∵2222222323()2()242m a c b a b c b ab bc ==++=+++≥+， ∴324ab bc +≤，∴2ab bc +的最大值为34， 当且仅当12a b c ===时，等号成立．。